{"title":"Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2025 - Lần 2","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2025,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"687f0fe58e58e040efe7dd50","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"687f0fe58e58e040efe7dd51","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"687f0fe58e58e040efe7dd52","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 + z^2 = 9$. Đường kính của mặt cầu $(S)$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"9","correct":false,"reason":"Số $9$ là giá trị của $R^2$ (bình phương bán kính) trong phương trình mặt cầu, không phải đường kính. Đường kính phải được tính là $2R$."},{"label":"B","text":"18","correct":false,"reason":"Số $18$ là kết quả sai khi nhầm lẫn công thức tính đường kính thành $2R^2 = 2 \\times 9$, trong khi đúng ra phải là $2R = 2\\sqrt{9} = 6$."},{"label":"C","text":"6","correct":true,"reason":"Từ phương trình $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 + z^2 = 9$ ta có $R^2 = 9$ nên bán kính $R = 3$. Do đó đường kính của mặt cầu là $d = 2R = 6$."},{"label":"D","text":"3","correct":false,"reason":"Số $3$ chính là giá trị bán kính $R = \\sqrt{9}$ của mặt cầu, nhưng đề bài yêu cầu tính đường kính nên phải lấy $2R = 6$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình mặt cầu: $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 + z^2 = 9$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tìm đường kính của mặt cầu.\n\nÁp dụng công thức tổng quát của mặt cầu $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ để xác định bán kính và từ đó tính đường kính.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nSo sánh với dạng tổng quát, ta có:\n$x_0 = 1,\\quad y_0 = -4,\\quad z_0 = 0,\\quad R^2 = 9.$\n\nBán kính của mặt cầu là:\n$r = \\sqrt{R^2} = \\sqrt{9} = 3.$\n\nĐường kính của mặt cầu là:\n$d = 2r = 2 \\times 3 = 6.$\n\n✅ Đáp án: $6$\n❌ Các đáp án khác:\n9: là giá trị của $R^2$, không phải đường kính. \n\n18: gấp 3 lần đường kính thực, không đúng. \n\n3: là bán kính chứ không phải đường kính.","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt cầu","grade":"GRADE_12","questionCategory":"phương trình mặt cầu","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Cho hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình bên và $a,b,c,d$ là các số thực. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"$a + d > 0$","correct":false},{"label":"B","text":"$a + d < 0$","correct":true},{"label":"C","text":"$ad > 0$","correct":false},{"label":"D","text":"$ad < 0$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. \n\nĐồ thị bậc ba có điểm cực tiểu tại $(-1;-2)$ và cực đại tại $(1;2)$. \n\nĐồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$. \n\nCác khẳng định cần xét: \n$a+d>0$ \n\n$a+d<0$ \n\n$ad>0$ \n\n$ad<0$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định hệ số $a,b,c,d$ từ các đặc điểm của đồ thị. \n\nTừ đó tính giá trị và dấu của biểu thức $a+d$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ điểm $O(0;0)$ suy ra \n$f(0)=d=0$ ⇒ d = 0. \n\nViết đạo hàm: \nTại cực đại $x=1$: \n\nTại cực tiểu $x=-1$: \nTrừ hai phương trình: $4b=0$ ⇒ b = 0. \nThay $b=0$ vào $3a+2b+c=0$ ⇒ $3a+c=0$ ⇒ c = –3a.\n\nDùng giá trị cực đại tại $x=1$: \n⇒ a = –1. \n(Kiểm tra thêm tại $x=-1$: $f(-1)=2a=-2$ khớp.) \n\nKết luận: \n\n✅ Đáp án: $a + d < 0$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $a + d > 0$: Sai, vì $a+d=-1$. \n\nC. $ad > 0$: Sai, vì $ad=(-1)\\cdot0=0$, không lớn hơn 0. \n\nD. $ad < 0$: Sai, vì $ad=0$, không nhỏ hơn 0.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-thanh-hoa-2025-lan-2-co-dap-an/1HGUOSfuUh8d0SJCqLYE5aoMxHf3q_qYQ_2025-07-22041318.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba","difficulty":"thông hiểu"},{"id":3,"text":"Tập nghiệm của bất phương trình $2^{3x - 7} < 4$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"$(-\\infty; 1)$","correct":false,"reason":"Sai do lỗi tính toán khi giải $3x - 7 < 2$, có thể nhầm thành $3x < 3$ hoặc $3x - 7 < -4$ dẫn đến $x < 1$ thay vì $x < 3$."},{"label":"B","text":"$(3; +\\infty)$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm chiều bất phương trình, có thể do áp dụng sai tính chất nghịch biến của hàm số mũ khi $0 < a < 1$ hoặc giải $3x - 7 > 2$ thay vì $<$."},{"label":"C","text":"$(0; +\\infty)$","correct":false,"reason":"Sai do không phản ánh đúng quá trình giải toán, có thể là phỏng đoán hoặc nhầm lẫn với điều kiện của biểu thức lôgarit (yêu cầu đối số dương)."},{"label":"D","text":"$(-\\infty; 3)$","correct":true,"reason":"Đúng vì $4 = 2^2$, bất phương trình tương đương $2^{3x-7} < 2^2$. Do cơ số $2 > 1$ nên hàm số đồng biến, suy ra $3x-7 < 2$ tức $x < 3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBất phương trình mũ dạng $2^{3x - 7} < 4$ với cơ số $a = 2 > 1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định tập nghiệm của bất phương trình mũ. Cần áp dụng kiến thức về tính đồng biến của hàm số mũ $y = a^x$ khi $a > 1$: nếu $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ thì tương đương với $f(x) < g(x)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Biến đổi vế phải về cùng cơ số với vế trái:\n$$4 = 2^2$$\n\nBước 2: Thay vào bất phương trình ta được:\n$$2^{3x - 7} < 2^2$$\n\nBước 3: Vì cơ số $2 > 1$ nên hàm số mũ đồng biến trên $\\mathbb{R}$. Do đó:\n$$3x - 7 < 2$$\n\nBước 4: Giải bất phương trình bậc nhất:\n$$3x < 9$$\n$$x < 3$$\n\nBước 5: Kết luận tập nghiệm là:\n$$S = (-\\infty; 3)$$\n\n✅ Đáp án: D\n\n❌ Các đáp án khác:\n- **A. $(-\\infty; 1)$**: Sai do lỗi tính toán khi giải $3x - 7 < 2$ thành $x < 1$ (có thể do nhầm $3x < -5$ hoặc chia sai).\n- **B. $(3; +\\infty)$**: Sai do nhầm chiều của bất phương trình (lấy $3x - 7 > 2$ thay vì $<$), hoặc nhầm tính chất nghịch biến của hàm số mũ khi $0 < a < 1$.\n- **C. $(0; +\\infty)$**: Sai do không phản ánh đúng quá trình giải toán học, có thể là phỏng đoán hoặc nhầm lẫn với điều kiện của biểu thức lôgarit.","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bất phương trình lôgarit","difficulty":"thông hiểu"},{"id":4,"text":"Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(1; 3; -2)$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"2","correct":true,"reason":"Khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ (phương trình $z=0$) bằng $|z_0|$. Thay số ta được $|-2|=2$."},{"label":"B","text":"$\\sqrt{14}$","correct":false,"reason":"$\\sqrt{14}$ là khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến điểm $A$, tính theo công thức $\\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$, không phải khoảng cách đến mặt phẳng $(Oxy)$."