{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Nguyễn Quán Nho Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2026 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"698214baba44c4f8df1e5640","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"698214baba44c4f8df1e5641","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"698214baba44c4f8df1e5642","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (xem hình dưới). Đường thẳng $B'C'$ song song với mặt phẳng nào sau đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$(ABC)$","correct":true,"reason":"Trong lăng trụ $ABC.A'B'C'$, ta có $B'C' \\parallel BC$ (cạnh tương ứng của hai đáy song song) và $BC \\subset (ABC)$, suy ra $B'C' \\parallel (ABC)$ theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng."},{"label":"B","text":"$(AB'C')$","correct":false,"reason":"Đường thẳng $B'C'$ nằm trong mặt phẳng $(AB'C')$ (vì $B', C' \\in (AB'C')$), do đó chúng có vô số điểm chung nên không song song."},{"label":"C","text":"$(B'BC)$","correct":false,"reason":"Điểm $B'$ thuộc cả đường thẳng $B'C'$ và mặt phẳng $(B'BC)$, nên $B'C'$ cắt $(B'BC)$ tại $B'$ (thậm chí $B'C' \\subset (B'BC)$), không song song."},{"label":"D","text":"$(A'B'C)'$","correct":false,"reason":"Đường thẳng $B'C'$ là cạnh của đáy trên nên nằm trong mặt phẳng $(A'B'C')$, do đó không song song với mặt phẳng này."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ .\n\nĐỉnh tương ứng: $A \\leftrightarrow A',\\; B \\leftrightarrow B',\\; C \\leftrightarrow C'$; các cạnh bên $AA',\\; BB',\\; CC'$ song song với nhau.\n\nCạnh trên $B'C'$ là cạnh của mặt đáy trên $A'B'C'$; cạnh tương ứng ở mặt đáy dưới là $BC$ (thuộc mặt phẳng $(ABC)$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Đường thẳng $B'C'$ song song với mặt phẳng nào trong các phương án đã cho?\n\nCần áp dụng khái niệm: khi nào một đường thẳng song song với một mặt phẳng; tính chất lăng trụ (các cạnh tương ứng của hai đáy song song).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrong lăng trụ, hai đáy $A'B'C'$ và $ABC$ là hai mặt phẳng song song; từng cạnh tương ứng của hai đáy song song với nhau. Do đó\n$B'C' \\parallel BC.$\n\nCạnh $BC$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, tức là $BC \\subset (ABC).$\n\nNếu một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng đó (vì không giao với mặt phẳng và song song với một đường trong mặt phẳng). Tóm lại:\n$B'C' \\parallel BC \\quad\\text{và}\\quad BC\\subset(ABC)\\;\\Longrightarrow\\; B'C' \\parallel (ABC).$\n\n✅ Đáp án: A. $(ABC)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-quan-nho-tinh-thanh-hoa-2026-lan-1-co-dap-an/14gT-7v9bLqi7OStnPpn3P1dEg2fFYwr0_2026-02-03153100.png"],"chapter":"quan hệ song song trong không gian","topic":"hai đường thẳng song song","grade":"GRADE_11","questionCategory":"vị trí tương đối của hai đường thẳng","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}\\ (c\\ne 0,\\ ad-bc\\ne 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$y=1$","correct":true,"reason":"Hình vẽ hiển thị rõ đường thẳng $y=1$ là đường tiệm cận ngang khi các nhánh của đồ thị tiến ra xa dần theo chiều $x$. Với hàm phân thức bậc nhất $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận ngang là $y=\\dfrac{a}{c}$, và từ đồ thị ta thấy $\\dfrac{a}{c}=1$."},{"label":"B","text":"$y=-1$","correct":false,"reason":"Đồ thị cho thấy khi $x \\to +\\infty$ thì $y \\to 1$ (nhánh phía trên bên phải) và khi $x \\to -\\infty$ thì $y \\to 1$ (nhánh phía dưới bên trái), chứ không phải tiến đến $-1$."},{"label":"C","text":"$x=-1$","correct":false,"reason":"Phương trình $x=-1$ là dạng của đường tiệm cận đứng (song song với trục tung), không phải tiệm cận ngang; hơn nữa, hình vẽ cho thấy tiệm cận đứng là $x=1$ chứ không phải $x=-1$."},{"label":"D","text":"$x=1$","correct":false,"reason":"Phương trình $x=1$ mô tả đường tiệm cận đứng của đồ thị (như hình vẽ), trong khi câu hỏi yêu cầu tìm phương trình của đường tiệm cận ngang."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}\\quad(c\\ne 0,\\ ad-bc\\ne 0)$. \n\nHình vẽ cho thấy hai tiệm cận: một tiệm cận ngang tại $y=1$ và một tiệm cận đứng tại $x=1$. \n\nĐồ thị có hai nhánh giống hyperbol, một nhánh đi qua gốc tọa độ $O(0,0)$ .\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là gì? \n\nKiến thức cần dùng: với hàm hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}$ (với $c\\ne0$), khi $|x|\\to\\infty$ giá trị của hàm tiến đến tỉ số hệ số của $x$ ở tử và mẫu, tức là tiệm cận ngang là $y=\\dfrac{a}{c}$. \n\nNgoài ra, ảnh kèm bài cho biết trực tiếp tiệm cận ngang là $y=1$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐầu tiên, xét hành vi khi $x\\to\\pm\\infty$: chia cả tử và mẫu cho $x$, ta được\n$y=\\dfrac{a+\\dfrac{b}{x}}{c+\\dfrac{d}{x}}\\longrightarrow \\dfrac{a}{c}.$\nVậy tiệm cận ngang tổng quát là $y=\\dfrac{a}{c}.$\n\nTừ hình vẽ (mô tả ảnh): trên đồ thị có vẽ một đường ngang ghi “$y=1$”, đó chính là tiệm cận ngang của đồ thị. Vậy phải có $\\dfrac{a}{c}=1$.\n\nKiểm tra bằng ví dụ cụ thể khớp với hình: chọn $a=1,\\ c=1,\\ d=-1,\\ b=0$ thì hàm\n$y=\\dfrac{x}{x-1}$\ncó tiệm cận ngang $y=1$ và tiệm cận đứng $x=1$, đồng thời $y(0)=0$ (đồ thị đi qua gốc). Điều này xác nhận rằng tiệm cận ngang là $y=1$.\n\n✅ Đáp án: A. $y=1$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-quan-nho-tinh-thanh-hoa-2026-lan-1-co-dap-an/1jArXX_CcBANwsxeA4HBEkwnHIaykSpA2_2026-02-03153102.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận ngang","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=e^x+2\\sin x$ thỏa mãn $F(0)=20$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$F(x)=-e^x-2\\cos x+23$","correct":false},{"label":"B","text":"$F(x)=e^x+2\\sin x+19$","correct":false},{"label":"C","text":"$F(x)=e^x-2\\cos x+21$","correct":true},{"label":"D","text":"$F(x)=e^x+2\\cos x+17$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số cần tìm nguyên hàm: $f(x)=e^x+2\\sin x$.\n\nĐiều kiện: $F(0)=20$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ thỏa mãn điều kiện giá trị tại $x=0$.