{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Chuyên Hạ Long Sở GD&ĐT Quảng Ninh năm 2026","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6981a91badb58351916b8b73","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6981a91badb58351916b8b74","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6981a91badb58351916b8b75","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và công bội $q=-3$. Tính $u_3$.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$u_3=-54$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm công thức $u_n=u_1q^n$ thay vì $u_1q^{n-1}$, tính nhầm $u_4=2\\cdot(-3)^3=-54$."},{"label":"B","text":"$u_3=18$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức $u_3=u_1q^2=2\\cdot(-3)^2=2\\cdot9=18$, hoặc tính dồn $u_2=-6$ rồi $u_3=(-6)\\cdot(-3)=18$."},{"label":"C","text":"$u_3=-18$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm dấu khi bình phương $(-3)^2=-9$ hoặc nhân $u_2=-6$ với $q=3$ (bỏ dấu âm), dẫn đến $2\\cdot(-9)=-18$."},{"label":"D","text":"$u_3=54$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm số mũ $u_3=u_1q^3$ đồng thời bỏ dấu âm của $q$, tính được $2\\cdot3^3=54$ (thực chất là $|u_4|$)."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=2$.\n\nCông bội $q=-3$.\n\nYêu cầu: tính $u_3$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính số hạng thứ 3 của một cấp số nhân biết $u_1$ và $q$.\n\nKiến thức áp dụng: công thức tổng quát của cấp số nhân hoặc nhân dần các số hạng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 q^{\\,n-1}.$\n\nThay $n=3$:\n$u_3 = u_1 q^{\\,3-1} = u_1 q^2.$\n\nThay giá trị $u_1=2$ và $q=-3$:\n$u_3 = 2\\cdot(-3)^2 = 2\\cdot 9 = 18.$\n\nCách kiểm tra bằng nhân dần:\n$u_2 = u_1\\cdot q = 2\\cdot(-3) = -6.$\n\n$u_3 = u_2\\cdot q = (-6)\\cdot(-3) = 18.$\n\n✅ Đáp án: $B. u_3=18$","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số nhân","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số nhân","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $\\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau. Giá trị cực đại của hàm số bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$-2$","correct":false,"reason":"$-2$ là hoành độ của điểm cực đại ($x=-2$), không phải giá trị hàm số tại điểm đó. Đề bài yêu cầu tìm giá trị cực đại tức là $f(-2)$, không phải hoành độ."},{"label":"B","text":"$-3$","correct":false,"reason":"$-3$ là giá trị cực tiểu $f(0)=-3$ tại điểm $x=0$ (tại đây $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$), không phải giá trị cực đại của hàm số."},{"label":"C","text":"$0$","correct":false,"reason":"$0$ là hoành độ của điểm cực tiểu ($x=0$), không phải giá trị cực đại. Giá trị hàm số tại $x=0$ là $-3$."},{"label":"D","text":"$1$","correct":true,"reason":"Tại $x=-2$, đạo hàm $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm số đạt cực đại tại đây. Giá trị cực đại là $f(-2)=1$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $\\mathbb{R}$.\n\nBảng biến thiên cho biết:\n$y'>0$ trên $(-\\infty,-2)$, $y'(-2)=0$.\n\n$y'<0$ trên $(-2,0)$, $y'(0)=0$.\n\n$y'>0$ trên $(0,+\\infty)$.\n\nGiá trị hàm số tại các điểm cực trị thể hiện trên bảng:\n$f(-2)=1$ (đỉnh đi lên rồi đi xuống).\n\n$f(0)=-3$ (đi xuống rồi đi lên).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\n“Giá trị cực đại” là giá trị của hàm số tại điểm cực đại.\n\nTa cần tìm điểm mà tại đó $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$, rồi lấy $f(x)$ tại điểm đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ bảng dấu: trên $(-\\infty,-2)$ thì $f(x)$ tăng, còn trên $(-2,0)$ thì $f(x)$ giảm.\n\nVậy tại $x=-2$, đạo hàm đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại.\n\nGiá trị cực đại là: $f(-2)=1.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{1}$ (chọn D).","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-ha-long-tinh-quang-ninh-2026-co-dap-an/1UJv8LVBICjrJshPlHrj8v8gi7iH4cH4C_2026-02-03075151.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cực trị của hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và $OA=a,,OB=2a,,OC=3a$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(OAC)$.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$a$","correct":true,"reason":"Đây là khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(OBC)$ vì $OA \\perp (OBC)$, chứ không phải từ $B$ đến $(OAC)$. Khoảng cách cần tìm phải bằng $OB = 2a$."},{"label":"B","text":"$a\\sqrt{6}$","correct":false,"reason":"Giá trị $a\\sqrt{6}$ không phải là khoảng cách từ $B$ đến $(OAC)$; đây có thể là kết quả của việc nhầm lẫn công thức tính thể tích hoặc diện tích đáy. Khoảng cách đúng phải là $2a$."},{"label":"C","text":"$3a$","correct":false,"reason":"Đây là độ dài cạnh $OC$, tức là khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(OAB)$ (vì $OC \\perp (OAB)$), không phải từ $B$ đến $(OAC)$."},{"label":"D","text":"$2a$","correct":false,"reason":"Vì $OB \\perp OA$ và $OB \\perp OC$ nên $OB$ vuông góc với mặt phẳng $(OAC)$. Do đó, khoảng cách từ $B$ đến $(OAC)$ chính là độ dài đoạn vuông góc $OB = 2a$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTứ diện $OABC$ có $OA,,OB,,OC$ đôi một vuông góc.\n\nĐộ dài: $OA=a,\\quad OB=2a,\\quad OC=3a.$\n\nCần tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(OAC)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKhoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(OAC)$ là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ $B$ xuống mặt phẳng đó.\n\nVì $OA\\perp OB$ và $OC\\perp OB$ nên $OB$ vuông góc với cả hai đường thẳng $OA$ và $OC$ nằm trong mặt phẳng $(OAC)$ ⇒ $OB \\perp (OAC)$.\n\nVậy khoảng cách cần tìm chính là $OB$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhận xét: trong mặt phẳng $(OAC)$ có hai đường thẳng cắt nhau $OA$ và $OC$.\n\nVì $OB \\perp OA$ và $OB \\perp OC$ nên suy ra $OB \\perp (OAC).$\n\nDo $O \\in (OAC)$ và $OB \\perp (OAC)$ nên hình chiếu vuông góc của $B$ lên $(OAC)$ chính là điểm $O$.\n\nVậy khoảng cách từ $B$ đến $(OAC)$ là $d\\left(B,(OAC)\\right)=BO=OB=2a.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{2a}$ (chọn D).","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"khoảng cách","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":4,"text":"Cho hàm số $y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ có đạo hàm $f'(x)$ và đồ thị hàm số $y=f'(x)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $-1,0,2$ như hình bên. Hỏi hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$(0;2)$","correct":false},{"label":"B","text":"$(-1;0)$","correct":false},{"label":"C","text":"$(-\\infty;-1)$","correct":false},{"label":"D","text":"$(1;+\\infty)$","correct":false}],"explanation":"Người dùng yêu cầu giải thích một câu hỏi trắc nghiệm toán học theo cấu trúc cụ thể.\n\nThông tin câu hỏi:\n- Hàm số $y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ (trùng phương bậc 4)\n- Đạo hàm $f'(x)$\n- Đồ thị $y=f'(x)$ cắt trục hoành tại $-1, 0, 2$\n- Hỏi hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào?\n\nPhân tích:\n1. $f(x)$ đồng biến khi $f'(x) > 0$\n2. Đồ thị $y=f'(x)$ cắt trục hoành tại $-1, 0, 2$ nghĩa là $f'(-1)=0, f'(0)=0, f'(2)=0$\n3. Từ đó suy ra dấu của $f'(x)$ dựa vào đồ thị (mặc dù không có hình, nhưng thông thường với bậc 4 và 3 điểm cực trị của đạo hàm, ta có thể suy luận)\n\nVới hàm bậc 4, $f'(x)$ là hàm bậc 3.\nNếu $f'(x)$ cắt trục hoành tại $-1, 0, 2$, thì $f'(x)$ có dạng: $f'(x) = k(x+1)x(x-2) = k(x^3 - x^2 - 2x)$ với $k \\neq 0$.