{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Bãi Cháy Sở GD&ĐT Quảng Ninh năm 2026 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6981a1b9adb58351916b8a8e","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6981a1b9adb58351916b8a8f","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6981a1b9adb58351916b8a90","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu đường tiệm cận?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$2$","correct":true},{"label":"B","text":"$3$","correct":false},{"label":"C","text":"$1$","correct":false},{"label":"D","text":"$4$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ với các mốc $x=-\\infty,;1,;2,;+\\infty$.\n\nKhi $x \\to 1^-$ thì $y \\to -\\infty$, và khi $x \\to 1^+$ thì $y \\to +\\infty$.\n\nKhi $x \\to -\\infty$ thì $y \\to -1$.\n\nKhi $x \\to +\\infty$ thì $y \\to 2$.\n\nTại $x=2$ có $y'=0$ và giá trị $y=1$ (điểm cực trị), nhưng không có dấu hiệu “vô cực”.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm số đường tiệm cận của đồ thị $y=f(x)$.\n\nHọc sinh cần dùng kiến thức về:\nTiệm cận đứng: khi $x \\to a$ mà $y \\to \\pm\\infty$ thì $x=a$ là tiệm cận đứng.\n\nTiệm cận ngang: khi $x \\to \\pm\\infty$ mà $y \\to L$ thì $y=L$ là tiệm cận ngang.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét tiệm cận đứng: từ bảng thấy khi $x \\to 1^-$ thì $y \\to -\\infty$ và $x \\to 1^+$ thì $y \\to +\\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=1$.\n\nXét tiệm cận ngang bên trái: khi $x \\to -\\infty$ thì $y \\to -1$ nên có tiệm cận ngang $y=-1$.\n\nXét tiệm cận ngang bên phải: khi $x \\to +\\infty$ thì $y \\to 2$ nên có tiệm cận ngang $y=2$.\n\nTại $x=2$ chỉ là điểm cực trị (vì $y'=0$), không tạo tiệm cận.\n\n✅ Đáp án: Có $3$ đường tiệm cận (gồm $x=1,; y=-1,; y=2$). Chọn B.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/19WAw68U4OST0hPBLETBjOYApZAQJfFDR_2026-02-03072021.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"thông hiểu"},{"id":2,"text":"Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA\\perp(ABC)$. Góc tạo bởi $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$\\widehat{SBC}$","correct":false,"reason":"Góc $\\widehat{SBC}$ là góc giữa $SB$ và $BC$, nhưng $BC$ không phải là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên $(ABC)$. Hình chiếu của $SB$ là $AB$ nên góc giữa $SB$ và mặt phẳng không phải là $\\widehat{SBC}$."},{"label":"B","text":"$\\widehat{SAB}$","correct":false,"reason":"Góc $\\widehat{SAB}$ là góc giữa $SA$ và $AB$, và vì $SA \\perp (ABC)$ nên $\\widehat{SAB} = 90^\\circ$. Đây là góc giữa cạnh bên $SA$ với đáy, không phải là góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$."},{"label":"C","text":"$\\widehat{SBA}$","correct":true,"reason":"Vì $SA \\perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ xuống $(ABC)$ là $A$, suy ra hình chiếu của đường thẳng $SB$ là $AB$. Do đó, góc giữa $SB$ và $(ABC)$ chính là góc giữa $SB$ và $AB$, tức là $\\widehat{SBA}$."},{"label":"D","text":"$\\widehat{SCA}$","correct":false,"reason":"Góc $\\widehat{SCA}$ là góc giữa $SC$ và $CA$, chính là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$. Câu hỏi yêu cầu góc giữa $SB$ và $(ABC)$ nên phương án này không đúng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABC$.\n\nCạnh bên $SA \\perp (ABC)$ (tức $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng đáy).\n\nCần xét góc tạo bởi đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nGóc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.\n\nVì vậy, ta cần tìm hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ rồi lấy góc giữa $SB$ và hình chiếu đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDo $SA \\perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của điểm $S$ lên $(ABC)$ chính là $A$.\n\nĐiểm $B$ đã nằm sẵn trên mặt phẳng $(ABC)$ nên hình chiếu của $B$ vẫn là $B$.\n\nVậy hình chiếu của đoạn/đường thẳng $SB$ lên $(ABC)$ là đường thẳng $AB$.\n\nGóc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và $AB$, tức là góc $\\widehat{SBA}$.\n\n✅ Đáp án: $\\widehat{SBA}$ (chọn C).","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"góc giữa đường thẳng và mặt phẳng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":3,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3),\\ B(1;-1;5)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$9$","correct":false,"reason":"Sai vì đây là giá trị của $AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2=(-1)^2+(-2)^2+2^2=9$, chưa lấy căn bậc hai để được độ dài đoạn thẳng $AB$."},{"label":"B","text":"$6$","correct":false,"reason":"Sai vì đây là tổng các tọa độ của điểm $A$ ($2+1+3=6$), không phải khoảng cách được tính theo công thức $\\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$."},{"label":"C","text":"$4$","correct":false,"reason":"Sai vì đây có thể là tổng giá trị tuyệt đối của hai hiệu tọa độ như $|y_B-y_A|+|z_B-z_A|=2+2=4$, bỏ qua thành phần $x$ và phép căn bậc hai trong công thức khoảng cách."},{"label":"D","text":"$3$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức $AB=\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}=\\sqrt{(1-2)^2+(-1-1)^2+(5-3)^2}=\\sqrt{1+4+4}=\\sqrt{9}=3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong không gian $Oxyz$ có hai điểm $A(2;1;3)$ và $B(1;-1;5)$.\n\nHỏi độ dài đoạn thẳng $AB$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.\n\nÁp dụng công thức khoảng cách: nếu $A(x_1,y_1,z_1);B(x_2,y_2,z_2)$ thì\n$AB=\\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính các hiệu tọa độ:\n$x_B-x_A=1-2=-1,$\n$y_B-y_A=-1-1=-2,$\n$z_B-z_A=5-3=2.$\n\nThay vào công thức:\n$AB=\\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+2^2}=\\sqrt{1+4+4}=\\sqrt{9}=3.$\n\n✅ Đáp án: $3$ (chọn D).","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"nhận biết"},{"id":4,"text":"Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=5,\\ u_{12}=38$ thì công sai $d$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$d=3$","correct":true,"reason":"Áp dụng công thức số hạng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$, thay $n=12$ ta có $38=5+11d$, suy ra $11d=33$ nên $d=3$."},{"label":"B","text":"$d=4$","correct":false,"reason":"Sai do lỗi tính toán khi lấy $38-5=44$ (thay vì $33$), dẫn đến $d=\\frac{44}{11}=4$; hoặc nếu $d=4$ thì $u_{12}=5+11\\cdot 4=49\\neq 38$."},{"label":"C","text":"$d=1$","correct":false,"reason":"Sai vì nếu $d=1$ thì $u_{12}=5+11\\cdot 1=16\\neq 38$, không thỏa mãn điều kiện đề bài."},{"label":"D","text":"$d=2$","correct":false,"reason":"Sai do lỗi tính toán khi lấy $38-5=22$ (thay vì $33$), dẫn đến $d=\\frac{22}{11}=2$; hoặc nếu $d=2$ thì $u_{12}=5+11\\cdot 2=27\\neq 38$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCấp số cộng $(u_n)$.\n\n$u_1=5$, $u_{12}=38$.\n\nHỏi công sai $d$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm công sai của cấp số cộng.\n\nDùng công thức số hạng tổng quát:\n$u_n=u_1+(n-1)d.