\n\nCần áp dụng kiến thức về tích phân nguyên hàm cơ bản: tích phân của $e^x$ và của $\\sin x$, và sử dụng hằng số tích phân để thỏa điều kiện ban đầu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTích phân từng phần của $f(x)$: \n$\\int e^x\\,dx = e^x + C_1$. \n\n$\\int 2\\sin x\\,dx = -2\\cos x + C_2$.\n\nDo đó nguyên hàm tổng quát của $f(x)$ là $F(x)=e^x-2\\cos x + C,$ với $C$ là hằng số thực.\n\nÁp dụng điều kiện $F(0)=20$:\n$F(0)=e^0-2\\cos 0 + C = 1 - 2\\cdot 1 + C = -1 + C.$\nĐặt bằng 20 ta có $-1 + C = 20 \\Rightarrow C = 21.$\n\nVậy nguyên hàm thỏa mãn là $F(x)=e^x-2\\cos x+21.$\n\n✅ Đáp án: C. $F(x)=e^x-2\\cos x+21$","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"nguyên hàm","grade":"GRADE_12","questionCategory":"nguyên hàm của một số hàm số thường gặp","difficulty":"thông hiểu"},{"id":4,"text":"Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của 120 học sinh ở một trường THPT ở địa bàn thành phố Huế với thang điểm 100. Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 120 học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa trung vị là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$\\frac{1}{8}$","correct":true,"reason":"Đúng vì với $n=120$ chẵn, trung vị nằm giữa vị trí $60$ và $61$. Tần số tích lũy đến nhóm $[20;40)$ là $59$, nên cả hai vị trí đều thuộc nhóm $[40;60)$ có $15$ học sinh, xác suất là $\\frac{15}{120}=\\frac{1}{8}$."},{"label":"B","text":"$\\frac{19}{60}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{19}{60}=\\frac{38}{120}$ là tần số của nhóm $[60;80)$ (nhóm có tần số lớn nhất - nhóm chứa mốt), không phải nhóm chứa trung vị."},{"label":"C","text":"$\\frac{5}{12}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{5}{12}=\\frac{50}{120}$ không tương ứng với tần số của nhóm chứa trung vị (là $15$) và có thể do tính nhầm tần số tích lũy hoặc nhầm nhóm."},{"label":"D","text":"$\\frac{17}{60}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{17}{60}=\\frac{34}{120}$ là tần số của nhóm $[20;40)$, là nhóm ngay trước nhóm chứa trung vị."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng số học sinh: 120.\n\nBảng tần số (nhóm điểm và số học sinh) từ ảnh:\n[0;20): 25 học sinh\n\n[20;40): 34 học sinh\n\n[40;60): 15 học sinh\n\n[60;80): 38 học sinh\n\n[80;100]: 8 học sinh\n\nChọn ngẫu nhiên 1 học sinh, hỏi xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc \"nhóm chứa trung vị\".\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm xác suất để học sinh được chọn có điểm nằm trong nhóm chứa trung vị.\n\nCần vận dụng kiến thức về vị trí phần tử trung vị trong dãy số thứ tự theo thứ tự tăng dần và cách xác định nhóm chứa trung vị bằng tần số tích lũy (cộng dồn).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số quan sát: $n=120$ (số chẵn). \nVới $n$ chẵn, trung vị nằm giữa hai giá trị thứ $\\frac{n}{2}$ và $\\frac{n}{2}+1$, tức là giữa vị trí thứ $\\frac{120}{2}=60$ và $61$.\n\nTính tần số tích lũy theo thứ tự các nhóm:\nSau nhóm [0;20): tích lũy = $25$ (vị trí 1 đến 25).\n\nSau nhóm [20;40): tích lũy = $25+34=59$ (vị trí 26 đến 59).\n\nSau nhóm [40;60): tích lũy = $59+15=74$ (vị trí 60 đến 74).\n\n(Các nhóm tiếp theo không cần thiết vì 60 và 61 đã nằm trong nhóm thứ ba.)\n\nVì cả vị trí thứ 60 và 61 đều thuộc nhóm [40;60) (vì nhóm này bao gồm vị trí 60 đến 74), nên nhóm chứa trung vị là [40;60) với số học sinh là 15.\n\nXác suất chọn ngẫu nhiên 1 học sinh thuộc nhóm đó là:\n$\\frac{\\text{số học sinh trong nhóm chứa trung vị}}{\\text{tổng số học sinh}}=\\frac{15}{120}=\\frac{1}{8}.$\n\n✅ Đáp án: A. $\\frac{1}{8}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-quan-nho-tinh-thanh-hoa-2026-lan-1-co-dap-an/1YR6O6ae0ihfWpMe2qL1LTFLgMSPsbqmH_2026-02-03153102.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm","difficulty":"thông hiểu"},{"id":5,"text":"Nghiệm của phương trình $\\cos x=\\tfrac12$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$x=\\tfrac{\\pi}{3}+k2\\pi,\\ x=-\\tfrac{\\pi}{3}+k2\\pi$","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\arccos \\frac{1}{2} = \\frac{\\pi}{3}$ và công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\\cos x = a$ là $x = \\pm \\arccos a + k2\\pi$, suy ra $x = \\pm \\frac{\\pi}{3} + k2\\pi$."},{"label":"B","text":"$x=-\\tfrac{2\\pi}{3}+k2\\pi,\\ x=\\tfrac{2\\pi}{3}+k2\\pi$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\cos \\frac{2\\pi}{3} = -\\frac{1}{2} \\neq \\frac{1}{2}$, do đó $\\pm \\frac{2\\pi}{3}$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho."},{"label":"C","text":"$x=\\tfrac{2\\pi}{3}+k2\\pi,\\ x=-\\tfrac{2\\pi}{3}+k2\\pi$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\cos \\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right) = \\cos \\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right) = -\\frac{1}{2} \\neq \\frac{1}{2}$, không thỏa mãn phương trình."},{"label":"D","text":"$x=\\tfrac{\\pi}{3}+k\\pi,\\ x=-\\tfrac{\\pi}{3}+k\\pi$","correct":false,"reason":"Sai vì chu kỳ của hàm $\\cos$ là $2\\pi$, nếu dùng $k\\pi$ thì với $k=1$ ta có $x = \\frac{\\pi}{3} + \\pi = \\frac{4\\pi}{3}$ nhưng $\\cos \\frac{4\\pi}{3} = -\\frac{1}{2} \\neq \\frac{1}{2}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình: $\\cos x=\\tfrac{1}{2}$.\n\nChu kỳ của hàm cosine: $2\\pi$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\\cos x=\\tfrac{1}{2}$. \n\nCần vận dụng kiến thức: giá trị lượng giác đặc biệt trên đường tròn đơn vị, và công thức nghiệm tổng quát cho phương trình $\\cos x=a$ (với $a$ trong khoảng $[-1,1]$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm góc chính (nghiệm cơ bản): $\\arccos\\!\\big(\\tfrac{1}{2}\\big)=\\tfrac{\\pi}{3}$ vì $\\cos\\!\\big(\\tfrac{\\pi}{3}\\big)=\\tfrac{1}{2}$.\n\nCông thức nghiệm tổng quát cho $\\cos x=a$ là: $x=\\pm \\arccos(a)+2k\\pi,\\quad k\\in\\mathbb{Z}$.\n\nÁp dụng vào trường hợp này: \n$x=\\pm \\tfrac{\\pi}{3}+2k\\pi,\\quad k\\in\\mathbb{Z}.$ \nNghĩa là hai họ nghiệm có thể viết tách ra: \n$x=\\tfrac{\\pi}{3}+2k\\pi\\quad\\text{và}\\quad x=-\\tfrac{\\pi}{3}+2k\\pi,\\quad k\\in\\mathbb{Z}.$\n\nKiểm tra nhanh các phương án sai: \nGóc $\\tfrac{2\\pi}{3}$ cho $\\cos\\!