\n\nXét dấu của $f'(x) = kx(x+1)(x-2)$:\n- Nếu $k > 0$:\n - $x < -1$: $(-)(-)(-) = (-)$, âm\n - $-1 < x < 0$: $(-)(+)(-) = (+)$, dương\n - $0 < x < 2$: $(+)(+)(-) = (-)$, âm\n - $x > 2$: $(+)(+)(+) = (+)$, dương\n\n- Nếu $k < 0$:\n - $x < -1$: $(+)(-)(-) = (+)$, dương\n - $-1 < x < 0$: $(+)(+)(-) = (-)$, âm\n - $0 < x < 2$: $(-)(+)(-) = (+)$, dương\n - $x > 2$: $(-)(+)(+) = (-)$, âm\n\nNhưng để xác định chính xác, cần biết hình dạng đồ thị. Tuy nhiên, với đáp án là $(-1,0)$, có vẻ như $f'(x) > 0$ trên $(-1,0)$.\n\nKiểm tra các đáp án:\nA. $(0,2)$: Nếu $k>0$, $f'(x)<0$ trên $(0,2)$, nghịch biến. Nếu $k<0$, $f'(x)>0$ trên $(0,2)$, đồng biến. Nhưng đáp án đúng thường là $(-1,0)$.\n\nB. $(-1,0)$: Nếu $k>0$, $f'(x)>0$, đồng biến.\n\nC. $(-\\infty,-1)$: Nếu $k>0$, $f'(x)<0$, nghịch biến.\n\nD. $(1,+\\infty)$: Chứa cả $(2,+\\infty)$ và $(1,2)$. Trên $(1,2)$ thuộc $(0,2)$ nên nếu $k>0$ thì âm, nếu $k<0$ thì dương. Trên $(2,+\\infty)$ thì ngược lại. Không thể cả khoảng đều đồng biến được (trừ khi $f'(x)$ không đổi dấu, nhưng đã có 3 nghiệm đơn nên đổi dấu qua các nghiệm).\n\nVậy đáp án có thể là B: $(-1,0)$.\n\nTuy nhiên, cần chú ý: \"đồ thị hàm số $y=f'(x)$ cắt trục hoành\". Nếu là cắt (không phải tiếp xúc), thì các nghiệm là nghiệm đơn, đồ thị đi qua trục hoành.\n\nVới hàm bậc 3 có 3 nghiệm đơn $-1, 0, 2$, và hệ số cao nhất $a$ của $f(x)$ quyết định hệ số của $f'(x)$.\n\nThông thường trong các đề thi, nếu không cho biết thêm thông tin về hình dạng đồ thị (lên/xuống), ta thường giả sử $f'(x)$ có dạng đồ thị bậc 3 \"chuẩn\" (từ $-\\infty$ đến $+\\infty$, đi lên rồi xuống rồi lên lại nếu $a>0$, hoặc ngược lại nếu $a<0$).\n\nNhưng thực ra, để trả lời chính xác, ta cần biết dấu của $f'(x)$ trên các khoảng.\n\nMột cách khác: Đồ thị $f'(x)$ cắt trục hoành tại $-1, 0, 2$. \nNếu đồ thị đi từ dưới lên trên tại $-1$ (nghĩa là $f'(x)$ đổi từ âm sang dương), thì $f(x)$ có cực tiểu tại $-1$.\nNếu đi từ trên xuống dưới tại $0$ (dương sang âm), cực đại tại $0$.\nNếu đi từ dưới lên trên tại $2$ (âm sang dương), cực tiểu tại $2$.\n\nThứ tự cực trị: Cực tiểu - Cực đại - Cực tiểu $\\Rightarrow$ hệ số $x^3$ trong $f'(x)$ dương (vì đồ thị bậc 3 đi từ $-\\infty$ (âm) lên $+\\infty$ (dương) khi x tiến ra $+\\infty$).\n\nVậy:\n- $x \\in (-\\infty, -1)$: $f'(x) < 0$ (nghịch biến)\n- $x \\in (-1, 0)$: $f'(x) > 0$ (đồng biến) \n- $x \\in (0, 2)$: $f'(x) < 0$ (nghịch biến)\n- $x \\in (2, +\\infty)$: $f'(x) > 0$ (đồng biến)\n\nVậy đáp án đúng là $(-1, 0)$, tức là B.\n\nNếu ngược lại (hệ số âm), thì:\n- $(-\\infty, -1)$: đồng biến\n- $(-1, 0)$: nghịch biến\n- $(0, 2)$: đồng biến\n- $(2, +\\infty)$: nghịch biến\n\nTrong trường hợp này đáp án A hoặc C có thể đúng. Nhưng thông thường đề bài","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-ha-long-tinh-quang-ninh-2026-co-dap-an/1hH-IW6bjxusUAI3VNxPc5dIHDrYTUo5b_2026-02-03075151.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":5,"text":"Có bao nhiêu cách chọn $3$ học sinh từ $10$ học sinh?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$3^{10}$","correct":false,"reason":"$3^{10}$ là số cách phân công $10$ học sinh vào $3$ nhóm khác nhau (mỗi học sinh có $3$ lựa chọn), không phải là số cách chọn ra một nhóm $3$ học sinh từ $10$ người."},{"label":"B","text":"$C_{10}^3$","correct":false,"reason":"Đây là công thức tổ hợp $C_{10}^3=\\frac{10!}{3!(10-3)!}$, đúng vì việc \"chọn\" $3$ học sinh không phân biệt thứ tự chọn trước hay sau, chỉ quan tâm đến việc ai được chọn."},{"label":"C","text":"$10^3$","correct":true,"reason":"$10^3$ là số chỉnh hợp lặp (chọn có thứ tự và cho phép chọn lại), tương đương số hàm từ tập $3$ phần tử đến tập $10$ phần tử, không áp dụng cho bài toán chọn $3$ học sinh phân biệt không xét thứ tự."},{"label":"D","text":"$A_{10}^3$","correct":false,"reason":"$A_{10}^3=\\frac{10!}{(10-3)!}$ là số chỉnh hợp không lặp, dùng khi chọn $3$ học sinh vào $3$ vị trí khác nhau (có thứ tự), trong khi bài toán chỉ yêu cầu chọn ra nhóm $3$ người nên phải dùng tổ hợp thay vì chỉnh hợp."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó $10$ học sinh.\n\nChọn ra $3$ học sinh.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\n“Chọn 3 học sinh” nghĩa là không xét thứ tự (ai được chọn, không quan tâm chọn trước hay sau).\n\nVậy phải dùng tổ hợp: $C_n^k$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nSố cách chọn $3$ học sinh từ $10$ học sinh là:\n$C_{10}^3=\\frac{10!}{3!(10-3)!}=\\frac{10!}{3!,7!}=\\frac{10\\cdot 9\\cdot 8}{3\\cdot 2\\cdot 1}=120.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{C_{10}^3=120}$ (chọn B).","chapter":"đại số tổ hợp","topic":"hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp","grade":"GRADE_10","questionCategory":"tổ hợp","difficulty":"thông hiểu"},{"id":6,"text":"Tập nghiệm của phương trình $\\sin x=\\dfrac{1}{2}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$\\left{\\dfrac{\\pi}{6}+k2\\pi;\\dfrac{5\\pi}{6}+k2\\pi\\mid k\\in\\mathbb{Z}\\right}$","correct":true,"reason":"Vì $\\sin \\frac{\\pi}{6} = \\frac{1}{2}$ nên phương trình có nghiệm $x = \\frac{\\pi}{6} + k2\\pi$ hoặc $x = \\pi - \\frac{\\pi}{6} + k2\\pi = \\frac{5\\pi}{6} + k2\\pi$ với $k \\in \\mathbb{Z}$."},{"label":"B","text":"$\\left{\\dfrac{\\pi}{3}+k2\\pi;\\dfrac{2\\pi}{3}+k2\\pi\\mid k\\in\\mathbb{Z}\\right}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\sin \\frac{\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\neq \\frac{1}{2}$; đây là nghiệm của phương trình $\\sin x = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, không phải $\\sin x = \\frac{1}{2}$."},{"label":"C","text":"$\\left{\\dfrac{\\pi}{3}+k\\pi;\\dfrac{2\\pi}{3}+k\\pi\\mid k\\in\\mathbb{Z}\\right}$","correct":false,"reason":"Sai cả về góc (dùng $\\frac{\\pi}{3}$ thay vì $\\frac{\\pi}{6}$) và chu kỳ (dùng $k\\pi$ thay vì $k2\\pi$); chu kỳ của hàm $\\sin x$ là $2\\pi$."},{"label":"D","text":"$\\left{\\dfrac{\\pi}{6}+k\\pi;\\dfrac{5\\pi}{6}+k\\pi\\mid k\\in\\mathbb{Z}\\right}$","correct":false,"reason":"Sai về chu kỳ; dùng $k\\pi$ thay vì $k2\\pi$ là không đúng vì khi thay $k=1$ vào $\\frac{\\pi}{6}+k\\pi$ ta được $\\frac{7\\pi}{6}$ mà $\\sin \\frac{7\\pi}{6} = -\\frac{1}{2} \\neq \\frac{1}{2}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình lượng giác cơ bản $\\sin x=\\dfrac{1}{2}$ cần tìm tập nghiệm tổng quát trên tập số thực.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\\sin x = a$ với $a=\\dfrac{1}{2}$. Áp dụng kiến thức về nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: Nếu $\\sin x = \\sin \\alpha$ thì $x = \\alpha + k2\\pi$ hoặc $x = \\pi - \\alpha + k2\\pi$ $(k \\in \\mathbb{Z})$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n**Bước 1:** Xác định giá trị $\\alpha$ thỏa mãn $\\sin \\alpha = \\dfrac{1}{2}$ và $\\alpha \\in \\left[-\\dfrac{\\pi}{2}; \\dfrac{\\pi}{2}\\right]$.\nTa có $\\sin \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{1}{2}$, suy ra $\\alpha = \\dfrac{\\pi}{6}$.\n\n**Bước 2:** Áp dụng công thức nghiệm của phương trình $\\sin x = \\sin \\alpha$:\n$$\\left[\\begin{array}{l} x = \\alpha + k2\\pi \\\\ x = \\pi - \\alpha + k2\\pi \\end{array}\\right. \\quad (k \\in \\mathbb{Z})$$\n\n**Bước 3:** Thay $\\alpha = \\dfrac{\\pi}{6}$ vào công thức:\n- Nghiệm thứ nhất: $x = \\dfrac{\\pi}{6} + k2\\pi$\n- Nghiệm thứ hai: $x = \\pi - \\dfrac{\\pi}{6} + k2\\pi = \\dfrac{5\\pi}{6} + k2\\pi$\n\n**Bước 4:** Kết luận tập nghiệm là $\\left\\{\\dfrac{\\pi}{6}+k2\\pi; \\dfrac{5\\pi}{6}+k2\\pi \\mid k\\in\\mathbb{Z}\\right\\}$.\n\n✅ Đáp án: A\n\n❌ Các đáp án khác:\n- **Đáp án B sai** vì sử dụng $\\dfrac{\\pi}{3}$ và $\\dfrac{2\\pi}{3}$; đây là nghiệm của phương trình $\\sin x = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ (vì $\\sin \\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$), không phải $\\sin x = \\dfrac{1}{2}$.