},{"label":"C","text":"3","correct":false,"reason":"$3$ là giá trị tuyệt đối của tung độ $|y_0|$, trong khi khoảng cách đến $(Oxy)$ phụ thuộc vào cao độ $|z_0|$."},{"label":"D","text":"1","correct":false,"reason":"$1$ là giá trị tuyệt đối của hoành độ $|x_0|$, không phải khoảng cách $|z_0|=2$ đến mặt phẳng $(Oxy)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(1;3;-2)$ \n\nMặt phẳng $(Oxy)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(Oxy)$. \n\nÁp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định phương trình mặt phẳng $(Oxy)$: \nVậy $A=0,\\;B=0,\\;C=1,\\;D=0$.\n\nGọi tọa độ điểm $A$ là $(x_0,y_0,z_0)=(1,3,-2)$. \n\nCông thức khoảng cách từ điểm $(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ là \n$d \\;=\\;\n \\frac{\\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\\bigr|}{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$\n\nThay số vào: \n$d \\;=\\;\n \\frac{\\bigl|0\\cdot1 + 0\\cdot3 + 1\\cdot(-2) + 0\\bigr|}{\\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}}\n \\;=\\;\n \\frac{|{-2}|}{1}\n \\;=\\;2.$\n\n✅ Đáp án: $2$\n❌ Các đáp án khác:\n$\\sqrt{14}$: đây là khoảng cách từ gốc toạ độ đến $A$, không phải đến mặt phẳng. \n\n$3$: không khớp với $|z_0|$ của điểm $A$. \n\n$1$: kết quả không trùng với tính toán.","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"thông hiểu"},{"id":5,"text":"Cho hàm số $f(x) = x^2 + 4$. Khẳng định nào dưới đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"$\\int f(x)\\,dx = x^2 + 4x + C$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm lẫn giữa đạo hàm và nguyên hàm: nguyên hàm của $x^2$ phải là $\\frac{x^3}{3}$ chứ không phải $x^2$."},{"label":"B","text":"$\\int f(x)\\,dx = \\frac{x^3}{3} + 4x + C$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức $\\int x^n\\,dx = \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ suy ra $\\int x^2\\,dx = \\frac{x^3}{3}$ và $\\int 4\\,dx = 4x$."},{"label":"C","text":"$\\int f(x)\\,dx = x^3 + 4x + C$","correct":false,"reason":"Sai vì thiếu hệ số $\\frac{1}{3}$ khi tính nguyên hàm của $x^2$, đúng ra phải là $\\frac{x^3}{3}$ thay vì $x^3$."},{"label":"D","text":"$\\int f(x)\\,dx = 2x + C$","correct":false,"reason":"Sai hoàn toàn vì $2x$ là đạo hàm của $x^2$, trong khi nguyên hàm của $x^2+4$ phải chứa số hạng bậc 3 theo $x$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nHàm số $f(x)=x^2+4$. \n\nYêu cầu: Tìm nguyên hàm của $f(x)$, tức tính $\\displaystyle \\int f(x)\\,dx$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nCần áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: \n$\\displaystyle \\int x^n\\,dx = \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n\\neq -1$. \n\n$\\displaystyle \\int a\\,dx = ax + C$ với $a$ là hằng số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nChia hàm số thành hai phần để tích phân: \n$\\displaystyle \\int (x^2 + 4)\\,dx = \\int x^2\\,dx + \\int 4\\,dx.$ \n\nTính từng tích phân: \nVới $\\displaystyle \\int x^2\\,dx$: \n$\\displaystyle \\int x^2\\,dx = \\frac{x^{2+1}}{2+1} = \\frac{x^3}{3}.$ \n\nVới $\\displaystyle \\int 4\\,dx$: \n$\\displaystyle \\int 4\\,dx = 4x.$\n\nTổng hợp lại và thêm hằng số tích phân $C$: \n$\\displaystyle \\int f(x)\\,dx = \\frac{x^3}{3} + 4x + C.$\n\n✅ Đáp án: $\\frac{x^3}{3} + 4x + C$ \n❌ Các đáp án khác: \nA. $x^2 + 4x + C$ — Sai vì kết quả nguyên hàm của $x^2$ phải là $\\frac{x^3}{3}$, không phải $x^2$. \n\nC. $x^3 + 4x + C$ — Sai vì thiếu hệ số $\\frac{1}{3}$ khi tính $\\int x^2\\,dx$. \n\nD. $2x + C$ — Sai hoàn toàn, chỉ là nguyên hàm của hằng số $2$ chứ không phải của $x^2+4$.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"nguyên hàm","grade":"GRADE_12","questionCategory":"nguyên hàm của một hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":6,"text":"Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 3$ và $u_4 = 81$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"$3\\sqrt{3}$","correct":false,"reason":"Nếu $r = 3\\sqrt{3}$ thì $r^3 = (3\\sqrt{3})^3 = 81\\sqrt{3} \\neq 27$, do đó $u_4 = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} \\neq 81$."},{"label":"B","text":"$\\sqrt{3}$","correct":false,"reason":"Nếu $r = \\sqrt{3}$ thì $r^3 = 3\\sqrt{3}$, suy ra $u_4 = 3 \\cdot 3\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3} \\neq 81$."},{"label":"C","text":"$3\\sqrt[3]{3}$","correct":false,"reason":"Nếu $r = 3\\sqrt[3]{3}$ thì $r^3 = 27 \\cdot 3 = 81$, suy ra $u_4 = 3 \\cdot 81 = 243 \\neq 81$."},{"label":"D","text":"$3$","correct":true,"reason":"Theo công thức $u_4 = u_1 \\cdot r^3$ ta có $81 = 3r^3$, suy ra $r^3 = 27$ nên $r = 3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ \n\nSố hạng thứ 4 là $u_4 = 81$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm công bội $r$ của cấp số nhân \n\nÁp dụng công thức cấp số nhân $u_n = u_1 \\cdot r^{\\,n-1}$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo công thức với $n = 4$, ta có \n$u_4 = u_1 \\cdot r^{4-1}.$ \n\nThay giá trị đã cho vào: \n$81 = 3 \\cdot r^3.$ \n\nGiải phương trình để tìm $r^3$: \n$r^3 = \\frac{81}{3} = 27.$ \n\nLấy căn bậc ba: \n$r = \\sqrt[3]{27} = 3.$ \n\nVậy công bội của cấp số nhân đã cho là $3$.\n\n✅ Đáp án: $3$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $3\\sqrt{3}$: Khi đó $u_4 = 3\\cdot(3\\sqrt{3})^3 \\neq 81$. \n\nB. $\\sqrt{3}$: Khi đó $u_4 = 3\\cdot(\\sqrt{3})^3 = 3\\cdot3\\sqrt{3} \\neq 81$. \n\nC. $3\\sqrt[3]{3}$: Khi đó $u_4 = 3\\cdot(3\\sqrt[3]{3})^3 = 3\\cdot81 \\neq 81$.","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số nhân","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số nhân","difficulty":"thông hiểu"},{"id":7,"text":"Khảo sát thu nhập theo tháng của người lao động ở một công ty thu được mẫu số ghép nhóm như bảng sau. Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở công ty trên (đơn vị: triệu đồng)","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"$12{,}5$","correct":false,"reason":"Giá trị $12.5$ chỉ là giá trị giữa của khoảng $[11;14)$ (khoảng xuất hiện nhiều nhất) hoặc trung bình cộng không trọng số của các giá trị giữa, không phải là trung bình cộng có trọng số của toàn bộ mẫu."},{"label":"B","text":"$11{,}75$","correct":true,"reason":"Áp dụng công thức $\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i f_i}{\\sum f_i}$ với $x_i$ là giá trị giữa các khoảng và $f_i$ là tần số tương ứng, ta có $\\bar{x} = \\frac{6.5 \\cdot 30 + 9.5 \\cdot 55 + 12.5 \\cdot 45 + 15.5 \\cdot 30 + 18.5 \\cdot 20}{180} = 11.75$."},{"label":"C","text":"$11$","correct":false,"reason":"Có thể do nhầm lẫn khi tính trung vị hoặc lấy trung bình cộng của các đầu mút dưới $(5+8+11+14+17)/5 = 11$, không đúng với công thức tính trung bình cộng của số liệu ghép nhóm."