\\big(\\tfrac{2\\pi}{3}\\big)=-\\tfrac{1}{2}$, nên các phương án có $\\pm\\tfrac{2\\pi}{3}+2k\\pi$ là sai. \n\nDùng chu kỳ $\\pi$ (như $\\tfrac{\\pi}{3}+k\\pi$) là sai vì $\\cos$ có chu kỳ $2\\pi$ và giá trị đổi dấu khi cộng $\\pi$, nên sẽ không giữ luôn bằng $\\tfrac{1}{2}$.\n\n✅ Đáp án: $A. x=\\tfrac{\\pi}{3}+k2\\pi,\\ x=-\\tfrac{\\pi}{3}+k2\\pi$","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"phương trình lượng giác cơ bản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình cosx=m","difficulty":"nhận biết"},{"id":6,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA$ vuông góc với đáy. Tính số đo góc nhị diện $[B,SA,D]$","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$30^\\circ$","correct":false,"reason":"Góc $30^\\circ$ không phải là số đo của góc giữa hai cạnh liên tiếp $AB$ và $AD$ của hình vuông $ABCD$, trong khi góc nhị diện $[B,SA,D]$ bằng $\\angle BAD = 90^\\circ$."},{"label":"B","text":"$45^\\circ$","correct":false,"reason":"Góc $45^\\circ$ là góc giữa đường chéo và cạnh của hình vuông, nhưng góc nhị diện cần tính bằng góc giữa hai cạnh $AB$ và $AD$ là $90^\\circ$."},{"label":"C","text":"$90^\\circ$","correct":true,"reason":"Vì $SA \\perp (ABCD)$ nên góc nhị diện $[B,SA,D]$ bằng góc giữa hai giao tuyến $AB$ và $AD$ của hai mặt phẳng $(SAB)$, $(SAD)$ với mặt phẳng vuông góc $SA$, tức $\\angle BAD = 90^\\circ$."},{"label":"D","text":"$60^\\circ$","correct":false,"reason":"Góc $60^\\circ$ thường xuất hiện trong các khối đều hoặc tứ diện đều, nhưng trong hình chóp này với đáy hình vuông và $SA$ vuông góc đáy, góc nhị diện luôn bằng $90^\\circ$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. \n\n$SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tính số đo góc nhị diện — tức là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ chung đường sinh $SA$. \n\nCần áp dụng khái niệm: góc giữa hai mặt phẳng chứa một đường thẳng chung (góc nhị diện), và tính góc giữa hai giao tuyến của các mặt phẳng đó với một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng chung.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $SA\\perp (ABCD)$, mặt phẳng đáy $(ABCD)$ vuông góc với đường thẳng $SA$. Do đó, $(ABCD)$ là một mặt phẳng vuông góc với đường sinh chung $SA$. \n\nQuy tắc: góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ bằng góc giữa hai giao tuyến của chúng với một mặt phẳng vuông góc với đường sinh chung (ta chọn mặt phẳng đáy $(ABCD)$). \n\nGiao tuyến của $(SAB)$ với $(ABCD)$ là đường thẳng $AB$. Giao tuyến của $(SAD)$ với $(ABCD)$ là đường thẳng $AD$. \n\nVậy góc nhị diện $[B,SA,D]$ bằng góc giữa $AB$ và $AD$ trong đáy, tức là $\\angle BAD$. \n\nVì $ABCD$ là hình vuông nên $\\angle BAD=90^\\circ$.\n\n✅ Đáp án: $\\text{C. }90^\\circ$","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"hai mặt phẳng vuông góc","grade":"GRADE_11","questionCategory":"góc nhị diện","difficulty":"nhận biết"},{"id":7,"text":"Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;3;2)$ và $B(4;5;6)$. Gọi $\\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$. Giá trị của $\\cos\\alpha$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$\\tfrac{13}{29}$","correct":false},{"label":"B","text":"$\\tfrac{16}{29}$","correct":false},{"label":"C","text":"$\\tfrac{\\sqrt{377}}{29}$","correct":true},{"label":"D","text":"$\\tfrac{4\\sqrt{29}}{29}$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(1;3;2)$ và $B(4;5;6)$ trong không gian $Oxyz$.\n\nMặt phẳng $(Oxy)$ là mặt phẳng hoành độ, có véc-tơ pháp tuyến $\\mathbf{n}=(0,0,1)$.\n\nGọi $\\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$. Ta cần tìm $\\cos\\alpha$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính $\\cos\\alpha$, với $\\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$.\n\nKiến thức cần dùng: véc-tơ chỉ phương của đường thẳng, chiếu véc-tơ lên mặt phẳng, quan hệ giữa góc đường thẳng và mặt phẳng:\nNếu $\\mathbf{v}$ là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng, thì $\\cos\\alpha = \\dfrac{|\\text{phần chiếu của }\\mathbf{v}\\text{ lên mặt phẳng}|}{|\\mathbf{v}|}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính véc-tơ chỉ phương của $AB$: \n$\\mathbf{v}=\\overrightarrow{AB}=B-A=(4-1,\\;5-3,\\;6-2)=(3,2,4).$\n\nPhần chiếu của $\\mathbf{v}$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ chính là thành phần véc-tơ trong mặt phẳng (bỏ thành phần theo trục $z$), tức là: \n$\\mathbf{v}_{\\text{trên }(Oxy)}=(3,2,0).$\n\nTính độ lớn của các véc-tơ: \n$|\\mathbf{v}|=\\sqrt{3^2+2^2+4^2}=\\sqrt{9+4+16}=\\sqrt{29},$ \n$\\big|\\mathbf{v}_{\\text{trên }(Oxy)}\\big|=\\sqrt{3^2+2^2}=\\sqrt{9+4}=\\sqrt{13}.$\n\nÁp dụng công thức: \n$\\cos\\alpha=\\dfrac{\\big|\\mathbf{v}_{\\text{trên }(Oxy)}\\big|}{|\\mathbf{v}|}=\\dfrac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{29}}.$\n\nViết gọn kết quả (có thể nhân tử dưới mẫu): \n$\\dfrac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{29}}=\\dfrac{\\sqrt{13\\cdot29}}{29}=\\dfrac{\\sqrt{377}}{29}.$\n\n✅ Đáp án: $C. \\tfrac{\\sqrt{377}}{29}$","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"công thức tính góc trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":8,"text":"Cho $y=F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=-3x^2+4x+2$ và $F(1)=2$. Tính $F(-1)$","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$F(-1)=4$","correct":false,"reason":"Sai vì khi thay $x=-1$ vào hàm số $F(x)=-x^3+2x^2+2x-1$ ta được $F(-1)=0$ chứ không phải $4$."},{"label":"B","text":"$F(-1)=-x^3+2x^2+2x+C$","correct":false,"reason":"Sai vì đây là biểu thức của hàm số $F(x)$ dạng tổng quát (chứa hằng số $C$ và biến $x$), không phải giá trị số cụ thể của $F(-1)$."},{"label":"C","text":"$F(-1)=-x^3+2x^2+2x-1$","correct":false,"reason":"Sai vì đây là công thức của hàm số $F(x)$ sau khi xác định $C=-1$, không phải giá trị số của $F(-1)$ tại $x=-1$."},{"label":"D","text":"$F(-1)=0$","correct":true,"reason":"Đúng vì từ $F(1)=2$ ta tìm được $C=-1$, suy ra $F(x)=-x^3+2x^2+2x-1$ nên $F(-1)=-(-1)^3+2(-1)^2+2(-1)-1=0$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=-3x^2+4x+2.$\n\nGiá trị $F(1)=2.$\n\nYêu cầu: tìm giá trị $F(-1).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị của một nguyên hàm tại $x=-1$. \n\nCần biết cách tìm nguyên hàm (tích phân nguyên) của một đa thức bằng cách lấy tích phân từng hạng tử và xác định hằng số tích phân bằng điều kiện cho trước.