{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Nguyễn Khuyến & Lê Thánh Tông Sở GD&ĐT TP.HCM năm 2026 - Mã đề 10","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6983826860c34a23f07476a5","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6983826860c34a23f07476a6","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6983826860c34a23f07476a7","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Trong hệ trục toạ độ Oxy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\\dfrac{2}{x-2}$ có phương trình là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983826860c34a23f07476a5","options":[{"label":"A","text":"$y=2$","correct":false,"reason":"Sai vì $y=2$ không phải là giới hạn của hàm số khi $x \\to \\infty$. Giới hạn đúng là $0$ do bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu."},{"label":"B","text":"$y=-1$","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị $-1$ không liên quan đến giới hạn của hàm số $y=\\frac{2}{x-2}$ khi $x$ tiến ra vô cùng."},{"label":"C","text":"$y=0$","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\lim_{x \\to \\infty} \\frac{2}{x-2} = 0$ và $\\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{2}{x-2} = 0$, nên đường $y=0$ là tiệm cận ngang."},{"label":"D","text":"$x=2$","correct":false,"reason":"Sai vì $x=2$ là phương trình của tiệm cận đứng (do $\\lim_{x \\to 2} \\frac{2}{x-2} = \\infty$), không phải tiệm cận ngang mà đề bài yêu cầu."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\dfrac{2}{x-2}$. \n\nXét tiệm cận ngang của đồ thị trong hệ trục tọa độ Oxy. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định phương trình của tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. \n\nCần biết khái niệm tiệm cận ngang: nếu $\\lim_{x\\to\\infty} f(x)=L$ hoặc $\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=L$ thì đường $y=L$ là tiệm cận ngang. \n\nVới một phân thức hữu tỉ, khi bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì tiệm cận ngang là $y=0$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGhi lại hàm số: $y=\\dfrac{2}{x-2}.$ \n\nXét giới hạn khi $x\\to\\infty$ và $x\\to-\\infty$:\n$\\lim_{x\\to\\infty}\\dfrac{2}{x-2}=0,$ vì tử số bằng hằng số và mẫu tạo độ lớn vô hạn. \n\n$\\lim_{x\\to-\\infty}\\dfrac{2}{x-2}=0.$\n\nVì cả hai giới hạn tại vô cùng đều bằng 0, nên đường $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị. \n\nLưu ý: đường $x=2$ là tiệm cận đứng (mẫu bằng 0 tại $x=2$), không phải tiệm cận ngang.\n\n✅ Đáp án: $C. \\; y=0$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận ngang","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Một dãy ghế gồm 8 chiếc ghế được xếp thành hàng ngang. Số cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E ngồi vào 8 chiếc ghế sao cho mỗi bạn ngồi một ghế là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983826860c34a23f07476a5","options":[{"label":"A","text":"40","correct":false,"reason":"Giá trị 40 sai hoàn toàn với kết quả; số cách xếp đúng là $A_8^5 = 6720$."},{"label":"B","text":"$A_8^3$","correct":false,"reason":"$A_8^3$ là số cách xếp 3 người vào 8 ghế, trong khi đề bài yêu cầu xếp 5 bạn A, B, C, D, E."},{"label":"C","text":"$C_8^5$","correct":false,"reason":"$C_8^5$ chỉ tính số cách chọn 5 ghế (tổ hợp) mà không xét thứ tự, bỏ qua việc sắp xếp 5 bạn khác nhau vào các ghế đã chọn."},{"label":"D","text":"$A_8^5$","correct":true,"reason":"Đây là bài toán chỉnh hợp: chọn 5 ghế từ 8 ghế và xếp 5 bạn phân biệt vào, số cách là $A_8^5 = \\frac{8!}{(8-5)!} = 6720$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMột dãy gồm 8 chiếc ghế xếp thành hàng ngang (hình đính kèm mô tả 8 ghế xếp thẳng hàng). \n\nNăm bạn A, B, C, D, E cần được xếp ngồi, mỗi bạn ngồi một ghế. \n\nTìm số cách xếp các bạn vào 8 ghế (ghế khác nhau theo vị trí).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu số cách chọn và sắp xếp 5 người phân biệt vào 8 vị trí phân biệt. \n\nCần áp dụng kiến thức về hoán vị lấy k phần tử của n phần tử: $A_n^k$. \n\nLưu ý: thứ tự ngồi quan trọng (vì mỗi ghế có vị trí khác nhau).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nSử dụng công thức hoán vị: $A_n^k=\\frac{n!}{(n-k)!}$, với ở đây $n=8,\\ k=5$. \n\nÁp dụng: $A_8^5=\\frac{8!}{(8-5)!}=\\frac{8!}{3!}$. \n\nTính giá trị: $\\frac{8!}{3!}=8\\cdot7\\cdot6\\cdot5\\cdot4=6720$. \n\nKiểm tra các phương án sai: 40 là quá nhỏ; $A_8^3$ là số cách xếp 3 người; $C_8^5$ là số cách chọn 5 ghế mà không xét thứ tự — đều không đúng với yêu cầu đề bài.\n\n✅ Đáp án: $D. A_8^5$","chapter":"đại số tổ hợp","topic":"bài tập cuối chương viii","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 8","difficulty":"thông hiểu"},{"id":3,"text":"Trong không gian Oxyz, cho điểm $\\overrightarrow{OE}=2\\vec{i}-3\\vec{j}+4\\vec{k}$. Điểm đối xứng với điểm $E$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm có toạ độ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983826860c34a23f07476a5","options":[{"label":"A","text":"(−2;4;−3)","correct":false},{"label":"B","text":"(2;−3;−4)","correct":false},{"label":"C","text":"(−2;−3;4)","correct":true},{"label":"D","text":"(2;3;−4)","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm có vectơ vị trí $\\overrightarrow{OE}=2\\vec{i}-3\\vec{j}+4\\vec{k}$.\n\nMặt phẳng đối xứng là $(Oyz)$ (mặt phẳng chứa trục $Oy$ và $Oz$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm $E$ qua mặt phẳng $(Oyz)$.\n\nKiến thức cần dùng: quy tắc phản xạ qua mặt phẳng tọa độ — đặc biệt mặt phẳng $x=0$ (Oyz) đổi dấu hoành độ, tung độ và cao độ giữ nguyên.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ $\\overrightarrow{OE}=2\\vec{i}-3\\vec{j}+4\\vec{k}$ suy ra tọa độ điểm $E$ là $(2;\\,-3;\\,4)$.\n\nMặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x=0$. Phản xạ một điểm qua mặt phẳng $x=0$ nghĩa là hoành độ đổi dấu, còn tung độ và cao độ không đổi.\n\nNếu $E(x,y,z)=(2,-3,4)$ thì điểm đối xứng $E'$ có tọa độ $E'(-x;y;z)=(-2;-3;4)$\n\n✅ Đáp án: $C. (−2;−3;4)$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"hệ trục tọa độ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian","difficulty":"nhận biết"},{"id":4,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có một phần đồ thị như hình bên. Khoảng đồng biến của hàm số $y=f(x)$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983826860c34a23f07476a5","options":[{"label":"A","text":"(2;4)","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(2;4)$, hàm số đồng biến trên $(2;3)$ nhưng nghịch biến trên $(3;4)$ vì đồ thị đi xuống sau điểm cực đại $x=3$, nên đây không phải là khoảng đồng biến."