{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT An Dương Sở GD&ĐT Hải Phòng năm 2026 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"69817e9caf6d12a0aae63a8f","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"69817e9caf6d12a0aae63a90","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$x=-1$","correct":false,"reason":"Đây là phương trình của tiệm cận đứng (dạng $x=a$), không phải tiệm cận ngang (dạng $y=b$). Đồ thị tiến gần đường thẳng $x=-1$ khi $x \\to -1$ chứ không phải khi $x \\to \\pm\\infty$."},{"label":"B","text":"$x=1$","correct":false,"reason":"Đường thẳng $x=1$ không phải là tiệm cận của đồ thị vì đồ thị không có xu hướng tiến ra vô cực khi $x \\to 1$. Đây cũng là dạng tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang."},{"label":"C","text":"$y=2$","correct":true,"reason":"Khi $x \\to +\\infty$ và $x \\to -\\infty$, đồ thị hàm số đều tiến gần đến đường thẳng $y=2$. Theo định nghĩa, $y=2$ chính là tiệm cận ngang của đồ thị."},{"label":"D","text":"$y=-2$","correct":false,"reason":"Đồ thị tiến gần đến $y=2$ chứ không phải $y=-2$ khi $x \\to \\pm\\infty$. Giá trị $-2$ không phải là giới hạn của hàm số tại vô cực."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ.\n\nTrên hình vẽ có:\nTrục tọa độ $Ox, Oy$\n\nMột đường thẳng song song với trục $Ox$ đi qua mức $y=2$\n\nCác phương án trả lời gồm:\n$x=-1$\n\n$x=1$\n\n$y=2$\n\n$y=-2$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.\n\nHọc sinh cần áp dụng kiến thức:\nKhái niệm tiệm cận ngang:\nĐường thẳng $y=L$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị nếu khi $x \\to \\pm\\infty$ thì $f(x) \\to L$.\n\nQuan sát đồ thị để xem đồ thị “tiến gần” đường thẳng nào khi $x$ rất lớn hoặc rất nhỏ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhắc lại định nghĩa\nTiệm cận ngang có dạng $y = L$ (là đường thẳng song song trục $Ox$).\n\nBước 2: Quan sát đồ thị khi $x \\to +\\infty$\nNhánh bên phải của đồ thị tiến gần đến đường thẳng $y=2$.\n\nBước 3: Quan sát đồ thị khi $x \\to -\\infty$\nNhánh bên trái của đồ thị cũng tiến gần đến đường thẳng $y=2$.\n\nBước 4: Kết luận\nVì đồ thị tiến sát đường thẳng $y=2$ khi $x$ tiến ra vô cực nên $y=2$ là tiệm cận ngang.\n\nBước 5: Loại các phương án sai\n$x=-1, x=1$ là các đường thẳng đứng → không phải tiệm cận ngang.\n\n$y=-2$ không đúng theo hình vẽ.\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{y=2}$\n👉 Chọn đáp án C.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/12W7BzakJf9jXxV6COy9Rdp7-_l6ktU2M_2026-02-03045031.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận ngang","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$(-1;1)$","correct":false},{"label":"B","text":"$(1;+\\infty)$","correct":false},{"label":"C","text":"$(0;1)$","correct":true},{"label":"D","text":"$(-1;0)$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên.\n\nCác mốc quan trọng trên trục $x$ là:\n$x=-1,; x=0,; x=1$\n\nDấu của đạo hàm $f'(x)$:\n$f'(x)>0$ trên $(-\\infty,-1)$\n\n$f'(x)<0$ trên $(-1,0)$\n\n$f'(x)>0$ trên $(0,1)$\n\n$f'(x)<0$ trên $(1,+\\infty)$\n\nCác phương án lựa chọn:\nA. $(-1;1)$\n\nB. $(1;+\\infty)$\n\nC. $(0;1)$\n\nD. $(-1;0)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán hỏi: Hàm số đồng biến trên khoảng nào?\n\nHọc sinh cần áp dụng kiến thức:\nHàm số đồng biến trên khoảng khi $f'(x)>0$ trên khoảng đó.\n\nĐọc bảng biến thiên để xác định dấu của $f'(x)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhắc lại kiến thức quan trọng\nHàm số đồng biến ⇔ $f'(x)>0$.\n\nBước 2: Quan sát hàng $f'(x)$ trong bảng biến thiên\n$f'(x)>0$ trên các khoảng:\n$(-\\infty,-1)\\quad \\text{và}\\quad (0,1)$\n\nBước 3: So sánh với các phương án\n$(-1;1)$ ❌ vì trong đó có đoạn $(-1,0)$ thì $f'(x)<0$\n\n$(1;+\\infty)$ ❌ vì $f'(x)<0$\n\n$(0;1)$ ✅ vì $f'(x)>0$\n\n$(-1;0)$ ❌ vì $f'(x)<0$\n\nBước 4: Chọn khoảng thỏa mãn yêu cầu bài toán.\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{(0;1)}$\n👉 Chọn đáp án C.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1EN3Rn5NSUJHl_Y1skbCXiMfPnpXcMq46_2026-02-03045028.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":3,"text":"Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=3$, công sai $d=-4$. Số hạng thứ năm của cấp số cộng là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$-3072$","correct":false,"reason":"Sai vì áp dụng nhầm công thức cấp số nhân $u_n = u_1 \\cdot q^{n-1}$ với $q=-4$, tính ra $3 \\cdot (-4)^5 = -3072$ thay vì dùng công thức cấp số cộng."},{"label":"B","text":"$-13$","correct":true,"reason":"Đúng vì theo công thức cấp số cộng $u_n = u_1 + (n-1)d$, ta có $u_5 = 3 + 4(-4) = -13$."},{"label":"C","text":"$-17$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm công thức thành $u_n = u_1 + nd$, dẫn đến $3 + 5(-4) = -17$ (kết quả này thực chất là $u_6$)."},{"label":"D","text":"$768$","correct":false,"reason":"Sai vì áp dụng nhầm công thức cấp số nhân $u_5 = u_1 \\cdot q^4 = 3 \\cdot (-4)^4 = 768$ thay vì cộng dồn công sai."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=3$. \n\nCông sai $d=-4$. \n\nYêu cầu: tìm số hạng thứ năm $u_5$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính số hạng thứ 5 của một cấp số cộng. \n\nCần áp dụng công thức của cấp số cộng và thực hiện phép tính cộng / nhân đơn giản.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức tổng quát của cấp số cộng: \n$u_n = u_1 + (n-1)d$\n\nÁp dụng với $n=5$: \n$u_5 = u_1 + (5-1)d$\n\nThay số: $u_5 = 3 + 4\\cdot(-4)$\n\nTính: $4\\cdot(-4)=-16$ nên $u_5=3-16=-13$\n\nKiểm tra bằng cách liệt kê các số hạng: \n$u_1=3,\\; u_2=3+(-4)=-1,\\; u_3=-5,\\; u_4=-9,\\; u_5=-13$ — đúng như kết quả.\n\n✅ Đáp án: $\\text{B. -13}$","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số cộng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số cộng","difficulty":"nhận biết"},{"id":4,"text":"Một chất điểm chuyển động có phương trình $s=2t^2+3t$ ($t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t_0=2$ (giây) bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$19,m/s$","reason":"Sai do thế nhầm $t=4$ vào công thức vận tốc $v(t)=s'(t)=4t+3$, tính được $v(4)=19$ thay vì $t=2$."},{"label":"B","text":"$22,m/s$","reason":"Sai do cộng giá trị quãng đường $s(2)=14$ (m) với thành phần $4t=8$ (quên cộng hệ số 3 hoặc nhầm lẫn đơn vị), được $14+8=22$."},{"label":"C","text":"$11,m/s$","reason":"Đúng. Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s'(t)=4t+3$. Thay $t=2$ được $v(2)=4(2)+3=11$ (m/s)."},{"label":"D","text":"$9,m/s$","reason":"Sai do tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian (ví dụ từ $t=1$ đến $t=2$ là $\\frac{s(2)-s(1)}{1}=\\frac{14-5}{1}=9$) thay vì vận tốc tức thời."}],"chapter":"đạo hàm","topic":"định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"đạo hàm của hàm số tại một điểm","difficulty":"thông hiểu","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình chuyển động của chất điểm $s = 2t^2 + 3t$ với $t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét. Thời đ"},{"id":5,"text":"Doanh thu bán hàng trong $20$ ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng). Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$[11;13)$","correct":false},{"label":"B","text":"$[13;15)$","correct":false},{"label":"C","text":"$[9;11)$","correct":true},{"label":"D","text":"$[7;9)$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDoanh thu (triệu đồng) được phân bố theo các lớp: $[5;7),\\ [7;9),\\ [9;11),\\ [11;13),\\ [13;15)$ .\n\nSố ngày tương ứng (tần suất): $2,\\ 7,\\ 7,\\ 3,\\ 1$.\n\nTổng số ngày mẫu: $20$.\n\nCâu hỏi: tìm khoảng chứa số trung bình mẫu của 20 ngày trên.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính số trung bình mẫu (giá trị trung bình) của dữ liệu nhóm.\n\nKiến thức cần dùng: với dữ liệu phân bố theo lớp, dùng tâm lớp để xấp xỉ giá trị trung bình mẫu.\n\nSau khi tính trung bình, xác định khoảng (trong các phương án) chứa giá trị trung bình đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định tâm mỗi lớp:\n$m_1=\\frac{5+7}{2}=6,\\ m_2=8,\\ m_3=10,\\ m_4=12,\\ m_5=14.$\n\nGhi tần suất tương ứng: $f_1=2,\\ f_2=7,\\ f_3=7,\\ f_4=3,\\ f_5=1.$\n\nCông thức tính trung bình mẫu xấp xỉ cho dữ liệu theo lớp:\n$\\bar{x}=\\frac{\\sum_{i} f_i m_i}{\\sum_{i} f_i}.$\n\nTính tử số:\n$\\sum f_i m_i = 6\\cdot2 + 8\\cdot7 + 10\\cdot7 + 12\\cdot3 + 14\\cdot1$\n$=12 + 56 + 70 + 36 + 14 = 188.$\n\nChia cho tổng tần suất (n = 20):\n$\\bar{x}=\\frac{188}{20}=9{.}4.$\n\nKết luận: $9{.}4$ nằm trong khoảng $[9;11).$\n\n✅ Đáp án: C. $[9;11)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1r_vhYDuHv2u9c8fDMoNsxB9OXZYJatUO_2026-02-03045030.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm","difficulty":"thông hiểu"},{"id":6,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AD=a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\\sqrt{3}$. Số đo của góc nhị diện $[S,DC,B]$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$90^\\circ$","correct":false,"reason":"Sai vì góc nhị diện $[S,DC,B]$ là $\\angle SDA$ trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$, có $\\tan \\widehat{SDA} = \\frac{SA}{AD} = \\sqrt{3} \\neq \\tan 90^\\circ$ (vô định), nên hai mặt phẳng không vuông góc."},{"label":"B","text":"$60^\\circ$","correct":true,"reason":"Đúng vì góc nhị diện chính là $\\angle SDA$ trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$, với $\\tan \\widehat{SDA} = \\frac{SA}{AD} = \\frac{a\\sqrt{3}}{a} = \\sqrt{3}$ suy ra $\\widehat{SDA} = 60^\\circ$."},{"label":"C","text":"$30^\\circ$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm lẫn với góc phụ; nếu góc bằng $30^\\circ$ thì $\\tan 30^\\circ = \\frac{1}{\\sqrt{3}}$, nhưng tỉ số đúng là $\\sqrt{3}$ tương ứng $60^\\circ$."},{"label":"D","text":"$45^\\circ$","correct":false,"reason":"Sai vì để góc bằng $45^\\circ$ cần $SA = AD = a$ (tam giác vuông cân), nhưng đề bài cho $SA = a\\sqrt{3} \\neq a$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hình chóp $S.ABCD$.\n\nĐáy $ABCD$ là hình chữ nhật.\n\n$AD = a$.\n\n$SA \\perp (ABCD)$.\n\n$SA = a\\sqrt{3}$.\n\nYêu cầu: tính góc nhị diện $[S,DC,B]$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nGóc nhị diện $[S,DC,B]$ là góc giữa hai mặt phẳng:\nMặt phẳng $(ABCD)$\n\nMặt phẳng $(SCD)$\n\nHọc sinh cần áp dụng:\nCách xác định góc nhị diện thông qua hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.\n\nKiến thức tam giác vuông và tỉ số lượng giác.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định hai mặt phẳng và giao tuyến chung\nHai mặt phẳng cần xét là $(ABCD)$ và $(SCD)$.\n\nGiao tuyến chung của hai mặt phẳng là:\n$CD$\n\nBước 2: Tìm đường thẳng vuông góc với $CD$ trong mặt phẳng $(ABCD)$\nVì $ABCD$ là hình chữ nhật nên: $AD \\perp CD$\n\nDo đó, $AD \\subset (ABCD)$ và $AD \\perp CD$.\n\nBước 3: Tìm đường thẳng vuông góc với $CD$ trong mặt phẳng $(SCD)$\nDo $SA \\perp (ABCD)$ nên: $SA \\perp CD$\n\nTrong tam giác $SAD$, ta có: $SD \\perp CD$\n\nSuy ra: $SD \\subset (SCD)\\quad \\text{và}\\quad SD \\perp CD$.\n\nBước 4: Xác định góc nhị diện\nGóc nhị diện $[S,DC,B]$ chính là góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $SD$, tức là:\n$\\widehat{SDA}$\n\nBước 5: Tính góc $\\widehat{SDA}$\nXét tam giác $SAD$ vuông tại $A$: $SA \\perp AD$\n\nTa có: $SA = a\\sqrt{3}, \\quad AD = a$\n\nTính độ dài $SD$: $SD = \\sqrt{SA^2 + AD^2} = \\sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$\n\nKhi đó: $\\tan \\widehat{SDA} = \\frac{SA}{SD} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2a} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$\n\nSuy ra: $\\widehat{SDA} = 60^\\circ$\n\nBước 6: Kết luận\nGóc nhị diện $[S,DC,B] = 60^\\circ$.\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{60^\\circ}$","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"hai mặt phẳng vuông góc","grade":"GRADE_11","questionCategory":"góc nhị diện","difficulty":"vận dụng"},{"id":7,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Khi đó $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x)$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$-\\infty$","correct":false,"reason":"Khi $x \\to +\\infty$, đồ thị hàm số tiến dần đến đường thẳng ngang $y = -1$ nên có giới hạn hữu hạn, không tiến tới $-\\infty$."},{"label":"B","text":"$+\\infty$","correct":false,"reason":"Nhánh đồ thị ứng với $x > 1$ đi xuống và hội tụ về $y = -1$ chứ không tăng lên vô cực khi $x$ lớn dần."},{"label":"C","text":"$1$","correct":false,"reason":"Giá trị $1$ là hoành độ của tiệm cận đứng ($x = 1$), không phải giá trị giới hạn của hàm số khi $x \\to +\\infty$."},{"label":"D","text":"$-1$","correct":true,"reason":"Đồ thị có tiệm cận ngang $y = -1$ và khi $x \\to +\\infty$, nhánh bên phải tiến sát đến đường thẳng này nên $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = -1$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.\n\nTrên đồ thị ta quan sát được:\nCó một đường thẳng đứng (tiệm cận đứng) tại $x=1$.\n\nCó một đường thẳng ngang (tiệm cận ngang) tại $y=-1$.\n\nCần tính giới hạn:\n$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)$\n\nCác phương án trả lời:\nA. $-\\infty$\n\nB. $+\\infty$\n\nC. $1$\n\nD. $-1$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán hỏi: Giá trị mà hàm số tiến tới khi $x$ tăng rất lớn.\n\nHọc sinh cần áp dụng kiến thức:\nKhái niệm giới hạn của hàm số khi $x \\to +\\infty$.\n\nMối liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và tiệm cận ngang của đồ thị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Quan sát nhánh đồ thị bên phải\nXét phần đồ thị ứng với $x > 1$ (bên phải trục tung và bên phải tiệm cận đứng).\n\nBước 2: Xét hành vi của đồ thị khi $x$ tăng dần\nKhi $x \\to +\\infty$, nhánh đồ thị đi xuống và tiến dần đến đường thẳng $y=-1$.\n\nBước 3: Nhận xét về giới hạn\nVì đồ thị tiến sát (nhưng không cắt) đường thẳng $y=-1$ nên:\n$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x) = -1$\n\nBước 4: So sánh với các phương án\nKhông tiến tới $+\\infty$ hay $-\\infty$ ❌\n\nKhông tiến tới $1$ ❌\n\nTiến tới $-1$ ✅\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{-1}$\n👉 Chọn đáp án D.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1fotwp5w07AIAcnZE17__fjFJQ7PFIuzI_2026-02-03045021.png"],"chapter":"giới hạn. hàm số liên tục","topic":"giới hạn của hàm số","grade":"GRADE_11","questionCategory":"giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực","difficulty":"nhận biết"},{"id":8,"text":"Nghiệm của phương trình $\\sqrt{3}+3\\tan x=0$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$x=\\dfrac{\\pi}{2}+k\\pi$","correct":false,"reason":"Đây là các giá trị làm cho $\\tan x$ không xác định (vì $\\cos x = 0$), nên không thể là nghiệm của phương trình."