{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Chuyên Bắc Ninh Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2026 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6983842060c34a23f07476d4","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án.","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6983842060c34a23f07476d5","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6983842060c34a23f07476d6","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{2x-1}{x+1}$. Giá trị $f'(3)$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$\\dfrac{4}{5}$.","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{4}{5}$ có thể là kết quả nhầm lẫn giá trị hàm số $f(3)=\\frac{5}{4}$ thành $\\frac{v(3)}{u(3)}$ hoặc tính toán không đúng công thức đạo hàm."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{3}{16}$.","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng quy tắc đạo hàm thương: $f'(x)=\\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}=\\frac{3}{(x+1)^2}$, suy ra $f'(3)=\\frac{3}{16}$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{2}{9}$.","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{2}{9}$ thường là kết quả khi nhầm mẫu số $(x+1)^2$ thành $x^2$ (tức $\\frac{2}{3^2}$) khi thế $x=3$, thiếu cộng $1$ vào trước khi bình phương."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{1}{6}$.","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{1}{6}$ không phải là kết quả của $\\frac{3}{(3+1)^2}$; có thể do lỗi tính toán số học như nhầm $16$ thành $18$ hoặc áp dụng sai công thức."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x-1}{x+1}$.\n\nYêu cầu: tính giá trị $f'(3)$ của hàm số.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính đạo hàm của hàm số tại $x=3$, nghĩa là cần tìm $f'(x)$ sau đó thay $x=3$.\n\nKiến thức cần dùng: quy tắc đạo hàm của thương hai hàm (quy tắc thương) hoặc biến đổi hàm trước rồi lấy đạo hàm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $u=2x-1,\\; v=x+1$, khi đó $u'=2,\\; v'=1$.\n\nÁp dụng quy tắc thương: $\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)'=\\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.\n\nÁp dụng vào hàm: \n$f'(x)=\\dfrac{2(x+1)-(2x-1)\\cdot 1}{(x+1)^2}.$\n\nTính tử số: $2(x+1)-(2x-1)=2x+2-2x+1=3.$\n\nVậy $f'(x)=\\dfrac{3}{(x+1)^2}.$\n\nThay $x=3$: $(3+1)^2=16\\Rightarrow f'(3)=\\dfrac{3}{16}.$\n\n(Kiểm tra nhanh bằng phương pháp khác: chia đa thức $\\dfrac{2x-1}{x+1}=2-\\dfrac{3}{x+1}$, đạo hàm là $0+\\dfrac{3}{(x+1)^2}$, cùng kết quả.)\n\n✅ Đáp án: B. $\\dfrac{3}{16}$.","chapter":"đạo hàm","topic":"các quy tắc tính đạo hàm.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"đạo hàm của một số hàm số thường gặp","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Vecto nào dưới đây bằng $\\overrightarrow{AD}$?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{BC^{\\prime}}$.","correct":false,"reason":"$\\overrightarrow{BC'}$ là vectơ chéo của mặt bên $BCC'B'$ nên có độ dài $a\\sqrt{2}$ (với $a$ là cạnh hình lập phương), khác độ dài $AD=a$ và không cùng phương với $\\overrightarrow{AD}$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{DC}$.","correct":false,"reason":"$\\overrightarrow{DC} = \\overrightarrow{AB}$ nhưng $\\overrightarrow{AB} \\perp \\overrightarrow{AD}$ (hai cạnh kề của hình vuông), do đó $\\overrightarrow{DC}$ không cùng hướng với $\\overrightarrow{AD}$."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{B'C'}$.","correct":true,"reason":"$\\overrightarrow{B'C'}$ song song, cùng hướng và cùng độ dài với $\\overrightarrow{BC}$, mà $\\overrightarrow{BC} = \\overrightarrow{AD}$ (tính chất hình bình hành $ABCD$), suy ra $\\overrightarrow{B'C'} = \\overrightarrow{AD}$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{AB}$.","correct":false,"reason":"$\\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\\overrightarrow{AD}$ (góc $90^\\circ$ ở đỉnh $A$ của hình vuông $ABCD$) nên không cùng hướng, không bằng $\\overrightarrow{AD}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$.\n\nHỏi: vectơ nào bằng $\\overrightarrow{AD}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài (không cần cùng điểm đặt).\n\nTa sẽ dùng tính chất: trong hình chữ nhật (hình bình hành), hai cạnh đối song song và bằng nhau.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $ABCD$ là hình vuông nên:\n$AD \\parallel BC$ và $AD = BC \\Rightarrow \\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{BC}.$\n\nMặt bên $BCC'B'$ cũng là hình vuông nên:\n$BC \\parallel B'C'$ và $BC = B'C' \\Rightarrow \\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{B'C'}.$\n\nSuy ra:\n$\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{B'C'}.$\n\n✅ Đáp án: C.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1ZrbB80tjYqXOe2nmvJjjgLbnP7RMBtYW_2026-02-04173838.png"],"chapter":"vectơ","topic":"bài tập cuối chương iv","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 4","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Tập xác định của hàm số $y=(x-1)^{\\dfrac{1}{6}}+\\log(4-x^2)$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$[1;2)$.","correct":false,"reason":"Sai vì tại $x=1$, biểu thức $(x-1)^{\\frac{1}{6}}$ không xác định theo quy ước THPT: khi số mũ có mẫu chẵn (6) thì cơ số phải dương ($x-1>0$), nên $x=1$ bị loại."},{"label":"B","text":"$(-2;2)$.","correct":false,"reason":"Sai vì chỉ thỏa mãn điều kiện $4-x^2>0$ của logarit nhưng chứa các giá trị $x \\leq 1$ (ví dụ $x=0$) không thỏa mãn điều kiện $x>1$ của lũy thừa."},{"label":"C","text":"$(1;2]$.","correct":false,"reason":"Sai vì tại $x=2$, biểu thức $\\log(4-x^2)$ không xác định do $4-2^2=0$, trong khi logarit bắc $e$ (hay cơ số 10) chỉ xác định khi đối số dương ($4-x^2>0$)."},{"label":"D","text":"$(1;2)$.","correct":true,"reason":"Đúng vì thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện: $x-1>0$ (suy ra $x>1$) để lũy thừa xác định và $4-x^2>0$ (suy ra $-20\\quad\\text{(ta yêu cầu cơ số dương khi mẫu của mũ phân số là số chẵn)}$\n\ntừ đó được $x>1.$\n\nĐiều kiện để hàm $\\log(4-x^2)$ xác định là đối số dương:\n$4-x^2>0 \\iff -21$ và $-2 1$."},{"label":"B","text":"$[-1;1]$.","correct":false,"reason":"Sai vì tập giá trị của $\\cot x$ không bị giới hạn trong $[-1;1]$ mà là toàn bộ $\\mathbb{R}$; hàm số có thể nhận giá trị lớn hơn $1$ hoặc nhỏ hơn $-1$."},{"label":"C","text":"$\\mathbb{R}$.","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\cot x = \\tan\\left(\\frac{\\pi}{2}-x\\right)$ nên có cùng tập giá trị với hàm $\\tan$, là $\\mathbb{R}$; hàm $\\cot x$ liên tục trên $(0;\\pi)$ với $\\lim_{x \\to 0^+} \\cot x = +\\infty$ và $\\lim_{x \\to \\pi^-} \\cot x = -\\infty$ nên nhận mọi giá trị thực."},{"label":"D","text":"$(-\\infty;0)$.","correct":false,"reason":"Sai vì $\\cot x$ có thể nhận giá trị dương, ví dụ $\\cot \\frac{\\pi}{4} = 1 > 0$, nên tập giá trị không chỉ gồm số âm."