},{"label":"B","text":"(0;3)","correct":false,"reason":"Trên $(0;3)$, hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ (đồ thị đi xuống) và đồng biến trên $(1;3)$, do đó khoảng này chứa cả hai tính đơn điệu khác nhau."},{"label":"C","text":"(−1;0)","correct":false,"reason":"Trên $(-1;0)$, đồ thị đi từ điểm $(-1;3)$ xuống đến gốc tọa độ $O(0;0)$ nên hàm số nghịch biến (giảm), không phải đồng biến."},{"label":"D","text":"(1;3)","correct":true,"reason":"Trên $(1;3)$, đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu tại $x=1$ đến điểm cực đại tại $x=3$, do đó hàm số đồng biến (tăng) trên toàn bộ khoảng này."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y=f(x)$ có một phần đồ thị như hình: có điểm đầu (-1, 3), đi xuống cắt trục hoành tại O(0,0), đạt điểm cực tiểu tại $x=1$ (dưới trục hoành), rồi tăng lên đến đỉnh (cực đại) tại (3, 3) (đỉnh nhọn), sau đó giảm và cắt trục hoành tại $x=4$.\n\nTrục x có các mốc đánh dấu: -1, 1, 3, 4; trục y có mốc 3.\n\nCác đoạn đồ thị: giảm từ -1 đến 1, tăng từ 1 đến 3, giảm từ 3 trở đi.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu: xác định khoảng đồng biến (khoảng hàm số tăng) của $y=f(x)$.\n\nCần áp dụng định nghĩa: hàm số đồng biến trên khoảng $I$ nếu với mọi $x_1-1$. Với $x=0$ thuộc khoảng $(-1;+\\infty)$ thì $5^{3(0)+1}=5>\\frac{1}{25}$, không thỏa mãn."},{"label":"B","text":"(−∞;1)","correct":false,"reason":"Sai vì khoảng $(-\\infty;1)$ chứa các giá trị $x \\in [-1;1)$ không thỏa mãn bất phương trình. Ví dụ $x=0$ thuộc khoảng này nhưng $5^{3(0)+1}=5>\\frac{1}{25}$."},{"label":"C","text":"(1;+∞)","correct":false,"reason":"Sai vì với $x>1$ thì $3x+1>4$, suy ra $5^{3x+1}>5^4>\\frac{1}{25}$, trái với yêu cầu $5^{3x+1}<\\frac{1}{25}$."},{"label":"D","text":"(−∞;−1)","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\frac{1}{25}=5^{-2}$, do cơ số $5>1$ nên $5^{3x+1}<5^{-2} \\Leftrightarrow 3x+1<-2 \\Leftrightarrow x<-1$, tức là $x \\in (-\\infty;-1)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMôn: MATH.\n\nBất phương trình: $5^{3x+1}<\\dfrac{1}{25}$.\n\nNhận xét: $\\dfrac{1}{25}=5^{-2}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm tập nghiệm (tập các giá trị của $x$) sao cho bất phương trình đúng.\n\nCần áp dụng kiến thức về hàm mũ: với cơ số $5>1$, hàm số $5^t$ là đồng biến, nên ta có thể so sánh hai lũy thừa cùng cơ số bằng cách so sánh số mũ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại vế phải cùng cơ số 5: $\\dfrac{1}{25}=5^{-2}.$\n\nDo cơ số 5 lớn hơn 1, hàm mũ là đồng biến, nên bất phương trình tương đương với:\n$5^{3x+1}<5^{-2}\\Longleftrightarrow 3x+1<-2.$\n\nGiải bất phương trình bậc nhất: $3x+1<-2\\Rightarrow 3x<-3\\Rightarrow x<-1.$\n\nVậy tập nghiệm là khoảng $(-\\infty;-1).$\n\nKiểm tra nhanh: với $x=-2$ ta có $5^{3(-2)+1}=5^{-5}=\\dfrac{1}{3125}<\\dfrac{1}{25}$ (đúng); với $x=0$ ta có $5^{1}=5>\\dfrac{1}{25}$ (sai). Kết luận hợp lý.\n\n✅ Đáp án: $D. (−∞;−1)$","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bất phương trình mũ","difficulty":"nhận biết"},{"id":11,"text":"Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh bên bằng $3a$, đáy bằng $2a$. Số đo của góc nhị diện $[A',BC,A]$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983826860c34a23f07476a5","options":[{"label":"A","text":"60°","correct":true,"reason":"Trong tam giác vuông $AA'H$ (vuông tại $A$), có $\\cos(\\angle A'HA) = \\dfrac{AH}{A'H} = \\dfrac{\\sqrt{3}a}{2\\sqrt{3}a} = \\dfrac{1}{2}$, nên góc nhị diện $[A',BC,A] = \\angle A'HA = 60^\\circ$."},{"label":"B","text":"45°","correct":false,"reason":"Sai do nhầm lẫn tỉ số cạnh, ví dụ tính $\\arctan\\left(\\dfrac{AH}{AA'}\\right) = 30^\\circ$ hoặc giả thiết sai $AA' = AH$ dẫn đến góc $45^\\circ$."},{"label":"C","text":"120°","correct":false,"reason":"Sai vì $120^\\circ$ là góc bù của góc nhị diện ($180^\\circ - 60^\\circ$), trong khi đáp án cần tìm là góc nhọn $60^\\circ$ giữa hai mặt phẳng."},{"label":"D","text":"30°","correct":false,"reason":"Sai vì đây là số đo góc $\\angle HA'A$ (tại đỉnh $A'$) với $\\sin(\\angle HA'A) = \\dfrac{AH}{A'H} = \\dfrac{1}{2}$, không phải góc nhị diện tại cạnh $BC$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$.\n\nĐáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$.\n\nCạnh bên $AA' = BB' = CC' = 3a$.\n\nXét góc nhị diện $[A',,BC,,A]$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nGóc nhị diện $[A',BC,A]$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng:\nMặt phẳng $(A'BC)$\n\nMặt phẳng $(ABC)$\n\nTa cần tính số đo góc giữa hai mặt phẳng này theo cạnh đã cho.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $ABC$ là tam giác đều nên:\n$AB = BC = CA = 2a$\n\nGọi $H$ là trung điểm của $BC$ thì $AH \\perp BC$.\n\nDo lăng trụ đều:\n$AA' \\perp (ABC)$\n\nSuy ra $A'H \\perp BC$.\n\nKhi đó, góc nhị diện $[A',BC,A]$ chính là góc giữa hai đường thẳng:\n$AH$ (trong mặt phẳng $(ABC)$)\n\n$A'H$ (trong mặt phẳng $(A'BC)$)\n\nXét tam giác vuông $AA'H$ tại $A$:\n$AH = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot 2a = \\sqrt{3}a$\n\n$AA' = 3a$\n\nÁp dụng công thức cosin cho góc $\\widehat{HA'A}$:\n$\\cos\\varphi = \\frac{AH}{A'H}$\n\nTính $A'H$:\n$A'H = \\sqrt{AH^2 + AA'^2} = \\sqrt{3a^2 + 9a^2} = 2\\sqrt{3}a$\n\nDo đó:\n$\\cos\\varphi = \\frac{\\sqrt{3}a}{2\\sqrt{3}a} = \\frac{1}{2}$\n\nSuy ra:\n$\\varphi = 60^\\circ$\n\n✅ Đáp án: A. $60^\\circ$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-10-co-dap-an/15H1GnkKbuuWKrbxThLSL7mYWDbCtPLqM_2026-02-04173115.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"hai mặt phẳng vuông góc","grade":"GRADE_11","questionCategory":"góc nhị diện","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-3$ và $u_8=-243$. Số hạng $u_3$ của cấp số nhân đã cho là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983826860c34a23f07476a5","options":[{"label":"A","text":"−8","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị này không phù hợp với công thức $u_n = u_1 \\cdot q^{n-1}$ khi $u_1=-3$ và $u_5=-243$ (suy ra $q^4=81$). Đúng ra $u_3 = u_1 \\cdot q^2 = -3 \\cdot 9 = -27$."