{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Đào Duy Từ Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2026","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"698211c7ba44c4f8df1e560e","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"698211c7ba44c4f8df1e560f","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"698211c7ba44c4f8df1e5610","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"$y=\\dfrac{x^2+4x+1}{x+2}$","reason":"Hàm số phân tích thành $y = x+2 - \\frac{3}{x+2}$ nên $y' = \\frac{x^2+4x+7}{(x+2)^2} > 0$ với mọi $x \\neq -2$, tức là hàm đồng biến trên từng khoảng và không có cực trị, khác với đồ thị đã cho có điểm cực tiểu $(-1;2)$ và cực đại $(-3;-2)$."},{"label":"B","text":"$y=\\dfrac{x^2+4x+5}{-x-2}$","reason":"Hàm số viết lại thành $y = -\\left(x+2+\\frac{1}{x+2}\\right)$ nên có tiệm cận xiên $y=-x-2$ (không phải $y=x+2$ như trong hình), đồng thời là ảnh của đồ thị hàm số ở phương án C qua phép đối xứng trục hoành."},{"label":"C","text":"$y=\\dfrac{x^2+4x+5}{x+2}$","reason":"Thực hiện phép chia đa thức được $y = x+2+\\frac{1}{x+2}$, có tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận xiên $y=x+2$, cực tiểu tại $(-1;2)$ và cực đại tại $(-3;-2)$, phù hợp hoàn toàn với các đặc điểm trên đồ thị."},{"label":"D","text":"$y=\\dfrac{x^2+4x+5}{x-2}$","reason":"Mẫu số $x-2=0$ khi $x=2$ nên hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, trong khi đồ thị trong hình có tiệm cận đứng tại $x=-2$."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-dao-duy-tu-tinh-thanh-hoa-2026-co-dap-an/1lBElNKpCqoePCQ_I4nb5poQHC7KE7JUy_2026-02-03151824.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận xiên","difficulty":"nhận biết","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKhông đủ dữ kiện từ đề để giải chi tiết. Đề bài đề cập đến đồ thị nhưng không cung cấp hình ảnh hoặc mô tả cụ thể nào về đồ thị.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xác định hàm số có đồ thị phù hợp với hình vẽ được cho, trong số 4 phương án A, B, C, D. Tuy nhiên, dữ kiện về đồ thị bị thiếu.\n\n🔎 Hướng dẫn cáćh làm:\nKhông thể thực hiện do thiếu dữ kiện đồ thị.\n\n✅ Đáp án: Không xác định được\n❌ Các đáp án khác:\nKhông đủ dữ kiện để phân tích từng phương án."},{"id":2,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[-1;3]$. Tính giá trị $M-m$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"4","correct":false,"reason":"Sai vì $M=3$ (tại $x=3$) và $m=-2$ (tại $x=2$) nên $M-m=5$. Có thể học sinh nhầm lấy giá trị cực đại địa phương $y=2$ (tại $x=0$) thay vì $M=3$ nên tính ra $2-(-2)=4$."},{"label":"B","text":"0","correct":false,"reason":"Sai vì hàm số biến thiên từ $-2$ đến $3$ trên đoạn $[-1;3]$ nên $M \neq m$, do đó $M-m \neq 0$."},{"label":"C","text":"1","correct":false,"reason":"Sai vì $M-m=3-(-2)=5$ chứ không phải $1$. Có thể học sinh nhầm lấy hiệu giữa $M=3$ và giá trị cực đại địa phương $y=2$."},{"label":"D","text":"5","correct":true,"reason":"Đúng vì giá trị lớn nhất trên đoạn là $M=3$ (tại $x=3$) và giá trị nhỏ nhất là $m=-2$ (tại $x=2$), suy ra $M-m=3-(-2)=5$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ (theo đồ thị cho).\n\nĐồ thị đi qua các điểm quan trọng: $(-1,1),\\ (0,2),\\ (2,-2),\\ (3,3)$ (theo mô tả hình).\n\nGọi $M$ là giá trị lớn nhất và $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm trên đoạn $[-1;3]$.\n\nCần tính giá trị $M-m$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tìm hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên đoạn đã cho, tức là tính $M-m$.\n\nKiến thức cần áp dụng: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm liên tục trên đoạn xuất hiện ở các điểm tới hạn hoặc ở các mút của đoạn; ở đây ta dùng trực quan từ đồ thị để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuan sát đồ thị (theo mô tả hình): giá trị y tại các điểm đáng chú ý là\ntại $x=-1$, $y=1$;\n\ntại $x=0$, $y=2$ (cực đại cục bộ trên đoạn);\n\ntại $x=2$, $y=-2$ (cực tiểu cục bộ trên đoạn);\n\ntại $x=3$, $y=3$ (điểm cuối bên phải).\n\nSo sánh các giá trị y thu được trên đoạn $[-1,3]$: {1, 2, -2, 3}. Rõ ràng:\nGiá trị lớn nhất: $M=3$ (tại $x=3$).\n\nGiá trị nhỏ nhất: $m=-2$ (tại $x=2$).\n\nTính hiệu:\n$M-m=3-(-2)=5.$\n\n✅ Đáp án: $D. 5$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-dao-duy-tu-tinh-thanh-hoa-2026-co-dap-an/1Wbn5iSkHPqOiqnS-0GHlccENR2-WE9Vr_2026-02-03151825.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn","difficulty":"thông hiểu"},{"id":3,"text":"Cho đồ thị hàm số $y=\\dfrac{2x^2+x-5}{x+3}$ có đường tiệm cận xiên là đường thẳng $\\Delta:y=ax+b$ với $a,b\\in\\mathbb{R},a\\ne0$. Giá trị của tổng $a+b$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"3","correct":true,"reason":"Sai. Giá trị $3$ không phải là kết quả của $a+b$; đây có thể là giá trị tuyệt đối $|-3|$ nhưng tính toán cho $a=2, b=-5$ nên $a+b=-3$."},{"label":"B","text":"−5","correct":false,"reason":"Sai. Giá trị $-5$ chính là hệ số tự do $b$ của đường tiệm cận $y=2x-5$, không phải là tổng $a+b$."},{"label":"C","text":"7","correct":false,"reason":"Sai. Giá trị $7$ là kết quả của phép tính $a-b=2-(-5)=7$, chứ không phải tổng $a+b$."},{"label":"D","text":"−3","correct":false,"reason":"Đúng. Chia đa thức $2x^2+x-5$ cho $x+3$ được thương $2x-5$ và dư $10$, nên đường tiệm cận xiên là $y=2x-5$. Do đó $a=2, b=-5$ và $a+b=-3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x^2+x-5}{x+3}$.\n\nĐường tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng $\\Delta:y=ax+b$ với $a,b\\in\\mathbb{R},\\ a\\ne0$.\n\nHỏi giá trị của tổng $a+b$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm đường tiệm cận xiên (đường thẳng bậc nhất) của hàm phân thức khi $x\\to\\pm\\infty$ và tính tổng hệ số góc và hệ số tự do: $a+b$.\n\nKiến thức cần dùng: phép chia đa thức (chia nghiệm của tử cho mẫu) hoặc quy tắc xác định tiệm cận xiên bằng cách viết dạng tổng của một đa thức và phần dư: nếu $deg(\\text{tử})>deg(\\text{mẫu})$, thực hiện phép chia để tìm đa thức thương (là tiệm cận).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThực hiện chia đa thức: chia $2x^2+x-5$ cho $x+3$.\n\nBước 1: Lấy $2x^2:(x)=2x$ nên một phần của thương là $2x$. Nhân: $(x+3)\\cdot 2x=2x^2+6x$.\n\nBước 2: Lấy hiệu: $(2x^2+x-5)-(2x^2+6x)=-5x-5$.\n\nBước 3: Chia tiếp: $(-5x):(x)=-5$ nên phần còn lại của thương là $-5$. Nhân: $(x+3)\\cdot(-5)=-5x-15$.\n\nBước 4: Lấy hiệu: $(-5x-5)-(-5x-15)=10$ là phần dư. Vậy\n$\\dfrac{2x^2+x-5}{x+3}=2x-5+\\dfrac{10}{x+3}.$\n\nKhi $x\\to\\pm\\infty$, phần $\\dfrac{10}{x+3}\\to0$, do đó đường tiệm cận xiên là đường thẳng\n$y=2x-5.$\n\nVì vậy $a=2,\\ b=-5$ nên $a+b=2+(-5)=-3.$\n\n✅ Đáp án: $D. -3$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận xiên","difficulty":"nhận biết"},{"id":4,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi và $SB\\perp(ABCD)$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"$(SAD)$","correct":false,"reason":"Mặt phẳng $(SAD)$ chứa đường thẳng $AD \\parallel BC$ không vuông góc với $BD$ nên không chứa đường thẳng nào vuông góc với $(SBD)$."},{"label":"B","text":"$(SCD)$","correct":false,"reason":"Mặt phẳng $(SCD)$ chứa $CD \\parallel AB$ không vuông góc với $(SBD)$ vì $AB$ không vuông góc với $BD$ trong hình thoi thường."