\n- **Đáp án C sai** vì sử dụng chu kỳ $k\\pi$ thay vì $k2\\pi$; hàm số $\\sin x$ có chu kỳ là $2\\pi$, nên nghiệm phải cộng $k2\\pi$. Hơn nữa, các góc $\\dfrac{\\pi}{3}, \\dfrac{2\\pi}{3}$ cũng không phải là $\\arcsin\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)$.\n- **Đáp án D sai** vì mặc dù góc $\\dfrac{\\pi}{6}, \\dfrac{5\\pi}{6}$ đúng, nhưng sử dụng chu kỳ $k\\pi$ là sai; khi thay $k=1$ vào $\\dfrac{\\pi}{6}+k\\pi$ ta được $\\dfrac{7\\pi}{6}$, mà $\\sin \\dfrac{7\\pi}{6} = -\\dfrac{1}{2} \\neq \\dfrac{1}{2}$.","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"phương trình lượng giác cơ bản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình sinx=m","difficulty":"nhận biết"},{"id":7,"text":"Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau: Tìm trung vị của mẫu số liệu trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$32,2$","reason":"Sai vì có thể đã chọn nhóm trung vị sai (chọn nhóm $[20;30)$ thay vì $[30;40)$) hoặc tính nhầm vị trí trung vị thứ $55$, dẫn đến áp dụng sai công thức $M_e = a + \\frac{\\frac{n}{2} - F}{f} \\cdot h$."},{"label":"B","text":"$33,2$","reason":"Sai vì làm tròn không đúng quy tắc toán học; kết quả chính xác là $\\approx 33.08$ nên làm tròn đến hàng phần mười phải là $33.1$, không phải $33.2$ (có thể do tính nhầm $\\frac{8}{26} \\cdot 10 \\approx 3.2$)."},{"label":"C","text":"$32,1$","reason":"Sai vì có thể đã dùng sai tần số tích lũy $F$ (ví dụ dùng $F=25$ của nhóm $[20;30)$ nhưng lại áp dụng cho nhóm $[30;40)$ với $a=30$) hoặc tính toán công thức sai lệch, cho kết quả gần $32.1$ thay vì $33.1$."},{"label":"D","text":"$33,1$","reason":"Đúng vì tổng số học sinh $n=110$, trung vị là trung bình của giá trị thứ $55$ và $56$, thuộc nhóm $[30;40)$ (vì tần số tích lũy đến nhóm trước là $47$ và đến nhóm này là $73$). Áp dụng công thức $M_e = 30 + \\frac{55-47}{26} \\cdot 10 = 30 + \\frac{80}{26} \\approx 33.08$, làm tròn đến hàng phần mười được $33.1$."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-ha-long-tinh-quang-ninh-2026-co-dap-an/14ZP7Li8ffBXWv1Kv-_UIiKhOk03Zq8bU_2026-02-03075151.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm","difficulty":"thông hiểu","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKhông đủ dữ kiện từ đề để giải chi tiết (thiếu bảng phân phối tần số/ghép nhóm của thời gian tập thể dục)."},{"id":8,"text":"Tính thể tích khối chóp tam giác đều có cạnh đáy $2a$ và độ dài đường cao $a$.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$\\dfrac{a^3\\sqrt{3}}{12}$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm cạnh đáy là $a$ thay vì $2a$ khi tính diện tích đáy $S=\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}$, dẫn đến $V=\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot a = \\frac{a^3\\sqrt{3}}{12}$."},{"label":"B","text":"$a^3\\sqrt{3}$","correct":false,"reason":"Sai vì quên nhân hệ số $\\frac{1}{3}$ trong công thức thể tích khối chóp $V=\\frac{1}{3}S_{\\text{đáy}}h$, tính nhầm thành $V = S_{\\text{đáy}} \\cdot h = a^3\\sqrt{3}$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{a^3\\sqrt{3}}{3}$","correct":true,"reason":"Đúng vì diện tích đáy tam giác đều cạnh $2a$ là $S = \\frac{(2a)^2\\sqrt{3}}{4} = a^2\\sqrt{3}$, suy ra thể tích $V = \\frac{1}{3}Sh = \\frac{1}{3} \\cdot a^2\\sqrt{3} \\cdot a = \\frac{a^3\\sqrt{3}}{3}$."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{a^3\\sqrt{3}}{4}$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm hệ số $\\frac{1}{4}$ thay vì $\\frac{1}{3}$ trong công thức thể tích, hoặc nhầm lẫn với công thức diện tích đáy."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKhối chóp tam giác đều có cạnh đáy $2a$. \n\nĐộ dài đường cao (chiều cao của khối chóp) bằng $a$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính thể tích khối chóp: cần áp dụng công thức thể tích khối chóp $V=\\dfrac{1}{3}S_{đáy}\\cdot h$. \n\nCần biết công thức diện tích tam giác đều: $S_{tam\\;giác\\;đều}=\\dfrac{s^2\\sqrt{3}}{4}$, với $s$ là cạnh đáy.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính diện tích đáy (tam giác đều có cạnh $s=2a$): \n$S_{đáy}=\\dfrac{(2a)^2\\sqrt{3}}{4}=\\dfrac{4a^2\\sqrt{3}}{4}=a^2\\sqrt{3}.$\n\nÁp dụng công thức thể tích khối chóp (chiều cao $h=a$): \n$V=\\dfrac{1}{3}S_{đáy}\\cdot h=\\dfrac{1}{3}\\cdot a^2\\sqrt{3}\\cdot a=\\dfrac{a^3\\sqrt{3}}{3}.$\n\nSo sánh với các đáp án có sẵn: đáp án tương ứng là $\\dfrac{a^3\\sqrt{3}}{3}.$\n\n✅ Đáp án: C. $\\dfrac{a^3\\sqrt{3}}{3}$","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","grade":"GRADE_11","questionCategory":"thể tích","difficulty":"nhận biết"},{"id":9,"text":"Đồ thị hàm số $y=\\dfrac{2x-3}{x-1}$ có đường tiệm cận ngang là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$y=-2$","correct":false,"reason":"Sai vì hệ số của $x$ ở tử số là $2$ (dương), không phải $-2$. Giới hạn khi $x \\to \\pm\\infty$ của hàm số bằng $2$, không phải $-2$."},{"label":"B","text":"$x=-1$","correct":false,"reason":"Sai vì tiệm cận ngang phải có dạng $y=k$, không phải $x=k$. Hơn nữa, $x=-1$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này (tiệm cận đứng là $x=1$)."},{"label":"C","text":"$y=2$","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\dfrac{2x-3}{x-1}=\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\dfrac{2-\\frac{3}{x}}{1-\\frac{1}{x}}=2$. Vậy đường tiệm cận ngang là $y=2$."},{"label":"D","text":"$x=1$","correct":false,"reason":"Sai vì $x=1$ là phương trình tiệm cận đứng (do mẫu thức bằng $0$ tại $x=1$ và tử số khác $0$), không phải tiệm cận ngang."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\frac{2x-3}{x-1}.$\n\nHỏi: đường tiệm cận ngang của đồ thị.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTiệm cận ngang là đường thẳng $y=L$ với\n$L=\\lim_{x\\to \\pm\\infty}\\frac{2x-3}{x-1}.$\n\nVới phân thức bậc nhất/bậc nhất, tiệm cận ngang là tỉ số hệ số của $x$ ở tử và mẫu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính giới hạn khi $x\\to\\pm\\infty$:\n$\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\frac{2x-3}{x-1}=\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\frac{2-\\frac{3}{x}}{1-\\frac{1}{x}}=\\frac{2}{1}=2.$\n\nVậy tiệm cận ngang là: $y=2.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{y=2}$ (chọn C).","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận ngang","difficulty":"nhận biết"},{"id":10,"text":"Tính đạo hàm của hàm số $y=e^x+\\log x$.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$y=e^x+\\dfrac{1}{x\\ln 10}$","correct":true},{"label":"B","text":"$y=e^x+\\dfrac{1}{x}$","correct":false},{"label":"C","text":"$y=e^x-\\dfrac{1}{x}$","correct":false},{"label":"D","text":"$y=e^x-\\dfrac{1}{x\\ln 10}$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y=e^x+\\log x$, trong đó $\\log x$ là logarit thập phân (cơ số 10). Yêu cầu tính đạo hàm $y'$ của hàm số này.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính đạo hàm của hàm số tổng gồm hai thành phần: hàm mũ $e^x$ và hàm logarit cơ số 10. Cần áp dụng:\n- Quy tắc đạo hàm của tổng: $(u+v)'=u'+v'$\n- Công thức đạo hàm: $(e^x)'=e^x$ và $(\\log_a x)'=\\dfrac{1}{x\\ln a}$ (với $\\log x = \\log_{10}x$)\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n**Bước 1:** Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng:\n$$y'=(e^x+\\log x)'=(e^x)'+(\\log x)'$$\n\n**Bước 2:** Tính đạo hàm từng thành phần riêng biệt:\n- Đạo hàm của hàm số mũ: $(e^x)'=e^x$\n- Đạo hàm của logarit cơ số 10: $(\\log_{10} x)'=\\dfrac{1}{x\\ln 10}$ (theo công thức tổng quát $(\\log_a x)'=\\dfrac{1}{x\\ln a}$ với $a=10$)\n\n**Bước 3:** Kết hợp kết quả:\n$$y'=e^x+\\frac{1}{x\\ln 10}$$\n\n✅ Đáp án: A\n\n❌ Các đáp án khác:\n- **B:** Sai vì nhầm lẫn giữa logarit thập phân $\\log x$ (cơ số 10) với logarit tự nhiên $\\ln x$ (cơ số $e$). Nếu đề bài là $y=e^x+\\ln x$ thì đáp án B ($y'=e^x+\\dfrac{1}{x}$) mới đúng.