Đề kiểm tra cđe toán - Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Một hộp chứa 5 viên bi trắng và 3 viên bi đen có cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi từ hộp. Gọi X là số viên bi trắng trong 3 viên bi được lấy ra. Hãy:
a) Nêu các giá trị có thể của X và giải thích tại sao X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
b) Lập bảng phân bố xác suất của X.

Tung một đồng xu cân đối, đồng chất liên tiếp 4 lần. Gọi Y là số lần xuất hiện mặt sấp.
a) Liệt kê các giá trị có thể của Y.
b) Lập bảng phân bố xác suất của Y.

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân bố xác suất:
| X | -1 | 0 | 2 | 5 |
| P | 0,2a | 0,3a | 0,3a | a |
Tìm a và tính kì vọng E(X).

Một cửa hàng thống kê số lượng khách hàng đến mua hàng trong một ngày là biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân bố xác suất như sau:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |

a) Tính xác suất để cửa hàng có ít nhất 2 khách hàng trong ngày.
b) Tính xác suất để cửa hàng có nhiều nhất 3 khách hàng trong ngày.
c) Tính kì vọng E(X).

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0,15 | 0,2 | 0,25 | 0,25 | 0,15 |
Hãy tính phương sai V(X) theo định nghĩa và độ lệch chuẩn σ(X).

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
Tính phương sai V(X) theo công thức V(X) = Σ(xi²·pi) - μ². Từ đó suy ra độ lệch chuẩn σ(X).

Một nhà đầu tư xem xét hai phương án:

• Phương án A: Doanh thu 10 tỉ đồng với xác suất 0,6 và 4 tỉ đồng với xác suất 0,4.
• Phương án B: Doanh thu 8 tỉ đồng với xác suất 0,5 và 6 tỉ đồng với xác suất 0,5.

a) Tính doanh thu trung bình của mỗi phương án.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mỗi phương án.
c) Phân tích và đưa ra lời khuyên cho nhà đầu tư.

Trong một chương trình truyền hình, thí sinh được chọn một trong hai loại câu hỏi ở vòng 1:

• Loại I: Trả lời đúng được 30 điểm, trả lời sai được 0 điểm.
• Loại II: Trả lời đúng được 100 điểm, trả lời sai được 0 điểm.
  Nếu trả lời đúng vòng 1, thí sinh vào vòng 2 và bốc câu hỏi loại còn lại. Xác suất trả lời đúng câu loại I là 0,7; loại II là 0,4. Hai vòng độc lập với nhau.
  a) Lập bảng phân bố xác suất của số điểm thí sinh nhận được trong cả cuộc chơi khi chọn câu loại I ở vòng 1.
  b) Tính kì vọng số điểm thí sinh nhận được khi chọn loại I.
  c) So sánh với việc chọn loại II ở vòng 1 và cho biết thí sinh nên chọn loại nào.

Một tổ sản xuất có 6 công nhân nam và 4 công nhân nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người để đi công tác. Gọi X là số công nhân nữ trong 3 người được chọn.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Tính kì vọng và phương sai của X.

Một xạ thủ bắn 4 viên đạn vào bia, xác suất trúng mỗi viên là 0,8 độc lập với nhau. Gọi X là số viên trúng bia.
a) Tính kì vọng và phương sai của X theo công thức Bernoulli với n = 4, p = 0,8.
b) Lập bảng phân bố xác suất của X.

Số cơn bão đổ bộ vào một vùng trong năm là biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân bố:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0,15 | 0,25 | 0,3 | 0,15 | 0,1 | 0,05 |

a) Tính E(X), V(X) và σ(X).
b) Giải thích ý nghĩa của E(X) và σ(X) trong bài toán này.

Một công ty bảo hiểm nhận thấy số vụ tai nạn giao thông mà khách hàng của họ gặp phải trong một năm là biến ngẫu nhiên X với:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,5 | 0,3 | 0,15 | 0,05 |
a) Tính kì vọng và độ lệch chuẩn của X.
b) Công ty phải bồi thường trung bình 50 triệu đồng cho mỗi vụ tai nạn. Hỏi số tiền bồi thường trung bình mà công ty phải chi cho mỗi khách hàng trong một năm là bao nhiêu?

Trong một bài kiểm tra, học sinh có 5 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 3 phương án và chỉ có 1 phương án đúng. Học sinh chọn ngẫu nhiên mỗi câu. Gọi Y là số câu trả lời đúng.
a) Y tuân theo phân bố nào? Viết công thức tính xác suất.
b) Tính kì vọng và phương sai của Y.

Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xạ thủ A bắn 3 viên, xác suất trúng mỗi viên là 0,7. Xạ thủ B bắn 5 viên, xác suất trúng mỗi viên là 0,4. Gọi X, Y lần lượt là số viên trúng bia của hai xạ thủ.
a) Tính E(X), E(Y) và so sánh.
b) Tính V(X), V(Y) và cho biết xạ thủ nào có kết quả ổn định hơn.