},{"label":"C","text":"$(SAC)$","correct":true,"reason":"Do $AC \\perp BD$ (tính chất đường chéo hình thoi) và $AC \\perp SB$ (do $SB \\perp (ABCD)$) nên $AC \\perp (SBD)$. Vì $AC \\subset (SAC)$ nên $(SAC) \\perp (SBD)$."},{"label":"D","text":"$(SBC)$","correct":false,"reason":"Mặt phẳng $(SBC)$ chứa $BC$ không vuông góc với $BD$ (trừ khi hình thoi là hình vuông) nên không vuông góc với $(SBD)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi.\n\n$SB\\perp(ABCD)$ (đỉnh $S$ thẳng góc với mặt đáy).\n\nCần chọn mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$ trong các phương án: $(SAD),\\ (SCD),\\ (SAC),\\ (SBC).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$.\n\nCần áp dụng các kiến thức:\nTính chất đường chéo trong hình thoi: $AC\\perp BD.$\n\nNếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\\alpha$ mà đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng $\\beta$ đi qua giao điểm, thì $\\alpha\\perp\\beta$.\n\nNếu một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc:\n$AC\\perp BD.$\n\nDo $SB\\perp(ABCD)$ nên $SB$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, vì vậy:\n$SB\\perp AC\\quad\\text{và}\\quad SB\\perp BD.$\n\nXét mặt phẳng $(SBD)$: nó chứa hai đường thẳng giao nhau $SB$ và $BD$.\n\nXét đường thẳng $AC$ (nằm trong mặt phẳng $(SAC)$). Ta có:\n$AC\\perp BD$ và $AC\\perp SB$ (từ các bước trên).\n\nMột đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng không song song trong một mặt phẳng thì vuông góc với toàn bộ mặt phẳng đó. Vậy:\n$AC\\perp (SBD).$\n\nVì $AC\\subset (SAC)$ và $AC\\perp (SBD)$, theo định nghĩa, mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$:\n(Áp dụng quy tắc: nếu một đường thẳng thuộc mặt phẳng $\\alpha$ vuông góc với mặt phẳng $\\beta$ thì $\\alpha\\perp\\beta$.)\n\nCó thể viết tổng quát: $\\ell\\subset\\alpha,\\ \\ell\\perp\\beta\\ \\Rightarrow\\ \\alpha\\perp\\beta.$\n\n✅ Đáp án: $C. (SAC)$","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"hai mặt phẳng vuông góc","grade":"GRADE_11","questionCategory":"điều kiện hai mặt phẳng vuông góc","difficulty":"thông hiểu"},{"id":5,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, có đạo hàm trên $\\mathbb{R}$ và $f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $\\left(-\\dfrac52;-2\\right)$","correct":false,"reason":"Trên khoảng $\\left(-\\dfrac{5}{2};-2\\right)$ thuộc $(-3;-2)$, đồ thị $f'(x)$ nằm trên trục hoành nên $f'(x)>0$. Do đó hàm số đồng biến, không phải nghịch biến."},{"label":"B","text":"Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $\\left(-\\dfrac12;0\\right)$","correct":false,"reason":"Trên khoảng $\\left(-\\dfrac{1}{2};0\\right)$ thuộc $(-2;0)$, đồ thị $f'(x)$ nằm dưới trục hoành nên $f'(x)<0$. Vậy hàm số nghịch biến, không phải đồng biến."},{"label":"C","text":"Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2;+\\infty)$","correct":true,"reason":"Trên $(-2;0)$ và $(0;+\\infty)$, đồ thị $f'(x)$ nằm dưới trục hoành nên $f'(x)<0$, tại $x=0$ thì $f'(0)=0$. Vì $f'(x)\\le 0$ trên toàn $(-2;+\\infty)$ và chỉ bằng $0$ tại điểm cô lập $x=0$ nên hàm số nghịch biến."},{"label":"D","text":"Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\\infty;-3)$","correct":false,"reason":"Trên $(-\\infty;-3)$, đồ thị $f'(x)$ nằm dưới trục hoành nên $f'(x)<0$. Do đó hàm số nghịch biến, không phải đồng biến."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị của đạo hàm $f'(x)$ được vẽ (mô tả: cắt trục hoành tại $x=-3,\\;x=-2,\\;x=0$; trên khoảng $(-3,-2)$ giá trị $f'(x)>0$; trên khoảng $(-2,0)$ và trên khoảng $(0,+\\infty)$ giá trị $f'(x)<0$; tại $x=0$ đồ thị chạm trục hoành (tiếp xúc) rồi đi xuống).\n\nHàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $\\mathbb{R}$.\n\nCác phương án đưa ra (A, B, C, D) mô tả tính đồng/nhịch biến trên các khoảng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Hỏi mệnh đề nào đúng về tính đồng/nhịch biến của hàm $y=f(x)$ dựa vào đồ thị của $f'(x)$.\n\nCần áp dụng kiến thức: quan hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đồng/nhịch biến:\nNếu $f'(x)>0$ trên một khoảng thì $f$ đồng biến trên khoảng đó.\n\nNếu $f'(x)<0$ trên một khoảng thì $f$ nghịch biến trên khoảng đó.\n\nNếu $f'(x)\\le 0$ trên một khoảng (chỉ bằng 0 tại vài điểm cô lập) thì $f$ vẫn nghịch biến trên khoảng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định dấu của $f'(x)$ theo đồ thị:\nTrước $x=-3$: đồ thị ở dưới trục hoành rồi lên qua $x=-3$ ⇒ trên khoảng $(-\\infty,-3)$ có $f'(x)<0$.\n\nTrên khoảng $(-3,-2)$: đồ thị ở trên trục hoành ⇒ $f'(x)>0$ (=> $f$ đồng biến ở đó).\n\nTại $x=-2$: giao trục, đổi dấu từ dương sang âm.\n\nTrên khoảng $(-2,0)$: đồ thị nằm dưới trục hoành ⇒ $f'(x)<0$ (=> $f$ nghịch biến trên $(-2,0)$).\n\nTại $x=0$: đồ thị chạm trục hoành (tiếp xúc) nên $f'(0)=0$ nhưng không đổi dấu (vẫn âm cho cả bên phải của 0).\n\nTrên khoảng $(0,+\\infty)$: đồ thị xuống dưới trục hoành ⇒ $f'(x)<0$ (=> $f$ nghịch biến trên $(0,+\\infty)$).\n\nKết hợp: trên toàn khoảng $(-2,+\\infty)$, ta có $f'(x)<0$ cho mọi $x\\in(-2,+\\infty)$ ngoại trừ $x=0$ nơi $f'(0)=0$. Vì các điểm đạo hàm bằng 0 là cô lập và đạo hàm không trở nên dương, nên $f$ nghịch biến trên toàn khoảng $(-2,+\\infty)$.\n\nDo đó phương án mô tả “Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2;+\\infty)$” là đúng.\n\n✅ Đáp án: $C. \\text{Hàm số } y=f(x)\\ \\text{nghịch biến trên khoảng}\\ (-2;+\\infty)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-dao-duy-tu-tinh-thanh-hoa-2026-co-dap-an/1MUvs3FTkTBfMUjP5-bZTy_TJPck9Dwlz_2026-02-03151821.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":6,"text":"Giả sử nhiệt độ của một loại đồ uống được xác định theo công thức: $T=22+50e^{-t/8},;t\\ge0$ trong đó $t$ (phút) là khoảng thời gian tính từ lúc pha chế đồ uống đó xong. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc pha chế xong thì nhiệt độ của đồ uống đó là $50^\\circ\\text{C}$?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"6","correct":false,"reason":"Nếu $t=6$ thì $T \\approx 22+50e^{-0,75} \\approx 45,6^\\circ\\text{C} \\neq 50^\\circ\\text{C}$. Hoặc do ước lượng sai $\\ln(0,56) \\approx -0,75$ (nhầm với $\\ln(0,5)$) dẫn đến $t \\approx 6$."},{"label":"B","text":"5","correct":true,"reason":"Đúng vì giải phương trình $22+50e^{-t/8}=50$ được $e^{-t/8}=0,56$, suy ra $t=-8\\ln(0,56) \\approx 4,64$ phút, làm tròn gần nhất là $5$."},{"label":"C","text":"8","correct":false,"reason":"Nếu $t=8$ thì $T \\approx 22+50e^{-1} \\approx 40,4^\\circ\\text{C} \\neq 50^\\circ\\text{C}$. Hoặc do ước lượng thô $\\ln(0,56) \\approx -1$ nên $t \\approx 8$."},{"label":"D","text":"7","correct":false,"reason":"Nếu $t=7$ thì $T \\approx 22+50e^{-0,875} \\approx 42,9^\\circ\\text{C} \\neq 50^\\circ\\text{C}$. Hoặc do nhầm $50e^{-t/8}=22$ thay vì $28$, dẫn đến $t=-8\\ln(0,44) \\approx 6,56$ làm tròn thành $7$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCông thức nhiệt độ: $T=22+50e^{-t/8},\\; t\\ge0$\n\nĐơn vị: $t$ tính bằng phút, $T$ tính bằng độ C.\n\nYêu cầu: tìm thời gian kể từ lúc pha chế để $T=50^\\circ\\text{C}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu giải phương trình mũ để tìm thời gian $t$ khi nhiệt độ bằng $50^\\circ\\text{C}$.