},{"label":"D","text":"$10{,}5$","correct":false,"reason":"Sai do tính nhầm trung bình các giá trị đầu mút hoặc không áp dụng đúng trọng số tần số $f_i$ trong công thức tính trung bình."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTính mức thu nhập trung bình (đơn vị: triệu đồng) của người lao động dựa theo bảng tần số:\n30 người thu nhập khoảng $[5; 8)$\n\n55 người thu nhập khoảng $[8; 11)$\n\n45 người thu nhập khoảng $[11; 14)$\n\n50 người thu nhập khoảng $[14; 17)$\n\n20 người thu nhập khoảng $[17; 20)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính giá trị trung bình cộng của một bảng tần số có khoảng lớp.\n\nCần áp dụng kiến thức về thống kê, cụ thể là trung bình cộng của phân bố tần số ghép lớp:\nDùng công thức:\n$\\bar{x} = \\frac{\\sum{x_i \\cdot f_i}}{\\sum{f_i}}$\nvới $x_i$ là giá trị giữa của mỗi khoảng, $f_i$ là tần số tương ứng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm bằng máy tính cầm tay Casio FX - 580 VN/ Vinacal 680EX PLUS:\n👉🏻 Bước 1: Bật bảng thống kê\nNhấn SHIFT → MENU → Sử dụng phím ▼ để di chuyển đến mục Statistics → Chọn 3: Statistics → Chọn 1: On\n👉🏻 Bước 2: Vào chế độ thống kê\nNhấn MENU → Chọn 6: Statistics → Chọn 1: 1-Variable\n👉🏻 Bước 3: Nhập dữ liệu thống kê\nTính giá trị giữa các khoảng:\n$[5; 8)$: $\\frac{5+8}{2} = 6.5$\n\n$[8; 11)$: $\\frac{8+11}{2} = 9.5$\n\n$[11; 14)$: $\\frac{11+14}{2} = 12.5$\n\n$[14; 17)$: $\\frac{14+17}{2} = 15.5$\n\n$[17; 20)$: $\\frac{17+20}{2} = 18.5$\n\nNhập các giá trị:\nCột $x$: 6.5, 9.5, 12.5, 15.5, 18.5\n\nCột $\\text{Freq}$: 30, 55, 45, 50, 20\n\n👉🏻 Bước 4: Gọi kết quả thống kê\nNhấn OPTN → Chọn 3: 1-Variable Calc\nChọn giá trị: * $\\bar{x}$: Giá trị trung bình\n\n👉🏻 Bước 5: Đọc kết quả\n* $\\bar{x} = 11.75$\n✅ Đáp án: $11,75$\n❌ Các đáp án khác:\n12,5: Đây là giá trị giữa của khoảng lớp trung tâm, không phải trung bình cộng toàn bộ. Sai.\n\n11: Có thể do lấy trung điểm không chính xác hoặc sai công thức. Sai.\n\n10,5: Cũng sai do tính nhầm hoặc không dùng đủ dữ liệu. Sai.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-thanh-hoa-2025-lan-2-co-dap-an/11rxR7pyDIrBm_RRsQx9RCAzF9oa5waLY_2025-07-22041318.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm","difficulty":"thông hiểu"},{"id":8,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và $M$ là trung điểm của $CD$. Phát biểu nào sau đây là đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{SM} = \\frac{1}{2}(\\overrightarrow{SA} + \\overrightarrow{SB} + 2\\overrightarrow{SC})$","correct":false,"reason":"Phương án sai vì dấu trước $\\overrightarrow{SB}$ phải là \"$-$\" (do $\\overrightarrow{CD}=\\overrightarrow{BA}=\\overrightarrow{SA}-\\overrightarrow{SB}$), không phải \"$+$\"."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{SM} = \\frac{1}{2}(\\overrightarrow{SA} - \\overrightarrow{SB} + 2\\overrightarrow{SC})$","correct":true,"reason":"Phương án đúng vì $M$ là trung điểm $CD$ nên $\\overrightarrow{SM}=\\frac{1}{2}(\\overrightarrow{SC}+\\overrightarrow{SD})$, kết hợp $\\overrightarrow{SD}=\\overrightarrow{SA}-\\overrightarrow{SB}+\\overrightarrow{SC}$ (tính chất hình bình hành) suy ra biểu thức đúng."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{SM} = \\frac{1}{2}(\\overrightarrow{SA} + \\overrightarrow{SB} + \\overrightarrow{SC})$","correct":false,"reason":"Phương án sai vì thiếu hệ số $2$ cho $\\overrightarrow{SC}$ và dấu trước $\\overrightarrow{SB}$ phải là \"$-$\" thay vì \"$+$\"."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{SM} = \\frac{1}{2}(\\overrightarrow{SA} - \\overrightarrow{SB} - 2\\overrightarrow{SC})$","correct":false,"reason":"Phương án sai do dấu trước $2\\overrightarrow{SC}$ phải là \"$+$\", không phải \"$-$\"."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hình chóp $S.ABCD$ \n\nĐáy $ABCD$ là hình bình hành \n\n$M$ là trung điểm của $CD$ \n\nHỏi biểu thức nào đúng cho $\\overrightarrow{SM}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần biểu diễn $\\overrightarrow{SM}$ theo $\\overrightarrow{SA},\\overrightarrow{SB},\\overrightarrow{SC}$ \n\nÁp dụng tính chất trung điểm và tính chất hình bình hành\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét vectơ từ $S$ đến $M$: \n\nVì $M$ là trung điểm của $CD$ nên \n\nTrong hình bình hành $ABCD$ có $\\overrightarrow{CD}=\\overrightarrow{AB}$. Mà \n\nThay vào:\n\nSo sánh với các phương án, chỉ có phương án B đúng.\n\n✅ Đáp án: B. $\\overrightarrow{SM} = \\frac12\\bigl(\\overrightarrow{SA} - \\overrightarrow{SB} + 2\\,\\overrightarrow{SC}\\bigr)$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $\\tfrac12(\\overrightarrow{SA} + \\overrightarrow{SB} + 2\\overrightarrow{SC})$ – dấu trước $\\overrightarrow{SB}$ sai. \n\nC. $\\tfrac12(\\overrightarrow{SA} + \\overrightarrow{SB} + \\overrightarrow{SC})$ – thiếu hệ số 2 trước $\\overrightarrow{SC}$ và dấu sai trước $\\overrightarrow{SB}$. \n\nD. $\\tfrac12(\\overrightarrow{SA} - \\overrightarrow{SB} - 2\\overrightarrow{SC})$ – dấu trước $\\overrightarrow{SC}$ sai.","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian","difficulty":"thông hiểu"},{"id":9,"text":"Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều và $SA \\perp (ABC)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $BC$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"$BC \\perp SB$","correct":false,"reason":"$SB$ là đoạn thẳng nghiêng không nằm trong mặt phẳng vuông góc với $BC$; thực tế $\\triangle SBC$ cân tại $S$ (do $SB=SC$) nên $\\angle SBC$ nhọn, khác $90^\\circ$."},{"label":"B","text":"$BC \\perp SC$","correct":false,"reason":"$SC$ không vuông góc với $BC$ vì $\\triangle SBC$ cân tại $S$ với đáy $BC$, do đó $\\angle SCB < 90^\\circ$."},{"label":"C","text":"$BC \\perp AH$","correct":true,"reason":"Do $SA \\perp (ABC)$ và $SH \\perp BC$ (giả thiết), theo định lý ba đường vuông góc suy ra $AH \\perp BC$; hoặc $BC \\perp (SAH)$ nên $BC \\perp AH$."},{"label":"D","text":"$BC \\perp AC$","correct":false,"reason":"Trong tam giác đều $ABC$, $\\widehat{ACB} = 60^\\circ \\neq 90^\\circ$ nên $AC$ không vuông góc với $BC$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều. \n\n$SA\\perp (ABC)$. \n\n$H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên cạnh $BC$. \n\nHỏi khẳng định nào sau đây đúng?