Đề thi Xác suất và Thống kê - Mức độ Khó

Một câu lạc bộ có 7 thành viên nam và 5 thành viên nữ. Cần thành lập một đội gồm 4 người trong đó có ít nhất 2 nữ và ít nhất 1 nam. Có bao nhiêu cách chọn?

Một công ty cần tạo mã số nhân viên gồm 5 ký tự: 2 chữ cái đầu tiên (từ 26 chữ cái Latinh in hoa) tiếp theo là 3 chữ số (từ 0 đến 9). Biết rằng chữ cái đầu tiên phải là một trong 5 nguyên âm (A, E, I, O, U) và chữ số cuối cùng phải là số chẵn (0, 2, 4, 6, 8). Hỏi có bao nhiêu mã số thỏa mãn?

Có 5 cuốn sách Toán khác nhau và 4 cuốn sách Văn khác nhau được xếp lên kệ dài sao cho cả sách Toán lẫn sách Văn đều đứng liền nhau (từng nhóm). Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Một hội đồng gồm 5 thành viên cần có ít nhất 3 nữ. Từ 6 nam và 5 nữ, có bao nhiêu cách chọn hội đồng thỏa mãn?

Từ tập 5 chữ số {1, 2, 3, 4, 5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng một số lẻ?

Rút ngẫu nhiên 2 lá bài từ bộ bài 52 lá (không có Joker). Tính xác suất cả 2 lá đều là Át.

Một dây chuyền sản xuất có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất các máy hoạt động tốt trong một ca lần lượt là 0.9, 0.85 và 0.8. Tính xác suất có ít nhất 1 máy bị hỏng trong ca làm việc.

Trong một lớp có 30 học sinh, có 15 học sinh thích bóng đá, 12 học sinh thích bóng rổ và 5 học sinh thích cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất học sinh được chọn thích ít nhất một trong hai môn.

Một hộp có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lần lượt rút 2 viên không hoàn lại. Tính xác suất viên thứ 2 là bi đỏ, biết rằng viên thứ nhất đã rút là bi xanh.

Một hệ thống gồm 2 linh kiện mắc song song, hoạt động độc lập. Xác suất linh kiện 1 hoạt động tốt là 0.9, linh kiện 2 tốt là 0.8. Hệ thống chỉ hỏng khi cả 2 linh kiện đều hỏng. Tính xác suất hệ thống bị hỏng.

Ba phân xưởng A, B, C sản xuất lần lượt 50%, 30%, 20% tổng sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng là 2%, 3%, 4%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm, tính xác suất sản phẩm được chọn là phế phẩm.

Với dữ kiện bài trên, biết sản phẩm được chọn là phế phẩm. Tính xác suất phế phẩm đó do phân xưởng A sản xuất.

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị 1, 2, 3, 4 với xác suất tương ứng là k, 2k, 3k, 2k. Tìm k và kỳ vọng E(X).

Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x) = kx² trên đoạn [0, 2] và f(x) = 0 ngoài đoạn đó. Tìm k và kỳ vọng E(X).

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với phân phối xác suất: P(X=1) = 0.1, P(X=2) = 0.2, P(X=3) = 0.3, P(X=4) = 0.25, P(X=5) = 0.15. Tìm Mode(X) và Median(X).

Một lô hàng có 12 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại A. Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại 3 sản phẩm. Tính xác suất có đúng 2 sản phẩm loại A.

Một xạ thủ có xác suất trúng đích p = 0.8 mỗi lần bắn, các lần bắn độc lập. Hỏi cần bắn ít nhất bao nhiêu phát để xác suất trúng ít nhất 1 lần vượt quá 0.99?

Số cuộc gọi đến tổng đài X tuân theo phân phối Poisson với tham số λ. Biết rằng P(X = 0) = e^(-λ) = 0.05. Hãy tìm giá trị gần đúng của λ.

Trọng lượng X của một sản phẩm tuân theo phân phối chuẩn N(500, 100), tức μ = 500g và σ² = 100, σ = 10g. Tính xác suất sản phẩm có trọng lượng từ 490g đến 515g. Cho biết Φ(1.5) ≈ 0.9332, Φ(1) ≈ 0.8413.

Điểm thi X tuân theo phân phối chuẩn N(6, 2.25), tức μ = 6 và σ = 1.5. Để được xếp loại A (thuộc 10% cao nhất), điểm thi tối thiểu cần đạt là bao nhiêu? Cho biết Φ(1.28) ≈ 0.90.

Cho mẫu số liệu {2, 4, 6, 8, 10}. Tính trung bình mẫu x̄ và phương sai mẫu hiệu chỉnh S².

Lấy mẫu n = 49 sản phẩm, thu được trung bình mẫu x̄ = 80 và độ lệch chuẩn tổng thể σ = 7. Ước lượng trung bình tổng thể μ với độ tin cậy 95%. Cho biết z_{0.025} = 1.96.

Đặt giả thuyết H₀: μ = 100, đối thuyết H₁: μ ≠ 100. Lấy mẫu n = 36, trung bình mẫu x̄ = 105, độ lệch chuẩn tổng thể σ = 12, mức ý nghĩa α = 0.05. Cho biết z_{0.025} = 1.96. Hãy kết luận kiểm định.

Đặt H₀: μ ≤ 50, đối thuyết H₁: μ > 50 (kiểm định một phía phải). Lấy mẫu n = 25, trung bình mẫu x̄ = 52, độ lệch chuẩn tổng thể σ = 5, mức ý nghĩa α = 0.05. Cho biết z_{0.05} = 1.645. Hãy kết luận kiểm định.

Trung bình mỗi ngày có 2 khách hàng đến cửa hàng (biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Poisson với λ = 2). Tính xác suất trong 1 ngày có từ 1 đến 3 khách hàng đến.