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\cot x$.\n\nĐịnh nghĩa: $\\cot x=\\dfrac{\\cos x}{\\sin x}$ (x phải thỏa điều kiện $\\sin x\\neq 0$).\n\nNhận dạng liên quan: $\\cot x=\\tan\\Big(\\dfrac{\\pi}{2}-x\\Big)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tìm tập giá trị (range) của hàm số $y=\\cot x$.\n\nCần biết: tính chất của hàm $\\tan x$ (tập giá trị là $\\mathbb{R}$) và mối liên hệ giữa $\\cot$ và $\\tan$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại $\\cot x$ theo $\\tan$: $\\cot x=\\tan\\Big(\\dfrac{\\pi}{2}-x\\Big).$\n\nVì hàm $\\tan u$ có tập giá trị là $\\mathbb{R}$ (trên mỗi khoảng xác định như $\\Big(-\\dfrac{\\pi}{2},\\dfrac{\\pi}{2}\\Big)$ nó liên tục và đạt mọi giá trị thực), nên hàm $\\tan$ với biến $u=\\dfrac{\\pi}{2}-x$ cũng đạt mọi giá trị thực.\n\nDo đó, theo đẳng thức trên, hàm $\\cot x$ cũng nhận mọi giá trị thực (với điều kiện $x$ không là bội của $\\pi$ do $\\sin x=0$ tại đó hàm không xác định), nghĩa là tập giá trị là toàn bộ $\\mathbb{R}$.\n\nKiểm tra một vài giá trị: $\\cot\\frac{\\pi}{4}=1,\\quad \\cot\\frac{\\pi}{2}=0,\\quad \\lim_{x\\to 0^+}\\cot x=+\\infty,\\quad \\lim_{x\\to \\pi^-}\\cot x=-\\infty.$ Những kiểm tra này phù hợp với kết luận rằng mọi số thực đều là giá trị của $\\cot x$.\n\n✅ Đáp án: $C. \\mathbb{R}$","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"hàm số lượng giác","grade":"GRADE_11","questionCategory":"đồ thị và tính chất của hàm số y=cotx","difficulty":"nhận biết"},{"id":9,"text":"Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Phát biểu nào sau đây là sai?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{DA}+\\overrightarrow{DB}+\\overrightarrow{DC}=3\\overrightarrow{DG}$.","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\overrightarrow{DA}+\\overrightarrow{DB}+\\overrightarrow{DC} = 3\\overrightarrow{DG} + (\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}) = 3\\overrightarrow{DG}$ do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{GD}-\\overrightarrow{GA}=\\overrightarrow{AD}$.","correct":false,"reason":"Đúng vì $\\overrightarrow{GD}-\\overrightarrow{GA} = \\overrightarrow{GD}+\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AD}$ theo quy tắc cộng vectơ."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}=\\overrightarrow{0}$.","correct":false,"reason":"Đúng vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên tổng các vectơ từ $G$ đến ba đỉnh bằng $\\vec{0}$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}+\\overrightarrow{GD}=\\overrightarrow{0}$.","correct":false,"reason":"Sai vì $\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}+\\overrightarrow{GD} = \\vec{0}+\\overrightarrow{GD} = \\overrightarrow{GD} \\neq \\vec{0}$ (trừ khi $D$ trùng $G$)."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTứ diện $ABCD$.\n\n$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.\n\nCó thêm điểm $J$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ (trong hình).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm mệnh đề sai.\n\nDùng 2 tính chất:\nTrọng tâm tam giác $ABC$: $\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}=\\vec 0.$\n\nTrọng tâm tứ diện $ABCD$: $\\overrightarrow{JA}+\\overrightarrow{JB}+\\overrightarrow{JC}+\\overrightarrow{JD}=\\vec 0.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhắc lại tính chất của $G$\nVì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:\n$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}=\\vec 0.$\n\nBước 2: Từ đó suy ra ngay biểu thức ở đáp án D\nCộng thêm $\\overrightarrow{GD}$ vào hai vế:\n$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}+\\overrightarrow{GD} =\\vec 0+\\overrightarrow{GD}=\\overrightarrow{GD}.$\n⇒ Mệnh đề “$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}+\\overrightarrow{GD}=\\vec 0$” là sai.\n\nBước 3: Gọi $J$ là trọng tâm tứ diện nên:\n$\\overrightarrow{JA}+\\overrightarrow{JB}+\\overrightarrow{JC}+\\overrightarrow{JD}=\\vec 0.$\nMà với mọi điểm $X$ ta có: $\\overrightarrow{GX}=\\overrightarrow{GJ}+\\overrightarrow{JX}$.\nCộng 4 điểm $A,B,C,D$:\n$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}+\\overrightarrow{GD} =4\\overrightarrow{GJ}+(\\overrightarrow{JA}+\\overrightarrow{JB}+\\overrightarrow{JC}+\\overrightarrow{JD}) =4\\overrightarrow{GJ}.$\n\nDo $G$ (trọng tâm tam giác $ABC$) khác $J$ (trọng tâm tứ diện) nên $\\overrightarrow{GJ}\\ne \\vec 0$\n⇒ tổng trên cũng không thể bằng $\\vec 0$. \n\n✅ Đáp án: $D$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1b-BKcBzcPhZe1RQhzdDUK7BcO0lq7LzV_2026-02-04173831.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"vectơ trong không gian","difficulty":"nhận biết"},{"id":10,"text":"Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là các hình bình hành. Các điểm $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AD,BC,CC'$ (tham khảo hình vẽ). Xét các khẳng định sau: a) Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $A'D'$. b) Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $DD'$ tại trung điểm của $DD'$. c) Mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC'D')$. Trong các khẳng định trên, số khẳng định đúng là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$0$.","correct":false},{"label":"B","text":"$1$.","correct":false},{"label":"C","text":"$3$.","correct":false},{"label":"D","text":"$2$.","correct":true}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$, hai đáy là hình bình hành.\n\n$M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AD,\\ BC,\\ CC'$.\n\nCác khẳng định:\na) Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $A'D'$.\n\nb) Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $DD'$ tại trung điểm của $DD'$.\n\nc) Mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC'D')$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai từng khẳng định a), b), c).\n\nĐếm số khẳng định đúng để chọn đáp án.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\na) Dễ thấy $A'D' \\parallel AD$ và $MN \\parallel AD$ nên $A'D' \\parallel (MNP)$.\n⇒ Khẳng định “mặt phẳng $(MNP)$ cắt $A'D'$” là sai.\n\nb) Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với $DD'$ (tức $Q\\in DD'$).\nTa có $MN \\parallel CD \\Rightarrow CD \\parallel (MNQP) \\Rightarrow CD \\parallel QP$.\nMà $P$ là trung điểm của $CC'$ nên suy ra $Q$ là trung điểm của $DD'$.\n⇒ Khẳng định “$(MNP)$ cắt $DD'$ tại trung điểm của $DD'$” là đúng.\n\nc) Ta có $MP$ là đường trung bình của tam giác $\\left(BCC'\\right)$ nên $MP \\parallel BC'$.\nLại có $MN \\parallel AB$, do đó $(MNQP)\\parallel(ABC'D')$ hay khẳng định “$(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC'D')$” là đúng.\n\nVậy có 2 khẳng định đúng.\n\n✅ Đáp án: $D.\\ 2$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1ZrbB80tjYqXOe2nmvJjjgLbnP7RMBtYW_2026-02-04173838.