\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần xác định cặp đường thẳng nào vuông góc với nhau. \n\nÁp dụng tính chất: nếu $SA\\perp (ABC)$, thì việc hạ đường vuông góc từ $S$ xuống một đường thẳng trong mặt phẳng $(ABC)$ cho kết quả giống như hạ từ $A$. \n\nKết hợp với hình học tam giác đều để xác định ai vuông góc với $BC$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $SA\\perp (ABC)$, nên khi hạ hình chiếu vuông góc của $S$ lên cạnh $BC$, điểm $H$ cũng là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$. \n\nTrong tam giác đều $ABC$, đường thẳng $AH$ (đường cao) luôn vuông góc với đáy $BC$. \n\nDo đó ta kết luận được:\n\n✅ Đáp án: $BC \\perp AH$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $BC\\perp SB$: Sai, vì $SB$ không vuông góc với $BC$ (không phải là đường cao hoặc hình chiếu đặc biệt). \n\nB. $BC\\perp SC$: Sai, $SC$ nghiêng so với mặt đáy, không thể vuông góc với $BC$ trong không gian. \n\nD. $BC\\perp AC$: Sai, trong tam giác đều $ABC$, góc $\\widehat{ACB}=60^\\circ$, không phải $90^\\circ$.","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"hai đường thẳng vuông góc","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hai đường thẳng vuông góc","difficulty":"thông hiểu"},{"id":10,"text":"Nếu $\\int_{-2}^1f(x)\\,dx=6$ thì $\\int_{-2}^12+f(x)\\,dx$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"12","correct":true,"reason":"Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân, ta có $\\int_{-2}^1 [2+f(x)]\\,dx = \\int_{-2}^1 2\\,dx + \\int_{-2}^1 f(x)\\,dx = 2(1-(-2)) + 6 = 12$."},{"label":"B","text":"10","correct":false,"reason":"Sai do tính nhầm độ dài khoảng $[-2,1]$ là $2$ thay vì $3$, dẫn đến $\\int_{-2}^1 2\\,dx = 4$ và tổng $4+6=10$."},{"label":"C","text":"0","correct":false,"reason":"Sai vì đây là kết quả của phép trừ $6-6$, không phản ánh đúng công thức $\\int [f(x)+g(x)]\\,dx = \\int f(x)\\,dx + \\int g(x)\\,dx$."},{"label":"D","text":"6","correct":false,"reason":"Sai do bỏ qua thành phần $\\int_{-2}^1 2\\,dx = 6$, chỉ lấy giá trị $\\int_{-2}^1 f(x)\\,dx = 6$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBiết rằng $\\displaystyle \\int_{-2}^{1} f(x)\\,dx = 6.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính giá trị của $\\displaystyle \\int_{-2}^{1} \\bigl[2 + f(x)\\bigr]\\,dx$.\n\nCần áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân để tách thành hai tích phân riêng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo tính chất của tích phân, ta có \n$\\displaystyle \\int_{-2}^{1} [2 + f(x)]\\,dx \n = \\int_{-2}^{1} 2\\,dx \\;+\\; \\int_{-2}^{1} f(x)\\,dx.$\n\nTính tích phân của hàm hằng 2 trên khoảng $[-2,1]$: \n$\\displaystyle \\int_{-2}^{1} 2\\,dx \n = 2 \\times \\bigl(1 - (-2)\\bigr) \n = 2 \\times 3 \n = 6.$\n\nBiết $\\displaystyle \\int_{-2}^{1} f(x)\\,dx = 6,$ nên \n$\\displaystyle \\int_{-2}^{1} [2 + f(x)]\\,dx \n = 6 + 6 \n = 12.$\n\n✅ Đáp án: $12$\n❌ Các đáp án khác:\nB. 10: Sai vì nếu tính nhầm $\\int_{-2}^{1}2\\,dx$ là 4 thì tổng thành 4 + 6 = 10, không đúng với độ dài khoảng thực tế là 3. \n\nC. 0: Sai vì đây là kết quả của phép trừ 6 − 6, không liên quan đến tính chất tích phân của hằng số. \n\nD. 6: Sai vì bỏ qua phần tích phân của hàm hằng 2 trên khoảng $[-2,1]$.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính chất của tích phân","difficulty":"thông hiểu"},{"id":11,"text":"Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau.Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"3","correct":true,"reason":"Tại $x=2$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm (hàm đồng biến rồi nghịch biến) nên đây là điểm cực đại, giá trị cực đại là $f(2)=3$."},{"label":"B","text":"-2","correct":false,"reason":"$-2$ là hoành độ của điểm cực tiểu ($x=-2$), không phải giá trị cực đại của hàm số."},{"label":"C","text":"-1","correct":false,"reason":"$-1$ là giá trị cực tiểu của hàm số tại $x=-2$, không phải giá trị cực đại."},{"label":"D","text":"2","correct":false,"reason":"$2$ là hoành độ của điểm cực đại ($x=2$), còn giá trị cực đại là $f(2)=3$ chứ không phải $2$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng biến thiên của hàm số $f(x)$: \n$f'(x)<0$ trên $(-\\infty; -2)$, $f'(x)=0$ tại $x=-2$. \n\n$f'(x)>0$ trên $(-2; 2)$, $f'(x)=0$ tại $x=2$. \n\n$f'(x)<0$ trên $(2; +\\infty)$.\n\nGiá trị của hàm tại các điểm: \n$f(-2)=-1$ \n\n$f(2)=3$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị cực đại của hàm số dựa trên bảng biến thiên. \n\nCực đại là giá trị của hàm tại điểm mà hàm đồng biến trước và nghịch biến sau.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuan sát khoảng đồng biến và nghịch biến: \nTrên $(-2;2)$, $f'(x)>0$ ⇒ hàm đang đồng biến. \n\nTrên $(2;+\\infty)$, $f'(x)<0$ ⇒ hàm chuyển sang nghịch biến.\n\nVậy tại $x=2$ là điểm cực đại. \n\nLấy giá trị hàm tại đó: \n\n✅ Đáp án: $3$\n❌ Các đáp án khác:\nB. -2: Đây là hoành độ của điểm cực tiểu, không phải giá trị hàm. \n\nC. -1: Đây là giá trị tại điểm cực tiểu. \n\nD. 2: Đây là hoành độ của điểm cực đại, không phải giá trị hàm.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-thanh-hoa-2025-lan-2-co-dap-an/1DHwGb0EVdXlvlaQCy1UJmO6FabufotTq_2025-07-22041318.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cực trị của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Số nghiệm thuộc đoạn $[-\\pi; \\pi]$ của phương trình $\\sin 2x - 1 = 0$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd50","options":[{"label":"A","text":"1","correct":false},{"label":"B","text":"2","correct":true},{"label":"C","text":"3","correct":false},{"label":"D","text":"4","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình cần giải: $\\sin 2x - 1 = 0$ \n\nKhoảng nghiệm xét: $x \\in [-\\pi; \\pi]$ \n\nCác phương án số nghiệm: 1, 2, 3, 4\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm số nghiệm của phương trình trong đoạn đã cho. \n\nVận dụng kiến thức về nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChuyển vế và viết lại phương trình: \n$\\sin 2x - 1 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; \\sin 2x = 1.$\n\nÁp dụng công thức nghiệm tổng quát của $\\sin \\theta = 1$: \n$\\theta = \\frac{\\pi}{2} + 2k\\pi,\\quad k\\in\\mathbb{Z}.$\n\nVới $\\theta = 2x$, suy ra \n$2x = \\frac{\\pi}{2} + 2k\\pi \\;\\Longrightarrow\\; x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi,\\quad k\\in\\mathbb{Z}.$\n\nXét các giá trị k để $x$ thuộc $[-\\pi; \\pi]$:\nk = 0: $x = \\dfrac{\\pi}{4}$ (hợp lệ). \n\nk = -1: $x = \\dfrac{\\pi}{4} - \\pi = -\\dfrac{3\\pi}{4}$ (hợp lệ). \n\nk = 1: $x = \\dfrac{\\pi}{4} + \\pi = \\dfrac{5\\pi}{4} > \\pi$ (loại). \n\nk = -2: $x = \\dfrac{\\pi}{4} - 2\\pi = -\\dfrac{7\\pi}{4} < -\\pi$ (loại).\n\nKết luận: có đúng hai nghiệm là \n$x = -\\frac{3\\pi}{4}\\quad\\text{và}\\quad x = \\frac{\\pi}{4}.$\n\n✅ Đáp án: $2$\n❌ Các đáp án khác:\nA. 1: Sai vì có hai nghiệm chứ không chỉ một. \n\nC. 3: Sai vì chỉ tìm được hai nghiệm trong đoạn đã cho. \n\nD. 4: Sai vì không đủ bốn giá trị thỏa mãn.","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"phương trình lượng giác cơ bản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình sinx=m","difficulty":"thông hiểu"},{"id":13,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(6; -10; 3)$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0; 2; -3)$, bán kính bằng $2\\sqrt{6}$ và mặt phẳng $(\\alpha)$ có phương trình $x + y = 0$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd51","statements":[{"label":"A","text":"Điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm A(6; -10; 3).