Nội dung đề (20 câu)

1. Câu 1.

   Dãy số (sequence) trong giải tích được định nghĩa là gì?

   • A.

     Một tập hợp các số thực bất kỳ

   • B.

     Một hàm số xác định trên tập số nguyên dương N* (hoặc N) với giá trị trong tập số thực R

   • C.

     Một phương trình chứa ẩn số n

   • D.

     Một tập hợp có thứ tự gồm vô hạn phần tử trong không gian

2. Câu 2.

   Dãy số (uₙ) được gọi là bị chặn khi nào?

   • A.

     Khi mọi số hạng của dãy đều bằng nhau

   • B.

     Khi tồn tại hai số thực m, M sao cho m ≤ uₙ ≤ M với mọi n ∈ N*

   • C.

     Khi dãy có giới hạn hữu hạn

   • D.

     Khi dãy tăng và giới hạn là vô cùng

3. Câu 3.

   Dãy số (uₙ) được gọi là đơn điệu tăng khi:

   • A.

     uₙ₊₁ ≥ uₙ với mọi n ∈ N*

   • B.

     uₙ₊₁ ≤ uₙ với mọi n ∈ N*

   • C.

     uₙ₊₁ = uₙ với mọi n ∈ N*

   • D.

     uₙ₊₁ > uₙ chỉ với một vài giá trị n

4. Câu 4.

   Giới hạn lim n→∞ (2n + 1)/(n - 3) bằng:

   • A.

     0

   • B.

     2

   • C.

     ∞

   • D.

     Không tồn tại

5. Câu 5.

   Cho dãy uₙ = 1/n. Kết luận nào đúng?

   • A.

     Dãy phân kỳ

   • B.

     Dãy hội tụ về 0

   • C.

     Dãy hội tụ về 1

   • .

     Dãy hội tụ về 1

   • D.

     Dãy không bị chặn

6. Câu 6.

   Định nghĩa: lim n→∞ uₙ = L tương đương với điều kiện nào sau đây (với mọi ε > 0 cho trước)?

   • A.

     Tồn tại N sao cho với mọi n ≥ N thì uₙ > L + ε

   • B.

     Tồn tại N ∈ N sao cho với mọi n ≥ N thì |uₙ - L| < ε

   • C.

     uₙ = L với mọi n ∈ N*

   • D.

     uₙ → ∞ khi n → ∞

7. Câu 7.

   Cho lim uₙ = a và lim vₙ = b (với a, b hữu hạn). Khẳng định nào SAI?

   • A.

     lim (uₙ + vₙ) = a + b

   • B.

     lim (uₙ · vₙ) = a · b

   • C.

     lim (uₙ / vₙ) = a / b với mọi trường hợp

   • D.

     lim (k · uₙ) = k · a với k là hằng số

8. Câu 8.

   Khi tính lim n→∞ (√(n² + n) - n), dạng vô định là:

   • A.

     ∞ - ∞

   • B.

     0/0

   • C.

     ∞/∞

   • D.

     0 · ∞

9. Câu 9.

   Kết quả của lim n→∞ (√(n² + n) - n) là:

   • A.

     0

   • B.

     1/2

   • C.

     ∞

   • D.

     1

10. Câu 10.

    Cho dãy uₙ = (1 + 1/n)ⁿ. Khi n → ∞, giới hạn của dãy bằng:

    • A.

      0

    • B.

      1

    • C.

      e

    • D.

      ∞

11. Câu 11.

    Định lý kẹp (Squeeze theorem) phát biểu: Nếu uₙ ≤ xₙ ≤ vₙ với mọi n và lim uₙ = lim vₙ = L, thì:

    • A.

      lim xₙ = 0

    • B.

      lim xₙ = L

    • C.

      xₙ phân kỳ

    • D.

      lim xₙ không xác định được

12. Câu 12.

    Áp dụng định lý kẹp, giá trị của lim n→∞ (sin n)/n bằng:

    • A.

      1

    • B.

      -1

    • C.

      0

    • D.

      Không tồn tại

13. Câu 13.

    Dãy uₙ = n!/nⁿ có giới hạn khi n → ∞ bằng:

    • A.

      ∞

    • B.

      1

    • C.

      0

    • D.

      Không tồn tại

14. Câu 14.

    Nếu lim n→∞ uₙ = L > 0 và lim n→∞ vₙ = 0⁺, thì lim n→∞ uₙ / vₙ bằng:

    • A.

      0

    • B.

      L

    • C.

      +∞

    • D.

      Không xác định

15. Câu 15.

    Theo định lý Weierstrass, dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì:

    • A.

      Phân kỳ

    • B.

      Hội tụ và giới hạn bằng cận trên

    • C.

      Hội tụ về 0

    • D.

      Hội tụ về +∞

16. Câu 16.

    Cho dãy uₙ xác định bởi u₁ = √2, uₙ₊₁ = √(2 + uₙ). Khẳng định nào đúng?

    • A.

      Dãy phân kỳ

    • B.

      Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 2

    • C.

      Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0

    • D.

      Dãy không bị chặn

17. Câu 17.

    Điền vào chỗ trống: lim n→∞ n^(1/n) = ___

18. Câu 18.

    Điền vào chỗ trống: lim n→∞ ((n+1)/n)ⁿ = ___

19. Câu 19.

    Cho dãy số (uₙ) xác định bởi u₁ = 1, uₙ₊₁ = (1/2)uₙ + 1.
    a) Chứng minh rằng dãy (uₙ) bị chặn trên bởi 2 và đơn điệu tăng.
    b) Tìm lim n→∞ uₙ.
    c) Tính tổng S = lim n→∞ (u₁ + u₂ + ... + uₙ)/n (nếu tồn tại).

20. Câu 20.

    Cho dãy số uₙ = (1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + n(n+1))/n³. Tìm lim n→∞ uₙ.
    Gợi ý: Sử dụng công thức tổng và tính giới hạn của đa thức.

Đáp án và giải thích từng câu có trong chế độ Ôn luyện.