{"title":"Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Cụm chuyên môn số 10 Sở GD&ĐT Gia Lai năm 2025","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2025,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"686acc72f0450c003bd641b0","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"686acc72f0450c003bd641b1","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"686acc72f0450c003bd641b2","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\\alpha): 2x - y + 3 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\\alpha)$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$\\vec{n} = (1;-2;3)$","correct":false,"reason":"Sai vì thành phần $z=3$ không khớp với hệ số $c=0$ trong phương trình mặt phẳng $x-2y+3=0$."},{"label":"B","text":"$\\vec{n} = (1;-2;0)$","correct":true,"reason":"Đúng vì phương trình $x-2y+3=0$ có các hệ số $a=1$, $b=-2$, $c=0$, nên vectơ pháp tuyến là $(1;-2;0)$."},{"label":"C","text":"$\\vec{n} = (1;2;0)$","correct":false,"reason":"Sai vì dấu của thành phần $y$ phải là $-2$ (tương ứng hệ số $b=-2$), không phải $2$."},{"label":"D","text":"$\\vec{n} = (1;2;3)$","correct":false,"reason":"Sai vì cả thành phần $y$ (phải là $-2$) và $z$ (phải là $0$) đều không đúng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình mặt phẳng $(\\alpha):\\;x - 2y + 3 = 0\\,$\n\nCác phương án vectơ pháp tuyến:\n$(1;-2;3)$\n\n$(1;-2;0)$\n\n$(1;2;0)$\n\n$(1;2;3)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\\alpha)$.\n\nÁp dụng kiến thức: Với phương trình mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$, một vectơ pháp tuyến là $(a; b; c)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ phương trình $x - 2y + 3 = 0$, ta đọc được:\n$a = 1$\n\n$b = -2$\n\n$c = 0$\n\nDo đó, một vectơ pháp tuyến có thể chọn là \n$\\displaystyle \\vec{n} = (1;\\,-2;\\,0)\\,.$\n\nSo sánh với các phương án, chỉ có vectơ $(1; -2; 0)$ trùng khớp đúng hệ số $a,b,c$.\n\n✅ Đáp án: $\\vec{n} = (1;\\,-2;\\,0)$ (Phương án B)\n❌ Các đáp án khác:\nA. $(1;-2;3)$: sai vì thành phần $z=3$ không khớp $c=0$. \n\nC. $(1;2;0)$: sai dấu của hệ số $b$ (phải là $-2$). \n\nD. $(1;2;3)$: sai cả thành phần $b$ và $c$.","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt phẳng","grade":"GRADE_12","questionCategory":"phương trình tổng quát của mặt phẳng","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2 = -2, u_3 = 1$. Khi đó $u_4$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$\\dfrac{1}{8}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{1}{8}$ không thu được từ công thức $u_4 = u_3 \\cdot q$ với công bội $q = -\\frac{1}{2}$. Có thể do nhầm lẫn khi tính lũy thừa sai bậc của $q$ hoặc nhầm $u_3$ với $u_2$."},{"label":"B","text":"$-\\dfrac{1}{2}$","correct":true,"reason":"Đúng vì công bội $q = \\frac{u_3}{u_2} = \\frac{1}{-2} = -\\frac{1}{2}$, suy ra $u_4 = u_3 \\cdot q = 1 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -\\frac{1}{2}$."},{"label":"C","text":"$-\\dfrac{1}{4}$","correct":false,"reason":"Sai vì $-\\frac{1}{4}$ chỉ bằng một nửa (theo độ lớn) so với đáp án đúng $-\\frac{1}{2}$, có thể do nhầm lẫn khi nhân $u_3$ với $\\frac{q}{2}$ hoặc tính sai công bội."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{1}{4}$","correct":false,"reason":"Sai vì dấu phải là âm do $q = -\\frac{1}{2} < 0$, và giá trị $\\frac{1}{4}$ có thể do nhầm lẫn công thức $u_4 = u_3 \\cdot q^2$ thay vì $u_4 = u_3 \\cdot q$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDãy số $(u_n)$ là cấp số nhân. \n\n$u_2 = -2$. \n\n$u_3 = 1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm số hạng $u_4$ của cấp số nhân. \n\nCần áp dụng khái niệm công bội $q$ và công thức liên hệ giữa các số hạng kế tiếp.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định công bội $q$ của cấp số nhân: \n$q = \\frac{u_3}{u_2}$ \n\nThay giá trị đã biết: \n$q = \\frac{1}{-2} = -\\tfrac12$ \n\nSử dụng công thức liên hệ $u_n = u_{n-1}\\,q$ để tính $u_4$: \n$u_4 = u_3 \\cdot q = 1 \\times \\bigl(-\\tfrac12\\bigr) = -\\tfrac12$\n\n✅ Đáp án: $-\\tfrac12$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $\\tfrac18$: Sai vì không đúng công bội. \n\nC. $-\\tfrac14$: Sai vì giá trị gấp đôi so với kết quả chính xác. \n\nD. $\\tfrac14$: Sai cả về dấu lẫn giá trị.","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số nhân","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số nhân","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \\ln(2025 - x^2)$","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$D = (-45;45)$","correct":true,"reason":"Hàm số $\\ln(u)$ xác định khi $u > 0$, nên ta cần $2025 - x^2 > 0 \\Leftrightarrow x^2 < 2025 \\Leftrightarrow |x| < 45$, suy ra $x \\in (-45; 45)$."},{"label":"B","text":"$D = (45;+\\infty)$","correct":false,"reason":"Với $x > 45$ thì $x^2 > 2025$, do đó $2025 - x^2 < 0$ nên $\\ln(2025 - x^2)$ không xác định."},{"label":"C","text":"$D = [-45;45]$","correct":false,"reason":"Tại $x = \\pm 45$ thì $2025 - x^2 = 0$, mà $\\ln(0)$ không xác định nên khoảng phải mở tại hai đầu."},{"label":"D","text":"$D = (-\\infty;45)$","correct":false,"reason":"Với $x < -45$ (thuộc khoảng này) thì $x^2 > 2025$, dẫn đến $2025 - x^2 < 0$ nên hàm số không xác định."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số đã cho: $y = \\ln(2025 - x^2)$ \n\nYêu cầu: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTập xác định của hàm số logarithm là tập các $x$ sao cho biểu thức trong $\\ln(\\,\\cdot\\,)$ phải lớn hơn $0$. \n\nTa cần giải bất phương trình: \n$2025 - x^2 > 0.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Viết điều kiện xác định \n$2025 - x^2 > 0.$\n\nBước 2: Chuyển thành bất phương trình về $x^2$ \n$x^2 < 2025.$\n\nBước 3: Lấy căn bậc hai \n$|x| < \\sqrt{2025} = 45.$\n\nBước 4: Kết luận tập nghiệm \n$-45 < x < 45,$ \ntức là \n$D = (-45; 45).$\n\n✅ Đáp án: $D = (-45;45)$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $D = (45; +\\infty)$ sai vì với $x>45$, $2025 - x^2 < 0$, không thỏa điều kiện của $\\ln$. \n\nC. $D = [-45;45]$ sai vì tại $x = \\pm 45$, $2025 - x^2 = 0$ và $\\ln(0)$ không xác định. \n\nD. $D = (-\\infty;45)$ sai vì với $x < -45$, $2025 - x^2 < 0$, cũng không thỏa điều kiện.","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hàm số lôgarit","difficulty":"thông hiểu"},{"id":4,"text":"Bảng dưới đây thống kê lại cự li ném tạ của một vận động viên. Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$0{,}52$","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị tính được $\\sigma_x \\approx 0{,}5266$ khi làm tròn đúng quy tắc đến hàng phần trăm là $0{,}53$, không phải $0{,}52$ (làm tròn xuống không đúng quy tắc)."