Toán cao cấp University

Bài kiểm tra đánh giá: Toán cao cấp - Số phức

20 câu

40 phút

Có đáp án

Thông tin đề

Môn: Toán cao cấp
Kỳ thi: University
Số câu: 20 câu
Thời gian: 40 phút
Đáp án: ✓ Có giải thích

Nội dung đề (20 câu)

Câu 1.
Trên ℝ², phép nhân hai số phức (x₁, y₁) · (x₂, y₂) được định nghĩa bằng biểu thức nào sau đây?
- A.
  (x₁x₂ + y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁)
- B.
  (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁)
- C.
  (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ - x₂y₁)
- D.
  (x₁x₂ + y₁y₂, x₁y₂ - x₂y₁)
Câu 2.
Giá trị của i² bằng bao nhiêu?
- A.
  1
- B.
  i
- C.
  0
- D.
  -1
Câu 3.
Cho số phức z = 3 - 4i. Phần thực và phần ảo của z lần lượt là:
- A.
  Re(z) = 3 và Im(z) = -4
- B.
  Re(z) = 3 và Im(z) = 4
- C.
  Re(z) = -4 và Im(z) = 3
- D.
  Re(z) = -3 và Im(z) = -4
Câu 4.
Số phức liên hợp của z = 5 + 7i là:
- A.
  -5 + 7i
- B.
  5 - 7i
- C.
  -5 - 7i
- D.
  7 - 5i
Câu 5.
Modun của số phức z = 3 - 4i là:
- A.
  1
- B.
  7
- C.
  25
- D.
  5
Câu 6.
Với z = x + iy, công thức nào sau đây ĐÚNG?
- A.
  Re(z) = (z - z̄)/2
- B.
  Im(z) = (z + z̄)/2
- C.
  Re(z) = (z + z̄)/2
- D.
  Im(z) = (z + z̄)/2i
Câu 7.
Cho z = x + iy. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
- A.
  |z| = |z̄|
- B.
  |z| = z + z̄
- C.
  |z|² = z - z̄
- D.
  |z| = -|z̄|
Câu 8.
Cho z = 2 + 3i. Giá trị z + z̄ bằng:
- A.
  6i
- B.
  4
- C.
  6
- D.
  4i
Câu 9.
Cho z₁ = 1 + i và z₂ = 1 - i. Kết quả phép chia z₁/z₂ bằng:
- A.
  1
- B.
  -i
- C.
  i
- D.
  0
Câu 10.
Số phức z = 1 + i được biểu diễn dưới dạng lượng giác là:
- A.
  √2(cos(π/4) + i sin(π/4))
- B.
  2(cos(π/4) + i sin(π/4))
- C.
  √2(cos(π/3) + i sin(π/3))
- D.
  2(cos(π/3) + i sin(π/3))
Câu 11.
Argument chính (lấy trong khoảng [-π, π)) của số phức z = -1 + i là:
- A.
  π/4
- B.
  -π/4
- C.
  3π/4
- D.
  -3π/4
Câu 12.
Theo công thức Euler, biểu thức e^(iφ) được viết lại là:
- A.
  cos φ - i sin φ
- B.
  cos φ + i sin φ
- C.
  sin φ + i cos φ
- D.
  cos φ · sin φ
Câu 13.
Cho z₁, z₂ là hai số phức bất kỳ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
- A.
  |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂|
- B.
  |z₁z₂| = |z₁| + |z₂|
- C.
  |z₁z₂| = |z₁|²|z₂|²
- D.
  |z₁z₂| = |z₁|·|z₂|
Câu 14.
Theo công thức Moivre, nếu z = r(cos φ + i sin φ) thì zⁿ bằng:
- A.
  rⁿ [cos(nφ) - i sin(nφ)]
- B.
  rⁿ [cos(nφ) + i sin(nφ)]
- C.
  nr [cos(nφ) + i sin(nφ)]
- D.
  rⁿ [cos φ + i sin(nφ)]
Câu 15.
Cho z₁ = 2∠(π/3) và z₂ = 3∠(π/6). Tích z₁·z₂ bằng:
- A.
  5∠(π/2)
- B.
  6∠(π/2)
- C.
  6∠(π/9)
- D.
  6∠(π/18)
Câu 16.
Số phức z ≠ 0 có bao nhiêu căn bậc n (với n ∈ ℕ*)?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  n
- D.
  Vô hạn
Câu 17.
Cho số phức z = (2+i)/(1-i). Phần thực của z bằng bao nhiêu?
Câu 18.
Argument chính (lấy trong khoảng [0, 2π)) của số phức z = -1 - √3·i bằng bao nhiêu?
Câu 19.
a) Trình bày cách tính modun của số phức z = 3 + 4i.
b) Tính z·z̄ và nhận xét mối liên hệ với |z|².
Câu 20.
Cho số phức z = 1 + √3·i.
a) Viết z dưới dạng lượng giác và dạng mũ.
b) Tính z⁴ theo công thức Moivre.
c) Tìm tất cả căn bậc hai của z.

Đáp án và giải thích từng câu có trong chế độ .