\n\nCần sử dụng kiến thức về hàm mũ và logarit tự nhiên (ln) để giải phương trình dạng $e^{(\\cdot)}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết phương trình khi $T=50^\\circ\\text{C}$: $22+50e^{-t/8}=50.$\n\nTrừ hai vế cho 22: $50e^{-t/8}=28.$\n\nChia cho 50: $e^{-t/8}=\\frac{28}{50}=\\frac{14}{25}.$\n\nLấy logarit tự nhiên hai vế: $-\\,\\frac{t}{8}=\\ln\\!\\left(\\frac{14}{25}\\right).$\n\nGiải cho $t$: $t=-8\\ln\\!\\left(\\frac{14}{25}\\right).$\n\nTính xấp xỉ: $\\ln\\!\\left(\\frac{14}{25}\\right)=\\ln(0.56)\\approx -0.579819$ \nnên $t\\approx -8(-0.579819)\\approx 4.64\\ \\text{(phút)}.$\n\nTrong các lựa chọn nguyên (6, 5, 8, 7), giá trị xấp xỉ 4.64 phút làm tròn gần nhất là 5 phút.\n\n✅ Đáp án: $B. 5$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tốc độ thay đổi của một đại lượng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":7,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"(2;+∞)","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(2;+\\infty)$ đồ thị hàm số đi xuống từ điểm cực đại $(2;2)$ về phía dưới bên phải, nên hàm số nghịch biến (giảm), không phải đồng biến."},{"label":"B","text":"(0;2)","correct":true,"reason":"Trên khoảng $(0;2)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu $(0;-2)$ đến điểm cực đại $(2;2)$ khi $x$ tăng, nên hàm số đồng biến (tăng) trên toàn khoảng này."},{"label":"C","text":"(−∞;2)","correct":false,"reason":"Khoảng $(-\\infty;2)$ chứa cả khoảng $(-\\infty;0)$ mà hàm số nghịch biến (giảm) và $(0;2)$ mà hàm số đồng biến, do đó hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-\\infty;2)$."},{"label":"D","text":"(−2;2)","correct":false,"reason":"Khoảng $(-2;2)$ chứa khoảng $(-2;0)$ mà đồ thị đi xuống (hàm nghịch biến), nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-2;2)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị của hàm số $y=f(x)$ có dạng một đường cong bậc ba với hệ số dẫn âm (xuống phải).\n\nĐồ thị có một điểm cực tiểu tại $(0,-2)$ và một điểm cực đại tại $(2,2)$ (được chỉ rõ bởi đường gạch ngang và dọc).\n\nĐường cong đi từ phía trên bên trái, giảm tới cực tiểu $(0,-2)$, rồi tăng tới cực đại $(2,2)$, sau đó giảm tiếp về phía dưới bên phải.\n\nCó ba nghiệm (giao điểm với trục Ox): một bên trái của $0$, một giữa $0$ và $2$, và một bên phải của $2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi hỏi: hàm số đã cho đồng biến (tức là tăng) trên khoảng nào trong các phương án.\n\nKiến thức cần dùng: định nghĩa đồng biến trên một khoảng — khi x tăng thì giá trị hàm f(x) cũng tăng; trên đồ thị, đó là khoảng mà đường cong hướng lên về phía phải.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐịnh nghĩa trực quan: Hàm số đồng biến trên khoảng $I$ nếu với mọi $x_1,x_2\\in I$ và $x_10,\\; x>0,\\; x-1<0.$ Tích: $(+)\\cdot(+)\\cdot(-)=(-).$ Suy ra $f'(x)<0$ trên $(0,1).$\n\nNếu $x>1$: $e^x-1>0,\\; x>0,\\; x-1>0.$ Tích: $(+)\\cdot(+)\\cdot(+)=(+).$ Suy ra $f'(x)>0$ trên $(1,\\infty).$\n\nKết luận về cực trị:\nTại $x=0$: $f'$ âm cả hai bên (không đổi dấu) → không phải điểm cực trị.\n\nTại $x=1$: $f'$ đổi từ âm (trước 1) sang dương (sau 1) → điểm $x=1$ là một cực tiểu.\n\nVậy hàm có đúng một điểm cực trị.\n\n✅ Đáp án: $B. 1$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cực trị của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":9,"text":"Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a\\sqrt2$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt bên $(SCD)$.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"$\\dfrac{2a\\sqrt2}{3}$","correct":true,"reason":"Đáp án đúng. Sử dụng phương pháp tọa độ với vectơ pháp tuyến $\\vec{n}=\\overrightarrow{SC} \\times \\overrightarrow{SD}=(0,-ah,\\frac{a^2}{2})$ hoặc công thức thể tích $d=\\frac{3V_{A.SCD}}{S_{SCD}}$ với $V_{A.SCD}=\\frac{a^3\\sqrt{2}}{6}$ và $S_{SCD}=\\frac{3a^2}{4}$ đều cho kết quả $\\frac{2a\\sqrt{2}}{3}$."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{a\\sqrt{10}}{5}$","correct":false,"reason":"Sai. Giá trị $\\frac{a\\sqrt{10}}{5}$ thường xuất phát từ việc tính nhầm độ dài cạnh bên $SC$ hoặc diện tích tam giác $SCD$ (ví dụ nhầm chiều cao $SM$ của mặt bên)."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{a\\sqrt2}{3}$","correct":false,"reason":"Sai. Đây chính là khoảng cách từ tâm đáy $O$ đến mặt bên $(SCD)$ (bằng $\\frac{a\\sqrt{2}}{3}$), do học sinh nhầm lẫn vị trí điểm $A$ với tâm $O$ của hình vuông đáy."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{a\\sqrt3}{2}$","correct":false,"reason":"Sai. Kết quả này không tương ứng với bất kỳ đại lượng hình học nào trong hình chóp đã cho, có thể do nhầm lẫn với chiều cao của khối tứ diện đều hoặc sai sót trong phép tính căn thức."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ (đáy là hình vuông $ABCD$, tâm đáy là $O$).\n\nCạnh đáy bằng $a$.\n\nChiều cao của hình chóp $SO = a\\sqrt2$.\n\nYêu cầu: tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt bên $(SCD)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng chứa tam giác $SCD$.\n\nCần áp dụng kiến thức về tọa độ không gian hoặc công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng vectơ pháp tuyến và tích vô hướng/tích có hướng).\n\nBiết thiết lập hệ tọa độ thuận tiện cho hình vuông và đỉnh chóp đều.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChọn hệ trục tọa độ: đặt mặt đáy lên mặt phẳng $Oxy$, tâm $O(0,0,0)$, và $S(0,0,h)$ với $h= a\\sqrt2$. Gọi các đỉnh đáy là\n$A\\left(\\dfrac{a}{2},\\dfrac{a}{2},0\\right),\\quad B\\left(-\\dfrac{a}{2},\\dfrac{a}{2},0\\right),$\n\n$C\\left(-\\dfrac{a}{2},-\\dfrac{a}{2},0\\right),\\quad D\\left(\\dfrac{a}{2},-\\dfrac{a}{2},0\\right).$\n\nViết các vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(SCD)$:\n$\\overrightarrow{SC}=C-S=\\left(-\\dfrac{a}{2},-\\dfrac{a}{2},-h\\right),$\n\n$\\overrightarrow{SD}=D-S=\\left(\\dfrac{a}{2},-\\dfrac{a}{2},-h\\right).$\n\nTính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích có hướng:\n$\\mathbf{n}=\\overrightarrow{SC}\\times\\overrightarrow{SD}=(0,\\,-a h,\\;\\dfrac{a^2}{2}).$\n(Bạn có thể nhân tắt hệ số chung; chỉ cần vectơ pháp tuyến không phải vectơ không.)\n\nKhoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng qua điểm $S$ với pháp tuyến $\\mathbf{n}$ là\n$d=\\dfrac{|\\mathbf{n}\\cdot\\overrightarrow{AS}|}{\\|\\mathbf{n}\\|},\\quad \\overrightarrow{AS}=A-S=\\left(\\dfrac{a}{2},\\dfrac{a}{2},-h\\right).$\n\nTính tích vô hướng:\n$\\mathbf{n}\\cdot\\overrightarrow{AS}=0\\cdot\\dfrac{a}{2}+(-ah)\\cdot\\dfrac{a}{2}+\\dfrac{a^2}{2}\\cdot(-h)=-a^2h.$\n\nGiá trị tuyệt đối là $a^2h$.\n\nTính độ lớn của $\\mathbf{n}$:\n$\\|\\mathbf{n}\\|=\\sqrt{(0)^2+(ah)^2+\\left(\\dfrac{a^2}{2}\\right)^2}=a\\sqrt{h^2+\\dfrac{a^2}{4}}.$\n\nDo đó\n$d=\\dfrac{a^2h}{a\\sqrt{h^2+\\dfrac{a^2}{4}}}=\\dfrac{ah}{\\sqrt{h^2+\\dfrac{a^2}{4}}}.$\n\nThay $h=a\\sqrt2$:\n$d=\\dfrac{a\\cdot a\\sqrt2}{\\sqrt{a^2\\cdot2+\\dfrac{a^2}{4}}}=\\dfrac{a^2\\sqrt2}{a\\sqrt{\\tfrac{9}{4}}}=\\dfrac{a^2\\sqrt2}{a\\cdot\\dfrac{3}{2}}=\\dfrac{2a\\sqrt2}{3}.$\n\n✅ Đáp án: A. $\\dfrac{2a\\sqrt2}{3}$","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"khoảng cách","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng","difficulty":"vận dụng"},{"id":10,"text":"Xét hàm số $y=\\dfrac{x-1}{2x+1}$ trên $[0;1]$. Khẳng định nào sau đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"$\\max_{[0;1]} y=0$","correct":true,"reason":"Vì $y'=\\dfrac{3}{(2x+1)^2}>0$ trên $[0;1]$ nên hàm số đồng biến, do đó $\\max_{[0;1]} y = y(1) = \\dfrac{1-1}{2\\cdot 1+1} = 0$."