{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Liên trường THPT Sở GD&ĐT Nghệ An năm 2026 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6981a5f9adb58351916b8b10","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6981a5f9adb58351916b8b11","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6981a5f9adb58351916b8b12","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$\\min_{\\mathbb{R}}y=4$.","correct":false,"reason":"Vì $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x)=-\\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\\mathbb{R}$, do đó không thể có $\\min_{\\mathbb{R}}y=4$ (giá trị $4$ chỉ là cực tiểu địa phương tại $x=0$)."},{"label":"B","text":"$y_{CT}=0$.","correct":false,"reason":"Tại $x=0$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên $x=0$ là điểm cực tiểu với $y_{CT}=f(0)=4\\neq 0$."},{"label":"C","text":"$\\max_{\\mathbb{R}}y=5$.","correct":false,"reason":"Vì $\\lim_{x\\to -\\infty}f(x)=+\\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\\mathbb{R}$, do đó không thể có $\\max_{\\mathbb{R}}y=5$ (giá trị $5$ chỉ là cực đại địa phương tại $x=1$)."},{"label":"D","text":"$y_{CĐ}=5$.","correct":true,"reason":"Tại $x=1$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm (hàm số đổi từ đồng biến sang nghịch biến) và $f(1)=5$, suy ra $x=1$ là điểm cực đại với $y_{CĐ}=5$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên với các mốc $x=-\\infty;0,;1;+\\infty.$\n\nDấu của đạo hàm:\nTrên $(-\\infty,0): y'<0$ (hàm giảm).\n\nTại $x=0: y'=0.$\n\nTrên $(0,1): y'>0$ (hàm tăng).\n\nTại $x=1:$ ký hiệu $||$ (đạo hàm không xác định).\n\nTrên $(1,+\\infty): y'<0$ (hàm giảm).\n\nGiá trị/giới hạn của $y$:\nKhi $x\\to -\\infty,; y\\to +\\infty.$\n\n$f(0)=4.$\n\nTại $x=1$ bảng cho $f(1)=5.$\n\nKhi $x\\to +\\infty,; y\\to -\\infty.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nChọn mệnh đề đúng trong các phát biểu A, B, C, D.\n\nCần áp dụng: dấu của $y'$ để suy ra tính đơn điệu, từ đó kết luận cực tiểu/cực đại và kiểm tra GTLN/GTNN trên $\\mathbb{R}$ dựa vào giới hạn ở $\\pm\\infty.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì trên $(-\\infty,0)$ có $y'<0$ và trên $(0,1)$ có $y'>0$ nên hàm đổi từ giảm sang tăng tại $x=0$\n$\\Rightarrow x=0 \\text{ là điểm cực tiểu},\\quad y_{CT}=f(0)=4.$\n\nVì trên $(0,1)$ có $y'>0$ và trên $(1,+\\infty)$ có $y'<0$ nên hàm đổi từ tăng sang giảm tại $x=1$\n$\\Rightarrow x=1 \\text{ là điểm cực đại},\\quad y_{CĐ}=f(1)=5.$\n\nKiểm tra GTLN/GTNN:\n$\\lim_{x\\to -\\infty}f(x)=+\\infty$ nên hàm không có GTLN trên $\\mathbb{R}$ (không thể có $\\max_{\\mathbb{R}} y = 5$).\n\n$\\lim_{x\\to +\\infty}f(x)=-\\infty$ nên hàm không có GTNN trên $\\mathbb{R}$ (không thể có $\\min_{\\mathbb{R}} y = 4$).\n\n✅ Đáp án: D. $y_{CĐ}=5.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-lien-truong-thpt-tinh-nghe-an-2026-lan-1-co-dap-an/1lV2KsipTljh-cgUl_4g_Sx_aAbqmnGOZ_2026-02-03073826.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cực trị của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":2,"text":"Tìm công sai $d$ của cấp số cộng $(u_n),\\ n\\in\\mathbb{N}^*$ có $u_1=1;\\ u_4=13$.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$d=\\dfrac{1}{3}$.","correct":false,"reason":"Nếu $d=\\dfrac{1}{3}$ thì $u_4 = 1 + 3 \\cdot \\dfrac{1}{3} = 2 \\neq 13$, không thỏa mãn giá trị $u_4=13$ cho trong đề."},{"label":"B","text":"$d=3$.","correct":false,"reason":"Nếu $d=3$ thì $u_4 = 1 + 3 \\cdot 3 = 10 \\neq 13$, không thỏa mãn giá trị $u_4=13$ cho trong đề."},{"label":"C","text":"$d=\\dfrac{1}{4}$.","correct":false,"reason":"Nếu $d=\\dfrac{1}{4}$ thì $u_4 = 1 + 3 \\cdot \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{7}{4} \\neq 13$, không thỏa mãn giá trị $u_4=13$ cho trong đề."},{"label":"D","text":"$d=4$.","correct":true,"reason":"Theo công thức $u_n = u_1 + (n-1)d$, ta có $u_4 = 1 + 3d = 13$, suy ra $3d = 12$ nên $d = 4$. Kiểm tra lại: $u_1=1, u_2=5, u_3=9, u_4=13$ đúng với đề bài."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGồm một cấp số cộng $(u_n),\\ n\\in\\mathbb{N}^*$.\n\n$u_1 = 1.$\n\n$u_4 = 13.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm công sai $d$ của cấp số cộng đã cho.\n\nCần áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: công thức biểu diễn phần tử thứ n theo $u_1$ và $d$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n-1)d.$\n\nÁp dụng cho $n=4$: $u_4 = u_1 + 3d.$\n\nThay các giá trị đã cho: $13 = 1 + 3d.$\n\nGiải phương trình để tìm $d$: $3d = 13 - 1 = 12 \\Rightarrow d = \\dfrac{12}{3} = 4.$\n\nKiểm tra nhanh: d = 4 cho các số hạng đầu: $u_1=1,\\ u_2=5,\\ u_3=9,\\ u_4=13$ — đúng với dữ kiện.\n\n✅ Đáp án: D. $d=4$","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số cộng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số cộng","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA\\perp(ABCD)$ và $SA=a\\sqrt{3}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$a^3\\sqrt{3}$.","correct":false,"reason":"Sai vì áp dụng nhầm công thức thể tích khối lăng trụ $V=S_{\\text{đáy}}\\cdot h=a^2\\cdot a\\sqrt{3}=a^3\\sqrt{3}$, thiếu hệ số $\\frac{1}{3}$ bắt buộc trong công thức thể tích khối chóp."