{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Ninh Bình năm 2026 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"698189afaf6d12a0aae63abf","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"698189afaf6d12a0aae63ac0","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"698189afaf6d12a0aae63ac1","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;3;5)$ và $B(5;-3;1)$. Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698189afaf6d12a0aae63abf","options":[{"label":"A","text":"$(3;0;3)$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức trung điểm $M\\left(\\frac{x_A+x_B}{2};\\frac{y_A+y_B}{2};\\frac{z_A+z_B}{2}\\right)$ với $A(1;3;5)$ và $B(5;-3;1)$ ta được $\\left(\\frac{1+5}{2};\\frac{3-3}{2};\\frac{5+1}{2}\\right)=(3;0;3)$."},{"label":"B","text":"$(6;0;6)$","correct":false,"reason":"Sai vì đây là kết quả của phép cộng tọa độ $(x_A+x_B;y_A+y_B;z_A+z_B)=(6;0;6)$ mà quên chia cho 2, không phải công thức trung điểm."},{"label":"C","text":"$(-2;3;2)$","correct":false,"reason":"Sai vì tính nhầm dấu hoặc nhầm vai trò điểm, ví dụ $\\frac{1-5}{2}=-2$ và $\\frac{5-1}{2}=2$, cho kết quả $(-2;3;2)$ không đúng với định nghĩa trung điểm là trung bình cộng."},{"label":"D","text":"$(-4;6;4)$","correct":false,"reason":"Sai vì đây là tọa độ của hiệu $A-B=(1-5;3-(-3);5-1)=(-4;6;4)$, tức là vectơ $\\overrightarrow{BA}$, chứ không phải trung điểm."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$.\n\nHai điểm $A(1;3;5)$ và $B(5;-3;1)$.\n\nYêu cầu: tìm trung điểm của đoạn thẳng $AB$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đã cho.\n\nCần áp dụng công thức trung điểm trong không gian: trung điểm là trung bình cộng từng hoành độ, tung độ và cao độ của hai điểm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức trung điểm trong không gian: $M\\left(\\frac{x_A+x_B}{2},\\;\\frac{y_A+y_B}{2},\\;\\frac{z_A+z_B}{2}\\right)$\n\nÁp dụng cho $A(1;3;5)$ và $B(5;-3;1)$: \nHoành độ: $\\frac{1+5}{2}=\\frac{6}{2}=3$ \n\nTung độ: $\\frac{3+(-3)}{2}=\\frac{0}{2}=0$ \n\nCao độ: $\\frac{5+1}{2}=\\frac{6}{2}=3$\n\nVậy trung điểm $M$ có tọa độ $M(3;0;3)$.\n\n✅ Đáp án: $A. (3;0;3)$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"hệ trục tọa độ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$, có bảng xét dấu đạo hàm như sau. Khẳng định nào dưới đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698189afaf6d12a0aae63abf","options":[{"label":"A","text":"Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\\infty;0)$","correct":false,"reason":"Vì $f'(x)>0$ trên khoảng $(-\\infty;-2)\\subset (-\\infty;0)$ nên hàm số đồng biến trên đó, do đó không nghịch biến trên toàn khoảng $(-\\infty;0)$."},{"label":"B","text":"Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\\infty)$","correct":false,"reason":"Trên khoảng con $(1;2)$ của $(1;+\\infty)$ có $f'(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, vì vậy không đồng biến trên cả khoảng $(1;+\\infty)$."},{"label":"C","text":"Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\\infty;-2)$","correct":true,"reason":"Theo bảng xét dấu, $f'(x)>0$ với mọi $x\\in (-\\infty;-2)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này."},{"label":"D","text":"Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;4)$","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(2;4)\\subset (0;4)$ có $f'(x)>0$ nên hàm số đồng biến, do đó không nghịch biến trên toàn khoảng $(0;4)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$.\n\nBảng dấu của đạo hàm $f'(x)$ theo các mốc: $-2,\\ 0,\\ 2$.\n\nDấu của $f'(x)$:\nTrên $(-\\infty,-2):\\ f'(x)>0$\n\nTại $x=-2:\\ f'(x)=0$\n\nTrên $(-2,0):\\ f'(x)<0$\n\nTại $x=0:$ đạo hàm không xác định (ký hiệu “||”)\n\nTrên $(0,2):\\ f'(x)<0$\n\nTại $x=2:\\ f'(x)=0$\n\nTrên $(2,+\\infty):\\ f'(x)>0$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nChọn khẳng định đúng về tính đồng biến/nghịch biến của hàm số.\n\nKiến thức cần dùng:\nNếu $f'(x)>0$ trên một khoảng thì $f(x)$ đồng biến trên khoảng đó.\n\nNếu $f'(x)<0$ trên một khoảng thì $f(x)$ nghịch biến trên khoảng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhìn bảng dấu để xác định các khoảng:\nVì $f'(x)>0$ trên $(-\\infty,-2)$ nên $f(x)$ đồng biến trên $(-\\infty,-2)$.\n\nVì $f'(x)<0$ trên $(-2,0)$ nên $f(x)$ nghịch biến trên $(-2,0)$.\n\nVì $f'(x)<0$ trên $(0,2)$ nên $f(x)$ nghịch biến trên $(0,2)$.\n\nVì $f'(x)>0$ trên $(2,+\\infty)$ nên $f(x)$ đồng biến trên $(2,+\\infty)$.\n\nĐối chiếu các đáp án:\nA sai vì trên $(-\\infty,-2)$ hàm đồng biến, không nghịch biến.\n\nB sai vì trên $(1,2)$ ta có $f'(x)<0$ nên hàm nghịch biến.\n\nC đúng vì $f'(x)>0$ trên $(-\\infty,-2)$.\n\nD sai vì trên $(2,4)$ ta có $f'(x)>0$ nên hàm đồng biến, không nghịch biến.\n\n✅ Đáp án: C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\\infty;-2).