\n\nMặt cầu (S) có tâm I(0; 2; -3), bán kính R = 2√6.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định vị trí tương đối của điểm A so với mặt cầu (S).\n\nÁp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến tâm mặt cầu và so sánh với bán kính.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính khoảng cách IA:\n$IA = \\sqrt{(6-0)^2 + (-10-2)^2 + (3-(-3))^2} = \\sqrt{36 + 144 + 36} = \\sqrt{216} = 6\\sqrt{6}.$ \n\nSo sánh với bán kính R = $2\\sqrt{6}$: rõ ràng $6\\sqrt{6} > 2\\sqrt{6}$. \n\nDo đó, điểm A nằm ngoài mặt cầu (S).\n\nKết luận: Đúng."},{"label":"B","text":"Hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(\\alpha)$ là điểm $Q(8; -8; 3)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm A(6; -10; 3).\n\nMặt phẳng (α) có phương trình $x + y = 0$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm hình chiếu vuông góc Q của điểm A lên mặt phẳng (α).\n\nÁp dụng công thức chiếu điểm lên mặt phẳng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nMặt phẳng: $x + y = 0$, vectơ pháp tuyến $\\vec n = (1,1,0)$, $||\\vec n||^2 = 2$.\n\nCông thức hình chiếu:\n$Q = A - \\frac{\\vec n\\cdot A + d}{||\\vec n||^2}\\,\\vec n,\\quad d=0.$ \nTrong đó $\\vec n\\cdot A = 6 + (-10) + 0 = -4.$ \n\nDo đó:\n$Q = (6, -10, 3) - \\frac{-4}{2}(1,1,0) = (6, -10, 3) + (2,2,0) = (8, -8, 3).$\n\nKết luận: Đúng."},{"label":"C","text":"Khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $(\\alpha)$ bằng $2$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTâm I(0; 2; -3) của mặt cầu.\n\nMặt phẳng (α) có phương trình $x + y = 0$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (α).\n\nÁp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nMặt phẳng: $x + y = 0$, vectơ pháp tuyến $\\vec n = (1,1,0)$, d = 0.\n\nCông thức khoảng cách:\n$d\\bigl(I,(α)\\bigr) = \\frac{|\\vec n\\cdot I + d|}{||\\vec n||} = \\frac{|0 + 2 + 0|}{\\sqrt{1^2 + 1^2}} = \\frac{2}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{2}.$ \n\nKết quả không bằng 2.\n\nKết luận: Sai."},{"label":"D","text":"Mặt phẳng $(\\alpha)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo đường tròn $(C)$. Điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $A$ lớn nhất. Khi đó $MA = 6\\sqrt{10}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMặt cầu (S): tâm I(0; 2; -3), R = 2√6.\n\nMặt phẳng (α): $x + y = 0$, giao với (S) cho đường tròn (C).\n\nĐiểm A(6; -10; 3).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định tâm và bán kính đường tròn (C).\n\nTìm điểm M trên (C) sao cho MA lớn nhất và tính MA.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTâm O của (C) là hình chiếu I' của I lên (α):\n$I' = I - \\frac{\\vec n\\cdot I}{||\\vec n||^2}\\,\\vec n = (0,2,-3) - \\frac{2}{2}(1,1,0) = (-1,1,-3).$\n\nKhoảng cách từ I đến (α): $d = \\sqrt{2}$, bán kính đường tròn:\n$r_C = \\sqrt{R^2 - d^2} = \\sqrt{24 - 2} = \\sqrt{22}.$ \n\nKhoảng cách từ A đến O:\n$AO = \\sqrt{(6 + 1)^2 + (-10 - 1)^2 + (3 + 3)^2} = \\sqrt{206}.$ \n\nTrên đường tròn, MA đạt cực đại khi M là điểm đối xứng của A qua tâm O, nên\n$MA_{\\max} = AO + r_C = \\sqrt{206} + \\sqrt{22} = 6\\sqrt{10}.$ \n\nVậy kết quả đúng bằng $6\\sqrt{10}$.\n\nKết luận: Đúng."}]},{"id":14,"text":"Thành nhà Hồ nằm trên địa phận huyện Vĩnh Lộc, tỉnh Thanh Hóa được UNESCO công nhận là di sản văn hóa thế giới vào ngày 27/6/2011. Thành có bốn cổng xây bằng đá ở bốn phía Nam–Bắc–Tây–Đông (Tiền–Hậu–Tả–Hữu), trong đó phía Nam gồm 3 cửa (như hình bên), mỗi phía còn lại chỉ có một cửa, các cửa thành được xây kiểu vòm cuốn. Trong một buổi trải nghiệm, một nhóm học sinh thực nghiệm đo đạc cửa chính giữa của cổng phía Nam để tính diện tích phần cửa gỗ và thu được các kết quả sau:\nBề rộng của cửa dưới mặt đất là $5{,}82\\,m$, hai bên mép cửa (coi như vuông góc với mặt đất) có độ cao $2{,}25\\,m$. Vòm cửa cong theo dáng của một Parabol có đỉnh là đỉnh cửa. Chiều cao từ mặt đất đến mặt trên của thành là $9{,}5\\,m$, khoảng cách từ đỉnh cửa đến mặt trên của thành là $3{,}75\\,m$. Nhóm học sinh chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ là điểm chính giữa đoạn thẳng nối hai chân cửa, trục $Ox$ đi qua hai chân cửa, tia $Oy$ hướng lên trên và đi qua đỉnh cửa, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $1\\,m$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd51","statements":[{"label":"A","text":"Chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cửa là $5{,}75\\,m$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBề rộng cửa dưới mặt đất: $5{,}82\\,\\mathrm{m}$.\n\nĐộ cao hai bên mép cửa (phần thẳng): $2{,}25\\,\\mathrm{m}$.\n\nChiều cao từ mặt đất đến mặt trên thành: $9{,}5\\,\\mathrm{m}$.\n\nKhoảng cách từ đỉnh cửa đến mặt trên thành: $3{,}75\\,\\mathrm{m}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cửa.\n\nPhải áp dụng phép trừ chiều cao thành và khoảng cách từ đỉnh cửa đến thành.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChiều cao từ mặt đất đến đỉnh cửa bằng chiều cao toàn thành trừ khoảng cách từ đỉnh cửa đến mặt trên thành.\n\nTính:\n$9{,}5 - 3{,}75 = 5{,}75\\,\\mathrm{(m)}.$\n\nKết luận: Đúng."},{"label":"B","text":"Với hệ trục tọa độ $Oxy$ đã chọn, đỉnh cửa là điểm $I(0; 3{,}75)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc tọa độ nằm chính giữa hai chân cửa, trục $Ox$ ngang, trục $Oy$ hướng lên và đi qua đỉnh cửa.\n\nChiều cao từ mặt đất đến đỉnh cửa đã tính được là $5{,}75\\,\\mathrm{m}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định tọa độ đỉnh cửa theo hệ trục đã chọn.\n\nPhải biết rằng hoành độ đỉnh là $x=0$ và tung độ đỉnh chính bằng chiều cao đỉnh cửa.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì đỉnh cửa nằm chính giữa hai chân nên $x=0$.\n\nTung độ $y$ của đỉnh chính bằng chiều cao từ mặt đất đến đỉnh: $5{,}75$.\n\nDo đó đỉnh cửa là điểm $I(0;5{,}75)$, không phải $(0;3{,}75)$.\n\nKết luận: Sai."},{"label":"C","text":"Với hệ trục tọa độ $Oxy$ đã chọn, vòm cửa là một phần của đồ thị hàm số $y = -\\frac{7}{5{,}82}x^2 + 5{,}75$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBề ngang cửa: $5{,}82\\,\\mathrm{m}$, nửa bề ngang là $\\tfrac{5{,}82}{2}=2{,}91\\,\\mathrm{m}$.\n\nVòm cửa là một phần của parabol có đỉnh tại $(0;5{,}75)$ và chân vòm tại độ cao $y=2{,}25\\,\\mathrm{m}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nViết phương trình parabol mô tả vòm cửa.