},{"label":"B","text":"$\\min_{[0;1]} y=-\\dfrac12$","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị nhỏ nhất thực tế là $y(0)=-1$, không phải $-\\dfrac{1}{2}$ (giá trị $-\\dfrac{1}{2}$ chỉ đạt được tại $x=\\dfrac{1}{4}$)."},{"label":"C","text":"$\\min_{[0;1]} y=\\dfrac12$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\min_{[0;1]} y = -1$ tại $x=0$, còn $\\dfrac{1}{2}$ nằm ngoài miền giá trị $[-1;0]$ của hàm số trên đoạn này."},{"label":"D","text":"$\\max_{[0;1]} y=1$","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị lớn nhất là $0$ tại $x=1$, không phải $1$ (phương trình $y=1$ cho nghiệm $x=-2 \\notin [0;1]$)."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{x-1}{2x+1}$ trên đoạn $[0;1]$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu chọn khẳng định đúng về giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm trên đoạn $[0;1]$. \n\nCần dùng các kiến thức: đạo hàm để xét đơn điệu (hàm số liên tục, khả vi trên đoạn), và giá trị tại các biên của đoạn để tìm min, max.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm của hàm số:\n$y=\\dfrac{x-1}{2x+1} \\Rightarrow y'=\\dfrac{(1)(2x+1)-(x-1)(2)}{(2x+1)^2}.$\n\nRút gọn tử số:\n$y'=\\dfrac{2x+1-2x+2}{(2x+1)^2}=\\dfrac{3}{(2x+1)^2}.$\n\nVì trên đoạn $[0;1]$ ta có $2x+1\\in[1,3]$ nên $(2x+1)^2>0$ và do đó $y'>0$ trên toàn đoạn. Vậy hàm số đơn điệu tăng trên $[0;1]$.\n\nKhi hàm tăng trên đoạn đóng, giá trị nhỏ nhất đạt ở biên trái $x=0$ và giá trị lớn nhất đạt ở biên phải $x=1$.\n\nTính giá trị tại các biên:\n$y(0)=\\dfrac{0-1}{2\\cdot0+1}=-1,$\n$y(1)=\\dfrac{1-1}{2\\cdot1+1}=0.$\n\nDo đó:\n$\\min_{[0;1]} y=-1.$\n\n$\\max_{[0;1]} y=0.$\n\nSo sánh với các lựa chọn: khẳng định đúng là $\\max_{[0;1]} y=0.$\n\n✅ Đáp án: A. $\\max_{[0;1]} y=0$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn","difficulty":"thông hiểu"},{"id":11,"text":"Cho hàm số $y=ax^3+bx^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"Hàm số đã cho có hai điểm cực trị","correct":true,"reason":"Đồ thị hàm số có dạng đường cong \"sóng\" với một điểm cực đại (đỉnh) và một điểm cực tiểu (đáy), chứng tỏ phương trình đạo hàm $y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có đúng hai điểm cực trị."},{"label":"B","text":"$a>0,d<0$","correct":false,"reason":"Nhánh phải của đồ thị đi lên khi $x \\to +\\infty$ nên hệ số $a > 0$ là đúng, nhưng đồ thị cắt trục tung $Oy$ tại điểm có tung độ dương (nằm phía trên gốc tọa độ $O$) nên $d > 0$, không phải $d < 0$."},{"label":"C","text":"$a<0,d>0$","correct":false,"reason":"Mặc dù đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d > 0$, nhưng nhánh phải đi lên khi $x \\to +\\infty$ chứng tỏ hệ số $a > 0$, không phải $a < 0$."},{"label":"D","text":"Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\\infty;+\\infty)$","correct":false,"reason":"Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\\infty; x_1)$ và $(x_2; +\\infty)$ nhưng nghịch biến trên khoảng $(x_1; x_2)$ giữa hai điểm cực trị, do đó không đồng biến trên toàn khoảng $(-\\infty; +\\infty)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số bậc ba:\n$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$\n\nĐồ thị của hàm số được cho như hình vẽ.\n\nQuan sát hình vẽ thấy:\nNhánh bên phải đi lên.\n\nĐồ thị có hai điểm cực trị.\n\nCả hai điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán hỏi: Khẳng định nào dưới đây là đúng?\n\nHọc sinh cần sử dụng:\nMối liên hệ giữa đồ thị hàm bậc ba và hệ số $a, b, c, d$.\n\nKiến thức về:\nDấu của hệ số $a$ qua chiều nhánh.\n\nTổng và tích nghiệm của đạo hàm:\n$y' = 3ax^2 + 2bx + c$\n\nÝ nghĩa hình học của tung độ giao điểm với trục $Oy$ (giá trị $d$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xét hệ số $a$\nNhánh phải của đồ thị đi lên khi $x \\to +\\infty$.\n\n⇒ Hệ số bậc cao nhất dương:\n$a > 0$\n\nBước 2: Xét số điểm cực trị\nĐồ thị có hai điểm cực trị.\n\n⇒ Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.\n\n⇒ Hàm số không đồng biến trên $(-\\infty;+\\infty)$.\n\n❌ Loại phương án D.\n\n✅ Khẳng định A đúng.\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{\\text{A. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị}}$\n👉 Chọn đáp án A. ✅","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-dao-duy-tu-tinh-thanh-hoa-2026-co-dap-an/1weJngwxCwo75pdk5AZjAVTfEn8iLcYiC_2026-02-03151822.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cực trị của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Bạn Nga có một tấm bìa hình vuông cạnh $20\\text{ cm}$. Bạn muốn cắt ở mỗi góc một hình vuông nhỏ để gấp và dán lại thành một cái hộp đựng đồ dùng học tập không có nắp (mép dán không đáng kể). Để cái hộp có thể tích lớn nhất thì hình vuông nhỏ cắt đi có độ dài cạnh là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560e","options":[{"label":"A","text":"20 cm","correct":false,"reason":"Sai vì $x=20\\text{ cm}$ vượt quá cạnh tấm bìa và điều kiện $00$ và $f(x)$ tăng từ $0$ lên $+\\infty$ khi $x\\to0^-$.\n\n$f(0)=1$.\n\nTrên khoảng $(0,+\\infty)$ ta có $f'(x)<0$ và $f(x)$ giảm từ $1$ xuống $-\\infty$ khi $x\\to+\\infty$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu A hỏi: có phải hàm số nghịch biến (giảm) trên $(0,+\\infty)$ không?\n\nCần dùng thông tin về dấu của $f'(x)$ trên khoảng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo bảng biến thiên, trên $(0,+\\infty)$ ta có $f'(x)<0$ (ô của $f'(x)$ chứa dấu \"-\" trên khoảng này).\n\nQuy tắc: nếu $f'(x)<0$ trên một khoảng thì $f(x)$ nghịch biến (giảm) trên khoảng đó.\n\nỨng dụng trực tiếp: vì bảng cho $f'(x)<0$ trên $(0,+\\infty)$ nên $f(x)$ giảm trên khoảng này.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=0.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nThông tin như ở trên: trên $(-2,0)$ hàm tăng từ $0$ tới $+\\infty$ khi $x\\to0^-$; $f(0)=1$; trên $(0,+\\infty)$ hàm giảm từ $1$ xuống $-\\infty$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu B hỏi: có phải $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$ không?\n\nCần xét giá trị của hàm tại $x=0$ so với giá trị lân cận trái và phải.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐịnh nghĩa cực đại cục bộ: $f(x_0)$ là cực đại nếu tồn tại khoảng kề bên sao cho mọi $x$ khác trong khoảng đó, $f(x)\\le f(x_0)$.\n\nKiểm tra xung quanh $x=0$:\nVới $x>0$ nhỏ, bảng cho biết $f(x)<1=f(0)$ (vì hàm giảm từ 1). Vậy phía phải của 0 giá trị nhỏ hơn 1.\n\nVới $x<0$ gần 0, bảng cho biết $f(x)\\to+\\infty$ khi $x\\to0^-$, tức là tồn tại các giá trị bên trái của 0 có giá trị lớn hơn 1 (thậm chí tùy gần 0- có giá trị rất lớn). Do đó không tồn tại một khoảng kề bên của 0 mà mọi giá trị khác đều nhỏ hơn hay bằng 1.\n\nKết luận: $f(0)=1$ không phải là cực đại vì phía trái có giá trị lớn hơn 1.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Hàm số $y=f(x)$ có giá trị lớn nhất bằng $1.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng biến thiên (như đã nêu): trên $(-2,0)$ hàm tăng từ $0$ tới $+\\infty$ khi $x\\to0^-$; $f(0)=1$; trên $(0,+\\infty)$ hàm giảm từ $1$ xuống $-\\infty$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu C hỏi: hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 không?