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThay $n=12$ vào công thức: $u_{12}=u_1+(12-1)d=5+11d.$\n\nTheo đề bài: $5+11d=38.$\n\nChuyển vế và giải: $11d=38-5=33 \\Rightarrow d=\\frac{33}{11}=3.$\n\n✅ Đáp án: $d=3$ (chọn A).","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số cộng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số cộng","difficulty":"nhận biết"},{"id":5,"text":"Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=x+\\dfrac{4}{x}$ trên đoạn $[1;3]$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$6$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm lẫn, có thể do lấy tích của hoành độ $2$ và $3$ thay vì tích giá trị hàm số, hoặc tính toán sai."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{52}{3}$","correct":false,"reason":"Sai do nhận định nhầm $f(3)=\\frac{13}{3}$ là GTLN thay vì $f(1)=5$, dẫn đến tích $4 \\times \\frac{13}{3} = \\frac{52}{3}$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{65}{3}$","correct":false,"reason":"Sai do bỏ qua điểm cực trị $x=2$, chỉ so sánh hai đầu mút $f(1)=5$ và $f(3)=\\frac{13}{3}$, nhầm $\\frac{13}{3}$ là GTNN, dẫn đến tích $5 \\times \\frac{13}{3} = \\frac{65}{3}$."},{"label":"D","text":"$20$","correct":true,"reason":"Đúng do $y_{\\min}=f(2)=4$ và $y_{\\max}=f(1)=5$, nên tích là $4 \\times 5 = 20$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=x+\\frac{4}{x}$ trên đoạn $[1;3]$.\n\nYêu cầu: tính tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn đó.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm $y_{\\min}$ và $y_{\\max}$ của hàm số trên đoạn $[1;3]$.\n\nDùng kiến thức tìm GTLN–GTNN bằng đạo hàm: xét các điểm tới hạn trong đoạn và hai đầu mút.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét hàm $f(x)=x+\\frac{4}{x}$ với $x\\in[1,3].$\n\nTính đạo hàm: $f'(x)=1-\\frac{4}{x^2}.$\n\nTìm điểm tới hạn:\n$f'(x)=0 \\Rightarrow 1-\\frac{4}{x^2}=0 \\Rightarrow x^2=4 \\Rightarrow x=2$ (vì $x>0$).\n\nTính giá trị hàm tại các điểm cần xét $x=1,2,3$:\n$f(1)=1+\\frac{4}{1}=5,$\n$f(2)=2+\\frac{4}{2}=4,$\n$f(3)=3+\\frac{4}{3}=\\frac{13}{3}.$\n\nSo sánh: $y_{\\min}=4 \\text{ (tại } x=2\\text{)},\\quad y_{\\max}=5 \\text{ (tại } x=1\\text{)}.$\n\nTính tích: $y_{\\min}\\cdot y_{\\max}=4\\cdot 5=20.$\n\n✅ Đáp án: $20$ (chọn D).","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn","difficulty":"thông hiểu"},{"id":6,"text":"Trong không gian $Oxyz$, côsin của góc giữa hai vectơ $\\overrightarrow{u}=(10;10;20),\\ \\overrightarrow{v}=(10;-20;10)$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$\\dfrac{1}{6}$","correct":true,"reason":"Áp dụng đúng công thức $\\cos\\widehat{(\\vec u,\\vec v)}=\\frac{\\vec u\\cdot\\vec v}{|\\vec u||\\vec v|}$ với tích vô hướng $\\vec u\\cdot\\vec v=100$ và $|\\vec u|=|\\vec v|=10\\sqrt{6}$ nên $\\cos=\\frac{100}{600}=\\frac{1}{6}$."},{"label":"B","text":"$-\\dfrac{1}{6}$","correct":false,"reason":"Sai dấu do tính nhầm tích vô hướng (chỉ lấy $10\\cdot(-20)=-200$ mà bỏ qua các số hạng khác hoặc đổi dấu), trong khi thực tế $\\vec u\\cdot\\vec v=100>0$ nên cosin phải dương."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{1}{2}$","correct":false,"reason":"Sai giá trị do lỗi tính toán, chẳng hạn nhầm tích vô hướng bằng $300$ hoặc tính nhầm độ dài vectơ (ví dụ $|\\vec u|=20$ và $|\\vec v|=10$) dẫn đến tỷ số $\\frac{1}{2}$."},{"label":"D","text":"$-\\dfrac{1}{2}$","correct":false,"reason":"Sai cả dấu và giá trị, có thể do kết hợp lỗi tính tích vô hướng âm (ví dụ $-300$) và nhầm lẫn trong tính độ dài vectơ."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong không gian $Oxyz$ có hai vectơ $\\vec u=(10;10;20),\\quad \\vec v=(10;-20;10).$\n\nHỏi cosin của góc giữa $\\vec u$ và $\\vec v$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính $\\cos\\widehat{(\\vec u,\\vec v)}$.\n\nÁp dụng công thức: $\\cos\\widehat{(\\vec u,\\vec v)}=\\frac{\\vec u\\cdot\\vec v}{|\\vec u|;|\\vec v|}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tích vô hướng: $\\vec u\\cdot \\vec v=10\\cdot 10+10\\cdot(-20)+20\\cdot 10=100-200+200=100.$\n\nTính độ dài từng vectơ:\n$|\\vec u|=\\sqrt{10^2+10^2+20^2}=\\sqrt{100+100+400}=\\sqrt{600}=10\\sqrt6,$\n$|\\vec v|=\\sqrt{10^2+(-20)^2+10^2}=\\sqrt{100+400+100}=\\sqrt{600}=10\\sqrt6.$\n\nThay vào công thức cos:\n$\\cos\\widehat{(\\vec u,\\vec v)}=\\frac{100}{(10\\sqrt6)(10\\sqrt6)}=\\frac{100}{100\\cdot6}=\\frac{1}{6}.$\n\n✅ Đáp án: $\\frac{1}{6}$ (chọn A).","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"thông hiểu"},{"id":7,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào dưới đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SB}=2\\overrightarrow{SO}$","correct":false,"reason":"Vì $O$ không phải là trung điểm của $AB$ nên $\\overrightarrow{SA} + \\overrightarrow{SB} = 2\\overrightarrow{SO} + \\overrightarrow{OA} + \\overrightarrow{OB} \\neq 2\\overrightarrow{SO}$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{SB}+\\overrightarrow{SD}=\\overrightarrow{SO}$","correct":false,"reason":"Vì $O$ là trung điểm của $BD$ nên $\\overrightarrow{SB} + \\overrightarrow{SD} = 2\\overrightarrow{SO}$, chứ không phải bằng $\\overrightarrow{SO}$."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SC}=2\\overrightarrow{SO}$","correct":true,"reason":"Vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên $\\overrightarrow{OA} + \\overrightarrow{OC} = \\overrightarrow{0}$, suy ra $\\overrightarrow{SA} + \\overrightarrow{SC} = (\\overrightarrow{SO} + \\overrightarrow{OA}) + (\\overrightarrow{SO} + \\overrightarrow{OC}) = 2\\overrightarrow{SO}$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SB}+\\overrightarrow{SC}+\\overrightarrow{SD}=2\\overrightarrow{SO}$","correct":false,"reason":"Ta có $(\\overrightarrow{SA} + \\overrightarrow{SC}) + (\\overrightarrow{SB} + \\overrightarrow{SD}) = 2\\overrightarrow{SO} + 2\\overrightarrow{SO} = 4\\overrightarrow{SO} \\neq 2\\overrightarrow{SO}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành.\n\n$O$ là tâm hình bình hành (giao điểm hai đường chéo) nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.\n\nCác lựa chọn:\nA. $\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SB}=2\\overrightarrow{SO}$\n\nB. $\\overrightarrow{SB}+\\overrightarrow{SD}=\\overrightarrow{SO}$\n\nC. $\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SC}=2\\overrightarrow{SO}$\n\nD. $\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SB}+\\overrightarrow{SC}+\\overrightarrow{SD}=2\\overrightarrow{SO}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nChọn khẳng định vectơ đúng.\n\nDùng kiến thức: phân tích vectơ theo điểm trung gian $O$ và tính chất trung điểm trong hình bình hành.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $O$ là trung điểm của $AC$ nên:$\\overrightarrow{OA}+\\overrightarrow{OC}=\\overrightarrow{0}.$\n\nPhân tích vectơ theo $O$: $\\overrightarrow{SA}=\\overrightarrow{SO}+\\overrightarrow{OA},\\qquad \\overrightarrow{SC}=\\overrightarrow{SO}+\\overrightarrow{OC}.