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/10s2D6da0vtwLAPtYUV8iIUxPeMD119Lp_2026-02-04173834.png"],"chapter":"quan hệ song song trong không gian","topic":"hai mặt phẳng song song","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hình lăng trụ và hình hộp","difficulty":"vận dụng"},{"id":11,"text":"Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn khi có tổng bằng $3$ và công bội bằng $\\dfrac{2}{3}$","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n-1}$.","correct":true,"reason":"Đúng vì từ công thức tổng $S=\\dfrac{a_1}{1-q}=3$ với $q=\\dfrac{2}{3}$ suy ra $a_1=1$, nên số hạng tổng quát là $a_n=a_1q^{n-1}=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n-1}$."},{"label":"B","text":"$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n$.","correct":false,"reason":"Sai vì nếu $a_n=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n$ thì $a_1=\\dfrac{2}{3}$, khi đó tổng $S=\\dfrac{2/3}{1-2/3}=2\\neq 3$."},{"label":"C","text":"$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n+1}$.","correct":false,"reason":"Sai vì nếu $a_n=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n+1}$ thì $a_1=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^2=\\dfrac{4}{9}$, khi đó $S=\\dfrac{4/9}{1-2/3}=\\dfrac{4}{3}\\neq 3$."},{"label":"D","text":"$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n+2}$.","correct":false,"reason":"Sai vì nếu $a_n=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n+2}$ thì $a_1=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^3=\\dfrac{8}{27}$, khi đó $S=\\dfrac{8/27}{1-2/3}=\\dfrac{8}{9}\\neq 3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $S=3$. \n\nCông bội: $q=\\dfrac{2}{3}$ (vì $|q|<1$, công thức tổng vô hạn áp dụng được). \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: Tìm số hạng tổng quát $a_n$ của cấp số nhân vô hạn có tổng và công bội đã cho. \n\nKiến thức cần dùng: công thức tổng của cấp số nhân vô hạn $S=\\dfrac{a_1}{1-q}$ và công thức số hạng tổng quát $a_n=a_1q^{\\,n-1}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng công thức tổng vô hạn: $S=\\dfrac{a_1}{1-q}.$ \n\nGiải để tìm số hạng đầu $a_1$: $a_1=S(1-q).$ \n\nThay số vào: $a_1=3\\left(1-\\dfrac{2}{3}\\right)=3\\cdot\\dfrac{1}{3}=1.$ \n\nViết số hạng tổng quát: $a_n=a_1q^{\\,n-1}=1\\cdot\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n-1}=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n-1}.$ \n\nKiểm tra điều kiện: $|q|=\\dfrac{2}{3}<1$ nên công thức tổng vô hạn đã dùng là hợp lệ.\n\n✅ Đáp án: A. $\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n-1}$","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số nhân","grade":"GRADE_11","questionCategory":"tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Cho hàm số đa thức bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d\\ (a\\ne0)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$(-2;0)$.","correct":false},{"label":"B","text":"$(0;+\\infty)$.","correct":false},{"label":"C","text":"$(-1;1)$.","correct":false},{"label":"D","text":"$(1;+\\infty)$.","correct":true}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số đa thức bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d\\ (a\\ne0).$ \n\nĐồ thị cho biết: điểm $(-1,-1)$ là điểm cực tiểu và điểm $(1,3)$ là điểm cực đại. \n\nĐồ thị còn đi qua các điểm $(-2,3)$ và $(2,-1)$ (thông tin hình ảnh).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Hàm số đã cho nghịch biến (giảm) trên khoảng nào trong các phương án? \n\nCần áp dụng kiến thức về đạo hàm của hàm đa thức bậc ba, dấu của $y'$ tại các khoảng để xác định nơi hàm tăng/giảm. \n\nQuan trọng: các điểm cực trị là nghiệm của $y'=0$; dấu của $y'$ bên trái và bên phải từng nghiệm cho biết cực đại hay cực tiểu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì đồ thị có hai điểm cực trị tại $x=-1$ và $x=1$ nên đạo hàm bậc hai nghiệm tại hai điểm đó. Do đó ta có thể viết (hệ số tỷ lệ khác 0):\n$y'=k(x+1)(x-1),\\qquad k\\ne0.$\nVới hàm bậc ba chuẩn, hệ số tỷ lệ là $k=3a$, nên\n$y'=3a(x+1)(x-1).$\n\nXét dấu của $y'$ trên từng khoảng tách bởi $-1$ và $1$:\nNếu $x<-1$: cả hai thừa số $(x+1)$ và $(x-1)$ đều âm, nên $(x+1)(x-1)>0$; lúc đó dấu của $y'$ bằng dấu của $3a$.\n\nNếu $-10,\\ (x-1)<0$ nên $(x+1)(x-1)<0$; khi đó dấu của $y'$ là ngược dấu của $3a$.\n\nNếu $x>1$: cả hai thừa số đều dương, nên $(x+1)(x-1)>0$; dấu của $y'$ lại bằng dấu của $3a$.\n\nTừ thông tin cực tiểu tại $x=-1$ và cực đại tại $x=1$ ta suy: \nỞ $x=-1$, đạo hàm đổi từ âm (bên trái) sang dương (bên phải) ⇒ trước $-1$: $y'<0$, sau $-1$: $y'>0$. \n\nNhư vậy giá trị của $3a$ phải âm (vì khi $x<-1$ ta cần $y'<0$ nhưng $(x+1)(x-1)>0$), suy ra $a<0$.\n\nKhi $a<0$, cụ thể dấu của $y'$ trên các khoảng là:\n$(-\\infty,-1):\\ y'<0\\ \\Rightarrow\\ \\text{hàm giảm};$\n\n$(-1,1):\\ y'>0\\ \\Rightarrow\\ \\text{hàm tăng};$\n\n$(1,+\\infty):\\ y'<0\\ \\Rightarrow\\ \\text{hàm giảm}.$\n\nVậy hàm số nghịch biến trên hai khoảng $(-\\infty,-1)$ và $(1,+\\infty)$. \nTrong các phương án cho sẵn chỉ có phương án $(1;+\\infty)$ trùng với một trong các khoảng nghịch biến, nên chọn phương án đó.\n\n✅ Đáp án: $D. (1;+\\infty)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/10s2D6da0vtwLAPtYUV8iIUxPeMD119Lp_2026-02-04173834.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":13,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\\mathbb{R}$ và $f'(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983842060c34a23f07476d5","statements":[{"label":"A","text":"Đồ thị hàm số $g(x)=f(x)-\\dfrac{1}{2}x^2+x+2025$ cắt đường thẳng $y=m$ tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi $g(-1)m>\\max{g(-3),g(1)}.$\n\nĐiều kiện này không tương đương với\n$g(-1)<\\min{g(-3),g(1)}$ như phát biểu đã cho.\n\n✅ Đáp án: \"Sai\""},{"label":"B","text":"Đồ thị hàm số $h(x)=\\dfrac{2x+1}{f'(x)}$ có $3$ đường tiệm cận.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị $y=f'(x)$ là hàm bậc ba và có các nghiệm nhìn từ hình: $x=-2$ (tiếp xúc trục hoành) và $x=1$ (cắt trục hoành).\n\nXét hàm số $h(x)=\\dfrac{2x+1}{f'(x)}$.\n\nPhát biểu B: “Đồ thị $y=h(x)$ có 3 đường tiệm cận.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm các đường tiệm cận của $h(x)$ gồm:\nTiệm cận đứng: tại các nghiệm của $f'(x)=0$ (nếu không triệt tiêu với tử).\n\nTiệm cận ngang/xiên: xét bậc tử và bậc mẫu (hoặc giới hạn khi $x\\to\\pm\\infty$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ hình, suy ra:\n$f'(x)=(x+2)^2(x-1).$\n\nKhi đó:\n$h(x)=\\dfrac{2x+1}{(x+2)^2(x-1)}.$\n\nTiệm cận đứng:\n$f'(x)=0 \\iff x=-2 \\ \\text{hoặc}\\ x=1.$\n\nKiểm tra tử số:\nTại $x=-2$: $2x+1=-3\\ne 0$ ⇒ không khử được.\n\nTại $x=1$: $2x+1=3\\ne 0$ ⇒ không khử được.\n\nVậy có 2 tiệm cận đứng: $x=-2$ và $x=1$.\n\nTiệm cận ngang:\nBậc tử = 1, bậc mẫu = 3 ⇒\n$\\lim_{x\\to\\pm\\infty}h(x)=0.