\n\nCần xét xem hàm có bị chặn trên và có giá trị lớn nhất tồn tại hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ bảng, khi $x\\to0^-$ thì $f(x)\\to+\\infty$. Điều này nghĩa là hàm không bị chặn trên (có giá trị tùy lớn). Vì vậy không thể có giá trị lớn nhất hữu hạn.\n\nDù $f(0)=1$ nhưng vì tồn tại các điểm với giá trị lớn hơn 1 (khi tiếp cận 0 từ trái), nên 1 không phải là giá trị lớn nhất của hàm.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Đồ thị hàm số $y=\\dfrac{1}{f(x)-1}$ có $a$ đường tiệm cận đứng và $b$ đường tiệm cận ngang. Khi đó $a^2+b^2=2.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng biến thiên (tóm tắt): trên $(-2,0)$ hàm tăng từ $0$ tới $+\\infty$; $f(0)=1$; trên $(0,+\\infty)$ hàm giảm từ $1$ tới $-\\infty$.\n\nXét đồ thị $y=\\dfrac{1}{f(x)-1}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu D cho rằng đồ thị $y=\\dfrac{1}{f(x)-1}$ có $a$ đường tiệm cận đứng và $b$ đường tiệm cận ngang, rồi khẳng định $a^2+b^2=2$. Cần tìm số tiệm cận đứng và ngang thực tế và kiểm tra biểu thức.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTiệm cận đứng xuất hiện tại các điểm mà mẫu số $f(x)-1=0$ hoặc khi hàm phân thức phân mẫu đi tới 0 theo một bên khiến biểu thức phân kỳ.\n\nTừ bảng:\nCó một điểm trong $(-2,0)$ (gọi là $c$) sao cho $f(c)=1$ (vì trên $(-2,0)$ hàm tăng liên tục từ 0 đến $+\\infty$ nên phải cắt 1 đúng một lần).\n\nNgoài ra $f(0)=1$.\n\nXét giới hạn tại các điểm đó cho hàm $g(x)=\\dfrac{1}{f(x)-1}$:\nTại $x=c$: hai bên đều phân biệt với giới hạn vô hạn (một bên -> $-\\infty$, bên kia -> $+\\infty$), nên $x=c$ là một tiệm cận đứng.\n\nTại $x=0$: khi $x\\to0^-$ thì $f(x)\\to+\\infty$ nên $g(x)\\to0$ (hữu hạn), nhưng khi $x\\to0^+$ thì $f(x)<1$ và $f(x)\\to1^-$ khiến $g(x)\\to-\\infty$. Vì một phía phân kỳ đến vô cùng, theo định nghĩa thường dùng ở chương trình THPT, $x=0$ cũng là tiệm cận đứng (ít nhất một phía vô cùng đủ để gọi là tiệm cận đứng).\n\nVậy số tiệm cận đứng là $a=2$.\n\nTiệm cận ngang: xét $x\\to+\\infty$ và $x\\to-\\infty$:\nHàm không xác định khi $x\\to-\\infty$ (vùng định nghĩa bắt đầu từ $-2$), nên chỉ xét $x\\to+\\infty$: vì $f(x)\\to-\\infty$ khi $x\\to+\\infty$ nên $g(x)=\\dfrac{1}{f(x)-1}\\to0$. Vậy có một tiệm cận ngang $y=0$ (khi $x\\to+\\infty$).\n\nKhông có tiệm cận ngang khác.\n\nVậy $b=1$.\n\nTính: $a^2+b^2=2^2+1^2=4+1=5\\ne2$.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-dao-duy-tu-tinh-thanh-hoa-2026-co-dap-an/1CZ2w8dwpTAiMiqUk7XvdMWnR-RK3ICKR_2026-02-03151822.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{2x^2+5x}{x+3}$ có đồ thị $(C).$ Các khẳng định sau đúng hay sai?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560f","statements":[{"label":"A","text":"Tập xác định $D=\\mathbb{R}\\setminus{3}.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x^2+5x}{x+3}$ có đồ thị \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra khẳng định về tập xác định của hàm số. (Cần biết quy tắc: mẫu khác 0.)\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTập xác định của hàm hữu tỉ $y=\\dfrac{2x^2+5x}{x+3}$ là tất cả các $x$ sao cho mẫu $x+3\\neq0$.\n\nGiải $x+3=0\\Rightarrow x=-3$, nên giá trị $x=-3$ không thuộc miền xác định.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Hàm số có hai cực trị có tổng hoành độ của cực trị bằng $-6.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x^2+5x}{x+3}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định số cực trị và tổng hoành độ các điểm cực trị. (Cần tính đạo hàm và nghiệm của $y'$.)\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại hàm bằng chia đa thức: $\\dfrac{2x^2+5x}{x+3}=2x-1+\\dfrac{3}{x+3}.$ (Vì $(x+3)(2x-1)=2x^2+5x-3$, dư 3.)\n\nTính đạo hàm từ biểu thức trên: $y'=2-\\dfrac{3}{(x+3)^2}.$ \n\nGiải phương trình $y'=0:\\;2-\\dfrac{3}{(x+3)^2}=0\\Rightarrow (x+3)^2=\\dfrac{3}{2}.$ \n\nSuy ra hai nghiệm: $x=-3+\\sqrt{\\dfrac{3}{2}}\\quad\\text{và}\\quad x=-3-\\sqrt{\\dfrac{3}{2}}.$ \n\nTổng hoành độ hai cực trị: $\\big(-3+\\sqrt{\\tfrac{3}{2}}\\big)+\\big(-3-\\sqrt{\\tfrac{3}{2}}\\big)=-6.$ \n\nHai nghiệm khác nhau nên hàm có hai điểm tới hạn; vì $y''\\neq0$ tại các nghiệm này (hoặc đổi dấu của $y'$ qua mỗi nghiệm), chúng là hai cực trị.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-3.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x^2+5x}{x+3}=2x-1+\\dfrac{3}{x+3}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra khẳng định về tiệm cận ngang của đồ thị. (Cần biết bậc tử/ mẫu và dạng phân tích đa thức.)\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì tử là đa thức bậc 2, mẫu bậc 1, nên khi chia ta được đa thức bậc 1 cộng một phân thức: $y=2x-1+\\dfrac{3}{x+3}.$ \n\nĐường tiệm cận khi $x\\to\\pm\\infty$ là đường thẳng phần đa thức (tiệm cận xiên): $y=2x-1.$\n\nKhông có tiệm cận ngang dạng $y=\\text{const}$ vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu (thay vào đó là tiệm cận xiên). Khẳng định \"tiệm cận ngang $y=-3$\" là sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Khoảng cách từ điểm $M(2;1)$ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ bằng $\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x^2+5x}{x+3}=2x-1+\\dfrac{3}{x+3}$ có tiệm cận xiên $y=2x-1.$\n\nĐiểm $M(2;1).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính khoảng cách từ điểm $M(2,1)$ đến đường thẳng tiệm cận xiên $y=2x-1$. (Cần công thức khoảng cách điểm đến đường thẳng.)\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết phương trình đường thẳng dưới dạng $ax+by+c=0$: từ $y=2x-1$ suy ra $2x-y-1=0$.\n\nCông thức khoảng cách từ điểm $(x_0,y_0)$ đến đường $ax+by+c=0$ là $d=\\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\\sqrt{a^2+b^2}}.$ \n\nÁp dụng với $a=2,b=-1,c=-1$ và $M(2,1):$\n$d=\\dfrac{|2\\cdot2+(-1)\\cdot1-1|}{\\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\\dfrac{|4-1-1|}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{2}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Cho hàm số $y=f(x)=\\dfrac{ax+b}{cx+1}$ với $a,b,c\\in\\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ dưới. Các khẳng định sau đúng hay sai?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560f","statements":[{"label":"A","text":"Đạo hàm của hàm số $f'(x)<0,\\ \\forall x\\in\\mathbb{R}.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số có dạng:\n$y=f(x)=\\dfrac{ax+b}{cx+1},\\quad a,b,c\\in\\mathbb{R}$\n\nĐồ thị của hàm số được cho như hình vẽ.\n\nTừ hình vẽ thấy:\nCó tiệm cận đứng tại $x=1$.\n\nĐồ thị gồm hai nhánh tách rời qua tiệm cận đứng.\n\nTrên mỗi khoảng xác định, đồ thị đi xuống khi $x$ tăng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nÝ a phát biểu:\nĐạo hàm của hàm số $f'(x)<0,\\ \\forall x\\in\\mathbb{R}.$\n\nTa cần kiểm tra:\nPhát biểu này đúng hay sai dựa vào đồ thị.\n\nĐặc biệt chú ý đến tập xác định của hàm số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định tập xác định của hàm số\nDo mẫu số $cx+1=0$ khi $x=1$ nên: $x=1$ không thuộc tập xác định.\n\nSuy ra: $\\mathcal{D}=\\mathbb{R}\\setminus{1}$\n\nBước 2: Quan sát chiều biến thiên trên đồ thị\nTrên khoảng $(-\\infty,1)$: đồ thị đi xuống ⇒ hàm nghịch biến.