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm nguyên hàm tổng quát của $f(x)=-3x^2+4x+2.$ Áp dụng quy tắc: $\\int x^n dx=\\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.$\n\nTích phân từng hạng tử:\n$\\int -3x^2 dx = -3\\cdot\\frac{x^3}{3} = -x^3.$\n\n$\\int 4x dx = 4\\cdot\\frac{x^2}{2} = 2x^2.$\n\n$\\int 2 dx = 2x.$\n\nDo đó nguyên hàm tổng quát là:\n$F(x) = -x^3 + 2x^2 + 2x + C.$\n\nDùng điều kiện $F(1)=2$ để tìm $C$:\n$F(1) = -1 + 2 + 2 + C = 3 + C = 2 \\Rightarrow C = -1.$\n\nVậy:\n$F(x) = -x^3 + 2x^2 + 2x - 1.$\n\nTính $F(-1)$:\n$F(-1) = -(-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) - 1 = -(-1) + 2\\cdot1 -2 -1 = 1+2-2-1 = 0.$\n\n✅ Đáp án: D. $F(-1)=0$","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"nguyên hàm","grade":"GRADE_12","questionCategory":"nguyên hàm của một số hàm số thường gặp","difficulty":"thông hiểu"},{"id":9,"text":"Trong không gian $Oxyz$ cho hai vectơ $\\vec a=(1;2;3)$, $\\vec b=(2;2;-1)$. Tọa độ của vectơ $\\vec a-2\\vec b$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$(-3;-2;5)$","correct":true},{"label":"B","text":"$(-1;0;4)$","correct":false},{"label":"C","text":"$(3;2;5)$","correct":false},{"label":"D","text":"$(-3;-2;1)$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hai vectơ trong không gian $Oxyz$: $\\vec a=(1;2;3)$ và $\\vec b=(2;2;-1)$. \n\nYêu cầu: tìm tọa độ của vectơ $\\vec a-2\\vec b$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính toán phép cộng/nhân vô hướng và phép trừ giữa các vectơ. \n\nCần áp dụng hai kiến thức cơ bản: nhân vectơ với số thực và trừ hai vectơ (theo từng thành phần).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức tổng quát: Nếu $\\vec a=(a_x;a_y;a_z),\\ \\vec b=(b_x;b_y;b_z)$ thì\n$\\vec a-2\\vec b=(a_x-2b_x;\\ a_y-2b_y;\\ a_z-2b_z).$\n\nTính $2\\vec b$: \n$2\\vec b=2(2;2;-1)=(4;4;-2).$\n\nLấy hiệu: \n$\\vec a-2\\vec b=(1;2;3)-(4;4;-2)=(1-4;\\ 2-4;\\ 3-(-2)).$\n\nTính từng thành phần: \n$1-4=-3,\\quad 2-4=-2,\\quad 3-(-2)=5.$\n\nVậy:\n$\\vec a-2\\vec b = (-3;-2;5).$\n\n✅ Đáp án: A. $(-3;-2;5)$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ","difficulty":"thông hiểu"},{"id":10,"text":"Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{CC'}$","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$\\sqrt2$","correct":true,"reason":"Ta có $\\overrightarrow{CC'}=\\overrightarrow{BB'}$ nên $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{CC'}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BB'}=\\overrightarrow{AB'}$. Vì $AB'$ là đường chéo mặt vuông $ABB'A'$ cạnh 1 nên $|\\overrightarrow{AB'}|=\\sqrt{1^2+1^2}=\\sqrt{2}$."},{"label":"B","text":"$2$","correct":false,"reason":"Đây là kết quả nếu nhầm lẫn giữa độ dài của tổng vectơ $|\\vec{u}+\\vec{v}|$ với tổng các độ dài $|\\vec{u}|+|\\vec{v}|=1+1=2$, trong khi hai vectơ vuông góc nên $|\\vec{u}+\\vec{v}|=\\sqrt{|\\vec{u}|^2+|\\vec{v}|^2}$."},{"label":"C","text":"$\\sqrt3$","correct":false,"reason":"$\\sqrt{3}$ là độ dài đường chéo không gian của hình lập phương (như $AC'$), đòi hỏi tổng của ba vectơ vuông góc, trong khi đề bài chỉ có hai vectơ $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{CC'}$ vuông góc nhau."},{"label":"D","text":"$1$","correct":false,"reason":"Đây là độ dài một cạnh của hình lập phương, nhưng vectơ tổng $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{CC'}$ không trùng với bất kỳ cạnh nào mà là đường chéo mặt bên $ABB'A'$ có độ dài $\\sqrt{2}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1.\n\nCần tính độ dài của vectơ $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{CC'}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tính độ dài (mô-đun) của tổng hai vectơ trong không gian: $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{CC'}$.\n\nCần áp dụng khái niệm vectơ trong hệ tọa độ và công thức tính độ dài vectơ: nếu $\\vec{v}=(x,y,z)$ thì $|\\vec{v}|=\\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChọn hệ tọa độ thuận tiện: đặt $A(0,0,0)$, cạnh AB hướng trục Ox, cạnh AD hướng Oy, trục Oz đi lên phía các đỉnh có dấu ' như thường làm.\n\nKhi đó với cạnh bằng 1 ta có:\n$B(1,0,0)$ nên $\\overrightarrow{AB}=B-A=(1,0,0).$\n\nĐiểm $C$ là $C(1,1,0)$ và $C'$ là $C'(1,1,1)$ nên $\\overrightarrow{CC'}=C'-C=(0,0,1).$\n\nTính tổng hai vectơ:\n$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{CC'}=(1,0,0)+(0,0,1)=(1,0,1).$\n\nTính độ dài vectơ kết quả bằng công thức:\n$\\left|\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{CC'}\\right|=\\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\\sqrt{2}.$\n\nKiểm tra nhanh: hai vectơ ban đầu vuông góc nên độ dài tổng là căn của tổng bình phương các thành phần đúng bằng $\\sqrt2$.\n\n✅ Đáp án: $\\text{A. }\\sqrt2$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ","difficulty":"thông hiểu"},{"id":11,"text":"Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=2$ và công sai $d=3$. Giá trị của $u_7$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$20$","correct":true},{"label":"B","text":"$15$","correct":false},{"label":"C","text":"$12$","correct":false},{"label":"D","text":"$14$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 2$.\n\nCông sai $d = 3$.\n\nTìm giá trị của $u_7$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị của số hạng thứ 7 trong một cấp số cộng.\n\nCần áp dụng công thức của cấp số cộng để tính: công thức tổng quát của số hạng thứ n là $u_n = u_1 + (n-1)d$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n-1)d$.\n\nThay $n=7$, $u_1=2$, $d=3$ vào công thức:\n$u_7 = u_1 + (7-1)d = 2 + 6\\cdot 3.$\n\nTính: $6\\cdot 3 = 18$, nên $u_7 = 2 + 18 = 20.$\n\nKiểm tra bằng cách liệt kê các số hạng đầu: $u_1=2,\\ u_2=5,\\ u_3=8,\\ u_4=11,\\ u_5=14,\\ u_6=17,\\ u_7=20.$\n\n✅ Đáp án: A. $20$","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số cộng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số cộng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Tập nghiệm của bất phương trình $\\left(\\tfrac12\\right)^{2x+3}\\le 8$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698214baba44c4f8df1e5640","options":[{"label":"A","text":"$[3;+\\infty)$","correct":false,"reason":"Sai vì kết quả đúng là $x \\ge -3$, không phải $x \\ge 3$. Có thể do nhầm lẫn dấu khi chuyển vế hoặc xử lý số mũ."