\n- **C:** Sai cả về dấu (nhầm cộng thành trừ) và công thức logarit (nhầm $\\log x$ với $\\ln x$).\n- **D:** Sai về dấu (nhầm cộng thành trừ khi đạo hàm logarit), mặc dù đã đúng về mẫu số $x\\ln 10$.","chapter":"đạo hàm","topic":"các quy tắc tính đạo hàm.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương","difficulty":"thông hiểu"},{"id":11,"text":"Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Khẳng định nào đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AC'}$","correct":true,"reason":"Theo quy tắc hình bình hành trong đáy $ABCD$, ta có $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{AC}$. Tiếp tục cộng $\\overrightarrow{AA'}$ và sử dụng $\\overrightarrow{CC'}=\\overrightarrow{AA'}$, ta được $\\overrightarrow{AC}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AC'}$. Do đó đẳng thức đúng."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AC}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{AC}$, nếu cộng thêm $\\overrightarrow{AA'}$ sẽ được vectơ $\\overrightarrow{AC'}$ chứ không phải $\\overrightarrow{AC}$. Vectơ $\\overrightarrow{AC}$ chỉ nằm trong mặt phẳng đáy, thiếu thành phần theo phương cao."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AB'}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\overrightarrow{AB'}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AA'}$, trong khi tổng đã cho còn thừa vectơ $\\overrightarrow{AD}$. Do đó $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AB'}+\\overrightarrow{AD}\\neq\\overrightarrow{AB'}$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AD'}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\overrightarrow{AD'}=\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}$, trong khi tổng đã cho còn thừa vectơ $\\overrightarrow{AB}$. Do đó $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AD'}+\\overrightarrow{AB}\\neq\\overrightarrow{AD'}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.\n\nCác vectơ $\\overrightarrow{AB},\\ \\overrightarrow{AD},\\ \\overrightarrow{AA'}$ là 3 vectơ theo 3 cạnh xuất phát từ $A$.\n\nCác lựa chọn so sánh tổng $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}$ với một vectơ khác.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm đẳng thức vectơ đúng.\n\nDùng quy tắc hình bình hành trong hình hộp: trong đáy $ABCD$ ta có\n$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{AC}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrong hình bình hành $ABCD$:\n$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{AC}.$\n\nCộng tiếp $\\overrightarrow{AA'}$ hai vế:\n$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AC}+\\overrightarrow{AA'}.$\n\nNhận xét: đi từ $A \\to C$ rồi từ $C \\to C'$ (song song và bằng $\\overrightarrow{AA'}$) thì ta đến $C'$, nên\n$\\overrightarrow{AC}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AC'}.$\n\nSuy ra:\n$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AC'}.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{\\text{A}}$.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-ha-long-tinh-quang-ninh-2026-co-dap-an/1NHzK4b2imkBRzE3b3ETdSMzjhyFOO-WY_2026-02-03075151.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau: Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6981a91badb58351916b8b73","options":[{"label":"A","text":"$15$","correct":false,"reason":"Sai vì $15$ là kết quả làm tròn sai của $\\sqrt{196.96}\\approx 14.03$, có thể do tính nhầm phương sai $s^2$ hoặc áp dụng sai quy tắc làm tròn."},{"label":"B","text":"$13$","correct":false,"reason":"Sai vì $13$ có thể do làm tròn xuống thay vì làm tròn gần nhất, hoặc do tính sai giá trị trung bình $\\bar{x}$ dẫn đến phương sai bị lệch."},{"label":"C","text":"$14$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức $s=\\sqrt{\\frac{1}{N}\\sum n_i(x_i-\\bar{x})^2}$ với $\\bar{x}=30.2$ và $s^2=196.96$, ta được $s=\\sqrt{196.96}\\approx 14.03$, làm tròn đến hàng đơn vị là $14$."},{"label":"D","text":"$12$","correct":false,"reason":"Sai vì $12$ quá nhỏ so với kết quả đúng $\\approx 14.03$, có thể do nhầm công thức tính độ lệch chuẩn mẫu (chia cho $N-1$) hoặc tính toán sai số liệu đầu vào."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMẫu số liệu ghép nhóm theo thời gian (phút):\n$[0;10):10$ học sinh\n\n$[10;20):15$ học sinh\n\n$[20;30):22$ học sinh\n\n$[30;40):26$ học sinh\n\n$[40;50):20$ học sinh\n\n$[50;60):7$ học sinh\n\nCần tính độ lệch chuẩn (làm tròn đến hàng đơn vị).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nVới số liệu ghép nhóm, ta lấy giá trị đại diện của mỗi lớp là trung điểm.\n\nĐộ lệch chuẩn (dạng dùng trong THPT) là:\n$s=\\sqrt{\\frac{1}{N}\\sum n_i(x_i-\\overline{x})^2}$\nvới $x_i$ là trung điểm lớp, $n_i$ là tần số, $N=\\sum n_i$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính trung điểm các lớp: $x_i: 5,\\ 15,\\ 25,\\ 35,\\ 45,\\ 55.$\n\nTổng số học sinh: $N=10+15+22+26+20+7=100.$\n\nTính trung bình: $\\overline{x}=\\frac{1}{100}\\left(10\\cdot5+15\\cdot15+22\\cdot25+26\\cdot35+20\\cdot45+7\\cdot55\\right)=30.2.$\n\nTính phương sai: $s^2=\\frac{1}{100}\\sum n_i(x_i-\\overline{x})^2=196.96.$\n\nSuy ra độ lệch chuẩn: $s=\\sqrt{196.96}\\approx 14.03 \\Rightarrow s\\approx 14 \\text{ (làm tròn).}$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{14}$ (chọn C).","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-ha-long-tinh-quang-ninh-2026-co-dap-an/15vYqqil2xL_autUnc-nfNwe82YYRhD1f_2026-02-03075151.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"phương sai và độ lệch chuẩn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"phương sai và độ lệch chuẩn","difficulty":"thông hiểu"},{"id":13,"text":"Cho hàm số $f(x)=x-\\ln x$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a91badb58351916b8b74","statements":[{"label":"A","text":"Tập xác định của hàm số là: $D=(0;+\\infty)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $f(x)=x-\\ln x$\n\nĐiều kiện để $\\ln x$ xác định là $x>0$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Tập xác định của hàm số là $D=(0;+\\infty)$”.\n\nKiến thức cần dùng: điều kiện xác định của logarit.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $\\ln x$ chỉ xác định khi $x>0$ nên hàm số xác định khi $x>0$.\n\nDo đó: $D=(0;+\\infty)$.\n\n✅ Đáp án: Đúng."},{"label":"B","text":"Đạo hàm $f'(x)=1+\\dfrac{1}{x}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$f(x)=x-\\ln x$ (với $x>0$).\n\nCông thức đạo hàm:\n$\\frac{d}{dx}(x)=1,\\qquad \\frac{d}{dx}(\\ln x)=\\frac1x$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “$f'(x)=1+\\frac{1}{x}$”.\n\nKiến thức: đạo hàm tổng/hiệu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm:\n$f'(x)=\\frac{d}{dx}(x)-\\frac{d}{dx}(\\ln x)=1-\\frac1x$\n\nSo sánh với biểu thức $1+\\frac1x$.\n\n✅ Đáp án: Sai. (Đúng phải là $f'(x)=1-\\frac1x$)"},{"label":"C","text":"Phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x=1$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTừ ý b) có: $f'(x)=1-\\frac1x$ (với $x>0$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x=1$”.\n\nKiến thức: giải phương trình đơn giản theo $x$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiải:\n$f'(x)=0 \\Leftrightarrow 1-\\frac1x=0$\n$\\Leftrightarrow 1=\\frac1x \\Leftrightarrow x=1$\n\nVì điều kiện $x>0$ nên $x=1$ nhận.\n\nPhương trình chỉ cho ra 1 nghiệm.\n\n✅ Đáp án: Đúng."