Xác suất của biến cố
Liệt kê không gian mẫu, đếm kết quả thuận lợi và tính xác suất P(A) = n(A)/n(Ω) của biến cố, kể cả dùng biến cố đối cho bài "ít nhất một".
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 25, Bài 26
⚡ Nhớ nhanh
- 1Phép thử ngẫu nhiên: biết trước các khả năng nhưng không biết trước kết quả. Không gian mẫu Ω là tập mọi kết quả; biến cố A là một tập con của Ω.
- 2Hai hành động liên tiếp thì nhân số khả năng: 2 đồng xu → 2·2 = 4; 2 xúc xắc → 6·6 = 36.
- 3Các kết quả đồng khả năng thì P(A) = n(A)/n(Ω). Đề ghi "cân đối", "đồng chất" là cho phép dùng công thức.
- 40 ≤ P(A) ≤ 1: P = 0 là không thể, P = 1 là chắc chắn. Ra số âm hoặc lớn hơn 1 là chắc chắn sai.
- 5Biến cố đối: P(Ā) = 1 − P(A). Thấy "ít nhất một" thì nghĩ ngay tới biến cố đối.
- 6Tính xong kiểm lại: kết quả nằm trong [0; 1] và liệt kê thử vài kết quả thuận lợi.
👀 Nhìn là hiểu
Gieo thật nhiều lần và xem tần suất dao động rồi tiến về xác suất lý thuyết. Chạm vào các kết quả của Ω để tự chọn biến cố.
Đường xanh: tần suất sau từng lần gieo. Đường vàng nét đứt: xác suất lý thuyết P.
Tung 1 xúc xắc cân đối
n = 0
Lần gieo gần nhất: —
Chọn biến cố A:
Biến cố A: «số chấm chẵn»
P(A) = n(A)/n(Ω) = 3/6 = 1/2 ≈ 0,500
Chưa gieo lần nào. Bấm Gieo 10 lần rồi Gieo 1000 lần để xem tần suất tiến về P.
Ω có 6 kết quả đồng khả năng, n(Ω) = 6
Chạm vào kết quả để đưa vào / bỏ khỏi A. Số nhỏ bên dưới là số lần đã gieo ra.
A = {2; 4; 6}, n(A) = 3
1 🎲 Phép thử và không gian mẫu
Cần nhớ
- ✦Không gian mẫu Ω liệt kê hết kết quả có thể. Tung một xúc xắc: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, n(Ω) = 6.
- ✦Hai hành động liên tiếp thì nhân. Tung xu rồi xúc xắc: 2·6 = 12 kết quả, mỗi kết quả là một cặp như (S; 3).
- ✦Hai đồng xu là hai vật khác nhau nên (S; N) và (N; S) là hai kết quả: n(Ω) = 4, không phải 3.
Lấy hai bi từ hộp 4 bi khác nhau: thứ tự có kể hay không?
| Cách lấy | Thứ tự | Số kết quả |
|---|---|---|
| Cùng lúc | Không kể (mỗi cặp một lần) | 6 cặp |
| Lần lượt | Có kể (mỗi cặp hai lần) | 4·3 = 12 |
Dạng bài
Đếm không gian mẫu
- 1 Xác định có mấy hành động và mỗi hành động có mấy khả năng.
- 2 Đọc đề xem thứ tự có kể không ("cùng lúc" khác "lần lượt").
- 3 Hai hành động thì nhân; vẽ bảng hoặc sơ đồ cây để liệt kê.
- 4 Thử lại bằng cách liệt kê theo nhóm rồi cộng.
⚠️ Bẫy hay gặp: Không cộng 2 + 6 = 8. Mỗi mặt xu ghép được với cả sáu mặt xúc xắc nên phải nhân: 2·6 = 12.
Tung một đồng xu và một xúc xắc. Tìm n(Ω).
Hướng dẫn giải
2 🎯 Biến cố và kết quả thuận lợi
Cần nhớ
- ✦Biến cố A là tập con của Ω. Xúc xắc, A: "số chấm chẵn" = {2; 4; 6}, n(A) = 3.