},{"label":"B","text":"−81","correct":false,"reason":"Sai vì $-81$ là giá trị của $u_4 = u_1 \\cdot q^3 = -3 \\cdot 27$ khi $q=3$, hoặc do nhầm lẫn với $u_5$, trong khi $u_3 = u_1 \\cdot q^2 = -27$."},{"label":"C","text":"−27","correct":true,"reason":"Đúng vì từ $u_5 = u_1 \\cdot q^4$ suy ra $q^4 = \\frac{-243}{-3} = 81$ nên $q^2 = 9$. Do đó $u_3 = u_1 \\cdot q^2 = -3 \\cdot 9 = -27$."},{"label":"D","text":"9","correct":false,"reason":"Sai do bỏ qua dấu âm của $u_1$, tính $u_3 = 3^2 = 9$ thay vì $-3 \\cdot 3^2 = -27$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho cấp số nhân $(u_n)$.\n\nBiết:\n$u_1 = -3$\n\n$u_5 = -243$\n\nYêu cầu: tìm số hạng $u_3$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐây là bài toán về cấp số nhân.\n\nCần sử dụng công thức số hạng tổng quát:\n$u_n = u_1 \\cdot q^{,n-1}$\ntrong đó $q$ là công bội.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng công thức cho $u_5$:\n$u_5 = u_1 \\cdot q^4$\n\nThay số:\n$-243 = -3 \\cdot q^4$\n\nChia hai vế cho $-3$:\n$q^4 = 81 = 3^4 \\Rightarrow q = 3$\n(vì $q$ dương để phù hợp với các đáp án).\n\nTính $u_3$:\n$u_3 = u_1 \\cdot q^2 = -3 \\cdot 3^2 = -27$\n\n✅ Đáp án: C. $-27$","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số nhân","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số nhân","difficulty":"nhận biết"},{"id":13,"text":"Đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)=\\dfrac{ax+8}{x+b}$ có bảng biến thiên bên như hình bên.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983826860c34a23f07476a6","statements":[{"label":"A","text":"Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tâm đối xứng là $I(3;-2).$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị hàm số $y=f(x)=\\dfrac{ax+8}{x+b}$ có bảng biến thiên như hình: tiệm cận ngang $y=3$, tiệm cận đứng $x=-2$, và hàm số luôn giảm trên mỗi khoảng (tức $y' <0$ trên cả hai phía của tiệm cận).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu A khẳng định: Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là $I(3;-2).$\n\nCần biết: tâm đối xứng của đồ thị dạng này là giao điểm của hai tiệm cận (tọa độ $(-b,a)$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ tiệm cận ngang $y=3$ suy ra $a=3$ (hệ số hàng đầu của tử chia cho hệ số hàng đầu của mẫu là $a$).\n\nTừ tiệm cận đứng $x=-2$ suy ra nghiệm của mẫu là $x=-b=-2\\Rightarrow b=2$.\n\nTâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận: $(-b,a)=(-2,3).$\n\nSo sánh với điểm trong đề: $I(3;-2)\\neq (-2,3).$\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Tập giá trị của hàm số $y=f(x)$ là $T=\\mathbb{R}\\setminus{3}.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=\\dfrac{ax+8}{x+b}$ với tiệm cận ngang $y=3$ và tiệm cận đứng $x=-2$ (từ hình).\n\nTừ đó đã xác định được $a=3$ và $b=2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu B khẳng định: Tập giá trị của hàm số là $T=\\mathbb{R}\\setminus\\{3\\}.$\n\nCần biết: với dạng phân thức bậc nhất trên bậc nhất, giá trị ngang (tiệm cận) $y=a$ có thể không thuộc ảnh nếu phương trình $y=a$ vô nghiệm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiải phương trình $y=\\dfrac{ax+8}{x+b}$ cho biến $x$ (với $y\\neq a$):\n$y(x+b)=ax+8\\Rightarrow x(y-a)=8-by\\Rightarrow x=\\dfrac{8-by}{y-a}.$ \n\nKhi $y\\neq a$ ta luôn có nghiệm hợp lệ cho $x$ (trừ khi mẫu bằng 0 nhưng đó trùng với tiệm cận đứng đã loại), do đó mọi $y\\neq a$ thuộc tập giá trị.\n\nGiá trị $y=a$ xảy ra khi và chỉ khi phương trình trở nên mệnh đề đúng vô điều kiện, tức là khi $ab=8$ (từ đặt $y=a$ ta được $ab=8$). Ở đây $a=3,b=2\\Rightarrow ab=6\\neq8$, vậy $y=3$ không nhận được giá trị nào trên đồ thị.\n\nDo đó tập giá trị là $\\mathbb{R}\\setminus\\{3\\}.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"$a+2b=-1.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=\\dfrac{ax+8}{x+b}$ với tiệm cận ngang $y=3$ và tiệm cận đứng $x=-2$ (từ hình), suy ra $a=3,\\;b=2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu C khẳng định: $a+2b=-1.$\n\nCần biết: chỉ cần thay giá trị $a,b$ đã tìm được để kiểm tra.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThay vào: $a+2b=3+2\\cdot2=3+4=7.$\n\nSo sánh: $7\\neq -1.$\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Xét điểm $A\\in (C),$ tổng khoảng cách từ $A$ đến hai đường tiệm cận của $(C)$ luôn lớn hơn 2,83.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị hàm số $y=f(x)=\\dfrac{3x+8}{x+2}$ (sau khi xác định $a=3,b=2$) có hai tiệm cận: đường đứng $x=-2$ và đường ngang $y=3$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu D khẳng định: Với mọi điểm $A\\in(C)$, tổng khoảng cách từ $A$ đến hai đường tiệm cận luôn lớn hơn $2{,}83$.\n\nCần biết: khoảng cách từ điểm $(x,y)$ đến tiệm cận đứng $x=-2$ là $|x+2|$, đến tiệm cận ngang $y=3$ là $|y-3|$. Tổng là $S=|x+2|+|y-3|$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính hiệu $y-3$ cho điểm thuộc đồ thị:\n$y-3=\\dfrac{3x+8}{x+2}-3=\\dfrac{2}{x+2}.$\n\nĐặt $t=|x+2|>0$ thì $|y-3|=\\left|\\dfrac{2}{x+2}\\right|=\\dfrac{2}{t}.$\n\nVậy tổng khoảng cách là $S=t+\\dfrac{2}{t}$ với $t>0$.\n\nHàm $g(t)=t+\\dfrac{2}{t}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=\\sqrt{2}$, giá trị nhỏ nhất là $g_{\\min}=2\\sqrt{2}\\approx2{,}828427...$\n\nVì $2\\sqrt{2}\\approx2{,}828427<2{,}83$, nên tồn tại điểm trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách nhỏ hơn $2{,}83$. Do đó khẳng định \"luôn lớn hơn 2,83\" là sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-10-co-dap-an/1SqLVXDRYqjYjm86AIfMF-UOdyyfXCHse_2026-02-04173107.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"thông hiểu"},{"id":14,"text":"Diện tích bao phủ của cỏ Posidonia (một loài tảo biển) trên đáy ở một vùng vịnh theo thời gian được một nhóm các nhà sinh vật học quan sát và mô hình bởi hàm số $f(t)=\\dfrac{k}{1+14e^{-0{,}3t}} \\text{ (hecta)},$ trong đó thời gian $t$ tính bằng năm, $k$ là số thực dương. Năm 2024 (ứng với $t=0$) là thời điểm các nhà sinh vật học bắt đầu quan sát, lúc đó diện tích của cỏ Posidonia đã bao phủ là 1 (hecta).","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983826860c34a23f07476a6","statements":[{"label":"A","text":"Giá trị $k=2.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm mô tả diện tích: $f(t)=\\dfrac{k}{1+14e^{-0{,}3t}}\\text{ (hecta)}$.\n\nThời điểm bắt đầu quan sát: năm 2024 tương ứng $t=0$.\n\nTại $t=0$, diện tích đã là 1 (hecta).