Nội dung đề (20 câu)

1. Câu 1.

   Dãy số (u_n) được gọi là hội tụ nếu:

   • A.

     Các số hạng của dãy ngày càng lớn

   • B.

     Tồn tại số thực L sao cho lim u_n = L khi n → ∞

   • C.

     Các số hạng của dãy đều dương

   • D.

     Dãy có vô hạn số hạng

2. Câu 2.

   Dãy số u_n = (-1)^n có giới hạn là:

   • A.

     0

   • B.

     1

   • C.

     -1

   • D.

     Dãy phân kỳ (không có giới hạn)

3. Câu 3.

   Giới hạn lim (n → ∞) (3n + 1)/(2n - 5) bằng:

   • A.

     0

   • B.

     3/2

   • C.

     2/3

   • D.

     +∞

4. Câu 4.

   Dãy số u_n = n/(n+1) hội tụ về giá trị nào khi n → ∞?

   • A.

     0

   • B.

     1

   • C.

     +∞

   • D.

     Không tồn tại

5. Câu 5.

   Tính chất nào sau đây SAI đối với dãy số hội tụ?

   • A.

     Giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất

   • B.

     Nếu lim u_n = a, thì lim |u_n| = |a|

   • C.

     Dãy hội tụ thì bị chặn

   • D.

     Dãy bị chặn thì luôn hội tụ

6. Câu 6.

   Dãy số u_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n được gọi là dãy gì?

   • A.

     Dãy Fibonacci

   • B.

     Dãy điều hòa

   • C.

     Dãy cấp số nhân

   • D.

     Dãy Catalan

7. Câu 7.

   Cho dãy số u_n xác định bởi u_1 = 1 và u_(n+1) = √(2 + u_n). Giới hạn của dãy (nếu có) bằng:

   • A.

     1

   • B.

     2

   • C.

     √2

   • D.

     Không tồn tại

8. Câu 8.

   Định lý nào khẳng định: 'Nếu dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ'?

   • A.

     Định lý Bolzano-Weierstrass

   • B.

     Định lý về dãy đơn điệu bị chặn

   • C.

     Định lý kẹp (Squeeze theorem)

   • D.

     Tiêu chuẩn Cauchy

9. Câu 9.

   Giới hạn lim (n → ∞) (√(n² + n) - n) bằng:

   • A.

     0

   • B.

     1/2

   • C.

     1

   • D.

     +∞

10. Câu 10.

    Cho lim u_n = a (hữu hạn) và lim v_n = b (hữu hạn). Khi đó lim (u_n . v_n) bằng:

    • A.

      a + b

    • B.

      a - b

    • C.

      a . b

    • D.

      Chỉ tồn tại khi a ≠ 0

11. Câu 11.

    Giới hạn lim (n → ∞) (1 + 1/n)^n bằng:

    • A.

      1

    • B.

      e (số Euler, xấp xỉ 2.71828)

    • C.

      π

    • D.

      +∞

12. Câu 12.

    Dãy cấp số nhân u_n = q^n với |q| < 1 thì lim u_n bằng:

    • A.

      0

    • B.

      1

    • C.

      q

    • D.

      Không tồn tại

13. Câu 13.

    Định nghĩa bằng ε-N: lim u_n = L khi và chỉ khi:

    • A.

      Với mọi ε > 0, tồn tại N ∈ ℕ sao cho với mọi n ≥ N, |u_n - L| < ε

    • B.

      Tồn tại ε > 0 sao cho với mọi N, |u_n - L| < ε

    • C.

      Với mọi N, tồn tại n ≥ N sao cho |u_n - L| < 1/N

    • D.

      Dãy số bị chặn

14. Câu 14.

    Tiêu chuẩn Cauchy phát biểu rằng: dãy (u_n) hội tụ khi và chỉ khi:

    • A.

      Dãy là đơn điệu và bị chặn

    • B.

      Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho với mọi m, n ≥ N: |u_m - u_n| < ε

    • C.

      Tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy

    • D.

      Dãy bị chặn trên

15. Câu 15.

    Giới hạn lim (n → ∞) (n!)/(n^n) bằng:

    • A.

      0

    • B.

      1

    • C.

      +∞

    • D.

      1/e

16. Câu 16.

    Dãy con của một dãy hội tụ thì:

    • A.

      Cũng hội tụ về cùng giới hạn

    • B.

      Luôn phân kỳ

    • C.

      Hội tụ về 0

    • D.

      Không có tính chất gì đặc biệt

17. Câu 17.

    Cho dãy số u_n = sin(nπ/2) + 1/n. Khẳng định nào đúng?

    • A.

      Dãy hội tụ về 0

    • B.

      Dãy hội tụ về 1

    • C.

      Dãy phân kỳ vì không có giới hạn

    • D.

      Dãy phân kỳ vì thành phần sin(nπ/2) không có giới hạn

18. Câu 18.

    Điền vào chỗ trống: lim (n → ∞) (1 + 2/n)^(3n) = ?

19. Câu 19.

    Cho dãy số u_n xác định bởi u_1 = 1, u_(n+1) = (u_n + 2/u_n)/2. Hãy tính lim u_n (sử dụng định nghĩa và phép lặp).

20. Câu 20.

    Trình bày chi tiết cách chứng minh rằng dãy số u_n = (1 + 1/n)^n là dãy tăng và bị chặn trên. Từ đó suy ra sự tồn tại của giới hạn lim (n → ∞) (1 + 1/n)^n và đặt tên giới hạn này.

Đáp án và giải thích từng câu có trong chế độ Ôn luyện.