$\n\nCộng hai đẳng thức trên: $\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SC}=(\\overrightarrow{SO}+\\overrightarrow{OA})+(\\overrightarrow{SO}+\\overrightarrow{OC})=2\\overrightarrow{SO}+(\\overrightarrow{OA}+\\overrightarrow{OC}).$\n\nThay $\\overrightarrow{OA}+\\overrightarrow{OC}=\\overrightarrow{0}$ vào được: $\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SC}=2\\overrightarrow{SO}.$\n\nVậy mệnh đề đúng là phương án C.\n\n✅ Đáp án: C. $\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SC}=2\\overrightarrow{SO}.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/19I49gDqyxxh9_fU2kkzNpvGH6qmBy-e8_2026-02-03072021.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian","difficulty":"thông hiểu"},{"id":8,"text":"Tập xác định của hàm số $y=\\dfrac{2025}{\\sqrt{2}\\sin\\left(x-\\dfrac{\\pi}{4}\\right)}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$D=\\mathbb{R}\\setminus\\left\\lbrace\\dfrac{k\\pi}{4}\\mid k\\in\\mathbb{Z}\\right\\rbrace$","correct":false,"reason":"Sai vì loại bỏ quá nhiều giá trị như $x=0$ hay $x=\\frac{\\pi}{2}$ (khi $k=0,2$) nơi hàm số vẫn xác định ($\\sin(-\\frac{\\pi}{4})\\neq 0$ và $\\sin(\\frac{\\pi}{4})\\neq 0$), trong khi chỉ cần $\\sin(x-\\frac{\\pi}{4})\\neq 0$."},{"label":"B","text":"$D=\\mathbb{R}\\setminus\\left\\lbrace\\dfrac{\\pi}{4}+k\\pi\\mid k\\in\\mathbb{Z}\\right\\rbrace$","correct":true,"reason":"Đúng vì hàm số xác định khi mẫu số $\\sqrt{2}\\sin(x-\\frac{\\pi}{4})\\neq 0$, tức $\\sin(x-\\frac{\\pi}{4})\\neq 0$. Điều này tương đương $x-\\frac{\\pi}{4}\\neq k\\pi$ hay $x\\neq \\frac{\\pi}{4}+k\\pi$ với $k\\in\\mathbb{Z}$."},{"label":"C","text":"$D=\\mathbb{R}\\setminus\\lbrace\\left.\\dfrac{\\pi}{4}+k2\\pi\\mid k\\in\\mathbb{Z}\\right.\\rbrace$","correct":false,"reason":"Sai vì chỉ loại bỏ các điểm $x=\\frac{\\pi}{4}+k2\\pi$ (chu kỳ $2\\pi$) nhưng bỏ sót các điểm $x=\\frac{5\\pi}{4}, \\frac{9\\pi}{4},...$ (tức $\\frac{\\pi}{4}+\\pi+2k\\pi$) nơi $\\sin(x-\\frac{\\pi}{4})=\\sin(\\pi+2k\\pi)=0$. Đúng ra phải loại $k\\pi$ thay vì $k2\\pi$."},{"label":"D","text":"$D=\\mathbb{R}\\setminus\\left\\lbrace\\dfrac{\\pi}{4}+\\dfrac{k\\pi}{2}\\mid k\\in\\mathbb{Z}\\right\\rbrace$","correct":false,"reason":"Sai vì loại bỏ thừa các giá trị như $x=\\frac{3\\pi}{4}$ (khi $k=1$) trong khi tại đó $\\sin(x-\\frac{\\pi}{4})=\\sin(\\frac{\\pi}{2})=1\\neq 0$, hàm số vẫn xác định. Chu kỳ loại bỏ đúng phải là $\\pi$ chứ không phải $\\frac{\\pi}{2}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\dfrac{2025}{\\sqrt{2}\\sin\\left(x-\\dfrac{\\pi}{4}\\right)}.$\n\nCác đáp án cho tập xác định đều ở dạng loại các giá trị làm mẫu số bằng $0$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm tập xác định $D$ của hàm số.\n\nKiến thức cần dùng: phân thức xác định khi mẫu số $\\ne 0$, và $\\sin t=0 \\Leftrightarrow t=k\\pi,k\\in\\mathbb{Z}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐiều kiện xác định: $\\sqrt{2}\\sin\\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\ne 0 \\Leftrightarrow \\sin\\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\ne 0.$\n\nGiải phương trình mẫu bằng 0 để loại: $\\sin\\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right)=0 \\Leftrightarrow x-\\frac{\\pi}{4}=k\\pi \\ (k\\in\\mathbb{Z}).$\n\nSuy ra các giá trị cần loại: $x=\\frac{\\pi}{4}+k\\pi \\ (k\\in\\mathbb{Z}).$\n\nVậy tập xác định là: $D=\\mathbb{R}\\setminus\\left\\lbrace\\frac{\\pi}{4}+k\\pi\\mid k\\in\\mathbb{Z}.\\right\\rbrace$\n\n✅ Đáp án: B. $ D=\\mathbb{R}\\setminus\\left\\lbrace\\frac{\\pi}{4}+k\\pi\\mid k\\in\\mathbb{Z}.\\right\\rbrace $","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"hàm số lượng giác","grade":"GRADE_11","questionCategory":"định nghĩa hàm số lượng giác","difficulty":"thông hiểu"},{"id":9,"text":"Thời gian truy cập internet mỗi buổi tối của một số học sinh lớp 12 được cho trong bảng sau:. Số trung vị $M_e$ của mẫu số liệu ghép nhóm này là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$18$","correct":true,"reason":"Sai vì 18 là kết quả làm tròn xuống của 18,1 hoặc do tính toán thiếu chính xác (bỏ qua phần thập phân); giá trị chính xác theo công thức trung vị là $M_e = 15,5 + \\frac{28-15}{15} \\cdot 3 = 18,1$."},{"label":"B","text":"$18{,}1$","correct":false,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức $M_e = L + \\frac{\\frac{N}{2}-F}{f} \\cdot h$ với lớp $[15,5; 18,5)$ chứa vị trí thứ 28 ($N=56$), ta có $L=15,5$, $F=15$, $f=15$, $h=3$, suy ra $M_e = 15,5 + \\frac{13}{15} \\cdot 3 = 18,1$."},{"label":"C","text":"$18{,}2$","correct":false,"reason":"Sai vì 18,2 có thể do nhầm lẫn dùng $\\frac{N+1}{2}=28,5$ thay vì $\\frac{N}{2}=28$ khi xác định vị trí trung vị, dẫn đến $15,5 + \\frac{28,5-15}{15} \\cdot 3 = 18,2$."},{"label":"D","text":"$18{,}3$","correct":false,"reason":"Sai vì 18,3 có thể do chọn nhầm vị trí thứ 29 hoặc tính nhầm tần số tích lũy $F$, cho kết quả $15,5 + \\frac{29-15}{15} \\cdot 3 = 18,3$ thay vì dùng vị trí 28."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng tần số ghép nhóm (thời gian phút):\n$[9{,}5;12{,}5):3$ học sinh\n\n$[12{,}5;15{,}5):12$ học sinh\n\n$[15{,}5;18{,}5):15$ học sinh\n\n$[18{,}5;21{,}5):24$ học sinh\n\n$[21{,}5;24{,}5):2$ học sinh\n\nĐộ rộng mỗi lớp: $h=12{,}5-9{,}5=3.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm số trung vị $M_e$ của mẫu số liệu ghép nhóm.\n\nÁp dụng công thức trung vị cho số liệu ghép nhóm:$M_e=L+\\frac{\\frac{N}{2}-F}{f}\\cdot h,$\ntrong đó: \n$N$: tổng số quan sát\n\n$L$: cận dưới lớp chứa trung vị\n\n$F$: tần số tích lũy trước lớp chứa trung vị\n\n$f$: tần số của lớp chứa trung vị\n\n$h$: độ rộng lớp\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tổng số học sinh: $N=3+12+15+24+2=56 \\Rightarrow \\frac{N}{2}=28.$\n\nTính tần số tích lũy:\nSau lớp 1: $3$\n\nSau lớp 2: $3+12=15$\n\nSau lớp 3: $15+15=30$\n\nVì $15<28\\le 30$ nên lớp chứa trung vị là $[15{,}5;18{,}5)$.\nDo đó: $L=15{,}5;F=15;f=15;h=3.$\n\nThế vào công thức: $M_e=15{,}5+\\frac{28-15}{15}\\cdot 3=15{,}5+\\frac{13}{15}\\cdot 3=15{,}5+2{,}6=18{,}1.$\n\n✅ Đáp án: $18{,}1$ (chọn B).","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1rwIGITyM8UWzzMbne4SSZqvRAoUG8Qxp_2026-02-03072021.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm","difficulty":"thông hiểu"},{"id":10,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$x=-\\dfrac{1}{2}$","correct":false,"reason":"Đây là phương trình của tiệm cận đứng (dạng $x=x_0$), không phải tiệm cận ngang. Đồ thị tiến gần đường thẳng $x=-\\frac{1}{2}$ khi $x$ dần đến $-\\frac{1}{2}$ chứ không phải khi $x \\to \\pm\\infty$."},{"label":"B","text":"$x=1$","correct":false,"reason":"Phương trình $x=1$ biểu diễn một đường thẳng song song với trục tung (dạng tiệm cận đứng), không phải tiệm cận ngang. Hơn nữa, đồ thị không tiến gần đường thẳng này khi $x \\to \\pm\\infty$."