$\n\nVậy có 1 tiệm cận ngang: $y=0$.\n\nTổng số đường tiệm cận: $2+1=3.$\n\n✅ Đáp án: \"Đúng\""},{"label":"C","text":"Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\\infty)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị $y=f'(x)$ cho thấy $f'(x)=0$ tại $x=-2$ (nghiệm bội 2) và $x=1$ (nghiệm đơn).\n\nSuy ra có thể viết $f'(x)=(x+2)^2(x-1).$\n\nPhát biểu C: “Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\\infty)$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMuốn $f(x)$ đồng biến trên $(0;+\\infty)$ thì cần $f'(x)\\ge 0$ với mọi $x\\in(0;+\\infty)$ (và không âm “toàn bộ khoảng”).\n\nChỉ cần xét dấu của $f'(x)$ trên $(0;+\\infty)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVới $x>0$ thì $(x+2)^2>0$ luôn đúng, nên dấu của $f'(x)=(x+2)^2(x-1)$ phụ thuộc vào $x-1$.\n\nXét trên $(0;+\\infty)$:\nNếu $01$ thì $x-1>0 \\Rightarrow f'(x)>0$ ⇒ $f(x)$ đồng biến trên $(1,+\\infty)$.\n\nVì trên $(0,1)$ hàm lại nghịch biến, nên $f(x)$ không thể đồng biến trên toàn bộ $(0;+\\infty)$.\n\n✅ Đáp án: \"Sai\""},{"label":"D","text":"Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị $y=f'(x)$ là hàm bậc ba và có:\n$f'(x)=0$ tại $x=-2$ (tiếp xúc trục hoành ⇒ nghiệm bội 2),\n\n$f'(x)=0$ tại $x=1$ (cắt trục hoành ⇒ nghiệm đơn).\n\nPhát biểu D: “Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐiểm cực trị của $f(x)$ xuất hiện tại các điểm $x_0$ sao cho:\n$f'(x_0)=0 \\ \\text{và}\\ f'(x)\\ \\text{đổi dấu khi qua}\\ x_0.$\n\nNếu $f'(x_0)=0$ nhưng không đổi dấu thì $x_0$ không phải điểm cực trị (thường là điểm uốn có tiếp tuyến ngang).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ hình (và như đã suy ra ở các ý trước):\n$f'(x)=(x+2)^2(x-1).$\n\nXét dấu $f'(x)$ quanh các nghiệm:\nVì $(x+2)^2\\ge 0$ và chỉ bằng 0 tại $x=-2$ nên không làm đổi dấu.\n\nDấu của $f'(x)$ chủ yếu do $x-1$ quyết định:\nKhi $x<1$ thì $x-1<0 \\Rightarrow f'(x)<0$ (trừ tại $x=-2$ thì bằng 0).\n\nKhi $x>1$ thì $x-1>0 \\Rightarrow f'(x)>0$.\n\nXét từng điểm:\nTại $x=-2$: $f'(-2)=0$ nhưng khi đi qua $-2$ thì $f'(x)$ vẫn âm ở hai phía (vì vẫn còn $x<1$) ⇒ không đổi dấu ⇒ không có cực trị tại $x=-2$.\n\nTại $x=1$: $f'(1)=0$ và $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương ⇒ $f(x)$ có cực tiểu tại $x=1$.\n\nVậy $f(x)$ chỉ có 1 điểm cực trị, không phải 2.\n\n✅ Đáp án: \"Sai\""}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1WWVVaBOrWjMDl-qcrDhXa9bmSoX2qQd6_2026-02-04173830.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $\\sqrt2a$. Gọi $F$ là trung điểm của cạnh $SA$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983842060c34a23f07476d5","statements":[{"label":"A","text":"Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(FCD)$ bằng $\\dfrac{a\\sqrt{10}}{5}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh $a$.\n\nCạnh bên: $SA=\\sqrt2,a.$\n\n$F$ là trung điểm của $SA$.\n\nPhát biểu A: $d\\big(S,(FCD)\\big)=\\dfrac{a\\sqrt{10}}{5}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần kiểm tra công thức khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(FCD)$.\n\nDùng:\nTính độ dài trong tam giác đều / tam giác vuông.\n\nCông thức diện tích tam giác (Heron).\n\nCông thức thể tích khối chóp:\n$V=\\frac13\\cdot S_{\\text{đáy}}\\cdot h.$\n\nỞ đây: $V_{S.FCD}=\\frac13\\cdot S_{FCD}\\cdot d\\big(S,(FCD)\\big).$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nVì là chóp đều nên $AC=a\\sqrt2$ và $SA=\\sqrt2 a \\Rightarrow SA=AC.$\nĐồng thời trong chóp đều ta có $SC=SA=\\sqrt2 a.$\n⇒ Tam giác $SAC$ có:\n$SA=SC=AC=a\\sqrt2 \\Rightarrow \\triangle SAC \\text{ đều}.$\n\n$F$ là trung điểm của $SA$ nên $CF$ là trung tuyến trong tam giác đều $SAC$:\n$FC=\\frac{\\sqrt3}{2}\\cdot AC=\\frac{\\sqrt3}{2}\\cdot a\\sqrt2=\\frac{a\\sqrt6}{2}.$\n\nXét tam giác $SAD$: vì $F$ là trung điểm của $SA$ nên $DF$ là trung tuyến ứng với cạnh $SA$.\nÁp dụng công thức trung tuyến:\n$DF^2=\\frac{SD^2+AD^2}{2}-\\frac{SA^2}{4}.$\nMà $SD=SA=\\sqrt2 a,; AD=a$ nên\n$DF^2=\\frac{2a^2+a^2}{2}-\\frac{2a^2}{4}=\\frac{3a^2}{2}-\\frac{a^2}{2}=a^2 \\Rightarrow DF=a.$\n\nXét tam giác $FCD$:\n$CD=a,\\quad DF=a,\\quad FC=\\frac{a\\sqrt6}{2}.$\nDùng Heron:\n$p=\\frac{FC+CD+DF}{2}=\\frac{\\frac{a\\sqrt6}{2}+a+a}{2}=a\\cdot\\frac{4+\\sqrt6}{4}.$\n$S_{FCD}=\\sqrt{p(p-FC)(p-CD)(p-DF)}=\\frac{a^2\\sqrt{15}}{8}.$\n\nTính thể tích khối chóp $S.FCD$ theo 2 cách:\n\nCách 1 (lấy đáy là (ABCD)):\nVì $F \\in SA$ nên chiều cao từ $F$ xuống đáy bằng nửa chiều cao từ $S$ xuống đáy.\nTa có chiều cao chóp:\n$SO=\\sqrt{SA^2-AO^2}=\\sqrt{2a^2-\\left(\\frac{a\\sqrt2}{2}\\right)^2}=\\sqrt{2a^2-\\frac{a^2}{2}}=a\\sqrt{\\frac32}=\\frac{a\\sqrt6}{2}.$⇒ khoảng cách từ $F$ đến đáy:\n$d\\big(F,(ABCD)\\big)=\\frac{SO}{2}=\\frac{a\\sqrt6}{4}.$\nDiện tích tam giác $FCD$ chiếu xuống đáy chính là tam giác $ACD$ (vì $F$ thẳng đứng lên từ $A$ theo trục của chóp đều), nên\n$S_{ACD}=\\frac{1}{2}a^2.$\nDo đó:\n$V_{F.CD}=\\frac13\\cdot S_{ACD}\\cdot d\\big(F,(ABCD)\\big) =\\frac13\\cdot\\frac{a^2}{2}\\cdot\\frac{a\\sqrt6}{4}=\\frac{a^3\\sqrt6}{24}.$\n\nMà $S.FCD$ và $F.FCD$ có cùng đáy $FCD$ và đỉnh cùng nằm trên đường thẳng vuông góc đáy? (thực ra dễ nhất là dùng hệ thức thể tích tỉ lệ theo đoạn trên $SA$): vì $F$ là trung điểm của $SA$ nên với cùng đáy $FCD$,\n$V_{S.FCD}=2V_{F.FCD}=\\frac{a^3\\sqrt6}{12}.$\n\nCách 2 (đúng công thức khoảng cách cần tìm):\n$V_{S.FCD}=\\frac13\\cdot S_{FCD}\\cdot d\\big(S,(FCD)\\big).$\n\nSuy ra:\n$d\\big(S,(FCD)\\big)=\\frac{3V_{S.FCD}}{S_{FCD}}=\\frac{3\\cdot\\frac{a^3\\sqrt6}{12}}{\\frac{a^2\\sqrt{15}}{8}}=\\frac{\\frac{a\\sqrt6}{4}}{\\frac{\\sqrt{15}}{8}}=\\frac{2a\\sqrt6}{\\sqrt{15}}=\\frac{2a\\sqrt{90}}{15}=\\frac{2a\\cdot 3\\sqrt{10}}{15}=\\frac{2a\\sqrt{10}}{5}.$\n\nKết luận: khoảng cách đúng là\n$d\\big(S,(FCD)\\big)=\\frac{2a\\sqrt{10}}{5},$ không phải $\\dfrac{a\\sqrt{10}}{5}$.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Độ lớn của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $30^\\circ$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$.\n\nCạnh bên: $SA=\\sqrt2,a.$\n\nPhát biểu B: “Độ lớn của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $30^\\circ$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xác định góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$.\n\nKiến thức cần dùng:\nGóc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.\n\nTrong chóp đều, hình chiếu của $SA$ lên đáy là $AO$, với $O$ là tâm hình vuông đáy.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $S.ABCD$ là chóp đều nên:\n$O$ là tâm hình vuông $ABCD$.\n\n$SO \\perp (ABCD)$.\n\nHình chiếu của $SA$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AO$.\n\nDo đó:\n$\\widehat{(SA,(ABCD))}=\\widehat{SAO}.$\n\nXét tam giác $SAO$:\n$SA=\\sqrt2,a.$\n\n$AO$ là nửa đường chéo hình vuông:\n$AO=\\frac{a\\sqrt2}{2}.