},{"label":"B","text":"$0{,}53$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức $\\sigma_x = \\sqrt{\\frac{\\sum f_i(x_i - \\bar{x})^2}{n}}$ với giá trị giữa các lớp $19{,}25; 19{,}75; 20{,}25; 20{,}75; 21{,}25$ và tần số đã cho, ta tính được $\\sigma_x \\approx 0{,}5266$. Khi làm tròn đến hàng phần trăm, kết quả là $0{,}53$."},{"label":"C","text":"$0{,}54$","correct":false,"reason":"Sai vì $0{,}54$ lớn hơn giá trị chính xác $\\approx 0{,}5266$, có thể do làm tròn lên sai quy tắc hoặc tính toán nhầm phương sai."},{"label":"D","text":"$0{,}55$","correct":false,"reason":"Sai vì $0{,}55$ chênh lệch quá lớn ($\\approx 0{,}02$) so với kết quả đúng, thường do nhập sai dữ liệu hoặc dùng nhầm công thức độ lệch chuẩn tổng thể thay vì mẫu."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho bảng số liệu ghép nhóm về cự li ném tạ (Đơn vị: Mét).\n\nCác lớp khoảng: [19; 19,5), [19,5; 20), [20; 20,5), [20,5; 21), [21; 21,5).\n\nTần số tương ứng: 13, 45, 24, 12, 6.\n\nYêu cầu: Tính độ lệch chuẩn mẫu của số liệu ghép nhóm, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính độ lệch chuẩn mẫu (ký hiệu $\\sigma_x$) cho dữ liệu nhóm.\n\nÁp dụng công thức tính độ lệch chuẩn mẫu cho số liệu ghép nhóm:\n$\\sigma_x = \\sqrt{\\frac{\\sum f(x - \\bar{x})^2}{n}}$\n\nSử dụng máy tính cầm tay để thực hiện nhanh các bước thống kê.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm bằng máy tính cầm tay Casio FX - 580 VN/ Vinacal 680EX PLUS:\n👉🏻 Bước 1: Bật bảng thống kê\nNhấn SHIFT → MENU → dùng phím ▼ chọn Statistics → chọn 3: Statistics → chọn 1: On.\n👉🏻 Bước 2: Vào chế độ thống kê\nNhấn MENU → chọn 6: Statistics → chọn 1: 1-Variable.\n👉🏻 Bước 3: Nhập dữ liệu thống kê\nXác định giá trị giữa các khoảng:\n$\\text{Giá trị giữa} = \\frac{a + b}{2}$\n\nNhập dữ liệu vào máy tính:\nCột $x$: 19,25; 19,75; 20,25; 20,75; 21,25\n\nCột $\\text{Freq}$: 13; 45; 24; 12; 6\n\n👉🏻 Bước 4: Gọi kết quả thống kê\nNhấn OPTN → chọn 3: 1-Variable Calc để xem các giá trị thống kê.\n$\\sigma_x$: 0,53\n\n👉🏻 Bước 5: Kết luận \n✅ Đáp án: 0,53\n❌ Các đáp án khác:\n0,52: Sai vì giá trị tính được là 0,53 khi làm tròn đến hàng phần trăm.\n\n0,54: Sai vì vượt 0,01 so với kết quả thực tế.\n\n0,55: Sai vì làm tròn quá nhiều, không đúng với kết quả máy tính.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-10-tinh-gia-lai-2025-co-dap-an/1JLvAyCo8AWzoZ4FgxrgpASVBfyHu-hdC_2025-07-06192012.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"phương sai và độ lệch chuẩn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro","difficulty":"thông hiểu"},{"id":5,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn $[a;b]$. Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $H$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$S = -\\int_b^a f(x)dx$","correct":false,"reason":"Đúng. Theo tính chất đổi cận tích phân, $-\\int_b^a f(x)\\,dx = \\int_a^b f(x)\\,dx = S$."},{"label":"B","text":"$S = \\int_b^a |f(x)|dx$","correct":false,"reason":"Sai. Vì $f(x)>0$ nên $|f(x)|=f(x)$, do đó $\\int_b^a |f(x)|\\,dx = \\int_b^a f(x)\\,dx = -S \\neq S$."},{"label":"C","text":"$S = -\\int_a^b f(x)dx$","correct":true,"reason":"Sai. Vì $-\\int_a^b f(x)\\,dx = -S$, trái với giá trị diện tích $S$ dương theo đề bài."},{"label":"D","text":"$S = \\int_a^b f(x)dx$","correct":false,"reason":"Đúng. Theo định nghĩa diện tích hình phẳng, khi $f(x) \\ge 0$ trên $[a;b]$ thì $S = \\int_a^b f(x)\\,dx$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục và $f(x)>0$ trên đoạn $[a;b]$. \n\nHình phẳng $H$ bị giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$. \n\n$S$ là diện tích của hình phẳng $H$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xác định công thức nào sai khi tính diện tích $S$. \n\nVận dụng kiến thức tính diện tích bằng tích phân.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $f(x)\\ge0$ trên $[a,b]$, theo định nghĩa:\n$S=\\int_a^b f(x)\\,dx.$\n\nĐổi thứ tự cận tích phân:\n$\\int_b^a f(x)\\,dx=-\\int_a^b f(x)\\,dx\\quad\\Longrightarrow\\quad -\\int_b^a f(x)\\,dx=\\int_a^b f(x)\\,dx=S.$\n\nVới hàm dương, $|f(x)|=f(x)$. \n\nKiểm tra từng công thức:\nA: $S=-\\int_b^a f(x)\\,dx=\\int_a^b f(x)\\,dx=S\\quad(\\text{đúng}).$ \n\nB: $\\int_b^a|f(x)|\\,dx=-\\int_a^b f(x)\\,dx=-S\\quad(\\text{sai}).$ \n\nC: $-\\int_a^b f(x)\\,dx=-S\\quad(\\text{sai}).$ \n\nD: $\\int_a^b f(x)\\,dx=S\\quad(\\text{đúng}).$\n\nChú ý câu hỏi yêu cầu tìm khẳng định sai, và trong các phương án trên chỉ có C là đáp ứng.\n✅ Đáp án: $ \\boxed{S = -\\int_a^b f(x)\\,dx} $\n❌ Các đáp án khác:\nA. $S=-\\int_b^a f(x)\\,dx$ đúng vì $-\\int_b^a f(x)\\,dx=\\int_a^b f(x)\\,dx=S.$ \n\nB. $S=\\int_b^a|f(x)|\\,dx$ sai nhưng không phải phương án được chọn. \n\nD. $S=\\int_a^b f(x)\\,dx$ đúng theo định nghĩa diện tích.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"ứng dụng hình học của tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":6,"text":"Cho hàm số $y = \\dfrac{ax + b}{cx + d} \\quad (c \\ne 0, ad - bc \\ne 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$y = \\dfrac{1}{2}$","correct":false,"reason":"Sai, đồ thị tiến đến $y = -\\frac{1}{2}$ khi $x \\to \\pm\\infty$ (đường nằm dưới trục hoành), không phải $y = \\frac{1}{2}$."},{"label":"B","text":"$x = \\dfrac{1}{2}$","correct":false,"reason":"Sai, đây là tiệm cận đứng (trục $x = \\frac{1}{2}$), không phải tiệm cận ngang."},{"label":"C","text":"$x = -\\dfrac{1}{2}$","correct":false,"reason":"Sai, không có tiệm cận nào tại $x = -\\frac{1}{2}$ trên đồ thị."},{"label":"D","text":"$y = -\\dfrac{1}{2}$","correct":true,"reason":"Đúng, đường tiệm cận ngang màu đỏ trên hình nằm tại $y = -\\frac{1}{2}$ và đồ thị tiến đến giá trị này khi $x \\to \\pm\\infty$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y = \\dfrac{ax + b}{cx + d}\\quad(c\\neq0,\\;ad - bc\\neq0).$ \n\nTrên đồ thị có hai tiệm cận được vẽ bằng đường thẳng đỏ: \n• Tiệm cận đứng: $x = \\tfrac12.$ \n• Tiệm cận ngang (đường thẳng ngang màu đỏ trên hình).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định phương trình của tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. \n\nKiến thức cần vận dụng: tính tiệm cận ngang của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐối với hàm $y = \\dfrac{ax + b}{cx + d}$ (bậc tử bằng bậc mẫu = 1), ta có giới hạn khi $x \\to \\pm\\infty$: \nDo đó, tiệm cận ngang là $y = \\frac{a}{c}.$\n\nQuan sát hình vẽ, đường tiệm cận ngang được vẽ bằng đường thẳng đỏ nằm ngang tại \n$y = -\\tfrac12.$\n\nKết luận: tiệm cận ngang của hàm số là $y = -\\dfrac{1}{2}.