{"title":"Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Cụm Cẩm Khê – Yên Lập Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2025,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"686963b1a840750013308b1f","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"686963b1a840750013308b20","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"686963b1a840750013308b21","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $y = 2025^x$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$\\frac{2025^x}{\\ln 2025} + C$","correct":true,"reason":"Đúng theo công thức nguyên hàm $\\int a^x dx = \\frac{a^x}{\\ln a} + C$, thay $a = 2025$ ta được $\\frac{2025^x}{\\ln 2025} + C$."},{"label":"B","text":"$2025^x + C$","correct":false,"reason":"Sai vì thiếu phép chia cho $\\ln 2025$; nếu lấy đạo hàm của $2025^x + C$ sẽ được $2025^x \\ln 2025 \\neq 2025^x$."},{"label":"C","text":"$\\frac{2025^{x+1}}{2025} + C$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{2025^{x+1}}{2025} = 2025^x$ chính là hàm số đã cho, không phải nguyên hàm; nhầm lẫn với quy tắc nguyên hàm $\\int x^n dx$."},{"label":"D","text":"$2025^x \\cdot\\ln 2025 + C$","correct":false,"reason":"Sai vì nhân với $\\ln 2025$ thay vì chia; biểu thức này chính là đạo hàm $(2025^x)' = 2025^x \\ln 2025$, không phải nguyên hàm."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số cần tìm nguyên hàm: $y = 2025^x$\n\nCác đáp án đều có dạng: nguyên hàm + hằng số $C$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $y = 2025^x$.\n\nKiến thức cần áp dụng: Công thức nguyên hàm của hàm mũ theo cơ số khác $e$:\n$\\int a^x dx = \\dfrac{a^x}{\\ln a} + C$ với $a > 0$ và $a \\ne 1$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định $a$ ở đây là $2025$.\n\nÁp dụng công thức nguyên hàm:\n$\\int 2025^x dx = \\dfrac{2025^x}{\\ln 2025} + C$\n\nSo sánh với các đáp án:\nĐáp án A: $\\dfrac{2025^x}{\\ln 2025} + C$ → đúng theo công thức.\n\nĐáp án B: $2025^x + C$ → thiếu chia cho $\\ln 2025$.\n\nĐáp án C: $\\dfrac{2025^{x+1}}{2025} + C$ → không đúng dạng nguyên hàm của hàm mũ.\n\nĐáp án D: $2025^x \\cdot \\ln 2025 + C$ → thừa nhân thêm $\\ln 2025$, sai.\n\n✅ Đáp án: $\\text{A}$\n❌ Các đáp án khác:\nB: Sai vì thiếu phần chia cho $\\ln 2025$ theo công thức nguyên hàm.\n\nC: Sai vì lũy thừa $2025^{x+1}$ không phải là nguyên hàm chính xác của $2025^x$.\n\nD: Sai vì nhân thêm $\\ln 2025$, không đúng theo công thức nguyên hàm.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"nguyên hàm","grade":"GRADE_12","questionCategory":"nguyên hàm của một hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":2,"text":"Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2 = -6$ và $u_6 = -486$. Tìm công bội $q$ của cấp số nhân đã cho, biết rằng $u_3 > 0$.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$q = 3$","correct":false,"reason":"Với $q=3$, ta có $u_3 = u_2 \\cdot q = -6 \\cdot 3 = -18 < 0$, vi phạm điều kiện $u_3 > 0$ dù $q^4 = 81$ thỏa mãn phương trình."},{"label":"B","text":"$q = -\\frac{1}{3}$","correct":false,"reason":"Với $q=-\\frac{1}{3}$ thì $q^4 = \\frac{1}{81} \\neq 81$, không thỏa mãn phương trình $q^4 = \\frac{u_6}{u_2} = 81$ suy ra từ hai số hạng đã cho."},{"label":"C","text":"$q = -3$","correct":true,"reason":"Từ $\\frac{u_6}{u_2} = q^4 = 81$ ta có $q = \\pm 3$. Do $u_3 = u_2 \\cdot q = -6q > 0$ nên $q < 0$, vậy $q = -3$ là giá trị thỏa mãn."},{"label":"D","text":"$q = \\frac{1}{3}$","correct":false,"reason":"Với $q=\\frac{1}{3}$ thì $q^4 = \\frac{1}{81} \\neq 81$, không thỏa mãn hệ thức $q^4 = \\frac{-486}{-6} = 81$ suy ra từ dữ kiện đề bài."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSố hạng thứ 2 của cấp số nhân: $u_2 = -6$ \n\nSố hạng thứ 6 của cấp số nhân: $u_6 = -486$ \n\nĐiều kiện thêm: $u_3 > 0$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm công bội $q$ của một cấp số nhân. \n\nCần áp dụng công thức liên hệ giữa các số hạng trong cấp số nhân và điều kiện dấu của số hạng thứ 3.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo tính chất cấp số nhân, ta có \n$\\displaystyle \\frac{u_6}{u_2}=q^{6-2}=q^4\\,.$ \n\nThay giá trị đã cho: \n$\\displaystyle \\frac{-486}{-6}=q^4\\;\\Longrightarrow\\;q^4=81\\,.$ \n\nGiải phương trình $q^4=81$ ta được $q=\\pm 3\\,.$ \n\nÁp dụng điều kiện $u_3>0$, mà \n$u_3=u_2\\cdot q=-6\\;q>0\\;\\Longrightarrow\\;q<0\\,.$ \n\nVậy chọn $q=-3\\,.$\n\n✅ Đáp án: $q = -3$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $q=3$: làm $u_3=-6\\cdot3=-18<0$, không thỏa điều kiện $u_3>0$. \n\nB. $q=-\\tfrac13$: khi đó $q^4=\\tfrac{1}{81}\\neq81$, sai. \n\nD. $q=\\tfrac13$: khi đó $q^4=\\tfrac{1}{81}\\neq81$, sai.","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số nhân","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số nhân","difficulty":"thông hiểu"},{"id":3,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$(-2;0)$","correct":false,"reason":"Khoảng $(-2;0)$ nằm trong $(-\\infty;1)$, mà theo bảng biến thiên trên $(-\\infty;1)$ có $y'>0$ nên hàm số đồng biến, không phải nghịch biến."},{"label":"B","text":"$(-\\infty;0)$","correct":false,"reason":"Trên $(-\\infty;0) \\subset (-\\infty;1)$, ta có $y'>0$ nên hàm số đồng biến, không thỏa mãn yêu cầu nghịch biến."},{"label":"C","text":"$(3;+\\infty)$","correct":false,"reason":"Trên $(3;+\\infty)$, bảng biến thiên cho thấy $y'>0$ nên hàm số đồng biến, không phải nghịch biến."},{"label":"D","text":"$(1;3)$","correct":true,"reason":"Trên $(1;3)$, bảng biến thiên cho thấy $y'<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên cho biết dấu của $y'$ trên các khoảng:\n• Trên $(-\\infty;1)$: $y'>0$ ⇒ hàm đồng biến. \n• Tại $x=1$: $y'=0$ ⇒ cực đại tại $(1;0)$. \n• Trên $(1;3)$: $y'<0$ ⇒ hàm nghịch biến. \n• Tại $x=3$: $y'=0$ ⇒ cực tiểu tại $(3;-2)$. \n• Trên $(3;+\\infty)$: $y'>0$ ⇒ hàm đồng biến.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi hỏi: “Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?” \n\nNghịch biến nghĩa là khi $x$ tăng thì $y$ giảm ⇔ $y'<0$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định khoảng nào mà $y'<0$ từ bảng biến thiên. \n\nTừ bảng: \n• $y'>0$ trên $(-\\infty;1)$ ⇒ không phải. \n• $y'<0$ trên $(1;3)$ ⇒ đây là khoảng hàm nghịch biến. \n• $y'>0$ trên $(3;+\\infty)$ ⇒ không phải. \n\nĐối chiếu với các đáp án:\n• A. $(-2;0)$: nằm hoàn toàn trong $(-\\infty;1)$ – hàm đồng biến, nên sai. \n• B. $(-\\infty;0)$: cũng thuộc miền đồng biến, nên sai. \n• C. $(3;+\\infty)$: đây là miền hàm đồng biến, nên sai. \n• Đáp án đúng là khoảng $(1;3)$ – nơi $y'<0$.\n\n✅ Đáp án: $(1;3)$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $(-2;0)$: nằm trong miền đồng biến $(-\\infty;1)$. \n\nB. $(-\\infty;0)$: hàm đồng biến, không phải nghịch biến. \n\nC. $(3;+\\infty)$: hàm đồng biến, không phải nghịch biến.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-cam-khe-yen-lap-tinh-phu-tho-2025-co-dap-an/Screenshot_2026-01-15_113052.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-cam-khe-yen-lap-tinh-phu-tho-2025-co-dap-an/1umCGwBTsG4exJ4mnWo4b-QmSnxHWsrX1_2025-07-05174103.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":4,"text":"Tập nghiệm của phương trình $9^{x+1} = 27^{2x+1}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$\\left\\{ \\frac{1}{4} \\right\\}$","correct":true,"reason":"Chuyển về cùng cơ số $3$ ta được $(3^2)^{x+1} = (3^3)^{2x+1} \\Leftrightarrow 3^{2x+2} = 3^{6x+3}$. Từ đó $2x+2 = 6x+3 \\Leftrightarrow x = -\\frac{1}{4}$ là nghiệm duy nhất."