Giải tích - Toán cao cấp

Bài kiểm tra đánh giá: Đạo hàm và Vi phân

20 câu

50 phút

Có đáp án

Thông tin đề

Môn: Giải tích - Toán cao cấp
Số câu: 20 câu
Thời gian: 50 phút
Đáp án: ✓ Có giải thích

Nội dung đề (20 câu)

Câu 1.
Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀ được định nghĩa bởi giới hạn nào sau đây?
- A.
  f'(x₀) = lim(x→x₀) [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)
- B.
  f'(x₀) = lim(x→x₀) [f(x) + f(x₀)] / (x - x₀)
- C.
  f'(x₀) = lim(x→x₀) [f(x) - f(x₀)] / (x + x₀)
- D.
  f'(x₀) = lim(x→x₀) f(x) · (x - x₀)
Câu 2.
Nếu hàm số f(x) khả vi tại điểm x₀ thì kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  f gián đoạn tại x₀
- B.
  f liên tục tại x₀
- C.
  f bị chặn tại x₀ nhưng có thể không liên tục
- D.
  f' liên tục tại x₀
Câu 3.
Cho hàm số y = x^n với n ∈ ℝ. Đạo hàm của y là:
- A.
  y' = n · x^(n-1)
- B.
  y' = x^(n-1)
- C.
  y' = n · x^(n+1)
- D.
  y' = x^n · ln|x|
Câu 4.
Cho hàm hợp y = f(g(x)). Theo quy tắc chuỗi (chain rule), đạo hàm dy/dx là:
- A.
  y' = f'(x) · g'(x)
- B.
  y' = f'(g(x)) · g(x)
- C.
  y' = f'(g(x)) · g'(x)
- D.
  y' = f(g(x)) · g'(x)
Câu 5.
Đạo hàm của hàm số y = e^x là:
- A.
  y' = e^x
- B.
  y' = x · e^x
- C.
  y' = e^(x-1)
- D.
  y' = e^x · ln(x)
Câu 6.
Đạo hàm của hàm số y = ln|x| (x ≠ 0) là:
- A.
  y' = 1/x
- B.
  y' = x
- C.
  y' = 1/|x|
- D.
  y' = e^x
Câu 7.
Đạo hàm cấp n của hàm số y = x^n (n nguyên dương) bằng:
- A.
  y^(n) = n!
- B.
  y^(n) = n · x^(n-1)
- C.
  y^(n) = x^n
- D.
  y^(n) = 0
Câu 8.
Cho đường cong x² + y² = 1. Đạo hàm dy/dx bằng:
- A.
  dy/dx = -x/y
- B.
  dy/dx = x/y
- C.
  dy/dx = -y/x
- D.
  dy/dx = 2x
Câu 9.
Đạo hàm của hàm số y = x^x (với x > 0) bằng:
- A.
  y' = x^x · ln(x)
- B.
  y' = x^x · (ln(x) + 1)
- C.
  y' = x · x^(x-1)
- D.
  y' = x^x · x
Câu 10.
Cho x = t² + 1, y = t³ + t. Tính dy/dx tại t = 1.
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Câu 11.
Tính giới hạn lim(x→0) (e^x - 1 - x) / x²:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  1/2
- D.
  ∞
Câu 12.
Khai triển Taylor (Maclaurin) của hàm số e^x quanh x₀ = 0 là:
- A.
  e^x = Σ(x^n / n!), n = 0 → ∞
- B.
  e^x = Σ(x^n), n = 0 → ∞
- C.
  e^x = Σ(x^n / n), n = 1 → ∞
- D.
  e^x = Σ(n! · x^n), n = 0 → ∞
Câu 13.
Cho y = f(x). Vi phân dy của hàm số tại x được định nghĩa bởi:
- A.
  dy = f(x) · dx
- B.
  dy = f'(x) · dx
- C.
  dy = f'(x)
- D.
  dy = dx
Câu 14.
Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Theo định lý giá trị trung bình (Lagrange), tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:
- A.
  f'(c) = 0
- B.
  f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)
- C.
  f(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)
- D.
  f'(c) = f(b) - f(a)
Câu 15.
Cho f(x, y, z) = x·y·z² + x²·y. Tính đạo hàm riêng ∂²f / (∂x · ∂y):
- A.
  2z
- B.
  z² + 2x
- C.
  2x
- D.
  2x + 2z
Câu 16.
Thể tích của hình cầu bán kính r là V = (4/3)π·r³. Đạo hàm dV/dt theo thời gian t bằng:
- A.
  dV/dt = 4π·r² · (dr/dt)
- B.
  dV/dt = 4π·r · (dr/dt)
- C.
  dV/dt = (4/3)π·r² · (dr/dt)
- D.
  dV/dt = π·r² · (dr/dt)
Câu 17.
Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x) = sin(x²) · e^(3x).
Câu 18.
Cho hàm số y = ln(sin(2x)). Vi phân dy = ___ (theo dx).
Câu 19.
Chứng minh rằng: Nếu hàm số f(x) khả vi tại điểm x₀ thì f(x) liên tục tại x₀.
Câu 20.
Một chiếc thang dài 5 m dựa vào bức tường thẳng đứng. Nếu chân thang trượt ra xa tường với tốc độ 2 m/s, hỏi đầu thang trượt xuống với tốc độ bao nhiêu tại thời điểm chân thang cách chân tường 3 m?

Đáp án và giải thích từng câu có trong chế độ .

Đề Giải tích - Toán cao cấp tương tự

Bài kiểm tra đánh giá: Dãy số và Giới hạn

21 câu