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{a^3\\sqrt{3}}{3}$.","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng chính xác công thức $V=\\frac{1}{3}S_{\\text{đáy}}\\cdot h=\\frac{1}{3}\\cdot a^2\\cdot a\\sqrt{3}=\\frac{a^3\\sqrt{3}}{3}$ với diện tích đáy hình vuông $S_{ABCD}=a^2$ và chiều cao $SA=a\\sqrt{3}$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{a^3}{4}$.","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị $\\frac{a^3}{4}$ không tương ứng với bất kỳ cách tính nào từ các dữ kiện đề bài ($S_{\\text{đáy}}=a^2$, $h=a\\sqrt{3}$) và không xuất hiện trong quá trình biến đổi đại số thông thường."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{a^3\\sqrt{3}}{12}$.","correct":false,"reason":"Sai vì có thể do nhầm diện tích đáy hình vuông $a^2$ thành $\\frac{a^2}{4}$ (như diện tích một phần tư hình vuông hoặc tam giác) dẫn đến tính toán $V=\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{a^2}{4}\\cdot a\\sqrt{3}=\\frac{a^3\\sqrt{3}}{12}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$.\n\n$SA\\perp(ABCD)$.\n\n$SA=a\\sqrt{3}$.\n\n(Hình đính kèm) Hình vẽ cho thấy đỉnh $S$ cách mặt đáy theo chiều cao bằng $SA$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.\n\nCần áp dụng công thức thể tích khối chóp: thể tích = $\\tfrac{1}{3}$ × diện tích đáy × chiều cao.\n\nDiện tích đáy là diện tích hình vuông cạnh $a$: $a^2$. Chiều cao là $SA$ vì $SA\\perp(ABCD)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDiện tích đáy: $S_{đáy}=a^2.$\n\nChiều cao của khối chóp là $h=SA=a\\sqrt{3}$ (do $SA\\perp(ABCD)$).\n\nÁp dụng công thức thể tích khối chóp: $V=\\frac{1}{3}\\,S_{đáy}\\cdot h.$\n\nThay các giá trị vào: $V=\\frac{1}{3}\\cdot a^2\\cdot a\\sqrt{3}=\\frac{1}{3}a^3\\sqrt{3}.$\n\n✅ Đáp án: B. $\\dfrac{a^3\\sqrt{3}}{3}$","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","grade":"GRADE_11","questionCategory":"thể tích","difficulty":"nhận biết"},{"id":4,"text":"Một cuộc khảo sát được thực hiện để điều tra số giờ sử dụng điện thoại và tivi của $40$ học sinh lớp $11A$ trong một tuần. Thu được kết quả như sau:Nhóm chứa mốt là ?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$[4;6)$","correct":false,"reason":"Tần số của nhóm $[4;6)$ là $12$, nhỏ hơn tần số lớn nhất $18$ ($\\max\\{6,18,12,4\\}=18$) nên không phải là nhóm chứa mốt."},{"label":"B","text":"$[0;2)$","correct":false,"reason":"Tần số của nhóm $[0;2)$ là $6$, nhỏ hơn tần số lớn nhất $18$ nên không phải là nhóm chứa mốt."},{"label":"C","text":"$[2;4)$","correct":true,"reason":"Tần số của nhóm $[2;4)$ là $18$, là giá trị lớn nhất trong các tần số ($\\max\\{6,18,12,4\\}=18$), do đó đây là nhóm chứa mốt."},{"label":"D","text":"$[6;8)$","correct":false,"reason":"Tần số của nhóm $[6;8)$ là $4$, nhỏ hơn tần số lớn nhất $18$ nên không phải là nhóm chứa mốt."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng số học sinh khảo sát: 40.\n\nBảng phân bố (dựa vào ảnh đính kèm):\nThời gian $[0;2)$ : Số học sinh = 6\n\nThời gian $[2;4)$ : Số học sinh = 18\n\nThời gian $[4;6)$ : Số học sinh = 12\n\nThời gian $[6;8)$ : Số học sinh = 4\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: \"Nhóm chứa mốt là ?\" — tức là nhóm thời gian nào chứa mốt (mode) của dữ liệu.\n\nKiến thức cần dùng: Khái niệm mốt trong phân bố tần số — mốt là giá trị hoặc lớp có tần số lớn nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLiệt kê các tần số theo thứ tự các lớp: $6,\\;18,\\;12,\\;4.$\n\nTìm tần số lớn nhất bằng cách so sánh: $\\max\\{6,18,12,4\\}=18.$\n\nTần số lớn nhất 18 tương ứng với lớp thời gian $[2;4).$\n\nDựa trên các lựa chọn (A: $[4;6)$, B: $[0;2)$, C: $[2;4)$, D: $[6;8)$), lớp chứa mốt là lựa chọn C.\n\n✅ Đáp án: $C. [2;4)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-lien-truong-thpt-tinh-nghe-an-2026-lan-1-co-dap-an/1hzB5m4OKcaYQa4wl7i1ByBSDf4PfX9zw_2026-02-03073826.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"mốt của mẫu số liệu ghép nhóm","difficulty":"nhận biết"},{"id":5,"text":"Đạo hàm của hàm số $y=3^x$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$y'=\\dfrac{3^x}{\\ln3}$.","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm lẫn công thức, đạo hàm của $a^x$ là $a^x \\ln a$ chứ không phải $\\dfrac{a^x}{\\ln a}$. Phép chia cho $\\ln 3$ ở đây là không đúng."},{"label":"B","text":"$y'=\\dfrac{-3^x}{\\ln3}$.","correct":false,"reason":"Sai vì có dấu trừ và chia cho $\\ln 3$, trong khi đạo hàm của $3^x$ phải dương và nhân với $\\ln 3$. Cả dấu và phép toán đều sai."},{"label":"C","text":"$y'=-3^x\\ln3$.","correct":false,"reason":"Sai vì thừa dấu trừ, đạo hàm của $3^x$ với cơ số $3>1$ phải dương. Công thức đúng là $y' = 3^x \\ln 3$ không có dấu âm."},{"label":"D","text":"$y'=3^x\\ln3$.","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng chính xác công thức $(a^x)' = a^x \\ln a$ với $a=3$. Kết quả $y' = 3^x \\ln 3$ phù hợp với quy tắc tính đạo hàm hàm mũ."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số cần lấy đạo hàm: $y=3^x.