},{"label":"B","text":"$\\{0\\}$","correct":false,"reason":"Thay $x=0$ vào phương trình ta có $9^{1} = 27^{1}$ hay $9=27$, điều này sai nên $x=0$ không là nghiệm."},{"label":"C","text":"$\\left\\{-\\frac{1}{4},\\right.0\\rbrace$","correct":false,"reason":"Phương án chứa $0$ không phải nghiệm (vì $9^{0+1} \\neq 27^{2\\cdot 0+1}$), đồng thời phương trình chỉ có một nghiệm $x=-\\frac{1}{4}$ nên tập nghiệm không thể có hai phần tử."},{"label":"D","text":"$\\varnothing$","correct":false,"reason":"Phương trình có nghiệm $x = -\\frac{1}{4}$ nên tập nghiệm khác rỗng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình: $9^{x+1} = 27^{2x+1}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm tập nghiệm (tập hợp các giá trị của $x$) thỏa phương trình.\n\nCần áp dụng kiến thức: chuyển cơ số về cùng một cơ số (ở đây là cơ số $3$) và tính chất: nếu $a^{u}=a^{v}$ với $a>0$ và $a\\neq1$ thì $u=v$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại $9$ và $27$ dưới dạng lũy thừa của $3$:\n$9 = 3^2$, $27 = 3^3$.\n\nThay vào phương trình:\n$(3^2)^{x+1} = (3^3)^{2x+1}$\n\nSuy ra $3^{2(x+1)} = 3^{3(2x+1)}$\n\nVì cơ số $3>0$ và khác $1$, nên ta bằng các số mũ:\n$2(x+1) = 3(2x+1)$\n\nGiải phương trình số học:\n$2x + 2 = 6x + 3$\n\n$2 - 3 = 6x - 2x$\n\n$-1 = 4x$\n\n$x = -\\frac{1}{4}$\n\nVậy tập nghiệm là $\\left\\{-\\frac{1}{4}\\right\\}$\n\n✅ Đáp án: A. $\\left\\{-\\frac{1}{4}\\right\\}$","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình mũ","difficulty":"thông hiểu"},{"id":5,"text":"Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \\frac{2x - 2}{x + 1}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$x = -2$","correct":false,"reason":"Tại $x = -2$, mẫu số $x + 1 = -1 \\neq 0$ nên hàm số xác định tại đây, do đó không có tiệm cận đứng."},{"label":"B","text":"$x = 1$","correct":false,"reason":"Tại $x = 1$, mẫu số $x + 1 = 2 \\neq 0$ nên hàm số xác định (tử số bằng $0$ chỉ cho ta nghiệm $x = 1$, không phải tiệm cận)."},{"label":"C","text":"$x = -1$","correct":true,"reason":"Tại $x = -1$, mẫu số $x + 1 = 0$ còn tử số $2x - 2 = -4 \\neq 0$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x = -1$."},{"label":"D","text":"$x = 2$","correct":false,"reason":"Tại $x = 2$, mẫu số $x + 1 = 3 \\neq 0$ nên hàm số xác định, không tồn tại tiệm cận đứng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y = \\frac{2x - 2}{x + 1}$. \n\nYêu cầu tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. \n\nCác giá trị ứng viên: $x = -2,\\; x = 1,\\; x = 2,\\; x = -1\\,$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi cần xác định điểm mà đồ thị có tiệm cận đứng. \n\nÁp dụng khái niệm: tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số = 0 nhưng tử số ≠ 0.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định mẫu số của hàm: $x + 1\\,.$\n\nGiải phương trình $x + 1 = 0 \\implies x = -1\\,.$\n\nKiểm tra tử số tại $x = -1$: \n$2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4 \\neq 0\\,.$ \nDo đó tại $x = -1$ hàm số không xác định và có tiệm cận đứng. \n\nVới các giá trị $x = -2,\\,1,\\,2$, mẫu số không bằng 0, hàm số vẫn xác định nên không tạo tiệm cận đứng.\n\n✅ Đáp án: $x = -1$ \n❌ Các đáp án khác:\n$x = -2$: Mẫu số $x+1$ khi $x=-2$ cho $-1\\neq0$, hàm số vẫn xác định. \n\n$x = 1$: Mẫu số $x+1$ khi $x=1$ cho $2\\neq0$. \n\n$x = 2$: Mẫu số $x+1$ khi $x=2$ cho $3\\neq0$.","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận đứng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":6,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x + 3y + z + 2 = 0$. Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của $(P)$?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$\\vec{n_4} = (2;0;3)$","correct":false,"reason":"Véctơ $\\vec{n_4}=(2;0;3)$ sai vì thành phần $y=0$ và $z=3$ không khớp với hệ số $3$ và $1$ của $y, z$ trong phương trình $2x+3y+z+2=0$."},{"label":"B","text":"$\\vec{n_2} = (2;3;1)$","correct":true,"reason":"Véctơ $\\vec{n_2}=(2;3;1)$ đúng vì mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$ có véctơ pháp tuyến là $(a;b;c)$, nên từ $2x+3y+z+2=0$ ta được $\\vec{n}=(2;3;1)$."},{"label":"C","text":"$\\vec{n_1} = (2;3;0)$","correct":false,"reason":"Véctơ $\\vec{n_1}=(2;3;0)$ sai vì thành phần $z$ phải bằng $1$ (hệ số của $z$ trong phương trình), không phải $0$."},{"label":"D","text":"$\\vec{n_3} = (2;3;2)$","correct":false,"reason":"Véctơ $\\vec{n_3}=(2;3;2)$ sai vì thành phần $z$ phải bằng $1$ (hệ số của $z$ trong phương trình), không phải $2$."}],"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nMặt phẳng $(P)$ có phương trình: $2x+3y+z+2=0$\n\nCác vectơ ứng với từng đáp án:\n$\\vec n_4=(2;0;3)$\n\n$\\vec n_2=(2;3;1)$\n\n$\\vec n_1=(2;3;0)$\n\n$\\vec n_3=(2;3;2)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: Xác định vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.\n\nKhái niệm cần áp dụng: Với mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$, vectơ pháp tuyến là $\\vec n=(a;b;c)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhận diện hệ số: từ phương trình $2x+3y+z+2=0$ ta có\n$a=2,\\ b=3,\\ c=1.$\n\nVậy vectơ pháp tuyến phải là\n$\\vec n=(2;3;1).$\n\nSo sánh với các đáp án:\nA. $(2;0;3)$ – thành phần $y$ sai (phải là 3).\n\nB. $(2;3;1)$ – đúng khớp $(a,b,c)$.\n\nC. $(2;3;0)$ – thành phần $z$ sai (phải là 1).\n\nD. $(2;3;2)$ – thành phần $z$ sai (phải là 1).\n\n✅ Đáp án: B. $\\vec n=(2;3;1)$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $(2;0;3)$: Sai vì hệ số $y$ phải là $3$, không phải $0$.\n\nC. $(2;3;0)$: Sai vì hệ số $z$ phải là $1$, không phải $0$.\n\nD. $(2;3;2)$: Sai vì hệ số $z$ phải là $1$, không phải $2$.","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt phẳng","grade":"GRADE_12","questionCategory":"phương trình tổng quát của mặt phẳng","difficulty":"nhận biết"},{"id":7,"text":"Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x \\in [-2;2]$, biết mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là $\\sqrt{4 - x^2}$. Thể tích của vật thể đã cho bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$8$","correct":false,"reason":"Sai vì kết quả đúng của tích phân tính thể tích là $\\frac{32}{3}$, không phải $8$; có thể do nhầm lẫn khi tính nguyên hàm hoặc thế cận."},{"label":"B","text":"$\\frac{32}{3}$","correct":true,"reason":"Đúng vì diện tích mặt cắt hình vuông là $S(x) = (\\sqrt{4-x^2})^2 = 4-x^2$, suy ra thể tích $V = \\int_{-2}^{2} (4-x^2) \\, dx = \\left[4x - \\frac{x^3}{3}\\right]_{-2}^{2} = \\frac{32}{3}$."},{"label":"C","text":"$\\frac{32}{3}\\pi$","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị này xuất hiện khi nhầm mặt cắt là hình tròn bán kính $\\sqrt{4-x^2}$ (có diện tích $\\pi(4-x^2)$), nhưng đề bài cho mặt cắt là hình vuông nên không có hệ số $\\pi$."},{"label":"D","text":"$8\\pi$","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị này không khớp với kết quả tích phân và thừa hệ số $\\pi$ không tồn tại trong công thức tính thể tích của vật thể có mặt cắt hình vuông."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVật thể được cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x\\in[-2,2]$. \n\nMỗi mặt cắt ngang là hình vuông có cạnh dài $\\sqrt{4 - x^2}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính thể tích vật thể biết diện tích mặt cắt ngang tại $x$ là diện tích hình vuông. \n\nỨng dụng kiến thức tích phân tính thể tích bằng cách tích phân diện tích mặt cắt ngang: \n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDiện tích mặt cắt ngang tại $x$ là\n\nThể tích vật thể tính bởi\n\nTính tích phân:\n\nÁp dụng giới hạn từ $-2$ đến $2$:\n\n✅ Đáp án: $\\displaystyle \\tfrac{32}{3}$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $8$: Sai, vì tích phân $\\int_{-2}^2(4 - x^2)\\,dx$ không cho kết quả 8. \n\nC. $\\tfrac{32}{3}\\pi$: Sai, không có $\\pi$ trong biểu thức tích phân. \n\nD. $8\\pi$: Sai, tương tự không xuất hiện $\\pi$.