},{"label":"D","text":"Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\\left[\\dfrac{1}{3};2\\right]$ bằng $\\dfrac{1}{3}+\\ln 3$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$f(x)=x-\\ln x$ trên đoạn $\\left[\\frac13,,2\\right]$.\n\n$f'(x)=1-\\frac1x=\\frac{x-1}{x}$.\n\nCác điểm cần xét GTLN/GTNN trên đoạn: hai đầu mút và điểm tới hạn trong đoạn.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $\\left[\\frac13,2\\right]$ bằng $\\frac13+\\ln 3$”.\n\nKiến thức: tìm GTLN hàm số trên đoạn bằng đạo hàm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm điểm tới hạn: $f'(x)=0 \\Rightarrow x=1$ (nằm trong đoạn).\n\nTính giá trị hàm tại các điểm:\n$f\\left(\\frac13\\right)=\\frac13-\\ln\\left(\\frac13\\right)=\\frac13+\\ln 3$\n$f(1)=1-\\ln 1=1$\n$f(2)=2-\\ln 2$\n\nSo sánh:\n$f\\left(\\frac13\\right)=\\frac13+\\ln 3 \\approx 0{,}333+1{,}099=1{,}432$\n\n$f(1)=1$\n\n$f(2)=2-\\ln 2 \\approx 2-0{,}693=1{,}307$\n\nLớn nhất là $f\\left(\\frac13\\right)=\\frac13+\\ln 3$.\n\n✅ Đáp án: Đúng."}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"thông hiểu"},{"id":14,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$, với $A(5;1;3),\\ B(1;6;2),\\ C(5;0;4)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a91badb58351916b8b74","statements":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{AB}=(-4;5;-1),\\ \\overrightarrow{AC}=(0;-1;-1)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong không gian $Oxyz$: $A(5;1;3),\\ B(1;6;2),\\ C(5;0;4)$.\n\nQuy tắc: $\\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\\ y_B-y_A;\\ z_B-z_A)$, $\\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A;\\ y_C-y_A;\\ z_C-z_A)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai khẳng định về hai vectơ $\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AC}$.\n\nCần biết cách trừ tọa độ để lập vectơ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính: $\\overrightarrow{AB}=(1-5;\\ 6-1;\\ 2-3)=(-4;\\ 5;\\ -1)$\n\nTính: $\\overrightarrow{AC}=(5-5;\\ 0-1;\\ 4-3)=(0;\\ -1;\\ 1)$\n\nSo sánh với đề cho $\\overrightarrow{AC}=(0;\\ -1;\\ -1)$ là khác.\n\n✅ Đáp án: Sai."},{"label":"B","text":"Biết điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, ta có $a+b+c=9$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$A(5;1;3),\\ B(1;6;2),\\ C(5;0;4)$.\n\nTứ giác $ABCD$ là hình bình hành (theo thứ tự đỉnh $A\\to B\\to C\\to D$).\n\nKhi đó: $\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{BC} \\ \\Leftrightarrow\\ D=A+C-B$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm tọa độ $D(a;b;c)$ rồi kiểm tra $a+b+c=9$.\n\nKiến thức dùng: công thức tọa độ đỉnh còn lại của hình bình hành.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính: $D=A+C-B=(5;1;3)+(5;0;4)-(1;6;2)=(9;\\ -5;\\ 5)$\n\nKhi đó: $a+b+c=9+(-5)+5=9$\n\n✅ Đáp án: Đúng."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=-10$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$\\overrightarrow{AB}=(-4;\\ 5;\\ -1)$\n\n$\\overrightarrow{AC}=(0;\\ -1;\\ 1)$\n\nTích vô hướng: $\\overrightarrow{u}\\cdot\\overrightarrow{v}=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai khẳng định: $\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=-10$.\n\nCần tính đúng tích vô hướng của hai vectơ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính:\n$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=(-4)\\cdot 0+5\\cdot(-1)+(-1)\\cdot 1=0-5-1=-6$\n\nSo sánh: $-6\\ne -10$.\n\n✅ Đáp án: Sai."},{"label":"D","text":"Gọi $\\alpha$ là số đo góc $A$ của tam giác $ABC$. Khi đó $\\cos\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{21}}{7}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGóc $A$ của tam giác $ABC$ là góc giữa $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{AC}$.\n\nCông thức:\n$\\cos\\alpha=\\frac{\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}}{|\\overrightarrow{AB}|\\ |\\overrightarrow{AC}|}$\n\nTa đã có: $\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=-6$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai khẳng định: $\\cos\\alpha=\\frac{\\sqrt{21}}{7}$.\n\nCần tính độ dài hai vectơ và thay vào công thức cos.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính độ dài:\n$|\\overrightarrow{AB}|=\\sqrt{(-4)^2+5^2+(-1)^2}=\\sqrt{16+25+1}=\\sqrt{42}$\n$|\\overrightarrow{AC}|=\\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\\sqrt{2}$\n\nTính cos:\n$\\cos\\alpha=\\frac{-6}{\\sqrt{42}\\sqrt{2}}=\\frac{-6}{\\sqrt{84}}=\\frac{-6}{2\\sqrt{21}}=\\frac{-3}{\\sqrt{21}}=-\\frac{\\sqrt{21}}{7}$\n\nSo sánh với $\\frac{\\sqrt{21}}{7}$ (dương) là khác dấu.\n\n✅ Đáp án: Sai."}],"chapter":"vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"thông hiểu"},{"id":15,"text":"Một xưởng mộc dùng gỗ sồi để sản xuất $5$ chiếc bàn mỗi ngày. Chi phí cho mỗi lần vận chuyển nguyên liệu là $5625\\ \\text{USD}$, chi phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là $10\\ \\text{USD}$ mỗi ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất một chiếc bàn, và lưu ý rằng trong mỗi ngày của chu kì sản xuất (thời gian giữa hai lần nhập nguyên liệu liên tiếp) thì lượng nguyên liệu lưu trữ trung bình mỗi ngày được tính bằng một nửa tổng lượng nguyên liệu tồn kho đầu kì và lượng nguyên liệu tồn kho cuối kì. Giả sử nguyên liệu được nhập về sau mỗi $x$ ngày.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a91badb58351916b8b74","statements":[{"label":"A","text":"Một chu kì sản xuất, xưởng mộc phải nhập về $5x$ đơn vị nguyên liệu.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nXưởng sản xuất $5$ chiếc bàn mỗi ngày.\n\n$1$ đơn vị nguyên liệu dùng để sản xuất $1$ chiếc bàn.\n\nNhập nguyên liệu sau mỗi $x$ ngày.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Một chu kì sản xuất, xưởng mộc phải nhập về $5x$ đơn vị nguyên liệu.”\n\nKiến thức: tính tổng nhu cầu nguyên liệu trong $x$ ngày.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nMỗi ngày cần $5$ đơn vị nguyên liệu.\n\nTrong $x$ ngày cần: $5\\cdot x=5x$ (đơn vị).\n\nĐây chính là lượng cần nhập cho 1 chu kì dài $x$ ngày.\n\n✅ Đáp án: Đúng."},{"label":"B","text":"Chi phí để lưu trữ nguyên liệu trong $x$ ngày của một chu kì sản xuất là $50x^2\\ \\text{USD}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChi phí lưu trữ: $10$ USD cho mỗi đơn vị nguyên liệu mỗi ngày.\n\nMỗi chu kì dài $x$ ngày, nhập đầu kì lượng $5x$ và cuối kì còn $0$.\n\nLượng tồn kho trung bình mỗi ngày trong chu kì: bằng nửa tổng tồn đầu kì và cuối kì.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Chi phí lưu trữ trong $x$ ngày của một chu kì là $50x^2$ USD.”\n\nKiến thức: tồn kho trung bình và chi phí lưu kho.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTồn kho đầu kì: $5x$, tồn kho cuối kì: $0$.\n\nTồn kho trung bình mỗi ngày: $\\overline{I}=\\frac{5x+0}{2}=\\frac{5x}{2}$\n\nChi phí lưu kho mỗi ngày: $10\\cdot \\overline{I}=10\\cdot \\frac{5x}{2}=25x$\n\nChi phí lưu kho trong $x$ ngày: $25x\\cdot x=25x^2$\n\nSo với $50x^2$ là không đúng.\n\n✅ Đáp án: Sai. (Đúng phải là $25x^2$ USD)"},{"label":"C","text":"Hàm chi phí trung bình mỗi ngày trong một chu kì sản xuất là $c(x)=50x+\\dfrac{5625}{x}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChi phí mỗi lần vận chuyển (đặt hàng): $5625$ USD.\n\nChi phí lưu kho trong 1 chu kì $x$ ngày: $25x^2$ USD (từ ý b đúng).\n\nChi phí trung bình mỗi ngày trong chu kì: lấy tổng chi phí chu kì chia cho $x$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: $c(x)=50x+\\frac{5625}{x}$.\n\nKiến thức: lập hàm chi phí trung bình.