},{"label":"C","text":"$y=-\\dfrac{1}{2}$","correct":false,"reason":"Mặc dù $y=-\\frac{1}{2}$ có dạng $y=a$ nhưng đây không phải là giới hạn của hàm số khi $x \\to \\pm\\infty$. Theo hình vẽ, đồ thị tiến gần đến đường thẳng $y=1$, không phải $y=-\\frac{1}{2}$."},{"label":"D","text":"$y=1$","correct":true,"reason":"Khi $x \\to +\\infty$ và $x \\to -\\infty$, cả hai nhánh của đồ thị đều tiến gần đến đường thẳng ngang $y=1$. Do đó, $y=1$ chính là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho đồ thị hàm số $y=f(x)$ như hình.\n\nHỏi tiệm cận ngang của đồ thị.\n\nCác đáp án:\nA. $x=-\\dfrac{1}{2}$\n\nB. $x=1$\n\nC. $y=-\\dfrac{1}{2}$\n\nD. $y=1$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTiệm cận ngang là đường thẳng dạng $y=a$ sao cho khi $x\\to +\\infty$ hoặc $x\\to -\\infty$ thì $f(x)\\to a$.\n\nNói cách khác: nhìn “về hai phía xa” của đồ thị xem nó tiến sát đường thẳng ngang nào.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuan sát đồ thị khi $x\\to +\\infty$: nhánh bên phải tiến sát một đường thẳng ngang màu xanh nằm ở mức $y=1$.\n\nQuan sát khi $x\\to -\\infty$: nhánh bên trái cũng tiến dần tới chính đường thẳng ngang đó.\n\nVậy tiệm cận ngang của đồ thị là: $y=1.$\n\n✅ Đáp án: D. $y=1.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1-u1UL6I7M-P1GegHC6zQyDkYhHJEbKDj_2026-02-03072021.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận ngang","difficulty":"nhận biết"},{"id":11,"text":"Một khối chóp có đường cao $h=3a$ và diện tích đáy $B=a^2$. Thể tích khối chóp đó bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$\\dfrac{a^3}{2}$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm lẫn trong tính toán, có thể là lấy $\\frac{1}{2}$ của kết quả đúng $a^3$ hoặc áp dụng sai hệ số trong công thức."},{"label":"B","text":"$3a^3$","correct":false,"reason":"Sai vì quên nhân với $\\frac{1}{3}$, áp dụng nhầm công thức thể tích khối lăng trụ $V=Bh=3a\\cdot a^2=3a^3$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{3a^3}{2}$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm hệ số $\\frac{1}{3}$ thành $\\frac{1}{2}$ trong công thức, tính ra $\\frac{1}{2}\\cdot a^2\\cdot 3a=\\frac{3a^3}{2}$."},{"label":"D","text":"$a^3$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng chính xác công thức thể tích khối chóp $V=\\frac{1}{3}Bh=\\frac{1}{3}\\cdot a^2\\cdot 3a=a^3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKhối chóp có đường cao $h=3a$.\n\nDiện tích đáy $B=a^2$.\n\nHỏi thể tích khối chóp.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính thể tích khối chóp khi biết diện tích đáy và chiều cao.\n\nÁp dụng công thức thể tích khối chóp: $V=\\frac{1}{3}Bh.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThay $B=a^2$ và $h=3a$ vào công thức:$V=\\frac{1}{3}\\cdot a^2 \\cdot 3a.$\n\nRút gọn: $V=a^3.$\n\n✅ Đáp án: D. $a^3.$","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","grade":"GRADE_11","questionCategory":"thể tích","difficulty":"nhận biết"},{"id":12,"text":"Mỗi ngày bác Minh đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: $km$) của bác Minh trong $20$ ngày được thống kê lại ở bảng sau:Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu thuộc nhóm nào sau đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8e","options":[{"label":"A","text":"$[3{,}0;3{,}3)$","correct":true,"reason":"Vị trí của $Q_1$ là $\\frac{N}{4} = \\frac{20}{4} = 5$. Tần số tích lũy đến nhóm trước là $3$ và đến nhóm này là $3+6=9$, do đó quan sát thứ $5$ thuộc nhóm $[3{,}0;3{,}3)$."},{"label":"B","text":"$[2{,}7;3{,}0)$","correct":false,"reason":"Nhóm này chỉ chứa $3$ quan sát đầu tiên (vị trí $1$ đến $3$), trong khi $Q_1$ nằm ở vị trí thứ $5$ nên không thuộc nhóm này."},{"label":"C","text":"$[3{,}6;3{,}9)$","correct":false,"reason":"Nhóm này chứa các quan sát từ vị trí $15$ đến $18$ (tần số tích lũy trước đó là $14$), quá xa vị trí thứ $5$ của $Q_1$."},{"label":"D","text":"$[3{,}3;3{,}6)$","correct":false,"reason":"Nhóm này chứa các quan sát từ vị trí $10$ đến $14$ (tần số tích lũy trước đó là $9$), trong khi $Q_1$ ở vị trí thứ $5$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng tần số (20 ngày) theo các nhóm quãng đường (km):\n$[2{,}7;3{,}0):3$ ngày\n\n$[3{,}0;3{,}3):6$ ngày\n\n$[3{,}3;3{,}6):5$ ngày\n\n$[3{,}6;3{,}9):4$ ngày\n\n$[3{,}9;4{,}2):2$ ngày\n\nTổng số ngày: $N=20$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHỏi tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ thuộc nhóm nào.\n\nKiến thức cần dùng: vị trí của $Q_1$ là quan sát thứ $\\frac{N}{4}.$\n\nSau đó dùng tần số tích lũy để xác định nhóm chứa vị trí đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính vị trí của $Q_1$: $\\frac{N}{4}=\\frac{20}{4}=5.$\nNghĩa là $Q_1$ nằm ở quan sát thứ 5 khi sắp tăng dần.\n\nTính tần số tích lũy:\nHết nhóm $[2{,}7;3{,}0)$: $3$ (chưa tới 5)\n\nHết nhóm $[3{,}0;3{,}3)$: $3+6=9$ (đã vượt 5)\n\nVì $3<5\\le 9$ nên quan sát thứ 5 nằm trong nhóm $[3{,}0;3{,}3)$.\n\n✅ Đáp án: A. $Q_1$ thuộc nhóm $[3{,}0;3{,}3).$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1K-bXP0BnTk442Qbe5h7empU-jO4kSFN3_2026-02-03072022.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm","difficulty":"thông hiểu"},{"id":13,"text":"Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy $A$ cung cấp cho nhà máy $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Biết rằng, nếu số lượng đặt hàng là $x$ (tấn) sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x)=45-0{,}001x^2$ (triệu đồng) và chi phí để nhà máy $A$ sản xuất được $x$ (tấn) sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ (triệu đồng, gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $30$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8f","statements":[{"label":"A","text":"Số tiền nhà máy $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho nhà máy $B$ là $500$ triệu đồng.","correct":false,"explanation":"📃 Ý a) Thông tin đề bài cho:\nGiá bán mỗi tấn: $P(x)=45-0{,}001x^2$ (triệu đồng/tấn).\n\nDoanh thu khi bán $x$ tấn: $R(x)=xP(x).$\n\nCần kiểm tra: “Bán $10$ tấn thì thu được $500$ triệu đồng”.\n\n❓ Ý a) Hiểu câu hỏi:\nTính $R(10)$ rồi so sánh với $500$ (triệu đồng).\n\n🔎 Ý a) Hướng dẫn cách làm:\nTính doanh thu: $R(x)=x(45-0{,}001x^2)=45x-0{,}001x^3.$\n\nThay $x=10$:\n$R(10)=45\\cdot 10-0{,}001\\cdot 10^3=450-1=449.$\n\n✅ Ý a) Kết luận: Sai (vì $449\\ne 500$)."},{"label":"B","text":"Nhà máy $A$ bán cho nhà máy $B$ là $70$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất.","correct":false,"explanation":"📃 Ý b) Thông tin đề bài cho:\n$P(x)=45-0{,}001x^2$, $C(x)=100+30x$ (triệu đồng).\n\nLợi nhuận: $H(x)=R(x)-C(x)$, với $0\\le x\\le 100$.\n\nCần kiểm tra: “Bán $70$ tấn/tháng thì lợi nhuận lớn nhất”.\n\n❓ Ý b) Hiểu câu hỏi:\nMuốn lợi nhuận lớn nhất: tìm điểm cực đại của $H(x)$ trên đoạn $[0,100]$ bằng đạo hàm.\n\n🔎 Ý b) Hướng dẫn cách làm:\nDoanh thu: $R(x)=xP(x)=45x-0{,}001x^3.$\n\nLợi nhuận: $H(x)=R(x)-C(x)=-0{,}001x^3+15x-100.$\n\nĐạo hàm: $H'(x)=-0{,}003x^2+15.