$\n\nTính $SO$:\n$SO=\\sqrt{SA^2-AO^2}=\\sqrt{2a^2-\\frac{a^2}{2}}=a\\sqrt{\\frac32}=\\frac{a\\sqrt6}{2}.$\n\nTính sin của góc $\\widehat{SAO}$:\n$\\sin\\widehat{SAO}=\\frac{SO}{SA}=\\frac{\\frac{a\\sqrt6}{2}}{\\sqrt2,a}=\\frac{\\sqrt3}{2}.$\n\nSuy ra:\n$\\widehat{SAO}=60^\\circ.$\n\nVậy góc giữa $SA$ và mặt phẳng đáy là $60^\\circ$, không phải $30^\\circ$.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Thể tích của khối chóp $S.FCD$ bằng $\\dfrac{a^3\\sqrt3}{24}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$.\n\nCạnh bên: $SA=\\sqrt2,a.$\n\n$F$ là trung điểm của $SA$.\n\nPhát biểu C: “Thể tích khối chóp $S.FCD$ bằng $\\dfrac{a^3\\sqrt3}{24}$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần kiểm tra thể tích khối chóp $S.FCD$.\n\nDùng:\nCông thức thể tích khối chóp:\n$V=\\frac13\\cdot S_{\\text{đáy}}\\cdot h.$\n\nQuan hệ thể tích giữa các khối chóp có cùng chiều cao hoặc cùng đáy.\n\nTính thể tích khối chóp lớn $S.ABCD$ rồi suy ra.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ ⇒ $SO$ là đường cao của hình chóp.\n\nTrong tam giác vuông $SAO$:\n$SA=\\sqrt2,a.$\n\n$AO=\\dfrac{AC}{2}=\\dfrac{a\\sqrt2}{2}.$\n\nÁp dụng định lý Pythagore:\n$SO^2=SA^2-AO^2=(\\sqrt2,a)^2-\\left(\\frac{a\\sqrt2}{2}\\right)^2=2a^2-\\frac{a^2}{2}=\\frac{3a^2}{2}.$$\\Rightarrow SO=\\frac{a\\sqrt6}{2}.$\n\nDiện tích đáy:\n$S_{ABCD}=a^2.$\n\nThể tích khối chóp lớn:\n$V_{S.ABCD}=\\frac13\\cdot SO\\cdot S_{ABCD}=\\frac13\\cdot\\frac{a\\sqrt6}{2}\\cdot a^2=\\frac{a^3\\sqrt6}{6}.$\n\nXét mặt phẳng $(FCD)$:\n$F$ là trung điểm của $SA$ nên khoảng cách từ $F$ đến đáy bằng $\\dfrac12 SO$.\n\nDo đó, với cùng đáy $CD$, ta có:\n$V_{F.ACD}=\\frac12 V_{S.ACD}.$\n\nMà:\n$V_{S.ACD}=\\frac12 V_{S.ABCD}$\n(vì $ACD$ là nửa hình vuông đáy).\n\nSuy ra:\n$V_{S.FCD}=\\frac12\\cdot\\frac12 V_{S.ABCD}=\\frac14\\cdot\\frac{a^3\\sqrt6}{6}=\\frac{a^3\\sqrt6}{24}.$\n\nSo sánh với phát biểu:\n$\\frac{a^3\\sqrt6}{24}\\ne \\frac{a^3\\sqrt3}{24}.$\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Khoảng cách giữa $AC$ và $SB$ bằng $\\dfrac{a\\sqrt6}{4}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh $a$.\n\nCạnh bên: $SA=\\sqrt2,a$ nên $SB=\\sqrt2,a$.\n\nPhát biểu D: “Khoảng cách giữa $AC$ và $SB$ bằng $\\dfrac{a\\sqrt6}{4}$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\n“Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau” $AC$ và $SB$ là độ dài đoạn vuông góc chung.\n\nTheo hướng trong ảnh: dựng $OI \\perp SB$ với $I\\in SB$, rồi chứng minh $OI \\perp AC$ ⇒ $d(AC,SB)=OI$.\n\nCần dùng thêm:\nTính đối xứng của chóp đều qua mặt phẳng $(SAC)$.\n\nTrong đáy hình vuông: $OB=\\dfrac{a\\sqrt2}{2}$.\n\nỞ câu trước đã có: $SO=\\dfrac{a\\sqrt6}{2}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Khi đó:\n$SO\\perp (ABCD),\\quad OB=\\frac{a\\sqrt2}{2}.$\n\nKẻ $OI\\perp SB$ tại $I\\in SB$.\n\nVì hình chóp đều $S.ABCD$ đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$ nên:\nĐiểm $B$ đối xứng với $D$ qua $(SAC)$, và đường thẳng $SB$ đối xứng với $SD$.\n\nDo đó, hình chiếu vuông góc từ $O$ lên $SB$ và lên $SD$ là hai điểm đối xứng qua $(SAC)$, suy ra đoạn $OI$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(SAC)$ tại $O$.\nTừ đó suy ra $OI\\perp AC$.\n⇒ $OI$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $SB$, nên:\n$d(AC,SB)=OI.$\n\nXét tam giác vuông $SOB$ (vuông tại $O$), đường cao từ $O$ xuống cạnh huyền $SB$ chính là $OI$. Ta có hệ thức đường cao:\n$\\frac{1}{OI^2}=\\frac{1}{SO^2}+\\frac{1}{OB^2}.$\n\nThay số:\n$SO=\\frac{a\\sqrt6}{2}\\Rightarrow SO^2=\\frac{3a^2}{2},\\qquad OB=\\frac{a\\sqrt2}{2}\\Rightarrow OB^2=\\frac{a^2}{2}.$\n$\\Rightarrow \\frac{1}{OI^2}=\\frac{1}{\\frac{3a^2}{2}}+\\frac{1}{\\frac{a^2}{2}}=\\frac{2}{3a^2}+\\frac{2}{a^2}=\\frac{8}{3a^2}.$ $\\Rightarrow OI^2=\\frac{3a^2}{8}\\Rightarrow OI=\\frac{a\\sqrt6}{4}.$\n\nVậy:\n$d(AC,SB)=\\frac{a\\sqrt6}{4}.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"bài tập cuối chương viii.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 8","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Trong hộp có $45$ quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ $1$ đến $45$. Lấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu từ hộp đó. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983842060c34a23f07476d5","statements":[{"label":"A","text":"Số cách lấy được cả $3$ quả cầu đánh số chẵn là $1540$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong hộp có $45$ quả cầu đánh số từ $1$ đến $45$.\n\nLấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu (không hoàn lại). \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề A: Khẳng định số cách lấy được cả $3$ quả cầu đều có số chẵn là $1540$. \n\nCần biết cách đếm số phần tử chẵn trong $1\\ldots45$ và công thức tổ hợp $C_n^k$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số cách lấy $3$ quả cầu từ $45$ là $C_{45}^{3}$. \n$C_{45}^{3}=\\dfrac{45\\cdot44\\cdot43}{3\\cdot2\\cdot1}=14190.$\n\nSố số chẵn trong $1$ đến $45$ là $\\left\\lfloor\\dfrac{45}{2}\\right\\rfloor=22$ (các số: 2,4,...,44). \n\nSố cách chọn $3$ quả đều là số chẵn là cách chọn $3$ phần tử từ $22$ số chẵn: $C_{22}^{3}.$\n$C_{22}^{3}=\\dfrac{22\\cdot21\\cdot20}{6}=1540.$\n\nSo sánh với mệnh đề: giá trị tính được trùng khớp với $1540$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Xác suất để tích $3$ số ghi trên $3$ quả cầu là một số chia hết cho $8$ bằng $\\dfrac{523}{1290}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 45 quả cầu, đánh số từ 1 đến 45.\n\nLấy ngẫu nhiên 3 quả cầu.\n\nPhát biểu B: “Xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8 bằng $\\dfrac{523}{1290}$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần kiểm tra xác suất để tích 3 số được chọn chia hết cho 8.\n\nKiến thức dùng:\nChia hết cho 8 ⇔ tích có ít nhất 3 thừa số 2.\n\nCông thức xác suất:\n$P(A)=\\dfrac{n(A)}{n(\\Omega)}.$\n\nCó thể tính nhanh bằng cách xét biến cố đối.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số cách chọn 3 quả bất kỳ:\n$n(\\Omega)=\\mathrm{C}_{45}^3=14840.$\n\nChia các số từ 1 đến 45 thành các nhóm:\n$S_0$: 5 số chia hết cho 8 (8,16,24,32,40).\n\n$S_1$: 11 số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (dạng $4k+2$).\n\n$S_2$: 6 số chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8.\n\n$S_3$: 23 số lẻ.\n\nGọi $A$ là biến cố “tích 3 số chia hết cho 8”.\nTa xét biến cố đối $\\overline{A}$: “tích 3 số không chia hết cho 8”.\n\nĐể tích không chia hết cho 8 (tổng số thừa số 2 ≤ 2), xảy ra các TH:\nTH1: 3 số đều thuộc $S_3$:\n$\\mathrm{C}_{23}^3.$\n\nTH2: 1 số thuộc $S_1$ và 2 số thuộc $S_3$:\n$\\mathrm{C}_{23}^2\\cdot 11.$\n\nTH3: 1 số thuộc $S_2$ và 2 số thuộc $S_3$:\n$\\mathrm{C}_{23}^2\\cdot 6.$\n\nTH4: 2 số thuộc $S_1$ và 1 số thuộc $S_3$:\n$23\\cdot \\mathrm{C}_{11}^2.$\n\nTổng số cách để tích không chia hết cho 8:\n$n(\\overline{A})=\\mathrm{C}*{23}^3+\\mathrm{C}*{23}^2(11+6)+23\\cdot \\mathrm{C}_{11}^2$\n$=1771+4301+1265=7337.