$\n\n✅ Đáp án: $y = -\\dfrac{1}{2}$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $y = \\tfrac{1}{2}$ sai vì đồ thị không tiến về giá trị này khi $x\\to\\pm\\infty$. \n\nB. $x = \\tfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang. \n\nC. $x = -\\tfrac{1}{2}$ không xuất hiện là tiệm cận nào trên đồ thị.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-10-tinh-gia-lai-2025-co-dap-an/1Ni4r4OAxLN1Q6EA266zhBkYDX0vV4K6V_2025-07-06192012.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận ngang","difficulty":"nhận biết"},{"id":7,"text":"Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$(0;1) \\text{ và } (1;2)$","correct":true},{"label":"B","text":"$(-\\infty;0) \\text{ và } (2;+\\infty)$","correct":false},{"label":"C","text":"$(-\\infty;1)$","correct":false},{"label":"D","text":"$(0;2)$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị hàm số gồm nhánh trái và nhánh phải, có tiệm cận đứng tại $x=1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x$ (đường đỏ). \n\nĐiểm $(0,2)$ nằm trên đồ thị (nhánh trái). \n\nĐiểm $(2,2)$ là điểm cực tiểu của nhánh phải.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định các khoảng mà hàm số nghịch biến (tức là $f'(x)<0$). \n\nQuan sát đồ thị để tìm khoảng nào đồ thị đi xuống khi $x$ tăng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định miền xác định của hàm số là $\\mathbb{R}\\setminus\\{1\\}$ do có tiệm cận đứng tại $x=1$. \n\nNhánh trái $(-\\infty,1)$: \n• Từ điểm $(0,2)$ khi $x$ tăng lên đến gần 1, giá trị $y$ giảm từ 2 xuống $-\\infty$. \n→ Hàm số nghịch biến trên $(0,1)$. \n\nNhánh phải $(1,+\\infty)$: \n• Khi $x$ vừa lớn hơn 1, $y\\to +\\infty$; sau đó giá trị $y$ giảm liên tục cho đến điểm cực tiểu $(2,2)$. \n→ Hàm số nghịch biến trên $(1,2)$. \n\nTrên các khoảng còn lại (như $(-\\infty,0)$ hoặc $(2,+\\infty)$), đồ thị không đi xuống liên tục (nhánh trái trên $(-\\infty,0)$ không đồng nhất, nhánh phải trên $(2,+\\infty)$ đang tăng).\n\n✅ Đáp án: $(0;1)\\ \\text{ và }\\ (1;2)$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $(-\\infty;0)$ và $(2;+\\infty)$: trên $(2;+\\infty)$ hàm số tăng, không phải nghịch biến; trên $(-\\infty;0)$ cũng không giảm đều. \n\nC. $(-\\infty;1)$: chỉ đúng một phần (trong đó chỉ $(0;1)$ là nghịch biến), nhưng trên $(-\\infty;0)$ hàm không giảm liên tục. \n\nD. $(0;2)$: khoảng này chứa điểm $x=1$ không thuộc miền xác định và lại bao gồm phần hàm số đang tăng trên $(2;2)$.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-10-tinh-gia-lai-2025-co-dap-an/10NWeJ8aXN78dzjh-MrDtmvEL0QDnIQi7_2025-07-06192012.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":8,"text":"Nghiệm của phương trình $4^x = 3$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$x = \\log_4 3$","correct":true,"reason":"Theo định nghĩa logarit, nếu $a^x = b$ với $a>0, a\\neq 1$ thì $x = \\log_a b$. Áp dụng với $4^x = 3$ ta suy ra $x = \\log_4 3$."},{"label":"B","text":"$x = \\log_3 4$","correct":false,"reason":"Phương án này nhầm lẫn giữa cơ số và số thực (argument) của logarit; $\\log_3 4$ là nghiệm của phương trình $3^x = 4$, không phải $4^x = 3$."},{"label":"C","text":"$x = 4$","correct":false,"reason":"Thay $x=4$ vào phương trình ta được $4^4 = 256 \\neq 3$, do đó $x=4$ không phải là nghiệm."},{"label":"D","text":"$x = 3$","correct":false,"reason":"Thay $x=3$ vào phương trình ta được $4^3 = 64 \\neq 3$, do đó $x=3$ không phải là nghiệm."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình: $4^x = 3$ \n\nCác phương án: \n• $x = \\log_4 3$ \n• $x = \\log_3 4$ \n• $x = 4$ \n• $x = 3$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm giá trị $x$ sao cho giá trị hàm mũ $4^x$ bằng 3. \n\nSử dụng kiến thức về logarit cơ bản.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng định nghĩa logarit: \nNếu $a^x = b\\quad(a>0,\\;a\\neq1),$ \nthì $x = \\log_a b.$\n\nTrong bài, $a = 4$ và $b = 3$, nên \n$x = \\log_4 3.$\n\n(Hình ảnh đính kèm cho thấy giao điểm giữa đồ thị $y=4^x$ và đường thẳng $y=3$ có hoành độ $x = \\log_4 3$.)\n\n✅ Đáp án: $x = \\log_4 3$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $x = \\log_3 4$: Sai vì hoán đổi nhầm cơ số và argument. \n\nC. $x = 4$: Sai vì $4^4 = 256 \\neq 3$. \n\nD. $x = 3$: Sai vì $4^3 = 64 \\neq 3$.","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình mũ","difficulty":"thông hiểu"},{"id":9,"text":"Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 10^x$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$x \\cdot10^{x - 1} + C$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm lẫn công thức đạo hàm của hàm lũy thừa $x^n$ (là $nx^{n-1}$) với hàm mũ $a^x$. Đạo hàm đúng của $10^x$ là $10^x\\ln 10$, không phải $x\\cdot 10^{x-1}$."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{10^x}{ln10} + C$","correct":true,"reason":"Đúng theo công thức nguyên hàm của hàm mũ $\\int a^x\\,dx = \\frac{a^x}{\\ln a} + C$ với $a>0, a\\neq 1$. Áp dụng $a=10$ ta được $\\frac{10^x}{\\ln 10} + C$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{10^{x+1}}{x+1} + C$","correct":false,"reason":"Sai vì áp dụng nhầm công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa $\\int x^n\\,dx = \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ cho hàm mũ $10^x$. Nguyên hàm của hàm mũ phải chia cho $\\ln 10$, không phải $x+1$."},{"label":"D","text":"$10^x \\cdot ln10 + C$","correct":false,"reason":"Sai vì đây chính là đạo hàm của $10^x$ (do $(10^x)' = 10^x\\ln 10$), không phải nguyên hàm. Nguyên hàm phải có dạng chia cho $\\ln 10$ thay vì nhân."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số cần tìm nguyên hàm: $f(x)=10^x$\n\nCâu hỏi: Nguyên hàm của hàm số trên là gì?\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhải tìm hàm $F(x)$ sao cho $F'(x)=f(x)=10^x.$\n\nÁp dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ với cơ số bất kỳ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhắc lại công thức chung:\n$\\int a^x\\,dx = \\frac{a^x}{\\ln a} + C,\\quad a>0,\\;a\\neq1.$\n\nÁp dụng cho $a=10$:\n$\\int 10^x\\,dx = \\frac{10^x}{\\ln 10} + C.$\n\nĐánh giá các lựa chọn:\nLựa chọn A: $x\\cdot10^{x-1}+C$ là công thức đạo hàm của $10^x$, không phải nguyên hàm.\n\nLựa chọn C: $\\frac{10^{x+1}}{x+1}+C$ chia cho $x+1$ là sai; nguyên hàm phải chia cho $\\ln10$.\n\nLựa chọn D: $10^x\\cdot\\ln10 + C$ cũng là kết quả của phép đạo hàm, không phải nguyên hàm.\n\nLựa chọn B: $\\frac{10^x}{\\ln10}+C$ trùng khớp với công thức nguyên hàm vừa nêu.\n\n✅ Đáp án: $\\frac{10^x}{\\ln10} + C$\n❌ Các đáp án khác:\nA: Nhầm với công thức đạo hàm của $10^x$. \n\nC: Chia nhầm cho $x+1$ thay vì $\\ln10$. \n\nD: Kết quả của phép đạo hàm chứ không phải nguyên hàm.