$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2026-lan-1-co-dap-an/10XC7PRJb1HGUfw494vNUOs4xndCNHasn_2026-02-03053749.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\\overrightarrow{u}=(2;-1;-2)$ và $\\overrightarrow{v}=(1;1;3)$. Giá trị của $\\overrightarrow{u}\\cdot\\overrightarrow{v}$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698189afaf6d12a0aae63abf","options":[{"label":"A","text":"$9$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm dấu thành phần vectơ, tính $2 \\cdot 1 + (-1) \\cdot (-1) + (-2) \\cdot (-3) = 9$ hoặc bỏ qua dấu âm: $2+1+6=9$."},{"label":"B","text":"$7$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm dấu ở thành phần thứ ba, tính $2 \\cdot 1 + (-1) \\cdot 1 + (-2) \\cdot (-3) = 7$ thay vì $(-2) \\cdot 3$."},{"label":"C","text":"$3\\sqrt{11}$","correct":false,"reason":"Sai vì $3\\sqrt{11}$ là tích độ dài $|\\overrightarrow{u}| \\cdot |\\overrightarrow{v}| = 3 \\cdot \\sqrt{11}$, không phải tích vô hướng."},{"label":"D","text":"$-5$","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\overrightarrow{u} \\cdot \\overrightarrow{v} = 2 \\cdot 1 + (-1) \\cdot 1 + (-2) \\cdot 3 = 2 - 1 - 6 = -5$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hệ trục tọa độ $Oxyz$.\n\nHai vectơ $\\overrightarrow{u}=(2;\\,-1;\\,-2)$ và $\\overrightarrow{v}=(1;\\,1;\\,3)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính tích vô hướng (dot product) của hai vectơ $\\overrightarrow{u}$ và $\\overrightarrow{v}$.\n\nCần biết công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: $\\overrightarrow{u}\\cdot\\overrightarrow{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGhi lại thành phần của hai vectơ: $\\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)=(2,-1,-2),\\quad \\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)=(1,1,3).$\n\nÁp dụng công thức: $\\overrightarrow{u}\\cdot\\overrightarrow{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.$\n\nThay số vào: $\\overrightarrow{u}\\cdot\\overrightarrow{v}=2\\cdot 1+(-1)\\cdot 1+(-2)\\cdot 3=2-1-6=-5.$\n\n✅ Đáp án: $D. -5$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"biểu thức tọa độ của tích vô hướng","difficulty":"nhận biết"},{"id":4,"text":"Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3-3x+2$ trên đoạn $[0;3]$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698189afaf6d12a0aae63abf","options":[{"label":"A","text":"$2$","correct":true,"reason":"$2$ là giá trị của hàm số tại $x=0$, nhưng không phải giá trị lớn nhất vì tại $x=3$ có $y(3)=20 > 2$."},{"label":"B","text":"$3$","correct":false,"reason":"Giá trị $3$ không phải là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$ vì $y(3)=20$ lớn hơn."},{"label":"C","text":"$20$","correct":false,"reason":"$20$ là giá trị lớn nhất đạt được tại $x=3$, do hàm số nghịch biến trên $[0;1]$ và đồng biến trên $[1;3]$ với $y(3)=27-9+2=20$ lớn hơn $y(0)=2$."},{"label":"D","text":"$0$","correct":false,"reason":"$0$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số (đạt tại điểm cực tiểu $x=1$) chứ không phải giá trị lớn nhất."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y = x^3 - 3x + 2$\n\nĐoạn xét: $[0;3]$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$.\n\nKiến thức cần dùng: tìm cực trị bằng cách lấy đạo hàm $y'$, xét điểm tới hạn trong đoạn và giá trị tại các đầu mút của đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm: $y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1).$\n\nGiải phương trình $y' = 0$ để tìm điểm tới hạn: $3(x^2 -1)=0 \\Rightarrow x=\\pm 1.$ Trong đoạn $[0;3]$ chỉ có $x=1$ là điểm tới hạn.\n\nTính giá trị của hàm tại các điểm cần xét:\n$y(0) = 0^3 - 3\\cdot0 + 2 = 2.$\n\n$y(1) = 1^3 - 3\\cdot1 + 2 = 0.$\n\n$y(3) = 3^3 - 3\\cdot3 + 2 = 27 - 9 + 2 = 20.$\n\nSo sánh các giá trị: $2,\\;0,\\;20$ — giá trị lớn nhất là $20$ đạt tại $x=3$.\n\n✅ Đáp án: $C. 20$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn","difficulty":"thông hiểu"},{"id":5,"text":"Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;-1;3)$ trên trục $Oy$ là điểm có tọa độ","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698189afaf6d12a0aae63abf","options":[{"label":"A","text":"$(0;0;3)$","correct":false,"reason":"Đây là hình chiếu của $M$ lên trục $Oz$ (giữ $z=3$, cho $x=y=0$), không phải lên trục $Oy$. Hình chiếu lên $Oy$ phải giữ $y=-1$ và cho $x=z=0$."},{"label":"B","text":"$(0;-1;0)$","correct":true,"reason":"Đúng. Khi hình chiếu vuông góc lên trục $Oy$, ta giữ tọa độ $y=-1$ và cho $x=0$, $z=0$, được điểm $(0;-1;0)$."},{"label":"C","text":"$(2;0;0)$","correct":false,"reason":"Đây là hình chiếu của $M$ lên trục $Ox$ (giữ $x=2$, cho $y=z=0$), không phải lên $Oy$. Hình chiếu lên $Oy$ phải có $x=0$ và $z=0$."