},{"label":"B","text":"$x=-\\dfrac{\\pi}{6}+k\\pi$","correct":true,"reason":"Từ phương trình suy ra $\\tan x = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tan\\left(-\\dfrac{\\pi}{6}\\right)$, do đó nghiệm tổng quát là $x=-\\dfrac{\\pi}{6}+k\\pi$."},{"label":"C","text":"$x=\\dfrac{\\pi}{3}+k\\pi$","correct":false,"reason":"Vì $\\tan\\dfrac{\\pi}{3} = \\sqrt{3}$, thay vào phương trình được $\\sqrt{3} + 3\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\neq 0$, nên không thỏa mãn."},{"label":"D","text":"$x=\\dfrac{\\pi}{2}+k2\\pi$","correct":false,"reason":"Tại $x=\\dfrac{\\pi}{2}+k2\\pi$ thì $\\cos x = 0$ nên $\\tan x$ không xác định, do đó không thể là nghiệm."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình: $\\sqrt{3}+3\\tan x=0.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm mọi nghiệm của phương trình chứa hàm số lượng giác $\\tan x$.\n\nKiến thức cần dùng: phép biến đổi đại số, công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\\tan x = a$ (tính tuần hoàn của hàm tan).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChuyển vế: $3\\tan x = -\\sqrt{3}.$\n\nChia cả hai vế cho 3: $\\tan x = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = -\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}.$\n\nNhận thấy $\\tan\\left(\\dfrac{\\pi}{6}\\right)=\\dfrac{1}{\\sqrt{3}},$ nên $\\tan x = -\\tan\\left(\\dfrac{\\pi}{6}\\right)=\\tan\\left(-\\dfrac{\\pi}{6}\\right).$\n\nDùng nghiệm tổng quát của phương trình $\\tan x=\\tan\\alpha$ là $x=\\alpha+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}.$ \nVậy nghiệm tổng quát ở đây là\n$x=-\\dfrac{\\pi}{6}+k\\pi,\\quad k\\in\\mathbb{Z}.$\n\nKiểm tra nhanh với $k=0$: $x=-\\dfrac{\\pi}{6}$,\n$\\sqrt{3}+3\\tan\\left(-\\dfrac{\\pi}{6}\\right)=\\sqrt{3}+3\\left(-\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\right)=\\sqrt{3}-\\sqrt{3}=0.$\nThỏa mãn phương trình. (Lưu ý: các giá trị $\\tan x$ không xác định tại $x=\\dfrac{\\pi}{2}+k\\pi$, nhưng nghiệm tìm được không trùng các điểm đó.)\n\n✅ Đáp án: $\\text{B. }x=-\\dfrac{\\pi}{6}+k\\pi$","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"phương trình lượng giác cơ bản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình tanx=m","difficulty":"thông hiểu"},{"id":9,"text":"Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Mệnh đề nào sau đây sai?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{AC}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}$","correct":false,"reason":"Theo quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng đáy $ABCD$, đường chéo $\\overrightarrow{AC}$ là tổng của hai vectơ cạnh kề $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{AD}$, do đó mệnh đề đúng."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{CD}$","correct":true,"reason":"Vectơ $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{CD}$ tuy có cùng độ lớn nhưng ngược hướng (vì $\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{DC}$), nên $\\overrightarrow{AB}=-\\overrightarrow{CD}\\neq\\overrightarrow{CD}$. Đây là mệnh đề sai."},{"label":"C","text":"$|\\overrightarrow{AB}|=|\\overrightarrow{CD}|$","correct":false,"reason":"Các cạnh đối của hình vuông $ABCD$ có độ dài bằng nhau, suy ra môđun của hai vectơ bằng nhau $|\\overrightarrow{AB}|=|\\overrightarrow{CD}|$. Mệnh đề đúng."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AC'}$","correct":false,"reason":"Ta có $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{AC}$ theo quy tắc hình bình hành, và $\\overrightarrow{AC}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AC'}$ theo quy tắc cộng vectơ trong không gian, nên tổng ba vectơ bằng $\\overrightarrow{AC'}$. Mệnh đề đúng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$.\n\nCác mệnh đề được cho (A, B, C, D) trong đề; ta cần xác định mệnh đề nào sai.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Trong các mệnh đề cho về hình lập phương, mệnh đề nào là sai?\n\nKiến thức cần dùng:\nTính chất của hình vuông (cạnh đối song song và bằng nhau, hướng có thể ngược nhau).\n\nQuy tắc cộng vectơ (vectơ nối tổng bằng vectơ nối trực tiếp).\n\nQuan hệ giữa vectơ trong không gian đối với các cạnh và đường chéo của lập phương.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhận xét tôpô của hình: Thông thường các đỉnh của đáy được đặt theo thứ tự quanh hình vuông là $A \\to B \\to C \\to D$.\n\nXét mệnh đề B: $\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{CD}$.\nHai vectơ $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{CD}$ có cùng độ lớn và song song (vì là các cạnh đối của hình vuông), nhưng hướng của chúng là ngược nhau. Do đó ta có $\\overrightarrow{AB}=-\\overrightarrow{CD}$ chứ không bằng nhau.\n\nVí dụ tọa độ (theo kiến thức lớp 10–11): đặt $A(0,0,0),\\ B(1,0,0),\\ C(1,1,0),\\ D(0,1,0)$. Khi đó\n$\\overrightarrow{AB}=B-A=(1,0,0),$\n\n$\\overrightarrow{CD}=D-C=(0,1,0)-(1,1,0)=(-1,0,0).$\n\nRõ ràng $\\overrightarrow{AB}\\neq\\overrightarrow{CD},\\ \\overrightarrow{AB}=-\\overrightarrow{CD}.$\n\nKiểm tra nhanh các mệnh đề khác để đối chiếu:\nA: $\\overrightarrow{AC}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}$ — đúng (phép cộng vectơ trong tam giác hoặc quy tắc hình bình hành).\n\nC: $|\\overrightarrow{AB}|=|\\overrightarrow{CD}|$ — đúng (các cạnh đối của hình vuông có cùng độ dài).\n\nD: $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AC'}$ — đúng, vì $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{AC}$ và cộng thêm $\\overrightarrow{AA'}$ cho ta $\\overrightarrow{AC'}$.\n\n✅ Đáp án: B. $\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{CD}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/12W7BzakJf9jXxV6COy9Rdp7-_l6ktU2M_2026-02-03045031.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian","difficulty":"thông hiểu"},{"id":10,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A(2;1;-3),\\ B(0;-2;2),\\ C(4;-3;0)$. Tọa độ điểm $D$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$(2;0;-5)$","correct":false,"reason":"Nếu $D(2;0;-5)$ thì $\\vec{DC}=(2;-3;5)$ khác với $\\vec{AB}=(-2;-3;5)$ ở thành phần hoành độ, không thỏa mãn điều kiện $\\vec{AB}=\\vec{DC}$ của hình bình hành."},{"label":"B","text":"$(6;0;-5)$","correct":true,"reason":"Với $D(6;0;-5)$, ta có $\\vec{DC}=(-2;-3;5)=\\vec{AB}$, thỏa mãn tính chất hai vectơ đối bằng nhau $\\vec{AB}=\\vec{DC}$ nên $ABCD$ là hình bình hành."},{"label":"C","text":"$(2;0;5)$","correct":false,"reason":"Nếu $D(2;0;5)$ thì $\\vec{DC}=(2;-3;-5)$ có thành phần $x$ và $z$ trái dấu so với $\\vec{AB}=(-2;-3;5)$, không thỏa mãn điều kiện hình bình hành."},{"label":"D","text":"$(6;0;5)$","correct":false,"reason":"Nếu $D(6;0;5)$ thì $\\vec{DC}=(-2;-3;-5)$ khác $\\vec{AB}=(-2;-3;5)$ ở thành phần tung độ $z$, vi phạm điều kiện $\\vec{AB}=\\vec{DC}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm A có tọa độ $A(2;1;-3)$. \n\nĐiểm B có tọa độ $B(0;-2;2)$. \n\nĐiểm C có tọa độ $C(4;-3;0)$. \n\nHình bình hành $ABCD$ trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành. \n\nCần áp dụng kiến thức về vectơ trong không gian: tính toán vectơ giữa hai điểm và đặc tính của hình bình hành (các cạnh đối song song và bằng nhau).