Bài kiểm tra đánh giá: Giải tích - Dãy số và Giới hạn

20 questions

40 min

Answer key

Exam info

Subject: Giải tích (Toán cao cấp)
Exam type: University
Questions: 20
Duration: 40 min
Answers: ✓ With explanations

Questions (20)

Q 1.
Dãy số (u_n) được gọi là hội tụ nếu:
- A.
  Các số hạng của dãy ngày càng lớn
- B.
  Tồn tại số thực L sao cho lim u_n = L khi n → ∞
- C.
  Các số hạng của dãy đều dương
- D.
  Dãy có vô hạn số hạng
Q 2.
Dãy số u_n = (-1)^n có giới hạn là:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  -1
- D.
  Dãy phân kỳ (không có giới hạn)
Q 3.
Giới hạn lim (n → ∞) (3n + 1)/(2n - 5) bằng:
- A.
  0
- B.
  3/2
- C.
  2/3
- D.
  +∞
Q 4.
Dãy số u_n = n/(n+1) hội tụ về giá trị nào khi n → ∞?
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  +∞
- D.
  Không tồn tại
Q 5.
Tính chất nào sau đây SAI đối với dãy số hội tụ?
- A.
  Giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất
- B.
  Nếu lim u_n = a, thì lim |u_n| = |a|
- C.
  Dãy hội tụ thì bị chặn
- D.
  Dãy bị chặn thì luôn hội tụ
Q 6.
Dãy số u_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n được gọi là dãy gì?
- A.
  Dãy Fibonacci
- B.
  Dãy điều hòa
- C.
  Dãy cấp số nhân
- D.
  Dãy Catalan
Q 7.
Cho dãy số u_n xác định bởi u_1 = 1 và u_(n+1) = √(2 + u_n). Giới hạn của dãy (nếu có) bằng:
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  √2
- D.
  Không tồn tại
Q 8.
Định lý nào khẳng định: 'Nếu dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ'?
- A.
  Định lý Bolzano-Weierstrass
- B.
  Định lý về dãy đơn điệu bị chặn
- C.
  Định lý kẹp (Squeeze theorem)
- D.
  Tiêu chuẩn Cauchy
Q 9.
Giới hạn lim (n → ∞) (√(n² + n) - n) bằng:
- A.
  0
- B.
  1/2
- C.
  1
- D.
  +∞
Q 10.
Cho lim u_n = a (hữu hạn) và lim v_n = b (hữu hạn). Khi đó lim (u_n . v_n) bằng:
- A.
  a + b
- B.
  a - b
- C.
  a . b
- D.
  Chỉ tồn tại khi a ≠ 0
Q 11.
Giới hạn lim (n → ∞) (1 + 1/n)^n bằng:
- A.
  1
- B.
  e (số Euler, xấp xỉ 2.71828)
- C.
  π
- D.
  +∞
Q 12.
Dãy cấp số nhân u_n = q^n với |q| < 1 thì lim u_n bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  q
- D.
  Không tồn tại
Q 13.
Định nghĩa bằng ε-N: lim u_n = L khi và chỉ khi:
- A.
  Với mọi ε > 0, tồn tại N ∈ ℕ sao cho với mọi n ≥ N, |u_n - L| < ε
- B.
  Tồn tại ε > 0 sao cho với mọi N, |u_n - L| < ε
- C.
  Với mọi N, tồn tại n ≥ N sao cho |u_n - L| < 1/N
- D.
  Dãy số bị chặn
Q 14.
Tiêu chuẩn Cauchy phát biểu rằng: dãy (u_n) hội tụ khi và chỉ khi:
- A.
  Dãy là đơn điệu và bị chặn
- B.
  Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho với mọi m, n ≥ N: |u_m - u_n| < ε
- C.
  Tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy
- D.
  Dãy bị chặn trên
Q 15.
Giới hạn lim (n → ∞) (n!)/(n^n) bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  +∞
- D.
  1/e
Q 16.
Dãy con của một dãy hội tụ thì:
- A.
  Cũng hội tụ về cùng giới hạn
- B.
  Luôn phân kỳ
- C.
  Hội tụ về 0
- D.
  Không có tính chất gì đặc biệt
Q 17.
Cho dãy số u_n = sin(nπ/2) + 1/n. Khẳng định nào đúng?
- A.
  Dãy hội tụ về 0
- B.
  Dãy hội tụ về 1
- C.
  Dãy phân kỳ vì không có giới hạn
- D.
  Dãy phân kỳ vì thành phần sin(nπ/2) không có giới hạn
Q 18.
Điền vào chỗ trống: lim (n → ∞) (1 + 2/n)^(3n) = ?
Q 19.
Cho dãy số u_n xác định bởi u_1 = 1, u_(n+1) = (u_n + 2/u_n)/2. Hãy tính lim u_n (sử dụng định nghĩa và phép lặp).
Q 20.
Trình bày chi tiết cách chứng minh rằng dãy số u_n = (1 + 1/n)^n là dãy tăng và bị chặn trên. Từ đó suy ra sự tồn tại của giới hạn lim (n → ∞) (1 + 1/n)^n và đặt tên giới hạn này.

Answers and explanations are in mode.