$\n\nGiải $H'(x)=0$:\n$-0{,}003x^2+15=0 \\Rightarrow x^2=5000 \\Rightarrow x=\\sqrt{5000}\\approx 70{,}71.$\n\n✅ Ý b) Kết luận: Sai (vì giá trị cực đại đạt tại $x\\approx 70{,}71$, không phải đúng bằng $70$)."},{"label":"C","text":"Chi phí để nhà máy $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $400$ triệu đồng.","correct":true,"explanation":"📃 Ý c) Thông tin đề bài cho:\nChi phí: $C(x)=100+30x$ (triệu đồng).\n\nCần kiểm tra: “Chi phí sản xuất $10$ tấn là $400$ triệu đồng”.\n\n❓ Ý c) Hiểu câu hỏi:\nTính trực tiếp $C(10)$.\n\n🔎 Ý c) Hướng dẫn cách làm:\nThay $x=10$ vào công thức:\n$C(10)=100+30\\cdot 10=100+300=400.$\n\n✅ Ý c) Kết luận: Đúng."},{"label":"D","text":"Lợi nhuận mà nhà máy $A$ thu được khi bán $x$ (tấn) sản phẩm $(0\\le x\\le 100)$ cho nhà máy $B$ là $H(x)=-0{,}001x^3+15x-100$ (triệu đồng).","correct":true,"explanation":"📃 Ý d) Thông tin đề bài cho:\n$P(x)=45-0{,}001x^2$, $C(x)=100+30x$.\n\nCần kiểm tra công thức lợi nhuận: $H(x)=-0{,}001x^3+15x-100$ (triệu đồng).\n\n❓ Ý d) Hiểu câu hỏi:\nLợi nhuận $=$ Doanh thu $-$ Chi phí, nên lập $H(x)=xP(x)-C(x)$ để đối chiếu.\n\n🔎 Ý d) Hướng dẫn cách làm:\nDoanh thu: $R(x)=x(45-0{,}001x^2)=45x-0{,}001x^3.$\n\nLợi nhuận:\n$H(x)=R(x)-C(x)=(45x-0{,}001x^3)-(100+30x)=-0{,}001x^3+15x-100.$\n\n✅ Ý d) Kết luận: Đúng."}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;-1;1),\\ B(-1;3;-1),\\ C(5;-3;4)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8f","statements":[{"label":"A","text":"Tích vô hướng của hai véc tơ $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{AC}$ bằng $-23$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$A(2;-1;1),;B(-1;3;-1),;C(5;-3;4).$\n\nCần kiểm tra: $\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=-23$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính $\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AC}$ rồi lấy tích vô hướng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính vectơ:\n$\\overrightarrow{AB}=(-1-2;3-(-1);-1-1)=(-3;4;-2),$\n$\\overrightarrow{AC}=(5-2;-3-(-1);4-1)=(3;-2;3).$\n\nTích vô hướng:\n$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=(-3)\\cdot 3+4\\cdot(-2)+(-2)\\cdot 3=-9-8-6=-23.$\n\n✅ Kết luận ý a: Đúng."},{"label":"B","text":"Góc $\\widehat{BAC}$ là góc nhọn.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \n$ \\overrightarrow{AB}=(-3;4;-2);\\overrightarrow{AC}=(3;-2;3). $\nCần kiểm tra: góc $\\widehat{BAC}$ là góc nhọn.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nGóc giữa $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{AC}$:\nNếu $\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}>0$ ⇒ góc nhọn.\n\nNếu $\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}<0$ ⇒ góc tù.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ ý (a) đã có:\n$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=-23<0.$\n\nSuy ra $\\widehat{BAC}$ là góc tù.\n\n✅ Kết luận ý b: Sai."},{"label":"C","text":"Côsin của góc giữa hai véc tơ $\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AC}$ bằng $-\\dfrac{23}{\\sqrt{638}}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$\\overrightarrow{AB}=(-3;4;-2),\\overrightarrow{AC}=(3;-2;3).$\n\n$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=-23.$\n\nCần kiểm tra: $\\cos(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AC})=-\\frac{23}{\\sqrt{638}}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nDùng công thức: $\\cos(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AC})=\\frac{\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}}{\\left|\\overrightarrow{AB}\\right|\\left|\\overrightarrow{AC}\\right|}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính độ dài: $\\left|\\overrightarrow{AB}\\right|=\\sqrt{(-3)^2+4^2+(-2)^2}=\\sqrt{9+16+4}=\\sqrt{29},$\n$\\left|\\overrightarrow{AC}\\right|=\\sqrt{3^2+(-2)^2+3^2}=\\sqrt{9+4+9}=\\sqrt{22}.$\n\nSuy ra: $\\cos(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AC})=\\frac{-23}{\\sqrt{29}\\cdot\\sqrt{22}}=\\frac{-23}{\\sqrt{638}}.$\n\n✅ Kết luận ý c: Đúng."},{"label":"D","text":"Lấy điểm $M$ trên mặt phẳng $Oxy$ sao cho biểu thức $MA^2+MB^2+MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tọa độ của $M$ là $\\left(2;-\\dfrac{1}{3};0\\right)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$A(2;-1;1);B(-1;3;-1);C(5;-3;4).$\n\nĐiểm $M$ thuộc mặt phẳng $Oxy$ nên $M(x;y;0).$\n\nCần kiểm tra: để $MA^2+MB^2+MC^2$ nhỏ nhất thì\n$M\\left(2;-\\frac{1}{3};0\\right).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nDùng tính chất: với 3 điểm $A,B,C$, gọi $G$ là trọng tâm thì\n$MA^2+MB^2+MC^2 = 3MG^2 + \\text{hằng số}.$\n\nVì vậy muốn tổng nhỏ nhất ⇔ muốn $MG^2$ nhỏ nhất. Khi $M$ bị ràng buộc trên $Oxy$, ta chọn $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên $Oxy$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:\n$G\\left(\\frac{2+(-1)+5}{3};\\frac{-1+3+(-3)}{3};\\frac{1+(-1)+4}{3}\\right)=\\left(2;-\\frac{1}{3};\\frac{4}{3}\\right).$\n\nVì $M\\in Oxy$ nên $z_M=0$, do đó hình chiếu của $G$ lên $Oxy$ là: $M\\left(2;-\\frac{1}{3};0\\right).$\n\n✅ Kết luận ý d: Đúng."}],"chapter":"vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{x^2+bx+c}{x+n}$ có đồ thị và hai đường tiệm cận $d_1,\\ d_2$ như hình vẽ dưới đây.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8f","statements":[{"label":"A","text":"Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{x^2+bx+c}{x+n}$ có đồ thị và hai tiệm cận $d_1, d_2$ như hình.\n\nCần xét mệnh đề: tiệm cận đứng là $x=-1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTiệm cận đứng là đường thẳng dạng $x=a$ mà đồ thị “vọt lên/vọt xuống” khi $x\\to a$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuan sát hình, đường thẳng nét đứt đứng $d_1$ nằm tại vị trí $x=-1$.\n\nĐồ thị tiến ra vô cực hai phía khi tiến gần đường này.\n\n✅ Kết luận ý a: Đúng."},{"label":"B","text":"Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\\infty)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCần xét mệnh đề: “Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\\infty)$”.\n\nTừ hình vẽ, tiệm cận xiên $d_2$ đi qua gốc $O$ và có độ dốc $1$ nên:\n$d_2:\\ y=x.$\n\nTiệm cận đứng $x=-1$ nên suy ra $n=1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMuốn kết luận đồng biến trên $(0;+\\infty)$, ta có thể dựa vào dạng hàm sau khi chia đa thức.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChia đa thức theo $x+1$ (vì $n=1$):\n$\\frac{x^2+bx+c}{x+1}=x+(b-1)+\\frac{\\text{hằng số}}{x+1}.$\n\nVì tiệm cận xiên là $y=x$ nên: $b-1=0 \\Rightarrow b=1.$\n\nTừ đồ thị thấy $f(0)=1$ (đi qua điểm $(0;1)$) nên: $c=1.$\n\nKhi đó: $y=\\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\\frac{1}{x+1}.$\n\nĐạo hàm: $y'=1-\\frac{1}{(x+1)^2}.$\n\nVới $x>0$ thì $(x+1)^2>1 \\Rightarrow \\frac{1}{(x+1)^2}<1 \\Rightarrow y'>0.$\n\n✅ Kết luận ý b: Đúng (hàm số đồng biến trên $(0;+\\infty)$)."