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $ABCD$ là hình bình hành theo thứ tự A→B→C→D, ta có vectơ $\\vec{AB}=\\vec{DC}$. \n\nViết phương trình vectơ: $\\vec{AB}=\\vec{B}-\\vec{A},\\quad \\vec{DC}=\\vec{C}-\\vec{D}$. Từ $\\vec{AB}=\\vec{DC}$ suy ra\n$\\vec{B}-\\vec{A}=\\vec{C}-\\vec{D}\\Rightarrow \\vec{D}=\\vec{A}+\\vec{C}-\\vec{B}.$\n\nThay tọa độ vào công thức:\n$\\vec{D}=\\big(2;1;-3\\big)+\\big(4;-3;0\\big)-\\big(0;-2;2\\big).$\n\nTính từng thành phần:\n$x_D=2+4-0=6,$ \n$y_D=1+(-3)-(-2)=1-3+2=0,$ \n$z_D=-3+0-2=-5.$\n\nVậy $D(6;0;-5)$. Kiểm tra nhanh: $\\vec{AB}=(0-2,\\,-2-1,\\,2-(-3))=(-2,-3,5)$ và $\\vec{DC}=(4-6,\\,-3-0,\\,0-(-5))=(-2,-3,5)$ — đúng bằng nhau.\n\n✅ Đáp án: $B. (6;0;-5)$","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"thông hiểu"},{"id":11,"text":"Tìm $a$ để hàm số $y=\\log_a x\\ (01$ phù hợp với tính đồng biến của đồ thị."},{"label":"C","text":"$a=-\\dfrac{1}{2}$","correct":false,"reason":"Cơ số của hàm logarit phải thỏa mãn $a>0$ và $a\\neq 1$, do đó $a=-\\dfrac{1}{2}$ không thỏa điều kiện để là cơ số."},{"label":"D","text":"$a=\\dfrac{1}{2}$","correct":false,"reason":"Nếu $a=\\dfrac{1}{2}$ thì $01$\n\nNghịch biến khi $0 1$ nên đồ thị đồng biến, phù hợp với hình vẽ.\n\nCác phương án còn lại:\n$a=\\frac12$ → đồ thị nghịch biến ❌\n\n$a=-\\frac12$ → không thỏa điều kiện cơ số ❌\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{a=\\sqrt{2}}$\n👉 Chọn đáp án B.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1cTblhaSaRk505-P2hS9b83r3NrPqF3gM_2026-02-03045033.png"],"chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hàm số lôgarit","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Nghiệm của phương trình $\\log_2 x=3$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8e","options":[{"label":"A","text":"$x=2$","correct":false,"reason":"Vì $\\log_2 2 = 1 \\neq 3$ nên $x=2$ không thỏa mãn phương trình đã cho."},{"label":"B","text":"$x=9$","correct":false,"reason":"Vì $2^3 = 8 \\neq 9$ nên $\\log_2 9 \\neq 3$, do đó $x=9$ không phải là nghiệm."},{"label":"C","text":"$x=8$","correct":true,"reason":"Theo định nghĩa logarit, $\\log_2 x = 3 \\Leftrightarrow x = 2^3 = 8$, giá trị này thỏa mãn điều kiện $x > 0$."},{"label":"D","text":"$x=3$","correct":false,"reason":"Vì $2^3 = 8 \\neq 3$ nên $\\log_2 3 \\neq 3$, vậy $x=3$ không phải là nghiệm của phương trình."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình: $\\log_2 x = 3$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm nghiệm của phương trình logarithm: giá trị của $x$ thỏa mãn $\\log_2 x = 3.$\n\nCần vận dụng kiến thức: định nghĩa logarit cơ bản — nếu $\\log_a b = c$ thì equivalently $b = a^c$, và điều kiện xác định của logarit là $x>0.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo định nghĩa logarit, từ $\\log_2 x = 3$ ta viết lại dưới dạng mũ:\n$x = 2^3.$\n\nTính giá trị mũ:\n$2^3 = 8.$\n\nKiểm tra điều kiện xác định: $x=8>0$ nên nghiệm hợp lệ.\n\nKiểm tra các phương án sai (nhẩm nhanh):\nNếu $x=2$ thì $\\log_2 2 = 1 \\neq 3.$\n\nNếu $x=9$ thì $\\log_2 9 \\approx 3{.}17 \\neq 3.$\n\nNếu $x=3$ thì $\\log_2 3 \\approx 1{.}585 \\neq 3.$\n\n✅ Đáp án: $\\text{C. } x=8$","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình lôgarit","difficulty":"nhận biết"},{"id":13,"text":"Cho hàm số $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây đúng?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8f","statements":[{"label":"A","text":"$2a+3b+c=9$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số:\n$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$\n\nĐồ thị đi qua các điểm:\n$(-2,1) \\Rightarrow f(-2)=1$\n\n$(-1,2) \\Rightarrow f(-1)=2$\n\n$(0,1) \\Rightarrow f(0)=1$\n\nHàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.\n\nNhánh phải đi lên ⇒ $a>0$.\n\nMệnh đề cần xét:\n$2a+3b+c=9$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nDựa vào các điểm đồ thị và điều kiện cực trị, xác định các hệ số $a,b,c$.\n\nSau đó kiểm tra mệnh đề $2a+3b+c=9$ là đúng hay sai.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Viết đạo hàm và điều kiện cực tiểu\n$f'(x)=3ax^2+2bx+c$\nCực tiểu tại $x=0$: $f'(0)=0 \\Rightarrow c=0 \\quad (1)$\n\nBước 2: Dùng các điểm đồ thị\n$f(0)=d=1$\n\n$f(-1)=2$:\n$-a+b-c+d=2$\n$-a+b+1=2 \\Rightarrow -a+b=1 \\quad (2)$\n\n$f(-2)=1$:\n$-8a+4b-2c+d=1$\n$-8a+4b+1=1 \\Rightarrow -8a+4b=0$\n$\\Rightarrow b=2a \\quad (3)$\n\nBước 3: Giải hệ\nTừ (2) và (3): $-a+2a=1 \\Rightarrow a=1$\n\nSuy ra: $b=2,\\quad c=0$\n\nBước 4: Tính biểu thức cần xét\n$2a+3b+c=2\\cdot1+3\\cdot2+0=2+6=8$\n\nBước 5: Kết luận\nMệnh đề cho: $2a+3b+c=9$\n\nThực tế: $2a+3b+c=8$\n\n✅ Kết luận:\nMệnh đề a) sai (S)."},{"label":"B","text":"Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số:\n$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$\n\nĐồ thị cho thấy:\nHàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=0$, với tung độ $y=1$.\n\nNhánh phải của đồ thị đi lên sau điểm $x=0$.\n\nMệnh đề cần xét:\nHàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐây là câu đúng – sai.\n\nTa cần xác định vị trí điểm cực tiểu của hàm số dựa vào đồ thị, rồi so sánh với mệnh đề đã cho.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Quan sát đồ thị tại các điểm uốn cong\nĐiểm thấp nhất của đồ thị (đáy của “chữ U” bên phải) nằm tại:\n$x=0$\n\nBước 2: Xác định loại cực trị\nTại $x=0$, đồ thị đổi chiều từ giảm → tăng\n\nDo đó, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.\n\nBước 3: So sánh với mệnh đề\nMệnh đề cho: cực tiểu tại $x=1$\n\nThực tế: cực tiểu tại $x=0$\n\n✅ Kết luận:\nMệnh đề b) sai (S)."},{"label":"C","text":"Tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;0]$ bằng $3$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.\n\nTừ đồ thị ta đọc được:\n$f(-1)=2$\n\n$f(0)=1$\n\nXét hàm số trên đoạn:\n$[-1;0]$\n\nMệnh đề cần xét:\nTổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;0]$ bằng 3.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu:\nTìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn $[-1;0]$.\n\nSau đó tính tổng hai giá trị này và so sánh với số 3.\n\nKiến thức cần dùng:\nTrên đoạn kín, GTLN – GTNN đạt tại:\nCác đầu mút của đoạn\n\nHoặc tại điểm cực trị nằm trong đoạn (nếu có).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định các điểm cần xét trên đoạn $[-1;0]$\nHai đầu mút: $x=-1,\\quad x=0$\n\nTrên đoạn $[-1;0]$ không có điểm cực trị nào khác ngoài hai đầu mút (theo đồ thị).\n\nBước 2: Tính giá trị hàm số tại các điểm đó\n$f(-1)=2$\n\n$f(0)=1$\n\nBước 3: Xác định GTLN và GTNN\nGiá trị lớn nhất: $\\max_{[-1,0]} f(x)=2$\n\nGiá trị nhỏ nhất: $\\min_{[-1,0]} f(x)=1$\n\nBước 4: Tính tổng GTLN và GTNN $2+1=3$\n\nBước 5: So sánh với mệnh đề\nMệnh đề cho đúng với kết quả tìm được.\n\n✅ Kết luận:\nMệnh đề c) đúng (Đ)."},{"label":"D","text":"Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\\infty;-1)$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.\n\nQuan sát đồ thị ta thấy:\nHàm số tăng dần từ phía bên trái cho đến khi đạt cực đại tại $x=-1$.