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi A kiểm tra giá trị của tham số $k$; cần dùng giá trị của hàm tại $t=0$ để tìm $k$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTại $t=0$, thay vào hàm: $f(0)=\\dfrac{k}{1+14e^{0}}=\\dfrac{k}{1+14}=\\dfrac{k}{15}.$ \n\nDo dữ kiện cho biết $f(0)=1$, nên $\\dfrac{k}{15}=1\\Rightarrow k=15.$ \n\nSo sánh với khẳng định trong lựa chọn A (k=2): giá trị thực của $k$ là 15, không phải 2.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Theo thời gian, diện tích bao phủ của cỏ Posidonia ở vịnh này sẽ không vượt quá 15 (hecta).","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm: $f(t)=\\dfrac{k}{1+14e^{-0{,}3t}}\\,,$ với đã tìm được $k=15$ ở phần trước.\n\nÝ nghĩa: $f(t)$ là diện tích (hecta) theo thời gian $t$ (năm).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi B khẳng định rằng theo thời gian diện tích không vượt quá 15 (hecta).\n\nCần xét giới hạn của $f(t)$ khi $t\\to\\infty$ và so sánh với giá trị $k$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nKhi $t\\to\\infty$ thì $e^{-0{,}3t}\\to 0$, nên\n$\\lim_{t\\to\\infty}f(t)=\\lim_{t\\to\\infty}\\dfrac{k}{1+14e^{-0{,}3t}}=\\dfrac{k}{1+0}=k.$ \n\nVới $k=15$, giới hạn là 15. Do mẫu thức luôn dương và $e^{-0{,}3t}>0$ cho mọi $t$, nên\n$0<\\dfrac{1}{1+14e^{-0{,}3t}}<1\\Rightarrow 00$ (và $f(0)=1$). \n\nVậy diện tích tiến tới 15 nhưng không vượt quá 15.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Khi diện tích cỏ Posidonia bao phủ 5 (hecta) thì tốc độ bao phủ ở thời điểm đó là 1 (hecta/năm).","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDiện tích bao phủ được mô hình bởi $f(t)=\\dfrac{k}{1+14e^{-0,3t}}$ (hecta), với $t$ tính bằng năm.\n\nNăm 2024 ứng với $t=0$ và khi đó $f(0)=1$ (hecta).\n\nXét phát biểu c: “Khi $f(t)=5$ (hecta) thì tốc độ bao phủ tại thời điểm đó là $1$ (hecta/năm).”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm $k$ từ điều kiện ban đầu $f(0)=1$.\n\nTìm thời điểm $t$ sao cho $f(t)=5$.\n\nTính đạo hàm $f'(t)$ (tốc độ thay đổi diện tích) và thế vào thời điểm đó để kiểm tra có bằng 1 hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ $f(0)=1$:\n$f(0)=\\dfrac{k}{1+14e^{0}}=\\dfrac{k}{15}=1 \\Rightarrow k=15.$\n\nKhi $f(t)=5$:\n$\\frac{15}{1+14e^{-0,3t}}=5 \\Rightarrow 1+14e^{-0,3t}=3 \\Rightarrow 14e^{-0,3t}=2$\n$\\Rightarrow e^{-0,3t}=\\frac{1}{7}.$\n\nTính đạo hàm:\n$f(t)=\\frac{15}{1+14e^{-0,3t}} \\Rightarrow f'(t)=\\frac{15\\cdot 14\\cdot 0,3,e^{-0,3t}}{\\left(1+14e^{-0,3t}\\right)^2}.$\nRút gọn: $15\\cdot 14\\cdot 0,3=63$ nên\n$f'(t)=\\frac{63e^{-0,3t}}{\\left(1+14e^{-0,3t}\\right)^2}.$\n\nThế $e^{-0,3t}=\\frac{1}{7}$ vào:\nTử số: $63\\cdot \\frac{1}{7}=9.$\n\nMẫu số: $\\left(1+14\\cdot \\frac{1}{7}\\right)^2=(1+2)^2=9.$\n$\\Rightarrow f'(t)=\\frac{9}{9}=1\\ (\\text{hecta/năm}).$\n\n✅ Đáp án: \"Đúng\""},{"label":"D","text":"Nhóm các nhà sinh vật học dự đoán tốc độ thay đổi diện tích bao phủ của cỏ Posidonia trong năm 2035 là nhanh nhất.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm: $f(t)=\\dfrac{15}{1+14e^{-0{,}3t}}$ (hecta).\n\nTốc độ thay đổi là $f'(t)=\\dfrac{63\\,e^{-0{,}3t}}{(1+14e^{-0{,}3t})^{2}}$.\n\nHình ảnh đính kèm không thêm dữ kiện cụ thể về thời điểm cực đại.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu D khẳng định tốc độ thay đổi diện tích là nhanh nhất trong năm 2035.\n\nCần tìm thời điểm $t$ khi $f'(t)$ đạt giá trị lớn nhất, rồi so sánh với năm 2035 (tính từ 2024 -> $t=11$ ứng với năm 2035).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐể tìm cực đại của $f'(t)$, xét $y=e^{-0{,}3t}>0$ và hàm tỉ lệ\n$g(y)=\\dfrac{y}{(1+14y)^{2}}.$ \n\nTính đạo hàm theo $y$: $g'(y)=\\dfrac{1-14y}{(1+14y)^{3}}.$ \n\nGiải $g'(y)=0\\Rightarrow 1-14y=0\\Rightarrow y=\\dfrac{1}{14}.$ \n\nVậy $e^{-0{,}3t}=\\dfrac{1}{14}\\Rightarrow -0{,}3t=\\ln\\dfrac{1}{14}\\Rightarrow t=\\dfrac{\\ln 14}{0{,}3}\\approx \\dfrac{2{,}639}{0{,}3}\\approx 8{,}8\\text{ năm}.$ \n\nThời điểm này là khoảng $8{,}8$ năm sau 2024, tức khoảng cuối năm 2032 hoặc đầu 2033, không phải năm 2035 (tương ứng $t=11$). \n\nDo đó, tốc độ thay đổi nhanh nhất không xảy ra vào năm 2035.\n\n✅ Đáp án: Sai"}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tốc độ thay đổi của một đại lượng","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Trong một cảnh dựng phim có một ngôi nhà, mái nhà là hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có chiều cao là $2$ mét. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị đo trên các trục tính bằng mét), với các điểm ở đáy là $A(6{,}4;2),\\ B(6;6;2),\\ C(4;6;2),\\ D(4;4;2)$ và $S$ là đỉnh của mái nhà.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983826860c34a23f07476a6","statements":[{"label":"A","text":"Đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng $z-2=0.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐáy mái nhà là hình vuông $ABCD$ với\n$A(6;4;2),\\ B(6;6;2),\\ C(4;6;2),\\ D(4;4;2).$\n\nPhát biểu a): “Đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng $z-2=0$”.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét xem mặt phẳng chứa đáy $ABCD$ có phương trình là $z-2=0$ hay không.\n\nCần dùng kiến thức:\nMặt phẳng song song với $Oxy$ có dạng $z=a$.\n\nMột điểm thuộc mặt phẳng thì tọa độ của điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì các điểm $A,B,C,D$ có cùng tung độ $z$ nên mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng $Oxy$.\n\nDo đó, phương trình mặt phẳng $(ABCD)$ có dạng:\n$z=a.$\n\nThay tọa độ điểm $A(6;4;2)$ vào phương trình mặt phẳng:\n$z=2 \\Rightarrow a=2.$\n\nSuy ra phương trình mặt phẳng $(ABCD)$ là:\n$z=2 \\Leftrightarrow z-2=0.$\n\n✅ Đáp án: \"Đúng\""},{"label":"B","text":"Tọa độ đỉnh chóp của mái nhà là $S(5;4{,}5).$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$A(6;4;2),\\ C(4;6;2),\\ B(6;6;2),\\ D(4;4;2).$\n\nMái nhà là hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có chiều cao $h=2\\text{ m}$.\n\nPhát biểu b) cần xét: “Tọa độ đỉnh chóp của mái nhà là $S(5;4;5)$”.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nVới hình chóp tứ giác đều, chân đường cao từ $S$ xuống đáy là tâm của hình vuông $ABCD$.\n\nTa cần:\nTìm tâm $I$ của đáy $ABCD$.\n\nTừ đó tìm điểm $S$ sao cho $SI=2$ và $SI \\perp (ABCD)$ (tức là theo phương vuông góc mặt phẳng đáy).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ ⇒ $I$ là tâm hình vuông, đồng thời là trung điểm của $AC$.