\n\nTrên khoảng $(1,+\\infty)$: đồ thị cũng đi xuống ⇒ hàm nghịch biến.\n\nDo đó: $f'(x)<0,\\ \\forall x\\neq1$\n\nBước 3: Đối chiếu với phát biểu ý a\nPhát biểu yêu cầu: $f'(x)<0,\\ \\forall x\\in\\mathbb{R}$\n\nNhưng tại $x=1$:\nHàm số không xác định\n\nĐạo hàm không tồn tại\n\n⇒ Phát biểu đã sai về mặt tập xác định.\n\n✅ Kết luận: SAI"},{"label":"B","text":"Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1;+\\infty)$ và đồng biến trên khoảng $(-\\infty;1).$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số:\n$y=f(x)=\\dfrac{ax+b}{cx+1}$\n\nĐồ thị cho thấy:\nCó tiệm cận đứng tại $x=1$.\n\nĐồ thị gồm hai nhánh tách rời.\n\nTrên mỗi nhánh, đồ thị đều đi xuống khi $x$ tăng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nÝ b phát biểu:\nHàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1;+\\infty)$ và đồng biến trên khoảng $(-\\infty;1).$\n\nTa cần kiểm tra:\nChiều biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định các khoảng xét biến thiên\nDo hàm không xác định tại $x=1$ nên ta xét hai khoảng:\n$(-\\infty;1)\\quad \\text{và}\\quad (1;+\\infty)$\n\nBước 2: Quan sát đồ thị trên từng khoảng\nTrên khoảng $(-\\infty;1)$:\nKhi $x$ tăng thì $y$ giảm\n\n⇒ Hàm số nghịch biến\n\nTrên khoảng $(1;+\\infty)$:\nKhi $x$ tăng thì $y$ giảm\n\n⇒ Hàm số nghịch biến\n\nBước 3: So sánh với phát biểu ý b\nÝ b nói rằng:\nHàm đồng biến trên $(-\\infty;1)$ ❌\n\nHàm nghịch biến trên $(1;+\\infty)$ ✅\n\nPhát biểu không đúng hoàn toàn.\n\n✅ Kết luận: SAI"},{"label":"C","text":"Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$ và đường tiệm cận ngang là $y=-1.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=\\dfrac{ax+b}{cx+1}$ với $a,b,c\\in\\mathbb{R}$.\n\nĐồ thị trong đề cho thấy tiệm cận đứng là $x=1$ và tiệm cận ngang là $y=-1$ (theo mô tả hình kèm bài).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi C: Kiểm tra khẳng định \"Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$ và đường tiệm cận ngang là $y=-1$.\"\n\nCần dùng công thức tiệm cận của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0: $cx+1=0\\Rightarrow x=-\\dfrac{1}{c}.$\n\nTiệm cận ngang (nếu $c\\neq0$) là $y=\\dfrac{a}{c}.$\n\nNếu đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ thì\n$-\\dfrac{1}{c}=1\\Rightarrow c=-1.$\n\nNếu đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$ thì\n$\\dfrac{a}{c}=-1\\Rightarrow \\dfrac{a}{-1}=-1\\Rightarrow a=1.$\n\nVậy với $a=1$ và $c=-1$, hàm có đúng tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$, phù hợp với mô tả hình.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Tổng $a+b+c=5.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=\\dfrac{ax+b}{cx+1}$; đồ thị có tiệm cận $x=1$ và $y=-1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi D: Khẳng định là \"Tổng $a+b+c=5.$\"\n\nCần tính hoặc suy ra tổng dựa trên thông tin đã biết về $a,c$ và kiểm tra với $b$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ tiệm cận đã suy ra ở trên: $c=-1$ và $a=1$.\n\nDo đó $a+b+c=1+b-1=b.$\n\nTổng $a+b+c$ bằng đúng giá trị của $b$. Vì đề không cho giá trị cụ thể của $b$, không thể chắc chắn rằng tổng bằng $5$. Ví dụ nếu $b=0$ thì $a+b+c=0\\neq5$.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-dao-duy-tu-tinh-thanh-hoa-2026-co-dap-an/1nmSxxDrwbjtkcZmGv7mDTMW4hZZBJ0MC_2026-02-03151824.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Trong đề kiểm tra 15 phút môn Toán của lớp 11A có 20 câu trắc nghiệm. Mỗi câu trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Nam giải chắc chắn đúng 10 câu, 10 câu còn lại lựa chọn ngẫu nhiên đáp án. Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm, trả lời sai không bị trừ điểm. Khi đó:","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e560f","statements":[{"label":"A","text":"Xác suất để Nam trả lời sai 1 câu là $\\dfrac14.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng số câu trắc nghiệm: 20 câu.\n\nMỗi câu có 4 phương án, chỉ 1 phương án đúng.\n\nMỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm; trả lời sai không bị trừ điểm.\n\nNam chắc chắn đúng 10 câu, 10 câu còn lại Nam chọn ngẫu nhiên.\n\nKhi đoán ngẫu nhiên: xác suất đúng cho mỗi câu là $\\dfrac{1}{4}$, xác suất sai là $\\dfrac{3}{4}$.\n\nHình ảnh đính kèm: không có thông tin bổ sung khác.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu A nói: \"Xác suất để Nam trả lời sai 1 câu là $\\dfrac{1}{4}$\". Cần biết xác suất sai khi đoán ngẫu nhiên.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVới một câu mà Nam đoán ngẫu nhiên, xác suất đúng là $p=\\dfrac{1}{4}$.\n\nDo đó xác suất sai (không đúng) là $1-p=1-\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{3}{4}$.\n\nNếu câu A khẳng định là $\\dfrac{1}{4}$ thì đó là xác suất đúng, không phải xác suất sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Xác suất để Nam trả lời đúng hết 20 câu là $\\left(\\dfrac14\\right)^{20}.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng 20 câu, Nam đúng chắc 10 câu, 10 câu còn lại đoán ngẫu nhiên.\n\nXác suất đúng khi đoán: $\\dfrac{1}{4}$.\n\nMỗi câu đúng được 0,5 điểm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu B nói: \"Xác suất để Nam trả lời đúng hết 20 câu là $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^{20}$\".\n\nCần xác định xác suất tất cả 20 câu đều đúng, biết Nam đã chắc đúng 10 câu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNam đã chắc đúng 10 câu, nên để đúng hết 20 câu chỉ cần 10 câu còn lại đoán trúng cả 10.\n\nXác suất mỗi câu đoán trúng là $\\dfrac{1}{4}$, độc lập giữa các câu đoán.\n\nDo đó xác suất để 10 câu đoán đều đúng là $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^{10}$.\n\nCâu B cho là $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^{20}$ là sai vì đó là xác suất nếu tất cả 20 câu đều do Nam đoán ngẫu nhiên (nhưng thực tế Nam chắc đúng 10 câu).\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Xác suất để Nam đạt đúng 8 điểm là $\\left(\\dfrac14\\right)^6\\left(\\dfrac34\\right)^4.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n20 câu, mỗi đúng 0,5 điểm. Nam chắc đúng 10, 10 câu còn lại đoán ngẫu nhiên với xác suất đúng $\\dfrac{1}{4}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu C nói: \"Xác suất để Nam đạt đúng 8 điểm là $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^6\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^4$\".\n\nCần tìm số câu đúng tương ứng với 8 điểm và xác suất để trong 10 câu đoán được số đúng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐể được 8 điểm, Nam cần có $\\dfrac{8}{0{,}5}=16$ câu đúng tổng cộng.\n\nNam đã chắc đúng 10 câu, nên trong 10 câu đoán ngẫu nhiên Nam phải đúng thêm 6 câu.\n\nSố cách để trong 10 câu đoán đúng đúng 6 câu là $\\mathrm{C}_{10}^{6}$. Xác suất mỗi cấu hình là $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^6\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^4$.\n\nVậy xác suất mong muốn là $\\mathrm{C}_{10}^{6}\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^6\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^4$.