\n\nMệnh đề cần xét:\nHàm số đồng biến trên khoảng $(-\\infty;-1)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐây là câu đúng – sai.\n\nTa cần xác định:\nTrên khoảng $(-\\infty;-1)$, hàm số có luôn tăng hay không.\n\nKiến thức sử dụng:\nHàm số đồng biến trên khoảng nếu khi $x$ tăng thì $f(x)$ cũng tăng.\n\nCó thể xác định trực tiếp bằng quan sát đồ thị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Quan sát nhánh đồ thị bên trái\nKhi $x$ tăng từ $-\\infty$ đến $-1$, đồ thị:\nĐi từ dưới lên trên\n\nKhông đổi chiều\n\nBước 2: Xác định tính đơn điệu\nTrên khoảng $(-\\infty;-1)$, hàm số luôn tăng.\n\nBước 3: So sánh với mệnh đề đã cho\nMệnh đề khẳng định hàm số đồng biến trên $(-\\infty;-1)$ là phù hợp với đồ thị.\n\n✅ Kết luận:\nMệnh đề d) đúng (Đ)."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1D9rcMt_kwiTx6lowQq6Jo_TARZ2xkGBK_2026-02-03045023.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AA'$. Cho biết $AB=2,\\ BC=\\sqrt{13},\\ CC'=4$. Khẳng định nào sau đây đúng?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8f","statements":[{"label":"A","text":"Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng $8$","correct":false,"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nHình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$.\n\n$AB=2,\\ BC=\\sqrt{13},\\ CC'=4.$\n\n$E$ là trung điểm của $AB$, $F$ là trung điểm của $AA'.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhương án (A) khẳng định: Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng $8.$\n\nCần tính thể tích lăng trụ: $V=S_{(ABC)}\\cdot\\text{chiều cao}$ và biết chiều cao là $CC'.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính độ dài $AC$ vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$:\n$AC=\\sqrt{BC^2-AB^2}=\\sqrt{(\\sqrt{13})^2-2^2}=\\sqrt{13-4}=3.$\n\nDiện tích đáy tam giác $ABC$:\n$S_{(ABC)}=\\frac12 AB\\cdot AC=\\frac12\\cdot2\\cdot3=3.$\n\nChiều cao lăng trụ là $CC'=4$ nên thể tích:\n$V=S_{(ABC)}\\cdot CC'=3\\cdot4=12.$\n\nSo sánh với giá trị đề bài cho:\n$12\\ne8.$\n\n✅ Đáp án: Sai\nKết luận: Sai"},{"label":"B","text":"Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'C$ và $FE$ bằng $\\dfrac{6}{7}$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$.\n\nĐáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$.\n\n$AB=2,\\quad BC=\\sqrt{13} \\Rightarrow AC=3$ (theo Pitago).\n\n$CC'=AA'=4$.\n\n$E$ là trung điểm của $AB$, $F$ là trung điểm của $AA'$.\n\nCần xét mệnh đề:\nKhoảng cách giữa hai đường thẳng $A'C$ và $FE$ bằng $\\dfrac{6}{7}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần tính đúng khoảng cách giữa hai đường chéo lệch $A'C$ và $FE$,\n\nSau đó so sánh với $\\dfrac{6}{7}$ để kết luận đúng hay sai.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhận xét quan hệ hình học quan trọng\nVì $FE \\parallel AC$ và $AC \\subset (A'BC)$ nên:\n$FE \\parallel (A'BC)$\n\nDo đó:\n$d(A'C,FE)=d(FE,(A'BC))$\n\nBước 2: Quy về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng\nVì $E$ là trung điểm của $AB$ nên:\n$d(FE,(A'BC))=d(E,(A'BC))=\\frac12 d(A,(A'BC))$\n\nBước 3: Tính $d(A,(A'BC))$\nTrong hình lăng trụ đứng, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BC)$ thỏa:\n$\\frac{1}{d^2}=\\frac{1}{AC^2}+\\frac{1}{AB^2}+\\frac{1}{AA'^2}$\n\nThay số: $\\frac{1}{d^2}=\\frac{1}{9}+\\frac{1}{4}+\\frac{1}{16}$\n$=\\frac{16+36+9}{144}=\\frac{61}{144}$\n\nSuy ra: $d=\\frac{12}{\\sqrt{61}}$\n\nBước 4: Tính khoảng cách cần tìm $d(A'C,FE)=\\frac12 d=\\frac{6}{\\sqrt{61}}$\n\nBước 5: So sánh với mệnh đề\nĐề cho: $\\dfrac{6}{7}$\n\nThực tế: $\\dfrac{6}{\\sqrt{61}} \\ne \\dfrac{6}{7}$\n\n✅ Kết luận:\nMệnh đề b) sai (S)."},{"label":"C","text":"Đường thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $AC'$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$.\n\nĐáy $ABC$ là tam giác vuông tại A nên:\n$AB \\perp AC$\n\nVì là lăng trụ đứng:\n$AA' \\perp (ABC)\\Rightarrow AA' \\perp AB$\n\nMệnh đề cần xét:\nĐường thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $AC'$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần kiểm tra quan hệ vuông góc:\n$AB \\perp AC'$\n\nGợi ý trong hình sử dụng kiến thức:\nĐường thẳng vuông góc với mặt phẳng\n\nNếu $d \\perp (P)$ và $d' \\subset (P)$ thì $d \\perp d'$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm :\nBước 1: Xét mặt phẳng $(ACA')$\nTa có: $AC \\subset (ACA'),\\quad AA' \\subset (ACA')$\n\nSuy ra: $AC' \\subset (ACA')$\n\nBước 2: Chứng minh $AB \\perp (ACA')$\nVì tam giác $ABC$ vuông tại $A$: $AB \\perp AC$\n\nVì lăng trụ đứng: $AB \\perp AA'$\n\nDo đó: $AB \\perp (ACA')$\n\nBước 3: Suy ra vuông góc với đường thẳng $AC'$\nVì: $AC' \\subset (ACA')$\n\nNên: $AB \\perp AC'$\n\nBước 4: So sánh với mệnh đề\nMệnh đề là đúng.\n\n✅ Kết luận:\nMệnh đề c) đúng (Đ)."},{"label":"D","text":"Côsin của góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng đáy $(ABC)$ bằng $\\dfrac{3}{5}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCần xét cosin góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng đáy $(ABC)$.\n\n$AC=3,\\quad AA'=4$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nGóc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc:\n$\\widehat{A'CA}$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét tam giác vuông $A'CA$ (vuông tại $A$):\n$A'C=\\sqrt{AC^2+AA'^2}=\\sqrt{9+16}=5$\n\nKhi đó:\n$\\cos\\widehat{A'CA}=\\frac{AC}{A'C}=\\frac{3}{5}$\n\n✅ Kết luận:\nMệnh đề d) đúng (Đ)."}],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"bài tập cuối chương vii.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 7","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm $9h30$ phút, các đơn vị trên hình tính theo km. Khẳng định nào sau đây đúng?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8f","statements":[{"label":"A","text":"Phi công để máy bay ở chế độ tự động với vận tốc theo hướng đông là $750km/h$, độ cao không đổi. Biết gió thổi theo hướng đông với vận tốc $10m/s$, giả sử vận tốc và hướng gió không đổi thì lúc $10h30$ phút máy bay ở tọa độ $(150;1086;9)$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVị trí máy bay tại 9h30 được mô tả trên hệ trục tọa độ (đơn vị km).\n\nMáy bay bay theo hướng Đông (trục (y)), độ cao không đổi.\n\nVận tốc tự động của máy bay:\n$750\\ \\text{km/h}$\n\nGió thổi theo hướng Đông với vận tốc: $10\\ \\text{m/s} = 36\\ \\text{km/h}$\n\nThời gian bay từ 9h30 đến 10h30 là: $1\\ \\text{giờ}$\n\nMệnh đề cần kiểm tra: Lúc 10h30 máy bay ở tọa độ ((150;1086;9)).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần xác định tọa độ máy bay lúc 10h30 dựa vào:\nVận tốc máy bay + vận tốc gió (cùng hướng Đông).\n\nThời gian bay 1 giờ.\n\nSau đó so sánh với tọa độ đã cho để kết luận đúng hay sai.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định tọa độ ban đầu lúc 9h30\nTừ hình vẽ: $M_{9h30}(150;300;9)$\n\nBước 2: Tính vận tốc thực theo hướng Đông\nVì gió và máy bay cùng hướng: $v_{\\text{thực}} = 750 + 36 = 786\\ \\text{km/h}$\n\nBước 3: Tính quãng đường bay theo trục (Oy) trong 1 giờ\n$s = 786 \\times 1 = 786\\ \\text{km}$\n\nBước 4: Tính tọa độ lúc 10h30\nTrục (Ox) và (Oz) không đổi:\n$x=150,\\quad z=9$\n\nTrục (y):\n$y = 300 + 786 = 1086$\n\nSuy ra:\n$M_{10h30}(150;1086;9)$\n\nBước 5: So sánh với mệnh đề\nTrùng khớp hoàn toàn với tọa độ đề cho.