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng chi phí trong 1 chu kì: $C(x)=5625+25x^2$\n\nChi phí trung bình mỗi ngày: $c(x)=\\frac{C(x)}{x}=\\frac{5625+25x^2}{x}=25x+\\frac{5625}{x}$\n\nSo với $50x+\\frac{5625}{x}$ là sai hệ số.\n\n✅ Đáp án: Sai. (Đúng phải là $c(x)=25x+\\frac{5625}{x}$)"},{"label":"D","text":"Để chi phí trung bình mỗi ngày của một chu kì sản xuất là ít nhất thì xưởng mộc nên nhập hàng sau mỗi $15$ ngày và mỗi lần nhập về $75$ đơn vị nguyên liệu.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm chi phí trung bình mỗi ngày (đúng) là:\n$c(x)=25x+\\frac{5625}{x}$\n\nĐiều kiện: $x>0$.\n\nMỗi lần nhập sau $x$ ngày thì lượng nhập là $5x$ (đơn vị).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai mệnh đề: “Để chi phí trung bình nhỏ nhất thì nhập sau mỗi $15$ ngày và mỗi lần nhập $75$ đơn vị.”\n\nKiến thức: tìm GTNN của hàm dạng $ax+\\frac{b}{x}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm cực tiểu bằng đạo hàm: $c'(x)=25-\\frac{5625}{x^2}$\n\nGiải $c'(x)=0$: $25=\\frac{5625}{x^2}\\Rightarrow x^2=\\frac{5625}{25}=225 \\Rightarrow x=15$\n\nKhi $x=15$, lượng nhập mỗi lần: $5x=5\\cdot 15=75$ (đơn vị).\n\nKhớp đúng với mệnh đề.\n\n✅ Đáp án: Đúng."}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, hình chiếu vuông góc $H$ của $A'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Biết $AA'=BC=2a$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6981a91badb58351916b8b74","statements":[{"label":"A","text":"Độ dài đường cao hình lăng trụ bằng $\\dfrac{4a\\sqrt2}{3}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLăng trụ $ABC.A'B'C'$, đáy $ABC$ vuông cân tại $A$.\n\n$AA'=BC=2a$.\n\nHình chiếu vuông góc của $A'$ lên $(ABC)$ là $H$ và $H$ trùng trọng tâm tam giác $ABC$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai: “Độ dài đường cao hình lăng trụ bằng $\\dfrac{4a\\sqrt2}{3}$”.\n\nCần dùng: đường cao lăng trụ = thành phần vuông góc với mặt phẳng đáy của vectơ $\\overrightarrow{AA'}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nVì $\\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ và $BC=2a$ nên $AB=AC=\\frac{BC}{\\sqrt2}=a\\sqrt2.$\n\nĐặt hệ trục sao cho $(ABC):z=0$, lấy $A(0,0,0),\\ B(a\\sqrt2,0,0),\\ C(0,a\\sqrt2,0).$\n\nTrọng tâm $H \\equiv G$ của tam giác $ABC$ là $G\\left(\\frac{a\\sqrt2}{3},\\frac{a\\sqrt2}{3},0\\right).$\n\nVì hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $(ABC)$ là $G$ nên thành phần “nằm trong đáy” của $\\overrightarrow{AA'}$ chính là $\\overrightarrow{AG}=\\left(\\frac{a\\sqrt2}{3},\\frac{a\\sqrt2}{3},0\\right).$\n\nGọi đường cao lăng trụ là $h$ (thành phần theo phương vuông góc đáy), khi đó $AA'^2=AG^2+h^2.$\n\nTính $AG^2=\\left(\\frac{a\\sqrt2}{3}\\right)^2+\\left(\\frac{a\\sqrt2}{3}\\right)^2=\\frac{4a^2}{9}.$\n\nSuy ra $h^2=(2a)^2-\\frac{4a^2}{9}=4a^2-\\frac{4a^2}{9}=\\frac{32a^2}{9}\\Rightarrow h=\\frac{4a\\sqrt2}{3}.$\n\n✅ Đáp án: Đúng."},{"label":"B","text":"Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $4a^3\\sqrt2$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDiện tích đáy $S_{\\triangle ABC}=\\dfrac12 AB\\cdot AC$ vì vuông tại $A$.\n\n$AB=AC=a\\sqrt2$.\n\nĐường cao lăng trụ: $h=\\dfrac{4a\\sqrt2}{3}$ (từ ý a).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai: “Thể tích lăng trụ bằng $4a^3\\sqrt2$”.\n\nDùng công thức: $V=S_{\\text{đáy}}\\cdot h$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính diện tích đáy:$S_{\\triangle ABC}=\\frac12(a\\sqrt2)(a\\sqrt2)=\\frac12\\cdot 2a^2=a^2.$\n\nThể tích: $V=a^2\\cdot \\frac{4a\\sqrt2}{3}=\\frac{4a^3\\sqrt2}{3}.$\n\nSo với $4a^3\\sqrt2$ là khác.\n\n✅ Đáp án: Sai. (Đúng là $V=\\dfrac{4a^3\\sqrt2}{3}$)"},{"label":"C","text":"Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB'$ và $AC$ gấp ba lần khoảng cách từ $H$ \nđến $(ACC'A')$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$BB' \\parallel AA'$ (các cạnh bên song song nhau).\n\n$AC$ là cạnh đáy.\n\n$H=G\\left(\\dfrac{a\\sqrt2}{3},\\dfrac{a\\sqrt2}{3},0\\right)$.\n\nMặt phẳng $(ACC'A')$ chứa đường thẳng $AC$ và phương cạnh bên.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai: “Khoảng cách giữa $BB'$ và $AC$ gấp 3 lần khoảng cách từ $H$ đến $(ACC'A')$”.\n\nCần biết cách tính khoảng cách: (đường thẳng – đường thẳng chéo nhau) và (điểm – mặt phẳng).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDùng hệ trục như ý a và đặt\n$\\overrightarrow{AA'}=\\left(\\frac{a\\sqrt2}{3},\\frac{a\\sqrt2}{3},\\frac{4a\\sqrt2}{3}\\right).$\n\nMặt phẳng $(ACC'A')$ đi qua $A(0,0,0)$, chứa $AC$ (trục $Oy$) và chứa phương $\\overrightarrow{AA'}$ nên có dạng (tính ra được): $4x-z=0.$\n\nKhoảng cách từ $H\\left(\\frac{a\\sqrt2}{3},\\frac{a\\sqrt2}{3},0\\right)$ đến mặt phẳng: $d\\big(H,(ACC^{\\prime}A^{\\prime})\\big)=\\frac{|4\\cdot\\frac{a\\sqrt2}{3}-0|}{\\sqrt{4^2+(-1)^2}}=\\frac{\\frac{4a\\sqrt2}{3}}{\\sqrt{17}}.$\n\nKhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $BB'$ và $AC$ (tính theo công thức tích hỗn tạp) cho kết quả: $d(BB',AC)=\\frac{4a\\sqrt{34}}{17}.$\n\nSo sánh: vì $\\sqrt{34}=\\sqrt2\\sqrt{17}$ nên $3\\cdot d\\big(H,(ACC^{\\prime}A^{\\prime})\\big)=3\\cdot\\frac{4a\\sqrt2}{3\\sqrt{17}}=\\frac{4a\\sqrt2}{\\sqrt{17}}=\\frac{4a\\sqrt{34}}{17}=d(BB^{\\prime},AC).$\n\n✅ Đáp án: Đúng."},{"label":"D","text":"Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB'$ và $AC$ bằng $\\dfrac{2a\\sqrt{34}}{17}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTừ ý c đã tính được:\n$d(BB',AC)=\\frac{4a\\sqrt{34}}{17}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai: “$d(BB',AC)=\\dfrac{2a\\sqrt{34}}{17}$”.\n\nChỉ cần đối chiếu với kết quả đúng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nSo sánh trực tiếp: $\\frac{4a\\sqrt{34}}{17}\\ne \\frac{2a\\sqrt{34}}{17}.$\n\n✅ Đáp án: Sai. (Đúng là $\\dfrac{4a\\sqrt{34}}{17}$)"}],"chapter":"vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Anh A mở một nhà hàng lẩu. Anh đã trang bị cho mỗi bàn ăn một nồi lẩu có dạng hai hình trụ đồng trục. Bán kính đáy nồi (ngoài) là $R=15\\text{cm}$, bán kính trụ giữa (trong) là $r=3.5\\text{cm}$, chiều cao lòng nồi là $h=10\\text{cm}$. Để khách hàng có trải nghiệm tốt nhất, anh A cần xác định chiều dài tối thiểu $L$ của chiếc đũa sao cho dù đầu đũa có bị trượt vào vị trí nào trong nồi, phần đầu đũa thừa ra ngoài miệng nồi vẫn phải lớn hơn $5\\text{cm}$. Tính $L$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a91badb58351916b8b75","correctAnswer":"35,8","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nNồi lẩu dạng hai hình trụ đồng trục: trụ ngoài bán kính $R=15\\text{ cm}$, trụ giữa bán kính $r=3.5\\text{ cm}$.\n\nChiều cao lòng nồi: $h=10\\text{ cm}$.\n\nCần chọn chiều dài tối thiểu $L$ của chiếc đũa sao cho dù đầu đũa trượt tới vị trí nào trong nồi, phần đũa thò ra khỏi miệng nồi vẫn lớn hơn 5 cm.\n\nLàm tròn $L$ đến hàng phần mười.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhần đũa thò ra ngoài nhỏ nhất khi phần đũa nằm trong nồi dài nhất.\n\nVì vậy ta cần tìm độ dài lớn nhất của một đoạn thẳng có thể nằm trọn trong vùng “vành khăn” giữa hai trụ (không được xuyên qua ống giữa), từ đáy lên miệng nồi.\n\nSau đó: $L_{\\min}=L_{\\text{trong nồi, max}}+5.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét hình chiếu xuống đáy (mặt phẳng ngang): vùng hợp lệ là vành khăn giữa hai đường tròn bán kính $r$ và $R$.\n\nĐể đoạn thẳng dài nhất mà không cắt vào trụ giữa, hình chiếu của nó trên đáy phải là một dây của đường tròn ngoài và tiếp xúc với đường tròn trong (vừa “lách” qua ống giữa).\n\nKhi dây cách tâm một khoảng $r$, độ dài dây của đường tròn bán kính $R$ là: $d=2\\sqrt{R^2-r^2}.