\n\nPhải xác định hệ số $a$ sao cho parabol đi qua chân vòm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiả sử parabol có dạng $y = a x^2 + 5{,}75$.\n\nĐiểm chân vòm: $(\\pm2{,}91;2{,}25)$, thay vào:\n$2{,}25 = a\\,(2{,}91)^2 + 5{,}75 \\quad\\Longrightarrow\\quad a = \\frac{2{,}25 - 5{,}75}{(2{,}91)^2} = -0{,}4135\\,.$ \n\nVậy phương trình đúng là:\n$y = -0{,}4135\\,x^2 + 5{,}75,$\nkhông phải $y = -\\tfrac{7}{5{,}82}x^2 + 5{,}75\\,.$\n\nKết luận: Sai."},{"label":"D","text":"Trước đây, ở mỗi cửa có cánh cửa làm bằng gỗ, khi khép lại thì cửa được đóng kín. Diện tích cửa gỗ của cửa chính giữa là $26{,}68\\,m^2$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đơn vị $m^2$).","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBề ngang cửa: $5{,}82\\,\\mathrm{m}$ (nửa bề ngang $2{,}91\\,\\mathrm{m}$).\n\nĐộ cao phần thẳng (chân cửa đến bắt đầu vòm): $2{,}25\\,\\mathrm{m}$.\n\nĐỉnh vòm tại độ cao $5{,}75\\,\\mathrm{m}$.\n\nPhương trình parabol cho vòm: $y = -0{,}4135x^2 + 5{,}75$, đáy vòm nằm tại $y=2{,}25$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính diện tích cánh cửa gỗ gồm phần hình chữ nhật và phần vòm trên parabol.\n\nPhải cộng diện tích hình chữ nhật với tích phân diện tích phần vòm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDiện tích hình chữ nhật:\n$S_{\\text{hcn}} = 5{,}82 \\times 2{,}25 = 13{,}095\\,\\mathrm{m}^2.$ \n\nDiện tích phần vòm (phần giữa parabol và đường đáy $y=2{,}25$):\n\nTổng diện tích cánh cửa gỗ:\n$S = 13{,}095 + 13{,}574 \\approx 26{,}669 \\approx 26{,}68\\,\\mathrm{m}^2.$\n\nKết luận: Đúng."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-thanh-hoa-2025-lan-2-co-dap-an/15bNfet9K75uDdbaND5UDy8m0rApvMt_z_2025-07-22041318.png"]},{"id":15,"text":"Cho hàm số $y = f(x) = \\log_3(5x - 3)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd51","statements":[{"label":"A","text":"Tập xác định của hàm số $y = f(x)$ là $D = (0; +\\infty)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=\\log_3(5x-3)$\n\n❓ Hiểu ý của lựa chọn A:\nLựa chọn A khẳng định tập xác định của hàm số là $(0;+\n\\infty)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐiều kiện để $y=\\log_3(5x-3)$ có nghĩa là đối số phải dương: $5x-3>0$.\n\nGiải bất phương trình: $5x>3\\implies x>\\frac{3}{5}$.\n\nVậy tập xác định thực sự là $\\bigl(\\tfrac{3}{5},+\\infty\\bigr)$, không phải $(0,+\\infty)$.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"B","text":"Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $\\left(\\frac{3}{5}; +\\infty\\right)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=\\log_3(5x-3)$\n\n❓ Hiểu ý của lựa chọn B:\nLựa chọn B khẳng định hàm số đồng biến trên khoảng $\\bigl(\\tfrac{3}{5};+\\infty\\bigr)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nHàm $g(x)=5x-3$ là hàm bậc nhất hệ số góc 5 dương nên đồng biến trên $\\mathbb R$.\n\nHàm $h(u)=\\log_3u$ với cơ số 3 (>1) cũng là hàm đồng biến theo biến $u$.\n\nHợp hai hàm đồng biến cho ta hàm $f(x)=h(g(x))$ đồng biến trên tập xác định $g(x)>0\\iff x>\\tfrac35$.\n\nDo đó $f(x)$ đồng biến trên $\\bigl(\\tfrac35;+\n\\infty\\bigr)$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $\\left[\\frac{6}{5}; \\frac{12}{5}\\right]$ là $12$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=\\log_3(5x-3)$ và khoảng xác định xét là $\\bigl[\\tfrac{6}{5};\\tfrac{12}{5}\\bigr]$.\n\n❓ Hiểu ý của lựa chọn C:\nLựa chọn C khẳng định tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó bằng 12.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nHàm $f(x)$ đồng biến nên giá trị nhỏ nhất tại $x=\\tfrac{6}{5}$, lớn nhất tại $x=\\tfrac{12}{5}$.\n\nTính $f\\bigl(\\tfrac{6}{5}\\bigr)=\\log_3(5\\cdot\\tfrac{6}{5}-3)=\\log_3(3)=1$.\n\nTính $f\\bigl(\\tfrac{12}{5}\\bigr)=\\log_3(5\\cdot\\tfrac{12}{5}-3)=\\log_3(9)=2$.\n\nTổng hai giá trị là $1+2=3$, không bằng 12.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Đồ thị hàm số $y = f(x)$ đi qua điểm $M(2; 7)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=\\log_3(5x-3)$ và điểm $M(2;7)$.\n\n❓ Hiểu ý của lựa chọn D:\nLựa chọn D khẳng định đồ thị hàm số đi qua điểm $M(2;7)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính giá trị hàm tại $x=2$: $f(2)=\\log_3(5\\cdot2-3)=\\log_3(7)\\approx1.77$.\n\nKết quả $y\\approx1.77$ khác $7$ nên điểm $(2;7)$ không nằm trên đồ thị.\n\nKết luận: Sai"}]},{"id":16,"text":"Gia đình bạn An chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ bảy và chủ nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là $20\\%$, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là $30\\%$. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào ngày thứ bảy là $0{,}7$. \nGọi $A$ là biến cố: “Ngày thứ bảy trời nắng” và $B$ là biến cố: “Ngày chủ nhật trời mưa”.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd51","statements":[{"label":"A","text":"$P(A) = 0{,}7$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nXác suất ngày thứ bảy trời nắng là $0,7$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu A khẳng định $P(A)=0,7$ với biến cố A là ngày thứ bảy trời nắng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo đề, xác suất trời sẽ nắng vào ngày thứ bảy chính là $P(A)=0,7$.\n\nVậy khẳng định này hoàn toàn khớp với dữ liệu đã cho.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"$P(AB) = 0{,}21$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nXác suất ngày thứ bảy nắng $P(A)=0,7$.\n\nNếu ngày thứ bảy nắng, xác suất ngày chủ nhật mưa $P(B\\mid A)=0,2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu B khẳng định $P(AB)=0,21$ với biến cố AB là “thứ bảy nắng và chủ nhật mưa”.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo công thức xác suất của hai biến cố liên tiếp trong chuỗi Markov:\n$P(AB)=P(A)\\times P(B\\mid A)=0,7\\times0,2=0,14.$ \n\nGiá trị thực tế là 0,14, khác với 0,21 trong đề.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"C","text":"$P(\\overline{B} \\mid A) = 0{,}7$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nNếu thứ bảy nắng, xác suất chủ nhật mưa $P(B\\mid A)=0,2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu C cho rằng $P(\\overline{B}\\mid A)=0,7$, tức xác suất chủ nhật không mưa khi thứ bảy nắng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nB là biến cố “chủ nhật mưa”, nên $\\overline{B}$ là “chủ nhật không mưa” (trời nắng).\n\nTheo tính chất của xác suất: $P(\\overline{B}\\mid A)=1-P(B\\mid A)=1-0,3=0,7.$ \n\nKết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Xác suất để ngày chủ nhật trời nắng là $0{,}8$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nXác suất thứ bảy nắng $P(A)=0,7$.\n\nXác suất chuyển tiếp: nắng→mưa 20%, mưa→mưa 30%.