\n\n✅ Kết luận: Mệnh đề a) đúng (Đ)."},{"label":"B","text":"Tọa độ của máy bay vào lúc $9h30$ phút là $(300;150;9)$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTọa độ máy bay trên hình: $(150;300;9)$ (đơn vị: km), theo thứ tự $(x;y;z)$.\n\nThời điểm: 9h30 là thời điểm vị trí được cho trên hình.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu B khẳng định tọa độ lúc 9h30 là $(300;150;9)$. Cần kiểm tra xem khẳng định này có khớp với hình hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDựa vào hình: trục $x$ (Nam) có tọa độ $150$, trục $y$ (Đông) có tọa độ $300$, trục $z$ có tọa độ $9$.\n\nVị trí trên hình cho rõ là $(150;300;9)$ chứ không phải $(300;150;9)$. Khẳng định B hoán đổi hai thành phần $x$ và $y$ nên sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Vào thời điểm $9h30$ phút máy bay ở độ cao $9km$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTọa độ máy bay trên hình tại 9h30: $(150;300;9)$ (đơn vị km), trong đó phần tử thứ ba là độ cao $z=9$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu C khẳng định máy bay ở độ cao $9\\ \\mathrm{km}$ vào lúc 9h30. Cần kiểm tra ý nghĩa và đơn vị của toạ độ $z$ trên hình.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ mô tả hình: trục $z$ trục đứng lên và điểm máy bay có hoành độ thứ ba bằng $9$. Đề bài ghi rõ các đơn vị trên hình tính theo km.\n\nDo đó độ cao $z=9$ có đơn vị là km, tức là máy bay ở độ cao $9\\ \\mathrm{km}$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Sau khi bay đến vị trí lúc $10h30$ thì máy bay bay ngược lại với vận tốc $800km/h$ với độ cao không đổi, biết lúc đó trời lặng gió thì lúc $11h$ máy bay ở tọa độ $(686;150;9)$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTọa độ máy bay lúc 9h30: $(150;300;9)$.\n\nNhư đã tính ở phần A, tại 10h30 (sau 1 giờ, với vận tốc kết hợp) máy bay ở $(150;1086;9)$.\n\nSau đó (từ 10h30), máy bay bay \"ngược lại\" với vận tốc $800\\ \\mathrm{km/h}$, trời lặng (không gió). Cần xét vị trí lúc 11h (sau 0.5 giờ).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu D cho vị trí lúc 11h là $(686;150;9)$ và yêu cầu kiểm tra tính đúng/sai.\n\nCần xác định hướng \"ngược lại\" và tính toán quãng đường đi trong 0.5 giờ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTại 10h30 máy bay ở $(150;1086;9)$ .\n\n\"Ngược lại\" so với hướng Đông là hướng Tây, tức là giảm tọa độ $y$.\n\nKhông có gió nên vận tốc trên mặt đất là $800\\ \\mathrm{km/h}$.\n\nQuãng đường trong $0.5\\ \\mathrm{h}$: $\\Delta y=800\\times0.5=400\\ \\mathrm{km}$.\n\nTọa độ lúc 11h: $x=150\\ (không đổi),\\quad y=1086-400=686,\\quad z=9$. Vậy tọa độ đúng là $(150;686;9)$.\n\nCâu D cho là $(686;150;9)$, đã hoán đổi vị trí các thành phần và không đúng so với kết quả tính toán.\n\n✅ Đáp án: Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1tJtbwygNXTKGEFOYDJI5hR68RC3Eqoej_2026-02-03045034.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Một doanh nghiệp sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm là một phần của đồ thị hàm số $f(x)=\\dfrac{ax^2+bx+c}{x+e}$ như hình vẽ. Biết tâm đối xứng của đồ thị là điểm $I(-1;\\dfrac{2}{3})$ và đường tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm $B(3;2)$. Khẳng định nào sau đây đúng?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a8f","statements":[{"label":"A","text":"Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\\infty)$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số có dạng: $f(x)=\\frac{ax^2+bx+c}{x+e}$\n\nTâm đối xứng của đồ thị là: $I\\left(-1;\\frac{2}{3}\\right)$\n\nĐồ thị của hàm số được cho như hình vẽ (xét nhánh bên phải).\n\nMệnh đề cần xét:\nHàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\\infty)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐây là bài đúng – sai.\n\nCần xác định xem trên khoảng: $(0;+\\infty)$\nhàm số có luôn đồng biến hay không, dựa vào hình dạng đồ thị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuan sát đồ thị khi: $x>0$\n\nTa thấy đồ thị:\nBan đầu đi xuống, đạt một giá trị nhỏ nhất tại một điểm có: $x>0$\n\nSau đó mới đi lên khi $x$ tiếp tục tăng.\n\nNhư vậy, trên khoảng: $(0;+\\infty)$\nhàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng (vừa giảm rồi mới tăng).\n\nSo sánh với mệnh đề đã cho:\nMệnh đề “hàm số đồng biến trên $(0;+\\infty)$” là không đúng.\n\n✅ Kết luận:\nMệnh đề a) sai (S)."},{"label":"B","text":"Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\dfrac{ax^2+bx+c}{x+e}$ với tâm đối xứng $I\\left(-1;\\dfrac{2}{3}\\right)$.\n\nĐường tiệm cận xiên đi qua $B(3;2)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTùy chọn B khẳng định: \"Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$\". Cần xác định nghiệm của mẫu $x+e=0$ => tiệm cận đứng là $x=-e$.\n\nKiến thức: quan hệ giữa tâm đối xứng và tham số $e$ cho biết hoành độ tâm là $-e$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTâm có hoành độ $-1$ nên $-e=-1\\Rightarrow e=1$.\n\nTiệm cận đứng là nghiệm của $x+e=0$, tức là $x=-e=-1$.\n\nVậy tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.\n\n(Ghi chú thêm theo hình: đường tiệm cận đứng xuất hiện ở bên trái trục tung tại $x=-1$; hình mô tả đồ thị không có tiệm cận đứng tại $x=1$.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Theo khảo sát, tổng doanh thu của doanh nghiệp được mô tả bởi hàm số $R(x)=x^2+2x$ và lợi nhuận thu về khi bán $200$ sản phẩm là $5250$ USD. Khi chi phí theo số sản phẩm đạt giá trị nhỏ nhất, số sản phẩm sản xuất được (làm tròn đến hàng đơn vị) là $25$ sản phẩm","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm chi phí: $f(x)=\\frac{ax^2+bx+c}{x+e}$\n\nTâm đối xứng của đồ thị: $I\\left(-1;\\frac{2}{3}\\right)$\n\nĐường tiệm cận xiên đi qua: $A\\left(-1;\\frac{2}{3}\\right),\\quad B(3;2)$\n\nDoanh thu: $R(x)=x^2+2x$\n\nLợi nhuận khi bán 200 sản phẩm là: $5250\\ \\text{USD}$\n\nMỗi đơn vị trên trục hoành ứng với 100 sản phẩm, trục tung ứng với 1000 USD.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu c gồm ba ý kiểm tra:\nXác định đúng hàm chi phí $f(x)$.\n\nKiểm tra lợi nhuận khi $x=2$.\n\nTìm số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định tiệm cận đứng và dạng hàm số\nTâm đối xứng có hoành độ $-1$ nên tiệm cận đứng là: $x=-1 \\Rightarrow e=1$\n\nKhi đó: $f(x)=\\frac{ax^2+bx+c}{x+1}=ax-a+b+\\frac{c+a-b}{x+1}$\n\nSuy ra tiệm cận xiên: $y=ax-a+b$\n\nBước 2: Tìm $a,b$ từ tiệm cận xiên\nĐường thẳng $y=ax-a+b$ đi qua: $A\\left(-1;\\frac{2}{3}\\right),\\quad B(3;2)$\n\nTa có hệ:\n$\\begin{cases}\\dfrac{2}{3}=a(-1)-a+b \\\\ 2=3a-a+b\\end{cases}\\Longleftrightarrow\\begin{cases}a=\\dfrac13 \\\\ b=\\dfrac43\\end{cases}$\n\nBước 3: Tìm $c$ từ điều kiện lợi nhuận\nLợi nhuận: $R(x)-f(x)=x^2+2x-\\frac{\\frac13x^2+\\frac43x+c}{x+1}$\n\nKhi bán 200 sản phẩm thì $x=2$, lợi nhuận: $R(2)-f(2)=5{,}25$\n\nGiải:\n$2^2+2\\cdot2-\\dfrac{\\tfrac13\\cdot2^2+\\tfrac43\\cdot2+c}{2+1}=5{,}25\\Longleftrightarrow c=\\dfrac{17}{4}$\n\nDo đó: $f(x)=\\frac{\\frac13x^2+\\frac43x+\\frac{17}{4}}{x+1}$\n\nBước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí\nĐạo hàm: $f'(x)=\\frac{\\frac13x^2+\\frac23x-\\frac{35}{12}}{(x+1)^2}$\n\nGiải $f'(x)=0$: $x=\\frac{-2\\pm\\sqrt{39}}{2}$\n\nDo $x>0$ nên nhận: $x=\\frac{-2+\\sqrt{39}}{2}$\n\nBước 5: Đổi ra số sản phẩm thực tế\nSố sản phẩm: $\\frac{-2+\\sqrt{39}}{2}\\cdot100\\approx212\\ (\\text{sản phẩm})$\n\n✅ Kết luận: Mệnh đề c) sai (S)."