},{"label":"D","text":"$(2;0;3)$","correct":false,"reason":"Đây là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $Oxz$ (cho $y=0$, giữ $x=2, z=3$), không phải lên trục $Oy$. Hình chiếu lên một trục cần có hai tọa độ bằng $0$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $M$ có tọa độ $M(2;-1;3)$.\n\nHệ trục tọa độ không gian là $Oxyz$.\n\nYêu cầu: tìm hình chiếu vuông góc của $M$ lên trục $Oy$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi hỏi: khi chiếu vuông góc điểm $M$ lên trục $Oy$, ta thu được điểm có tọa độ nào?\n\nCần áp dụng kiến thức: hình chiếu vuông góc của một điểm lên một trục tung (trục $Oy$) giữ lại tọa độ $y$ và các toạ độ theo $Ox$ và $Oz$ bằng 0.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuy ước tổng quát: với một điểm có toạ độ $(x;y;z)$, hình chiếu vuông góc lên trục $Oy$ là\n$(0;y;0).$\n\nÁp dụng cho $M(2;-1;3)$: giữ lại thành phần $y=-1$, các thành phần $x$ và $z$ trở thành 0, nên\n$(0;-1;0).$\n\nKiểm tra các phương án:\nA: $(0;0;3)$ — sai (giữ lại z thay vì y).\n\nB: $(0;-1;0)$ — đúng.\n\nC: $(2;0;0)$ — sai (giữ lại x thay vì y).\n\nD: $(2;0;3)$ — sai (không phải hình chiếu lên Oy).\n\n✅ Đáp án: $\\text{B. }(0;-1;0)$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"hệ trục tọa độ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian","difficulty":"nhận biết"},{"id":6,"text":"Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị là $Q_1,Q_2,Q_3$. Khoảng tứ phân vị $\\Delta_Q$ của mẫu số liệu xác định bởi công thức nào sau đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698189afaf6d12a0aae63abf","options":[{"label":"A","text":"$\\Delta_Q=Q_3-Q_1$","correct":true,"reason":"Khoảng tứ phân vị $\\Delta_Q$ được định nghĩa là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) và tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$), thể hiện độ phân tán của $50\\%$ số liệu trung tâm nằm giữa hai giá trị này."},{"label":"B","text":"$\\Delta_Q=Q_3-Q_2$","correct":false,"reason":"Sai vì $Q_3-Q_2$ chỉ tính khoảng cách từ trung vị ($Q_2$) đến tứ phân vị thứ ba, không phải là khoảng tứ phân vị của toàn bộ mẫu số liệu."},{"label":"C","text":"$\\Delta_Q=Q_2-Q_1$","correct":false,"reason":"Sai vì $Q_2-Q_1$ chỉ tính khoảng cách từ tứ phân vị thứ nhất đến trung vị, bỏ qua phần số liệu từ trung vị đến $Q_3$ nên không đại diện cho độ rộng khoảng tứ phân vị."},{"label":"D","text":"$\\Delta_Q=Q_1-Q_3$","correct":false,"reason":"Sai vì $Q_1-Q_3$ cho kết quả âm (do $Q_10$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xét mệnh đề: “$f(x)$ nghịch biến trên $(-\\infty,-2)$” đúng hay sai.\n\nDùng kiến thức: $f'(x)>0 \\Rightarrow f(x)$ đồng biến.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $f'(x)>0$ trên $(-\\infty,-2)$ nên $f(x)$ đồng biến trên $(-\\infty,-2)$.\n\nDo đó không thể nghịch biến trên khoảng này.\n\n✅ Đáp án: a) Sai"},{"label":"B","text":"Hàm số $y=f(x)$ có ba điểm cực trị","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$f'(x)=0$ tại các điểm cắt trục hoành: $x=-2,\\ 0,\\ 2$.\n\nTại các điểm này, đồ thị $f'(x)$ đều đổi dấu.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xét mệnh đề: “$f(x)$ có 3 điểm cực trị” đúng hay sai.\n\nDùng kiến thức: $f'(x)=0$ và đổi dấu ⇒ $f(x)$ có cực trị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTại $x=-2$: $f'(x)$ đổi dấu $+\\to -$ ⇒ $f(x)$ có cực đại.\n\nTại $x=0$: $f'(x)$ đổi dấu $-\\to +$ ⇒ $f(x)$ có cực tiểu.\n\nTại $x=2$: $f'(x)$ đổi dấu $+\\to -$ ⇒ $f(x)$ có cực đại.\n\nVậy có đúng 3 điểm cực trị.\n\n✅ Đáp án: b) Đúng"},{"label":"C","text":"Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;2]$ là $f(0)$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrên $(-2,0)$: $f'(x)<0$.\n\nTrên $(0,2)$: $f'(x)>0$.\n\nXét trên đoạn $[-2,2]$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xét mệnh đề: “GTNN của $f(x)$ trên $[-2,2]$ là $f(0)$” đúng hay sai.\n\nDùng kiến thức: giảm rồi tăng ⇒ điểm “đáy” là GTNN trên đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $f'(x)<0$ trên $(-2,0)$ nên $f(x)$ giảm trên $[-2,0]$.\n\nVì $f'(x)>0$ trên $(0,2)$ nên $f(x)$ tăng trên $[0,2]$.\n\nHàm giảm đến $x=0$ rồi tăng lên ⇒ $x=0$ là điểm đạt giá trị nhỏ nhất trên $[-2,2]$.\n\n✅ Đáp án: c) Đúng"},{"label":"D","text":"Biết $f(0)>0$. Khi đó, phương trình $f(x)=0$ có tối đa $3$ nghiệm phân biệt","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBiết thêm $f(0)>0$.\n\n$x=0$ là điểm cực tiểu (vì $f'(x)$ đổi dấu $-\\to +$ tại $0$).\n\n$x=-2$ và $x=2$ là hai điểm cực đại.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xét mệnh đề: “Nếu $f(0)>0$ thì phương trình $f(x)=0$ có tối đa 3 nghiệm phân biệt”.\n\nDùng kiến thức: dựa vào hình dạng tăng/giảm và cực trị để đếm số lần cắt trục hoành.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $x=0$ là cực tiểu và $f(0)>0$ nên trong vùng quanh $0$ (đặc biệt trên $(-2,2)$) đồ thị nằm trên trục hoành, nên không có nghiệm trong $(-2,2)$.