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu D cho rằng xác suất chủ nhật trời nắng là 0,8.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTa tính xác suất chủ nhật nắng qua hai trường hợp:\n• Thứ bảy nắng: $0,7\\times P(nắng\\mid nắng)=0,7\\times0,8=0,56.$ \n• Thứ bảy mưa: $0,3\\times P(nắng\\mid mưa)=0,3\\times0,7=0,21.$ \n\nTổng xác suất: $0,56+0,21=0,77$, khác với 0,8.\n\nKết luận: Sai"}]},{"id":17,"text":"Trên cánh cửa được trang trí các núm có dạng một khối tròn xoay được đúc bằng chất liệu đồng, khuôn đúc của nó được tạo thành khi quay miền $(H)$ (phần được tô màu trong hình vẽ bên) quanh trục $AB$. Miền $(H)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB, AD$ của hình vuông $ABCD$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng $1\\,cm$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD, AB$. \nBiết công thức tính khối lượng của một vật là $P = V \\cdot D$, trong đó $P$ là khối lượng của vật (đơn vị g), $V$ là thể tích của vật (đơn vị $cm^3$) và $D$ là khối lượng riêng của vật (đơn vị $g/cm^3$), khối lượng riêng của đồng là $D = 8{,}96\\,g/cm^3$. Giá đồng trên thị trường là $200.000\\,đ/kg$. Giá tiền vật liệu để đúc một núm đồng trên là bao nhiêu nghìn đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd52","correctAnswer":"22","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình vuông $ABCD$ có cạnh $AB=AD=2$ cm (để bán kính các cung phần tư là 1 cm, tâm ở trung điểm mỗi cạnh).\n\nMiền $(H)$ là hình vuông trừ hai góc tư hình tròn bán kính 1 cm tại đỉnh $D$ và đỉnh $B$.\n\nTrục quay là cạnh $AB$.\n\nKhối lượng riêng của đồng $D=8{,}96\\text{ g/cm}^3$.\n\nGiá đồng: $200\\,000$,đ/kg $=200$,đ/g.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay miền $(H)$ quanh cạnh $AB$.\n\nTừ đó tính khối lượng $P=V\\cdot D$ và chi phí $=P\\times200$,đ/g.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nChọn trục $Ox$ trùng với $AB$, $A=(0,0)$, $B=(2,0)$. Mỗi lát mỏng tại $x$ có bán kính bằng $y_{\\max}(x)$:\n• Với $0\\le x\\le1$, biên cong là cung tròn tâm $D'=(0,1)$: \n [$y_{\\max}(x)=1+\\sqrt{1-x^2}.$]\n• Với $1\\le x\\le2$, biên cong là cung tròn tâm $B'=(1,0)$: \n [$y_{\\max}(x)=\\sqrt{1-(x-1)^2}.$]\n\nDùng công thức thể tích lớp đĩa:\n\nTính từng tích phân:\n$\\displaystyle\\int_{0}^{1}(1+\\sqrt{1-x^2})^2dx\n=\\int_{0}^{1}\\bigl(2+2\\sqrt{1-x^2}-x^2\\bigr)dx\n=2+\\tfrac\\pi2-\\tfrac13\n=\\tfrac53+\\tfrac\\pi2.$\n\nĐặt $t=x-1$, $\\displaystyle\\int_{1}^{2}(1-(x-1)^2)dx\n=\\int_{0}^{1}(1-t^2)dt\n=\\tfrac23.$\n\nKết luận:\n\nKhối lượng: \n\nChi phí:\n\n✅ Đáp án: 22 (nghìn đồng)","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-thanh-hoa-2025-lan-2-co-dap-an/1TL_2026-01-15204611.jpg","/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-thanh-hoa-2025-lan-2-co-dap-an/1pV4nU0NW8sJYhg7TqvRSdeLKmaqwh3ZJ_2025-07-22041318.png"],"chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"ứng dụng hình học của tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể","difficulty":"vận dụng"},{"id":18,"text":"Trên công trường xây dựng, một công nhân muốn tạo ra một dụng cụ để đựng vật liệu lỏng từ một tấm thép hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$ có $AB = 3{,}2\\,m,\\ AD = 2{,}4\\,m$. Do tấm thép bị hỏng một phần (tham khảo hình vẽ) nên người đó cắt bỏ tam giác $OBC$ và hàn hai mép $OB,\\ OC$ với nhau để thu được một hình tứ diện $OABD$ (không có mặt $ABD$). Dụng cụ này sẽ được vùi đất xung quanh sao cho đỉnh $O$ quay xuống và mặt $ABD$ hướng lên trên, khi đựng đầy vật liệu lỏng thì phần không gian trong lòng của dụng cụ hoàn toàn bị lấp đầy. Tính thể tích của vật liệu lỏng được đựng đầy trong dụng cụ. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục của đơn vị $m^3$ và xem độ dày của tấm thép không đáng kể).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd52","correctAnswer":"1,2","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chữ nhật $ABCD$ có: $AB = BD = 3{,}2\\,m$, $AD = 2{,}4\\,m$\n\nDụng cụ được tạo thành bằng cách xoay tam giác $OAB$ quanh trục $O$ vuông góc với mặt phẳng $ABD$\n\n$OA = OB = OD$ do $O$ là tâm hình chữ nhật\n\nYêu cầu: Tính thể tích của vật liệu lỏng được chứa trong dụng cụ\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác $OAB$ quanh đường cao từ $O$ đến mặt phẳng $ABD$\n\nCần áp dụng:\nCông thức Heron để tính diện tích tam giác\n\nCông thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác\n\nCông thức thể tích khối tròn xoay: $V = \\frac{1}{3}S_{\\triangle} \\cdot h$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính diện tích tam giác $ABD$:\n$S_{ABD} = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\frac{12\\sqrt{55}}{25}$\n\nGọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên mặt phẳng $ABD$\n\nVì $OA = OB = OD$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$\n\nSuy ra:\n$HA = \\frac{AB \\cdot BD \\cdot DA}{4S_{ABD}} = \\frac{64}{5\\sqrt{55}}$\n\nTính $OA = \\frac{1}{2}\\sqrt{AB^2 + AD^2} = 2 \\Rightarrow OH = \\sqrt{OA^2 - HA^2} = \\sqrt{\\frac{404}{1375}}$\n\nSuy ra thể tích:\n$V = \\frac{1}{3} \\cdot S_{ABD} \\cdot OH \\approx 1{,}2$ (mét khối)\n\n✅ Đáp án: $1{,}2$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-thanh-hoa-2025-lan-2-co-dap-an/1UyJ4r1v8kcIpNgwrBz2Dw9p1yrp_5TJK_2025-07-22041318.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","grade":"GRADE_11","questionCategory":"thể tích","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số $N(t) = -t^3 + 24t^2,\\ 0 \\le t \\le 24$, trong đó $N$ là số người bị nhiễm bệnh và $t$ là thời gian (tuần). Số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó là bao nhiêu người?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd52","correctAnswer":"2048","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số mô hình lây nhiễm: $N(t) = -t^3 + 24t^2$ \n\nKhoảng thời gian: $0 \\le t \\le 24$ (t tính theo tuần)\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định số người bị nhiễm tối đa trong khoảng đã cho. \n\nÁp dụng kiến thức về đạo hàm và khảo sát cực trị của hàm số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm của $N(t)$: \n$N'(t) = \\frac{d}{dt}\\bigl(-t^3 + 24t^2\\bigr) = -3t^2 + 48t$ \n\nGiải phương trình $N'(t)=0$ để tìm điểm tới hạn: \n$-3t^2 + 48t = 0 \\;\\Longrightarrow\\; t(-3t + 48)=0 \\;\\Longrightarrow\\; t=0 \\text{ hoặc } t=16$ \n\nTính giá trị hàm tại các điểm quan trọng: \n• $N(0)=0$ \n• $N(16)=-16^3 + 24\\cdot16^2 = -4096 + 6144 = 2048$ \n• $N(24)=-24^3 + 24\\cdot24^2 = -13824 + 13824 = 0$ \n\nKhảo sát dấu đạo hàm bậc hai tại $t=16$: \n$N''(t) = -6t + 48\\;\\Rightarrow\\;N''(16) = -96 + 48 = -48 < 0$ \n⇒ hàm đạt cực đại tại $t=16$\n\n✅ Đáp án: 2048 người.","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Ở trung tâm nghiên cứu X có một thiết bị được đặt trên một quả đồi thuộc vùng rừng núi để đo các thông số về thời tiết khí tượng của vùng đó (nhiệt độ, áp suất khí quyển, độ ẩm, mây, gió, mưa…). Cấu tạo bên ngoài của thiết bị gồm hai mặt cầu cắt nhau là $(S_1)$ có tâm $I$, bán kính bằng $4m$ và mặt cầu $(S_2)$ có tâm $J$, bán kính bằng $2m$. Để đo các thông số cần thiết, người ta lắp đặt một tấm thiết bị điện tử hình chữ nhật $(R)$ luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ và có thể di chuyển quanh các chỏm cầu để truyền tín hiệu tới hộp điều hành (đường truyền không dây). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian với độ dài đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $1m$ và $O(0;0;0)$ là vị trí hộp điều hành thiết bị thì $I(2;1;1)$ và $J(2;1;5)$. Khi khoảng cách từ $O$ đến tâm thiết bị điện tử $(R)$ ngắn nhất là lúc đường truyền tín hiệu tốt nhất. Khoảng cách ngắn nhất này bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, tham khảo mô tả thiết bị như hình trên).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd52","correctAnswer":"2,56","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$\\overrightarrow{IJ} = (0;0;4) \\Rightarrow IJ = 4 \\Rightarrow J \\in (I;4)$\n\n$OI = \\sqrt{6} < 4 \\Rightarrow O$ nằm trong mặt cầu $(S_1)$\n\nBán kính mặt cầu $(S_1)$ là $4m$, bán kính mặt cầu $(S_2)$ là $2m$\n\nTâm hai mặt cầu $I, J$; thiết bị điện hình chữ nhật luôn tiếp xúc với hai mặt cầu\n\nTìm khoảng cách ngắn nhất từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng chứa thiết bị điện\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm khoảng cách ngắn nhất từ $O$ đến mặt phẳng chứa thiết bị điện hình chữ nhật\n\nMặt phẳng chứa thiết bị luôn tiếp xúc hai mặt cầu tại $M, N$, tạo góc không đổi $30^\\circ$ với đường thẳng $AI$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDo $IM = 4 = 2JN \\Rightarrow IM = 2JN \\Rightarrow IM \\parallel JN$\n\nTam giác $AIM$, $JN$ là đường trung bình $\\Rightarrow J$ là trung điểm $AI \\Rightarrow A(2;1;9)$\n\nTính góc giữa $IJ$ và $MN$:\n$\\sin \\varphi = \\frac{JN}{AJ} = \\frac{1}{2} \\Rightarrow \\varphi = 30^\\circ$\n\nGọi mặt phẳng chứa thiết bị là $(\\alpha)$\n\nTính góc giữa $IJ$ và $(\\alpha)$ cũng là $\\varphi = 30^\\circ$\n\nDựng tam giác $OAI$ với:\n$\\overrightarrow{AO} = (-2;-1;-9),\\quad \\overrightarrow{AI} = (0;0;-8)$\n$\\cos \\widehat{OAI} = \\frac{9}{\\sqrt{86}} \\Rightarrow \\widehat{OAI} \\approx 13{,}95^\\circ$\n\nTính khoảng cách:\n$d(O;(\\alpha)) = OH = AO \\cdot \\sin \\widehat{OAH} = \\sqrt{86} \\cdot \\sin \\widehat{OAH}$\n\nDùng bất đẳng thức tam giác:\n$\\widehat{OAH} + \\widehat{OAI} \\ge \\widehat{MAI} = 30^\\circ \\Rightarrow \\widehat{OAH} \\ge 30^\\circ - 13{,}95^\\circ = 16{,}05^\\circ$\n\nSuy ra:\n$d(O;(\\alpha)) \\ge \\sqrt{86} \\cdot \\sin 16{,}05^\\circ \\approx 2{,}56$\n\n✅ Đáp án: $2,56$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-thanh-hoa-2025-lan-2-co-dap-an/1Kq8CXsXbaoiZgGvXl-tgDD968azpxisH_2025-07-22041318.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"khoảng cách","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":21,"text":"Một nhóm sinh viên y khoa thực hiện khảo sát những bệnh nhân bị tai nạn xe máy về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy: Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là $70\\%$; tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là $90\\%$; tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách bị chấn thương vùng đầu là $21\\%$. Hỏi theo kết quả khảo sát trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu bao nhiêu lần(làm tròn hàng đơn vị)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd52","correctAnswer":"3","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn: 70% \n\nTỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn: 90% \n\nTỉ lệ chấn thương vùng đầu trong nhóm đội mũ bảo hiểm đúng cách: 21%\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐề bài yêu cầu tìm tỷ số giữa khả năng bị chấn thương vùng đầu khi không đội mũ so với khi đội mũ đúng cách. \n\nMuốn tính được, ta cần xác định xác suất chấn thương đầu ở hai nhóm và chia cho nhau.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $P(H|W)$ là xác suất bị chấn thương đầu khi đội mũ đúng cách: \n\nGiả sử tỉ lệ chấn thương đầu của toàn bộ (70%) gần đúng tỉ lệ chấn thương khi không đội mũ, tức \n\nTỷ số giảm nguy cơ khi đội mũ đúng cách so với không đội mũ là \n\n✅ Đáp án: 3 lần.","chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"bài tập cuối chương vi","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 6","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Một xưởng cơ khí sản xuất hai loại sản phẩm là A và B. Để sản xuất một sản phẩm A phải dùng máy I trong 1 giờ và máy II trong 3 giờ, đối với một sản phẩm B phải dùng máy I trong 2 giờ và máy II trong 2 giờ. Mỗi tuần máy I làm việc tối đa 40 giờ, máy II làm việc tối đa 60 giờ. Mỗi sản phẩm A cho lợi nhuận 2 triệu đồng, mỗi sản phẩm B cho lợi nhuận 1,5 triệu đồng. Biết rằng sản phẩm sản xuất ra đều bán hết. Hỏi mỗi tuần xưởng cơ khí thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687f0fe58e58e040efe7dd52","correctAnswer":"42,5","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMáy I làm việc tối đa 40 giờ/tuần. \n\nMáy II làm việc tối đa 60 giờ/tuần. \n\nSản phẩm A: cần 1 giờ máy I, 3 giờ máy II, lợi nhuận 2 triệu đồng. \n\nSản phẩm B: cần 2 giờ máy I, 2 giờ máy II, lợi nhuận 1,5 triệu đồng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXưởng cần xác định số lượng sản phẩm A (x) và B (y) sao cho lợi nhuận tối đa. \n\nÁp dụng quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu và các ràng buộc về thời gian máy.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi x = số sản phẩm A, y = số sản phẩm B sản xuất mỗi tuần. \n\nHàm mục tiêu (profit) cần tối đa:\n$P = 2x + 1.5y$\n\nCác ràng buộc về giờ máy:\nMáy I: $1x + 2y \\le 40$ \n\nMáy II: $3x + 2y \\le 60$ \n\n$x \\ge 0,\\quad y \\ge 0$\n\nXác định các điểm đỉnh của miền nghiệm bằng cách xét giao điểm của các đường ràng buộc:\nA(0,0) \n\nB(20,0) (nếu y=0 thì x≤40 và x≤20 ⇒ x=20) \n\nC(0,20) (nếu x=0 thì y≤20 và y≤30 ⇒ y=20) \n\nD giao điểm của \n\nTính P tại các đỉnh:\n$P(0,0)=0$ \n\n$P(20,0)=2\\cdot20=40$ \n\n$P(0,20)=1.5\\cdot20=30$ \n\n$P(10,15)=2\\cdot10 + 1.5\\cdot15 =20 +22.5 =42.5$\n\nChọn giá trị lớn nhất: 42,5 triệu đồng.\n\n✅ Đáp án: 42,5 (triệu đồng)","chapter":"bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","topic":"hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","grade":"GRADE_10","questionCategory":"hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","difficulty":"vận dụng"}]}

Bắt đầu thi thử