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"ứng dụng hình học của tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể","difficulty":"thông hiểu"},{"id":8,"text":"Cho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{AC_1} = \\overrightarrow{AA_1} + \\overrightarrow{AD}$","correct":false,"reason":"Biểu thức $\\overrightarrow{AA_1} + \\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AD_1}$ là đường chéo mặt bên $ADD_1A_1$, không phải đường chéo không gian $\\overrightarrow{AC_1}$ do thiếu thành phần $\\overrightarrow{AB}$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{AC_1} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD}$","correct":false,"reason":"Biểu thức $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AC}$ chỉ là đường chéo mặt đáy $ABCD$, chưa có thành phần theo phương cao $\\overrightarrow{AA_1}$ nên không bằng $\\overrightarrow{AC_1}$."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{AC_1} = \\overrightarrow{AA_1} + \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AB}$","correct":true,"reason":"Theo quy tắc hình hộp (hình bình hành mở rộng), $\\overrightarrow{AC_1} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AA_1}$ là tổng của ba vectơ cạnh xuất phát từ đỉnh $A$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{AC_1} = \\overrightarrow{AA_1} + \\overrightarrow{AB}$","correct":false,"reason":"Biểu thức $\\overrightarrow{AA_1} + \\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{AB_1}$ là đường chéo mặt bên $ABB_1A_1$, thiếu thành phần $\\overrightarrow{AD}$ nên không bằng $\\overrightarrow{AC_1}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$. \n\nCần biểu diễn vectơ $\\overrightarrow{AC_1}$ theo các vectơ cạnh.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nViết $\\overrightarrow{AC_1}$ dưới dạng tổng của các vectơ cạnh trong hình lập phương. \n\nVận dụng phép cộng vectơ và tính chất song song, bằng nhau của các cạnh.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChọn đường đi từ $A$ đến $C_1$ qua các đỉnh sao cho dễ tách thành vectơ cạnh: \n$A \\to A_1 \\to D_1 \\to C_1$. \n\nViết biểu thức tổng quát: \n\nÁp dụng tính chất của hình lập phương: \n$\\overrightarrow{A_1D_1} = \\overrightarrow{AD}$ (cạnh bên bằng cạnh đáy song song). \n\n$\\overrightarrow{D_1C_1} = \\overrightarrow{DC} = \\overrightarrow{AB}$.\n\nKết luận: \n\n✅ Đáp án: \n$\\overrightarrow{AC_1} = \\overrightarrow{AA_1} + \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AB}$ (Đáp án C)\n❌ Các đáp án khác:\nA. $\\overrightarrow{AA_1} + \\overrightarrow{AD}$ thiếu thành phần $\\overrightarrow{AB}$. \n\nB. $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD}$ thiếu thành phần $\\overrightarrow{AA_1}$. \n\nD. $\\overrightarrow{AA_1} + \\overrightarrow{AB}$ thiếu thành phần $\\overrightarrow{AD}$.","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian","difficulty":"nhận biết"},{"id":9,"text":"Mức thưởng Tết cho các cá nhân viên của tổ 2 tại một công ty được thống kê trong bảng sau. Gọi $R_1; R_2$ tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về mức thưởng Tết của các nhân viên Tổ A và Tổ B. Chọn phương án đúng trong các phương án dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$R_2 = 25$","correct":false,"reason":"Với tổ B, lớp cuối cùng có tần số khác $0$ là $[20;25)$ nên giá trị lớn nhất là $25$, suy ra $R_2 = 25-5=20 \\neq 25$."},{"label":"B","text":"$R_1 < R_2$","correct":false,"reason":"Vì $R_1 = 25$ và $R_2 = 20$ nên $R_1 < R_2$ là sai."},{"label":"C","text":"$R_1 = 20$","correct":false,"reason":"Với tổ A, lớp cuối cùng có tần số khác $0$ là $[25;30)$ nên giá trị lớn nhất là $30$, suy ra $R_1 = 30-5=25 \\neq 20$."},{"label":"D","text":"$R_1 > R_2$","correct":true,"reason":"Ta có $R_1 = 30-5=25$ (do tổ A có nhân viên ở lớp $[25;30)$) và $R_2 = 25-5=20$ (do tổ B không có nhân viên ở lớp $[25;30)$), nên $R_1 > R_2$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng tần số ghép nhóm mức thưởng Tết (đơn vị: triệu đồng) cho nhân viên tổ A và tổ B: các khoảng [5;10), [10;15), [15;20), [20;25), [25;30) cùng với số lượng nhân viên tương ứng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính khoảng biến thiên (range) của mẫu ghép nhóm cho mỗi tổ, ký hiệu là $R_1$ cho tổ A và $R_2$ cho tổ B.\n\nSo sánh $R_1$ và $R_2$ để chọn đáp án đúng trong các phương án cho sẵn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định giá trị nhỏ nhất (min) và lớn nhất (max) của mỗi nhóm.\n\nVới tổ A: \n• Min = mốc dưới của lớp đầu tiên = 5 \n• Max = mốc trên của lớp cuối cùng có nhân viên = 30 \n⇒ $R_1 = \\text{max} - \\text{min} = 30 - 5 = 25.$\n\nVới tổ B: \n• Min = 5 \n• Lớp cuối cùng có nhân viên là [20;25) ⇒ Max = 25 \n⇒ $R_2 = 25 - 5 = 20.$\n\nBước 2: So sánh hai kết quả: \n$R_1 = 25,\\quad R_2 = 20 \\quad\\Longrightarrow\\quad R_1 > R_2.$\n\n✅ Đáp án: $R_1 > R_2$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $R_2 = 25$ sai vì thực chất $R_2 = 20$. \n\nB. $R_1 < R_2$ sai vì $25 \\not< 20$. \n\nC. $R_1 = 20$ sai vì $R_1 = 25,. $","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-cam-khe-yen-lap-tinh-phu-tho-2025-co-dap-an/1iDghwXQvdHqVmryMZ5RDNiy9UBXfLHlr_2025-07-05174103.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khoảng biến thiên","difficulty":"thông hiểu"},{"id":10,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \\perp (ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình vuông. Mệnh đề nào dưới đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$(SAC) \\perp (SBD)$","correct":true,"reason":"Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD \\perp AC$, mặt khác $SA \\perp (ABCD)$ suy ra $SA \\perp BD$. Do đó $BD \\perp (SAC)$, kết hợp $BD \\subset (SBD)$ suy ra $(SAC) \\perp (SBD)$."},{"label":"B","text":"$(SAD) \\perp (SBC)$","correct":false,"reason":"Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ chứa các đường thẳng $AD \\parallel BC$ nên giao tuyến song song với chúng, góc giữa hai mặt phẳng này không bằng $90^\\circ$ nên chúng không vuông góc."},{"label":"C","text":"$AC \\perp (SAB)$","correct":false,"reason":"Trong hình vuông $ABCD$, đường chéo $AC$ không vuông góc với cạnh $AB$ vì $\\widehat{CAB} = 45^\\circ$, do đó $AC$ không vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$."},{"label":"D","text":"$BD \\perp (SAD)$","correct":false,"reason":"Trong hình vuông $ABCD$, đường chéo $BD$ không vuông góc với cạnh $AD$ vì $\\widehat{ADB} = 45^\\circ$, nên $BD$ không vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có:\n$SA \\perp (ABCD)$ (đáy $ABCD$ là hình vuông).\n\nYêu cầu: Chọn mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề cho sẵn. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm hai mặt phẳng vuông góc với nhau.\n\nKiến thức cần áp dụng:\nĐáy $ABCD$ là hình vuông → các đường chéo và cạnh đáy vuông góc.\n\n$SA \\perp$ mặt đáy → SA vuông góc với mọi đường trong đáy.\n\nDùng quan hệ giữa các mặt phẳng qua giao tuyến và đường vuông góc.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$:\nGiao tuyến của chúng là đường $SD$.