{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Nguyễn Đăng Đạo Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2026 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6982f81d0be64544579bc07f","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6982f81d0be64544579bc080","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6982f81d0be64544579bc081","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Hàm số $y=-x^3+3x^2+2$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$(-\\infty;0)$.","correct":false,"reason":"Với $x \\in (-\\infty;0)$, ta có $x<0$ và $x-2<0$ nên $x(x-2)>0$, suy ra $y' = -3x(x-2) < 0$ (ví dụ $y'(-1) = -9 < 0$), do đó hàm số nghịch biến, không đồng biến."},{"label":"B","text":"$(2;+\\infty)$.","correct":false,"reason":"Với $x \\in (2;+\\infty)$, ta có $x>0$ và $x-2>0$ nên $x(x-2)>0$, suy ra $y' = -3x(x-2) < 0$ (ví dụ $y'(3) = -9 < 0$), do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này."},{"label":"C","text":"$(-1;1)$.","correct":false,"reason":"Khoảng $(-1;1)$ chứa đoạn $(-1;0)$, tại đó $y' < 0$ (hàm nghịch biến), nên hàm không đồng biến trên toàn bộ khoảng $(-1;1)$."},{"label":"D","text":"$(0;2)$.","correct":true,"reason":"Ta có $y' = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$. Điều kiện $y' > 0$ tương đương $x(x-2) < 0$, tức là $0 < x < 2$, vậy hàm số đồng biến trên $(0;2)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=-x^3+3x^2+2$.\n\nCác khoảng lựa chọn: A. $(-\\infty;0)$; B. $(2;+\\infty)$; C. $(-1;1)$; D. $(0;2)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định khoảng mà hàm số đồng biến (tăng).\n\nCần áp dụng kiến thức: đạo hàm để xét đơn điệu của hàm (đạo hàm dương trên khoảng thì hàm đồng biến trên khoảng đó).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm của hàm số:\n$y' = \\frac{d}{dx}(-x^3+3x^2+2) = -3x^2+6x.$\n\nViết dưới dạng tích: $y' = -3x^2+6x = -3x(x-2).$\n\nGiải bất đẳng thức $y'>0$ để tìm khoảng đồng biến:\n$-3x(x-2)>0 \\iff x(x-2)<0$ (chia cả hai vế cho $-3$ đổi chiều dấu).\n\nBiểu thức $x(x-2)<0$ khi và chỉ khi $00$ (tăng).\n\nChọn $x=-1\\in(-\\infty,0)$: $y' = -3\\cdot1 -6 = -9<0$ (giảm).\n\nChọn $x=3\\in(2,+\\infty)$: $y' = -27+18=-9<0$ (giảm).\n\nKết luận: hàm đồng biến đúng trên khoảng $(0;2).$\n\n✅ Đáp án: $D. (0;2)$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":2,"text":"Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[-1;1]$. Biết $f(-1)=1$, $f(1)=-1$. Giá trị của tích phân $\\int_{-1}^{1}f'(x),dx$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$0$.","correct":false,"reason":"Sai vì theo định lý Newton–Leibniz, $\\int_{-1}^{1} f'(x)\\,dx = f(1) - f(-1) = -1 - 1 = -2 \\neq 0$."},{"label":"B","text":"$2$.","correct":true,"reason":"Sai vì đây là kết quả của việc nhầm lẫn thứ tự trừ $f(-1) - f(1) = 1 - (-1) = 2$, trong khi công thức đúng phải là $f(1) - f(-1)$."},{"label":"C","text":"$-2$.","correct":false,"reason":"Đúng vì áp dụng định lý Newton–Leibniz: $\\int_{-1}^{1} f'(x)\\,dx = f(1) - f(-1) = -1 - 1 = -2$."},{"label":"D","text":"$1$.","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị tích phân bằng hiệu $f(1) - f(-1) = -2$, không phải $1$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[-1;1]$. \n\n$f(-1)=1$. \n\n$f(1)=-1$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính giá trị của tích phân $\\int_{-1}^{1} f'(x)\\,dx$. \n\nCần áp dụng kiến thức: định lý cơ bản của giải tích (định lý Newton–Leibniz) về tích phân của đạo hàm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng định lý Newton–Leibniz: \n$\\int_a^b f'(x)\\,dx = f(b) - f(a).$\n\nVới $a=-1$ và $b=1$, ta có: \n$\\int_{-1}^{1} f'(x)\\,dx = f(1) - f(-1).$\n\nThay giá trị đã cho: $f(1) = -1,\\quad f(-1) = 1.$ \nSuy ra: \n$\\int_{-1}^{1} f'(x)\\,dx = -1 - 1 = -2.