$\n\nSuy ra:\n$P(A)=1-\\dfrac{7337}{14840}=\\dfrac{7503}{14840}.$\n\nTa thấy:\n$\\dfrac{7503}{14840}\\ne \\dfrac{523}{1290}.$\n⇒ Giá trị xác suất trong phát biểu là không đúng.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Xác suất để tổng $3$ số ghi trên $3$ quả cầu là số lẻ bằng $\\dfrac{1}{2}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong hộp có $45$ quả cầu đánh số từ $1$ đến $45$.\n\nLấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu (không hoàn lại).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề C: Xác suất để tổng của $3$ số ghi trên $3$ quả cầu là số lẻ bằng $\\dfrac{1}{2}$.\n\nCần biết quy tắc: tổng là lẻ khi và chỉ khi số lượng số lẻ trong tổng là lẻ (tức là 1 số lẻ hoặc 3 số lẻ).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số cách: $C_{45}^{3}=14190.$\n\nSố lẻ trong $1\\ldots45$ là $23$, số chẵn là $22$.\n\nTrường hợp tổng lẻ:\nBa số đều lẻ: $C_{23}^{3}=1771.$\n\nMột số lẻ và hai số chẵn: $C_{23}^{1}\\cdot C_{22}^{2}=23\\cdot231=5313.$\n\nTổng số bộ cho tổng lẻ: $1771+5313=7084.$\n\nXác suất thực tế: $\\dfrac{7084}{14190}\\approx0.4992\\ldots$ (không đúng chính xác bằng $\\dfrac{1}{2}$ vì $\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{7095}{14190}$).\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Xác suất để tổng $3$ số ghi trên $3$ quả cầu là số chia hết cho $4$ bằng $\\dfrac{323}{1290}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong hộp có $45$ quả cầu đánh số từ $1$ đến $45$.\n\nLấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu (không hoàn lại).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề D: Xác suất để tổng $3$ số ghi trên $3$ quả cầu chia hết cho $4$ bằng $\\dfrac{323}{1290}$.\n\nCần phân loại các số theo dư modulo $4$ và đếm các bộ sao cho tổng dư ≡ 0 (mod 4).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số cách: $C_{45}^{3}=14190.$\n\nĐếm các số theo dư mod $4$ trong $1\\ldots45$:\nDư $0$: $11$ (các bội của $4$).\n\nDư $1$: $12$ (vì có thêm 1 phần dư do $45=4\\cdot11+1$).\n\nDư $2$: $11$.\n\nDư $3$: $11$.\n\nCác kiểu tổ hợp 3 phần tử có tổng dư $0\\pmod{4}$ và số cách:\n$(0,0,0):\\; C_{11}^{3}=165.$\n\n$(1,1,2):\\; C_{12}^{2}\\cdot11=66\\cdot11=726.$\n\n$(1,3,0):\\; 12\\cdot11\\cdot11=1452.$\n\n$(2,2,0):\\; C_{11}^{2}\\cdot11=55\\cdot11=605.$\n\n$(3,3,2):\\; C_{11}^{2}\\cdot11=55\\cdot11=605.$\n\nTổng số bộ có tổng chia hết cho $4$: $165+726+1452+605+605=3553.$\n\nXác suất: $\\dfrac{3553}{14190}$. Rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho $11$ cho được $\\dfrac{323}{1290}$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"bài tập cuối chương vi","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 6","difficulty":"thông hiểu"},{"id":16,"text":"Cho hàm số $y=(9-x^2)^{\\dfrac{1}{3}}+\\ln(1-x)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983842060c34a23f07476d5","statements":[{"label":"A","text":"Tập xác định của hàm số là khoảng $(-\\infty;1)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số:\n$y = (9 - x^2)^{\\frac{1}{3}} + \\ln(1 - x).$\n\nPhát biểu A: “Tập xác định của hàm số là khoảng $(-\\infty; 1)$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhát biểu đang xét tập xác định của hàm số.\n\nCần tìm điều kiện xác định của từng biểu thức:\nLũy thừa $\\frac{1}{3}$\n\nHàm logarit $\\ln(1 - x)$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét biểu thức $(9 - x^2)^{\\frac{1}{3}}$:\nTheo chương trình phổ thông, để lũy thừa căn thức xác định, ta cần:\n$9 - x^2 > 0 \\Rightarrow -3 < x < 3.$\n\nXét biểu thức $\\ln(1 - x)$:\nĐiều kiện xác định:\n$1 - x > 0 \\Rightarrow x < 1.$\n\nKết hợp hai điều kiện:\n$\\begin{cases} -3 < x < 3 \\\\ x < 1\\end{cases} \\Rightarrow -3 < x < 1.$\n\nVậy tập xác định của hàm số là:\n$(-3; 1).$\n\nPhát biểu cho rằng tập xác định là $(-\\infty; 1)$ là không đúng.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Hàm số có đạo hàm $y'=\\dfrac{1}{3\\sqrt[3]{(9-x^2)^2}}-\\dfrac{1}{1-x}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=(9-x^2)^{\\frac{1}{3}}+\\ln(1-x).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi kiểm tra công thức đạo hàm của hàm số đã cho.\n\nCần vận dụng quy tắc chuỗi và đạo hàm của $\\ln(\\cdot)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐạo hàm của $(9-x^2)^{1/3}$ theo quy tắc chuỗi:\n$\\frac{d}{dx}\\big[(9-x^2)^{1/3}\\big]=\\frac{1}{3}(9-x^2)^{-2/3}\\cdot(-2x)=-\\frac{2x}{3(9-x^2)^{2/3}}.$ \n\nĐạo hàm của $\\ln(1-x)$ là\n$\\frac{d}{dx}\\ln(1-x)=\\frac{1}{1-x}\\cdot( -1)=-\\frac{1}{1-x}.$ \n\nDo đó toàn bộ đạo hàm là\n$y'=-\\frac{2x}{3(9-x^2)^{2/3}}-\\frac{1}{1-x}.$ \n\nPhương án cho trước là\n$y'=\\dfrac{1}{3\\sqrt[3]{(9-x^2)^2}}-\\dfrac{1}{1-x},$\nthiếu nhân tử $-2x$ ở tử số của phần đầu, nên biểu thức đó là sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=(9-x^2)^{\\frac{1}{3}}+\\ln(1-x).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: hàm số có nghịch biến (giảm) trên khoảng $(0;1)$ hay không?\n\nCần kiểm tra dấu của đạo hàm trên khoảng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTa đã tìm được đạo hàm:\n$y'=-\\frac{2x}{3(9-x^2)^{2/3}}-\\frac{1}{1-x}.$\n\nXét với mọi $x\\in(0,1)$:\nThành phần $-\\dfrac{2x}{3(9-x^2)^{2/3}}<0$ vì $x>0$ và mẫu dương.\n\nThành phần $-\\dfrac{1}{1-x}<0$ vì $1-x>0$ trên khoảng này.\n\nTổng của hai số âm là số âm, tức là $y'<0$ trên toàn khoảng $(0,1)$.\n\nVậy hàm nghịch biến (giảm) trên $(0,1).$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\\left[\\dfrac{1}{4};\\dfrac{1}{2}\\right]$ bằng $\\dfrac{1}{2}\\sqrt[3]{70}-\\ln(2)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=(9-x^2)^{\\frac{1}{3}}+\\ln(1-x).$\n\nKhoảng xét: đoạn $\\left[\\dfrac{1}{4};\\dfrac{1}{2}\\right].$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đã cho và so sánh với biểu thức $\\dfrac{1}{2}\\sqrt[3]{70}-\\ln(2).$\n\nTa dùng tính liên tục và dấu của đạo hàm để xác định vị trí cực trị trên đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nHàm liên tục trên đoạn đóng, nên giá trị nhỏ nhất đạt tại biên hoặc tại điểm mà $y'=0$ bên trong đoạn.\n\nTừ kết quả trước, trên khoảng $(0,1)$ hàm nghịch biến (tức $y'<0$). Do đó trên đoạn $[1/4,1/2]\\subset(0,1)$ hàm cũng nghịch biến.\n\nKhi hàm nghịch biến trên đoạn, giá trị nhỏ nhất đạt tại điểm bên phải là $x=1/2.$\n\nTính giá trị tại $x=1/2$:\n$y\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)=(9-(1/2)^2)^{1/3}+\\ln\\left(1-\\tfrac{1}{2}\\right)=(9-\\tfrac{1}{4})^{1/3}+\\ln\\tfrac{1}{2}$\n$=\\left(\\tfrac{35}{4}\\right)^{1/3}-\\ln 2=\\left(\\tfrac{70}{8}\\right)^{1/3}-\\ln 2=\\dfrac{1}{2}\\sqrt[3]{70}-\\ln 2.$\n\nVậy giá trị nhỏ nhất trên đoạn là đúng bằng biểu thức đã cho.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"bài tập cuối chương vi.