Bài kiểm tra đánh giá: Dãy số và giới hạn

20 questions

40 min

Answer key

Exam info

Subject: Toán cao cấp / Giải tích
Exam type: University
Questions: 20
Duration: 40 min
Answers: ✓ With explanations

Questions (20)

Q 1.
Dãy số (uₙ) được định nghĩa là gì?
- A.
  Một tập hợp các số thực sắp xếp theo thứ tự
- B.
  Một hàm số xác định trên tập số tự nhiên ℕ
- C.
  Một phương trình đại số bậc n
- D.
  Một hàm số liên tục trên ℝ
Q 2.
Dãy số (uₙ) được gọi là hội tụ về L khi n → ∞ nếu:
- A.
  uₙ = L với mọi n ∈ ℕ
- B.
  Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho |uₙ - L| < ε với mọi n ≥ N
- C.
  uₙ → 0 khi n → ∞
- D.
  Dãy số có số hạng tổng quát là L
Q 3.
Cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 5 và công sai d = 3. Số hạng tổng quát uₙ = ?
- A.
  uₙ = 5 + 3(n-1)
- B.
  uₙ = 5 + 3n
- C.
  uₙ = 5n + 3
- D.
  uₙ = 3 + 5(n-1)
Q 4.
Cấp số nhân vô hạn có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 1/2. Tổng của cấp số nhân này bằng:
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  ∞
Q 5.
Dãy số (uₙ) được gọi là bị chặn nếu:
- A.
  uₙ > 0 với mọi n ∈ ℕ
- B.
  Tồn tại M > 0 sao cho |uₙ| ≤ M với mọi n ∈ ℕ
- C.
  uₙ là số nguyên với mọi n
- D.
  uₙ < 1 với mọi n ∈ ℕ
Q 6.
Dãy số uₙ = (-1)ⁿ có giới hạn khi n → ∞ là:
- A.
  1
- B.
  -1
- C.
  0
- D.
  Giới hạn không tồn tại
Q 7.
Cho lim uₙ = a và lim vₙ = b (a, b hữu hạn). Khi đó lim (uₙ + vₙ) bằng:
- A.
  ab
- B.
  a + b
- C.
  a - b
- D.
  a/b
Q 8.
Nếu xₙ ≤ yₙ ≤ zₙ với mọi n và lim xₙ = lim zₙ = L, thì theo định lý kẹp (squeeze theorem):
- A.
  lim yₙ = L
- B.
  lim yₙ = 2L
- C.
  lim yₙ không tồn tại
- D.
  Không thể kết luận về lim yₙ
Q 9.
Giới hạn lim (sin x / x) khi x → 0 bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  ∞
- D.
  Không tồn tại
Q 10.
Tính lim (n² + 3n) / (2n² - n + 1) khi n → ∞:
- A.
  0
- B.
  1/2
- C.
  1
- D.
  ∞
Q 11.
Dãy số uₙ = n² + 1 là:
- A.
  Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên
- B.
  Dãy đơn điệu tăng và không bị chặn
- C.
  Dãy đơn điệu giảm
- D.
  Dãy hội tụ
Q 12.
Tiêu chuẩn Cauchy phát biểu rằng: dãy số (uₙ) hội tụ khi và chỉ khi:
- A.
  Dãy (uₙ) là đơn điệu
- B.
  Dãy (uₙ) là bị chặn
- C.
  Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho |uₙ - uₘ| < ε với mọi n, m ≥ N
- D.
  Dãy (uₙ) có giới hạn bằng 0
Q 13.
Tính lim (√(n² + 1) - n) khi n → ∞:
- A.
  0
- B.
  1/2
- C.
  ∞
- D.
  -1/2
Q 14.
Giới hạn lim (1 + 1/n)ⁿ khi n → ∞ bằng:
- A.
  1
- B.
  e
- C.
  ∞
- D.
  0
Q 15.
Tính lim (n! / nⁿ) khi n → ∞:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  e
- D.
  ∞
Q 16.
Tính lim (√(n + 1) - √(n - 1)) khi n → ∞:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  ∞
- D.
  Không tồn tại
Q 17.
Tính giới hạn: lim [(2n² + 1) / (n³ - 5n + 2)] khi n → ∞
Q 18.
Xét sự hội tụ của dãy số uₙ = [n + (-1)ⁿ] / (2n + 1). Hãy xác định giới hạn (nếu có) của dãy số này.
Q 19.
Phát biểu và chứng minh định lý: 'Nếu dãy số (uₙ) đơn điệu tăng và bị chặn trên thì (uₙ) hội tụ' (Định lý Weierstrass về dãy đơn điệu). Trình bày logic chặt chẽ.
Q 20.
Trình bày phương pháp tính giới hạn lim [(1 + 2/n)ⁿ] khi n → ∞. Hãy chứng minh kết quả bằng cách sử dụng giới hạn cơ bản lim (1 + 1/n)ⁿ = e và các tính chất của hàm mũ.

Answers and explanations are in mode.