\n\nỞ bên trái $x=-2$: hàm tăng lên tới cực đại (mà cực đại này > $f(0)>0$), nên từ $-\\infty$ lên dương ⇒ cắt trục hoành 1 lần.\n\nỞ bên phải $x=2$: hàm giảm từ cực đại dương xuống $-\\infty$ ⇒ cắt trục hoành 1 lần.\n\nVậy tổng cộng chỉ có 2 nghiệm phân biệt\n✅ Đáp án: d) Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2026-lan-1-co-dap-an/1xUnKI5YghgZz-3HP1hNBtSuN8dAeUdlj_2026-02-03053751.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$. Khẳng định nào sau đây đúng?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698189afaf6d12a0aae63ac0","statements":[{"label":"A","text":"Hàm số có tập xác định là $D=\\mathbb{R}$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$y=\\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét mệnh đề: “Tập xác định của hàm số là $D=\\mathbb{R}$”.\n\nKiến thức dùng: mẫu số khác $0$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐiều kiện xác định: $x+1\\ne 0 \\Rightarrow x\\ne -1.$\n\nVậy tập xác định là: $D=\\mathbb{R}\\setminus{-1}.$\n\nKhông phải toàn bộ $\\mathbb{R}$.\n\n✅ Đáp án: a) Sai"},{"label":"B","text":"$y'=\\dfrac{x^2-2x}{(x+1)^2},\\ \\forall x\\neq -1$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$y=\\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$.\n\nMệnh đề cho: $y'=\\dfrac{x^2-2x}{(x+1)^2},\\ \\forall x\\ne -1.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra công thức đạo hàm trong mệnh đề có đúng không.\n\nKiến thức dùng: tính đạo hàm (có thể rút gọn trước).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChia đa thức: $\\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=x+\\dfrac{1}{x+1}.$\n\nLấy đạo hàm: $y'=1-\\dfrac{1}{(x+1)^2}.$\n\nQuy đồng: $y'=\\dfrac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2}=\\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}=\\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}.$\n\nSo sánh với $\\dfrac{x^2-2x}{(x+1)^2}$ thấy khác nhau ⇒ mệnh đề sai.\n\n✅ Đáp án: b) Sai"},{"label":"C","text":"Hàm số có bảng biến thiên như đã cho","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$y'=\\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$ (đã tính đúng ở câu b).\n\nHình cho một bảng biến thiên (có các mốc $-2,\\ -1,\\ 0$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra bảng biến thiên trong hình có khớp với dấu của $y'$ và giá trị hàm số hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $(x+1)^2>0$ với $x\\ne -1$ nên dấu $y'$ phụ thuộc $x(x+2)$.\n\nXét dấu:\n$(-\\infty,-2):\\ x<0,\\ x+2<0 \\Rightarrow y'>0$ (tăng)\n\n$(-2,-1):\\ x<0,\\ x+2>0 \\Rightarrow y'<0$ (giảm)\n\n$(-1,0):\\ x<0,\\ x+2>0 \\Rightarrow y'<0$ (giảm)\n\n$(0,+\\infty):\\ x>0,\\ x+2>0 \\Rightarrow y'>0$ (tăng)\n\nTính giá trị tại điểm tới hạn: $y(-2)=-2+\\dfrac{1}{-1}=-3,\\qquad y(0)=0+\\dfrac{1}{1}=1.$\n\nGiới hạn tại $x=-1$: $\\lim_{x\\to -1^-}y=-\\infty,\\qquad \\lim_{x\\to -1^+}y=+\\infty.$\n\nTất cả khớp với bảng trong hình ⇒ mệnh đề đúng.\n\n✅ Đáp án: c) Đúng"},{"label":"D","text":"Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $2\\sqrt{5}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số như trên có hai điểm cực trị: tại $x=-2$ với $y=-3$ và tại $x=0$ với $y=1$ (theo bảng biến thiên/hệ tính).\n\nLựa chọn D: \"Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $2\\sqrt{5}$\".\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị trên mặt phẳng: $A(-2,-3)$ và $B(0,1)$.\n\nKiến thức cần: công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng: $d=\\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi hai điểm cực trị là $A(-2,-3)$ và $B(0,1)$.\n\nTính khoảng cách:\n$d=\\sqrt{(0-(-2))^2+(1-(-3))^2}=\\sqrt{2^2+4^2}=\\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}.$ \n\nKết luận khớp với giá trị trong lựa chọn D.\n\n✅ Đáp án: Đúng\nKết luận: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2026-lan-1-co-dap-an/10XC7PRJb1HGUfw494vNUOs4xndCNHasn_2026-02-03053749.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$.\nCho tam giác $ABC$ với $A(3;0;0),\\ B(0;6;0),\\ C(0;0;-9)$. Khẳng định nào sau đây đúng?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698189afaf6d12a0aae63ac0","statements":[{"label":"A","text":"Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $(1;2;-3)$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$A(3;0;0),\\ B(0;6;0),\\ C(0;0;-9).$\n\nMệnh đề: trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $(1;2;-3)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra tọa độ trọng tâm tam giác trong không gian.\n\nKiến thức dùng: $G\\left(\\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3};\\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\\right).$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tọa độ trọng tâm:\n$x_G=\\dfrac{3+0+0}{3}=1,\\quad y_G=\\dfrac{0+6+0}{3}=2,\\quad z_G=\\dfrac{0+0-9}{3}=-3.$\n\nSuy ra: $G(1;2;-3).