Đề thi học kì - Đại Số Tuyến Tính - 20 câu tự luận

Cho ma trận

a) Bằng phép biến đổi sơ cấp theo hàng, đưa ma trận về dạng bậc thang. Từ đó xác định hạng của .

b) Tìm một cơ sở cho không gian cột và một cơ sở cho không gian hàng . Hai cơ sở này có cùng số phần tử không? Giải thích.

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với có hạng bằng 2.

a) Tính số chiều của không gian nghiệm . Giải thích lý do.

b) Cho biết hệ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trong trường hợp vô nghiệm, có nghiệm duy nhất và vô số nghiệm khi .

Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận bằng phương pháp Gauss - Jordan. Yêu cầu trình bày rõ từng bước biến đổi sơ cấp.

Cho hệ phương trình tuyến tính

a) Viết hệ dưới dạng ma trận và tính (nếu có).

b) Dùng tìm ở câu a) để giải hệ. Đối chiếu kết quả bằng phép khử Gauss.

Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi . Gọi .

a) Tính ma trận của đối với cơ sở chính tắc của .

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ sang (kí hiệu ).

c) Tính ma trận của đối với cơ sở bằng công thức .

Cho hai ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở chính tắc lần lượt là

a) Tính và . Hai ma trận này có bằng nhau không? Giải thích vì sao.

b) Tìm và .

Cho họ ba véc tơ trong : , , . Áp dụng quá trình trực giao hóa Gram - Schmidt để tìm một cơ sở trực giao và một cơ sở trực chuẩn cho .

Cho ma trận

a) Tìm tất cả các trị riêng của (gợi ý: khai thác tính đối xứng).

b) Với mỗi trị riêng, tìm cơ sở của không gian con riêng tương ứng.

c) Chứng minh chéo hóa trực giao được và chỉ ra ma trận trực giao cùng ma trận chéo thỏa mãn .

Trong , cho hai cơ sở và trong đó , , và , , .

a) Viết ma trận và .

b) Nếu thì bằng bao nhiêu?

Nhận dạng và vẽ phác thảo đường cong bậc hai cho bởi phương trình

Yêu cầu:
a) Viết phương trình dưới dạng ma trận .

b) Tìm góc quay để khử số hạng .

c) Sau khi quay, viết phương trình trong hệ tọa độ mới và kết luận loại đường cong. Xác định tâm, đỉnh, tiêu cự (nếu có).

Cho dạng toàn phương trên :

a) Viết ma trận biểu diễn và tìm cùng hệ số (sigature) của .

b) Tìm một cơ sở của sao cho có dạng chính tắc . Trình bày rõ phép đổi cơ sở.

Xét ma trận đối xứng

a) Tìm tất cả trị riêng và véc tơ riêng trực chuẩn của .

b) Lập ma trận trực giao và ma trận chéo sao cho .

c) Tính bằng cách dùng khai triển .

Cho phép biến đổi sơ cấp sau trên ma trận vuông cấp 3: là phép hoán vị hàng 1 và hàng 2; là phép nhân hàng 3 với ; là phép cộng hàng 2 với $(-2)$ lần hàng 1.

a) Viết các ma trận sơ cấp và tìm .

b) Cho bất kì cấp 3 và biến đổi thành . Nếu , tính .

Cho ma trận vuông cấp trên .

a) Phát biểu điều kiện cần và đủ để chéo hóa được. Áp dụng vào ma trận

b) Trong trường hợp đối xứng, phát biểu định lý trực giao và chứng minh rằng các véc tơ riêng ứng với hai trị riêng phân biệt thì trực giao.

Xét hệ phương trình tùy theo tham số :

a) Tính định thức của ma trận hệ số và tìm các giá trị để hệ có nghiệm duy nhất.

b) Với giá trị tìm được ở câu a), giải hệ. Với nào hệ vô nghiệm? Với nào hệ vô số nghiệm?

Cho ánh xạ tuyến tính có ma trận

a) Tìm hạng của và đưa ma trận trên về dạng bậc thang rút gọn.

b) Xác định số chiều và một cơ sở của và .

c) Áp dụng định lý về hạng - hạng null: . Kiểm tra lại kết quả.

Cho ma trận đối xứng

a) Tìm trị riêng và không gian riêng của . Có nhận xét gì về tổng các trị riêng?

b) Tìm ma trận trực giao và ma trận chéo để .

c) Tính bằng công thức . So sánh với cách tính trực tiếp.

a) Phát biểu định nghĩa: ma trận trực giao. Chứng minh rằng nếu là ma trận trực giao cấp thì và .

b) Cho . Hỏi có phải ma trận trực giao không? Đây là ma trận của phép biến đổi hình học nào trong mặt phẳng?

Nhận dạng đường cong bậc hai

a) Viết ma trận và véc tơ hệ số tuyến tính cho phương trình.

b) Tính và định thức con để xác định loại đường cong (elip, hypebol, parabolic hay cặp đường thẳng, đường thẳng kép, ...).

c) Tìm dạng chính tắc bằng cách đổi biến phù hợp. Vẽ phác thảo.

Cho hệ phương trình thuần nhất với , .

a) Tính số chiều của không gian nghiệm và cho biết số tham số tự do trong nghiệm tổng quát.

b) Giả sử nghiệm cơ sở là . Hãy viết nghiệm tổng quát và giải thích ý nghĩa hình học trong (tập nghiệm là không gian con nào?).

c) Áp dụng: cho biết cơ sở nào sau đây là cơ sở của không gian nghiệm: tập hay tập ? Vì sao?