},{"label":"C","text":"Đồ thị hàm số có $2$ trục đối xứng, trong đó một trục đối xứng là đường thẳng $y=(p+\\sqrt{q})(x+1)-r$ $\\left(p,\\ q,\\ r\\ \\text{là các số nguyên}\\right)$. Khi đó $p+q+r=4$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMệnh đề: Đồ thị có 2 trục đối xứng, trong đó có một trục\n$y=(p+\\sqrt{q})(x+1)-r\\quad (p,q,r\\in\\mathbb{Z}),$\nvà $p+q+r=4$.\n\nTừ trên ta có hàm: $y=x+\\frac{1}{x+1}.$\n\nHai tiệm cận: $x=-1,\\qquad y=x.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nVới dạng “hypebol” có hai tiệm cận cắt nhau, tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận.\n\nHai trục đối xứng chính là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai tiệm cận.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiao điểm hai tiệm cận $x=-1$ và $y=x$ là: $I(-1;-1).$\n\nĐường phân giác sẽ có dạng đi qua $I$: $ y+1=m(x+1)\\Leftrightarrow;y=m(x+1)-1. $\n\nDo một tiệm cận tạo góc $90^\\circ$ (đứng) và một tiệm cận tạo góc $45^\\circ$ (vì $y=x$), nên một phân giác có hệ số góc: $m=\\tan 67{,}5^\\circ=1+\\sqrt{2}.$\n\nKhi đó trục đối xứng tương ứng là: $y=(1+\\sqrt{2})(x+1)-1.$\nSuy ra $p=1,\\ q=2,\\ r=1 \\Rightarrow p+q+r=1+2+1=4.$\n\n✅ Kết luận ý c: Đúng."},{"label":"D","text":"Điểm $M(1212;2025)$ và hai điểm cực trị của đồ thị hàm số thẳng hàng.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMệnh đề: “Điểm $M(1212;2025)$ và hai điểm cực trị của đồ thị thẳng hàng”.\n\nHàm số đã xác định: $y=x+\\frac{1}{x+1}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần tìm 2 điểm cực trị, lập phương trình đường thẳng qua chúng rồi kiểm tra điểm $M$ có thuộc đường đó không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm: $y'=1-\\frac{1}{(x+1)^2}.$\n\nGiải $y'=0$: $1-\\frac{1}{(x+1)^2}=0 \\Rightarrow (x+1)^2=1 \\Rightarrow x=0\\ \\text{hoặc}\\ x=-2.$\n\nTìm 2 điểm cực trị: $x=0\\Rightarrow y=0+\\frac{1}{1}=1 \\Rightarrow A(0;1),$\n$x=-2\\Rightarrow y=-2+\\frac{1}{-1}=-3 \\Rightarrow B(-2;-3).$\n\nĐường thẳng $AB$ có hệ số góc: $k=\\frac{1-(-3)}{0-(-2)}=\\frac{4}{2}=2.$\nNên phương trình: $y-1=2(x-0)\\Rightarrow y=2x+1.$\n\nThử điểm $M(1212;2025)$: $2x+1=2\\cdot 1212+1=2425\\ne 2025.$\n\n✅ Kết luận ý d: Sai (vì $M$ không thuộc đường thẳng qua hai điểm cực trị)."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/16nZSo8M1iNEQEa3iBfm_eth8GF39Wv0x_2026-02-03072022.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Cho hàm số $y=f(x)=2025-12\\ln(x+1)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a8f","statements":[{"label":"A","text":"Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2025;2026)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $f(x)=2025-12\\ln(x+1).$\n\nMệnh đề: $f(x)$ nghịch biến trên $(-2025;2026).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMuốn xét nghịch biến, ta xét dấu đạo hàm $f'(x)$ trên khoảng đã cho (nhớ điều kiện xác định).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐiều kiện: $x+1>0\\Rightarrow x>-1.$\n\nĐạo hàm: $f'(x)=-12\\cdot \\frac{1}{x+1}=-\\frac{12}{x+1}.$\n\nVới $x>-1$ thì $x+1>0 \\Rightarrow f'(x)<0.$\n\nTrên khoảng $(-2025;2026)$ có phần $(-2025;-1]$ không thuộc tập xác định. Vì vậy không thể nói hàm số nghịch biến trên toàn khoảng đó.\n\n✅ Kết luận ý a: Sai."},{"label":"B","text":"Phương trình $f(x)=2013$ có nghiệm là $x=e-1$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$f(x)=2025-12\\ln(x+1).$\n\nMệnh đề: phương trình $f(x)=2013$ có nghiệm $x=e-1.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nThế $x=e-1$ vào phương trình để kiểm tra đúng/sai.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính $f(e-1)$:\n$f(e-1)=2025-12\\ln((e-1)+1)=2025-12\\ln(e)=2025-12\\cdot 1=2013.$\n\n✅ Kết luận ý b: Đúng."},{"label":"C","text":"Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là $D=(-1;+\\infty)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$f(x)=2025-12\\ln(x+1).$\n\nMệnh đề: tập xác định $D=(-1;+\\infty).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHàm $\\ln(x+1)$ xác định khi $x+1>0$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐiều kiện: $x+1>0\\Rightarrow x>-1.$\n\nVậy tập xác định: $D=(-1;+\\infty).$\n\n✅ Kết luận ý c: Đúng."},{"label":"D","text":"Số nghiệm nguyên của bất phương trình $f(x)>\\ln^2(x+1)+2013$ là $2$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)=2025-12\\ln(x+1).$\n\nBất phương trình cần xét: $f(x)>\\ln^2(x+1)+2013.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi D: Kiểm tra nhận xét “Số nghiệm nguyên của bất phương trình trên là $2$.”\n\nCần áp dụng kiến thức: biến đổi bất phương trình, đổi biến $t=\\ln(x+1)$, giải bất phương trình bậc hai theo $t$, rồi tìm các giá trị nguyên của $x$ thỏa điều kiện và trong miền xác định $x>-1$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChuyển vế: $2025-12\\ln(x+1)>\\ln^2(x+1)+2013.$\n\nRút gọn: $12-12\\ln(x+1)>\\ln^2(x+1).$\n\nĐổi biến $t=\\ln(x+1)$. Bất phương trình trở thành\n$t^2+12t-12<0.$ \n\nTính nghiệm của phương trình bậc hai: \n$t=\\frac{-12\\pm\\sqrt{144+48}}{2}= -6\\pm4\\sqrt{3}.$ \nVậy khoảng nghiệm là\n$-6-4\\sqrt{3}-1$). Có đúng 2 nghiệm nguyên.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Ba người cùng bắn vào $1$ bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là $0{,}8;\\ 0{,}6;\\ 0{,}5$. Tính xác suất để có đúng $2$ người bắn trúng đích.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a90","correctAnswer":"0,46","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBa người cùng bắn vào 1 bia.\n\nXác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng lần lượt là $0{,}8;\\ 0{,}6;\\ 0{,}5$.\n\nGiả sử các lần bắn là độc lập.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: tính xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích.\n\nCần áp dụng quy tắc xác suất cho các biến cố độc lập và cộng xác suất của các trường hợp loại trừ lẫn nhau.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định 3 trường hợp mutually exclusive dẫn đến đúng 2 người trúng:\nTrường hợp A: người 1 và người 2 trúng, người 3 trượt.\n\nTrường hợp B: người 1 và người 3 trúng, người 2 trượt.\n\nTrường hợp C: người 2 và người 3 trúng, người 1 trượt.\n\nViết xác suất từng trường hợp (vì độc lập, nhân các xác suất):\n$P_A = 0{,}8\\cdot 0{,}6\\cdot (1-0{,}5)=0{,}8\\cdot0{,}6\\cdot0{,}5=0{,}24$\n\n$P_B = 0{,}8\\cdot (1-0{,}6)\\cdot0{,}5=0{,}8\\cdot0{,}4\\cdot0{,}5=0{,}16$\n\n$P_C = (1-0{,}8)\\cdot0{,}6\\cdot0{,}5=0{,}2\\cdot0{,}6\\cdot0{,}5=0{,}06$\n\nCộng các xác suất vì các trường hợp loại trừ lẫn nhau:\n$P=\\;P_A+P_B+P_C=0{,}24+0{,}16+0{,}06=0{,}46$\n\n✅ Đáp án: 0,46","chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập","grade":"GRADE_11","questionCategory":"công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập","difficulty":"thông hiểu"},{"id":18,"text":"Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm $T$ được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm $T$ là $x($)$ thì số sản phẩm $T$các nhà máy sản xuất sẽ là $R(x)=x-200$ và số sản phẩm $T$ mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là $Q(x)=4200-x$. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $x_0=3200$. Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a($)$ và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là $4:1$. Hãy xác định giá trị của $a$ biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a90","correctAnswer":"100","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChi phí sản xuất mỗi sản phẩm là $x$ (USD).\n\nSố sản phẩm nhà máy sản xuất: $R(x)=x-200.$\n\nSố sản phẩm bán trong nước: $Q(x)=4200-x.$\n\nSố sản phẩm dư để xuất khẩu:\n$E(x)=R(x)-Q(x)=\\big(x-200\\big)-\\big(4200-x\\big)=2x-4400.$\n\nGiá bán quốc tế cố định: $x_0=3200$ (USD/sản phẩm).\n\nThuế xuất khẩu mỗi sản phẩm: $a$ (USD).\n\nTỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của DN và thuế Nhà nước thu được là $4:1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần tìm $a$ để lãi xuất khẩu của doanh nghiệp là lớn nhất, đồng thời vẫn thỏa điều kiện tỉ lệ $4:1$.\n\nDùng kiến thức: lập biểu thức lợi nhuận theo $x$, đưa về hàm bậc hai rồi tìm giá trị lớn nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLãi xuất khẩu (tổng) của DN: $L(x)=\\big(x_0-x-a\\big),E(x).$\n\nThuế Nhà nước thu được: $T(x)=a,E(x).$\n\nĐiều kiện tỉ lệ $L:T=4:1$:\n$\\frac{(x_0-x-a)E(x)}{aE(x)}=4 ;\\Rightarrow; x_0-x-a=4a ;\\Rightarrow; x_0-x=5a.$\nSuy ra: $a=\\frac{x_0-x}{5}=\\frac{3200-x}{5}.$\n\nKhi đó:\n$L(x)=(x_0-x-a)E(x)=4a,E(x)=4\\cdot \\frac{3200-x}{5}\\cdot(2x-4400).$\n$L(x)=\\frac{8}{5}(3200-x)(x-2200).$\n\nĐây là parabola quay xuống, có hai nghiệm $x=2200$ và $x=3200$ nên đạt max tại trung điểm:\n$x=\\frac{2200+3200}{2}=2700.$\n\nThế vào công thức $a=\\dfrac{3200-x}{5}$:\n$a=\\frac{3200-2700}{5}=\\frac{500}{5}=100.$\n\n✅ Đáp án: $a=100\\text{ (USD)}.$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Người ta thường dùng cấu trục tháp (như hình vẽ) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cẩu trục dùng móc cẩu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn $1m$ so với vị trí cần đặt, sau đó giữ nguyên độ cao và cẩu trục quay cần nâng một góc $\\alpha\\in(0^\\circ;180^\\circ)$ sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng $(P)$ chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng $(P)$ so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống $1m$ theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, thân tháp là trục $Oz$ và mặt đất là mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm $A(6;8;0)$ và vị trí cần đặt vật liệu là điểm $B(4;-3;15)$. Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a90","correctAnswer":"37,7","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHệ trục $Oxyz$, thân tháp là trục $Oz$, mặt đất là $Oxy$.\n\nVật liệu ban đầu ở $A(6;8;0)$.\n\nVị trí cần đặt vật liệu ở $B(4;-3;15)$.\n\nQuy trình di chuyển:\nNâng thẳng đứng lên cao hơn vị trí cần đặt $1,\\text{m}$ (tức lên mức $z=16$).\n\nGiữ nguyên độ cao, quay cần tạo cung tròn quanh trục $Oz$.\n\nĐiều chỉnh xe con (trượt trên cần) để tới đúng phương thẳng đứng qua $B$.\n\nHạ thẳng đứng xuống $1,\\text{m}$ để tới $B$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính tổng quãng đường vật liệu đi được gồm 4 đoạn:\nNâng thẳng đứng,\n\nĐi theo cung tròn (quay quanh $Oz$),\n\nTrượt theo phương ngang (xe con),\n\nHạ thẳng đứng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nâng thẳng đứng từ $z=0$ lên $z=16$: $d_1=16.$\n\nGọi hình chiếu lên $Oxy$: $A'(6;8),\\quad B'(4;-3).$\nBán kính quay quanh $Oz$ tại vị trí trên $A$ là: $R=OA'=\\sqrt{6^2+8^2}=10.$\n\nBước 2: Quay cần theo cung tròn. Sau khi quay xong, vật liệu vẫn cách trục $Oz$ một khoảng $10$ và nằm cùng phương với $\\overrightarrow{OB'}$, nên điểm đến trên mặt phẳng $z=16$ là\n$A''=\\left(10\\cdot \\frac{4}{5},,10\\cdot \\frac{-3}{5}\\right)=(8;-6).$\nGóc quay là góc giữa $\\overrightarrow{OA'}=(6,8)$ và $\\overrightarrow{OA''}=(8,-6)$:\n$\\overrightarrow{OA'}\\cdot\\overrightarrow{OA''}=6\\cdot 8+8\\cdot(-6)=48-48=0 \\Rightarrow \\alpha=\\frac{\\pi}{2}.$\nĐộ dài cung tròn: $d_2=R\\alpha=10\\cdot\\frac{\\pi}{2}=5\\pi.$\n\nBước 3: Trượt xe con (giữ nguyên $z=16$) từ $A''(8;-6;16)$ đến điểm thẳng đứng phía trên $B$ là $B_1(4;-3;16)$: $d_3=A''B_1=\\sqrt{(8-4)^2+(-6-(-3))^2}=\\sqrt{16+9}=5.$\n\nBước 4: Hạ thẳng đứng từ $z=16$ xuống $z=15$: $d_4=1.$\n\nTổng quãng đường:\n$d=d_1+d_2+d_3+d_4=16+5\\pi+5+1=22+5\\pi\\approx 22+15{,}707=37{,}707.$\nLàm tròn đến hàng phần chục:\n$d\\approx 37{,}7\\text{ m}.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{37{,}7\\text{ m}}.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1zTeMxT-0kbVccxM2K8gFr8XCqV9mTm0t_2026-02-03072021.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Nhà thầy Minh cách bờ biển Bãi Cháy $1km$. Mỗi buổi sáng thầy Minh chạy bộ từ nhà ra bờ biển sau đó chạy dọc bờ biển $500m$, rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy về nhà. Biết chợ hải sản cách bờ biển Bãi Cháy $400m$ và cách nhà thầy Minh $1km$ (tham khảo hình vẽ). Tính quãng đường ngắn nhất mà thầy Minh đã chạy trong mỗi buổi sáng (đơn vị $m$ và làm tròn đến hàng đơn vị).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a90","correctAnswer":"2932","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nNhà $H$ cách bờ biển $1000\\text{ m}$.\n\nTừ điểm chạm bờ biển, thầy chạy dọc bờ biển $500\\text{ m}$ đến điểm kế tiếp.\n\nChợ (M) cách bờ biển $400\\text{ m}$.\n\nKhoảng cách từ nhà đến chợ: $HM=1000,\\text{m}$.\n\nLộ trình: $H \\to A$ (ra bờ) $\\to B$ (dọc bờ (500)m) $\\to M$ (vào chợ) $\\to H$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm quãng đường chạy nhỏ nhất theo đúng lộ trình trên.\n\nHọc sinh cần biết: đặt tọa độ, viết biểu thức độ dài, rồi tìm giá trị nhỏ nhất (dùng đạo hàm).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nĐặt bờ biển là trục $Ox$ (tức $y=0$). Chọn chân đường vuông góc từ nhà xuống bờ làm gốc (O).\n\nKhi đó:\nNhà $H(0,1000)$.\n\nGọi điểm thầy chạm bờ là $A(a,0)$ (với $a$ thay đổi).\n\nSau khi chạy dọc bờ $500$m: $B(a+500,0)$.\n\nTìm tọa độ chợ $M$: vì $M$ cách bờ $400 $ m nên $ M(x,400) $ . Lại có $ HM=1000 $ :\n$x^2+(400-1000)^2=1000^2$\n$x^2+600^2=1000^2 \\Rightarrow x^2=640000 \\Rightarrow x=800$\n(theo hình chợ ở bên phải), nên $ M(800,400) $ .\n\nTính các đoạn đường theo $a $ :\n$HA=\\sqrt{(a-0)^2+(0-1000)^2}=\\sqrt{a^2+1000^2}$\n$AB=500$\n$BM=\\sqrt{(800-(a+500))^2+(400-0)^2}=\\sqrt{(300-a)^2+400^2}$\n$MH=1000$\n\nTổng quãng đường: $S(a)=\\sqrt{a^2+1000^2}+500+\\sqrt{(300-a)^2+400^2}+1000$\nMuốn $ S(a) $ nhỏ nhất thì chỉ cần $ (f(a)=\\sqrt{a^2+1000^2}+\\sqrt{(300-a)^2+400^2} $ nhỏ nhất.