$\n\nĐúng như mệnh đề đã cho.\n\n✅ Đáp án: a) Đúng"},{"label":"B","text":"Tọa độ của $\\overrightarrow{GA}$ là $(-2;2;-3)$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$A(3;0;0),\\ G(1;2;-3).$\n\nMệnh đề: $\\overrightarrow{GA}=(-2;2;-3).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra tọa độ vectơ:\n$\\overrightarrow{GA}=(x_A-x_G;\\ y_A-y_G;\\ z_A-z_G).$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính: $\\overrightarrow{GA}=(3-1;\\ 0-2;\\ 0-(-3))=(2;\\ -2;\\ 3).$\n\nSo sánh với $(-2;2;-3)$ thấy ngược dấu (đó là $\\overrightarrow{AG}$).\n\n✅ Đáp án: b) Sai"},{"label":"C","text":"$GA=\\sqrt{17}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$\\overrightarrow{GA}=(2;-2;3).$ (từ câu b đúng)\n\nMệnh đề: $GA=\\sqrt{17}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính độ dài đoạn thẳng $GA$ (hay độ dài vectơ $\\overrightarrow{GA}$).\n\nCông thức:\n$GA=|\\overrightarrow{GA}|=\\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính: $GA=\\sqrt{2^2+(-2)^2+3^2}=\\sqrt{4+4+9}=\\sqrt{17}.$\n\nTrùng với mệnh đề.\n\n✅ Đáp án: c) Đúng"},{"label":"D","text":"$\\cos\\widehat{AGB}=\\dfrac{1}{\\sqrt{442}}$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$A(3;0;0),\\ B(0;6;0),\\ G(1;2;-3).$\n\nMệnh đề: $\\cos \\widehat{AGB}=\\dfrac{1}{\\sqrt{442}}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nGóc $\\widehat{AGB}$ là góc giữa 2 vectơ $\\overrightarrow{GA}$ và $\\overrightarrow{GB}$.\n\nCông thức: $\\cos \\widehat{AGB}=\\dfrac{\\overrightarrow{GA}\\cdot \\overrightarrow{GB}}{|\\overrightarrow{GA}|\\ |\\overrightarrow{GB}|}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính $\\overrightarrow{GA}=(2;-2;3)$.\n\nTính $\\overrightarrow{GB}=(0-1;\\ 6-2;\\ 0-(-3))=(-1;\\ 4;\\ 3).$\n\nTính tích vô hướng: $\\overrightarrow{GA}\\cdot \\overrightarrow{GB}=2(-1)+(-2)4+3\\cdot 3=-2-8+9=-1.$\n\nĐộ dài: $|\\overrightarrow{GA}|=\\sqrt{17},\\quad |\\overrightarrow{GB}|=\\sqrt{(-1)^2+4^2+3^2}=\\sqrt{26}.$\n\nSuy ra: $\\cos \\widehat{AGB}=\\dfrac{-1}{\\sqrt{17}\\sqrt{26}}=\\dfrac{-1}{\\sqrt{442}}.$\n\nTrong khi mệnh đề cho $\\dfrac{1}{\\sqrt{442}}$ (dương) ⇒ sai dấu.\n\n✅ Đáp án: d) Sai"}],"chapter":"vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"thông hiểu"},{"id":16,"text":"Thống kê thời gian trung bình sử dụng máy vi tính trong một ngày của nhân viên công ty X cho bởi bảng số liệu ghép nhóm. Khẳng định nào sau đây đúng?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698189afaf6d12a0aae63ac0","statements":[{"label":"A","text":"Số phần tử của mẫu số liệu trên là $n=40$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCác lớp thời gian (phút): $[30;60),\\ [60;90),\\ [90;120),\\ [120;150),\\ [150;180)$\n\nTần số (số nhân viên): $3,\\ 5,\\ 5,\\ 25,\\ 2$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra mệnh đề: cỡ mẫu $n=40$ có đúng không.\n\nKiến thức cần dùng: $n=\\sum f_i$ (tổng các tần số).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tổng tần số:\n$n=3+5+5+25+2=40.$\n\n✅ Đáp án: a) Đúng"},{"label":"B","text":"Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên bằng $118{,}5$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCác lớp và tần số như trên, $n=40$.\n\nMệnh đề: số trung bình cộng bằng $118{,}5$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra mệnh đề về trung bình cộng của số liệu ghép nhóm.\n\nKiến thức cần dùng:\nTrung điểm lớp $x_i=\\dfrac{a_i+b_i}{2}$\n\nTrung bình: $\\overline{x}=\\dfrac{\\sum f_i x_i}{n}$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính trung điểm các lớp:$45,\\ 75,\\ 105,\\ 135,\\ 165.$\n\nTính trung bình:\n$\\overline{x}=\\dfrac{3\\cdot45+5\\cdot75+5\\cdot105+25\\cdot135+2\\cdot165}{40}=\\dfrac{4740}{40}=118{,}5.$\n\n✅ Đáp án: b) Đúng"},{"label":"C","text":"Phương sai của mẫu số liệu trên bằng $945$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$n=40,\\ \\overline{x}=118{,}5.$\n\nTrung điểm lớp: $45,\\ 75,\\ 105,\\ 135,\\ 165.$\n\nMệnh đề: phương sai bằng $945$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.\n\nKiến thức cần dùng (phương sai theo SGK phổ thông):\n$s^2=\\dfrac{1}{n}\\sum f_i(x_i-\\overline{x})^2.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính:\n$\\sum f_i(x_i-\\overline{x})^2=3(45-118{,}5)^2+5(75-118{,}5)^2+5(105-118{,}5)^2+25(135-118{,}5)^2+2(165-118{,}5)^2=37710.$\n\nSuy ra: $s^2=\\dfrac{37710}{40}=942{,}75.$\n\nVì $942{,}75\\ne 945$ nên mệnh đề sai.\n\n✅ Đáp án: c) Sai"},{"label":"D","text":"Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng $3\\sqrt{105}$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTừ câu c) ta có $s^2=942{,}75.$\n\nMệnh đề: độ lệch chuẩn $s=3\\sqrt{105}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra độ lệch chuẩn (căn bậc hai của phương sai).\n\nKiến thức cần dùng: $s=\\sqrt{s^2}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính độ lệch chuẩn: $s=\\sqrt{942{,}75}\\approx 30{,}704.