- ✦Các phần tử của A gọi là kết quả thuận lợi cho A. Một biến cố có thể chỉ có 1 kết quả, nhiều kết quả, hoặc rỗng.
- ✦Biến cố rỗng là không thể (P = 0); biến cố bằng cả Ω là chắc chắn (P = 1).
Dạng bài
Tìm kết quả thuận lợi
- 1 Viết ra Ω.
- 2 Đọc kĩ điều kiện của biến cố ("lớn hơn 4" không gồm 4, "từ 4 trở lên" thì gồm).
- 3 Lọc từ Ω những kết quả thoả điều kiện rồi đếm n(A).
- 4 Thử lại bằng cách đếm các kết quả không thoả: n(A) + số còn lại = n(Ω).
⚠️ Bẫy hay gặp: Số 1 không phải số nguyên tố. Đưa 1 vào A thì được n(A) = 4 và xác suất 46, sai.
Tung một xúc xắc. A: "số chấm là số nguyên tố". Tìm A và n(A).
Hướng dẫn giải
3 🧮 Tính xác suất
Cần nhớ
- ✦Khi các kết quả đồng khả năng: P(A) = n(A)/n(Ω). Xúc xắc cân đối, A: "ra số 6" thì P = 16.
- ✦Xúc xắc thiên lệch hay bi có to có nhỏ thì kết quả không đồng khả năng, công thức không dùng được.
- ✦Luôn có 0 ≤ P(A) ≤ 1. Tính ra 65 là đã lộn tử với mẫu.
Gieo n lần, biến cố xảy ra k lần: tần suất = k/n. Mỗi lần làm có thể ra số khác nhau, gieo ít thì dao động mạnh.
P(A) = n(A)/n(Ω), một số cố định. Gieo càng nhiều lần thì tần suất càng gần số này.
Vài xác suất quen để ước lượng nhanh
| Biến cố | P |
|---|---|
| Tung xu ra ngửa | 12 |
| Xúc xắc ra 6 | 16 ≈ 0,17 |
| Xúc xắc ra số chẵn | 36 = 12 |
| Hai xu cùng ngửa | 14 |
| Hai xúc xắc có tổng bằng 7 | 636 = 16 |
Dạng bài
Tính xác suất một biến cố
- 1 Đếm n(Ω) và kiểm các kết quả có đồng khả năng không.
- 2 Đếm n(A): liệt kê kết quả thuận lợi.
- 3 Chia: P(A) = n(A)/n(Ω), rút gọn.
- 4 Kiểm: P nằm trong [0; 1] và liệt kê lại kết quả thuận lợi.
⚠️ Bẫy hay gặp: (1; 6) và (6; 1) là hai kết quả khác nhau. Chỉ đếm 3 cặp thì được 336 = 112, sai.
Tung hai xúc xắc cân đối. Tính xác suất tổng số chấm bằng 7.
Hướng dẫn giải
Gộp "một sấp một ngửa" làm một thì Ω chỉ có 3 phần tử không đồng khả năng. Đếm đúng là 4 kết quả: P(một sấp một ngửa) = 24 = 12, không phải 13.
Phân biệt hai đồng xu (đồng 1, đồng 2) và viết ra mọi cặp có thứ tự (S; S), (S; N), (N; S), (N; N) rồi mới đếm.
4 🔄 Biến cố đối và bài "ít nhất một"
Cần nhớ
- ✦Biến cố đối của A, kí hiệu Ā, xảy ra khi A không xảy ra. P(Ā) = 1 − P(A).
- ✦Đối của "ít nhất một mặt ngửa" là "không có mặt ngửa nào", tức toàn sấp. Ví dụ ba đồng xu: chỉ có 1 kết quả (S; S; S).
- ✦Tính trực tiếp "ít nhất một" phải xét nhiều trường hợp (1 ngửa, 2 ngửa, 3 ngửa…), dùng biến cố đối thì chỉ một.