\n\nĐể kiểm tra vuông góc giữa hai mặt phẳng, ta tìm đường thẳng nằm trong một mặt và vuông góc với mặt kia.\n\nChọn $BD$ (đường chéo đáy):\n$BD \\perp AC$ vì $ABCD$ là hình vuông.\n\n$BD \\perp SA$ vì $SA \\perp (ABCD)$, mà $BD$ nằm trong đáy.\n\n⇒ $BD$ vuông góc với cả $SA$ và $AC$ nên $BD \\perp (SAC)$.\n\nMặt khác, $BD$ nằm trong $(SBD)$.\n\nKết luận: $(SAC) \\perp (SBD)$ theo tính chất đường vuông góc chung.\n\n✅ Đáp án: $\\text{A. } (SAC) \\perp (SBD)$\n❌ Các đáp án khác:\nB: $(SAD)$ và $(SBC)$ không có quan hệ đặc biệt về vuông góc.\n\nC: $AC$ chỉ nằm trong đáy, không liên quan đến mặt $SAB$.\n\nD: $BD$ nằm trong đáy, không vuông góc với $(SAD)$.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-cam-khe-yen-lap-tinh-phu-tho-2025-co-dap-an/Screenshot_2025-07-31_140323.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-cam-khe-yen-lap-tinh-phu-tho-2025-co-dap-an/1_SAC_vuong_SBD.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"đường thẳng vuông góc với mặt phẳng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"đường thẳng vuông góc với mặt phẳng","difficulty":"nhận biết"},{"id":11,"text":"Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z + 4 = 0$","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$I(4;0;-2), R=3$","correct":false,"reason":"Sai vì tọa độ tâm theo công thức $I\\left(-\\frac{a}{2};-\\frac{b}{2};-\\frac{c}{2}\\right)$ với $a=-4, b=0, c=2$ là $I(2;0;-1)$, không phải $(4;0;-2)$; bán kính $R=\\sqrt{4+0+1-4}=1$, không phải $3$."},{"label":"B","text":"$I(2;0;-1), R=3$","correct":false,"reason":"Sai vì mặc dù tọa độ tâm $I(2;0;-1)$ đúng nhưng bán kính $R=\\sqrt{2^2+0^2+(-1)^2-4}=1$, không phải $3$."},{"label":"C","text":"$I(-2;0;1), R=1$","correct":false,"reason":"Sai vì tọa độ tâm phải là $I(2;0;-1)$ (dấu ngược với hệ số sau khi chia đôi), không phải $(-2;0;1)$; mặc dù $R=1$ đúng."},{"label":"D","text":"$I(2;0;-1), R=1$","correct":true,"reason":"Đúng vì hoàn thành bình phương ta được $(x-2)^2+y^2+(z+1)^2=1$, suy ra tâm $I(2;0;-1)$ và bán kính $R=1$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình mặt cầu: $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z + 4 = 0$ \n\nHệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ \n\nYêu cầu tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần phải viết lại phương trình tổng quát của mặt cầu về dạng chuẩn \n\nÁp dụng phương pháp hoàn thành bình phương để xác định tâm và bán kính\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhóm các hạng tử theo từng ẩn: \n$x^2 - 4x \\;+\\; y^2 \\;+\\; z^2 + 2z \\;+\\; 4 = 0$\n\nHoàn thành bình phương cho từng nhóm:\nVới $x$: $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ \n\nVới $y$: $y^2 = (y - 0)^2$ \n\nVới $z$: $z^2 + 2z = (z + 1)^2 - 1$\n\nThay vào phương trình ban đầu:\n$(x - 2)^2 - 4 \\;+\\; (y - 0)^2 \\;+\\; (z + 1)^2 - 1 \\;+\\; 4 = 0$ \n\nRút gọn hằng số: \n$(x - 2)^2 + y^2 + (z + 1)^2 - 1 = 0$ \n$\\Longrightarrow (x - 2)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 1$ \n\nNhận thấy đây là phương trình chuẩn của mặt cầu với:\n Tâm : $I(2;0;-1)$ \n\n Bán kính : $R = \\sqrt{1} = 1$\n\n✅ Đáp án: $I(2;0;-1),\\; R = 1$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $I(4;0;-2), R=3$ – sai do không hoàn thành bình phương đúng hằng số \n\nB. $I(2;0;-1), R=3$ – sai vì bán kính không phải 3 \n\nC. $I(-2;0;1), R=1$ – sai vì dấu của tọa độ tâm bị ngược","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt cầu","grade":"GRADE_12","questionCategory":"phương trình mặt cầu","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Tập nghiệm của bất phương trình $\\log_{\\frac{1}{3}}(x-1)>-2$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686963b1a840750013308b1f","options":[{"label":"A","text":"$(10;+\\infty)$","correct":false,"reason":"Sai vì khi cơ số $\\frac{1}{3} < 1$, bất phương trình $\\log_{\\frac{1}{3}}(x-1) > -2$ tương đương $x - 1 < \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{-2} = 9$, suy ra $x < 10$, không phải $x > 10$."},{"label":"B","text":"$(1;10)$","correct":true,"reason":"Đúng vì điều kiện xác định $x - 1 > 0$ cho $x > 1$, và với cơ số $\\frac{1}{3} < 1$, bất phương trình tương đương $x - 1 < 9$ hay $x < 10$. Kết hợp hai điều kiện $x > 1$ và $x < 10$ cho nghiệm $x \\in (1; 10)$."},{"label":"C","text":"$(9;+\\infty)$","correct":false,"reason":"Sai vì khoảng $(9; +\\infty)$ chứa các giá trị $x \\geq 10$ không thỏa mãn $x < 10$, đồng thời loại bỏ các giá trị $1 < x \\leq 9$ thuộc tập nghiệm."},{"label":"D","text":"$(-\\infty;-10)$","correct":false,"reason":"Sai vì khoảng $(-\\infty; 10)$ chứa các giá trị $x \\leq 1$ làm cho $\\log_{\\frac{1}{3}}(x-1)$ không xác định, vi phạm điều kiện $x > 1$."}],"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nBất phương trình cần giải:\n$\\log_{\\frac13}(x-1)>-2$\n\nCác đáp án: khoảng $(10;+\\infty),\\ (1;10),\\ (9;+\\infty),\\ (-\\infty;10)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm tập nghiệm của bất phương trình logarit, nên cần:\nHiểu logarit cơ số nhỏ hơn 1 đảo chiều bất phương trình.\n\nXác định điều kiện xác định của logarit:\n$x-1>0 \\ \\text{hay}\\ x>1$\n\nGiải bất phương trình logarit và tìm tập nghiệm phù hợp.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét điều kiện xác định:\n$x-1>0 \\Rightarrow x>1$\n\nGiải bất phương trình\n$\\log_{\\frac13}(x-1)>-2$\nVì $\\frac13<1$ nên khi giải logarit cần đổi dấu bất phương trình.\n\nĐổi logarit sang phương trình mũ:\n$x-1<\\left(\\frac13\\right)^{-2}$\n\nTính giá trị:\n$\\left(\\frac13\\right)^{-2}=3^2=9$\n\nVậy\n$x-1<9 \\Rightarrow x<10$\n\nKết hợp với điều kiện xác định $x>1$ ta được:\n$11$.","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình lôgarit","difficulty":"thông hiểu"},{"id":13,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một trạm kiểm soát không gian trên Trái Đất cần tính toán vị trí của một vệ tinh viễn thông $S$ đang di chuyển trong không gian. Vệ tinh này truyền tín hiệu đến ba trạm thu sóng trên mặt đất có tọa độ $A(3; -2; 5), B(-1; 4; 3), C(6; 1; 2)$. Vệ tinh $S(x, y, z)$ luôn nằm trên một mặt cầu cố định do ảnh hưởng của từ trường hấp dẫn. Phương trình mặt cầu mô tả quỹ đạo vệ tinh là $(T): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 1.$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"686963b1a840750013308b20","statements":[{"label":"A","text":"Khi khoảng cách từ vệ tinh $S$ đến mặt phẳng chứa ba trạm thu sóng là nhỏ nhất thì góc thu sóng $\\theta$ được tạo thành từ vệ tinh $S$ đến trạm thu sóng $A$ với mặt phẳng chứa ba trạm thu sóng sao cho tín hiệu được truyền ổn định và không bị nhiễu sóng. Góc $\\theta$ nhỏ hơn $1^\\circ$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMặt cầu quỹ đạo vệ tinh $T: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 1$ ⇒ tâm $I(1; -2; 3)$, bán kính $R = 1$.\n\nPhương trình mặt phẳng qua ba trạm thu sóng $A(3; -2; 5)$, $B(-1; 4; -3)$, $C(6; 1; 2)$ có vector pháp tuyến $\\vec{n} = (1; -6; -5)$ ⇒ phương trình mặt phẳng: $x - 6y - 5z + 10 = 0$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXem xét khi khoảng cách từ vệ tinh $S$ đến mặt phẳng là nhỏ nhất ⇒ $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đi qua tâm $I$.\n\nYêu cầu kiểm tra xem khi đó, góc giữa $SA$ và mặt phẳng có nhỏ hơn $1^\\circ$ không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua $I(1; -2; 3)$ và có phương là $\\vec{n}(1; -6; -5)$ (vì vuông góc với mặt phẳng):\n$S(t) = (1 + t; -2 - 6t; 3 - 5t)$.