$\n\nTrong khi: $3\\sqrt{105}\\approx 30{,}741.$\n\nHai giá trị không bằng nhau ⇒ mệnh đề sai.\n\n✅ Đáp án: d) Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2026-lan-1-co-dap-an/1iQBpWiO3CMpJh99m6Xb3k2PPB9iC12E1_2026-02-03053743.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"bài tập cuối chương iii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 3","difficulty":"thông hiểu"},{"id":17,"text":"Một công ty thống kê tuổi của các nhân viên và kết quả được cho trong bảng số liệu ghép nhóm sau:\nKhoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần mười) là bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698189afaf6d12a0aae63ac1","correctAnswer":"4,8","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCác lớp tuổi: $[23;26),\\ [26;29),\\ [29;32),\\ [32;35),\\ [35;38)$\n\nTần số tương ứng: $23,\\ 40,\\ 56,\\ 33,\\ 8$\n\nĐộ rộng mỗi lớp: $h=3$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\n“Khoảng tứ phân vị” là: $$ \\Delta Q $=Q_3-Q_1$\n\nVới số liệu ghép nhóm, tìm $Q_1, Q_3$ bằng nội suy:\n$Q=L+\\dfrac{k-F_{\\text{trước}}}{f}\\cdot h$\n(trong đó (L) là cận dưới lớp chứa tứ phân vị, (f) là tần số lớp đó, (F_{\\text{trước}}) là tần số tích lũy trước lớp đó, (k) là vị trí cần tìm)\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính cỡ mẫu: $n=23+40+56+33+8=160.$\n\nLập tần số tích lũy:\nĐến $[23;26): 23$\n\nĐến $[26;29): 23+40=63$\n\nĐến $[29;32): 63+56=119$\n\nĐến $[32;35): 119+33=152$\n\nĐến $[35;38): 160$\n\nTìm $Q_1$:\nVị trí $k_1=\\dfrac{n}{4}=40$.\n\nVì $23<40\\le 63$ nên $Q_1$ nằm trong lớp $[26;29)$.\n\n$L=26,\\ F_{\\text{trước}}=23,\\ f=40,\\ h=3$\n$Q_1=26+\\dfrac{40-23}{40}\\cdot 3=26+\\dfrac{17}{40}\\cdot 3=27.275\\approx 27.3.$\n\nTìm $Q_3$:\nVị trí $k_3=\\dfrac{3n}{4}=120$.\n\nVì $119<120\\le 152$ nên $Q_3$ nằm trong lớp $[32;35)$.\n\n$L=32,\\ F_{\\text{trước}}=119,\\ f=33,\\ h=3$\n$Q_3=32+\\dfrac{120-119}{33}\\cdot 3=32+\\dfrac{1}{33}\\cdot 3\\approx 32.0909\\approx 32.1.$\n\nTính khoảng tứ phân vị: $$ \\Delta Q $=Q_3-Q_1\\approx32.0909-27.275\\approx4.8.$\n✅ Đáp án: $4.8$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2026-lan-1-co-dap-an/1Ho-1Ns3tA6-PzLVEYxTE2g8AgucmXUlv_2026-02-03053746.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm","difficulty":"thông hiểu"},{"id":18,"text":"Tại phòng thí nghiệm Sinh học, nhóm nghiên cứu nuôi cấy không liên tục Vi khuẩn E.Coli ở điều kiện tối ưu. Sự sinh trưởng của quần thể vi khuẩn bao gồm $4$ pha cơ bản:\n Pha tiềm phát (pha lag): Vi khuẩn dần thích nghi với môi trường, tổng hợp vật chất chuẩn bị cho sự phân chia.\n Pha luỹ thừa (pha log): Phân chia mạnh mẽ theo tiềm năng, số lượng tế bào tăng theo luỹ thừa và đạt đến cực đại ở cuối pha.\n Pha cân bằng: Lượng tế bào sinh ra bằng lượng tế bào chết đi.\n Pha suy vong: Số lượng tế bào trong quần thể ngày càng giảm do chất dinh dưỡng cạn kiệt, chất độc hại tích luỹ ngày càng nhiều.\nGiả sử trong giai đoạn “Pha luỹ thừa (pha log)”, số lượng của một quần thể vi khuẩn E.Coli được xác định bởi công thức $P(t)=100e^{0,1t}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng phút. Tại thời điểm $t=20$, tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể vi khuẩn E.Coli là bao nhiêu vi khuẩn/phút? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698189afaf6d12a0aae63ac1","correctAnswer":"74","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nQuần thể vi khuẩn được cho bởi công thức: $P(t)=100e^{0,1t}$ (với $t$ tính bằng phút).\n\nCần tính tốc độ tăng trưởng tức thời tại $t=20$ (tức là đạo hàm $P'(20)$).\n\nYêu cầu làm tròn đến hàng đơn vị.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\n“Tốc độ tăng trưởng tức thời” chính là đạo hàm theo thời gian: $\\text{tốc độ tăng trưởng} = P'(t).$\n\nHọc sinh cần áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm mũ: $\\left(e^{at}\\right)'=ae^{at}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLấy đạo hàm: $P'(t)=\\left(100e^{0,1t}\\right)'=100\\cdot 0,1\\cdot e^{0,1t}=10e^{0,1t}.$\n\nThay $t=20$: $P'(20)=10e^{0,1\\cdot 20}=10e^2.$\n\nTính gần đúng và làm tròn: $e^2\\approx 7{,}389 \\Rightarrow P'(20)\\approx 10\\cdot 7{,}389=73{,}89\\approx 74.$\n\n✅ Đáp án: $74$ (vi khuẩn/phút)","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tốc độ thay đổi của một đại lượng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":19,"text":"Hàm số $y=\\log_2(x^2+3x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\\infty;a)$. Giá trị lớn nhất của $a$ là bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698189afaf6d12a0aae63ac1","correctAnswer":"-3","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\log_2(x^2+3x).$\n\nHàm số nghịch biến trên khoảng $(-\\infty; a).