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"nguyên hàm","grade":"GRADE_12","questionCategory":"nguyên hàm của một số hàm số thường gặp","difficulty":"thông hiểu"},{"id":10,"text":"Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Khi đó, tổng các vectơ $\\vec{D'C'} + \\vec{BC} + \\vec{AA'}$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$\\vec{C'A}$","correct":false,"reason":"Ta có $\\vec{C'A} = -\\vec{AC'}$, trong khi tổng các vectơ đã cho bằng $\\vec{AC'}$ nên đáp án này sai dấu so với kết quả đúng."},{"label":"B","text":"$\\vec{BD'}$","correct":false,"reason":"Vectơ $\\vec{BD'} = \\vec{BA} + \\vec{AD} + \\vec{DD'} = -\\vec{AB} + \\vec{AD} + \\vec{AA'}$, khác với tổng đã cho là $\\vec{AB} + \\vec{AD} + \\vec{AA'}$ (sai dấu của $\\vec{AB}$)."},{"label":"C","text":"$\\vec{AC'}$","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\vec{D'C'} = \\vec{AB}$ và $\\vec{BC} = \\vec{AD}$ (tính chất hình hộp), nên tổng bằng $\\vec{AB} + \\vec{AD} + \\vec{AA'} = \\vec{AC'}$ theo quy tắc cộng vectơ trong hình hộp."},{"label":"D","text":"$\\vec{D'B}$","correct":false,"reason":"Vectơ $\\vec{D'B} = \\vec{AB} - \\vec{AD} - \\vec{AA'}$ (tính theo tọa độ $\\vec{D'B} = \\mathbf{b} - \\mathbf{d} - \\mathbf{a}$), có dấu trừ ở $\\vec{AD}$ và $\\vec{AA'}$ nên không bằng tổng đã cho."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. \n\nYêu cầu tính tổng vectơ $\\vec{D'C'} + \\vec{BC} + \\vec{AA'}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần biểu diễn tổng ba vectơ đã cho dưới dạng một vectơ cơ bản trong hình hộp. \n\nVận dụng tính chất hình hộp: các cạnh đối song song và bằng nhau.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện: \nĐặt $A$ làm gốc, ký hiệu \n$\\overrightarrow{AB} = \\mathbf{b},\\quad \\overrightarrow{AD} = \\mathbf{d},\\quad \\overrightarrow{AA'} = \\mathbf{a}.$\n\nBước 2: Xác định tọa độ các điểm: \n$B = \\mathbf b,\\quad D = \\mathbf d,\\quad C = B + \\overrightarrow{BC} = \\mathbf b + \\mathbf d,$ \n$A' = \\mathbf a,\\quad D' = D + \\mathbf a = \\mathbf d + \\mathbf a,\\quad C' = C + \\mathbf a = \\mathbf b + \\mathbf d + \\mathbf a.$\n\nBước 3: Tính từng vectơ trong tổng: \n$\\overrightarrow{D'C'} = C' - D' = (\\mathbf b + \\mathbf d + \\mathbf a) - (\\mathbf d + \\mathbf a) = \\mathbf b,$ \n$\\overrightarrow{BC} = (\\mathbf b + \\mathbf d) - \\mathbf b = \\mathbf d,\\quad \\overrightarrow{AA'} = \\mathbf a.$\n\nBước 4: Cộng lại các thành phần: \n$\\vec{D'C'} + \\vec{BC} + \\vec{AA'} = \\mathbf b + \\mathbf d + \\mathbf a = \\overrightarrow{AC'}.$\nNhư vậy, tổng ba vectơ chính là vectơ đi từ $A$ đến $C'$.\n\n✅ Đáp án: $\\vec{AC'}$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $\\vec{C'A}$ sai dấu so với $\\vec{AC'}$. \n\nB. $\\vec{BD'}$ không trùng thành phần với tổng đã cho. \n\nD. $\\vec{D'B}$ cũng không đúng hướng và độ lớn.","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian","difficulty":"thông hiểu"},{"id":11,"text":"Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $(\\Delta): \\begin{cases} x = -2 + 3t \\\\ y = 2t \\\\ z = 1 \\end{cases}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(\\Delta)$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$\\vec{u} = (3;2;0)$","correct":true,"reason":"Vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số $x=x_0+at$, $y=y_0+bt$, $z=z_0+ct$ là $\\vec{u}=(a;b;c)$. Từ phương trình đã cho, các hệ số của $t$ lần lượt là $3$, $2$, $0$ nên $\\vec{u}=(3;2;0)$."},{"label":"B","text":"$\\vec{u} = (-2;0;1)$","correct":false,"reason":"Sai vì lấy nhầm hệ số tự do $-2$ của $x$ và hằng số $1$ của $z$ (tọa độ của điểm trên đường thẳng), đồng thời bỏ qua hệ số $2$ của $t$ ở $y$ (thay bằng $0$)."},{"label":"C","text":"$\\vec{u} = (3;2;1)$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm hệ số của $t$ ở $z$ là $1$, trong khi $z=1$ không chứa $t$ nên hệ số thực tế là $0$."},{"label":"D","text":"$\\vec{u} = (-2;2;1)$","correct":false,"reason":"Sai vì lấy nhầm hệ số tự do $-2$ của $x$ thay vì $3$, và lấy hằng số $1$ của $z$ thay vì hệ số $0$ của $t$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nTrong không gian Oxyz, cho đường thẳng $(\\Delta)$ có phương trình tham số: \n\nYêu cầu tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(\\Delta)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nCâu hỏi yêu cầu xác định vectơ chỉ phương từ hệ số $t$ trong phương trình tham số của đường thẳng. \n\nHọc sinh cần vận dụng kiến thức: \n– Đọc phương trình tham số của đường thẳng. \n– Xác định hệ số của tham số $t$ tương ứng với từng thành phần $x, y, z$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nMột đường thẳng trong không gian có dạng tham số chung: $ \\begin{cases} x = x_0 + a\\,t,\\\\ y = y_0 + b\\,t,\\\\ z = z_0 + c\\,t, \\end{cases} $ thì vectơ chỉ phương là $\\vec u = (a; b; c)$. \n\nÁp dụng cho $(\\Delta)$: \n– Hệ số $t$ trước $x$ là $3$. \n– Hệ số $t$ trước $y$ là $2$. \n– $z = 1$ không phụ thuộc vào $t$, nên hệ số $t$ trước $z$ là $0$. \n\nKết luận: $ \\vec{u} = (3;2;0). $\n\n✅ Đáp án: A. $\\vec{u} = (3;2;0)$\n❌ Các đáp án khác: \nB. $\\vec{u} = (-2;0;1)$ sai vì lấy nhầm hệ số tự do $-2$ của $x$ làm hệ số $t$. \n\nC. $\\vec{u} = (3;2;1)$ sai vì cho rằng $z$ phụ thuộc vào $t$ với hệ số $1$. \n\nD. $\\vec{u} = (-2;2;1)$ sai cả hệ số $x$ và $z$, không đúng định nghĩa vectơ chỉ phương.","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình đường thẳng trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"phương trình đường thẳng","difficulty":"nhận biết"},{"id":12,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$. Biết $SA = SB = SC = SD$. Khẳng định nào sau đây là đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"686acc72f0450c003bd641b0","options":[{"label":"A","text":"$AB \\perp (SAC)$","correct":false},{"label":"B","text":"$CD \\perp (SBD)$","correct":false},{"label":"C","text":"$SO \\perp (ABCD)$","correct":true},{"label":"D","text":"$CD \\perp AC$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi $ABCD$, tâm $O$. \n\nCác cạnh bên thỏa mãn $SA = SB = SC = SD$. \n\nHình vẽ minh họa chóp đều tam giác bên.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định khẳng định nào đúng về vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (hoặc giữa hai đường thẳng). \n\nVận dụng: nếu một điểm $S$ cách đều các đỉnh của một tứ giác thì đường thẳng nối $S$ với tâm của tứ giác vuông góc với mặt phẳng chứa tứ giác đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $SA = SB = SC = SD$, điểm $S$ thuộc mặt phẳng trung trực của mỗi cạnh $AB,\\,BC,\\,CD,\\,DA$. \n\nXét hai mặt phẳng trung trực: \n$P_1$ là mp trung trực của $AB$. \n\n$P_2$ là mp trung trực của $BC$.