},{"label":"D","text":"Hàm số có thể viết lại dưới dạng $f(x)=\\dfrac{1}{3}x+1+\\dfrac{d}{x+1}$, với $d\\in\\mathbb{R}$","correct":true,"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nTheo câu c), ta đã có:\n$f(x)=\\dfrac{\\tfrac13x^2+\\tfrac43x+\\tfrac{17}{4}}{x+1}$\n\nMệnh đề cần xét:\n$f(x)=\\tfrac13x+1+\\dfrac{d}{x+1},\\ d\\in\\mathbb{R}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra xem hàm số $f(x)$ có thể viết lại đúng dạng đã cho hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThực hiện phép chia đa thức:\n$\\dfrac{\\tfrac13x^2+\\tfrac43x+\\tfrac{17}{4}}{x+1}=\\tfrac13x+1+\\dfrac{\\tfrac{13}{4}}{x+1}$\n\nKhi đó:\n$d=\\dfrac{13}{4}\\in\\mathbb{R}$\n\n✅ Kết luận: Mệnh đề đúng."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1udekAlrgdvMqODpAYmuGWeGaVK5eGEzF_2026-02-03045025.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\\widehat{ADC}=60^\\circ$, $SA \\perp (ABCD)$ và $SA=\\sqrt{3}a$, $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Khoảng cách từ $G$ đến $(SCD)$ bằng $\\dfrac{a\\sqrt{m}}{n}$. Tính $m+n$?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a90","correctAnswer":"30","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$\n\n$\\widehat{ADC}=60^\\circ$\n\n$SA \\perp (ABCD)$ và $SA=\\sqrt{3}a$\n\n$G$ là trọng tâm tam giác $SAC$\n\nCần tính khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(SCD)$, có dạng $\\dfrac{a\\sqrt{m}}{n}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng\n\nHọc sinh cần áp dụng:\nTính chất hình thoi có góc $60^\\circ$\n\nKiến thức về trọng tâm tam giác\n\nCông thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng\n\nQuan hệ vuông góc trong hình chóp\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDo $ABCD$ là hình thoi và $\\widehat{ADC}=60^\\circ$ nên tam giác $ACD$là tam giác đều, suy ra:\n$AM=\\dfrac{AD\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{\\sqrt{3}a}{2}$\n(với $M$ là trung điểm $CD$)\n\nVì $SA \\perp (ABCD)$ nên $SA \\perp CD$, từ đó suy ra $SA \\perp SM$\n\nKẻ $AH \\perp SM$ tại $H$, khi đó: $AH \\perp (SCD)$\n→ $AH$ chính là đường vuông góc từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$\n\nXét tam giác vuông $ASM$, ta có: $AH=\\dfrac{AM\\cdot SA}{\\sqrt{AM^2+SA^2}}$\n\nThay số: $AH=\\dfrac{\\dfrac{\\sqrt{3}a}{2}\\cdot \\sqrt{3}a}{\\sqrt{\\dfrac{3a^2}{4}+3a^2}}$\n\nVì $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$ nên:\n$d(G,(SCD))=\\dfrac{1}{3}d(A,(SCD))=\\dfrac{1}{3}AH$\n\n✅ Đáp án: $d(G,(SCD))=\\dfrac{\\sqrt{15}a}{15}$\nSuy ra: $m=15,; n=15 \\Rightarrow m+n=30$ ✨","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1EN3Rn5NSUJHl_Y1skbCXiMfPnpXcMq46_2026-02-03045028.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"khoảng cách","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng","difficulty":"vận dụng"},{"id":18,"text":"Trọng lực $\\overrightarrow{P}$ là lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một vật được tính bởi công thức $\\overrightarrow{P}=m\\overrightarrow{g}$, trong đó $m$ là khối lượng của vật (đơn vị: $kg$), $\\overrightarrow{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do, có hướng đi xuống và có độ lớn $g=9,8,m/s^2$. Xác định độ lớn của trọng lực (đơn vị: $N$) tác dụng lên quả bóng có khối lượng $450$ gam (làm tròn đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a90","correctAnswer":"4,41","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKhối lượng quả bóng: 450 gam.\n\nGia tốc rơi tự do: $g = 9{,}8\\ \\text{m/s}^2$, hướng xuống.\n\nCông thức trọng lực: $\\overrightarrow{P} = m\\overrightarrow{g}$ (độ lớn: $P = mg$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: Tính độ lớn của trọng lực tác dụng lên quả bóng, đơn vị là N, làm tròn đến hàng phần trăm (hai chữ số thập phân).\n\nCần áp dụng: chuyển đổi gam → kg và công thức $P = mg$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChuyển khối lượng sang kg: \n$m = 450\\ \\text{g} = \\dfrac{450}{1000}\\ \\text{kg} = 0{,}45\\ \\text{kg}.$\n\nViết công thức độ lớn trọng lực: \n$P = mg.$\n\nThay số vào và tính: \n$P = 0{,}45 \\times 9{,}8 = 4{,}41\\ \\text{N}.$\n\nLàm tròn đến hàng phần trăm (hai chữ số thập phân): giá trị vẫn là 4,41 N.\n\n✅ Đáp án: 4,41 N","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ","difficulty":"thông hiểu"},{"id":19,"text":"Để chặn đường hành lang hình chữ $L$, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết $a=24$ và $b=3$. Hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a90","correctAnswer":"33,5","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHành lang có dạng chữ L như hình vẽ\n\nDùng một que sào thẳng, dài để chắn kín các điểm chạm với hành lang\n\nCác kích thước cho trước:\n$a = 24$ (bề rộng nhánh đứng)\n\n$b = 3$ (bề rộng nhánh ngang)\n\nYêu cầu tìm chiều dài nhỏ nhất của que sào thỏa mãn điều kiện\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán hỏi độ dài nhỏ nhất của một đoạn thẳng có thể đặt nghiêng để chạm vào hai nhánh của hành lang chữ L\n\nHọc sinh cần áp dụng:\nHình học phẳng (tam giác đồng dạng)\n\nBiểu diễn độ dài theo biến\n\nTìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐặt các điểm như hình vẽ: que sào là đoạn thẳng $AB$\n\nGọi $DF = x \\ (x>0)$\n\nNhận thấy hai tam giác: $\\triangle ADF \\sim \\triangle BED$\n\nSuy ra tỉ lệ: $\\dfrac{EB}{ED}=\\dfrac{AF}{DF}$\n\nVì $AF=a,\\ ED=b,\\ DF=x$ nên: $EB=\\dfrac{ab}{x}$\n\nGọi $l$ là chiều dài que sào, khi đó:\n$l^2=AB^2=(x+b)^2+\\left(a+\\dfrac{ab}{x}\\right)^2=f(x)$\n\nXét hàm số: $f(x)=(x+b)^2+\\left(a+\\dfrac{ab}{x}\\right)^2$\n\nTính đạo hàm:\n$f'(x)=2(x+b)-\\dfrac{2ab}{x^2}\\left(a+\\dfrac{ab}{x}\\right)$\n\nGiải $f'(x)=0$, ta được: $x=\\sqrt[3]{a^2b}$\n\nThay $a=24,\\ b=3$: $x=\\sqrt[3]{24^2\\cdot 3}=12$\n\nKhi đó:\n$f(12)=1125 \\Rightarrow l_{\\min}=\\sqrt{1125}=15\\sqrt{5}$\n\n✅ Đáp án: $l_{\\min}=15\\sqrt{5}\\approx 33{,}5$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1r_vhYDuHv2u9c8fDMoNsxB9OXZYJatUO_2026-02-03045030.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1vi6hbdDOJur7Ul88bTm2fh0Qk_cjFn49_2026-02-03045027.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":20,"text":"Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có $10$ bạn trong đội tuyển gồm $2$ bạn đến từ lớp $12A$, $3$ bạn từ lớp $12B$, $5$ bạn còn lại đến từ $5$ lớp khác (mỗi lớp một bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài có $10$ ghế mà mỗi bên có $5$ ghế xếp đối diện nhau. Xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau bằng $\\dfrac{a}{b}$ (với $\\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a-b$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a90","correctAnswer":"-25","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 10 học sinh trong đội tuyển:\n2 học sinh lớp 12A\n\n3 học sinh lớp 12B\n\n5 học sinh còn lại đến từ 5 lớp khác nhau (mỗi lớp 1 bạn)\n\nSắp xếp ngẫu nhiên 10 học sinh ngồi vào một bàn dài, mỗi bên 5 ghế đối diện nhau\n\nHai ghế đối diện tạo thành 1 cặp ghế\n\nCần tính xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau\n\nKết quả có dạng $\\dfrac{a}{b}$ (tối giản), yêu cầu tính $a-b$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán hỏi xác suất của một biến cố trong bài toán sắp xếp chỗ ngồi\n\nHọc sinh cần áp dụng:\nQuy tắc đếm (chỉnh hợp, tổ hợp)\n\nBiến cố – biến cố đối\n\nCông thức xác suất\n\nNguyên lý bao hàm – loại trừ\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1. Không gian mẫu\nTổng số cách sắp xếp 10 học sinh vào 10 ghế:\n$n(\\Omega)=10!