$\n\nTìm giá trị lớn nhất của $a$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMuốn nói hàm số nghịch biến trên $(-\\infty;a)$ thì:\nTrước hết hàm phải xác định trên toàn bộ khoảng đó.\n\nSau đó kiểm tra dấu đạo hàm $y'<0$ trên khoảng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐiều kiện xác định:\n$x^2+3x>0 \\iff x(x+3)>0 \\iff x<-3 \\ \\text{hoặc}\\ x>0.$\n\nĐể hàm số xác định trên toàn bộ $(-\\infty;a)$, khoảng này không được chứa đoạn $(-3,0]$ (vì ở đó hàm không xác định).\nDo đó bắt buộc: $a\\le -3.$\n\nTính đạo hàm: $y'=\\dfrac{1}{\\ln 2}\\cdot \\dfrac{2x+3}{x^2+3x}.$\n\nTrên khoảng $(-\\infty,-3)$ ta có $x^2+3x>0$ nên dấu của $y'$ phụ thuộc vào $2x+3$.\nVới $x<-3$ thì $2x+3<0 \\Rightarrow y'<0.$\n\nVậy hàm nghịch biến trên $(-\\infty,-3).$\n\nGiá trị lớn nhất của $a$ thỏa yêu cầu là: $a=-3.$\n\n✅ Đáp án: $-3$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Một người điều khiển flycam để phục vụ một chương trình truyền hình. Người ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ là vị trí người điều khiển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ có hướng trùng với hướng nam, trục $Oy$ có hướng trùng với hướng đông, trục $Oz$ vuông góc với mặt đất và hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên mỗi trục tương ứng với $1(m)$.\nĐầu tiên flycam ở vị trí $A$ cách vị trí điều khiển $100(m)$ về phía nam và $150(m)$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $30(m)$. Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người ta điều khiển flycam đến vị trí $B$ cách vị trí điều khiển $80(m)$ về phía bắc và $120(m)$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $50(m)$. Flycam bay từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ theo một đường thẳng với tốc độ trung bình là $a(m/s)$ trong thời gian $45$ giây. Giá trị của $a$ (làm tròn đến hàng phần mười) là bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698189afaf6d12a0aae63ac1","correctAnswer":"7,2","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHệ trục $Oxyz$:\n$Ox$ hướng Nam (chiều dương).\n\n$Oy$ hướng Đông (chiều dương).\n\n$Oz$ hướng lên trên (chiều dương).\n\nĐơn vị trên trục là $1\\text{ m}$.\n\nFlycam ở:\nVị trí $A$: cách $O$ 100 m về Nam, 150 m về Đông, cao 30 m.\n\nVị trí $B$: cách $O$ 80 m về Bắc, 120 m về Tây, cao 50 m.\n\nBay thẳng từ $A$ đến $B$ trong $45$ giây, tốc độ trung bình là $a$ (m/s).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính tốc độ trung bình: $a=\\dfrac{AB}{45}.$\n\nMuốn tìm $AB$ trong không gian, dùng công thức khoảng cách 2 điểm:\n$AB=\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐổi dữ kiện sang tọa độ:\nVì $Ox$ dương hướng Nam nên: $A(100;\\ 150;\\ 30).$\n\nVì “Bắc” ngược chiều dương $Ox$ và “Tây” ngược chiều dương $Oy$ nên: $B(-80;\\ -120;\\ 50).$\n\nTính vectơ $\\overrightarrow{AB}$:\n$\\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\\ y_B-y_A;\\ z_B-z_A)=(-80-100;\\ -120-150;\\ 50-30)=(-180;\\ -270;\\ 20).$\n\nTính độ dài $AB$:\n$AB=\\sqrt{(-180)^2+(-270)^2+20^2}=\\sqrt{32400+72900+400}=\\sqrt{105700}=10\\sqrt{1057}.$\n\nTính tốc độ trung bình:\n$a=\\dfrac{AB}{45}=\\dfrac{10\\sqrt{1057}}{45}=\\dfrac{2\\sqrt{1057}}{9}\\approx 7.2\\ (\\text{m/s}).$\n\n✅ Đáp án: $a\\approx 7.2\\ \\text{m/s}$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":21,"text":"Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$.\n$AB=AD=4(m);\\ BC=3,5(m);\\ BB'=6(m).$\nỞ bức tường $ADD'A'$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $A'D'$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $3(m)$, còn ở bức tường $BCC'B'$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $B'C'$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $2,5(m)$.\nMột bảng điều khiển được đặt tại bức tường $A'B'C'D'$ cách cạnh $A'D'$ một khoảng bằng $1(m)$ và cao $1,5(m)$ so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến $2$ bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698189afaf6d12a0aae63ac1","correctAnswer":"10,4","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nNgôi nhà là lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$, trong đó $BB'=6\\text{ m}$ là “chiều sâu” (khoảng cách giữa hai mặt $ABCD$ và $A'B'C'D'$).\n\nĐáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ với: $ AB=AD=4\\text{ m},\\quad BC=3{,}5\\text{ m}. $\n\nBóng 1 nằm trên tường $ADD'A'$:\n\nCách cạnh $A'D'$: $3\\text{ m}$, cách sàn: $3\\text{ m}.$\n\nBóng 2 nằm trên tường $BCC'B'$:\nCách cạnh $B'C'$: $3\\text{ m}$, cách sàn: $2{,}5\\text{ m}.$\n\nBảng điều khiển đặt trên “tường” $A'B'C'D'$:\nCách cạnh $A'D'$: $1\\text{ m}$, cao $1{,}5\\text{ m}.$\n\nDây điện đi men theo các bức tường, không đi lên mái. Cần tổng chiều dài dây nhỏ nhất (làm tròn 0,1 m).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần tìm quãng đường ngắn nhất trên các mặt phẳng tường để nối từ bảng điều khiển đến mỗi bóng đèn, rồi cộng lại.