\n\nGiao tuyến của $P_1$ và $P_2$ là một đường thẳng đi qua $S$ và một điểm $H$ nằm trong mặt phẳng đáy $ABCD$. \n\nVì đường này thuộc $P_1$ nên nó vuông góc với $AB$, và thuộc $P_2$ nên vuông góc với $BC$. \n\nHai đường $AB$ và $BC$ không song song, nên đường thẳng $SH$ vuông góc với cả mặt phẳng chứa chúng (mặt phẳng $ABCD$). \n\nĐồng thời, trong hình thoi, giao điểm của hai mp trung trực của $AB$ và $BC$ chính là giao điểm của hai đường chéo – tức là $O$. \n\nKết luận: đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy $ABCD$. \n\nViết dưới dạng toán học: \n\n✅ Đáp án: $SO \\perp (ABCD)$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $AB \\perp (SAC)$ sai, vì $AB$ nằm trong mặt phẳng đáy và không vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$. \n\nB. $CD \\perp (SBD)$ sai, $CD$ song song với $AB$ chứ không vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$. \n\nD. $CD \\perp AC$ sai, trong hình thoi $CD$ không vuông góc với đường chéo $AC$ (trừ trường hợp hình thoi là hình vuông).","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"bài tập cuối chương vii","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 7","difficulty":"nhận biết"},{"id":13,"text":"Cho hàm số $f(x) = \\sin\\left(x-\\dfrac{\\pi}{3}\\right) - x$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"686acc72f0450c003bd641b1","statements":[{"label":"A","text":"Tập xác định của hàm số đã cho là $D = \\mathbb{R} \\setminus \\left\\{ \\dfrac{\\pi}{3} + k\\pi \\mid k \\in \\mathbb{Z} \\right\\}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x) = \\sin\\bigl(x-\\frac{\\pi}{3}\\bigr) - x$.\n❓ Hiểu câu hỏi:\n\nPhương án A khẳng định tập xác định của hàm số phải loại bỏ các điểm $x=\\frac{\\pi}{3}+k\\pi$.\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nHàm số $\\sin(u)$ xác định với mọi $u\\in\\mathbb{R}$.\n\nBiểu thức $-x$ xác định với mọi $x\\in\\mathbb{R}$.\n\nDo đó tổng $\\sin\\bigl(x-\\frac{\\pi}{3}\\bigr) - x$ xác định với mọi $x\\in\\mathbb{R}$.\nKết luận: Sai."},{"label":"B","text":"Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f'(x) = \\cos\\left(x - \\dfrac{\\pi}{3}\\right)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x) = \\sin\\bigl(x-\\tfrac{\\pi}{3}\\bigr) - x$.\n❓ Hiểu câu hỏi:\n\nPhương án B khẳng định đạo hàm của $f$ là $f'(x)=\\cos(x-\\frac{\\pi}{3})$.\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nÁp dụng quy tắc: $\\frac{d}{dx}\\sin(u)=\\cos(u)\\,u'$ và $\\frac{d}{dx}(-x)=-1$.\n\nVới $u=x-\\tfrac{\\pi}{3}$ có $u'=1$, nên\n$f'(x)=\\cos\\bigl(x-\\tfrac{\\pi}{3}\\bigr)\\cdot1 - 1 = \\cos\\bigl(x-\\tfrac{\\pi}{3}\\bigr)-1.$ \n\nPhương án B thiếu thành phần $-1$, do đó không chính xác.\nKết luận: Sai."},{"label":"C","text":"Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $f'(x) = 0$ là $x = -\\dfrac{5\\pi}{3}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐạo hàm $f'(x)=\\cos\\bigl(x-\\tfrac{\\pi}{3}\\bigr)-1$.\n❓ Hiểu câu hỏi:\n\nPhương án C hỏi nghiệm âm lớn nhất của phương trình $f'(x)=0$.\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nGiải $\\cos\\bigl(x-\\tfrac{\\pi}{3}\\bigr)-1=0\\implies\\cos\\bigl(x-\\tfrac{\\pi}{3}\\bigr)=1.$ \n\nTa biết $\\cos t=1$ khi $t=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}$. \n\nDo đó $x-\\tfrac{\\pi}{3}=2k\\pi\\implies x=\\tfrac{\\pi}{3}+2k\\pi.$ \n\nCác nghiệm âm thuộc khi $k\\le-1$. Lấy $k=-1$ cho $x=\\tfrac{\\pi}{3}-2\\pi=-\\tfrac{5\\pi}{3}$, đây là nghiệm âm lớn nhất.\nKết luận: Đúng."},{"label":"D","text":"Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0; 2\\pi]$ là $-\\dfrac{\\pi}{3}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\sin\\bigl(x-\\tfrac{\\pi}{3}\\bigr)-x$ trên đoạn $[0;2\\pi]$.\n❓ Hiểu câu hỏi:\n\nPhương án D cho giá trị lớn nhất của $f$ trên đoạn là $-\\tfrac{\\pi}{3}$.\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nTính đạo hàm: $f'(x)=\\cos(x-\\tfrac{\\pi}{3})-1$. Giải $f'(x)=0$ trong $[0,2\\pi]$ được $x=\\tfrac{\\pi}{3}$.\n\nTính giá trị tại:\n• $f(0)=\\sin(-\\tfrac{\\pi}{3})-0=-\\tfrac{\\sqrt3}{2}.$ \n• $f(\\tfrac{\\pi}{3})=\\sin0-\\tfrac{\\pi}{3}=-\\tfrac{\\pi}{3}.$ \n• $f(2\\pi)=\\sin(2\\pi-\\tfrac{\\pi}{3})-2\\pi=\\sin\\tfrac{5\\pi}{3}-2\\pi=-\\tfrac{\\sqrt3}{2}-2\\pi.$ \n\nSo giá trị lớn nhất là $-\\tfrac{\\sqrt3}{2}\\approx-0.866$, không phải $-\\tfrac{\\pi}{3}\\approx-1.047$.\nKết luận: Sai."}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Cho hàm số $y = f(x) = \\sqrt{x}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = 9$. Cho $M\\left(m; \\sqrt{m} \\right)$ là một điểm di động trên đồ thị $(C)$; gọi $S_1$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = m~(m \\ne 0)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"686acc72f0450c003bd641b1","statements":[{"label":"A","text":"Diện tích $S$ của hình $(H)$ được tính bởi công thức $S = \\int_0^9 \\sqrt{x} \\, dx$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=\\sqrt{x}$, đồ thị (C).\n\nHình phẳng (H) giới hạn bởi (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=9$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính diện tích $S$ của hình (H).\n\nÁp dụng tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết công thức: $S=\\displaystyle\\int_{0}^{9}\\sqrt{x}\\,dx$.\n\nTính tích phân:\n$\\int\\sqrt{x}\\,dx=\\int x^{\\frac12}\\,dx=\\frac{2}{3}x^{\\frac32}+C.$ \n\nThay giới hạn:\n$S=\\Bigl[\\frac{2}{3}x^{\\tfrac32}\\Bigr]_{0}^{9}=\\frac{2}{3}\\cdot9^{\\tfrac32}-0=\\frac{2}{3}\\cdot27=18.$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$ bằng $\\dfrac{81}{2} \\pi$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình phẳng (H) như ở trên.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh trục Ox.\n\nSử dụng phương pháp mặt đĩa (disk method).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức thể tích:\n$V=\\pi\\displaystyle\\int_{0}^{9}[f(x)]^{2}dx=\\pi\\int_{0}^{9}(\\sqrt{x})^{2}dx=\\pi\\int_{0}^{9}x\\,dx.$ \n\nTính tích phân:\n$\\int_{0}^{9}x\\,dx=\\Bigl[\\tfrac{x^{2}}{2}\\Bigr]_{0}^{9}=\\frac{81}{2}.$ \n\nVậy:\n$V=\\pi\\cdot\\frac{81}{2}=\\frac{81\\pi}{2}.$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"$S_1 = \\dfrac{3}{2} x \\sqrt{x} \\Bigg|_0^m$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox, trục Oy và đường thẳng $x=m$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhát biểu của đề: $S_{1}=\\frac{3}{2}x\\sqrt{x}\\Big|_{0}^{m}$.