\n\nBước 2: Vì $S$ nằm trên mặt cầu, thay tọa độ $S(t)$ vào phương trình mặt cầu:\n$(1 + t - 1)^2 + (-2 - 6t + 2)^2 + (3 - 5t - 3)^2 = 1$\n$t^2 + (-6t)^2 + (-5t)^2 = 1$\n$t^2 + 36t^2 + 25t^2 = 1$\n$62t^2 = 1 \\Rightarrow t^2 = \\dfrac{1}{62} \\Rightarrow t = \\pm \\dfrac{1}{\\sqrt{62}}$.\n\nBước 3: Lấy 1 trong 2 giá trị (cả 2 đều nằm trên đường vuông góc mặt phẳng), tìm tọa độ $S$:\n$S\\left(1 \\pm \\dfrac{1}{\\sqrt{62}}; -2 \\mp \\dfrac{6}{\\sqrt{62}}; 3 \\mp \\dfrac{5}{\\sqrt{62}}\\right)$.\n\nBước 4: Tính vector $\\vec{SA}$ với $A(3; -2; 5)$:\nTính độ dài $|\\vec{SA}|$ (có thể gần đúng như hình vẽ khoảng 2.639).\n\nBước 5: Tính sin của góc giữa $\\vec{SA}$ và mặt phẳng:\n$\\sin \\hat{SAH} = \\dfrac{d}{SA}$\nVới $d$ là khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng\n\nTheo cách tính trong hình, $\\sin \\hat{SAH} \\approx \\dfrac{\\frac{8}{\\sqrt{62}} - 1}{2.639}$\n\nƯớc lượng $\\hat{SAH} \\approx 0,55^\\circ$.\n\nVì $0,55^\\circ < 1^\\circ$ nên thỏa mãn điều kiện đề bài.\n\n✅ Đáp án: \"\"Đúng\"\""},{"label":"B","text":"Phương trình mặt phẳng chứa ba trạm thu sóng có một vector pháp tuyến là $\\vec{n} = (1; 6; -5)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBa điểm trên mặt đất có tọa độ: $A(3; -2; 5)$, $B(-1; 4; -3)$, $C(6; 1; 2)$.\n\nCần tìm phương trình mặt phẳng chứa ba điểm $A$, $B$, $C$.\n\nYêu cầu tìm một vector pháp tuyến của mặt phẳng này.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu viết phương trình mặt phẳng chứa ba điểm $A$, $B$ và $C$.\n\nĐể viết phương trình mặt phẳng, ta cần tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng này.\n\nPhương pháp cần áp dụng là: tìm hai vector trong mặt phẳng rồi lấy tích có hướng của chúng để tìm vector pháp tuyến.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Tính vector $\\vec{AB}$ và $\\vec{AC}$.\n$\\vec{AB} = B - A = (-1 - 3; 4 - (-2); -3 - 5) = (-4; 6; -8)$\n\n$\\vec{AC} = C - A = (6 - 3; 1 - (-2); 2 - 5) = (3; 3; -3)$\n\nBước 2: Tìm vector pháp tuyến $\\vec{n}$ bằng cách lấy tích có hướng của $\\vec{AB}$ và $\\vec{AC}$:\n$\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC}$\n\nBước 3: Rút gọn vector:\nChia từng thành phần cho 6, ta được $\\vec{n} = (1; -6; -5)$.\n\nVậy phương trình mặt phẳng chứa ba trạm thu sóng có vector pháp tuyến $\\vec{n} = (1; -6; -5)$.\n✅ Đáp án: \"\"Sai\"\"\n👉 Vì trong đề bài cho vector pháp tuyến là $\\vec{n} = (1; 6; -5)$, nhưng tính toán đúng là $\\vec{n} = (1; -6; -5)$. Dấu của thành phần $y$ sai."},{"label":"C","text":"Nếu một tàu vũ trụ đang bay theo đường thẳng:\n$\\dfrac{x - 5}{2} = \\dfrac{y + 3}{-1} = \\dfrac{z - 2}{4}$\nthì tại thời điểm nào đó nó sẽ đi vào vùng quỹ đạo của vệ tinh.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình mặt cầu: $(x - 1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=1.$\n\nMệnh đề C: Đường thẳng $\\frac{x-5}{2}=\\frac{y+3}{-1}=\\frac{z-2}{4}$ sẽ đi vào vùng quỹ đạo của vệ tinh (tức là cắt mặt cầu).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra xem đường thẳng có giao với mặt cầu không.\n\nÁp dụng: thế tham số của đường thẳng vào phương trình mặt cầu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThiết lập tham số: $t=\\frac{x-5}{2}$, suy ra\n$x=2t+5,\n y=-t-3,\n z=4t+2.$ \n\nThế vào phương trình mặt cầu:\n$(2t+5-1)^2+(-t-3+2)^2+(4t+2-3)^2=1$\n$\\Leftrightarrow (2t+4)^2+(-t-1)^2+(4t-1)^2=1$\n$\\Leftrightarrow 21t^2+10t+18=1\\Leftrightarrow 21t^2+10t+17=0.$ \n\nTính biệt thức: $\\Delta=10^2-4\\cdot21\\cdot17=100-1428<0$ nên vô nghiệm thực.\n\nKết luận: Sai."},{"label":"D","text":"Khoảng cách lớn nhất từ vệ tinh $S$ đến mặt phẳng chứa ba trạm thu sóng (tức là điểm cao nhất hoặc thấp nhất của vệ tinh so với mặt phẳng chứa các trạm) có giá trị lớn hơn $2$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTọa độ mặt cầu: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 1$\n→ Tâm cầu $I(1; -2; 3)$, bán kính $R = 1$.\n\nPhương trình mặt phẳng chứa ba điểm thu sóng $A$, $B$, $C$: vector pháp tuyến đã tìm được là $\\vec{n} = (1; -6; -5)$.\n\nMặt phẳng có dạng: $1 \\cdot x - 6 \\cdot y - 5 \\cdot z + D = 0$.\n\nTìm khoảng cách lớn nhất từ vệ tinh $S(x; y; z)$ nằm trên mặt cầu đến mặt phẳng này.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm khoảng cách lớn nhất từ một điểm trên mặt cầu $T$ đến mặt phẳng chứa 3 trạm thu sóng.\n\nCác khái niệm cần áp dụng:\nKhoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng: sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.\n\nKhoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ mặt cầu đến mặt phẳng: là $d_{max} = d_{tâm} + R$ và $d_{min} = |d_{tâm} - R|$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Viết phương trình mặt phẳng:\nĐiểm $A(3; -2; 5)$ thuộc mặt phẳng nên thế vào:\n$1 \\cdot 3 - 6 \\cdot (-2) - 5 \\cdot 5 + D = 0$\n$3 + 12 - 25 + D = 0 \\Rightarrow D = 10$\n→ Phương trình mặt phẳng là: $x - 6y - 5z + 10 = 0$.\n\nBước 2: Tính khoảng cách từ tâm cầu $I(1; -2; 3)$ đến mặt phẳng $x - 6y - 5z + 10 = 0$:\n$d = \\dfrac{|1 \\cdot 1 - 6 \\cdot (-2) - 5 \\cdot 3 + 10|}{\\sqrt{1^2 + (-6)^2 + (-5)^2}}$\n$d = \\dfrac{|1 + 12 - 15 + 10|}{\\sqrt{1 + 36 + 25}} = \\dfrac{|8|}{\\sqrt{62}} = \\dfrac{8}{\\sqrt{62}}$\n\nBước 3: Tính khoảng cách lớn nhất từ mặt cầu đến mặt phẳng:\n$d_{max} = d + 2R = \\dfrac{8}{\\sqrt{62}} + 2$\n\nBước 4: So sánh với 2:\nKhoảng cách lớn nhất khoảng > 2, nên câu nói \"có giá trị lớn hơn 2\" là Đúng.\n\n✅ Đáp án: \"\"Đúng\"\""}]},{"id":14,"text":"Cho hàm số $f(x) = 4\\sin x + 2x$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"686963b1a840750013308b20","statements":[{"label":"A","text":"Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = -4\\cos x + 2.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=4\\sin x+2x$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính đạo hàm $f'(x)$ của hàm số.\n\nÁp dụng quy tắc đạo hàm cơ bản: $\\frac{d}{dx}(\\sin x)=\\cos x$ và $\\frac{d}{dx}(x)=1$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng quy tắc tổng: $f'(x)=\\frac{d}{dx}[4\\sin x]+\\frac{d}{dx}[2x]$.\n\nTính đạo hàm từng phần:\n$\\frac{d}{dx}[4\\sin x]=4\\cos x$.\n\n$\\frac{d}{dx}[2x]=2$.\n\nKết hợp lại được $f'(x)=4\\cos x+2$.\n\nĐề bài cho $f'(x)=-4\\cos x+2$ là khác với kết quả tìm được.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"B","text":"$f(0) = 0; \\quad f\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right) = -\\pi - 4.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=4\\sin x+2x$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính giá trị $f(0)$ và $f\\bigl(-\\frac{\\pi}{2}\\bigr)$.\n\nSử dụng giá trị đặc biệt của hàm sin: $\\sin0=0,\\;\\sin(-\\tfrac{\\pi}{2})=-1$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính $f(0)=4\\sin0+2\\cdot0=0$.\n\nTính $f\\bigl(-\\frac{\\pi}{2}\\bigr)=4\\sin\\bigl(-\\tfrac{\\pi}{2}\\bigr)+2\\bigl(-\\tfrac{\\pi}{2}\\bigr)=4(-1)-\\pi=-4-\\pi$.\n\nĐề bài ghi $f(0)=0;\\quad f(-\\frac{\\pi}{2})=-\\pi-4$ hoàn toàn trùng khớp.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \\pi]$ là $2\\pi + 1.$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=4\\sin x+2x$ trên đoạn $[0,\\pi]$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $[0,\\pi]$.\n\nDùng kiểm tra các điểm biên và điểm tới hạn (đạo hàm = 0).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm: $f'(x)=4\\cos x+2$.\n\nGiải $f'(x)=0:\\;4\\cos x+2=0\\Rightarrow\\cos x=-\\tfrac12\\Rightarrow x=\\tfrac{2\\pi}{3}\\in[0,\\pi]$.\n\nTính giá trị tại các điểm:\n$f(0)=0$.