},{"label":"B","text":"$(-\\infty;-3]$","correct":false,"reason":"Sai vì đây là tập nghiệm $x \\le -3$, ngược chiều với kết quả đúng do quên đổi chiều bất đẳng thức khi chia cho $-2$ hoặc khi làm việc với cơ số $01 thì hàm mũ tăng; nếu cơ số trong (0,1) thì hàm mũ giảm).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại cả hai vế dưới dạng luỹ thừa cùng cơ số (chọn cơ số $2$ thuận tiện):\n$\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^{2x+3}=2^{-(2x+3)}$\n\n$8=2^3$\n\nDo đó bất phương trình tương đương với\n$2^{-(2x+3)}\\le 2^3.$\n\nVì hàm số $2^t$ là tăng theo $t$ (cơ số $2>1$), ta có bất đẳng thức về số mũ:\n$-(2x+3)\\le 3.$\n\nGiải bất đẳng thức trên:\n$-2x-3\\le 3$\n$-2x\\le 6$\nChia cả hai vế cho $-2$ (lưu ý đổi chiều bất đẳng thức):\n$x\\ge -3.$\n\nKiểm tra nhanh:\nVới $x=-3$: vế trái $\\left(\\tfrac12\\right)^{2(-3)+3}=\\left(\\tfrac12\\right)^{-3}=2^3=8$ (thỏa).\n\nVới $x=-4$ (nhỏ hơn -3): vế trái là $32$, không thỏa.\n\nVới $x=0$ (lớn hơn -3): vế trái là $\\tfrac{1}{8}\\le 8$ (thỏa).\n\nVậy tập nghiệm là $[-3;+\\infty)$.\n\n✅ Đáp án: C. $[-3;+\\infty)$","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bất phương trình mũ","difficulty":"thông hiểu"},{"id":13,"text":"Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa đang âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những \"nghệ nhân tí hon\" kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm t (giờ) được ký hiệu là $N(t)$. Ban đầu (t = 0 giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N(0)=10$ triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn $N'(t)$ (đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức: $N'(t)=22t-3t^2$ (triệu tế bào/ml/giờ) với t là thời gian tính bằng giờ $(0 \\le t \\le 10)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698214baba44c4f8df1e5641","statements":[{"label":"A","text":"$N'(1) = 19$ triệu tế bào/ml/giờ.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMật độ ban đầu: $N(0)=10$ (triệu tế bào/ml).\n\nTốc độ thay đổi: $N'(t)=22t-3t^2$ (triệu tế bào/ml/giờ), với $0\\le t\\le 10$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra giá trị cụ thể của đạo hàm tại $t=1$: cần tính $N'(1)$.\n\nÁp dụng công thức đạo hàm đã cho để thay số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng biểu thức đã cho: $N'(t)=22t-3t^2$.\n\nThay $t=1$ vào: $N'(1)=22\\cdot1-3\\cdot1^2=22-3=19.$ (đơn vị: triệu tế bào/ml/giờ)\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Tốc độ vi khuẩn tăng khi $0\\le t<\\frac{22}{3}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTốc độ thay đổi: $N'(t)=22t-3t^2$.\n\nLưu ý miền thời gian: $0\\le t\\le 10$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu khẳng định: \"Tốc độ vi khuẩn tăng khi $0\\le t<\\frac{22}{3}$.\" — cần kiểm tra dấu của $N'(t)$ trên đoạn này.\n\nKhái niệm cần dùng: hàm tăng khi đạo hàm dương (tức $N'(t)>0$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét $N'(t)=22t-3t^2=t(22-3t).$\n\nĐể $N'(t)>0$, cần $t>0$ và $22-3t>0\\Rightarrow t<\\frac{22}{3}\\approx7{.}33.$\n\nVậy đạo hàm dương trên khoảng $0 $C_7^1=7.$\n\nLấy hết 4 cuốn Vật lí: cần chọn thêm 2 cuốn từ 8 cuốn còn lại => $C_8^2=28.$\n\nLấy hết 3 cuốn Hóa học: cần chọn thêm 3 cuốn từ 9 cuốn còn lại => $C_9^3=84.$\n\nBước 3: Giao của hai sự kiện lấy hết hai loại cùng lúc là không khả dĩ vì số cuốn >6, nên các giao đều rỗng.\n\nBước 4: Số cách thỏa điều kiện (không lấy hết bất kỳ loại nào) theo bao hàm-trừ là\n$C_{12}^6-(7+28+84)=924-119=805.$\n\nBước 5: So sánh với biểu thức trong phương án B: phương án B ghi $A_{12}^6 - C_7^6 + C_8^6 + C_9^6$ là không hợp lí vì dùng $A_{12}^6$ (hoán vị) thay cho $C_{12}^6$ và dấu cộng/trừ cũng không tương ứng với bao hàm-trừ chính xác.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là $C_7^6 + C_8^6 + C_9^6$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n12 cuốn sách khác nhau: 5 Toán, 4 Vật lí, 3 Hóa học.\n\nChọn 6 cuốn sao cho trong 6 cuốn đó chỉ xuất hiện đúng hai trong ba loại sách.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu C khẳng định số cách chọn 6 cuốn chỉ thuộc hai loại là $C_7^6+C_8^6+C_9^6$.\n\nCần tính tổ hợp từ từng cặp chủng loại và cộng các khả năng vì các cặp là đôi một loại trừ nhau.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xét từng cặp loại sách:\nToán + Vật lí: tổng số cuốn = 5+4=9, chọn 6 cuốn từ 9 => $C_9^6.$\n\nToán + Hóa học: tổng = 5+3=8 => $C_8^6.$\n\nVật lí + Hóa học: tổng = 4+3=7 => $C_7^6.$\n\nBước 2: Ba trường hợp này là đôi một loại trừ nhau (không có giao vì giao sẽ chứa 3 loại), nên tổng số cách là\n$C_9^6+C_8^6+C_7^6.$\n\nBước 3: Đây đúng là biểu thức trong phương án C (chỉ khác thứ tự các hạng tử), nên phương án C là đúng.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là $\\frac{115}{132}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 12 cuốn sách (5 Toán, 4 Vật lí, 3 Hóa học). Thầy lấy ngẫu nhiên 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh.\n\nTa xét xác suất để sau khi tặng xong (tức là đã lấy 6 cuốn), mỗi loại sách vẫn còn lại ít nhất một cuốn.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu D cho giá trị xác suất $\\dfrac{115}{132}$ và hỏi tính đúng hay sai.\n\nCần tính tỉ lệ giữa số cách lấy 6 cuốn thỏa điều kiện và tổng số cách lấy 6 cuốn (không quan trọng thứ tự), rồi rút gọn phân số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Tổng số cách lấy 6 cuốn (không xét thứ tự) là $C_{12}^6=924.$\n\nBước 2: Số cách thỏa điều kiện (mỗi loại còn ít nhất 1 cuốn) đã tính ở phần B là $805.$\n\nBước 3: Xác suất cần tìm là $\\dfrac{805}{924}.$\n\nBước 4: Rút gọn phân số: cả hai chia cho 7 được, ta có $\\dfrac{805}{924}=\\dfrac{115}{132}.$\n\nBước 5: Vậy biểu thức trong phương án D là chính xác.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"bài tập cuối chương viii.