Bài kiểm tra đánh giá: Dãy số và Giới hạn
Thông tin đề
- Môn
- Giải tích - Toán cao cấp
- Kỳ thi
- University
- Số câu
- 21 câu
- Thời gian
- 45 phút
- Đáp án
- ✓ Có giải thích
Nội dung đề (21 câu)
- Câu 1.
Dãy số thực (u_n) được định nghĩa là:
- A.
Hàm số từ tập ℕ vào ℝ
- B.
Hàm số từ tập ℝ vào ℕ
- C.
Hàm số từ tập ℤ vào ℝ
- D.
Hàm số từ tập ℝ vào ℝ
- A.
- Câu 2.
Trong không gian metric ℝ với khoảng cách thông thường, dãy (u_n) được gọi là hội tụ về L ∈ ℝ nếu:
- A.
Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho với mọi n ≥ N: |u_n - L| < ε
- B.
Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho u_n < L + ε
- C.
Tồn tại L ∈ ℝ sao cho dãy bị chặn
- D.
u_n tiến đến L khi n tiến đến ∞ (mọi nghĩa)
- A.
- Câu 3.
Dãy số (u_n) với u_n = sin(n) (n radian) là:
- A.
Bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên
- B.
Bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới
- C.
Bị chặn, với -1 ≤ u_n ≤ 1
- D.
Không bị chặn
- A.
- Câu 4.
Dãy số (u_n) với u_n = n/(n+1) là:
- A.
Dãy tăng và bị chặn trên bởi 1
- B.
Dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0
- C.
Dãy tăng và bị chặn dưới bởi 1
- D.
Dãy giảm và bị chặn trên bởi 0
- A.
- Câu 5.
Cho dãy (u_n) xác định bởi u_1 = 2 và u_{n+1} = u_n/2 + 1. Khẳng định nào đúng?
- A.
Dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2
- B.
Dãy tăng và bị chặn trên bởi 2
- C.
Dãy không bị chặn
- D.
Dãy không đơn điệu
- A.
- Câu 6.
Giới hạn của dãy (u_n) với u_n = (1/2)^n khi n → ∞ là:
- A.
0
- B.
1/2
- C.
1
- D.
+∞
- A.
- Câu 7.
Giới hạn lim_{n→∞} (n^2 + 3n)/(2n^2 + 1) bằng:
- A.
0
- B.
1/2
- C.
1
- D.
+∞
- A.
- Câu 8.
Giới hạn lim_{n→∞} (sin n)/n bằng:
- A.
0
- B.
1
- C.
-1
- D.
Không tồn tại
- A.
- Câu 9.
Giới hạn lim_{n→∞} n·q^n với 0 < q < 1 bằng:
- A.
0
- B.
q
- C.
1
- D.
+∞
- A.
- Câu 10.
Giới hạn lim_{n→∞} (1 + 1/n)^n bằng:
- A.
0
- B.
1
- C.
e
- D.
+∞
- A.
- Câu 11.
Dãy (u_n) được gọi là dãy Cauchy nếu:
- A.
Hội tụ về một giới hạn hữu hạn
- B.
Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho với mọi m, n ≥ N: |u_m - u_n| < ε
- C.
Bị chặn trong không gian metric
- D.
Đơn điệu tăng
- A.
- Câu 12.
Cho dãy (u_n) hội tụ về L. Khi đó mọi dãy con của (u_n) đều:
- A.
Phân kỳ
- B.
Hội tụ về 0
- C.
Hội tụ về L
- D.
Không có giới hạn
- A.
- Câu 13.
Định lý Bolzano-Weierstrass phát biểu rằng:
- A.
Mọi dãy số thực đều có dãy con hội tụ
- B.
Mọi dãy số bị chặn đều có dãy con hội tụ
- C.
Mọi dãy số đơn điệu đều có giới hạn
- D.
Mọi dãy số có giới hạn đều bị chặn
- A.
- Câu 14.
Cho dãy (u_n) hội tụ về L. Theo định lý Cesàro, dãy trung bình v_n = (u_1 + u_2 + ... + u_n)/n sẽ:
- A.
Hội tụ về 0
- B.
Hội tụ về L
- C.
Phân kỳ
- D.
Hội tụ về L/n
- A.
- Câu 15.
Cho dãy (u_n) với u_n > 0 và lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n = q với 0 ≤ q < 1. Khi đó:
- A.
lim u_n = 0
- B.
lim u_n = q
- C.
lim u_n = +∞
- D.
Không thể kết luận
- A.
- Câu 16.
Giới hạn lim_{n→∞} √n bằng:
- A.
0
- B.
1
- C.
+∞
- D.
Không tồn tại
- A.
- Câu 17.
Cho a_n = (1 + a/n)^n với a > 0. Khi đó lim_{n→∞} a_n bằng:
- A.
0
- B.
1
- C.
a
- D.
e^a
- A.
- Câu 18.
Tính giới hạn: lim_{n→∞} (√(n^2 + 1) - n) = ___
- Câu 19.
Cho dãy (u_n) xác định bởi u_1 = 1 và u_{n+1} = √(2 + u_n). Hãy chứng minh rằng dãy (u_n) bị chặn trên bởi 2 và bị chặn dưới bởi 1.
- Câu 20.
Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_1 > 0 và u_{n+1} = (u_n + 2/u_n)/2. a) Chứng minh rằng dãy (u_n) hội tụ. b) Tính giới hạn của dãy.
- Câu 21.
Sử dụng công thức Stolz-Cesàro, tính giới hạn: lim_{n→∞} (1^p + 2^p + ... + n^p)/n^{p+1} với p > 0. Từ đó suy ra kết quả khi p = 1.
Đáp án và giải thích từng câu có trong chế độ .