\n\n$f(\\pi)=4\\sin\\pi+2\\pi=2\\pi\\approx6{,}28$.\n\n$f\\bigl(\\tfrac{2\\pi}{3}\\bigr)=4\\sin\\tfrac{2\\pi}{3}+2\\cdot\\tfrac{2\\pi}{3}=2\\sqrt3+\\tfrac{4\\pi}{3}\\approx7{,}65$.\n\nSo sánh: giá trị lớn nhất là $2\\sqrt3+\\tfrac{4\\pi}{3}$ chứ không phải $2\\pi+1$.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \\pi]$ là $\\frac{2\\pi}{3}.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=4\\sin x+2x$ trên đoạn $[0,\\pi]$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm nghiệm của $f'(x)=0$ trên $[0,\\pi]$.\n\nBiết đạo hàm $f'(x)=4\\cos x+2$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiải phương trình:\n\nTrong khoảng $[0,\\pi]$ chỉ có nghiệm $x=\\frac{2\\pi}{3}$.\n\nKết luận: Đúng"}]},{"id":15,"text":"Điểm kiểm tra cuối kì môn Toán của một học sinh phụ thuộc vào việc học sinh đó có chăm chỉ làm bài tập về nhà hay không. Nếu bạn An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì là 0,9. Còn nếu bạn An không chăm chỉ làm bài tập về nhà thì xác suất đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì là 0,85. Xác suất An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán là 0,75. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"686963b1a840750013308b20","statements":[{"label":"A","text":"Nếu An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất An được điểm không tốt kiểm tra cuối kì là $0{,}1$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGọi biến cố:\n$A$: An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán.\n\n$B$: An đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì.\n\nXác suất:\n$P(B|A) = 0,9$ ⇒ nếu chăm chỉ thì xác suất tốt là $0,9$.\n\n$P(\\overline{B}|A) = 1 - 0,9 = 0,1$ ⇒ nếu chăm chỉ thì xác suất không tốt là $0,1$. \n\nDựa trên sơ đồ cây ở hình 2:\nNhánh trên: $P(A)$ (đề chưa cho, nhưng không cần dùng ở câu a).\n\nTừ $A$, nhánh $\\overline{B}$ (không tốt) có xác suất $0,1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm xác suất điểm không tốt khi An đã chăm chỉ, nghĩa là tìm $P(\\overline{B}|A)$.\n\nĐây là xác suất có điều kiện cơ bản.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhớ công thức:\n$P(\\overline{B}|A) = 1 - P(B|A)$\n\nBước 2: Thay số:\n$P(\\overline{B}|A) = 1 - 0,9 = 0,1$\n\n✅ Đáp án: \"\"Đúng\"\""},{"label":"B","text":"Xác suất để An đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì là $0{,}7125$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$P(C)=0.75$, $P(\\text{tốt}|C)=0.9$, $P(\\text{không tốt}|C)=0.1$.\n\n$P(\\text{không chăm})=0.25$, $P(\\text{không tốt}|\\text{không chăm})=0.85$ ⇒ $P(\\text{tốt}|\\text{không chăm})=0.15$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất An đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức xác suất toàn phần:\n$P(\\text{tốt}) = P(C)\\cdot P(\\text{tốt}|C) + P(\\text{không chăm})\\cdot P(\\text{tốt}|\\text{không chăm})$\n\nThay số:\n$P(\\text{tốt}) = 0.75\\times0.9 + 0.25\\times0.15 = 0.675 + 0.0375 = 0.7125$.\n\nKết luận: Đúng."},{"label":"C","text":"Xác suất để An đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì là $0{,}355$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTừ kết quả trước ta có $P(\\text{tốt})=0.7125$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất An đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo quan hệ nghịch đảo:\n$P(\\text{không tốt}) = 1 - P(\\text{tốt}) = 1 - 0.7125 = 0.2875$.\n\nCon số đề bài cho là 0.355, không khớp với 0.2875.\n\nKết luận: Sai."},{"label":"D","text":"Nếu An không chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất An được điểm tốt kiểm tra cuối kì là $0{,}2$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nNếu An không chăm, $P(\\text{không tốt}|\\text{không chăm})=0.85$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất An đạt điểm tốt khi không chăm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n$P(\\text{tốt}|\\text{không chăm}) = 1 - P(\\text{không tốt}|\\text{không chăm}) = 1 - 0.85 = 0.15$.\n\nĐề cho giá trị 0.2, không khớp với 0.15.\n\nKết luận: Sai."}]},{"id":16,"text":"Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 100 ngày. Gọi $M(t)$ là số ngày công được tính đến hết ngày thứ $t$ (kể từ khi khởi công công trình). Biết trong kinh tế xây dựng $M'(t) = m(t)$ là số lượng công nhân được sử dụng tại ngày thứ $t$, giả sử $m(t) = 100 + 12\\sqrt{t} - 2t$ (với $0 \\leq t \\leq 100$). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"686963b1a840750013308b20","statements":[{"label":"A","text":"Số công nhân được sử dụng nhiều nhất vào ngày thứ 10.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nThời gian thực hiện công trình: 100 ngày.\n\nSố công nhân tại ngày thứ t: $m(t)=100+12\\sqrt{t}-2t\\quad(0\\le t\\le100).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề cần kiểm tra: “Số công nhân được sử dụng nhiều nhất vào ngày thứ 10.”\n\nCần xác định thời điểm $t$ để $m(t)$ đạt giá trị cực đại trên đoạn [0,100].\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm: $m'(t)=\\frac{d}{dt}\\bigl(100\\bigr)+\\frac{d}{dt}\\bigl(12\\sqrt{t}\\bigr)-\\frac{d}{dt}(2t)=0+\\frac{6}{\\sqrt{t}}-2.$ \n\nGiải $m'(t)=0\\Rightarrow\\frac{6}{\\sqrt{t}}-2=0\\Rightarrow\\sqrt{t}=3\\Rightarrow t=9.$ \n\nVì $t=9$ thuộc [0,100], đó là điểm cực đại. Do đó số công nhân ngày thứ 10 không phải lớn nhất.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"B","text":"Có 116 công nhân được sử dụng vào ngày thứ 4.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSố công nhân tại ngày thứ t: $m(t)=100+12\\sqrt{t}-2t\\ (0\\le t\\le100).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề cần kiểm tra: “Có 116 công nhân được sử dụng vào ngày thứ 4.”\n\nCần tính giá trị $m(4)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThay $t=4$ vào: \n$m(4)=100+12\\sqrt{4}-2\\cdot4=100+12\\cdot2-8=100+24-8=116.$ \n\nKết quả đúng như mệnh đề.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Giá sử số tiền trả cho 1 ngày công là 500.000 đồng. Khi đó tổng số tiền phải trả cho nhân công để hoàn thành công trình xây dựng đó theo thời gian dự kiến là 4 tỉ đồng.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSố công nhân ngày thứ t: $m(t)=100+12\\sqrt{t}-2t\\ (0\\le t\\le100).$\n\nĐơn giá trả cho 1 ngày công: 500.000 đồng.\n\nThời gian dự kiến hoàn thành: 100 ngày.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề cần kiểm tra: Tổng tiền trả cho nhân công là 4 tỉ đồng.\n\nCần tính tổng số ngày công $\\int_0^{100}m(t)\\,dt$ rồi nhân với 500.000.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tích phân:\n$\\int_0^{100}m(t)\\,dt=\\int_0^{100}(100+12\\sqrt{t}-2t)\\,dt$\n$=100\\cdot100+12\\cdot\\frac{2}{3}100^{3/2}-2\\cdot\\frac{100^2}{2}=10000+8000-10000=8000\\,\\text{ngày công}.$ \n\nNhân với đơn giá:\n$8000\\times500000=4\\times10^9\\,\\text{đồng}=4\\,\\text{tỉ đồng}.$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Trong 16 ngày đầu tiên, công trình đã cần 1856 ngày công.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSố công nhân ngày thứ t: $m(t)=100+12\\sqrt{t}-2t\\ (0\\le t\\le100).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề cần kiểm tra: “Trong 16 ngày đầu tiên, công trình đã cần 1856 ngày công.”\n\nCần tính $\\int_0^{16}m(t)\\,dt$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tích phân:\n$\\int_0^{16}m(t)\\,dt=\\int_0^{16}(100+12\\sqrt{t}-2t)\\,dt$\n$=100\\cdot16+12\\cdot\\frac{2}{3}16^{3/2}-2\\cdot\\frac{16^2}{2}$\n$=1600+512-256=1856\\,\\text{ngày công}.$ \n\nKết quả khớp mệnh đề.