\n\nCần kiểm tra biểu thức này có đúng hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo định nghĩa:\n$S_{1}=\\int_{0}^{m}\\sqrt{x}\\,dx=\\Bigl[\\tfrac{2}{3}x^{\\tfrac32}\\Bigr]_{0}^{m}=\\frac{2}{3}m^{\\tfrac32}.$ \n\nTrong khi đề cho là:\n$\\frac{3}{2}x\\sqrt{x}\\Big|_{0}^{m}=\\frac{3}{2}m^{\\tfrac32}.$ \n\nRõ ràng $\\frac{2}{3}m^{\\tfrac32}\\neq\\frac{3}{2}m^{\\tfrac32}$.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Để $S = 8S_1$ thì điểm $M$ có hoành độ là $\\dfrac{a}{b}$ (với $\\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $ab = 24$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$S=\\int_{0}^{9}\\sqrt{x}\\,dx=18$ và $S_{1}=\\frac{2}{3}m^{\\tfrac32}$.\n\nĐề bài xét điều kiện $S=8S_{1}$, cho kết quả ở dạng phân số $\\tfrac{a}{b}$ tối giản, rồi hỏi $ab=24$ có đúng không.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm $m$ sao cho $18=8\\cdot\\frac{2}{3}m^{\\tfrac32}$, rồi kiểm tra tích $a\\times b$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết phương trình:\n$18=8\\cdot\\frac{2}{3}m^{\\tfrac32}\\;\\Longrightarrow\\;18=\\frac{16}{3}m^{\\tfrac32}$. \n\nSuy ra:\n$m^{\\tfrac32}=\\frac{18\\cdot3}{16}=\\frac{54}{16}=\\frac{27}{8}$ \n$\\Rightarrow\\;m=\\Bigl(\\frac{27}{8}\\Bigr)^{\\tfrac{2}{3}}=\\frac{9}{4}.$ \n\nPhân số tối giản là $\\tfrac{9}{4}$ nên $a=9, b=4$ và $ab=36\\neq24$.\n\nKết luận: Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-10-tinh-gia-lai-2025-co-dap-an/1c_rniWiKeQsEfKKHy4Y5GTvgSZdKIsQU_2025-07-06192012.png"],"chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"bài tập cuối chương iv","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 4","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Tại một vòng thi của đại hội thể thao, bốn vận động viên bắn súng A, B, C và D mỗi người bắn một viên đạn vào tấm bia một cách độc lập. Biết rằng xác suất bắn trúng vòng 10 của bốn vận động viên A, B, C, D lần lượt là 0,4; 0,5; 0,7; 0,8.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"686acc72f0450c003bd641b1","statements":[{"label":"A","text":"Xác suất để vận động viên A không bắn trúng vòng 10 là 0,6.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình ảnh tấm bia có vòng 10 ở trung tâm.\n\nXác suất bắn trúng vòng 10 của vận động viên A là $p_A=0{,}4$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính xác suất A không bắn trúng vòng 10.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác suất không trúng vòng 10 của A bằng $1-p_A=1-0{,}4=0{,}6$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Xác suất để cả bốn vận động viên đều bắn trúng vòng 10 là 0,018.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình ảnh tấm bia với vòng 10.\n\nXác suất trúng vòng 10 : $p_A=0{,}4,\np_B=0{,}5,\np_C=0{,}7,\np_D=0{,}8$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất cả bốn vận động viên đều bắn trúng vòng 10.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDo các sự kiện độc lập nên\n$P({A,B,C,Dtrúng})=p_A\\times p_B\\times p_C\\times p_D=0{,}4\\times0{,}5\\times0{,}7\\times0{,}8=0{,}112$.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Xác suất để có đúng một vận động viên không bắn trúng vòng 10 là 0,356.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình ảnh tấm bia và xác suất trúng vòng 10 của A, B, C, D như trên.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất có đúng một vận động viên không bắn trúng vòng 10.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $q_X=1-p_X$ là xác suất không trúng của vận động viên X.\n\nTrường hợp A không trúng, B, C, D trúng: $q_Ap_Bp_Cp_D=0{,}6\\times0{,}5\\times0{,}7\\times0{,}8=0{,}168$\n\nTương tự:\nB không trúng: $p_Aq_Bp_Cp_D=0{,}4\\times0{,}5\\times0{,}7\\times0{,}8=0{,}112$\n\nC không trúng: $p_Ap_Bq_Cp_D=0{,}4\\times0{,}5\\times0{,}3\\times0{,}8=0{,}048$\n\nD không trúng: $p_Ap_Bp_Cq_D=0{,}4\\times0{,}5\\times0{,}7\\times0{,}2=0{,}028$\n\nTổng xác suất: $0{,}168+0{,}112+0{,}048+0{,}028=0{,}356$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Xác suất để có nhiều nhất hai vận động viên bắn trúng vòng 10 là 0,532.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình ảnh tấm bia với vòng 10.\n\nXác suất trúng vòng 10: $p_A=0{,}4,p_B=0{,}5,p_C=0{,}7,p_D=0{,}8$; không trúng: $q_A=0{,}6,q_B=0{,}5,q_C=0{,}3,q_D=0{,}2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất có nhiều nhất hai vận động viên bắn trúng vòng 10 (0, 1 hoặc 2 trúng).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n$P_0=q_Aq_Bq_Cq_D=0{,}6\\times0{,}5\\times0{,}3\\times0{,}2=0{,}018$\n\n$P_1=0{,}012+0{,}018+0{,}042+0{,}072=0{,}144$\n\n$P_2=\n0{,}012+0{,}028+0{,}048+0{,}042+0{,}072+0{,}168=0{,}370$\n\nTổng: $P_0+P_1+P_2=0{,}018+0{,}144+0{,}370=0{,}532$.\n\nKết luận: Đúng"}],"chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"bài tập cuối chương viii","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 8","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1; -1; 2)$, mặt phẳng $(\\alpha): x + 2y + 1 = 0$ và đường thẳng $\\Delta: \\begin{cases} x = 3t \\\\ y = 1 + 2t~(t \\in \\mathbb{R}) \\\\ z = -2 + t \\end{cases}$","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"686acc72f0450c003bd641b1","statements":[{"label":"A","text":"Điểm $A(1; -1; 2)$ là một điểm thuộc mặt phẳng $(\\alpha)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(1; -1; 2)$\n\nMặt phẳng $(\\alpha): x + 2y + 1 = 0$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra xem điểm A có thuộc mặt phẳng $(\\alpha)$ không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThay tọa độ của A vào phương trình mặt phẳng:\n$1 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$\n\nVì biểu thức bằng 0, nên A thuộc mặt phẳng $(\\alpha)$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(1; -1; 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\\alpha)$ là $\\begin{cases} x = 1 + t \\\\ y = -1 + 2t~(t \\in \\mathbb{R}) \\\\ z = 2 + t \\end{cases}$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(1; -1; 2)$\n\nMặt phẳng $(\\alpha): x + 2y + 1 = 0$ có vector pháp tuyến $\\mathbf{n} = (1,2,0)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $(\\alpha)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐường thẳng vuông góc với $(\\alpha)$ phải có véctơ chỉ phương song song với pháp tuyến: $\\mathbf{v} = (1,2,0)$\n\nPhương trình tham số của đường thẳng qua A: $x = 1 + t,\\ y = -1 + 2t,\\ z = 2$.\n\nBài cho $z = 2 + t$, tức véctơ chỉ phương là $(1,2,1)$, không song song với $(1,2,0)$.