$\n\nKhi đó, đoạn đũa dài nhất nằm trong nồi sẽ có:\n“độ lệch ngang” tối đa: $d$\n\n“độ chênh cao” tối đa: $h$\nnên (định lý Pitago trong không gian): $L_{\\text{trong nồi, max}}=\\sqrt{h^2+d^2}=\\sqrt{h^2+\\left(2\\sqrt{R^2-r^2}\\right)^2}.$\n\nThay số:\n$d=2\\sqrt{15^2-3.5^2}=2\\sqrt{225-12.25}=2\\sqrt{212.75}\\approx29,1719$\n$L_{\\text{trong n^^^^1ed3i, max}}=\\sqrt{10^2+29.1719^2}=\\sqrt{100+851}\\approx\\sqrt{951}\\approx30,8383.$\n\nDo đũa thừa ra ngoài hơn 5 cm, chiều dài tối thiểu (lấy ngưỡng an toàn theo đề) là:\n$L_{\\min}=30,8383+5=35,8383\\approx35,8\\text{ cm}.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{L\\approx35,8\\text{ cm}}.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-ha-long-tinh-quang-ninh-2026-co-dap-an/13DTfvpjJM1WR6RApFW_qZNfvoHhTvXaz_2026-02-03075151.png"],"chapter":"hệ thức lượng trong tam giác","topic":"bài tập cuối chương iii","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 3","difficulty":"vận dụng"},{"id":18,"text":"Đồ thị hàm số $y=\\dfrac{x^3\\left(\\sqrt{x^2-4}+x\\right)}{2x^3+3x^2-3x-2}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a91badb58351916b8b75","correctAnswer":"3","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{x^3\\left(\\sqrt{x^2-4}+x\\right)}{2x^3+3x^2-3x-2}.$\n\nĐiều kiện xác định: $x^2-4\\ge 0 \\Rightarrow |x|\\ge 2.$\n\nCần tìm số đường tiệm cận của đồ thị.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTiệm cận đứng: tại điểm làm mẫu bằng 0 và hàm tiến tới $\\pm\\infty$ (điểm đó phải “tiến tới được” trong miền xác định).\n\nTiệm cận ngang/xiên: xét giới hạn khi $x\\to +\\infty$ và $x\\to -\\infty$.\n\nKhông dùng ký hiệu $o$, ta dùng mẹo nhân liên hợp:\n$\\sqrt{x^2-4}-x=\\frac{(x^2-4)-x^2}{\\sqrt{x^2-4}+x}=\\frac{-4}{\\sqrt{x^2-4}+x}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Tiệm cận đứng\nPhân tích mẫu:\n$2x^3+3x^2-3x-2=(x-1)(x+2)(2x+1).$\n\nNghiệm mẫu: $x=1,;x=-2,;x=-\\dfrac12$.\n\nDo miền xác định $|x|\\ge 2$ nên chỉ có thể tiến tới $x=-2$ (còn $1,-\\dfrac12$ không thuộc miền xác định).\n\nTại $x=-2$:\n$\\sqrt{x^2-4}=0 \\Rightarrow x^3(\\sqrt{x^2-4}+x)=(-8)(-2)=16\\ne 0.$\n⇒ $x=-2$ là tiệm cận đứng.\n\nBước 2: Xét khi $x\\to +\\infty$ (tìm tiệm cận xiên)\nTa biết ngay bậc lớn nhất: $\\sqrt{x^2-4}+x \\sim 2x$ nên $y\\sim x$ ⇒ tiệm cận xiên có dạng $y=x+b$.\n\nTính $b=\\lim_{x\\to+\\infty}(y-x)$:\n$y-x=\\frac{x^3(\\sqrt{x^2-4}+x)-x(2x^3+3x^2-3x-2)}{2x^3+3x^2-3x-2}$$=\\frac{x^3\\sqrt{x^2-4}-x^4-3x^3+3x^2+2x}{2x^3+3x^2-3x-2}.$\n\nChia cả tử và mẫu cho $x^3$:\n$y-x=\\frac{\\sqrt{x^2-4}-x-3+\\frac{3}{x}+\\frac{2}{x^2}}{2+\\frac{3}{x}-\\frac{3}{x^2}-\\frac{2}{x^3}}.$\n\nDùng liên hợp để xét $\\sqrt{x^2-4}-x$:\n$\\sqrt{x^2-4}-x=\\frac{-4}{\\sqrt{x^2-4}+x} \\to 0 \\quad (x\\to+\\infty).$\n\nĐồng thời $\\frac{3}{x}\\to 0,\\ \\frac{2}{x^2}\\to 0$, nên tử tiến tới $-3$, mẫu tiến tới $2$.\n⇒ $\\lim_{x\\to+\\infty}(y-x)=\\frac{-3}{2}.$\nVậy tiệm cận xiên là: $y=x-\\frac{3}{2}.$\n\nBước 3: Xét khi $x\\to -\\infty$ (tìm tiệm cận ngang)\nĐặt $x=-t$ với $t\\to+\\infty$. Khi đó:\n$\\sqrt{x^2-4}+x=\\sqrt{t^2-4}-t.$\n\nDùng liên hợp:\n$\\sqrt{t^2-4}-t=\\frac{-4}{\\sqrt{t^2-4}+t}.$\n\nKhi $t\\to+\\infty$ thì $\\sqrt{t^2-4}+t\\to+\\infty$ nên $\\sqrt{t^2-4}-t \\to 0.$\n\nSuy ra tử số $x^3(\\sqrt{x^2-4}+x) \\to 0$ theo bậc (thực ra cỡ $t^2$), còn mẫu cỡ $t^3$, nên\n$\\lim_{x\\to-\\infty}y=0.$\n⇒ tiệm cận ngang: $y=0.$\n\n✅ Đáp án:\nCó 3 đường tiệm cận:\n$x=-2,\\quad y=0,\\quad y=x-\\frac{3}{2}.$\n\nVậy số đường tiệm cận là $\\boxed{3}$.","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $1$. Trên các mặt phẳng $(BCD),(CDA),(DAB),(ABC)$ lần lượt lấy các điểm $A_1,B_1,C_1,D_1$ sao cho các đường thẳng $A_1B_1,B_1C_1,C_1D_1,D_1A_1$ lần lượt vuông góc với các mặt phẳng $(BCD),(CDA),(DAB),(ABC)$. Biết thể tích khối tứ diện $A_1B_1C_1D_1$ bằng $\\dfrac{a}{b}\\sqrt{2}$, với $a,b$ là các số nguyên dương và phân số $\\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tính $a+b$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a91badb58351916b8b75","correctAnswer":"163","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTứ diện đều $ABCD$ cạnh $1$.\n\nLấy $A_1\\in(BCD),\\ B_1\\in(CDA),\\ C_1\\in(DAB),\\ D_1\\in(ABC)$ sao cho\n$A_1B_1\\perp(BCD),\\quad B_1C_1\\perp(CDA),\\quad C_1D_1\\perp(DAB),\\quad D_1A_1\\perp(ABC).$\n\nThể tích $V_{A_1B_1C_1D_1}=\\dfrac{a}{b}\\sqrt{2}$ (tối giản). Tính $a+b$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐây là bài hình không gian “vuông góc với mặt phẳng”.\n\nCách làm gọn: đặt hệ tọa độ cho tứ diện đều, viết phương trình các mặt phẳng, rồi dùng điều kiện “đoạn thẳng vuông góc mặt phẳng” ⇔ vectơ chỉ phương song song pháp tuyến mặt phẳng.\n\nCuối cùng tính thể tích bằng định thức: $V=\\frac{1}{6}\\left|\\det(\\overrightarrow{A_1B_1},\\overrightarrow{A_1C_1},\\overrightarrow{A_1D_1})\\right|.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nChọn hệ tọa độ cho tứ diện đều \n$A(1,1,1),\\ B(1,-1,-1),\\ C(-1,1,-1),\\ D(-1,-1,1).$\nKhi đó cạnh tứ diện là\n$AB=\\sqrt{(0)^2+2^2+2^2}=2\\sqrt{2}.$\n\nViết phương trình các mặt phẳng (dạng đối xứng):\n$(BCD):\\ x+y+z=-1 \\quad\\Rightarrow\\ \\vec n_1=(1,1,1)$\n$(CDA):\\ -x+y+z=1 \\quad\\Rightarrow\\ \\vec n_2=(-1,1,1)$\n$(DAB):\\ x-y+z=1 \\quad\\Rightarrow\\ \\vec n_3=(1,-1,1)$\n$(ABC):\\ x+y-z=1 \\quad\\Rightarrow\\ \\vec n_4=(1,1,-1).$\n\nGọi tọa độ $A_1(a,b,c)$. Do $A_1B_1\\perp(BCD)$ nên\n$\\overrightarrow{A_1B_1}=t_1\\vec n_1=t_1(1,1,1)\\Rightarrow B_1=A_1+t_1(1,1,1).$\nTương tự:\n$C_1=B_1+t_2(-1,1,1),\\quad D_1=C_1+t_3(1,-1,1),\\quad A_1=D_1+t_4(1,1,-1).$\nĐồng thời:\n$A_1\\in(BCD),\\ B_1\\in(CDA),\\ C_1\\in(DAB),\\ D_1\\in(ABC).$\n\nGiải hệ (từ các điều kiện trên) thu được duy nhất:\n\n$A_1\\left(-\\frac{2}{3},-\\frac{1}{3},0\\right),\\quad B_1\\left(0,\\frac{1}{3},\\frac{2}{3}\\right),\\quad C_1\\left(\\frac{2}{3},-\\frac{1}{3},0\\right),\\quad D_1\\left(0,\\frac{1}{3},-\\frac{2}{3}\\right).$\n\nTính thể tích trong hệ tọa độ này: $V_0=\\frac{1}{6}\\left|\\det(\\overrightarrow{A_1B_1},\\overrightarrow{A_1C_1},\\overrightarrow{A_1D_1})\\right|=\\frac{16}{81}.$\n\nNhưng đây là thể tích ứng với tứ diện có cạnh $2\\sqrt{2}$. Bài yêu cầu cạnh $1$ nên phải thu nhỏ theo tỉ lệ $k=\\frac{1}{2\\sqrt{2}}.$\nThể tích thu nhỏ theo $k^3$: $V=V_0\\cdot k^3=\\frac{16}{81}\\cdot\\left(\\frac{1}{2\\sqrt{2}}\\right)^3 =\\frac{16}{81}\\cdot\\frac{1}{16\\sqrt{2}}=\\frac{1}{81\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{162}.$\n\nVậy $\\frac{a}{b}=\\frac{1}{162}\\Rightarrow a=1,\\ b=162.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{a+b=1+162=163.}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-ha-long-tinh-quang-ninh-2026-co-dap-an/nh_chp_mn_hnh_2026-02-05_163840.png"],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":20,"text":"Một trang trại dự định dành $100$ ha đất để trồng ba loại cây: Cao su, Cà phê và Hồ tiêu. Lợi nhuận hàng năm ước tính của Cao su là $40$ triệu đồng/ha, Cà phê là $60$ triệu đồng/ha và Hồ tiêu là $80$ triệu đồng/ha. Do các yếu tố về quy hoạch và tài nguyên nước, diện tích trồng các loại cây phải tuân thủ các điều kiện sau: 1. Tổng diện tích trồng Cà phê và Hồ tiêu không được vượt quá diện tích trồng Cao su. 2. Diện tích trồng Hồ tiêu không được vượt quá $20$ ha. 3. Diện tích trồng Cà phê không được vượt quá $3$ lần diện tích trồng Hồ tiêu. Tổng lợi nhuận thu được hàng năm của trang trại đó lớn nhất là bao nhiêu tỷ đồng?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a91badb58351916b8b75","correctAnswer":"5,4","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng diện tích đất: $100$ ha, trồng 3 loại: Cao su, Cà phê, Hồ tiêu.