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 8","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Cho hàm số $f(x)=2\\sin x + \\sqrt{3}x$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698214baba44c4f8df1e5641","statements":[{"label":"A","text":"Đạo hàm là $f'(x)=-2\\cos x + \\sqrt{3}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=2\\sin x + \\sqrt{3}\\,x$.\n\nBiểu thức được cho trong lựa chọn A: đạo hàm là $f'(x)=-2\\cos x + \\sqrt{3}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu kiểm tra xem biểu thức được cho có phải là đạo hàm đúng của hàm $f(x)$ hay không.\n\nCần áp dụng quy tắc đạo hàm cơ bản: $\\frac{d}{dx}[\\sin x]=\\cos x$ và $\\frac{d}{dx}[ax]=a$ (với hằng số $a$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm của từng thành phần: đạo hàm của $2\\sin x$ theo $x$ là $2\\cos x$ vì $\\frac{d}{dx}[\\sin x]=\\cos x$ nên $\\frac{d}{dx}[2\\sin x]=2\\cos x$.\n\nĐạo hàm của thành phần $\\sqrt{3}\\,x$ là $\\sqrt{3}$ vì $\\frac{d}{dx}[ax]=a$ với $a=\\sqrt{3}$.\n\nTổng lại ta có: $f'(x)=2\\cos x + \\sqrt{3}$.\n\nSo sánh với biểu thức đã cho trong lựa chọn A là $f'(x)=-2\\cos x + \\sqrt{3}$ — dấu của thành phần chứa $\\cos x$ không khớp (âm thay vì dương).\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"},{"label":"B","text":"$f(0)=0,\\quad f(\\pi)=\\sqrt{3}\\pi.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=2\\sin x + \\sqrt{3}\\,x$.\n\nBiểu thức trong lựa chọn B: $f(0)=0,\\quad f(\\pi)=\\sqrt{3}\\pi.$ \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu kiểm tra giá trị của hàm $f$ tại hai điểm $x=0$ và $x=\\pi$.\n\nCần áp dụng giá trị của hàm sin tại các điểm đặc biệt: $\\sin 0=0$ và $\\sin \\pi=0$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính $f(0)=2\\sin 0 + \\sqrt{3}\\cdot 0 = 2\\cdot 0 + 0 = 0$.\n\nTính $f(\\pi)=2\\sin \\pi + \\sqrt{3}\\,\\pi = 2\\cdot 0 + \\sqrt{3}\\,\\pi = \\sqrt{3}\\,\\pi$.\n\nKết quả trùng khớp hoàn toàn với biểu thức đã cho trong lựa chọn B.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Một nguyên hàm của f(x) là $F(x)=-2\\cos x + \\frac{\\sqrt{3}}{2}x^{2} + 2026$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=2\\sin x + \\sqrt{3}\\,x$.\n\nLựa chọn C cho một nguyên hàm: $F(x)=-2\\cos x + \\frac{\\sqrt{3}}{2}x^{2} + 2026.$ \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu kiểm tra xem biểu thức $F(x)$ có phải là một nguyên hàm của $f(x)$ hay không, tức là phải có $F'(x)=f(x)$.\n\nCần biết quy tắc đạo hàm: $\\frac{d}{dx}[\\cos x]=-\\sin x$ và $\\frac{d}{dx}[x^{2}]=2x$, đạo hàm của hằng số là 0.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm của từng thành phần trong $F(x)$:\n$\\frac{d}{dx}[-2\\cos x]=-2\\cdot( -\\sin x ) = 2\\sin x$.\n\n$\\frac{d}{dx}\\left[\\frac{\\sqrt{3}}{2}x^{2}\\right]=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot 2x=\\sqrt{3}\\,x$.\n\nĐạo hàm của hằng số $2026$ bằng $0$.\n\nCộng lại: $F'(x)=2\\sin x + \\sqrt{3}\\,x = f(x)$, nên $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn $[0;\\pi]$ là $1 + \\frac{5\\sqrt{3}\\pi}{6}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=2\\sin x + \\sqrt{3}\\,x$ trên đoạn $[0;\\pi]$.\n\nLựa chọn D cho giá trị lớn nhất trên đoạn: $1 + \\frac{5\\sqrt{3}\\pi}{6}.$ \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm giá trị lớn nhất của hàm liên tục trên đoạn kín $[0,\\pi]$.\n\nSử dụng phương pháp: tìm điểm tới hạn bằng cách giải $f'(x)=0$, rồi so sánh giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm: $f'(x)=2\\cos x + \\sqrt{3}$.\n\nGiải $f'(x)=0\\Rightarrow 2\\cos x + \\sqrt{3}=0\\Rightarrow \\cos x = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$.\n\nTrên đoạn $[0,\\pi]$, nghiệm là $x=\\frac{5\\pi}{6}$.\n\nTính giá trị hàm tại các điểm quan trọng:\n$f(0)=2\\sin 0 + \\sqrt{3}\\cdot 0 =0$.\n\n$f\\left(\\frac{5\\pi}{6}\\right)=2\\sin\\frac{5\\pi}{6} + \\sqrt{3}\\cdot\\frac{5\\pi}{6}=2\\cdot\\frac{1}{2} + \\frac{5\\sqrt{3}\\pi}{6}=1+\\frac{5\\sqrt{3}\\pi}{6}$ (vì $\\sin\\frac{5\\pi}{6}=\\tfrac{1}{2}$).\n\n$f(\\pi)=2\\sin\\pi + \\sqrt{3}\\pi = \\sqrt{3}\\pi$.\n\nSo sánh: để chắc chắn, ta xét hiệu\n$f\\left(\\frac{5\\pi}{6}\\right)-f(\\pi)=\\left(1+\\frac{5\\sqrt{3}\\pi}{6}\\right)-\\sqrt{3}\\pi=1+\\left(\\frac{5}{6}-1\\right)\\sqrt{3}\\pi=1-\\frac{\\sqrt{3}\\pi}{6}.$ \nTính xấp xỉ: $\\frac{\\sqrt{3}\\pi}{6}\\approx\\frac{5.441}{6}\\approx0.907<1$ nên hiệu dương, tức $f\\left(\\frac{5\\pi}{6}\\right)>f(\\pi)$.\n\nDo đó giá trị lớn nhất trên $[0,\\pi]$ là\n$\\displaystyle f_{\\max}=f\\left(\\frac{5\\pi}{6}\\right)=1+\\frac{5\\sqrt{3}\\pi}{6}.$\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối. Họ thử ngẫu nhiên các chữ số từ 0 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698214baba44c4f8df1e5642","correctAnswer":"0,36","explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nCó hai người, mỗi người quên chữ số cuối của một số điện thoại khác nhau (tức là hai số đích khác nhau).\n\nMỗi người thử các chữ số từ 0 đến 9 ngẫu nhiên, không lặp lại các chữ số đã thử.\n\nMỗi người được phép thử tối đa hai lần.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính xác suất để ít nhất một trong hai người gọi đúng chữ số cuối trong không quá hai lần thử.\n\nCần biết cách tính xác suất cho một người thành công trong $\\le 2$ thử, rồi dùng quy tắc xác suất cho hai biến cố độc lập (hai người gọi đến hai số khác nhau → các kết quả độc lập).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác suất một người gọi đúng ngay lần thử đầu: $\\frac{1}{10}$.\n\nNếu lần đầu sai (xác suất $\\frac{9}{10}$), thì vì không lặp lại, xác suất đúng ở lần thử thứ hai là $\\frac{1}{9}$.\nVậy xác suất đúng ở lần hai sau khi lần một sai là $\\frac{9}{10}\\cdot\\frac{1}{9}$.\n\nXác suất một người thành công trong không quá hai lần là tổng hai khả năng trên:\n$P_{\\text{một người}}=\\frac{1}{10}+\\frac{9}{10}\\cdot\\frac{1}{9}=\\frac{1}{10}+\\frac{1}{10}=\\frac{2}{10}=0,2.$\n\nHai người độc lập, nên xác suất không ai thành công là: $(1-0,2)^2=0,8^2=0,64.$\n\nDo đó xác suất để ít nhất một người thành công là: $1-0,64=0,36.