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Mặt phẳng chứa điểm $A(1; -1; 2)$ và chứa đường thẳng $\\Delta$ có phương trình là $10x - 11y - 8z - 5 = 0$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(1; -1; 2)$\n\nĐường thẳng $\\Delta$ phương trình $x=3t, y=1+2t, z=-2+t$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm phương trình mặt phẳng chứa điểm A và chứa đường thẳng $\\Delta$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVector chỉ phương của $\\Delta$ là $\\mathbf{u}=(3,2,1)$.\n\nChọn điểm $M$ trên $\\Delta$ (ví dụ $t=0$): $M(0,1,-2)$.\n\nVector $\\overrightarrow{MA} = A - M = (1,-2,4)$.\n\nPháp tuyến của mặt phẳng: $\\mathbf{n} = \\mathbf{u} \\times \\overrightarrow{MA} = (10,-11,-8)$.\n\nPhương trình mặt phẳng:\n$10(x-0) -11(y-1) -8(z+2) = 0$\n$\\Rightarrow 10x -11y -8z -5 = 0$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Cosin của góc giữa đường thẳng $\\Delta$ và mặt phẳng $(\\alpha)$ bằng $\\dfrac{\\sqrt{70}}{10}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐường thẳng $\\Delta$ có vector chỉ phương $\\mathbf{u}=(3,2,1)$.\n\nMặt phẳng $(\\alpha)$ có pháp tuyến $\\mathbf{n}=(1,2,0)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính cosin của góc giữa đường thẳng $\\Delta$ và mặt phẳng $(\\alpha)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGóc giữa đường thẳng và pháp tuyến mặt phẳng:\n$\\cos\\theta = \\frac{|\\mathbf{u}\\cdot \\mathbf{n}|}{\\|\\mathbf{u}\\|\\|\\mathbf{n}\\|}\n = \\frac{|3+4+0|}{\\sqrt{14}\\sqrt{5}}\n = \\frac{7}{\\sqrt{70}}\n = \\frac{\\sqrt{70}}{10}.$ \n\nGóc giữa đường thẳng và mặt phẳng là $90^\\circ - \\theta$, nên\n$\\cos(\\text{góc LP}) = \\sin\\theta = \\sqrt{1 - \\left(\\frac{\\sqrt{70}}{10}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{10}} \\ne \\frac{\\sqrt{70}}{10}.$\n\nKết luận: Sai"}],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^\\circ$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $AD$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686acc72f0450c003bd641b2","correctAnswer":"1,73","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2$. \n\n$SA\\perp (ABCD)$. \n\nGóc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^\\circ$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $AD$. \n\nCần dựng hệ toạ độ không gian, tìm toạ độ các điểm, rồi sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1. Đặt hệ toạ độ $Oxyz$ sao cho \n$A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(2,2,0)$, $D(0,2,0)$, và do $SA\\perp (ABCD)$ nên $S(0,0,h)$. \n\nBước 2. Xét tam giác vuông $SAB$ (vuông tại $A$). \nGóc giữa $SB$ và mặt phẳng là góc giữa $SB$ và hình chiếu của nó lên đáy, tức góc $\\angle ABS=60^\\circ$. \nVậy $S(0,0,2\\sqrt3)$. \n\nBước 3. Viết vectơ chỉ phương: \n\nBước 4. Chọn $P=S(0,0,2\\sqrt3)$ trên $SC$, $Q=A(0,0,0)$ trên $AD$. Khi đó \n\nBước 5. Tính độ lớn và tích hỗn hợp: \n\nBước 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là \n\n✅ Đáp án: 1,73","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-10-tinh-gia-lai-2025-co-dap-an/17_2025-11-04040456.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"khoảng cách","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":18,"text":"Một nhân viên của thư viện tỉnh muốn lập kế hoạch giới thiệu nội dung chương trình “Kết nối bạn đọc yêu sách 2025” đến bốn trường học trong khu vực lân cận. Độ dài quãng đường giữa các địa điểm (đơn vị: kilômét) được mô tả trong hình vẽ sau:\nNgười nhân viên đó muốn xuất phát từ thư viện tỉnh và phải đi thăm cả bốn trường, mỗi trường chỉ đến đúng một lần, rồi quay trở về thư viện tỉnh. Tổng độ dài quãng đường đi (đơn vị: kilômét) thỏa mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686acc72f0450c003bd641b2","correctAnswer":"17","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nĐồ thị gồm 5 điểm: Thư viện tỉnh (L), Trường A, Trường B, Trường C, Trường D. \n\nCác độ dài giữa các cặp điểm: \n• L–D = 4 • L–A = 3 • L–B = 2 \n• D–C = 2 • D–B = 3 \n• C–B = 5 • C–A = 7 \n• A–B = 4 \n\nYêu cầu: Xuất phát từ L, thăm hết 4 trường (mỗi trường đúng một lần), rồi quay về L; tìm tổng quãng đường nhỏ nhất.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nTìm một chu trình Hamilton bắt đầu và kết thúc tại L, đi qua các đỉnh A, B, C, D mỗi đỉnh một lần. \n\nChỉ dùng các cạnh đã cho (không có cạnh L–C và D–A). \n\nTính tổng độ dài và chọn giá trị nhỏ nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nBước 1: Liệt kê các chu trình khả thi (loại bỏ những chu trình chứa cạnh không tồn tại L–C hoặc D–A). \n\nBước 2: Tính tổng độ dài của mỗi chu trình còn lại: \n• L → A → C → D → B → L: \n [3 + 7 + 2 + 3 + 2 = 17] \n• L → B → D → C → A → L: \n [2 + 3 + 2 + 7 + 3 = 17] \n• Các phương án khác đều cho kết quả ≥ 18. \n\nBước 3: Chọn chu trình có tổng quãng đường nhỏ nhất.\n\n✅ Đáp án: 17 (kilômét)","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-10-tinh-gia-lai-2025-co-dap-an/1pDQ8WSi33Z7ajirUcXTGXv-cGlxpcPz3_2025-07-06192012.png"],"chapter":"chuyên đề 2. làm quen với một vài khái niệm của lí thuyết đồ thị","topic":"bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài toán tìm đường đi ngắn nhất","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Một công ty xổ số kiến thiết phát hành loại vé số có 6 chữ số được lập từ tập hợp $X = \\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\\}$. Ông An chọn mua ngẫu nhiên một tờ vé số của công ty này. Tính xác suất để ông An mua được vé số luôn có mặt cả hai chữ số $3$ và $8$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686acc72f0450c003bd641b2","correctAnswer":"0,2","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nTập chữ số: $X = \\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\\}$ \n\nMỗi vé số có 6 chữ số (được lập từ $X$) \n\nLấy ngẫu nhiên một vé số \n\nYêu cầu tìm xác suất vé đó có cả chữ số 3 và chữ số 8 \n\nKết quả làm tròn đến hàng phần chục (một chữ số thập phân)\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nBiến cố cần xét: vé số chứa ít nhất một chữ số 3 và ít nhất một chữ số 8. \n\nSử dụng quy tắc đếm để tìm số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả, rồi chia lấy xác suất. \n\nÁp dụng quy tắc bù và quy tắc bao hàm (inclusion–exclusion).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nTổng số vé số (không phân biệt thứ tự các chữ số): \n$N_{\\text{total}} = 10^6.$ \n\nGọi $A$ là biến cố “vé không chứa chữ số 3”: \n$N(A) = 9^6$ \n\nGọi $B$ là biến cố “vé không chứa chữ số 8”: \n$N(B) = 9^6$ \n\nBiến cố $A\\cap B$: vé không chứa cả 3 và 8 (chỉ chọn từ 8 chữ số còn lại): \n$N(A\\cap B) = 8^6$ \n\nSố vé chứa cả chữ số 3 và 8 theo công thức bao hàm: \n$N_{\\text{có 3 và 8}}\n = N_{\\text{total}} - N(A) - N(B) + N(A\\cap B)\n = 10^6 - 2\\cdot9^6 + 8^6.