$\n\nCác đáp án liên quan đến biểu thức đạo hàm của hàm mũ cơ số $3$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: tính đạo hàm $y'$ của hàm số $y=3^x.$\n\nKiến thức cần dùng: công thức đạo hàm hàm mũ $\\left(a^x\\right)'=a^x\\ln a\\quad (a>0,;a\\ne 1).$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhận thấy $a=3$ nên áp dụng trực tiếp công thức: $\\left(3^x\\right)'=3^x\\ln 3.$\n\nVậy: $y'=3^x\\ln 3.$\n\n✅ Đáp án: D. $y'=3^x\\ln 3.$","chapter":"đạo hàm","topic":"các quy tắc tính đạo hàm.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"đạo hàm của một số hàm số thường gặp","difficulty":"thông hiểu"},{"id":6,"text":"Cho lăng trụ tam giác đều $ABCA'B'C'$ có cạnh đáy $AB=a$, cạnh bên $AA'=2a$. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$a\\sqrt{5}$.","correct":false,"reason":"Giá trị $a\\sqrt{5}$ bằng độ dài đường chéo của mặt bên hình chữ nhật $ABB'A'$ (tính theo $\\sqrt{a^2+(2a)^2}$), chứ không phải khoảng cách vuông góc giữa hai mặt đáy song song."},{"label":"B","text":"$2a$.","correct":true,"reason":"Vì lăng trụ đều nên cạnh bên $AA' \\perp (ABC)$, do đó khoảng cách giữa hai mặt đáy chính là chiều cao lăng trụ bằng độ dài cạnh bên $AA' = 2a$."},{"label":"C","text":"$a$.","correct":false,"reason":"Giá trị $a$ là độ dài cạnh đáy $AB$, không phải chiều cao của lăng trụ. Khoảng cách giữa hai mặt đáy phải đo theo phương vuông góc với mặt đáy."},{"label":"D","text":"$3a$.","correct":false,"reason":"Giá trị $3a$ không có ý nghĩa hình học trong bài toán này và khác với độ dài cạnh bên $AA' = 2a$ đã cho."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLăng trụ tam giác đều $ABCA'B'C'.$\n\nCạnh đáy: $AB=a$ (nên tam giác $ABC$ đều cạnh $a$).\n\nCạnh bên: $AA'=2a.$\n\nHỏi: khoảng cách giữa hai mặt đáy $\\left(ABC\\right)$ và $\\left(A'B'C'\\right).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\n“Khoảng cách giữa hai mặt đáy” chính là chiều cao của lăng trụ, tức là độ dài đoạn vuông góc từ mặt đáy dưới lên mặt đáy trên.\n\nVới lăng trụ đều, các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, nên chiều cao bằng độ dài cạnh bên.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì là lăng trụ tam giác đều nên: $AA'\\perp (ABC).$\n\nDo đó, khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng chiều cao lăng trụ: $d\\left((ABC),(A'B'C')\\right)=AA'.$\n\nMà $AA'=2a$ nên: $d\\left((ABC),(A'B'C')\\right)=2a.$\n\n✅ Đáp án: B. $2a.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-lien-truong-thpt-tinh-nghe-an-2026-lan-1-co-dap-an/1wE7-2b_bvdUrKEz9KJRQ4huNkBkihG5j_2026-02-03073827.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"khoảng cách","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song","difficulty":"thông hiểu"},{"id":7,"text":"Phương trình $\\sin x=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ có tổng nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$2\\pi$","correct":false},{"label":"B","text":"$\\dfrac{\\pi}{3}$","correct":false},{"label":"C","text":"$\\dfrac{4\\pi}{3}$","correct":false},{"label":"D","text":"$\\pi$","correct":true}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình lượng giác:\n$\\sin x=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}.$\n\nYêu cầu: tính tổng của\nnghiệm dương nhỏ nhất,\n\nvà nghiệm âm lớn nhất.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần tìm các nghiệm của phương trình $\\sin x=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$.\n\nSau đó chọn:\n$x_+$: nghiệm dương nhỏ nhất,\n\n$x_-$: nghiệm âm lớn nhất (gần 0 nhất nhưng vẫn âm),\n\nrồi tính $x_+ + x_-$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTa có góc liên quan: $\\sin\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right)=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\Rightarrow \\sin x=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\text{ ứng với } \\frac{\\pi}{3} \\text{ ở phía âm}.$\n\nTrong $[0,2\\pi)$, các nghiệm là:$x=\\frac{4\\pi}{3}\\quad \\text{hoặc}\\quad x=\\frac{5\\pi}{3}.$\n\nNghiệm dương nhỏ nhất là: $x_+=\\frac{4\\pi}{3}.$\n\nĐể tìm nghiệm âm lớn nhất, lấy nghiệm dương gần $0$ nhất rồi trừ $2\\pi$:\n$x_-=\\frac{5\\pi}{3}-2\\pi=\\frac{5\\pi}{3}-\\frac{6\\pi}{3}=-\\frac{\\pi}{3}.$\n\nTính tổng: $x_+ + x_-=\\frac{4\\pi}{3}+\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)=\\frac{3\\pi}{3}=\\pi.$\n\n✅ Đáp án: D. $\\pi.$","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"phương trình lượng giác cơ bản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình sinx=m","difficulty":"thông hiểu"},{"id":8,"text":"Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\\dfrac{5}{x-1}$ là đường thẳng có phương trình ?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$x=5$","correct":false,"reason":"Giá trị $x=5$ không làm mẫu số $x-1$ bằng $0$, nên không thể là tiệm cận đứng của đồ thị."},{"label":"B","text":"$y=0$","correct":false,"reason":"Đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị vì $\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\dfrac{5}{x-1}=0$, không phải tiệm cận đứng."