\n\nCâu C thiếu hệ số tổ hợp $\\mathrm{C}_{10}^{6}$ nên biểu thức cho trong đề là không đầy đủ, do đó sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Xác suất để Nam đạt 9 điểm trở lên lớn hơn $0{,}0004.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n20 câu, mỗi đúng 0,5 điểm. Nam đúng chắc 10 câu, đoán 10 câu còn lại (xác suất đúng mỗi câu $\\dfrac{1}{4}$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu D: \"Xác suất để Nam đạt 9 điểm trở lên lớn hơn $0{,}0004$\".\n\nCần tính xác suất Nam đạt ít nhất 9 điểm (>=9) và so sánh với $0{,}0004$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n9 điểm tương ứng với số câu đúng tối thiểu: $\\dfrac{9}{0{,}5}=18$ câu đúng.\n\nNam đã có 10 câu chắc đúng, nên cần trong 10 câu đoán được ít nhất $18-10=8$ câu đúng (tức là đúng 8, 9 hoặc 10 trong 10 câu đoán).\n\nGọi xác suất đúng khi đoán là $p=\\dfrac{1}{4}$. Xác suất cần tính là\n$P=\\sum_{k=8}^{10} \\mathrm{C}_{10}^{k} p^{k}(1-p)^{10-k}.$ \n\nTính từng hạng tử (xấp xỉ):\n$k=8:\\; \\mathrm{C}_{10}^{8}=45,\\; 45\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^8\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^2\\approx 0{,}0003862381.$ \n\n$k=9:\\; \\mathrm{C}_{10}^{9}=10,\\; 10\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^9\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^1\\approx 0{,}0000286102.$ \n\n$k=10:\\; \\mathrm{C}_{10}^{10}=1,\\; \\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^{10}\\approx 0{,}0000009537.$\n\nTổng lại:\n$P\\approx 0{,}0003862381+0{,}0000286102+0{,}0000009537\\approx 0{,}0004158020.$\n\nSo sánh: $0{,}0004158020>0{,}0004.$ Vậy phát biểu là đúng.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"bài tập cuối chương viii.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 8","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ và $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Giả sử $M(x_0;y_0)$ là điểm trên đồ thị $(C)$ có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại $M$ với $(C)$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại hai điểm $A, B$ thỏa mãn $IA^2+IB^2=40$. Tính giá trị của biểu thức $P=x_0^2+y_0^2+x_0y_0$?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e5610","correctAnswer":"7","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.\n\nHai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$; giao điểm $I(-1,2)$.\n\nĐiểm $M(x_0,y_0)$ thuộc $(C)$ với $x_0>0$; tiếp tuyến tại $M$ cắt tiệm cận đứng tại $A$ và tiệm cận ngang tại $B$.\n\nBiết $IA^2+IB^2=40$; cần tính $P=x_0^2+y_0^2+x_0y_0$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm hoành độ $x_0$ (và từ đó tìm $y_0$) của điểm tiếp xúc sao cho tổng bình phương khoảng cách từ $I$ đến hai giao điểm $A,B$ của tiếp tuyến với hai tiệm cận bằng 40.\n\nÁp dụng: đạo hàm để tìm hệ số góc tiếp tuyến, công thức phương trình đường thẳng, khoảng cách theo toạ độ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm của hàm số:\n$y=\\dfrac{2x-1}{x+1}\\implies y'=\\dfrac{(2)(x+1)-(2x-1)\\cdot1}{(x+1)^2}=\\dfrac{3}{(x+1)^2}.$\n\nTại $M(x_0,y_0)$, hệ số góc $m=\\dfrac{3}{(x_0+1)^2}.$\n\nViết phương trình tiếp tuyến tại $M$:\n$y-y_0=m(x-x_0).$\n\nTọa độ giao điểm với tiệm cận đứng $x=-1$ (điểm $A$):\n$x_A=-1,\\quad y_A=y_0+m(-1-x_0).$\n\nKhoảng cách $IA$ theo tung độ: $IA^2=(y_A-2)^2.$\n\nTọa độ giao điểm với tiệm cận ngang $y=2$ (điểm $B$):\nTừ $2-y_0=m(x_B-x_0)\\Rightarrow x_B=x_0+\\dfrac{2-y_0}{m}.$\n\nKhoảng cách $IB$ theo hoành độ: $IB^2=(x_B+1)^2.$\n\nLiên hệ $y_0$ và $x_0$ từ đồ thị:\n$y_0=\\dfrac{2x_0-1}{x_0+1}\\Rightarrow y_0-2=\\dfrac{-3}{x_0+1},\\quad 2-y_0=\\dfrac{3}{x_0+1}.$\n\nTính $y_A-2$ và $x_B+1$:\n$m(-1-x_0)=\\dfrac{3(-1-x_0)}{(x_0+1)^2}=-\\dfrac{3}{x_0+1}.$\n\nDo đó $y_A-2=(y_0-2)+m(-1-x_0)=-\\dfrac{3}{x_0+1}-\\dfrac{3}{x_0+1}=-\\dfrac{6}{x_0+1}.$\n\nVà $x_B+1=(x_0+1)+\\dfrac{2-y_0}{m}=(x_0+1)+\\dfrac{\\dfrac{3}{x_0+1}}{\\dfrac{3}{(x_0+1)^2}}=(x_0+1)+(x_0+1)=2(x_0+1).$\n\nViết điều kiện $IA^2+IB^2=40$:\n$\\left(-\\dfrac{6}{x_0+1}\\right)^2+\\big(2(x_0+1)\\big)^2=40.$\n\nĐặt $t=(x_0+1)^2>0$, ta có $\\dfrac{36}{t}+4t=40.$\n\nNhân cả hai vế với $t$: $4t^2-40t+36=0\\Rightarrow t^2-10t+9=0.$\n\nGiải: $(t-1)(t-9)=0\\Rightarrow t=1\\ \\text{hoặc}\\ t=9.$\n\nXét điều kiện $x_0>0$:\nNếu $t=1\\Rightarrow x_0+1=\\pm1$ cho $x_0=0$ hoặc $x_0=-2$; nhưng $x_0$ phải dương, nên loại.\n\nChọn $t=9\\Rightarrow x_0+1=3\\Rightarrow x_0=2.$\n\nTính $y_0$ và cuối cùng $P$:\n$y_0=\\dfrac{2\\cdot2-1}{2+1}=\\dfrac{3}{3}=1.$\n\n$P=x_0^2+y_0^2+x_0y_0=2^2+1^2+2\\cdot1=4+1+2=7.$\n\n✅ Đáp án: 7","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận xiên","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":18,"text":"Một công ty sản xuất mỹ phẩm ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là\n$C(x)=300x+50\\ \\text{(nghìn đồng)}.$\nKhi đó $f(x)=\\dfrac{C(x)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Hỏi chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không thấp hơn bao nhiêu nghìn đồng?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e5610","correctAnswer":"300","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm chi phí: $C(x)=300x+50\\ \\text{(nghìn đồng)}.$\n\nChi phí sản xuất trung bình: $f(x)=\\dfrac{C(x)}{x}.$\n\nSố sản phẩm $x>0$ (số sản phẩm phải dương).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất có thể của chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm, tức là tìm giới dưới của $f(x)$.\n\nCần sử dụng kiến thức đại số: biến đổi biểu thức và xét dấu của các thành phần phụ thuộc vào $x$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại chi phí trung bình:\n$f(x)=\\dfrac{C(x)}{x}=\\dfrac{300x+50}{x}=300+\\dfrac{50}{x}.$\n\nXét biến số $x>0$:\nVì $x>0$ nên $\\dfrac{50}{x}>0.$\n\nDo đó $f(x)=300+\\dfrac{50}{x}>300\\quad\\text{với mọi }x>0.$\n\nNhận xét về giới dưới:\nKhi $x\\to\\infty$ thì $\\dfrac{50}{x}\\to 0$, nên $f(x)\\to 300.$\n\nVậy 300 là giới dưới (giá trị nhỏ nhất giới hạn) mà $f(x)$ có thể tiến tới nhưng không nhỏ hơn.\n\nKết luận: chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm không thấp hơn 300 nghìn đồng.\n\n✅ Đáp án: 300 (nghìn đồng)","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Cho $M(a;b)$ là điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số\n$y=x^3-3x$\nvà hai điểm $A(1;2),\\ B(2;1).$ Khi $MA+MB$ ngắn nhất thì giá trị $b-a$ bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e5610","correctAnswer":"1","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm M có tọa độ $M(a;b)$ nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x.$\n\nHai điểm cố định: $A(1;2),\\ B(2;1).$\n\nCần tìm giá trị $b-a$ khi $MA+MB$ nhỏ nhất.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tìm hiệu tọa độ $b-a$ của điểm tối ưu $M$ trên một đường thẳng đã cho sao cho tổng khoảng cách $MA+MB$ nhỏ nhất.\n\nCần áp dụng các khái niệm: tìm điểm cực trị (lấy đạo hàm), phương trình đường thẳng, và phương pháp phản xạ để tối thiểu hóa tổng hai khoảng cách (phương pháp phản chiếu qua đường thẳng).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm các điểm cực trị của hàm số: $y'=3x^2-3=0\\Rightarrow x=\\pm1.$ \nTừ đó hai điểm cực trị là $(-1;2)\\ \\text{và}\\ (1;-2).$\n\nPhương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó: hệ số góc $m=\\dfrac{-2-2}{1-(-1)}=-2$ nên đường thẳng là $y=-2x$ (hay $2x+y=0$).