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 6","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Cho hai vectơ $\\vec a,\\vec b$ sao cho $|\\vec a|=\\sqrt2$, $|\\vec b|=2$ và hai vectơ $\\vec x=\\vec a+\\vec b$, $\\vec y=2\\vec a-\\vec b$ vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai vectơ $\\vec a$ và $\\vec b$ (đơn vị độ).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"90","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai vectơ $\\vec a,\\vec b$ thỏa: $|\\vec a|=\\sqrt2$ và $|\\vec b|=2$.\n\nĐặt $\\vec x=\\vec a+\\vec b$ và $\\vec y=2\\vec a-\\vec b$.\n\nHai vectơ $\\vec x$ và $\\vec y$ vuông góc với nhau (tức $\\vec x\\cdot\\vec y=0$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tính góc giữa hai vectơ $\\vec a$ và $\\vec b$ (đơn vị độ).\n\nCần áp dụng: quan hệ vô hướng (tích vô hướng) của hai vectơ và công thức $\\vec a\\cdot\\vec b=|\\vec a||\\vec b|\\cos\\theta$ để tìm góc $\\theta$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $\\vec x\\perp\\vec y$ nên $\\vec x\\cdot\\vec y=0$.\n\nViết tích vô hướng:\n$\\vec x\\cdot\\vec y=(\\vec a+\\vec b)\\cdot(2\\vec a-\\vec b).$\n\nPhân phối tích vô hướng:\n$(\\vec a+\\vec b)\\cdot(2\\vec a-\\vec b)=2\\vec a\\cdot\\vec a -\\vec a\\cdot\\vec b +2\\vec b\\cdot\\vec a -\\vec b\\cdot\\vec b.$\n\nVì $\\vec a\\cdot\\vec b=\\vec b\\cdot\\vec a$ nên thu gọn:\n$=2|\\vec a|^2 +(\\,-1+2\\,)\\vec a\\cdot\\vec b -|\\vec b|^2 =2|\\vec a|^2 +\\vec a\\cdot\\vec b -|\\vec b|^2.$\n\nÁp dụng điều kiện vuông góc:\n$2|\\vec a|^2 +\\vec a\\cdot\\vec b -|\\vec b|^2=0.$\n\nThay giá trị độ dài: $|\\vec a|^2=(\\sqrt2)^2=2,\\quad |\\vec b|^2=2^2=4.$\nTa có $2\\cdot2 +\\vec a\\cdot\\vec b -4=0 \\implies 4+\\vec a\\cdot\\vec b-4=0 \\implies \\vec a\\cdot\\vec b=0.$\n\nVì $\\vec a\\cdot\\vec b=|\\vec a||\\vec b|\\cos\\theta$ và cả độ dài đều không bằng 0, suy ra $\\cos\\theta=0.$\n\nDo đó $\\theta=90^\\circ.$\n\n✅ Đáp án: 90°","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"biểu thức tọa độ của tích vô hướng","difficulty":"vận dụng"},{"id":18,"text":"Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\\dfrac{x^2+(m-1)x+3-2m}{x+m}$ đạt cực tiểu tại $x=-1$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"2","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{x^2+(m-1)x+3-2m}{x+m}$.\n\nYêu cầu: hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$.\n\nTìm tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa điều kiện trên.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm các giá trị nguyên của $m$ sao cho $x=-1$ là điểm đạt cực tiểu của hàm số.\n\nPhải xét:\n$x=-1$ thuộc miền xác định: tức là $x+m\\ne0\\Rightarrow m\\ne1$.\n\n$x=-1$ là điểm tới hạn: đạo hàm tại $x=-1$ bằng 0.\n\nĐiểm đó là cực tiểu: đạo hàm bậc hai tại $x=-1$ dương.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChia đa thức để viết hàm dễ tính đạo hàm:\nChia $x^2+(m-1)x+3-2m$ cho $x+m$ ta được\n$y=x-1+\\dfrac{3-m}{x+m}.$\n\nGọi $A=3-m$, khi đó $y=x-1+\\dfrac{A}{x+m}.$\n\nTính đạo hàm:\n$y'=1-\\dfrac{A}{(x+m)^2}.$\n\nYêu cầu điểm tới hạn tại $x=-1$:\n$y'(-1)=0\\Rightarrow 1-\\dfrac{A}{(m-1)^2}=0.$\n\nDo đó $A=(m-1)^2$, tức là $3-m=(m-1)^2.$\n\nGiải phương trình cho $m$:\n$(m-1)^2 + m -3 =0 \\Rightarrow m^2 - m -2 =0.$\n\nGiải được $m=2$ hoặc $m=-1$.\n\nKiểm tra điều kiện cực tiểu bằng đạo hàm bậc hai:\n$y''=\\dfrac{2A}{(x+m)^3}\\Rightarrow y''(-1)=\\dfrac{2A}{(m-1)^3}.$\n\nThay $A=(m-1)^2$ ta được $y''(-1)=\\dfrac{2}{m-1}.$\n\nĐể là cực tiểu cần $y''(-1)>0\\Rightarrow m-1>0\\Rightarrow m>1.$\n\nTrong hai nghiệm chỉ có $m=2$ thỏa.\n\nKiểm tra miền xác định: với $m=2$, $m\\ne1$ nên hợp lệ.\n\n✅ Đáp án: 2","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cực trị của hàm số","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được đặt vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $\\alpha$. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết các lực căng $\\vec F_1,\\vec F_2,\\vec F_3,\\vec F_4$ đều có cường độ là $4800N$, trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là $7200\\sqrt6N$. Tính $\\sin\\alpha$ (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"0,92","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKhung có đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang.\n\nCác đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ bằng nhau và mỗi dây tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $\\alpha$.\n\nCác lực căng trên bốn dây là $\\vec F_1,\\vec F_2,\\vec F_3,\\vec F_4$ đều có cường độ $4800\\ \\text{N}$.\n\nTrọng lượng của toàn khung (bao gồm ô tô) là $7200\\sqrt6\\ \\text{N}$.\n\nHình vẽ (đã cho): điểm treo $E$ trên móc cần cẩu, bốn dây đi tới các đỉnh $A,B,C,D$ của khung, khung treo một bệ có ô tô (thể hiện hệ lực cân bằng theo phương thẳng đứng).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính giá trị của $\\sin\\alpha$.\n\nCần áp dụng cân bằng lực theo phương thẳng đứng: tổng các thành phần phương thẳng đứng của các lực căng phải cân bằng trọng lượng (vì hệ được kéo đều lên theo phương thẳng đứng).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nMỗi dây có độ căng $T=4800\\ \\text{N}$ và tạo góc $\\alpha$ so với mặt phẳng ngang, nên thành phần thẳng đứng của mỗi lực là $\\left|T\\right|\\sin\\alpha$. (Lưu ý: ta tính theo độ lớn của lực, không xét hướng lực nên lấy trị tuyệt đối.)\n\nTổng thành phần thẳng đứng của bốn dây là $4T\\sin\\alpha$ và phải bằng trọng lượng $W$:\n$4T\\sin\\alpha = W.$\n\nThay số: $T=4800,\\quad W=7200\\sqrt6.$\n$4\\cdot 4800\\sin\\alpha = 7200\\sqrt6.$\n\nGiải cho $\\sin\\alpha$:\n$\\sin\\alpha = \\dfrac{7200\\sqrt6}{4\\cdot 4800} = \\dfrac{7200\\sqrt6}{19200} = \\dfrac{3}{8}\\sqrt6.$\n\nTính số: $\\sqrt6\\approx 2{,}4494897$ nên\n$\\sin\\alpha \\approx \\dfrac{3}{8}\\times 2{,}4494897 \\approx 0{,}9185587.$\n\nLàm tròn đến chữ số hàng phần trăm (hai chữ số thập phân): $\\sin\\alpha \\approx 0{,}92.$\n\n✅ Đáp án: sin α ≈ 0,92","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1DPwVv2TQFU4jOm7H0TJSz7mt0Czw918J_2026-02-04173833.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Cho hình tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $6$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CA,CB$. $P$ là điểm trên cạnh $BD$ sao cho $BP=2PD$. Gọi $(H)$ là hình giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt tứ diện $ABCD$. Tính diện tích hình $(H)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"8,93","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTứ diện đều $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $6$.\n\n$M, N$ lần lượt là trung điểm của $CA, CB$.\n\n$P\\in BD$ sao cho $BP=2PD$.\n\n$(H)$ là hình giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt của tứ diện $ABCD$.\n\nTính diện tích hình $(H)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định thiết diện của mặt phẳng $(MNP)$ cắt tứ diện $ABCD$.