Bài kiểm tra đánh giá: Dãy số và giới hạn

Dãy số (uₙ) được định nghĩa là gì?

Dãy số (uₙ) được gọi là hội tụ về L khi n → ∞ nếu:

Cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 5 và công sai d = 3. Số hạng tổng quát uₙ = ?

Cấp số nhân vô hạn có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 1/2. Tổng của cấp số nhân này bằng:

Dãy số (uₙ) được gọi là bị chặn nếu:

Dãy số uₙ = (-1)ⁿ có giới hạn khi n → ∞ là:

Cho lim uₙ = a và lim vₙ = b (a, b hữu hạn). Khi đó lim (uₙ + vₙ) bằng:

Nếu xₙ ≤ yₙ ≤ zₙ với mọi n và lim xₙ = lim zₙ = L, thì theo định lý kẹp (squeeze theorem):

Giới hạn lim (sin x / x) khi x → 0 bằng:

Tính lim (n² + 3n) / (2n² - n + 1) khi n → ∞:

Dãy số uₙ = n² + 1 là:

Tiêu chuẩn Cauchy phát biểu rằng: dãy số (uₙ) hội tụ khi và chỉ khi:

Tính lim (√(n² + 1) - n) khi n → ∞:

Giới hạn lim (1 + 1/n)ⁿ khi n → ∞ bằng:

Tính lim (n! / nⁿ) khi n → ∞:

Tính lim (√(n + 1) - √(n - 1)) khi n → ∞:

Tính giới hạn: lim [(2n² + 1) / (n³ - 5n + 2)] khi n → ∞

Xét sự hội tụ của dãy số uₙ = [n + (-1)ⁿ] / (2n + 1). Hãy xác định giới hạn (nếu có) của dãy số này.

Phát biểu và chứng minh định lý: 'Nếu dãy số (uₙ) đơn điệu tăng và bị chặn trên thì (uₙ) hội tụ' (Định lý Weierstrass về dãy đơn điệu). Trình bày logic chặt chẽ.

Trình bày phương pháp tính giới hạn lim [(1 + 2/n)ⁿ] khi n → ∞. Hãy chứng minh kết quả bằng cách sử dụng giới hạn cơ bản lim (1 + 1/n)ⁿ = e và các tính chất của hàm mũ.