$\n\n✅ Đáp án: 0,36","chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"bài tập cuối chương viii","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 8","difficulty":"vận dụng"},{"id":18,"text":"Để điều trị bệnh hiệu quả, bà Hòa được tư vấn bổ sung vào chế độ ăn hằng ngày bằng cách sử dụng thêm hai loại thực phẩm khác nhau là $X$ và $Y$. Mỗi gói thực phẩm $X$ chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin $B$; mỗi gói thực phẩm $Y$ chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin $B$. Yêu cầu hằng ngày tối thiểu cần bổ sung cho chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị vitamin $B$. Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Biết 1 gói thực phẩm loại $X$ giá 20000 đồng, 1 gói thực phẩm loại $Y$ giá 25000 đồng. Hỏi tổng số gói thực phẩm loại $X$ và thực phẩm loại $Y$ mỗi ngày bà Hòa cần dùng là bao nhiêu để chi phí mua là ít nhất?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698214baba44c4f8df1e5642","correctAnswer":"12","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSử dụng hai loại thực phẩm là $X$ và $Y$.\n\nMỗi gói thực phẩm:\nLoại $X$ chứa:\n$20$ đơn vị canxi\n\n$20$ đơn vị sắt\n\n$10$ đơn vị vitamin $B$\n\nLoại $Y$ chứa:\n$20$ đơn vị canxi\n\n$10$ đơn vị sắt\n\n$20$ đơn vị vitamin $B$\n\nNhu cầu tối thiểu mỗi ngày:\n$240$ đơn vị canxi\n\n$160$ đơn vị sắt\n\n$140$ đơn vị vitamin $B$\n\nMỗi ngày:\nKhông dùng quá $12$ gói mỗi loại\n\nGiá tiền:\n$1$ gói $X$: $20,000$ đồng\n\n$1$ gói $Y$: $25,000$ đồng\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán hỏi:\nTổng số gói thực phẩm loại $X$ và $Y$ mỗi ngày bà Hoà cần dùng là bao nhiêu để chi phí mua là ít nhất?\n\nĐây là bài toán:\nQuy hoạch tuyến tính\n\nTối ưu hàm mục tiêu dưới các điều kiện ràng buộc\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Đặt ẩn\nGọi: $x,y\\ (0\\le x,y\\le12;\\ x,y\\in\\mathbb{N})$ lần lượt là số gói thực phẩm loại $X$ và $Y$ bà Hoà dùng trong một ngày.\n\nBước 2: Lập hệ bất phương trình điều kiện\nĐiều kiện về canxi: $20x+20y\\ge240$\n\nĐiều kiện về sắt: $20x+10y\\ge160$\n\nĐiều kiện về vitamin $B$: $10x+20y\\ge140$\n\nĐiều kiện số gói: $0\\le x\\le12,\\quad 0\\le y\\le12$\n\nBước 3: Lập hàm chi phí cần tối thiểu\nTổng chi phí (đơn vị: nghìn đồng): $F(x,y)=20x+25y$\n\nBước 4: Xác định miền nghiệm\nMiền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác $ABCDE$ với:\n$A(2;12),\\ B(12;12),\\ C(12;1),\\ D(10;2),\\ E(4;8).$\n\nBước 5: Tính giá trị hàm chi phí tại các đỉnh\n$F(2;12)=340; ; F(12;12)=540; ; F(12;1)=265; ; F(10;2)=250$ và $F(4;8)=280.$\n\nBước 6: Kết luận giá trị nhỏ nhất\nGiá trị nhỏ nhất của $F$ là: $F_{\\min}=250$ đạt được khi: $x=10,\\ y=2.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{12}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-quan-nho-tinh-thanh-hoa-2026-lan-1-co-dap-an/14gT-7v9bLqi7OStnPpn3P1dEg2fFYwr0_2026-02-03153100.png"],"chapter":"bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":19,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB = 4a$ và $BAD = 120^\\circ$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH = a\\sqrt{3}$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $CD, BC$ và $SA$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ bằng $\\frac{2a\\sqrt{m}}{n}$. Tính $m - n$","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698214baba44c4f8df1e5642","correctAnswer":"26","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, tâm $O$.\n\n$AB = 4a,\\ \\angle BAD = 120^\\circ$.\n\n$H$ là trung điểm của $AO$.\n\n$SH \\perp (ABCD)$ và: $SH = a\\sqrt{3}.$\n\n$M, N, P$ lần lượt là trung điểm của:\n$CD,\\ BC,\\ SA.$\n\nKhoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ có dạng:\n$d(PN,SM)=\\dfrac{2a\\sqrt{m}}{n}.$\n\nYêu cầu: Tính $m-n$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần:\nTính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $PN$ và $SM$.\n\nĐưa kết quả về dạng $\\dfrac{2a\\sqrt{m}}{n}$ rồi suy ra $m-n$.\n\nKiến thức cần dùng:\nHình học không gian: quan hệ song song – trung điểm.\n\nCông thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.\n\nKỹ thuật đưa khoảng cách hai đường về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Khai thác hình học đáy\nDo $\\angle BAD = 120^\\circ$ nên: $\\angle CAD = 60^\\circ.$\n\nVì $ABCD$ là hình thoi ⇒ $DA = DC$.\n\nSuy ra tam giác $\\triangle ACD$ đều.\n\nGọi $M$ là trung điểm của $CD$, khi đó: $AM = 2a\\sqrt{3}.$\n\nBước 2: Khai thác quan hệ song song\nGọi $F = AN \\cap CD$.\n\nVì $P$ là trung điểm của $SA$ nên: $PN \\parallel SF.$\n\nSuy ra: $d(PN,SM)=d(P,(SFD)).$\n\nBước 3: Đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng\nDo $P$ là trung điểm của $SA$: $d(P,(SFD))=\\dfrac12,d(A,(SFD)).$\n\nLại có $H$ là trung điểm của $AO$ nên: $d(A,(SFD))=\\dfrac{4}{3}d(H,(SFD)).$\n\nSuy ra: $d(PN,SM)=\\dfrac12\\cdot\\dfrac{4}{3}d(H,(SFD))=\\dfrac{2}{3}d(H,(SFD)).$\n\nBước 4: Tính $d(H,(SFD))$\nTrong mặt phẳng vuông góc thích hợp: $d(H,(SFD))=\\dfrac{SH\\cdot HE}{\\sqrt{SH^2+HE^2}}.$\n\nTa có: $SH=a\\sqrt{3},\\quad HE=\\dfrac{3a\\sqrt{3}}{2}.$\n\nThay vào: $d(H,(SFD))=\\dfrac{a\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{3a\\sqrt{3}}{2}}{\\sqrt{3a^2+\\dfrac{27a^2}{4}}}.$\n\nBước 5: Tính toán và rút gọn\n$d(PN,SM)=\\dfrac{2}{3}\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{3a\\sqrt{3}}{2}}{\\sqrt{3a^2+\\dfrac{27a^2}{4}}}=\\dfrac{2a\\sqrt{39}}{13}.$\n\nSo sánh với dạng: $\\dfrac{2a\\sqrt{m}}{n}$ ta có: $m=39,\\quad n=13.$\n✅ Đáp án: $\\boxed{m-n=26}.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-quan-nho-tinh-thanh-hoa-2026-lan-1-co-dap-an/1jArXX_CcBANwsxeA4HBEkwnHIaykSpA2_2026-02-03153102.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"khoảng cách","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":20,"text":"Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài 25m, chiều rộng 15,5m và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính 10m. Trong một lần bé bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng $AC$ rồi bơi tiếp đoạn thẳng $CM$, với $M$ là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm $D$ dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí $A$ và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ). \nBiết rằng vận tốc bơi của Hoa là 2,4 km/h, vận tốc đi bộ là 4,8 km/h và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698214baba44c4f8df1e5642","correctAnswer":"1,4","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHồ bơi gồm:\nMột hình chữ nhật có $AB = 25,\\text{m}$, $AE = 15{,}5,\\text{m}$.