$\n\nBước 2. Xét biến cố\nGọi:\n$A$: “Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau”\n\n$\\overline{A}$: “Có ít nhất một cặp học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau”\n\nTa tính $P(A)=1-P(\\overline{A})$\n\nBước 3. Phân tích biến cố đối\nGọi:\n$A_1$: “Hai học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau”\n\n$A_2$: “Có hai học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau”\n\nKhi đó:\n$\\overline{A}=A_1\\cup A_2$\n$n(\\overline{A})=n(A_1)+n(A_2)-n(A_1\\cap A_2)$\n\nBước 4. Tính$n(A_1)$\nChọn 1 cặp ghế đối diện cho 12A: $C_5^1$\n\nSắp xếp 2 học sinh 12A vào cặp ghế: $2!$\n\nSắp xếp 8 học sinh còn lại: $8!$\n$n(A_1)=C_5^1\\cdot 2!\\cdot 8!$\n\nBước 5. Tính $n(A_2)$\nChọn 2 trong 3 học sinh 12B: $C_3^2$\n\nChọn cặp ghế đối diện: $C_5^1$\n\nSắp xếp 2 học sinh vào cặp ghế: $2!$\n\nSắp xếp 8 học sinh còn lại: $8!$\n$n(A_2)=C_3^2\\cdot C_5^1\\cdot 2!\\cdot 8!$\n\nBước 6. Tính $n(A_1\\cap A_2)$\nChọn cặp ghế cho 12A: $5$ cách\n\nChọn cặp ghế khác cho 12B: $4$ cách\n\nChọn 2 trong 3 học sinh 12B: $C_3^2$\n\nSắp xếp trong mỗi cặp ghế: $2!\\cdot 2!$\n\nSắp xếp 6 học sinh còn lại: $6!$\n$n(A_1\\cap A_2)=5\\cdot4\\cdot C_3^2\\cdot2!\\cdot2!\\cdot6!$\n\nBước 7. Tính xác suất\n$n(\\overline{A})=1440000$\n$n(A)=10!-1440000=2188800$\n$P(A)=\\dfrac{n(A)}{n(\\Omega)}=\\dfrac{2188800}{10!}=\\dfrac{38}{63}$\n\n✅ Đáp án:\n$\\dfrac{a}{b}=\\dfrac{38}{63}$\n\n$a-b=38-63=-25$ ✔️","chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"bài tập cuối chương viii","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 8","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":21,"text":"Mảnh đất vườn của nhà anh Điệp có một phần ranh giới cũng là một phần đường cong $(C):\\ y=\\dfrac{x+a}{x+b}$ bao quanh nó là sông nước. Với hệ trục tọa độ $Oxy$ thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là $10$ mét thì đường cong $(C)$ đi qua điểm $(2;3)$ và có đường tiệm cận đứng $x=1$. Hằng ngày anh Điệp phải dùng thuyền máy để vận chuyển trái cây từ khu vườn của mình đến hai tuyến đường $\\Delta_1:\\ 2x+y-4=0$ và $\\Delta_2:\\ x+2y-2=0$ cho những người lái buôn từ nơi khác đến. Anh Điệp cần xác định một vị trí $M(x_0;y_0)$ thuộc khu vườn của mình để tổng các khoảng cách từ vị trí $M$ đó đến hai tuyến đường $\\Delta_1,\\ \\Delta_2$ là bé nhất. Hỏi khoảng cách từ vị trí được chọn làm gốc tọa độ đến điểm $M$ là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a90","correctAnswer":"34,1","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nRanh giới khu vườn là một đường cong $(C):\\ y=\\dfrac{x+a}{x+b}$\n\nĐường cong đi qua điểm $(2;3)$\n\nCó tiệm cận đứng $x=1$\n\nHai tuyến đường thẳng:\n$\\Delta_1: 2x+y-4=0$\n\n$\\Delta_2: x+2y-2=0$\n\nHệ trục tọa độ $Oxy$, 1 đơn vị ứng với 10 mét\n\nCần tìm điểm $M$ thuộc khu vườn sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến $\\Delta_1, \\Delta_2$ là nhỏ nhất\n\nYêu cầu: tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến điểm $M$ (làm tròn đến hàng phần chục)\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu:\nXác định phương trình cụ thể của đường cong $C$\n\nTìm điểm $M$ trên $C$sao cho tổng khoảng cách đến hai đường thẳng là nhỏ nhất\n\nSau đó tính khoảng cách thực tế $OM$\n\nKiến thức cần dùng:\nTiệm cận của hàm phân thức\n\nKhoảng cách từ điểm đến đường thẳng\n\nBài toán cực trị bằng đạo hàm\n\nQuy đổi đơn vị thực tế\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1. Xác định phương trình đường cong\nTiệm cận đứng của $y=\\dfrac{x+a}{x+b}$ là: $x=-b$\n\nDo tiệm cận là $x=1$ nên: $b=-1$\n\nThay điểm $(2;3)$ vào đồ thị: $3=\\dfrac{2+a}{2-1}\\Rightarrow a=1$\n\nVậy phương trình đường cong là: $(C):\\ y=\\dfrac{x+1}{x-1}$\n\nBước 2. Biểu diễn điểm $M$trên $C$\nGọi: $M\\left(x_0;\\dfrac{x_0+1}{x_0-1}\\right),\\quad x_0>1$\n\nBước 3. Viết tổng khoảng cách từ $M$ đến hai đường thẳng\nCông thức khoảng cách từ điểm $M(x_0,y_0)$ đến đường thẳng $ax+by+c=0$:\n$d=\\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\\sqrt{a^2+b^2}}$\n\nSuy ra:\n$d(M,\\Delta_1)=\\dfrac{\\left|2x_0+\\dfrac{x_0+1}{x_0-1}-4\\right|}{\\sqrt5}$\n$d(M,\\Delta_2)=\\dfrac{\\left|x_0+2\\dfrac{x_0+1}{x_0-1}-2\\right|}{\\sqrt5}$\n\nTổng khoảng cách:\n$d=\\dfrac{1}{\\sqrt5}\\left(\\left|\\dfrac{2x_0^2-5x_0+5}{x_0-1}\\right|+\\left|\\dfrac{x_0^2-x_0+4}{x_0-1}\\right|\\right)$\n\nBước 4. Khử dấu giá trị tuyệt đối\nVới $x_0>1$ ta có: $2x_0^2-5x_0+5>0,\\quad x_0^2-x_0+4>0$\n\nSuy ra: $\\sqrt5,d=\\dfrac{3x_0^2-6x_0+9}{x_0-1}=g(x_0)$\n\nBước 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của $g(x_0)$\nĐạo hàm: $g'(x_0)=\\dfrac{3x_0^2-6x_0-3}{(x_0-1)^2}$\n\nGiải $g'(x_0)=0$:\n$3x_0^2-6x_0-3=0\\Rightarrow x_0=1+\\sqrt2$\n\nKhi đó: $\\min g(x_0)=6\\sqrt2\\Rightarrow d_{\\min}=\\dfrac{6\\sqrt{10}}{5}$\n\nBước 6. Tính khoảng cách $OM$ thực tế\nTọa độ điểm tối ưu: $M(1+\\sqrt2;,1+\\sqrt2)$\n\nKhoảng cách trong hệ trục:\n$OM=\\sqrt{(1+\\sqrt2)^2+(1+\\sqrt2)^2}=(1+\\sqrt2)\\sqrt2$\n\nQuy đổi ra mét: $OM=10(1+\\sqrt2)\\sqrt2\\approx 34{,}1\\text{ m}$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{OM\\approx 34{,}1\\text{ mét}}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-an-duong-tinh-hai-phong-2026-lan-1-co-dap-an/1xkLci7Ehd5vsGLl6lHHVRHoX1gJdVfkB_2026-02-03045020.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{2x+3}{1-x}$. Gọi đường thẳng tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt có phương trình $x=a;\\ y=b$. Khi đó tổng $a+3b$ bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69817e9caf6d12a0aae63a90","correctAnswer":"-5","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x+3}{1-x}$.\n\nĐường thẳng tiệm cận đứng có phương trình $x=a$.\n\nĐường thẳng tiệm cận ngang có phương trình $y=b$.\n\nYêu cầu tính tổng $a+3b$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi cần tìm giá trị của biểu thức a + 3b, trong đó a là hoành độ của tiệm cận đứng và b là tung độ của tiệm cận ngang.\n\nCần áp dụng kiến thức:\nTiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 (và tử khác 0) — tìm giá trị x làm mẫu số = 0.\n\nTiệm cận ngang khi bậc tử và mẫu bằng nhau: giá trị tiệm cận ngang là tỉ số hệ số cao nhất của tử và mẫu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định tiệm cận đứng: mẫu số của hàm là $1-x$, nên đặt $1-x=0 \\Rightarrow x=1$. Do đó $a=1$.\n\nXác định tiệm cận ngang: bậc tử và mẫu đều bằng 1, nên $b=\\text{tỉ số hệ số của }x = \\dfrac{2}{-1}=-2$ (vì mẫu là $1-x$ có hệ số của $x$ là $-1$). Do đó $b=-2$.\n\nTính tổng: $a+3b = 1 + 3(-2) = 1 - 6 = -5$.\n\n✅ Đáp án: -5","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận đứng","difficulty":"thông hiểu"}]}

Bắt đầu thi thử