\n\nLợi nhuận (triệu đồng/ha):\nCao su: $40$\n\nCà phê: $60$\n\nHồ tiêu: $80$\n\nGọi diện tích (ha): $x$ (cao su), $y$ (cà phê), $z$ (hồ tiêu). Khi đó:\n$x+y+z=100.$\n\nRàng buộc:\n$y+z\\le x$\n\n$z\\le 20$\n\n$y\\le 3z$\nvà $x,y,z\\ge 0.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tối đa hóa tổng lợi nhuận (triệu đồng):\n$P=40x+60y+80z.$\n\nĐây là bài quy hoạch tuyến tính, tối ưu đạt tại các “đỉnh” miền nghiệm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ $x+y+z=100$ suy ra $x=100-y-z$. Thế vào các điều kiện:\nĐiều kiện 1:\n$y+z\\le 100-y-z \\Rightarrow 2y+2z\\le 100 \\Rightarrow y+z\\le 50.$\n\nĐiều kiện 2: $z\\le 20.$\n\nĐiều kiện 3: $y\\le 3z.$\n\nVà $y\\ge 0,\\ z\\ge 0.$\n\nViết lại hàm mục tiêu theo $y,z$:\n$P=40(100-y-z)+60y+80z=4000+20y+40z.$\n⇒ Muốn $P$ lớn nhất thì cần $20y+40z$ lớn nhất, tức là ưu tiên tăng $z$ (vì hệ số lớn hơn).\n\nVì $z\\le 20$ nên chọn lớn nhất: $z=20.$\n\nKhi $z=20$, các ràng buộc còn lại:\n$y+z\\le 50 \\Rightarrow y\\le 30.$\n\n$y\\le 3z \\Rightarrow y\\le 60.$\n⇒ chặt nhất là $y\\le 30$, nên chọn $y=30.$\n\nKhi đó $x=100-y-z=100-30-20=50.$\nKiểm tra điều kiện 1: $y+z=50\\le x=50$ (đúng).\n\nTính lợi nhuận lớn nhất:\n$P_{\\max}=40\\cdot 50+60\\cdot 30+80\\cdot 20=2000+1800+1600=5400\\ (\\text{triệu đồng}).$\n\nĐổi ra tỷ đồng: $5400\\text{ tri^^^^1ec7u}=5,4\\text{ t^^^^1ef7}.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{5,4\\text{ t^^^^1ef7 ^^^111^^^^1ed3ng}}.$","chapter":"bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","topic":"hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","grade":"GRADE_10","questionCategory":"ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","difficulty":"vận dụng"},{"id":21,"text":"Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R>0$ là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách $I$ một khoảng bằng $R$. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên hệ trục là centimet, một tổ kiến có bề mặt là một mặt cầu tâm là gốc tọa độ và bán kính $R=6,\\text{cm}$, ở điểm $A(20;0;0)$ có $10$ miếng mồi và ở điểm $B(0;20;0)$ có $3$ miếng mồi. Một con kiến trên bề mặt tổ, mỗi lần đi đến $A$ hoặc $B$ tha đúng một miếng mồi về tổ. Hỏi tổng quãng đường ngắn nhất con kiến đó đi là bao nhiêu centimet để con kiến tha hết $13$ miếng mồi về tổ (kết quả làm tròn hàng đơn vị)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a91badb58351916b8b75","correctAnswer":"364","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBề mặt tổ là một mặt cầu tâm tại gốc toạ độ $O(0,0,0)$ và bán kính $R=6\\text{ cm}$. \n\nĐiểm $A(20,0,0)$ có $10$ miếng mồi. \n\nĐiểm $B(0,20,0)$ có $3$ miếng mồi. \n\nCon kiến đứng trên bề mặt tổ (trên mặt cầu). Mỗi lần đi đến $A$ hoặc $B$ thì tha đúng một miếng mồi về tổ (tức là về bề mặt cầu). \n\nHình đính kèm: không có nội dung mô tả thêm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính tổng quãng đường ngắn nhất con kiến phải đi để tha hết $13$ miếng mồi về tổ, làm tròn đến hàng đơn vị. \n\nCần dùng kiến thức về khoảng cách trong không gian và tính khoảng cách từ một điểm đến mặt cầu (khoảng cách từ điểm đến tâm trừ bán kính).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính khoảng cách từ tâm $O$ đến $A$: $OA=\\sqrt{20^2+0^2+0^2}=20\\ (\\text{cm}).$ \n\nKhoảng cách ngắn nhất từ điểm $A$ đến bề mặt cầu là khoảng cách từ $A$ đến điểm trên đường thẳng $OA$ nằm trên mặt cầu, bằng: $\\text{dist}(A,\\text{mặt cầu})=OA-R=20-6=14\\ (\\text{cm}).$ \n\nTương tự với $B$: $OB=\\sqrt{0^2+20^2+0^2}=20\\ (\\text{cm})$ và $\\text{dist}(B,\\text{mặt cầu})=OB-R=20-6=14\\ (\\text{cm}).$ \n\nMỗi lần con kiến đi từ bề mặt tổ đến $A$ rồi quay về bề mặt (tha một miếng) có quãng đường ngắn nhất là hai lần khoảng cách trên: $2\\cdot 14=28\\ (\\text{cm}).$ \n\nTương tự mỗi lần lấy miếng ở $B$ và về tổ cũng là $28\\ (\\text{cm}).$ \n\nTổng quãng đường để tha hết: $10\\cdot 28 + 3\\cdot 28 = 13\\cdot 28 = 364\\ (\\text{cm}).$ \n\nLàm tròn hàng đơn vị vẫn là $364\\ (\\text{cm}).$\n\n✅ Đáp án: 364 cm","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":22,"text":"Mèo Táo có mở một cửa hàng sách và đang cần tuyển nhân viên trông coi cửa hàng. Để tuyển nhân viên đòi hỏi có khả năng tư duy và suy luận tốt; Táo đưa ra thử thách như sau: Bộ truyện tranh thám tử Kenichi gồm $44$ tập đang được sắp xếp từ $1$ tới $44$ trên giá (giả sử đang tính từ trái qua phải và tất cả cuốn truyện được sắp xếp cùng chiều). Yêu cầu hãy thực hiện việc sắp xếp các tập truyện theo trình tự ngược lại từ $44$ tới $1$ theo quy tắc: đổi chỗ $2$ tập truyện đang xếp liên tiếp sẽ bị tính $1$ điểm; đổi chỗ $2$ tập truyện mà ở giữa chúng có $3$ tập khác thì không bị tính điểm. Bạn An muốn ứng tuyển vào nhân viên của hàng. Hỏi điểm số của An nhỏ nhất là bao nhiêu điểm để thực hiện được thử thách trên.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6981a91badb58351916b8b75","correctAnswer":"22","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó $44$ tập truyện được xếp theo thứ tự ban đầu: $1,2,3,...,44$.\n\nMục tiêu: sắp xếp thành thứ tự ngược lại: $44,43,...,2,1$.\n\nMỗi lần đổi chỗ hai tập liền kề (cách nhau $1$ vị trí) thì bị tính $1$ điểm.\n\nNếu đổi chỗ hai tập cách nhau đúng $4$ vị trí (giữa chúng có đúng $3$ tập) thì không bị tính điểm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHỏi: cần ít nhất bao nhiêu điểm (tức là ít nhất bao nhiêu lần đổi chỗ liền kề) để biến $1\\to 44$ thành $44\\to 1$.\n\nKiến thức cần dùng: nhận ra “đổi cách $4$” là miễn phí nên ta tận dụng để gom/đưa truyện đến đúng chỗ, còn “đổi liền kề” là phần phải tối ưu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhận xét thao tác miễn phí.\nĐổi chỗ hai vị trí cách nhau $4$ là miễn phí ⇒ ta có thể hoán đổi tự do trong các nhóm vị trí:\n$ {\\left\\lbrace1,5,9,...,41\\right\\rbrace};\\left\\lbrace{2,6,10,...,42}\\right\\rbrace; {\\left\\lbrace 3,7,11,...,43 \\right\\rbrace} , {\\left\\lbrace 4,8,12,...,44 \\right\\rbrace} . $\n(Vì cứ cách $4$ là cùng “nhóm”.)\n\nBước 2: Xem mỗi quyển truyện “phải đổi nhóm” như thế nào khi đảo ngược.\nQuyển số $k$ trong thứ tự đảo ngược sẽ đứng ở vị trí $45-k.$\nXét theo phần dư mod $4$: vì $45\\equiv 1\\pmod 4$ nên $(45-k)\\equiv 1-k\\pmod 4.$\nSuy ra quy tắc chuyển nhóm (theo phần dư mod $4$):\nNếu $k\\equiv 0$ thì $45-k\\equiv 1$\n\nNếu $k\\equiv 1$ thì $45-k\\equiv 0$\n\nNếu $k\\equiv 2$ thì $45-k\\equiv 3$\n\nNếu $k\\equiv 3$ thì $45-k\\equiv 2$\n\nNghĩa là: nhóm $0 \\leftrightarrow 1$ đổi cho nhau, và nhóm $2 \\leftrightarrow 3$ đổi cho nhau.\n\nBước 3: Tính cận dưới bắt buộc.\nCó $44$ quyển đều phải “đổi nhóm” (không quyển nào ở lại đúng nhóm cũ).\nMỗi lần đổi chỗ liền kề chỉ làm “đổi nhóm” cho đúng 2 quyển (vì nó chỉ hoán đổi 2 quyển đang đứng cạnh nhau).\nVậy số lần đổi chỗ liền kề tối thiểu phải thỏa $\\text{Số lần} \\ge \\frac{44}{2} = 22.$\n\nBước 4: Tính số điểm\nDùng đổi chỗ miễn phí (cách $4$) để đưa bất kỳ quyển thuộc nhóm “vị trí $4,8,12,...,44$” về đúng một vị trí đại diện (ví dụ vị trí $4$), và tương tự nhóm “vị trí $5,9,13,...,41$” về vị trí $5$.\n\nThực hiện $11$ lần đổi chỗ liền kề tại cặp vị trí $4$ và $5$ để hoán đổi toàn bộ 11 quyển giữa hai nhóm $0$ và $1$.\n\nTương tự, thực hiện $11$ lần đổi chỗ liền kề tại cặp vị trí $2$ và $3$ để hoán đổi toàn bộ 11 quyển giữa hai nhóm $2$ và $3$.\n\nSau khi “đổi đúng nhóm”, ta dùng các đổi chỗ miễn phí (cách $4$) để sắp xếp trong từng nhóm cho ra đúng thứ tự $44,43,...,1$.\n\nTổng điểm: $11 + 11 = 22.$\n\n✅ Đáp án: $22$","chapter":"đại số tổ hợp","topic":"bài tập cuối chương viii","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 8","difficulty":"vận dụng cao"}]}