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố:
| X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| P | 0,05 | 0,15 | 0,3 | 0,35 | 0,15 |
a) Tính kì vọng E(X).
b) Tính phương sai V(X) bằng hai cách (theo định nghĩa và theo công thức 2).
c) So sánh hai kết quả và cho biết ý nghĩa của V(X).

Gieo một con xúc xắc cân đối 6 lần liên tiếp. Gọi Z là số lần xuất hiện mặt lẻ (1, 3 hoặc 5 chấm).
a) Z tuân theo phân bố nào?
b) Tính xác suất để có đúng 4 lần xuất hiện mặt lẻ.
c) Tính E(Z), V(Z), σ(Z).

Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 5 học sinh để đi thi. Gọi T là số học sinh giỏi trong nhóm được chọn.
a) Lập bảng phân bố xác suất của T.
b) Tính kì vọng và phương sai của T.

Một trò chơi có hai hộp quà:

• Hộp A: Trong có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng.
• Hộp B: Trong có 4 quả bóng đỏ và 1 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng.
  Gọi X là số quả bóng xanh lấy được từ cả hai hộp.
  a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
  b) Tính E(X) và V(X).

Trong một dây chuyền sản xuất, sản phẩm được phân loại: loại A chiếm 30%, loại B chiếm 50%, loại C chiếm 20%. Lợi nhuận thu được khi bán một sản phẩm tương ứng là 50 nghìn đồng, 30 nghìn đồng và 10 nghìn đồng. Gọi L là lợi nhuận thu được từ một sản phẩm.
a) Lập bảng phân bố xác suất của L (đơn vị: nghìn đồng).
b) Tính lợi nhuận trung bình thu được từ một sản phẩm.
c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của L.
d) Giải thích ý nghĩa của độ lệch chuẩn.

Một xí nghiệp dự kiến doanh thu tháng tới T (đơn vị: triệu đồng) là biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân bố:
| T | 100 | 150 | 200 | 250 |
| P | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 |
a) Tính E(T) và σ(T).
b) Xác suất để doanh thu vượt 150 triệu đồng là bao nhiêu?
c) Nếu chi phí sản xuất cố định là 130 triệu đồng, tính lợi nhuận trung bình của xí nghiệp trong tháng tới.

Một nhà máy sản xuất bóng đèn, tỉ lệ bóng đèn hỏng là 5%. Chọn ngẫu nhiên 20 bóng đèn để kiểm tra. Gọi H là số bóng đèn hỏng trong 20 bóng đèn được chọn.
a) H tuân theo phân bố nào?
b) Tính kì vọng và phương sai của H.
c) Tính xác suất có đúng 2 bóng đèn hỏng trong số 20 bóng đèn được chọn (làm tròn 3 chữ số thập phân).

Có hai máy A và B đang sản xuất cùng một sản phẩm. Trọng lượng (đơn vị: gam) sản phẩm của máy A là biến ngẫu nhiên rời rạc X với E(X) = 100, V(X) = 4. Trọng lượng sản phẩm của máy B là biến ngẫu nhiên Y với E(Y) = 100, V(Y) = 1.
a) Máy nào có trọng lượng sản phẩm ổn định hơn?
b) Yêu cầu sản phẩm có trọng lượng từ 98 đến 102 gam. Dựa vào kì vọng và độ lệch chuẩn, hãy nhận xét khả năng đáp ứng yêu cầu của hai máy.

Một hộp chứa 4 quả cầu đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu (không hoàn lại). Gọi M là số lớn nhất trong hai số ghi trên hai quả cầu.
a) Lập bảng phân bố xác suất của M.
b) Tính E(M), V(M), σ(M).
c) So sánh E(M) với số trung bình cộng của hai số ghi trên hai quả cầu khi lấy cả 2 quả: (1+2+3+4)/2 = 5.

Hai đội bóng A và B thi đấu 3 trận. Xác suất đội A thắng mỗi trận là 0,6 (giả sử không có trận hòa). Gọi S là số trận thắng của đội A.
a) S tuân theo phân bố nào?
b) Tính xác suất để đội A thắng đội B về tổng số trận (tức thắng ít nhất 2 trận).
c) Tính E(S) và V(S).
d) Nếu mỗi trận thắng được 3 điểm, mỗi trận thua không được điểm, tính số điểm trung bình đội A đạt được.

Một khảo sát về số giờ tự học mỗi tuần của học sinh lớp 12 cho kết quả là biến ngẫu nhiên rời rạc T (đơn vị: giờ) với bảng phân bố:
| T | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| P | 0,05 | 0,15 | 0,25 | 0,3 | 0,15 | 0,1 |

a) Tính E(T), V(T), σ(T).
b) Tính xác suất để một học sinh tự học từ 15 giờ trở lên mỗi tuần.
c) Theo em, thời gian tự học trung bình như vậy đã phù hợp chưa? Giải thích dựa trên số đặc trưng vừa tính.