\n\nKết luận: Đúng"}]},{"id":17,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai lớp kính lần lượt là hai mặt phẳng có phương trình là $\\begin {cases}(\\alpha): 2x - 2y - z + 3\\sqrt{3} = 0 \\\\ (\\beta): -4x + 4y + 2z + 12\\sqrt{3} = 0 \\end {cases}$. Một nguồn sáng được chiếu vào hai tấm kính là tập hợp các đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\\vec{u} = (1; 1; 1)$ và đi qua các điểm $M(3; 0; 0), N(1; 1; 1)$ và $P(3; 5; -5)$. Biết rằng các giao điểm của các đường thẳng nói trên với hai tấm kính $(\\alpha)$ và $(\\beta)$ là 6 đỉnh của một khối đa diện. Thể tích $V$ của khối đa diện tạo bởi 6 đỉnh đó có kết quả là $a\\sqrt{b}$ với $a, b$ nguyên dương và $b$ là số nguyên tố. Tính giá trị của $a + b$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686963b1a840750013308b21","correctAnswer":"138","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nHai mặt phẳng song song \n$(\\alpha):2x-2y-z+3\\sqrt3=0\\,,\\quad (\\beta):-4x+4y+2z+12\\sqrt3=0$ \n\nVéc-tơ chỉ phương của ánh sáng $\\vec u=(1,1,1)$ \n\nBa điểm trên các tia sáng: $M(3,0,0),\\;N(1,1,1),\\;P(3,5,-5)$ \n\nGiao điểm của ba tia này với $(\\alpha)$ và $(\\beta)$ tạo thành 6 đỉnh của khối đa diện. \n\nThể tích $V$ có dạng $a\\sqrt b$, với $b$ là số nguyên tố. Tìm $a+b$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nKhối đa diện này thực chất là một lăng trụ nghiêng, đáy là tam giác giao điểm trên $(\\alpha)$, mặt đối diện là tam giác giao trên $(\\beta)$. \n\nCần tính diện tích tam giác đáy và khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. \n\nCông thức thể tích lăng trụ nghiêng: \n$V=(\\text{diện tích đáy})\\times(\\text{chiều cao})\\,.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nBước 1: Chứng minh $(\\alpha)\\parallel(\\beta)$ vì \n$\\vec n_\\alpha=(2,-2,-1),\\qquad \\vec n_\\beta=(-4,4,2)=-2\\,\\vec n_\\alpha\\,.$\n\nBước 2: Tìm các giao điểm $A,B,C$ của tia qua $M,N,P$ (theo $\\vec u$) với $(\\alpha)$: \n• Qua $M(3,0,0)$: tham số $(3+t,t,t)$, thay vào $(\\alpha)$ \n $2(3+t)-2t-(t)+3\\sqrt3=0\\;\\Rightarrow\\;t=6+3\\sqrt3,$ \n $A=(9+3\\sqrt3,\\;6+3\\sqrt3,\\;6+3\\sqrt3).$ \n• Qua $N(1,1,1)$: $(1+t,1+t,1+t)$ \n $2(1+t)-2(1+t)-(1+t)+3\\sqrt3=0\\;\\Rightarrow\\;t=3\\sqrt3-1,$ \n $B=(3\\sqrt3,\\,3\\sqrt3,\\,3\\sqrt3).$ \n• Qua $P(3,5,-5)$: $(3+t,5+t,-5+t)$ \n $2(3+t)-2(5+t)-(-5+t)+3\\sqrt3=0\\;\\Rightarrow\\;t=1+3\\sqrt3,$ \n $C=(4+3\\sqrt3,\\;6+3\\sqrt3,\\;-4+3\\sqrt3).$ \n\nBước 3: Tính vectơ \n$\\overrightarrow{AB}=(-9,-6,-6),\\qquad \\overrightarrow{AC}=(-5,0,-10).$ \n\nBước 4: Diện tích tam giác $ABC$ \n$S_{ABC}=\\frac12\\|\\overrightarrow{AB}\\times\\overrightarrow{AC}\\|\n =\\frac12\\sqrt{60^2+(-60)^2+(-30)^2}\n =45.$\n\nBước 5: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \nViết lại $(\\beta):2x-2y-z-6\\sqrt3=0$. Khi đó \n$d=\\frac{\\bigl|(-6\\sqrt3)-(3\\sqrt3)\\bigr|}{\\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}}\n =\\frac{9\\sqrt3}{3}=3\\sqrt3.$\n\nBước 6: Thể tích lăng trụ nghiêng \n$V=S_{ABC}\\times d=45\\times3\\sqrt3=135\\sqrt3.$\n\nBước 7: So sánh với dạng $a\\sqrt b$: \n$a=135,\\;b=3\\;(3\\text{ là số nguyên tố})\\quad\\Rightarrow\\quad a+b=138.$\n\n✅ Đáp án: 138","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"vận dụng"},{"id":18,"text":"Một trò chơi diễn tự quy định như sau: Có sáu trụ $A, B, C, D, E, F$ với số lượng các thử thách trên đường đi giữa các cặp trụ được mô tả như trong hình vẽ. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay trở lại trụ đó được nữa, nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường đi thỏa mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686963b1a840750013308b21","correctAnswer":"34","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị có 6 đỉnh (trụ) A, B, C, D, E, F. \n\nTrọng số các cạnh (số thử thách giữa hai trụ): \n• $AB=4,\\;AD=7,\\;AE=5$ \n• $BC=5,\\;BD=6$ \n• $CD=7,\\;CE=9,\\;CF=8$ \n• $DF=3$ \n• $EF=10$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tìm chu trình Hamilton (đi qua mỗi trụ đúng một lần và quay về trụ xuất phát) sao cho tổng số thử thách (tổng trọng số) là nhỏ nhất. \n\nĐây chính là bài toán Travelling Salesman Problem (TSP) trên đồ thị đã cho.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Do đồ thị không hoàn chỉnh với A chỉ kề B, D, E, ta có thể không mất tính tổng quát giả sử xuất phát từ A. \n\nBước 2: Xác định hai đỉnh kề A trên chu trình phải nằm trong {B, D, E}. Có 3 trường hợp: \nA … B … D – A \n\nA … B … E – A \n\nA … D … E – A\n\nBước 3: Với mỗi trường hợp, liệt kê hoán vị đường đi qua các đỉnh còn lại, tính tổng trọng số. \nVí dụ, với trường hợp A–B–…–E–A, ta cần nối B tới E qua {C, D, F} có 6 hoán vị, chỉ hoán vị hợp lệ và nhỏ nhất là \n B→C→D→F→E với trọng số \n $5 + 7 + 3 + 10 = 25.$ \nCộng thêm hai cạnh A–B và A–E được \n $AB + AE = 4 + 5 = 9,$ \nnên tổng chu trình là \n $9 + 25 = 34.$ \n\nBước 4: So sánh các trường hợp, kết luận chu trình nhỏ nhất là \n A → B → C → D → F → E → A \n với tổng trọng số \n $4 + 5 + 7 + 3 + 10 + 5 = 34.$\n\n✅ Đáp án: 34","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-cam-khe-yen-lap-tinh-phu-tho-2025-co-dap-an/Screenshot_2026-01-15_115231.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-cam-khe-yen-lap-tinh-phu-tho-2025-co-dap-an/13cOEFyykh0CghgML_HV0h5fFW-8GMp_Y_2025-07-05174103.png"],"chapter":"chuyên đề 2. làm quen với một vài khái niệm của lí thuyết đồ thị","topic":"bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài toán tìm đường đi ngắn nhất","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Có hai hộp. Hộp I có $7$ quả cầu màu xanh và còn lại là quả cầu màu vàng. Hộp II có $8$ quả cầu màu xanh và $5$ quả cầu màu vàng. Trước tiên lấy ra ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp I rồi thả vào hộp II. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp II. Xác suất để quả cầu lấy ra là quả màu vàng là $\\dfrac{95}{238}$. Tính số quả cầu trong hộp I.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686963b1a840750013308b21","correctAnswer":"17","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHộp I có 7 quả cầu xanh và tổng số quả cầu là $n$ (chưa biết), nên số quả cầu vàng là $n - 7$. \n\nHộp II có 8 quả cầu xanh và 5 quả cầu vàng. \n\nThao tác: lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu từ hộp I chuyển sang hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu từ hộp II. \n\nXác suất để quả cầu cuối cùng lấy ra là vàng bằng $\\dfrac{95}{238}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính $n$ (tổng số quả cầu trong hộp I) sao cho thỏa mãn xác suất lấy được viên vàng cuối cùng. \n\nÁp dụng quy tắc xác suất toàn phần và xác suất có điều kiện.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $n$ là tổng số quả cầu trong hộp I, số vàng là $n - 7$. \n\nXác suất rút vàng từ hộp I: \nKhi đó hộp II có $8$ xanh, $5+1=6$ vàng, tổng $14$ viên, nên \n\nXác suất rút xanh từ hộp I: \nKhi đó hộp II có $8+1=9$ xanh, $5$ vàng, tổng $14$ viên, nên \n\nTheo xác suất toàn phần: \n\nGiải phương trình \n\n✅ Đáp án: 17","chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"xác suất có điều kiện","grade":"GRADE_12","questionCategory":"xác suất có điều kiện","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":20,"text":"Trước sự phát triển của ngành vật liệu bán dẫn, anh Khoa mở nhà máy sản xuất vi mạch với thiết kế của vi mạch có dạng hình chữ nhật có kích thước $a\\,(pm) \\times b\\,(pm)$ với $1pm = 10^{-12}\\,m$. Biết rằng chi phí để sản xuất vi mạch bao gồm $50$ (triệu đồng) chi phí cho nguyên vật liệu ban đầu, $15$ (triệu đồng)/$pm$ chi phí gia công lắp màng Silic xung quanh thành vi mạch (xem như độ dày khi gia công là không đáng kể) và $32$ (triệu đồng)/$pm^2$ tiền gia công phủ chất làm mát bao quanh cả $2$ bề mặt vi mạch (xem như cả bề mặt là hình chữ nhật có kích thước như trên).