\n\nTính tọa độ trung điểm $I$ của $AC$:\n$I\\left(\\frac{6+4}{2};\\frac{4+6}{2};\\frac{2+2}{2}\\right)= (5;5;2).$\n\nVì đáy $ABCD$ nằm trên mặt phẳng $z=2$ nên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $I$ sẽ song song trục $Oz$, có vectơ chỉ phương:\n$\\vec{u}=(0;0;1).$\n\nViết phương trình tham số đường thẳng $SI$:\n$\\begin{cases} x=5 \\\\ y=5 \\\\ z=2+t \\end{cases}$\n⇒ Điểm $S$ thuộc đường thẳng này có dạng $S(5;5;2+t).$\n\nDo chiều cao $SI=2$ nên:\n$SI=|t|=2 \\Rightarrow t=2 \\text{ hoặc } t=-2.$\n\nVì $S$ nằm phía trên mặt phẳng đáy $z=2$ nên $t>0 \\Rightarrow t=2.$\n\nSuy ra:\n$S(5;5;4).$\n\nSo sánh với phát biểu: $S(5;4;5)$ là không đúng.\n\n✅ Đáp án: \"Sai\""},{"label":"C","text":"Mặt nghiêng của mái nhà $(SBC)$ tạo với mặt phẳng $(Ozx)$ một góc $\\varphi$ thì $\\cos\\varphi=\\dfrac{2}{\\sqrt{5}}.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐáy $ABCD$ có: $B(6;6;2),\\ C(4;6;2).$\n\nMái nhà là hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, chiều cao $SI=2$ (với $I$ là tâm đáy).\n\nTừ câu b đã tìm được đỉnh chóp: $S(5;5;4).$\n\nPhát biểu c): “Mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng $(Oxz)$ một góc $\\varphi$ có $\\cos\\varphi=\\dfrac{2}{\\sqrt5}$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần kiểm tra giá trị $\\cos\\varphi$ của góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(Oxz)$.\n\nDùng cách hình học như hình gợi ý: quy góc giữa hai mặt phẳng về góc giữa một đường thẳng nằm trong $(SBC)$ và mặt phẳng $(Oxz)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $H$ là trung điểm của $BC$:\n$H\\left(\\frac{6+4}{2};\\frac{6+6}{2};\\frac{2+2}{2}\\right)=(5;6;2).$\n\nVì hình chóp đều nên trong tam giác cân $SBC$, đường thẳng $SH$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao:\n$SH \\perp BC.$\n\nNhận xét: $BC$ có $y=6$ không đổi nên $BC \\parallel Oxz$.\nDo $SH \\perp BC$ nên $SH$ sẽ vuông góc với một phương song song $(Oxz)$, từ đó góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và $(Oxz)$ chính là:\n$\\varphi = 90^\\circ - \\angle SHI.$\n(đúng theo cách biến đổi trong hình)\n\nTính độ dài:\n$I(5;5;2)$ (tâm đáy) nên:\n$SI=|4-2|=2.$\n\n$SH=\\sqrt{(5-5)^2+(5-6)^2+(4-2)^2}=\\sqrt{0^2+(-1)^2+2^2}=\\sqrt5.$\n\nKhi đó:\n$\\cos\\varphi=\\cos(90^\\circ-\\angle SHI)=\\sin\\angle SHI=\\frac{SI}{SH}=\\frac{2}{\\sqrt5}.$\n\nGiá trị đúng như phát biểu.\n\n✅ Đáp án: \"Đúng\""},{"label":"D","text":"Một đèn chiếu đặt tại $L(5;10;2)$ chiếu sáng lên mái nhà từ bên phải. Một màn đặt trùng với mặt phẳng tọa độ $(Ozx)$, trên đó sẽ xuất hiện bóng của mái nhà là hình tam giác $S'B'C'$ (như hình vẽ trên). Diện tích tam giác $S'B'C'$ bằng $10$ mét vuông.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTừ các ý trước đã có đỉnh chóp: $S(5;5;4).$\n\nMặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình: $y=0.$\n\nĐiểm $L(5;10;2)$ (theo hình/đề đã cho).\n\n$C(4;6;2).$\n\nCác đường thẳng dùng trong hình:\n$LS$ có VTCP $\\vec u=\\overrightarrow{LS}=(0;-5;2).$\n\n$LB$ có VTCP $\\vec u=\\overrightarrow{LB}=(1;-4;0).$\n\n$LC$ có VTCP $\\vec u=\\overrightarrow{LC}=(-1;-4;0).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần tìm các giao điểm $S',B',C'$ của các đường thẳng tương ứng với mặt phẳng $(Oxz):y=0$.\n\nSau đó tính diện tích tam giác $S'B'C'$ bằng công thức tích có hướng:\n$S_{\\triangle S'B'C'}=\\frac12\\left|\\overrightarrow{S'B'}\\times\\overrightarrow{S'C'}\\right|.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm $S' = LS \\cap (Oxz)$:\nViết tham số $LS$ qua $S(5;5;4)$ và VTCP $(0;-5;2)$:\n$\\begin{cases} x=5 \\\\ y=5-5t \\\\ z=4+2t \\end{cases}$\n\nVì $S'\\in (Oxz)$ nên $y=0 \\Rightarrow 5-5t=0 \\Rightarrow t=1.$\n\nSuy ra:\n$S'(5;0;6).$\n\nTìm $B' = LB \\cap (Oxz)$:\nViết tham số $LB$ qua $L(5;10;2)$ và VTCP $(1;-4;0)$:\n$\\begin{cases} x=5+t \\\\ y=10-4t \\\\ z=2 \\end{cases}$\n\nĐiều kiện $B'\\in (Oxz)$: $y=0 \\Rightarrow 10-4t=0 \\Rightarrow t=\\frac52.$\n\nSuy ra:\n$B'\\left(5+\\frac52;\\ 0;\\ 2\\right)=\\left(\\frac{15}{2};0;2\\right).$\n\nTìm $C' = LC \\cap (Oxz)$:\nViết tham số $LC$ qua $C(4;6;2)$ và VTCP $(-1;-4;0)$:\n$\\begin{cases} x=4-t \\\\ y=6-4t \\\\ z=2 \\end{cases}$\n\nĐiều kiện $C'\\in (Oxz)$: $y=0 \\Rightarrow 6-4t=0 \\Rightarrow t=\\frac32.$\n\nSuy ra:\n$C'\\left(4-\\frac32;\\ 0;\\ 2\\right)=\\left(\\frac52;0;2\\right).$\n\nTính diện tích tam giác $S'B'C'$:\nTính vectơ:\n$\\overrightarrow{S'B'}=B'-S'=\\left(\\frac{15}{2}-5;\\ 0-0;\\ 2-6\\right)=\\left(\\frac52;0;-4\\right).$\n$\\overrightarrow{S'C'}=C'-S'=\\left(\\frac52-5;\\ 0-0;\\ 2-6\\right)=\\left(-\\frac52;0;-4\\right).$\n\nTích có hướng:\n$\\overrightarrow{S'B'}\\times\\overrightarrow{S'C'}=\\left(0;\\ (-4)\\cdot\\left(-\\frac52\\right)-\\left(\\frac52\\right)\\cdot(-4);\\ 0\\right)=(0;20;0).$\n\nĐộ dài:\n$\\left|\\overrightarrow{S'B'}\\times\\overrightarrow{S'C'}\\right|=20.$\n\nDiện tích:\n$S_{\\triangle S'B'C'}=\\frac12\\cdot 20=10.$\n\n✅ Đáp án: \"Đúng\""}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-10-co-dap-an/18uYDNB7rTy4A6dusQle8zgzkV55Fk0Wy_2026-02-04173104.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Lớp 12A có 40 học sinh, trong đó có 7 em tham gia Câu lạc bộ Toán học của trường. Điểm kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán của cả lớp được thống kê trong bảng sau.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983826860c34a23f07476a6","statements":[{"label":"A","text":"Khoảng biến thiên mẫu số liệu là $5.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLớp 12A có tổng cộng $40$ học sinh.\n\nCó $7$ học sinh tham gia Câu lạc bộ Toán học.\n\nBảng phân bố tần số (theo mô tả hình ảnh): các lớp điểm là $[5;6)\\;(2),\\;[6;7)\\;(3),\\;[7;8)\\;(8),\\;[8;9)\\;(15),\\;[9;10]\\;(12).$ (Số trong ngoặc là tần số của từng lớp.)\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu A khẳng định: \"Khoảng biến thiên mẫu số liệu là 5.\"\n\nCần áp dụng kiến thức về khoảng biến thiên (range), tức là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất từ bảng: nhỏ nhất là $5$ (bắt đầu lớp $[5;6)$), lớn nhất là $10$ (kết thúc lớp $[9;10]$).\n\nCông thức khoảng biến thiên: $\\text{Khoảng biến thiên} = x_{\\max} - x_{\\min}.$\n\nThay số: $\\text{Khoảng biến thiên} = 10 - 5 = 5.$\n\nVì bảng rõ ràng cho thấy min = 5 và max = 10, kết quả trên là chắc chắn.