},{"label":"C","text":"$y=1$","correct":false,"reason":"Phương trình $y=1$ không phải là tiệm cận của đồ thị vì giới hạn của hàm số khi $x\\to\\pm\\infty$ bằng $0$ chứ không phải $1$."},{"label":"D","text":"$x=1$","correct":true,"reason":"Khi $x=1$ thì mẫu số $x-1=0$ và $\\lim_{x\\to1^+}\\dfrac{5}{x-1}=+\\infty$, $\\lim_{x\\to1^-}\\dfrac{5}{x-1}=-\\infty$, nên đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\dfrac{5}{x-1}$.\n\nCâu hỏi: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình nào?\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xác định phương trình của tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.\n\nKiến thức cần dùng: với hàm phân thức, tiệm cận đứng xảy ra tại các giá trị $x$ làm mẫu số bằng 0 và hàm trở nên vô hạn (±∞).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét mẫu số của hàm: $x-1.$\n\nGiải phương trình $x-1=0 \\Rightarrow x=1.$\n\nKiểm tra giới hạn hai bên tại $x=1$:\n$\\lim_{x\\to1^+}\\dfrac{5}{x-1}=+\\infty$ \n\n$\\lim_{x\\to1^-}\\dfrac{5}{x-1}=-\\infty$ \n\nVì hai giới hạn một bên cho ±∞, đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.\n\n✅ Đáp án: D. $x=1$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận đứng","difficulty":"nhận biết"},{"id":9,"text":"Số giao điểm của đồ thị hai hàm số $y=x^2-3x-1$ và $y=x^3-1$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$1$","correct":true},{"label":"B","text":"$0$","correct":false},{"label":"C","text":"$3$","correct":false},{"label":"D","text":"$2$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai đồ thị: $y=x^2-3x-1 \\quad \\text{và} \\quad y=x^3-1.$\n\nSố giao điểm của hai đồ thị bằng số nghiệm thực của phương trình hoành độ giao điểm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần tìm số nghiệm thực của phương trình:\n$x^2-3x-1=x^3-1.$\n\nKiến thức dùng: lập phương trình giao điểm và xét số nghiệm của phương trình đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCho hai hàm số bằng nhau: $x^2-3x-1=x^3-1.$\n\nChuyển vế và rút gọn: $x^3-x^2+3x=0.$\n\nĐặt nhân tử chung $x$: $x(x^2-x+3)=0.$\n\nSuy ra: $x=0 \\quad \\text{hoặc} \\quad x^2-x+3=0.$\n\nXét phương trình bậc hai:\n$\\Delta = (-1)^2-4\\cdot 1\\cdot 3=1-12=-11<0,$\nnên $x^2-x+3=0$ không có nghiệm thực.\n\nVậy chỉ có 1 nghiệm thực là $x=0$ ⇒ hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.\n\n✅ Đáp án: A. $1.$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"thông hiểu"},{"id":10,"text":"Cho hình lập phương $ABCDA'B'C'D'$. Hãy chọn kết luận Sai","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$A'B\\parallel(CDD'C')$.","correct":false},{"label":"B","text":"$CC'\\parallel(ABB'A')$.","correct":false},{"label":"C","text":"$BD\\parallel A'C'$.","correct":true},{"label":"D","text":"$(ABCD)\\parallel(A'B'C'D')$.","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lập phương $ABCDA'B'C'D'.$\n\nCác mệnh đề:\nA. $A'B \\parallel (CDD'C').$\n\nB. $CC' \\parallel (ABB'A').$\n\nC. $BD \\parallel A'C'.$\n\nD. $(ABCD)\\parallel (A'B'C'D').$\n\nYêu cầu: chọn kết luận Sai.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần xác định mệnh đề nào không đúng về quan hệ song song giữa:\nđường thẳng và mặt phẳng: $d \\parallel (P)$\n\nđường thẳng và đường thẳng: $d_1 \\parallel d_2$\n\nmặt phẳng và mặt phẳng: $(P)\\parallel (Q)$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhận xét ngay: hai mặt đối của hình lập phương luôn song song nên:\n$(ABCD)\\parallel (A'B'C'D') \\Rightarrow \\text{D đúng.}$\n\nXét B: các cạnh bên $AA',BB',CC',DD'$ song song nhau. Mặt phẳng $(ABB'A')$ chứa $AA'$ và $BB'$ nên $CC'$ song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó, lại không cắt mặt phẳng, do đó: $CC' \\parallel (ABB'A') \\Rightarrow \\text{B đúng.}$\n\nXét A: đường thẳng $A'B$ nằm trong mặt phẳng $(ABB'A')$. Hai mặt bên đối nhau của lập phương song song: $(ABB'A')\\parallel (CDD'C').$\nVì vậy mọi đường thẳng nằm trong $(ABB'A')$ đều song song với $(CDD'C')$:\n$A'B \\parallel (CDD'C') \\Rightarrow \\text{A đúng.}$\n\nXét C (quan trọng): kiểm tra $BD \\parallel A'C'.$\nĐặt hệ tọa độ cho lập phương cạnh $1$:\n$A'(0,0,0);B'(1,0,0);C'(1,1,0);D'(0,1,0),$\n$A(0,0,1);B(1,0,1);C(1,1,1);D(0,1,1).$\nKhi đó: $ \\overrightarrow{BD}=D-B=(-1,1,0), $ $ \\overrightarrow{A'C'}=C'-A'=(1,1,0). $\nHai vectơ $(-1,1,0)$ và $(1,1,0)$ không cùng phương (không phải bội số của nhau) nên:\n$BD \\not\\parallel A'C'.$\nVậy C là mệnh đề sai.\n\n✅ Đáp án: C. $BD \\not\\parallel A'C'.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-lien-truong-thpt-tinh-nghe-an-2026-lan-1-co-dap-an/1Z1RIO5VYVF0Pc4_CFcn2wV9LX8SgFUnW_2026-02-03073828.png"],"chapter":"quan hệ song song trong không gian","topic":"hai mặt phẳng song song","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hai mặt phẳng song song","difficulty":"nhận biết"},{"id":11,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(-\\infty;+\\infty)$, có bảng biến thiên như hình sau: Mệnh đề nào sau đây đúng ?