\n\nKỹ thuật dùng: “trải phẳng” (mở) các mặt tường kề nhau, khi đó đường ngắn nhất trên tường trở thành đoạn thẳng trên hình trải.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChọn hệ tọa độ để mô tả dễ:\nĐặt mặt trước $ABCD$ nằm trong mặt phẳng $y=0$, chiều sâu là trục $y$, mặt sau $A'B'C'D'$ là $y=6$.\n\nLấy $A(0,0,0),\\ B(4,0,0),\\ D(0,0,4),\\ C(4,0,3{,}5).$\nKhi đó: $A'(0,6,0),\\ B'(4,6,0),\\ D'(0,6,4),\\ C'(4,6,3{,}5).$\n\nXác định tọa độ các điểm đặt thiết bị:\nBóng 1 trên tường $ADD'A'$ (tường này là $x=0$).\nCách cạnh $A'D'$ nghĩa là cách đường $y=6$ một đoạn $3$ ⇒ $y=3$, và cao $3$ ⇒ $z=3$:\n$L_1(0,3,3).$\n\nBóng 2 trên tường $BCC'B'$ (tường này là $x=4$).\nCách cạnh $B'C'$ ⇒ $y=3$, cao $2{,}5$ ⇒ $L_2(4,3,2{,}5).$\n\nBảng điều khiển trên mặt $A'B'C'D'$ (mặt này là $y=6$).\nCách cạnh $A'D'$ (đường $x=0$) một đoạn $1$ ⇒ $x=1$, cao $1{,}5$ ⇒$P(1,6,1{,}5).$\n\nTính đường đi ngắn nhất trên tường bằng cách trải phẳng 2 tường kề nhau:\nTừ $P$ (mặt $y=6$) đến $L_1$ (mặt $x=0$), hai mặt kề nhau theo cạnh $A'D'$.\nKhi trải phẳng, khoảng “lệch” ngang giữa hai điểm bằng tổng khoảng cách đến cạnh chung:\n$\\Delta = 1 + 3 = 4,$\nvà chênh cao: $\\Delta z = 1{,}5 - 3 = -1{,}5.$\nNên: $PL_1=\\sqrt{4^2+(-1{,}5)^2}=\\sqrt{16+2{,}25}=\\sqrt{\\frac{73}{4}}=\\frac{\\sqrt{73}}{2}.$\n\nTừ $P$ đến $L_2$ (mặt $x=4$), hai mặt kề nhau theo cạnh $B'C'$.\nKhoảng “lệch” ngang:$\\Delta = (4-1)+3=3+3=6,$\nchênh cao: $\\Delta z = 1{,}5-2{,}5=-1.$\nNên: $PL_2=\\sqrt{6^2+(-1)^2}=\\sqrt{37}.$\n\nTổng dây tối thiểu: $\\ell_{\\min}=PL_1+PL_2=\\frac{\\sqrt{73}}{2}+\\sqrt{37}\\approx 10{,}3548\\text{ m}\\approx 10{,}4\\text{ m}.$\n\n✅ Đáp án: $10{,}4\\text{ m}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2026-lan-1-co-dap-an/nh_chp_mn_hnh_2026-02-05_120441.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2026-lan-1-co-dap-an/1GSoDlZjE-h4Ktolb1oQLFotU2zXOUoAk_2026-02-03053738.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":22,"text":"Trong mùa mưa lũ, nước ở trên thượng nguồn đổ dồn về hạ lưu rất mạnh nên thường làm lệch quỹ đạo chuyển động của tàu, thuyền trên sông. Giả sử trong một hệ trục tọa độ $Oxy$ cho trước, một chiếc thuyền đang ở tại điểm $A\\left(4;\\dfrac{5}{3}\\right)$ và chuyển động về phía gốc tọa độ $O$. Do dòng chảy mạnh nên thuyền di chuyển trên cung đường $AB$ là một phần của đồ thị hàm số $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}$ như hình vẽ, với $B(-1;0)$. Gọi $M$ là một điểm bất kỳ nằm trên cung đường di chuyển của chiếc thuyền. Khoảng cách từ $M$ đến $O$ ngắn nhất bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698189afaf6d12a0aae63ac1","correctAnswer":"0,83","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nThuyền đi trên một cung của đồ thị hàm phân thức: $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}.$\n\nHai điểm trên cung đường: $A\\left(4;\\dfrac{5}{3}\\right),\\quad B(-1;0).$\n\nTừ hình vẽ, đồ thị đi qua điểm trên trục $Oy$: $(0;1).$\n\nGọi $M(x;y)$ là điểm bất kỳ trên cung $AB$. Cần tìm khoảng cách $MO$ nhỏ nhất.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần tìm: $\\min MO=\\min\\sqrt{x^2+y^2}$ với $M$ nằm trên cung $AB$ của đồ thị.\n\nKiến thức cần dùng:\nLập phương trình hàm số từ các điểm thuộc đồ thị.\n\nTối ưu hóa hàm số bằng đạo hàm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLập hàm số từ 3 điểm $B(-1;0),\\ (0;1),\\ A\\left(4;\\dfrac53\\right)$:\nTừ $B(-1;0)$: $\\dfrac{-a+b}{-c+d}=0\\Rightarrow -a+b=0\\Rightarrow b=a.$\n\nTừ $(0;1)$: $\\dfrac{b}{d}=1\\Rightarrow b=d.$\n\nSuy ra $a=b=d$. Gọi $a=b=d=k$. Khi đó: $y=\\dfrac{kx+k}{cx+k}.$\n\nThay $A\\left(4;\\dfrac53\\right)$:\n$\\dfrac{5k}{4c+k}=\\dfrac53 \\Rightarrow 15k=20c+5k\\Rightarrow 10k=20c\\Rightarrow c=\\dfrac{k}{2}.$\n\nVậy: $y=\\dfrac{k(x+1)}{\\frac{k}{2}x+k}=\\dfrac{x+1}{\\frac{x}{2}+1}=\\dfrac{2(x+1)}{x+2}.$\n\nGọi $M(x;y)$ trên cung $AB$ (tương ứng $x\\in[-1,4]$), khi đó:$y=\\dfrac{2(x+1)}{x+2}.$\n\nXét bình phương khoảng cách: $MO^2=x^2+y^2=x^2+\\left(\\dfrac{2(x+1)}{x+2}\\right)^2.$\nRút gọn được:\n$MO^2=\\dfrac{(x^2+2x+2)^2}{(x+2)^2} \\Rightarrow MO=\\dfrac{x^2+2x+2}{x+2}\\quad (vì\\ x\\in[-1,4]\\Rightarrow x+2>0).$\n\nĐặt: $d(x)=MO=\\dfrac{x^2+2x+2}{x+2}=x+\\dfrac{2}{x+2}.$\nLấy đạo hàm: $d'(x)=1-\\dfrac{2}{(x+2)^2}.$\nGiải $d'(x)=0$: $1-\\dfrac{2}{(x+2)^2}=0\\Rightarrow (x+2)^2=2\\Rightarrow x=-2+\\sqrt2$\n(nghiệm này thuộc $[-1,4]$).\n\nTính khoảng cách nhỏ nhất:\n$d_{\\min}=d(-2+\\sqrt2)=-2+\\sqrt2+\\dfrac{2}{\\sqrt2}=-2+2\\sqrt2=2(\\sqrt2-1)\\approx0,8284.$\n\n✅ Đáp án: Khoảng cách ngắn nhất xấp xỉ $0,83$ (làm tròn đến hàng phần trăm).","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2026-lan-1-co-dap-an/1IXYXXNrGwzhvjf-XeOF5IbzbT0sSMgdH_2026-02-03053737.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn","difficulty":"vận dụng cao"}]}

Bắt đầu thi thử