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Có ít nhất $13$ học sinh có điểm thi thấp hơn điểm trung bình của cả lớp.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng số học sinh: $40$.\n\nBảng tần số (theo hình): $[5;6):2,\\;[6;7):3,\\;[7;8):8,\\;[8;9):15,\\;[9;10]:12.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu B khẳng định: \"Có ít nhất 13 học sinh có điểm thi thấp hơn điểm trung bình của cả lớp.\"\n\nCần tính hoặc ước lượng điểm trung bình của lớp (dùng dữ liệu phân lớp) và so sánh số học sinh có điểm thấp hơn trung bình.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVới dữ liệu nhóm, ta lấy các tọa độ trung điểm (giá trị đại diện) của từng lớp: $5.5,\\;6.5,\\;7.5,\\;8.5,\\;9.5.$\n\nTính tổng tích tần số nhân trung điểm: $\\sum f_im_i = 2\\times5.5 + 3\\times6.5 + 8\\times7.5 + 15\\times8.5 + 12\\times9.5.$\n\nTính từng phần: $2\\times5.5=11,\\;3\\times6.5=19.5,\\;8\\times7.5=60,\\;15\\times8.5=127.5,\\;12\\times9.5=114.$\n\nTổng: $11+19.5+60+127.5+114 = 332.$\n\nĐiểm trung bình xấp xỉ: $\\bar{x}=\\dfrac{332}{40}=8.3.$\n\nSố học sinh có điểm < 8 (tức là thuộc các lớp [5;6),[6;7),[7;8)) là $2+3+8=13.$ Những học sinh này chắc chắn có điểm thấp hơn trung bình $8.3$.\n\nVì đã có chắc chắn ít nhất $13$ học sinh dưới điểm trung bình, tuy có thể còn thêm 1 phần của lớp [8;9) có điểm <8.3 nhưng ta chỉ cần khẳng định \"ít nhất 13\".\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Hơn $67\\%$ học sinh trong lớp đạt điểm thi từ $8$ trở lên.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng số học sinh: $40$.\n\nBảng tần số (theo hình): $[5;6):2,\\;[6;7):3,\\;[7;8):8,\\;[8;9):15,\\;[9;10]:12.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu C khẳng định: \"Hơn 67% học sinh trong lớp đạt điểm thi từ 8 trở lên.\"\n\nCần đếm số học sinh có điểm $\\ge 8$ và so sánh với tỷ lệ phần trăm của lớp.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nHọc sinh có điểm $\\ge 8$ thuộc các lớp $[8;9)\\;\\text{và}\\;[9;10],$ có tần số $15\\;\\text{và}\\;12$.\n\nTổng số đạt $\\ge 8$: $15+12=27.$\n\nTỷ lệ phần trăm: $\\dfrac{27}{40}=0.675=67.5\\%.$\n\nSo sánh: $67.5\\%>67\\%.$ Vậy khẳng định \"Hơn 67%\" là đúng.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Biết rằng cả $7$ học sinh trong Câu lạc bộ Toán học đều có điểm thi không dưới $8$. Chọn ngẫu nhiên $6$ học sinh trong lớp 12A có điểm thi không dưới $8$. Xác suất có ít nhất $2$ em thuộc Câu lạc bộ Toán học được chọn là $\\dfrac{3541}{91309}.$","correct":false,"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nTổng số học sinh: $40$, trong đó có $7$ học sinh thuộc Câu lạc bộ Toán (và theo giả thiết cả 7 đều có điểm $\\ge 8$).\n\nChọn ngẫu nhiên $6$ học sinh.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu D khẳng định rằng xác suất chọn ngẫu nhiên 6 học sinh có ít nhất 2 em thuộc Câu lạc bộ Toán bằng $\\dfrac{3541}{91309}$.\n\nCần tính xác suất theo phân phối siêu bội (hypergeometric): chọn không hoàn lại từ tập 40 gồm 7 “thành công” và 33 “thất bại”.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $k$ là số thành viên CLB Toán trong mẫu 6.\n\nXác suất có ít nhất 2 thành viên CLB:\n$P(k\\ge2)=1-P(0)-P(1).$\n\nCông thức siêu bội:\n$P(k)=\\dfrac{C_7^k \\cdot C_{33}^{6-k}}{C_{40}^6}.$\n\n🔢 Tính các giá trị cần thiết:$C_{40}^6=3,838,380.$\n\n$C_{33}^6=1,107,568,$\n\n$C_{33}^5=237,336.$\n\n$P(0)=\\dfrac{C_7^0 \\cdot C_{33}^6}{C_{40}^6}=\\dfrac{1\\cdot1,107,568}{3,838,380}.$\n\n$P(1)=\\dfrac{C_7^1 \\cdot C_{33}^5}{C_{40}^6}=\\dfrac{7\\cdot237,336}{3,838,380}.$\n\nTổng:\n$P(0)+P(1)=\\dfrac{1,107,568+7\\cdot237,336}{3,838,380}=\\dfrac{2,768,920}{3,838,380}.$\n\nDo đó:\n$P(\\text{ít nhất 2})=1-\\dfrac{2,768,920}{3,838,380}=\\dfrac{1,069,460}{3,838,380}\\approx0{,}2787\\ (27{,}87%).$\n\nGiá trị khẳng định trong đề:\n$\\dfrac{3541}{91309}\\approx0{,}0388\\ (3{,}88%),$\nkhác rất nhiều so với kết quả đúng ở trên.\n\n✅ Đáp án: Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-10-co-dap-an/1oDyZUQy8mWgw7at4k19OhWTwb--A5vOL_2026-02-04173114.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"bài tập cuối chương iii.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 3","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Sau khi một bệnh nhân uống một liều thuốc, nồng độ của thuốc trong máu người đó được mô hình hóa bởi hàm số $C(t)=\\frac{125t}{t^2+100}\\quad (\\text{đơn vị: mg/L}),$ trong đó $t$ là thời gian sau khi uống thuốc (đơn vị: giờ) và $t\\ge 0.$ Tính nồng độ thuốc tối đa (đơn vị: mg/L) trong máu của bệnh nhân.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983826860c34a23f07476a7","correctAnswer":"6,25","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nNồng độ thuốc trong máu: $C(t)=\\dfrac{125t}{t^2+100}$ (mg/L)\n\n$t\\ge 0$ (giờ)\n\nYêu cầu: tìm nồng độ tối đa của $C(t)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $C(t)$ trên miền $t\\ge 0$\n\nDùng kiến thức cực trị hàm số: tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, so sánh giá trị\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm:\n$C(t)=\\dfrac{125t}{t^2+100}\\Rightarrow C'(t)=\\dfrac{125(t^2+100)-125t\\cdot 2t}{(t^2+100)^2}$\n\nRút gọn:\n$C'(t)=\\dfrac{125(100-t^2)}{(t^2+100)^2}$\n\nTìm điểm tới hạn với $t\\ge 0$:\n$C'(t)=0 \\Rightarrow 100-t^2=0 \\Rightarrow t=10$\n\nXét dấu: với $00 \\Rightarrow C'(t)>0$; với $t>10$ thì $C'(t)<0$\n⟹ $t=10$ cho cực đại.\n\nTính nồng độ cực đại:\n$C(10)=\\dfrac{125\\cdot 10}{10^2+100}=\\dfrac{1250}{200}=6.25$\n\n✅ Đáp án: nồng độ thuốc tối đa là 6,25 mg/L.","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tốc độ thay đổi của một đại lượng","difficulty":"vận dụng"},{"id":18,"text":"Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo cho sản phẩm mới. Số tiền đầu tư cho quảng cáo là $x$ (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm $Q(x)=1250+\\frac{507}{2}\\ln(3+x)\\quad (\\text{đơn vị: sản phẩm}).$\nBiết rằng chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là $13$ triệu đồng và giá bán mỗi sản phẩm là $21$ triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là $p$ tỷ đồng (số $p$ được làm tròn đến hàng phần mười). Tìm số $p.