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\\infty;-1)$.","correct":false},{"label":"B","text":"Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\\infty;2)$.","correct":false},{"label":"C","text":"Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\\infty)$.","correct":true},{"label":"D","text":"Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\\infty)$.","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $(-\\infty;+\\infty).$\n\nBảng biến thiên cho dấu của đạo hàm:\nTrên $(-\\infty,-1): y'>0.$\n\nTại $x=-1: y'=0.$\n\nTrên $(-1,1): y'<0.$\n\nTại $x=1: y'=0.$\n\nTrên $(1,+\\infty): y'>0.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nChọn mệnh đề đúng về tính đồng biến/nghịch biến của hàm số.\n\nDựa vào quy tắc:\nNếu $y'>0$ trên một khoảng ⇒ hàm đồng biến trên khoảng đó.\n\nNếu $y'<0$ trên một khoảng ⇒ hàm nghịch biến trên khoảng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrên $(-\\infty,-1)$ có $y'>0$ nên hàm đồng biến (không phải nghịch biến) ⇒ A sai.\n\nTrên $(-\\infty,2)$ không thể nghịch biến vì:\n$(-\\infty,-1)$ thì đồng biến,\n\n$(-1,1)$ thì nghịch biến,\n\n$(1,2)$ thì đồng biến\n⇒ B sai.\n\nTrên $(1,+\\infty)$ có $y'>0$ nên hàm đồng biến ⇒ C đúng.\n\nTrên $(-1,+\\infty)$ có đoạn $(-1,1)$ là nghịch biến nên không thể đồng biến toàn khoảng ⇒ D sai.\n\n✅ Đáp án: C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\\infty).$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-lien-truong-thpt-tinh-nghe-an-2026-lan-1-co-dap-an/17o1WUSRcsd_PJniNvFZanlUfy4EC1PKU_2026-02-03073827.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":12,"text":"Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b10","options":[{"label":"A","text":"$y=-x^3+3x^2-4$.","correct":false,"reason":"Hàm số có đạo hàm $y'=-3x^2+6x$ cho các điểm cực trị tại $x=0$ và $x=2$ đúng vị trí, nhưng giá trị tại điểm cực tiểu là $y(0)=-4\\neq 1$ không khớp với đồ thị."},{"label":"B","text":"$y=-x^3+3x^2+1$.","correct":true,"reason":"Hàm số có đạo hàm $y'=-3x^2+6x=-3x(x-2)$ cho các điểm cực trị tại $x=0$ và $x=2$, đồng thời $y(0)=1$ và $y(2)=5$ khớp với tung độ cực tiểu và cực đại trên đồ thị, hệ số $-1<0$ phù hợp nhánh phải đi xuống."},{"label":"C","text":"$y=x^3-3x^2+1$.","correct":false,"reason":"Hệ số bậc ba dương ($1>0$) nên khi $x\\to+\\infty$ thì $y\\to+\\infty$ (nhánh phải đi lên), trái ngược với đồ thị cho thấy nhánh phải đi xuống; đồng thời $x=0$ là điểm cực đại thay vì cực tiểu."},{"label":"D","text":"$y=-x^3+2x^2-1$.","correct":false,"reason":"Đạo hàm $y'=-3x^2+4x$ cho các điểm cực trị tại $x=0$ và $x=\\frac{4}{3}$, không phải $x=2$ như trên đồ thị; hơn nữa $y(0)=-1\\neq 1$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị là một hàm bậc ba.\n\nNhìn hình thấy có:\nMột điểm cực tiểu tại $x=0$ với tung độ $y=1.$\n\nMột điểm cực đại tại $x=2$ với tung độ $y=5$ (đường gạch chỉ rõ $x=2$ và $y=5$).\n\nNhánh phải đi xuống khi $x\\to +\\infty$ nên hệ số bậc ba âm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nChọn hàm số trong 4 đáp án sao cho đồ thị có đúng các cực trị:\nCực tiểu tại $x=0$,\n\nCực đại tại $x=2$,\n\nVà đi qua các giá trị $f(0)=1; f(2)=5.$\n\nKiến thức dùng: đạo hàm để tìm điểm cực trị và thay giá trị để kiểm tra.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì đồ thị có cực trị tại $x=0$ và $x=2$ nên đạo hàm phải có nghiệm:\n$f'(x)=k\\cdot x(x-2)\\quad (k\\ne 0).$\n\nXét các đáp án có dạng bậc ba hệ số đầu âm (phù hợp nhánh phải đi xuống): A, B, D.\n\nThử đáp án B: $y=-x^3+3x^2+1.$\nTính đạo hàm: $y'=-3x^2+6x=-3x(x-2).$\n⇒ nghiệm đúng là $x=0$ và $x=2$ (khớp hình).\n\nTính giá trị tại các điểm cực trị:\n$y(0)=1\\quad (\\text{khớp cực tiểu } y=1),$\n$y(2)=-8+12+1=5\\quad (\\text{khớp cực đại } y=5).$\n\nVậy đồ thị đúng là của hàm ở đáp án B.\n\n✅ Đáp án: B. $y=-x^3+3x^2+1.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-lien-truong-thpt-tinh-nghe-an-2026-lan-1-co-dap-an/1sk4ndJY3K5LSDgTmsioRekf0JJ1Dauyt_2026-02-03073828.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba","difficulty":"thông hiểu"},{"id":13,"text":"Mức cường độ âm $L(dB)$ được tính bởi công thức $L=10\\log\\dfrac{I}{10^{-12}}$, trong đó $I(W/m^2)$ là cường độ âm. Để đảm bảo sức khỏe cho công nhân, mức cường độ âm trong một nhà máy phải giữ sao cho không vượt quá $85\\ dB$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b11","statements":[{"label":"A","text":"$L=10\\log I+120$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCông thức: $L=10\\log\\dfrac{I}{10^{-12}}$ với $I(W/m^2)$ là cường độ âm và $L(dB)$ là mức cường độ âm.\n\nẢnh minh họa: một nhà máy với nhiều công nhân và máy móc (một cảnh xưởng công nghiệp), gợi ý rằng tiếng ồn có thể phát sinh từ máy móc.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu A khẳng định một dạng biến đổi của công thức ban đầu: kiểm tra xem $L=10\\log I+120$ có đúng hay không.\n\nCần áp dụng kiến thức về logarit để biến đổi biểu thức.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBắt đầu từ công thức cho sẵn: $L=10\\log\\dfrac{I}{10^{-12}}.$ \n\nDùng tính chất logarit: $\\log\\dfrac{I}{10^{-12}}=\\log I-\\log 10^{-12}.$\n\nThay vào ta được: $L=10\\big(\\log I-\\log 10^{-12}\\big)=10\\log I-10\\log 10^{-12}.$\n\nVì $\\log 10^{-12}=-12$ nên: $L=10\\log I-10(-12)=10\\log I+120.