\n\nGắn thêm một hình bán nguyệt đường kính $CD = 10,\\text{m}$.\n\nHoa thực hiện một chu trình:\nBơi theo đoạn $AC$.\n\nBơi tiếp theo đoạn $CM$, với $M$ là điểm bất kỳ trên bán nguyệt.\n\nĐi bộ dọc bờ hồ theo $MD, DE, EA$ để quay lại $A$.\n\nVận tốc:\nBơi: $2{,}4,\\text{km/h}$.\n\nĐi bộ: $4{,}8,\\text{km/h}$.\n\nHỏi thời gian chậm nhất để Hoa hoàn thành chu trình (làm tròn đến hàng phần chục phút).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nVì vận tốc bơi và đi bộ không đổi, nên:\nThời gian lớn nhất ⇔ biểu thức thời gian đạt giá trị lớn nhất.\n\nDo các đoạn $AC, DE, EA$ là cố định, nên thời gian lớn nhất phụ thuộc vào vị trí điểm $M$ trên bán nguyệt.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Đổi đơn vị vận tốc\n$2{,}4,\\text{km/h}=\\dfrac{2}{3},\\text{m/s}$\n$4{,}8,\\text{km/h}=\\dfrac{4}{3},\\text{m/s}$\n\nBước 2: Biểu diễn tổng thời gian\nTổng quãng đường Hoa đi: $AC + CM + MD + DE + EA$\n\nTổng thời gian: $T=\\dfrac{AC+CM}{\\frac{2}{3}}+\\dfrac{MD+DE+EA}{\\frac{4}{3}}$\n\nBước 3: Xác định phần cần tối ưu\nVì $AC, DE, EA$ không đổi nên $T_{\\max}$ khi: $\\dfrac{CM}{\\frac{2}{3}}+\\dfrac{MD}{\\frac{4}{3}}=\\dfrac{3}{2}CM+\\dfrac{3}{4}MD$\nđạt giá trị lớn nhất.\n\nBước 4: Đặt biến hình học\nĐặt $\\angle MCD=\\alpha$ với $0<\\alpha<\\dfrac{\\pi}{2}$.\n\nKhi đó $\\angle MOD=2\\alpha$.\n\nSuy ra:\n$CM=10\\cos\\alpha$\n$MD=10\\alpha$\n\nBước 5: Lập hàm số cần tối ưu\n$f(\\alpha)=\\dfrac{3}{2}CM+\\dfrac{3}{4}MD=15\\cos\\alpha+\\dfrac{15}{2}\\alpha$\n\nBước 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số\n$f'(\\alpha)=-15\\sin\\alpha+\\dfrac{15}{2}$\n$f'(\\alpha)=0 \\Rightarrow \\sin\\alpha=\\dfrac{1}{2} \\Rightarrow \\alpha=\\dfrac{\\pi}{6}$\n\nBước 7: Tính thời gian lớn nhất\n$T_{\\max}=\\dfrac{3\\sqrt{25^2+15{,}5^2}}{2}+\\dfrac{15}{2}\\left(\\sqrt{3}+\\dfrac{\\pi}{6}\\right)+\\dfrac{3(15+15{,}5)}{4}$\n$T_{\\max}\\approx83{,}9,\\text{giây}$\n\nBước 8: Đổi sang phút\n$83{,}9,\\text{giây}\\approx1{,}4,\\text{phút}$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{1{,}4\\ \\text{phút}}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-quan-nho-tinh-thanh-hoa-2026-lan-1-co-dap-an/1YR6O6ae0ihfWpMe2qL1LTFLgMSPsbqmH_2026-02-03153102.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-quan-nho-tinh-thanh-hoa-2026-lan-1-co-dap-an/1IIYM0w-xuhCzgd3d3cyyh2Bsb3H9ke1j_2026-02-03153100.png"],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":21,"text":"Trong không gian với hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo trên các trục là kilomet, một ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu đến $N$ máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là $Q(1400;800;16)$. Biết một khẩu pháo ở tọa độ vị trí điểm $E(100;150;9,5)$ được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí $N$. Sau bao nhiêu phút kể từ khi máy bay bay tại $M$ thì người điều khiển pháo phải bắn?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698214baba44c4f8df1e5642","correctAnswer":"24","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMáy bay di chuyển thẳng đều từ $M(1000;600;14)$ đến $N$ trong $30$ phút.\n\nSau đó tiếp tục bay cùng vận tốc, cùng hướng thêm $10$ phút và đến $Q(1400;800;16).$\n\nKhẩu pháo đặt tại $E(100;150;9{,}5).$\n\nVận tốc đạn pháo gấp 5 lần vận tốc máy bay.\n\nHỏi: Sau bao nhiêu phút kể từ lúc máy bay rời $M$thì phải bắn để trúng máy bay tại $N$?\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần xác định:\nVận tốc của máy bay.\n\nVị trí điểm $N$.\n\nThời gian đạn pháo bay từ $E$ đến $N$.\n\nThời điểm bắn chính là thời gian máy bay bay từ $M$ đến $N$ trừ đi thời gian đạn bay.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Tính vận tốc của máy bay\nTa có: $\\vec{MQ}=(400;200;2)$\n\nSuy ra: $MQ=\\sqrt{400^2+200^2+2^2}=2\\sqrt{50001}\\text{ km}$\n\nThời gian bay từ $M$ đến $Q$ là: $40\\text{ phút}$\n\nVận tốc máy bay: $v_{\\text{mb}}=\\dfrac{MQ}{40}=\\dfrac{\\sqrt{50001}}{20}\\text{ km/phút}$\n\nBước 2: Tính vận tốc của đạn pháo\n$v_{\\text{pháo}}=5v_{\\text{mb}}=\\dfrac{\\sqrt{50001}}{4}\\text{ km/phút}$\n\nBước 3: Xác định tọa độ điểm $N$\nDo vận tốc không đổi: $\\dfrac{MN}{MQ}=\\dfrac{30}{40}=\\dfrac{3}{4}$\n\nSuy ra: $4\\vec{MN}=3\\vec{MQ}$\n\nGiải hệ:\n$4(x_N-1000)=3\\cdot400$\n$4(y_N-600)=3\\cdot200$\n$4(z_N-14)=3\\cdot2$\n\nSuy ra: $N(1300;750;15{,}5).$\n\nBước 4: Tính quãng đường đạn pháo bay\nTa có: $\\vec{EN}=(1200;600;6)$\n\nSuy ra: $EN=\\sqrt{1200^2+600^2+6^2}=6\\sqrt{50001}\\text{ km}$\n\nBước 5: Tính thời gian đạn pháo bay\n$t_{\\text{pháo}}=\\dfrac{EN}{v_{\\text{pháo}}}=\\dfrac{6\\sqrt{50001}}{\\frac{\\sqrt{50001}}{4}}=24\\text{ phút}$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{24\\ \\text{phút}}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-quan-nho-tinh-thanh-hoa-2026-lan-1-co-dap-an/1ozzVXqSxZ-roMFLAXwbXbFOAKv6O_Lsn_2026-02-03153100.png"],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"vận dụng"},{"id":22,"text":"Trận bóng đá giao hữu giữa đội tuyển Việt Nam và Singapore ở sân vận động Mỹ Đình có sức chứa 60 000 khán giả. Ban tổ chức bán vé với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình đến sân xem bóng đá là 24 000 người. Qua tham dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm 5 000 người đến sân xem bóng. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698214baba44c4f8df1e5642","correctAnswer":"90","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSân vận động Mỹ Đình có sức chứa tối đa: $60,000$ khán giả.\n\nGiá vé ban đầu: $100$ (nghìn đồng/vé).\n\nSố khán giả trung bình hiện tại: $24,000$ người.\n\nMỗi khi giảm $10$nghìn đồng/vé thì:\nSố khán giả tăng thêm $3,000$ người.\n\nYêu cầu:\n👉 Tìm giá vé (nghìn đồng) để doanh thu bán vé là lớn nhất.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nDoanh thu phụ thuộc vào:\nGiá vé\n\nSố vé bán được\n\nBài toán là:\n👉 Tối ưu hóa hàm doanh thu (dạng hàm bậc hai).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Đặt ẩn\nGọi $x$ (nghìn đồng), $0