$","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983826860c34a23f07476a7","correctAnswer":"23,4","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChi phí quảng cáo: $x$ (triệu đồng), với $x\\ge 0$\n\nSố sản phẩm bán được: $Q(x)=1250+\\dfrac{507}{2}\\ln(3+x)$ (sản phẩm)\n\nChi phí sản xuất 1 sản phẩm: $13$ (triệu đồng)\n\nGiá bán 1 sản phẩm: $21$ (triệu đồng)\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nLập hàm lợi nhuận theo $x$:\n$\\text{Lợi nhuận} = \\text{Doanh thu} - \\text{Chi phí sản xuất} - \\text{chi phí quảng cáo}$\n\nTìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận (dùng đạo hàm) và đổi sang đơn vị tỷ đồng, làm tròn đến hàng phần mười.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLợi nhuận mỗi sản phẩm (triệu đồng):\n$21-13=8$\n\nHàm lợi nhuận (đơn vị: triệu đồng):\n$P(x)=8Q(x)-x=8\\left(1250+\\dfrac{507}{2}\\ln(3+x)\\right)-x$\n$\\Rightarrow P(x)=10000+2028\\ln(3+x)-x$\n\nTính đạo hàm:\n$P'(x)=\\dfrac{2028}{3+x}-1$\n\nCho $P'(x)=0$:\n$\\dfrac{2028}{3+x}=1 \\Rightarrow 3+x=2028 \\Rightarrow x=2025$\n\nVì\n$P''(x)=-\\dfrac{2028}{(3+x)^2}<0$\nnên $x=2025$ cho lợi nhuận lớn nhất.\n\nTính lợi nhuận cực đại:\n$P_{\\max}=P(2025)=10000+2028\\ln(2028)-2025\\approx 23417.825\\ (\\text{triệu đồng})$\n\nĐổi sang tỷ đồng:\n$p=\\dfrac{23417.825}{1000}\\approx 23.417825 \\Rightarrow p\\approx 23.4$ (làm tròn 1 chữ số thập phân)\n\n✅ Đáp án: (p = 23,4) (tỷ đồng).","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Một khối gỗ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có thể tích là $19{,}5,\\text{dm}^3$ với cạnh đáy nhỏ và đáy lớn lần lượt là $2,\\text{dm},\\ 5,\\text{dm}.$ Biết góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt đáy nhỏ và mặt bên của hình chóp cụt bằng $a^\\circ.$ Tìm số $a.$","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983826860c34a23f07476a7","correctAnswer":"135","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChóp cụt tứ giác đều, cạnh đáy nhỏ $2,\\text{dm}$, cạnh đáy lớn $5,\\text{dm}$.\n\nThể tích $V=19{,}5,\\text{dm}^3$.\n\nGóc phẳng nhị diện giữa mặt đáy nhỏ và mặt bên là $\\alpha$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm $\\alpha$ là góc phẳng nhị diện (góc giữa hai nửa mặt phẳng) tạo bởi mặt đáy nhỏ và một mặt bên.\n\nDùng:\nCông thức thể tích chóp cụt: $V=\\frac{h}{3}\\left(S_1+S_2+\\sqrt{S_1S_2}\\right).$\n\nThiết diện vuông góc với một cạnh đáy để “biến” góc nhị diện thành góc phẳng trong một tam giác vuông.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $ABCD$ là đáy lớn, $A'B'C'D'$ là đáy nhỏ.\nGọi $M,N,K,I$ lần lượt là trung điểm của $BC,\\ B'C',\\ A'D',\\ AD$.\n\nKhi đó có các vuông góc (do tính đối xứng của hình chóp cụt đều):\n$IM \\perp AD,\\quad IK \\perp AD.$\n\n$KN \\perp A'D',\\quad KI \\perp A'D'.$\n\nSuy ra góc phẳng nhị diện:\nGiữa đáy nhỏ và mặt bên là $\\widehat{IKN}$.\n\nGiữa đáy lớn và mặt bên là $\\widehat{KIM}$.\n\nDễ thấy $\\widehat{IKN}$ và $\\widehat{KIM}$ bù nhau:\n$\\widehat{IKN}=180^\\circ-\\widehat{KIM}.$\n\nGọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $K$ xuống đáy lớn (tức $KH \\perp (ABCD)$). Khi đó $KH$ chính là chiều cao của chóp cụt.\n\nTính $IH$ (khoảng lệch từ đáy nhỏ ra đáy lớn theo phương vuông góc cạnh):\nVì cạnh đáy lớn là $5$, đáy nhỏ là $2$ nên phần “thò ra” mỗi bên là:\n$IH=\\frac{5-2}{2}=\\frac{3}{2},(\\text{dm}).$\n\nTính chiều cao $KH$ từ thể tích:\n$S_1=2^2=4,\\quad S_2=5^2=25,\\quad \\sqrt{S_1S_2}=\\sqrt{4\\cdot25}=10.$\n\n$19{,}5=\\frac{KH}{3}(25+4+10)=\\frac{KH}{3}\\cdot39=13KH \\Rightarrow KH=\\frac{3}{2},\\text{dm}.$\n\nXét tam giác $IHK$: do $IH \\perp KH$ nên $\\triangle IHK$ vuông tại $H$, lại có\n$IH=KH=\\frac{3}{2} \\Rightarrow \\triangle IHK \\text{ vuông cân} \\Rightarrow \\widehat{KIH}=45^\\circ.$\nMà $\\widehat{KIM}=\\widehat{KIH}=45^\\circ.$\n\nVậy:\n$\\alpha=\\widehat{IKN}=180^\\circ-\\widehat{KIM}=180^\\circ-45^\\circ=135^\\circ.$\n\n✅ Đáp án: $\\alpha=135^\\circ$.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-10-co-dap-an/1RFgtDBVS1gNLgvjQIoSmY7ElRUnOU-bP_2026-02-04173112.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-10-co-dap-an/1au8LSrsv0gmUc8l5muuWvfi1p9UxNxAP_2026-02-04173108.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"hai mặt phẳng vuông góc","grade":"GRADE_11","questionCategory":"góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Ông Bình có một hồ nuôi cá có diện tích mặt hồ (miền tô màu như hình vẽ bên) được mô hình là miền giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số $f(x)=-\\frac{1}{10}x^3+\\frac{9}{10}x^2-\\frac{3}{2}x+\\frac{28}{5}.$ Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là 100 mét. Một con sông có bờ chạy dọc theo đường thẳng $d: y=-1{,}5x+18.$\nÔng Bình dự định xây dựng trên bờ hồ một trạm để lọc nước cho hồ tại vị trí $M$ sao cho khoảng cách từ trạm này đến bờ con sông là ngắn nhất. Nếu điểm xây trạm bờ hồ (thuộc đồ thị đã cho) là $M(a;b)$ thì số tiền để xây trạm tương ứng là $(4a+5b)$ triệu đồng, đồng thời chi phí mỗi mét ống nối từ trạm này ra bờ sông là $0{,}45$ triệu đồng. Tổng chi phí (xây trạm và đường ống) ít nhất mà Ông Bình dùng để hoàn thành công trình trên là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng)","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983826860c34a23f07476a7","correctAnswer":"101","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm đặt trạm $M(a,b)$ thuộc đồ thị\n$y=f(x)=-\\frac{1}{10}x^3+\\frac{9}{10}x^2-\\frac{3}{2}x+\\frac{28}{5}.$\n\nBờ sông là đường thẳng\n$y=-1{,}5x+18 \\ \\Leftrightarrow\\ -1{,}5x-y+18=0.$\n\nChi phí xây trạm: $4a+5b$ (triệu đồng).\n\nChi phí đường ống: $0{,}45$ triệu đồng / mét.\n\n1 đơn vị độ dài trên hình ứng với $100$ m.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm điểm $M$ trên đồ thị sao cho khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ là nhỏ nhất.\n\nTừ đó tính tổng chi phí nhỏ nhất và làm tròn đến hàng đơn vị (triệu đồng).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $M(a,b)\\in y=f(x)$ nên\n$b=-\\frac{1}{10}a^3+\\frac{9}{10}a^2-\\frac{3}{2}a+\\frac{28}{5}.$\n\nKhoảng cách từ $M(a,b)$ đến đường thẳng $-1{,}5x-y+18=0$:\n$MH=\\frac{|-1{,}5a-b+18|}{\\sqrt{(-1{,}5)^2+(-1)^2}}$\n\nThay $b$ vào, rút gọn được:\n$MH=\\frac{|a^3-9a^2+124|}{5\\sqrt{13}}.$\n\nXét hàm:\n$h(a)=a^3-9a^2+124.$\n$h'(a)=3a^2-18a=3a(a-6).$\n\nGiải $h'(a)=0$:\n\nTrên đoạn xét, $h(a)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $a=6$.\n\nKhi đó:\n$b=-\\frac{1}{10}\\cdot6^3+\\frac{9}{10}\\cdot6^2-\\frac{3}{2}\\cdot6+\\frac{28}{5}=7{,}4.$\n$\\Rightarrow M(6;7{,}4).$\n\nKhoảng cách ngắn nhất:\n$MH=\\frac{16}{5\\sqrt{13}}.