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Nếu cường độ âm $I=1000(W/m^2)$ thì mức cường độ âm không vượt quá $125\\ dB$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCông thức: $L=10\\log I+120$ (từ biến đổi ở câu A).\n\nGiá trị: $I=1000\\ (W/m^2).$\n\nẢnh minh họa: nhà máy với máy móc ồn giúp liên hệ rằng cường độ lớn cho mức dB lớn.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu B khẳng định: nếu $I=1000\\ (W/m^2)$ thì mức cường độ âm \"không vượt quá 125 dB\". Cần tính mức $L$ cho $I=1000$ và so sánh với 125 dB.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng công thức:$L=10\\log I+120.$\n\nTính $\\log 1000=3$ nên $L=10\\times3+120=30+120=150\\ (dB).$\n\nSo sánh: $150\\ dB>125\\ dB.$\n\nNhận xét: 150 dB vượt xa 125 dB; câu khẳng định rằng nó \"không vượt quá 125 dB\" là sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Để mức cường độ âm không vượt quá $130\\ dB$ thì cần cường độ âm $I\\le10(W/m^2)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCông thức: $L=10\\log I+120.$\n\nĐiều kiện đề bài muốn đạt: mức cường độ âm không vượt quá $130\\ dB.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu C khẳng định: để $L\\le130\\ dB$ thì cần $I\\le10\\ (W/m^2).$ Cần giải bất đẳng thức theo $I$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBắt đầu từ bất đẳng thức:$10\\log I+120\\le130.$\n\nTrừ 120 hai vế:$10\\log I\\le10.$ \n\nChia cho 10:$\\log I\\le1.$ \n\nSuy ra:$I\\le10^{1}=10\\ (W/m^2).$\n\nKiểm tra: nếu $I=10$ thì $L=10\\log10+120=10\\times1+120=130\\ dB$ thỏa; \n\nnếu $I<10$ thì $L<130\\ dB$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Cường độ âm của nhà máy đó không vượt quá $10^{-3{,}5}(W/m^2)$ thì đảm bảo sức khỏe cho công nhân.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMức giới hạn an toàn cho công nhân: $85\\ dB.$\n\nCâu D khẳng định: nếu cường độ âm $I\\le10^{-3{,}5}\\ (W/m^2)$ thì đảm bảo sức khỏe cho công nhân.\n\nẢnh minh họa nhà máy (nhiều máy móc và công nhân), liên quan trực tiếp đến giới hạn 85 dB.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần kiểm tra: với $I=10^{-3{,}5}$ thì mức $L$ có bằng hoặc nhỏ hơn $85\\ dB$ hay không? Sử dụng công thức để suy ra điều kiện tương đương giữa $I$ và $L\\le85\\ dB$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBắt đầu từ điều kiện an toàn:$10\\log I+120\\le85.$ \n\nTrừ 120 hai vế:$10\\log I\\le-35.$ \n\nChia cho 10:$\\log I\\le-3.5.$ \n\nSuy ra:$I\\le10^{-3.5}.$ \n\nThử với $I=10^{-3.5}$: $L=10\\times(-3.5)+120=-35+120=85\\ dB$, đúng bằng giới hạn; \n\nNếu $I$ nhỏ hơn thì $L<85\\ dB$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-lien-truong-thpt-tinh-nghe-an-2026-lan-1-co-dap-an/1RnGwgxSzpKKbdq1cF6v5bcCHzQfQ1cOo_2026-02-03073828.png"],"chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bất phương trình lôgarit","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Cho hàm số $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có bảng biến thiên như sau.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b11","statements":[{"label":"A","text":"Hàm số có hệ số $a<0$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có bảng biến thiên.\n\nKhi $x\\to -\\infty$ thì $y\\to +\\infty$.\n\nKhi $x\\to +\\infty$ thì $y\\to -\\infty$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Hàm số có hệ số $a<0$”.\n\nDựa vào chiều đi của đồ thị ở hai đầu vô cực để suy ra dấu của $a$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVới hàm bậc ba $ax^3+...$, dấu của $a$ quyết định giới hạn ở hai phía:\nNếu $a>0$ thì $x\\to -\\infty \\Rightarrow y\\to -\\infty$ và $x\\to +\\infty \\Rightarrow y\\to +\\infty$.\n\nNếu $a<0$ thì $x\\to -\\infty \\Rightarrow y\\to +\\infty$ và $x\\to +\\infty \\Rightarrow y\\to -\\infty$.\n\nBảng biến thiên cho đúng kiểu thứ 2 nên $a<0$.\n\n✅ Đáp án: Đúng."},{"label":"B","text":"Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(1;2);\\ (3;4)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTại $x=1$, bảng cho $y=2$.\n\nTại $x=3$, bảng cho $y=4$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Đồ thị đi qua hai điểm $(1;2)$ và $(3;4)$”.\n\nChỉ cần đọc trực tiếp giá trị $f(1), f(3)$ từ bảng biến thiên.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ bảng biến thiên suy ra: $f(1)=2,\\quad f(3)=4$.\n\nVậy đồ thị đi qua hai điểm $(1;2)$ và$ (3;4) $\n\n✅ Đáp án: Đúng."},{"label":"C","text":"$f'(x)=0$ tại các giá trị $x=2;\\ x=4$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàng $y'$ trong bảng cho thấy:\n$y'=0$ tại $x=1$ và $x=3$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “$f'(x)=0$ tại $x=2$; $x=4$”.\n\nCần xác định đúng các nghiệm của $f'(x)=0$ từ bảng biến thiên.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐọc trực tiếp từ bảng: $f'(1)=0,\\quad f'(3)=0$.\n\nKhông có thông tin nào cho thấy $f'(2)=0$ hay $f'(4)=0$.\n\n✅ Đáp án: Sai."},{"label":"D","text":"Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[2;4]$ bằng $\\dfrac{7}{2}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có cực tiểu tại $(1,2)$ và cực đại tại $(3,4)$ (theo bảng biến thiên), tức $f(1)=2,\\ f(3)=4$ và $f'(1)=f'(3)=0$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: \"Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[2,4]$ bằng $\\dfrac{7}{2}$.