\n\nTính diện tích thiết diện đó bằng các tính chất song song và công thức diện tích hình thang.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDo $M,N$ là trung điểm của $CA,CB$ nên $MN\\parallel AB \\Rightarrow (MNP)\\parallel AB.$\n\nGọi $Q$ là giao điểm của $(MNP)$ với $AD \\Rightarrow (MNPQ)\\parallel AB \\Rightarrow PQ\\parallel AB.$\n\nTa có\n$\\frac{DQ}{DA}=\\frac{DP}{DB}=\\frac{1}{3}.$\nSuy ra thiết diện $(H)$ là tứ giác $MNPQ.$\n\nXét tam giác $ACD$:\n$\\frac{AM}{AC}=\\frac12 \\Rightarrow AM=3.$\n\n$\\frac{AQ}{AD}=\\frac23 \\Rightarrow AQ=4.$\n\nTam giác $AMQ$ có\n$MQ^2=AM^2+AQ^2-2\\cdot AM\\cdot AQ\\cdot \\cos A.$\nVì $\\triangle ACD$ đều nên $\\angle A=60^\\circ$, do đó\n$MQ=\\sqrt{3^2+4^2-2\\cdot3\\cdot4\\cdot\\cos60^\\circ}=\\sqrt{13}.$\n\nTương tự, xét tam giác $BPN$:\n$BD=6,\\ BP=2PD \\Rightarrow BP=4,\\ PD=2.$\n\n$N$ là trung điểm $CB \\Rightarrow BN=3.$\n\nTrong mặt $BCD$ là tam giác đều nên $\\angle PBN=\\angle CBD=60^\\circ.$\n$PN=\\sqrt{PB^2+BN^2-2\\cdot PB\\cdot BN\\cdot\\cos60^\\circ}=\\sqrt{13}.$\n\nXét tam giác $ADB$ có $QP\\parallel AB$ nên\n$\\frac{QP}{AB}=\\frac{QD}{AD}=\\frac{DP}{DB}=\\frac13 \\Rightarrow QP=2.$\n\nXét tam giác $ABC$ có $MN\\parallel AB$ nên\n$\\frac{MN}{AB}=\\frac{CM}{CA}=\\frac{CN}{CB}=\\frac12 \\Rightarrow MN=3.$\n\nXét tứ giác $MNPQ$:\n$QP\\parallel MN$ và $QM=PN=\\sqrt{13}$ nên $MNPQ$ là hình thang cân.\n\nKẻ đường cao $QI, PJ$ ($I,J\\in MN$). Khi đó:\n$IJ=QP \\Rightarrow MI=JN=\\frac{MN-PQ}{2}=\\frac{3-2}{2}=\\frac12.$\n\n$QI=PJ=\\sqrt{QM^2-MI^2}=\\sqrt{13-\\left(\\frac12\\right)^2}=\\frac{\\sqrt{51}}{2}.$\n\nDiện tích:\n$S_{MNPQ}=QI\\cdot\\frac{QP+MN}{2}=\\frac{\\sqrt{51}}{2}\\cdot\\frac{2+3}{2}=\\frac{5\\sqrt{51}}{4}\\approx 8{,}93.$\n\n✅ Đáp án: 8,93","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1WWVVaBOrWjMDl-qcrDhXa9bmSoX2qQd6_2026-02-04173830.png"],"chapter":"quan hệ song song trong không gian","topic":"đường thẳng và mặt phẳng trong không gian","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hình chóp và hình tứ diện","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":21,"text":"Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí $A$ tới điểm $B$ về phía hạ lưu bờ đối diện trên một bờ sông thẳng rộng $3$ km (như hình vẽ). Anh chèo thuyền đến một điểm $D$ giữa $C$ và $B$ sau đó chạy đến $B$. Biết anh có thể chèo thuyền $6$ km/h, chạy $8$ km/h và quãng đường $BC=8$ km. Biết tốc độ dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến $B$ là $a+\\dfrac{b}{c}\\sqrt d$ trong đó $a,b,c,d\\in\\mathbb{N}^*$, $\\dfrac{b}{c}$ là phân số tối giản và $d$ là số nguyên tố. Giá trị của $a+b+c+d$ bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"17","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChiều rộng sông (khoảng cách giữa hai bờ) là $3$ km (tức $AC=3$).\n\nNgười đàn ông chèo thuyền với vận tốc $6\\ \\text{km/h}$ và chạy với vận tốc $8\\ \\text{km/h}$.\n\nTrên bờ đối diện, điểm $C$ là điểm đối diện với $A$, điểm $B$ nằm hạ lưu cách $C$ một đoạn $BC=8$ km.\n\nAnh chèo từ $A$ tới một điểm $D$ nằm giữa $C$ và $B$ (tức $CD=x,\\ 0\\le x\\le 8$), sau đó chạy từ $D$ đến $B$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm thời gian ngắn nhất để từ $A$ tới $B$ khi anh chèo tới một điểm $D$ bất kỳ giữa $C$ và $B$ rồi chạy tiếp đến $B$.\n\nThời gian tối thiểu được cho dưới dạng $a+\\dfrac{b}{c}\\sqrt d$ với $a,b,c,d\\in\\mathbb{N}^*$, $\\dfrac{b}{c}$ tối giản và $d$ là số nguyên tố. Hỏi giá trị của $a+b+c+d$.\n\nCần sử dụng kiến thức: công thức khoảng cách (định lý Py-ta-go), biểu thức thời gian = quãng đường / vận tốc, và tối ưu hóa bằng đạo hàm (tìm cực trị).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $x=CD$ (km), vậy $0\\le x\\le 8$ và $DB=8-x$.\n\nQuãng đường chèo từ $A$ đến $D$ theo định lý Py-ta-go là $AD=\\sqrt{x^2+3^2}=\\sqrt{x^2+9}$.\n\nThời gian tổng $T(x)$ là tổng thời gian chèo và chạy:\n$T(x)=\\frac{\\sqrt{x^2+9}}{6}+\\frac{8-x}{8}.$\n\nTìm đạo hàm:\n$T'(x)=\\frac{1}{6}\\cdot\\frac{x}{\\sqrt{x^2+9}}-\\frac{1}{8}.$\nGiải phương trình $T'(x)=0$:\n$\\frac{x}{6\\sqrt{x^2+9}}=\\frac{1}{8}\\quad\\Rightarrow\\quad\\frac{x}{\\sqrt{x^2+9}}=\\frac{3}{4}.$\n\nBình phương hai vế:\n$\\frac{x^2}{x^2+9}=\\frac{9}{16}\\quad\\Rightarrow\\quad 16x^2=9x^2+81\\quad\\Rightarrow\\quad 7x^2=81.$\nDo đó $x^2=\\frac{81}{7}\\Rightarrow x=\\frac{9}{\\sqrt7}.$\n\nTính $\\sqrt{x^2+9}$:\n$x^2+9=\\frac{81}{7}+9=\\frac{144}{7}\\Rightarrow \\sqrt{x^2+9}=\\frac{12}{\\sqrt7}.$\n\nThời gian tối thiểu:\n\nSo dạng yêu cầu là $a+\\dfrac{b}{c}\\sqrt d$ với $a=1,\\ b=1,\\ c=8,\\ d=7$ (và $d=7$ là số nguyên tố). Vậy\n$a+b+c+d=1+1+8+7=17.$\n\n✅ Đáp án: 17","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":22,"text":"Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $2$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"1,15","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lăng trụ $ABC.A'B'C'$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2$\n\nHình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$\n\nKhoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (làm tròn đến hàng phần trăm)\n\nDùng công thức $V = h\\cdot S_{ABC}$ với $h = d\\big(A', (ABC)\\big)=A'G$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $I$ là trung điểm $BC$, $J$ là hình chiếu của $G$ lên $AA'$, $K$ là hình chiếu của $I$ lên $BC$.\n\nTa có:\n$AA' \\parallel BB' \\Rightarrow d(AA',BC)=d(A',BC)=d(A'B',BC)=d\\big(A', (BB'C'C)\\big)=d\\big(A,(BB'C'C)\\big).$\n\nVì $\\triangle ABC$ đều nên $AI\\perp BC$. Lại có $A'G\\perp (ABC)\\Rightarrow A'G\\perp BC$.\nSuy ra $BC\\perp (AA'I)\\Rightarrow IK\\perp BC$, do đó\n$IK=d\\big(A,(BB'C'C)\\big)=\\dfrac{\\sqrt3}{2}.$\n\nXét tam giác $AIK$ có\n$\\frac{JG}{IK}=\\frac{KG}{KI}=\\frac{AG}{AI}=\\frac{2}{3}\\Rightarrow JG=\\frac{2}{3},IK=\\frac{2}{3}\\cdot\\frac{\\sqrt3}{2}=\\frac{\\sqrt3}{3}.$\n\nVì $\\triangle ABC$ đều cạnh $2$ nên\n$AI=\\frac{\\sqrt3}{2}\\cdot 2=\\sqrt3 \\Rightarrow AG=\\frac{2}{3}AI=\\frac{2\\sqrt3}{3}.$\n\nXét tam giác vuông $AG A'$ có (hệ thức đường cao):\n$\\frac{1}{JG^2}=\\frac{1}{AG^2}+\\frac{1}{A'G^2}.$\nThay $JG=\\frac{\\sqrt3}{3},\\ AG=\\frac{2\\sqrt3}{3}$:\n$\\frac{1}{(\\frac{\\sqrt3}{3})^2}=\\frac{1}{(\\frac{2\\sqrt3}{3})^2}+\\frac{1}{A'G^2} \\Rightarrow 3=\\frac{3}{4}+\\frac{1}{A'G^2} \\Rightarrow \\frac{1}{A'G^2}=\\frac{9}{4} \\Rightarrow A'G=\\frac{2}{3}.$\n\nDiện tích đáy:\n$S_{ABC}=\\frac{\\sqrt3}{4}\\cdot 2^2=\\sqrt3.$\n\nThể tích:\n$V=A'G\\cdot S_{ABC}=\\frac{2}{3}\\cdot\\sqrt3=\\frac{2\\sqrt3}{3}\\approx 1{,}15.$\n\n✅ Đáp án:1,15","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1DPwVv2TQFU4jOm7H0TJSz7mt0Czw918J_2026-02-04173833.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","grade":"GRADE_11","questionCategory":"thể tích","difficulty":"vận dụng cao"}]}