\nBiết rằng đơn giá bán ra mỗi chiếc vi mạch là $428$ (triệu đồng)/$pm^2$ và nếu cả $2$ kích thước thành phần của vi mạch giảm đi $15$ pm thì lợi nhuận thu được từ mỗi chiếc bằng chi phí sản xuất mỗi chiếc vi mạch đó. Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất thì các kích thước của vi mạch là bao nhiêu $pm$. (Kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686963b1a840750013308b21","correctAnswer":"63,2","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVi mạch có kích thước $a \\ (\\text{pm}) \\times b \\ (\\text{pm})$.\n\nChi phí nguyên vật liệu ban đầu: $50$ (triệu đồng).\n\nChi phí gia công lắp màng Silic quanh thành (chu vi): $15$ (triệu đồng)/pm ⇒ $30(a + b)$ (triệu đồng).\n\nChi phí phủ chất làm mát (diện tích): $32$ (triệu đồng)/pm² ⇒ $64ab$ (triệu đồng).\n\nĐơn giá bán: $428$ (triệu đồng)/pm² ⇒ doanh thu: $428ab$ (triệu đồng).\n\nKhi giảm mỗi kích thước đi $15 \\ \\text{pm}$, lợi nhuận bằng chi phí sản xuất của kích thước đã giảm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXây dựng hàm chi phí $C(a, b)$, hàm doanh thu $R(a, b)$ và từ đó tìm hàm lợi nhuận:\n$P(a, b) = R(a, b) - C(a, b)$\n\nThiết lập điều kiện ràng buộc khi giảm mỗi chiều 15 pm sao cho:\n$P(a - 15, b - 15) = C(a - 15, b - 15)$\n\nTìm $a, b$ thỏa mãn điều kiện trên và làm cho $P(a, b)$ đạt giá trị nhỏ nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Viết các hàm:\nChi phí:\n$C(a, b) = 50 + 30(a + b) + 64ab$\nDoanh thu:\n$R(a, b) = 428ab$\nLợi nhuận:\n$P(a, b) = R(a, b) - C(a, b) = 428ab - \\left[50 + 30(a + b) + 64ab \\right]$\n⇒ $P(a, b) = 364ab - 30(a + b) - 50$.\nBước 2: Đặt:\n$u = a - 15$, $v = b - 15$\nÁp dụng điều kiện ràng buộc:\n$P(u, v) = C(u, v)$\nTức là:\n$364uv - 30(u + v) - 50 = 50 + 30(u + v) + 64uv$\nChuyển vế và rút gọn:\n$300uv - 60(u + v) - 100 = 0$\nSuy ra phương trình ràng buộc:\n$15uv - 3(u + v) - 5 = 0$\nBước 3: Giải bài toán tối ưu bằng cách:\nRút $v$ theo $u$ từ phương trình ràng buộc:\n$v = \\dfrac{3u + 5}{15u - 3}$\n\nThay vào hàm $P(u, v) = 364uv - 30(u + v) - 50$ và tìm giá trị nhỏ nhất theo $u$.\n\nSau khi tính toán, ta tìm được $u = v \\approx 48,2$.\n\nVậy $a = u + 15 \\approx 48,2 + 15 = 63,2$ và $b = v + 15 \\approx 63,2$.\n✅ Đáp án: $\\mathbf{63,2 \\ \\text{pm}}$.","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":21,"text":"Để trang trí một ô hình chữ nhật với kích thước $80cm \\times 60cm$ trên tường căn phòng của mình, anh Bình đã tô màu 2 hoạ tiết giới hạn bởi các parabol $(P), (C)$ và các cạnh của ô chữ nhật bằng màu vàng (kí hiệu sọc nghiêng) và màu xanh (vùng tô đậm) (như hình vẽ). Biết rằng các parabol $(P)$ và $(C)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $AB$ và diện tích phần màu vàng bằng $\\dfrac{1600}{3} (cm^2)$. Tính tổng số tiền (đơn vị: triệu đồng) mà anh Bình cần phải trả để mua sơn trang trí.\nBiết mỗi lọ sơn, sơn được tối đa $30cm^2$. Cho biết giá của một lọ sơn vàng là $50.000$ đồng, giá của một lọ sơn xanh là $30.000$ đồng (biết rằng mỗi lọ sơn không được bán lẻ).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686963b1a840750013308b21","correctAnswer":"1,68","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nHình chữ nhật kích thước $80\\text{ cm}\\times60\\text{ cm}$. \n\nHai họa tiết (P) và (C) đối xứng nhau qua đường chéo $AB$. \n\nDiện tích vùng màu vàng (P): $\\dfrac{1600}{3}\\,\\text{cm}^2$; vùng màu xanh (C) bằng vùng vàng do đối xứng. \n\nMỗi lọ sơn phủ tối đa $30\\,\\text{cm}^2$, không bán lẻ. \n\nGiá mỗi lọ sơn vàng: 50 000 đ; mỗi lọ sơn xanh: 30 000 đ.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nTính tổng chi phí mua số lọ sơn cần thiết để phủ kín cả hai vùng parabol. \n\nÁp dụng kiến thức làm tròn lên số lượng lọ sơn và nhân với đơn giá.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nBước 1: Tính tổng diện tích hai vùng:\n$S = \\dfrac{1600}{3} + \\dfrac{1600}{3} = \\dfrac{3200}{3}\\approx1066{,}67\\ \\text{cm}^2.$\n\nBước 2: Diện tích mỗi vùng:\n$S_v = S_x = \\dfrac{1600}{3}\\approx533{,}33\\ \\text{cm}^2.$\n\nBước 3: Số lọ sơn vàng cần:\n$n_v=\\Bigl\\lceil\\dfrac{S_v}{30}\\Bigr\\rceil\n =\\Bigl\\lceil\\dfrac{1600/3}{30}\\Bigr\\rceil\n =\\lceil17{,}78\\rceil=18\\ \\text{lọ}.$\n\nBước 4: Số lọ sơn xanh cần tương tự:\n$n_x=18\\ \\text{lọ}.$\n\nBước 5: Tính chi phí:\n$C_v = n_v\\times50\\,000 = 18\\times50\\,000 = 900\\,000\\ \\text{đ},$\n$C_x = n_x\\times30\\,000 = 18\\times30\\,000 = 540\\,000\\ \\text{đ}.$\n\nBước 6: Tổng chi phí:\n$C_{ tổng} = C_v + C_x = 900\\,000 + 540\\,000 = 1\\,440\\,000\\ \\text{đ} = 1{,}44\\ \\text{triệu đồng}.$\n\n✅ Đáp án: 1,44 (triệu đồng)","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-cam-khe-yen-lap-tinh-phu-tho-2025-co-dap-an/1w_BLfJn9f8qyi11V_9OcVmRBd70jS5My_2025-07-05174103.jpg"],"chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"ứng dụng hình học của tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$. Biết hai mặt phẳng $(SDM)$ và $(SCN)$ cùng vuông góc với mp$(ABCD)$, đồng thời khoảng cách giữa $DM$ và $SC$ bằng $\\dfrac{12}{7}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686963b1a840750013308b21","correctAnswer":"8","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, cạnh đáy $ABCD$ bằng $2$.\n\n$M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$ ⇒ $AM = MB = 1$, $AN = ND = 1$.\n\nHai mặt phẳng $(SDM)$ và $(SCN)$ đều vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$.\n\nKhoảng cách giữa $DM$ và $SC$ bằng $\\dfrac{12}{7}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: Tìm thể tích hình chóp $S.ABCD$.\n\nKiến thức cần dùng:\nCông thức thể tích khối chóp: $V = \\dfrac{1}{3} \\times S_{\\text{đáy}} \\times h$.\n\nTính diện tích đáy: hình vuông cạnh $2$ ⇒ $S_{\\text{đáy}} = 2 \\times 2 = 4$.\n\nTìm chiều cao $SO$, với $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.\n\nSử dụng điều kiện vuông góc và khoảng cách giữa $DM$ và $SC$ để tìm chiều cao.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n➡️ Bước 1: Tìm độ dài $OC$\nTam giác $ADNC$ vuông tại $D$, có $DN = 1$ và $DC = 2$.\n\nÁp dụng định lý Pytago:\n$CO \\times \\sqrt{4 + 1} = CO \\times \\sqrt{5}$\n\nTheo hình: $CO \\times \\sqrt{5} = 4 \\Rightarrow CO = \\dfrac{4}{\\sqrt{5}}$.\n\n➡️ Bước 2: Áp dụng công thức tính chiều cao $SO$\nTheo công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:\n$\\dfrac{1}{OH^2} = \\dfrac{1}{OC^2} + \\dfrac{1}{SO^2}$\n\nThay số:\n$\\dfrac{1}{\\left(\\dfrac{12}{7}\\right)^2} = \\dfrac{1}{\\left(\\dfrac{4}{\\sqrt{5}}\\right)^2} + \\dfrac{1}{SO^2}$\n\nTính toán:\n$\\dfrac{49}{144} = \\dfrac{5}{16} + \\dfrac{1}{SO^2}$\n\nQuy đồng và giải phương trình:\n$\\dfrac{49}{144} - \\dfrac{45}{144} = \\dfrac{1}{SO^2}$\n$\\dfrac{4}{144} = \\dfrac{1}{SO^2} \\Rightarrow SO^2 = 36 \\Rightarrow SO = 6$.\n\n➡️ Bước 3: Tính thể tích hình chóp\nÁp dụng công thức thể tích:\n$V = \\dfrac{1}{3} \\times S_{\\text{đáy}} \\times h = \\dfrac{1}{3} \\times 4 \\times 6 = 8$.\n\n✅ Đáp án: $8$.","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","grade":"GRADE_11","questionCategory":"thể tích","difficulty":"vận dụng cao"}],"mediaIncomplete":true}