\n\nĐể tìm điểm $M$ trên đường thẳng sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất, ta phản chiếu một điểm (ví dụ $A$) qua đường thẳng $y=-2x$ được điểm $A'$. Khi đó đường thẳng $A'B$ cắt đường $y=-2x$ tại điểm tối ưu $M$ và giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ bằng khoảng cách $A'B$.\n\nPhản chiếu $A(1,2)$ qua đường $2x+y=0$ dùng công thức phản xạ: với $a=2,b=1,c=0$, ta có $ax_0+by_0+c=4,\\ a^2+b^2=5.$ \nDo đó\nVậy $A'\\big(-\\tfrac{11}{5};\\tfrac{2}{5}\\big).$\n\nPhương trình đường thẳng $A'B$: hệ số góc\nnên $y-1=\\frac{1}{7}(x-2)\\Rightarrow y=\\frac{1}{7}x+\\frac{5}{7}.$\n\nGiao điểm của $y=\\frac{1}{7}x+\\frac{5}{7}$ và $y=-2x$ là nghiệm của\nKhi đó $y=-2x=\\frac{2}{3}.$ Vậy điểm tối ưu là $M\\Big(-\\frac{1}{3};\\frac{2}{3}\\Big).$\n\nDo đó\n\n✅ Đáp án: 1","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":20,"text":"Trong một buổi cắm trại bên bờ hồ, các đội thi đua chạy từ lều chỉ huy A cách bờ hồ 20 m đến hồ lấy nước và mang về lều chỉ huy B cách bờ hồ 50 m.\nHai lều chỉ huy A và B cách nhau 50 m. Đoạn đường đi ngắn nhất mỗi lượt các đội có thể đi là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e5610","correctAnswer":"80,6","explanation":"📄 Thông tin đề bài cho\nĐiểm (A) cách bờ hồ (20) m: $AE=20$\n\nĐiểm (B) cách bờ hồ (50) m: $FB=50$\n\nKhoảng cách giữa hai lều chỉ huy: $AB=50$\n\nBờ hồ là đường thẳng ngang (EF), với $AE \\parallel FB,\\quad AE\\perp EF.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi\nTìm độ dài ngắn nhất của đường đi từ (A) xuống bờ hồ rồi đến (B): $A\\to P\\ (\\text{trên bờ})\\to B.$\n\nÁp dụng nguyên lý phản xạ / phương pháp phản chiếu để biến đường gấp khúc thành đường thẳng.\n\n🔍 Hướng dẫn cách làm\nChọn hệ trục sao cho: \n$A=(0,20),\\quad B=(x,50).$\n\nTừ công thức khoảng cách: $AB^2=x^2+(50-20)^2.$\nThay số: $x^2+30^2=50^2.$\nSuy ra: $x^2=2500-900=1600\\Rightarrow x=40.$\nVậy hai hình chiếu trên bờ cách nhau: $EF=40\\text{ m}.$\n🔁 Phản chiếu điểm (B)\nPhản chiếu (B) qua bờ hồ được: $B'=(40,-50).$\nKhi đó đường ngắn nhất chính là đoạn thẳng:$AB'.$\n📐 Tính độ dài ngắn nhất\n$AB'=\\sqrt{(40-0)^2+(-50-20)^2}=\\sqrt{40^2+(-70)^2}=\\sqrt{1600+4900}=\\sqrt{6500}.$\nGiá trị xấp xỉ: $\\sqrt{6500}\\approx80{,}622577\\ldots$\nLàm tròn đến hàng phần mười: $\\boxed{80{,}6\\text{ m}}.$\n✅ Đáp án: 80,6 m","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-dao-duy-tu-tinh-thanh-hoa-2026-co-dap-an/16xJPJp8haOBgvd5YFCkMgdyTs9pZblq2_2026-02-03151821.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng"},{"id":21,"text":"Một đại lý vật liệu cần thuê xe chở 140 tấn xi măng và 9 tấn thép tới công trình xây dựng. Nơi thuê có hai loại xe A và B, trong đó xe A có 10 chiếc và xe B có 9 chiếc. Mỗi xe loại A cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại B cho thuê với giá 4,5 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A chở tối đa 20 tấn xi măng và 0,6 tấn thép, mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 tấn xi măng và 1,5 tấn thép. Để số tiền thuê xe ít nhất đại lý đã thuê $x$ chiếc xe loại A và $y$ chiếc xe loại B. Tính $2x+y$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e5610","correctAnswer":"14","explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nTổng xi măng cần chở: 140 tấn.\n\nTổng thép cần chở: 9 tấn.\n\nSố xe loại A tối đa có sẵn: 10 chiếc.\n\nSố xe loại B tối đa có sẵn: 9 chiếc.\n\nGiá thuê: mỗi xe A là 5 triệu, mỗi xe B là 4,5 triệu.\n\nSức chở mỗi xe A: 20 tấn xi măng và 0,6 tấn thép.\n\nSức chở mỗi xe B: 10 tấn xi măng và 1,5 tấn thép.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tìm số xe thuê $x$ (loại A) và $y$ (loại B) sao cho chi phí thuê $C = 5x + 4.5y$ là nhỏ nhất, thỏa mãn các ràng buộc về tải xi măng và thép, và không vượt quá số xe có sẵn.\n\nSau khi tìm $x$ và $y$ tối ưu, cần tính giá trị $2x + y$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $x$ là số xe loại A thuê, $y$ là số xe loại B thuê (số nguyên), với $0 \\le x \\le 10,\\ 0 \\le y \\le 9$.\n\n✍️ Viết các ràng buộc về khối lượng:\nXi măng: $20x + 10y \\ge 140 \\Rightarrow 2x + y \\ge 14$.\n\nThép: $0.6x + 1.5y \\ge 9 \\Rightarrow 6x + 15y \\ge 90 \\Rightarrow 2x + 5y \\ge 30$.\n\n📉 Hàm chi phí cần tối thiểu hóa:\n$C = 5x + 4.5y$.\n\n📐 Tìm giao điểm của hai đường ràng buộc (xét bằng nhau) để tìm ứng viên tối ưu liên tục:\nTrừ hai phương trình: $4y = 16 \\Rightarrow y = 4$.\n\nThay vào: $2x + 4 = 14 \\Rightarrow x = 5$.\n\n✅ Kiểm tra tính nguyên và tính khả thi:\n$x = 5,\\ y = 4$ thỏa mọi ràng buộc và giới hạn số xe.\n\nChi phí tại điểm này: $C = 5 \\cdot 5 + 4.5 \\cdot 4 = 25 + 18 = 43\\ (\\text{triệu})$.\n\nKiểm tra các phương án lân cận nguyên: các phương án khả dĩ đều cho chi phí $\\ge 43$ (ví dụ $x=4,y=6 \\Rightarrow C=47$; $x=6,y=4 \\Rightarrow C=48$; …).\n→ Do đó $(5,4)$ là tối ưu nguyên.\n\n🧮 Vậy giá trị cần tính:\n$2x + y = 2 \\cdot 5 + 4 = 14$.\n\n✅ Đáp án: 14","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-dao-duy-tu-tinh-thanh-hoa-2026-co-dap-an/1lBElNKpCqoePCQ_I4nb5poQHC7KE7JUy_2026-02-03151824.png"],"chapter":"bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Vào đầu tháng 1 anh Huy gửi vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất 0,5%/tháng. Từ đó, cứ vào đầu mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ hai anh Huy đến ngân hàng rút ra 30 triệu đồng để tiêu xài. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Huy rút hết tiền trong ngân hàng (tháng cuối cùng có thể rút được ít hơn 30 triệu đồng).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698211c7ba44c4f8df1e5610","correctAnswer":"37","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSố tiền gửi ban đầu: 1 tỷ đồng = 1.000.000.000 đồng. \n\nLãi suất theo tháng: 0,5%/tháng ⇒ $r=0{.}005$. \n\nTừ đầu tháng thứ 2, mỗi tháng rút: 30 triệu đồng = 30.000.000 đồng. \n\nTháng cuối cùng có thể rút ít hơn 30 triệu đồng. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Huy rút hết tiền trong ngân hàng (đếm theo số lần rút hàng tháng). \n\nCần áp dụng: mô hình số dư theo lãi kép hàng tháng kèm rút đều (dãy suy giảm do rút cố định), dùng công thức dãy nhân (hệ thức truy hồi) và tổng cấp số nhân.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $B_0=1\\,000\\,000\\,000$ là số tiền ban đầu, $W=30\\,000\\,000$ là số tiền rút mỗi tháng, $r=0{.}005$ là lãi suất tháng. \n\nSau mỗi tháng trước khi rút, số dư nhân lên bởi $1+r$, rồi rút $W$ nên quy luật truy hồi sau mỗi lần rút là: \n$B_k=B_{k-1}(1+r)-W\\quad(k\\ge1),\\quad B_0=1\\,000\\,000\\,000.$ \n\nDùng công thức đóng cho dãy này (cấp số nhân với trừ đi số hằng): \n$B_k=B_0(1+r)^k-W\\frac{(1+r)^k-1}{r}.$ \n\nThay số vào: vì $\\frac{W}{r}=\\frac{30\\,000\\,000}{0{.}005}=6\\,000\\,000\\,000$, nên \n\nMuốn tiền hết sau k lần rút nghĩa là sau lần rút thứ k số dư không dương nữa: $B_k\\le0$. Do đó cần giải bất đẳng thức: \ntương đương\n\nLấy logarit: \n\nVậy số lần rút nhỏ nhất là số nguyên dương kế tiếp: $k=37.$ (Tháng thứ 37 là tháng anh Huy rút hết tiền; lần rút cuối có thể nhỏ hơn 30 triệu.)\n\n✅ Đáp án: 37 tháng","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"bài tập cuối chương vi","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 6","difficulty":"vận dụng"}]}