$ \n\nDo đó xác suất: \n$P = \\frac{10^6 - 2\\cdot9^6 + 8^6}{10^6}\n\\approx 0{,}199262\n\\approx 0{,}2\\quad(\\text{làm tròn đến hàng phần chục}).$\n\n✅ Đáp án: 0,2","chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"bài tập cuối chương viii","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 8","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Một showroom ô tô trung bình bán được 45 ô tô loại A mỗi quý với giá $1{,}299$ tỷ đồng một xe. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 200 triệu đồng, số lượng ô tô loại A đó bán ra sẽ tăng thêm khoảng 20 xe mỗi quý. Biết rằng hàm chi phí hàng quý là $C(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}085x^2 + 1{,}437x + 0{,}3$ (tỷ đồng), trong đó $x$ là số ô tô bán ra trong một quý. Nhà sản xuất nên đặt giá bán (đơn vị tỷ đồng) như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686acc72f0450c003bd641b2","correctAnswer":"1,23","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGiá bán hiện tại: 1,299 tỷ đồng/xe, số lượng bán: 45 xe/quý. \n\nGiảm giá 0,2 tỷ đồng thì số xe bán được tăng thêm 20 xe/quý. \n\nHàm chi phí hàng quý: $C(x)=0{,}001x^3-0{,}085x^2+1{,}437x+0{,}3\\quad(\\text{tỷ đồng}),$ \ntrong đó $x$ là số ô tô bán ra.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm giá bán $p$ sao cho lợi nhuận $K$ đạt cực đại. \n\nÁp dụng khái niệm: \n• Doanh thu $R(x)$ = giá bán $\\times$ số lượng. \n• Lợi nhuận $K(x)=R(x)-C(x)$. \n• Quan hệ giữa giá và số lượng là hàm cầu tuyến tính.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXây dựng hàm cầu tuyến tính dạng $x = ap + b$: \n• Từ dữ kiện $\\Delta x=+20,\\;\\Delta p=-0{,}2$: \n $a=\\frac{\\Delta x}{\\Delta p}=\\frac{20}{-0,2}=-100.$ \n• Khi $p=1{,}299,\\;x=45$: \n $45=-100\\cdot1{,}299+b\\ \\Rightarrow\\ b=174{,}9.$ \n• Vậy \n $x=-100p+174{,}9\\quad\\Rightarrow\\quad p=1{,}749-0{,}01x.$\n\nTính doanh thu: \n$R(x)=x\\cdot p(x)=x(1{,}749-0{,}01x)=1{,}749x-0{,}01x^2.$\n\nViết biểu thức lợi nhuận: \n$K(x)=R(x)-C(x)=-0{,}001x^3+0{,}075x^2+0{,}312x-0{,}3.$\n\nTìm cực trị bằng đạo hàm: \n$K'(x)=-0{,}003x^2+0{,}15x+0{,}312=0 \n\\ \\Rightarrow\\ x=52\\quad(\\text{loại nghiệm âm}).$\n\nTính giá bán tối ưu: \n$p=1{,}749-0{,}01\\cdot52=1{,}229\\approx1{,}23\\ (\\text{tỷ đồng}).$\n\n✅ Đáp án: 1,23 tỷ đồng","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":21,"text":"Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $4$ dm, trong đó $(H)$ là phần được tô màu đậm có đường biên cong là một phần của parabol $(P)$. Biết rằng khoảng cách từ đỉnh của $(P)$ đến hai đường thẳng $AB, BC$ lần lượt là 2 dm và 1 dm, đồng thời $(P)$ đi qua hai đỉnh $A$ và $D$ của hình vuông (xem hình minh họa). \nNgười ta cần sản xuất một sản phẩm là vật thể tròn xoay sinh ra khi quay $(H)$ quanh đường thẳng $BC$. Hỏi thể tích vật thể đó là bao nhiêu đề-xi-mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686acc72f0450c003bd641b2","correctAnswer":"60,3","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nHình vuông $ABCD$ cạnh $4\\text{ dm}$. \n\nParabol $(P)$ đi qua hai đỉnh $A$ và $D$, đỉnh cách hai đường thẳng $AB$ và $BC$ lần lượt $2\\text{ dm}$ và $1\\text{ dm}$. \n\nMiền $H$ là phần nằm giữa đường thẳng $BC$ (là trục quay) và parabol $(P)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nTính thể tích vật thể tạo thành khi quay miền $H$ quanh đường thẳng $BC$. \n\nCần áp dụng công thức tích phân cho vật thể tròn xoay: \n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nBước 1: Chọn hệ trục: đặt $BC$ trùng trục $Ox$, $AB$ trùng trục $Oy$. Khi đó \n$B(0,0),\\;C(4,0),\\;A(0,4),\\;D(4,4).$ \n\nBước 2: Đỉnh parabol cách $AB$ (trục $Oy$) là $2\\implies x_0=2$, cách $BC$ (trục $Ox$) là $1\\implies y_0=1$. Vậy đỉnh $I(2,1).$ \n\nBước 3: Phương trình tổng quát: \n\nThay điểm $A(0,4)$: \n\nDo đó \n\nBước 4: Miền $H$ là \n\nQuay quanh $BC$ (trục $Ox$) cho thể tích \n\nBước 5: Tính bình phương và tích phân: \n\nBước 6: Kết luận \n\n✅ Đáp án: 60,3 dm³","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-10-tinh-gia-lai-2025-co-dap-an/21_2025-11-04040510.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-10-tinh-gia-lai-2025-co-dap-an/18iyfzZ0rzEsMaMxFbAd8csgPPkGsTe1k_2025-07-06192012.png"],"chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"ứng dụng hình học của tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Một cái bể nuôi cá có dạng hình hộp chữ nhật và chứa đầy nước. Bạn Nam vô tình làm rơi viên bi dạng hình cầu vào trong bể nuôi cá. Khi đó, lượng nước trong bể tràn ra ngoài. Để tính lượng nước tràn ra ngoài, bạn Nam làm như sau:\nLấy cây thước thẳng, tiến hành di chuyển viên bi vào trong góc, sao cho viên bi tiếp xúc với mặt đáy và hai thành của bể nuôi cá. Bạn Nam tiến lại vị trí đỉnh của hình hộp chữ nhật gần với viên bi nhất và tiến hành đo: Chiều cao của bể là $35~\\text{cm}$. Tại vị trí đứng của Nam, đo từ đỉnh cao nhất của hình hộp chữ nhật đến điểm cao nhất của viên bi so với đáy bể là $33{,}5~\\text{cm}$. Biết thể tích của viên bi không vượt quá $4~\\text{cm}^3$. (Hình vẽ minh họa bên dưới với $A'E = 33{,}5~\\text{cm}$).\nBạn hãy thay Nam, tính thể tích (đơn vị: xăng-ti-mét khối) của lượng nước tràn ra ngoài. (Bán kính viên bi và lượng nước tràn ra ngoài làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"686acc72f0450c003bd641b2","correctAnswer":"1,84","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChiều cao hộp chữ nhật (h) = 35 cm. \n\nViên bi tiếp xúc với mặt đáy và hai thành bên của hộp. \n\nKhoảng cách từ đỉnh A' đến điểm cao nhất E của viên bi: $A'E = 33{,}5\\ \\text{cm}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhải tính thể tích nước tràn ra ngoài = thể tích viên bi. \n\nCần tìm bán kính $r$ của viên bi từ hai số đo cho trước. \n\nÁp dụng công thức khoảng cách trong không gian và công thức thể tích hình cầu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi O là giao của ba mặt đáy (z=0) và hai thành bên (x=0, y=0). \n\nVì viên bi tiếp xúc với ba mặt phẳng đó, tâm C có tọa độ $(r,r,r)$. \n\nĐỉnh trên tương ứng là $A'(0,0,35)$, điểm cao nhất của bi $E(r,r,2r)$. \n\nViết công thức khoảng cách:\n\nGiải phương trình:\n\n $2r^2+(2r-35)^2=(33,5)^2\\;\\Longrightarrow\\;6r^2-140r+102,75=0\\;\\Longrightarrow\\;r\\approx0,76\\text{cm}.$\n\nTính thể tích viên bi (tức thể tích nước tràn ra): $V=\\frac{4}{3}\\pi r^3\\approx\\frac{4}{3}\\pi(0,76)^3\\approx1,84\\text{cm}^3.$\n\n✅ Đáp án: 1,84","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-10-tinh-gia-lai-2025-co-dap-an/1K3Q_UvsCBqAf84hewt3-zFQcE9qdHKKE_2025-07-06192012.png"],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"vận dụng cao"}]}