\" — cần tìm giá trị nhỏ nhất của $f$ trên đoạn $[2,4]$ bằng cách xác định các giá trị của $f$ tại các điểm quan trọng (điểm trong đoạn và biên).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $f'(1)=f'(3)=0$ nên ta có thể viết $f'(x)=k(x-1)(x-3)$ cho một hằng số $k$. (Dựa trên thông tin đạo hàm đổi dấu ở 1 và 3 — xem bảng biến thiên trong ảnh.)\n\nTích phân: $f'(x)=k(x^2-4x+3)\\Rightarrow f(x)=k\\left(\\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\\right)+C.$ \n\nDùng điều kiện $f(3)=4$: thay $x=3$ thu được $f(3)=C=4\\Rightarrow C=4.$\n\nDùng điều kiện $f(1)=2$: thay $x=1$ vào biểu thức rồi giải cho $k$:\n$f(1)=k\\left(\\frac{1}{3}-2+3\\right)+4= k\\cdot\\frac{4}{3}+4=2.$ \nSuy ra $k\\cdot\\frac{4}{3}=2-4=-2\\Rightarrow k=-\\dfrac{3}{2}.$\n\nDo đó hàm số là\n$f(x)=-\\frac{1}{2}x^3+3x^2-\\frac{9}{2}x+4.$\n\nTính giá trị tại các điểm cần so sánh trên đoạn $[2,4]$:\n$f(2)=-\\tfrac{1}{2}(8)+3(4)-\\tfrac{9}{2}(2)+4=-4+12-9+4=3.$\n\n$f(3)=4$ (đã biết).\n\n$f(4)=-\\tfrac{1}{2}(64)+3(16)-\\tfrac{9}{2}(4)+4=-32+48-18+4=2.$\n\nDo đó trên đoạn $[2,4]$ các giá trị là $f(2)=3,\\ f(3)=4,\\ f(4)=2$. Giá trị nhỏ nhất bằng $2$ (xuất hiện tại $x=4$), không phải $\\dfrac{7}{2}$.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-lien-truong-thpt-tinh-nghe-an-2026-lan-1-co-dap-an/1i_SyUUhCDLII6P7TvwTsEuHGtadwMvdS_2026-02-03073826.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"thông hiểu"},{"id":15,"text":"Từ một tấm bìa mỏng hình lục giác đều $ABCDEF$ cạnh $4\\ cm$, bên trong có $1$ lục giác đều nhỏ hơn. Các đường chéo $AD,\\ BE,\\ CF$ cắt nhau tại $O$, $OA$ cắt cạnh lục giác đều nhỏ tại $M$ (hình vẽ). Đặt $OM=x$ ($cm$). Bạn Khôi cắt bỏ $6$ tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình lục giác đều ban đầu và đỉnh là đỉnh của lục giác đều nhỏ phía trong rồi gấp lên sao cho các đỉnh $A,B,C,D,E,F$ trùng nhau tạo thành một khối chóp lục giác đều.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b11","statements":[{"label":"A","text":"Tam giác $OAB$ đều cạnh bằng $4\\ cm$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$ABCDEF$ là lục giác đều cạnh $4,\\text{cm}$.\n\nCác đường chéo $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $O$ (tâm của lục giác đều).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Tam giác $OAB$ đều cạnh $4$”.\n\nDùng tính chất lục giác đều: bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng cạnh, và góc ở tâm giữa hai đỉnh kề nhau là $60^\\circ$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrong lục giác đều cạnh $4$ ta có: $OA=OB=4$.\n\nHai đỉnh kề nhau tạo góc ở tâm: $\\angle AOB=60^\\circ$.\n\nKhi $OA=OB$ và $\\angle AOB=60^\\circ$ thì tam giác $OAB$ là tam giác đều, \n\nSuy ra: $OA=OB=AB=4$.\n\n✅ Đáp án: Đúng."},{"label":"B","text":"Cạnh đáy của khối chóp lục giác đều bằng $\\dfrac{x\\sqrt{3}}{6}\\ cm$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$OM=x$, với $M$ là giao điểm của tia $OA$ với một cạnh của lục giác đều nhỏ.\n\nLục giác đều nhỏ có tâm là $O$ (nằm “phía trong”, đối xứng qua tâm như hình).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Cạnh đáy khối chóp lục giác đều bằng $\\dfrac{x\\sqrt3}{6}$”.\n\nSau khi gấp, đáy chính là lục giác đều nhỏ ⇒ “cạnh đáy” chính là cạnh của lục giác nhỏ.\n\nCần liên hệ $OM$ với cạnh của lục giác đều.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì tia $OA$ cắt cạnh của lục giác đều nhỏ tại $M$ nên $OM$ chính là đường apothem (khoảng cách từ tâm đến cạnh) của lục giác nhỏ.\n\nVới lục giác đều cạnh $s$, ta có $OM=\\frac{\\sqrt3}{2},s$\n\nSuy ra: $s=\\frac{2}{\\sqrt3}OM=\\frac{2x}{\\sqrt3}$\n\nSo sánh với $\\dfrac{x\\sqrt3}{6}$ thấy không bằng nhau.\n\n✅ Đáp án: Sai. (Cạnh đáy đúng là $\\dfrac{2x}{\\sqrt3}$)"},{"label":"C","text":"Đường cao của khối chóp lục giác đều là $\\sqrt{16-8x}\\ cm$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCạnh đáy (cạnh lục giác nhỏ) là: $s=\\frac{2x}{\\sqrt3}$\n\nBán kính ngoại tiếp của lục giác nhỏ: $R=s=\\frac{2x}{\\sqrt3}$\n\nCạnh bên của khối chóp (từ đỉnh chóp đến mỗi đỉnh đáy) chính là độ dài cạnh bên của các tam giác khi gấp.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Đường cao khối chóp là $\\sqrt{16-8x}$”.\n\nCần dùng hệ thức trong tam giác vuông tạo bởi: đường cao $h$, bán kính đáy $R$, cạnh bên $l$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét tam giác ứng với cạnh đáy ngoài $AB=4$ và đỉnh là một đỉnh của lục giác nhỏ (gọi là $P$). Khi gấp, $A,B$ trùng nhau thành đỉnh chóp nên: $l=PA=PB$.\n\nTính $PA$ bằng định lý cos trong tam giác $OPA$:\n$OA=4$, $OP=R=\\dfrac{2x}{\\sqrt3}$, góc giữa hai tia (theo hình lục giác đều) là $30^\\circ$ nên $\\cos30^\\circ=\\dfrac{\\sqrt3}{2}$.\n\n$PA^2=OA^2+OP^2-2\\cdot OA\\cdot OP\\cdot \\cos30^\\circ$\n$PA^2=16+\\left(\\frac{2x}{\\sqrt3}\\right)^2-2\\cdot 4\\cdot \\frac{2x}{\\sqrt3}\\cdot \\frac{\\sqrt3}{2}=16+\\frac{4x^2}{3}-8x$\n\nVới khối chóp đều, ta có: $l^2=h^2+R^2$ nên\n$h^2=PA^2-R^2=\\left(16+\\frac{4x^2}{3}-8x\\right)-\\frac{4x^2}{3}=16-8x$\n$h=\\sqrt{16-8x}$\n\n✅ Đáp án: Đúng."