\n\nLấy đạo hàm và cho bằng 0:\n$f'(a)=\\frac{a}{\\sqrt{a^2+1000^2}}+\\frac{a-300}{\\sqrt{(a-300)^2+400^2}}$\n$f'(a)=0 \\Rightarrow \\frac{a}{\\sqrt{a^2+1000^2}}=\\frac{300-a}{\\sqrt{(a-300)^2+400^2}}$\n\nBình phương hai vế: $\\frac{a^2}{a^2+1000^2}=\\frac{(300-a)^2}{(a-300)^2+400^2}=\\frac{(300-a)^2}{(300-a)^2+400^2}$\nNhân chéo: $a^2\\big((300-a)^2+400^2\\big)=(300-a)^2(a^2+1000^2)$\nKhử $ a^2(300-a)^2 $ hai vế, được: $a^2\\cdot 400^2=(300-a)^2\\cdot 1000^2$\n$160000a^2=1000000(300-a)^2$\n$16a^2=100(300-a)^2 \\Rightarrow 4a=10(300-a) \\Rightarrow 14a=3000 \\Rightarrow a=\\frac{1500}{7}$\n\nTính giá trị nhỏ nhất:\n$HA=\\sqrt{\\left(\\frac{1500}{7}\\right)^2+1000^2}\\approx 1022.7015$\n$BM=\\sqrt{\\left(300-\\frac{1500}{7}\\right)^2+400^2}=\\sqrt{\\left(\\frac{600}{7}\\right)^2+400^2}\\approx 409.0806$\n$f_{\\min}=HA+BM\\approx 1431.7821$\n$S_{\\min}=f_{\\min}+500+1000\\approx 1431.7821+1500=2931.7821\\approx 2932,\\text{m}$\n\n✅ Đáp án: $ \\boxed{2932\\ \\text{m}} $","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/nh_chp_mn_hnh_2026-02-05_152558.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1skTOf_XaBRhH-5frYL1dsBaPvSORcZza_2026-02-03072021.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":21,"text":"Cho khối chóp $S.ABC$ có $AB=4a;\\ BC=3a\\sqrt{2};\\ \\widehat{ABC}=45^\\circ$ và $\\widehat{SAC}=\\widehat{SBC}=90^\\circ$. Biết góc phẳng nhị diện $[A,SB,C]$ là $\\alpha$ với $\\sin\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$. Biết rằng, thể tích của khối chóp $S.ABC$ có dạng $\\dfrac{x\\sqrt{y}}{z}a^3$, trong đó $y$ là số nguyên tố và $\\dfrac{x}{z}$ là phân số tối giản, $x,y\\in\\mathbb{N}^*$. Tính $x+y+z$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a90","correctAnswer":"8","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKhối chóp $S.ABC$ có $AB=4a,\\quad BC=3a\\sqrt2,\\quad \\widehat{ABC}=45^\\circ.$\n\n$\\widehat{SAC}=90^\\circ \\Rightarrow SA\\perp AC.$\n\n$\\widehat{SBC}=90^\\circ \\Rightarrow SB\\perp BC.$\n\nGóc phẳng nhị diện $[A,SB,C]=\\alpha$ và $\\sin\\alpha=\\dfrac{\\sqrt2}{4}.$\n\nThể tích có dạng $V=\\dfrac{x\\sqrt{y}}{z}a^3$ với $y$ là số nguyên tố, $\\dfrac{x}{z}$ tối giản.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính thể tích $V_{S.ABC}$ rồi đưa về dạng $\\dfrac{x\\sqrt{y}}{z}a^3$.\n\nCuối cùng tính $x+y+z.$\n\nKiến thức dùng: tọa độ không gian, vuông góc, góc nhị diện (qua góc giữa hai mặt phẳng), thể tích khối chóp.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nĐặt mặt phẳng $(ABC)$ là $Oxy$. Chọn tọa độ: $B(0,0,0),\\quad A(4a,0,0).$\nVì $BC=3a\\sqrt2$ và $\\widehat{ABC}=45^\\circ$ nên: $C\\left(3a,3a,0\\right).$\n\nGọi $S(x,y,z)$. Từ $SA\\perp AC$ có $\\overrightarrow{SA}\\cdot\\overrightarrow{AC}=0.$\n\nVới $ \\overrightarrow{SA}=(x-4a;y;z),\\ \\overrightarrow{AC}=(3a-4a;3a-0;0)=(-a,3a,0), $ \n\nSuy ra: $-(x-4a)+3y=0\\Rightarrow x=4a+3y.\\qquad (1)$\n\nTừ $SB\\perp BC$ có $\\overrightarrow{SB}\\cdot\\overrightarrow{BC}=0.$\nVới $\\overrightarrow{SB}=(x,y,z),\\ \\overrightarrow{BC}=(3a,3a,0),$\nsuy ra: $3ax+3ay=0\\Rightarrow x+y=0\\Rightarrow x=-y.\\qquad (2)$\n\nTừ $(1),(2)$: $-y=4a+3y\\Rightarrow y=-a,\\quad x=a.$\nVậy: $S(a,-a,z).$\n\nXét góc nhị diện theo giao tuyến $SB$ giữa hai mặt phẳng $(SBA)$ và $(SBC)$.\nLấy các vectơ pháp tuyến:\n$\\vec n_1=\\overrightarrow{SB}\\times\\overrightarrow{BA},\\qquad \\vec n_2=\\overrightarrow{SB}\\times\\overrightarrow{BC}.$\nTa có: $\\overrightarrow{SB}=(-a,a,-z),\\ \\overrightarrow{BA}=(4a,0,0),\\ \\overrightarrow{BC}=(3a,3a,0).$\nTính được: $\\vec n_1=(0,-4az,-4a^2),\\qquad \\vec n_2=(3az,-3az,-6a^2).$\nKhi đó: $\\sin\\alpha=\\frac{|\\vec n_1\\times \\vec n_2|}{|\\vec n_1|,|\\vec n_2|}.$\nĐặt $t=\\dfrac{z}{a}>0$, rút gọn được: $\\sin\\alpha=\\frac{t\\sqrt{2t^2+4}}{2\\sqrt{t^4+3t^2+2}}.$\nTheo đề bài: $\\frac{t\\sqrt{2t^2+4}}{2\\sqrt{t^4+3t^2+2}}=\\frac{\\sqrt2}{4}\\Rightarrow t=\\frac{\\sqrt3}{3}.$\nSuy ra: $z=\\frac{\\sqrt3}{3}a=\\frac{a}{\\sqrt3}.$\n\nTính diện tích đáy: $S_{\\triangle ABC}=\\frac12|\\overrightarrow{BA}\\times\\overrightarrow{BC}|=\\frac12\\cdot12a^2=6a^2.$ \n\nChiều cao từ $S$ xuống $(ABC)$ chính là $h=z=\\dfrac{a}{\\sqrt3}$.\nVậy thể tích: $V=\\frac13\\cdot S_{\\triangle ABC}\\cdot h=\\frac13\\cdot6a^2\\cdot\\frac{a}{\\sqrt3}=\\frac{2}{\\sqrt3}a^3=\\frac{2\\sqrt3}{3}a^3$ \n\nDo đó: $x=2,\\quad y=3,\\quad z=3.$\n\n✅ Đáp án: $x+y+z=2+3+3=8.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/nh_chp_mn_hnh_2026-02-05_154119.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Bạn Minh sử dụng $12$ thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là $20cm,\\ 30cm,\\ 60cm$. Vào lúc ánh nắng mặt trời vuông góc với mặt sân, Minh để hình hộp đó trong không trung. Các cạnh hình hộp được in bóng là các đoạn thẳng trên mặt sân. Giả sử rằng các tia nắng song song với nhau và mặt sân phẳng. Giá trị lớn nhất của tổng độ dài bóng tất cả các cạnh hình hộp chữ nhật (đơn vị $cm$) có dạng $a+b\\sqrt{13}\\ (a,b\\in\\mathbb{N}^*)$. Tính $a+b$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a1b9adb58351916b8a90","correctAnswer":"280","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình hộp chữ nhật có 3 loại cạnh:$ 20;30;60 $ (cm).\n\nCó tổng $12$ cạnh, nên mỗi loại cạnh có $4$ cạnh song song.\n\nBóng trên mặt sân là hình chiếu vuông góc xuống mặt sân.\n\nCần tìm tổng độ dài bóng lớn nhất của tất cả các cạnh.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMỗi cạnh khi “nghiêng lên” thì bóng ngắn đi, khi “nằm ngang” thì bóng dài nhất.\n\nTa cần chọn cách đặt hình hộp sao cho tổng bóng của 12 cạnh là lớn nhất.\n\nKiến thức dùng: hình chiếu vuông góc và bất đẳng thức Cauchy (mức cơ bản).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhớ một ý rất quan trọng: Nếu một đoạn thẳng dài $L$ hợp với phương thẳng đứng góc $\\theta$ thì bóng của nó trên mặt sân dài: $L\\sin\\theta.$\n(Vì bóng là phần “nằm ngang”, còn $\\cos\\theta$ là phần “đứng”.)\n\nVới hình hộp, có 3 hướng cạnh vuông góc nhau. Gọi các góc của 3 hướng cạnh đó với phương thẳng đứng lần lượt là $\\theta_1,\\theta_2,\\theta_3$ thì ta có tính chất (do 3 hướng vuông góc):\n$\\sin^2\\theta_1+\\sin^2\\theta_2+\\sin^2\\theta_3=2.$\n(Vì $\\cos^2\\theta_1+\\cos^2\\theta_2+\\cos^2\\theta_3=1$ và $\\sin^2=1-\\cos^2$.)\n\nTổng bóng của 12 cạnh là: $S=4\\big(20\\sin\\theta_1+30\\sin\\theta_2+60\\sin\\theta_3\\big).$\n\nĐể $S$ lớn nhất, ta nên cho cạnh dài nhất $60$ có bóng lớn nhất ⟹ chọn nó nằm ngang:\n$\\theta_3=90^\\circ\\Rightarrow \\sin\\theta_3=1.$\nKhi đó điều kiện trở thành: $\\sin^2\\theta_1+\\sin^2\\theta_2=1.$\n\nĐặt: $x=\\sin\\theta_2,\\quad y=\\sin\\theta_1 \\Rightarrow x^2+y^2=1.$\nKhi đó cần tìm max: $20y+30x.$\n\nDùng Cauchy $20y+30x \\le \\sqrt{20^2+30^2}\\sqrt{x^2+y^2}=\\sqrt{1300}=10\\sqrt{13}.$\n\nVậy phần trong ngoặc đạt max: $20y+30x+60 \\le 10\\sqrt{13}+60.$\nSuy ra: $S_{\\max}=4(60+10\\sqrt{13})=240+40\\sqrt{13}.$\n\n✅ Đáp án: $S_{\\max}=240+40\\sqrt{13}\\Rightarrow a=240;b=40\\Rightarrow a+b=280.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-bai-chay-tinh-quang-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/17_G9tdiUnI4SMApROGDMR9Of6rrQX5l5_2026-02-03072021.png"],"chapter":"bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng cao"}]}

Bắt đầu thi thử