$\n\nTổng chi phí:\n$C=(4\\cdot6+5\\cdot7{,}4)+45\\cdot\\frac{16}{5\\sqrt{13}} \\approx 100{,}94\\ \\text{(triệu đồng)} \\approx 101 \\text{(triệu đồng)}$\n\n✅ Đáp án: 101 triệu đồng.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-10-co-dap-an/1_YgggI6UwoTvZX5T0V4z_BKHGCZA9jVE_2026-02-04173110.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-10-co-dap-an/1A2hbELjLv1SR9-2Em7ZmQ3SsVx_En5eL_2026-02-04173105.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":21,"text":"Trong không gian $Oxyz$, với đơn vị dài trên mỗi trục là $1,\\text{dm}$. Một con ong mật xuất phát tại vị trí điểm $A(3;2;1)$ bay xuống mặt phẳng $(Oxy)$ rồi nghỉ tại chỗ một lát rồi sau đó bay đến mặt phẳng $(P): y-z=0.$ Tại mặt phẳng $(P)$ con ong mật cần thăm dò đi một đoạn đường thẳng có độ dài bằng $2,\\text{dm}$, sau đó nó bay trở về vị trí xuất phát. Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ong mật đã thực hiện (kết quả tính theo đơn vị dm và làm tròn đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983826860c34a23f07476a7","correctAnswer":"4,89","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$A(3;2;1)$.\n\nOng bay vuông góc $(Oxy)$ đến $B$ rồi bay đến $C\\in(P)$ với $(P): y-z=0$.\n\nTrên mặt phẳng $P$ ong đi thẳng $CD=2$ (dm), sau đó bay $DA$.\n\nCần tìm tổng quãng đường nhỏ nhất (dm), làm tròn đến hàng phần trăm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nVì $CD=2$ cố định nên cần tối thiểu $AB+BC+DA$.\n\nDùng đối xứng để “bẻ gãy” thành đoạn thẳng ngắn nhất, đúng như bài trong ảnh.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Đối xứng qua $(Oxy)$\nLấy $A'$ đối xứng của $A$ qua $(Oxy)$:\n$A'(3;2;-1).$\nVì $B$ nằm trên đường thẳng vuông góc $(Oxy)$ qua $A$ nên:\n$AB = A'B \\Rightarrow AB+BC = A'B+BC \\ge A'C.$\nDấu “=” khi $B\\in A'C$.\n⇒ Bài toán thành: tối thiểu $A'C+DA$ với $C,D\\in(P)$ và $CD=2$.\n\nBước 2: Đối xứng qua mặt phẳng $P$\nLấy $A''$ đối xứng của $A$ qua $P: y-z=0$ (tức mặt phẳng $y=z$) nên hoán vị $y,z$:\n$A''(3;1;2).$\nKhi $D\\in(P)$ thì:\n$DA = DA''.$\n\nBước 3: Dựng hình chữ nhật như ảnh để “tịnh tiến” đoạn $CD=2$\nDựng hình chữ nhật $MND A''$ sao cho:\n$MN = CD = 2$\n\n$MN \\parallel CD$ và $MN \\subset (Q)$ với $(Q)\\parallel(P)$, đi qua $A''$.\nKhi đó, do song song – bằng nhau, ta quy về:\n$A'C + DA'' + CD \\ \\text{nhỏ nhất} \\iff A'E + 2 \\ \\text{nhỏ nhất},$\ntrong đó $E\\in(Q)$ và $A''E=2$ (tức $E$ nằm trên đường tròn tâm $A''$ bán kính 2 trong mặt phẳng $Q$).\n\nBước 4: Viết phương trình mặt phẳng $Q$\nVì $Q\\parallel P: y-z=0$ nên $Q: y-z+m=0$.\nThay $A''(3;1;2)$ vào:\n$1-2+m=0 \\Rightarrow m=1.$\n⇒\n$(Q): y-z+1=0.$\n\nBước 5: Tính khoảng cách ngắn nhất từ $A'$ đến đường tròn tâm $A''$ bán kính 2 nằm trong $Q$\n\nGọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $Q$.\nPháp tuyến của $Q$: $\\vec n=(0,1,-1)$, nên đường thẳng qua $A'$ vuông góc $Q$:\n$d:\\ \\begin{cases} x=3\\\\ y=2+t\\\\ z=-1-t \\end{cases} $\n\nGiao với $Q: y-z+1=0$:\n$(2+t)-(-1-t)+1=0 \\Rightarrow 4+2t=0 \\Rightarrow t=-2.$\n⇒ $K(3;0;1).$\n\nTính:\n$A'K=\\sqrt{(0)^2+(-2)^2+(2)^2}=2\\sqrt2,$\n$A''K=\\sqrt{(0)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\\sqrt2.$\n\nVì $E$ chạy trên đường tròn tâm $A''$ bán kính $R=2$ trong $Q$ nên khoảng cách nhỏ nhất từ $K$ đến đường tròn:\n$KE_{\\min}=R-A''K=2-\\sqrt2\\quad(\\text{vì }A''K<2).$\n\nTam giác $A'KE$ vuông tại $K$ nên:\n$A'E_{\\min}=\\sqrt{A'K^2+KE_{\\min}^2} =\\sqrt{(2\\sqrt2)^2+(2-\\sqrt2)^2} =\\sqrt{14-4\\sqrt2}.$\n\nBước 6: Cộng lại tổng quãng đường nhỏ nhất\n$S_{\\min}=A'E_{\\min}+2=\\sqrt{14-4\\sqrt2}+2\\approx 4.89\\ \\text{(dm)}.$\n\n✅ Đáp án: điền đáp án 4,89 dm","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-10-co-dap-an/1DgMBhXx8MpLePI8aInRJCXnPTaOwALBw_2026-02-04173117.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-10-co-dap-an/1tv_10QE_Gr8D9sm6bh5-R1dkOqv3eM2s_2026-02-04173118.png"],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Có 25 chai rượu Vang Opus One đang dựng trong thùng $A$ và thùng $B$, trong mỗi thùng đều có chai Vang thật và Vang giả (các chai Vang đều giống nhau về mẫu mã, chai Vang giả được chủ quán Bar đánh dấu để phân biệt) và số chai rượu ở thùng $A$ nhiều hơn ở thùng $B$. Biết khi lấy ngẫu nhiên ở mỗi thùng một chai Vang thì xác suất lấy được hai chai Vang thật là $\\frac{65}{144}$. Nhân viên quầy bar có $P$ cách để xếp hết 25 chai Vang này lên kệ rượu thành một hàng ngang sao cho không có hai chai Vang giả nào được xếp kề nhau. Tính giá trị $\\frac{P}{12}.$","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983826860c34a23f07476a7","correctAnswer":"4199","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng số chai rượu Vang là 25, chia vào hai thùng A và B.\n\nThùng A nhiều chai hơn thùng B.\n\nMỗi thùng đều có Vang thật và Vang giả.\n\nXác suất lấy ngẫu nhiên mỗi thùng 1 chai đều là Vang thật bằng\n$P=\\frac{65}{144}.$\n\nXếp toàn bộ 25 chai thành một hàng sao cho không có hai chai Vang giả nào đứng cạnh nhau.\n\nGọi số cách xếp là $T$, tính $\\dfrac{T}{12}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nDùng xác suất để xác định số chai thật – giả trong mỗi thùng.\n\nSau đó dùng tổ hợp để đếm số cách xếp các chai thỏa điều kiện “không có hai chai giả kề nhau”.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $n$ là số chai rượu Vang trong thùng A ⇒ thùng B có $25-n$ chai.\n\nGọi $a,b$ lần lượt là số chai Vang thật trong thùng A và B.\n\nXác suất lấy mỗi thùng 1 chai đều là Vang thật:\n$P=\\frac{a}{n}\\cdot\\frac{b}{25-n}=\\frac{65}{144}.$\n\nSuy ra:\n$ab=\\frac{65}{144},n(25-n).$\n\nVì $a,b$ là số nguyên ⇒ $n(25-n)$ chia hết cho $144$\n⇒ $n=9$ hoặc $n=16$.\n\nDo thùng A nhiều chai hơn thùng B ⇒ $n=16$.\n\nKhi đó:\n$ab=65 \\Rightarrow a=13,\\ b=5.$\n\nSuy ra:\nThùng A: 13 chai thật, 3 chai giả.\n\nThùng B: 5 chai thật, 4 chai giả.\n\nTổng số chai:\nVang thật: $18$ chai.\n\nVang giả: $7$ chai.\n\nXếp 18 chai Vang thật thành một hàng (coi như giống nhau) ⇒ chỉ 1 cách.\n\nGiữa và hai đầu của 18 chai thật tạo ra 19 khoảng trống.\n\nĐể không có 2 chai giả kề nhau, chọn 7 khoảng trong 19 khoảng để đặt 7 chai giả:\n$T=\\binom{19}{7}=50388.$\n\nDo đó:\n$\\frac{T}{12}=\\frac{50388}{12}=4199.$\n\n✅ Đáp án: điền đáp án 4199","chapter":"đại số tổ hợp","topic":"bài tập cuối chương viii","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 8","difficulty":"vận dụng"}]}