},{"label":"D","text":"Thể tích lớn nhất mà khối chóp lục giác đều có thể đạt được là $\\dfrac{256\\sqrt{10}}{375}\\ (cm^3)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCạnh đáy lục giác nhỏ: $s=\\frac{2x}{\\sqrt3}$\n\nDiện tích đáy lục giác đều cạnh $s$: $S_{\\text{đáy}}=\\frac{3\\sqrt3}{2}s^2$\n\nĐường cao: $h=\\sqrt{16-8x}$\n\nThể tích khối chóp: $V=\\frac13 S_{\\text{đáy}},h$\n\nĐiều kiện: $x>0,\\ \\ 16-8x\\ge 0\\Rightarrow 00,\\ b>0$.\n\nĐịnh nghĩa $g(k)=\\max_{[k,k+2]} f(x)-\\min_{[k,k+2]} f(x)$ cho mọi số thực $k$.\n\nĐiều kiện: $\\begin{cases} g(3)=a \\\\ g(2)+g(6)=32 \\end{cases}$.\n\nHình vẽ cho biết điểm A nằm trên đồ thị và có hoành độ $x_A=7$ (quan sát từ đường nét đứng hạ xuống trục hoành ghi số 7).\n\nTổ của chú là tại gốc tọa độ O(0,0). Yêu cầu: khoảng cách từ A đến O, kết quả làm tròn đến hàng phần chục.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm tham số $a$ và $b$ của hàm số dựa trên các giá trị của hàm $g(k)$.\n\nDùng giá trị $x_A=7$ từ hình để tính $y_A=f(7)$, rồi tính khoảng cách OA bằng công thức khoảng cách trong tọa độ.\n\nCác kiến thức cần: đồ thị Parabol dạng chuẩn, vị trí đỉnh, tính giá trị cực tiểu/cực đại trên đoạn, công thức khoảng cách $\\sqrt{x^2+y^2}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét hàm $f(x)=a(x-b)^2$ với $a>0$ nên parabol quay lên và giá trị nhỏ nhất là $f(b)=0$ tại đỉnh $x=b$.\n\nVì $g(3)=a$, xét đoạn $[3,5]$:\nNếu $b\\in[3,5]$ thì $\\min_{[3,5]}f(x)=0$ và $g(3)=\\max(f(3),f(5))-0=a\\max((3-b)^2,(5-b)^2)$.\n\nTa có $a\\max((3-b)^2,(5-b)^2)=a\\implies \\max((3-b)^2,(5-b)^2)=1$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $b=4$ (vì tại $b=4$ hai khoảng cách đến 3 và 5 đều là 1).\n\nVậy suy ra $\\boxed{b=4}$.\n\nTính $g(2)$ và $g(6)$ với $b=4$:\nĐoạn $[2,4]$ chứa đỉnh tại 4 (điểm cực tiểu), nên $\\min f=0$, $\\max f=f(2)=a(2-4)^2=4a$ ⇒ $g(2)=4a$.\n\nĐoạn $[6,8]$ không chứa đỉnh và gia tăng khi ra xa đỉnh: $f(6)=a(6-4)^2=4a,\\ f(8)=a(8-4)^2=16a$ ⇒ $g(6)=16a-4a=12a$.\n\nDùng điều kiện $g(2)+g(6)=32$ ta có $4a+12a=16a=32\\implies a=2$.\n\nVậy hàm số là $\\displaystyle f(x)=2(x-4)^2$.\n\nTừ hình, hoành độ của điểm A là $x_A=7$, nên tung độ $y_A=f(7)=2(7-4)^2=2\\cdot 9=18$. Do đó $A(7,18)$.\n\nKhoảng cách từ O(0,0) đến A là\n\nYêu cầu làm tròn đến hàng phần chục (làm tròn tới chục gần nhất): $19{.}31\\to 20.$\n\n✅ Đáp án: 20","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-lien-truong-thpt-tinh-nghe-an-2026-lan-1-co-dap-an/1w0ktgC-aPd-s2l0beERgWU4AhtHKyjVM_2026-02-03073828.png"],"chapter":"hàm số, đồ thị và ứng dụng","topic":"bài tập cuối chương vi","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 6","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau: Một đơn vị sản phẩm I lãi ba nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại II lãi năm nghìn đồng. Trong điều kiện sản xuất đó hãy tính số tiền lãi có thể đạt cao nhất? (tiền lãi có đơn vị nghìn đồng)","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a5f9adb58351916b8b12","correctAnswer":"17","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 3 nhóm máy:\nNhóm $A$ có $10$ máy.\n\nNhóm $B$ có $4$ máy.\n\nNhóm $C$ có $12$ máy.\n\nĐể sản xuất 1 đơn vị:\nLoại I dùng: $A:2,\\ B:0,\\ C:2$.\n\nLoại II dùng: $A:2,\\ B:2,\\ C:4$.\n\nLãi:\n1 đơn vị loại I lãi $3$ (nghìn đồng).\n\n1 đơn vị loại II lãi $5$ (nghìn đồng).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nGọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.\n\nLập các bất đẳng thức theo số máy giới hạn và tối đa hóa tiền lãi:\n$P=3x+5y$ (đơn vị: nghìn đồng).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLập điều kiện theo từng nhóm máy:\nNhóm $A$: mỗi loại I dùng 2 máy, mỗi loại II dùng 2 máy $2x+2y\\le 10 \\Rightarrow x+y\\le 5.$\n\nNhóm $B$: loại I không dùng máy B, loại II dùng 2 máy $2y\\le 4 \\Rightarrow y\\le 2.$\n\nNhóm $C$: loại I dùng 2 máy, loại II dùng 4 máy $2x+4y\\le 12 \\Rightarrow x+2y\\le 6.$\n\nVà $x\\ge 0,\\ y\\ge 0.$\n\nTa xét các “đỉnh” miền nghiệm (các giao điểm biên):\nGiao của $x+y=5$ và $x+2y=6$:\n$\\begin{cases}x+y=5\\\\x+2y=6\\end{cases}\\Rightarrow y=1,\\ x=4.$\nKhi đó $P=3\\cdot 4+5\\cdot 1=17.$\n\nVới $y=2$ thì $x+2y\\le 6 \\Rightarrow x\\le 2$, chọn $x=2$:\n$P=3\\cdot 2+5\\cdot 2=16.$\n\nVới $y=0$ thì $x\\le 5$, chọn $x=5$:\n$P=3\\cdot 5=15.$\n\nSo sánh các giá trị $P$: lớn nhất là $17$.\n\n✅ Đáp án:\nLãi lớn nhất là $\\boxed{17}$ (nghìn đồng), đạt được khi sản xuất $\\boxed{x=4}$ sản phẩm loại I và $\\boxed{y=1}$ sản phẩm loại II.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-lien-truong-thpt-tinh-nghe-an-2026-lan-1-co-dap-an/1F89ABTI6wEip2eiUSYZJ184oNenEwKML_2026-02-03073826.png"],"chapter":"bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","topic":"hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","grade":"GRADE_10","questionCategory":"ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","difficulty":"vận dụng"}]}