Dạng bài
Dùng biến cố đối
- 1 Gọi A là biến cố cần tính, viết biến cố đối Ā bằng lời.
- 2 Đếm n(Ω) và n(Ā), tính P(Ā).
- 3 Lấy phần bù: P(A) = 1 − P(Ā).
- 4 Thử lại bằng đếm trực tiếp n(A) nếu đủ ít kết quả.
⚠️ Bẫy hay gặp: Tính P(Ā) = 18 rồi dừng lại. 18 là xác suất "ba mặt sấp", còn đề hỏi "ít nhất một ngửa" nên phải lấy 1 − 18 = 78.
Tung ba đồng xu cân đối. Tính xác suất có ít nhất một mặt ngửa.
Hướng dẫn giải
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Đếm không gian mẫu
- 1Nhận biết
Tung một xúc xắc. Số phần tử của không gian mẫu là:
- 2Nhận biết
Tung hai đồng xu. Số phần tử của không gian mẫu là:
- 3Thông hiểu Tung một đồng xu và một xúc xắc: n(Ω) = .
- 4Thông hiểu Tung ba đồng xu: n(Ω) = .
- 5Thông hiểu
Hộp có 5 bi khác nhau, lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc. Số kết quả là:
- 6Vận dụng Từ ba chữ số 1, 2, 3 lập số có hai chữ số khác nhau. Có tất cả số.
Biến cố và kết quả thuận lợi
- 1Nhận biết
Biến cố của một phép thử là:
- 2Thông hiểu Tung một xúc xắc. Biến cố "số chấm chẵn" có n(A) = .
- 3Thông hiểu Tung một xúc xắc. Biến cố "số chấm lớn hơn 4" có n(A) = .
- 4Thông hiểu
Tung hai đồng xu. Biến cố "đúng một mặt ngửa" là tập nào?
- 5Vận dụng Tung hai xúc xắc. Biến cố "tổng số chấm bằng 5" có n(A) = .
- 6Vận dụng Tung hai xúc xắc. Biến cố "hai mặt có số chấm bằng nhau" có n(B) = .
Tính xác suất
- 1Nhận biết
Xác suất của một biến cố luôn thuộc đoạn nào?
- 2Thông hiểu Tung xúc xắc cân đối: P(số chấm chẵn) = .
- 3Thông hiểu
Tung xúc xắc cân đối. Xác suất ra số nguyên tố bằng:
- 4Thông hiểu
Hộp có 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một bi, xác suất được bi đỏ bằng:
- 5Thông hiểu
Tung hai đồng xu cân đối. Xác suất được một sấp một ngửa bằng:
- 6Vận dụng Tung hai xúc xắc cân đối: P(tổng số chấm bằng 7) = .
- 7Vận dụng Hộp có 4 bi đỏ và x bi xanh. Xác suất lấy được bi đỏ là 25 thì x = .
Biến cố đối, "ít nhất một"
- 1Nhận biết
Tung ba đồng xu. Biến cố đối của "có ít nhất một mặt ngửa" là:
- 2Thông hiểu Biết P(A) = 0,3 thì P(Ā) = .
- 3Thông hiểu Tung hai đồng xu cân đối: P(có ít nhất một mặt ngửa) = .
- 4Vận dụng Tung ba đồng xu cân đối: P(có ít nhất một mặt sấp) = .
- 5Vận dụng Tung hai xúc xắc cân đối: P(có ít nhất một xúc xắc ra 6) = .
🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?
- •Xác suất thường là một câu ngắn với số phần tử Ω nhỏ: tung xúc xắc, tung đồng xu, lấy bi hoặc thẻ. Điểm nằm ở việc đếm đúng n(Ω) và n(A).
- •Hay có bẫy thứ tự: hai đồng xu hoặc hai xúc xắc thì (a; b) và (b; a) là hai kết quả; lấy "cùng lúc" thì không kể thứ tự.
- •Gặp chữ "ít nhất một" thường nên dùng biến cố đối. Kiểm kết quả có nằm trong [0; 1] trước khi nộp.