$\n\nKiểm tra nhanh: tích phân của đạo hàm chỉ phụ thuộc vào giá trị hàm tại hai đầu mút, không cần biết biểu thức cụ thể của $f(x)$.\n\n✅ Đáp án: $C. -2.$","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính chất của tích phân","difficulty":"thông hiểu"},{"id":3,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Đẳng thức nào sau đây sai?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SB}=\\overrightarrow{SC}+\\overrightarrow{SD}$.","correct":true,"reason":"Sai vì đẳng thức tương đương với $\\vec{A}+\\vec{B}=\\vec{C}+\\vec{D}$, nhưng tính chất đúng của hình bình hành là $\\vec{A}+\\vec{C}=\\vec{B}+\\vec{D}$ (tổng vectơ gốc $S$ chỉ bằng nhau với cặp đỉnh đối diện qua tâm)."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{AC}$.","correct":false,"reason":"Đúng theo quy tắc hình bình hành: tổng hai vectơ $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{AD}$ xuất phát từ cùng đỉnh $A$ bằng vectơ đường chéo $\\overrightarrow{AC}$."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{AB}-\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{DB}$.","correct":false,"reason":"Đúng vì $\\overrightarrow{AB}-\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{DA}=\\overrightarrow{DB}$ theo quy tắc cộng vectơ tam giác (từ $D$ đến $A$ rồi đến $B$)."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SC}=\\overrightarrow{SB}+\\overrightarrow{SD}$.","correct":false,"reason":"Đúng vì nếu $O$ là giao điểm hai đường chéo (tâm hình bình hành), thì $\\overrightarrow{SA}+\\overrightarrow{SC}=2\\overrightarrow{SO}=\\overrightarrow{SB}+\\overrightarrow{SD}$ do $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$\n\nĐáy $ABCD$ là hình bình hành\n\nXét các đẳng thức vectơ liên quan đến các điểm $S, A, B, C, D$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định đẳng thức vectơ sai\n\nCần vận dụng tính chất vectơ trong hình bình hành và biểu diễn vectơ qua tọa độ điểm\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVới hình bình hành $ABCD$, ta luôn có:\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AC}$\n\nNgoài ra:\n$\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{DA} = \\overrightarrow{DB}$\n\nXét các vectơ có gốc tại $S$:\n$\\overrightarrow{SA} + \\overrightarrow{SC} = ( \\vec{A}-\\vec{S}) + (\\vec{C}-\\vec{S}) = \\vec{A}+\\vec{C}-2\\vec{S}$\n\n$\\overrightarrow{SB} + \\overrightarrow{SD} = \\vec{B}+\\vec{D}-2\\vec{S}$\n\nDo trong hình bình hành: $\\vec{A}+\\vec{C} = \\vec{B}+\\vec{D}$ nên hai tổng trên bằng nhau\n\nNgược lại:\n$\\overrightarrow{SA} + \\overrightarrow{SB} = \\vec{A}+\\vec{B}-2\\vec{S}$\n\n$\\overrightarrow{SC} + \\overrightarrow{SD} = \\vec{C}+\\vec{D}-2\\vec{S}$\n\nMà không có tính chất nào đảm bảo $\\vec{A}+\\vec{B} = \\vec{C}+\\vec{D}$\n\n✅ Đáp án: A","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1n8ikw24BiBgmBsvqRcEdz5gdG_hGO_6v_2026-02-04074115.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian","difficulty":"thông hiểu"},{"id":4,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;2;3)$, $B(0;-4;1)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$(-1;-3;-1)$.","correct":false,"reason":"Sai vì các tọa độ $(-1;-3;-1)$ tương ứng với $\\left(\\frac{x_B-x_A}{2}; \\frac{y_B-y_A}{2}; \\frac{z_B-z_A}{2}\\right)$ thay vì công thức trung điểm $\\frac{x_A+x_B}{2}$. Cụ thể, hoành độ đúng phải là $\\frac{2+0}{2}=1$ chứ không phải $-1$."},{"label":"B","text":"$(1;-1;2)$.","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức trung điểm $M\\left(\\frac{x_A+x_B}{2}; \\frac{y_A+y_B}{2}; \\frac{z_A+z_B}{2}\\right)$ ta có $\\left(\\frac{2+0}{2}; \\frac{2+(-4)}{2}; \\frac{3+1}{2}\\right) = (1; -1; 2)$."},{"label":"C","text":"$(2;-2;4)$.","correct":false,"reason":"Sai vì tọa độ này khớp với $(x_A; y_A+y_B; z_A+z_B)$, tức là lấy tổng tọa độ mà quên chia đôi cho tung độ và cao độ (ví dụ $2+(-4)=-2$ thay vì $-1$)."},{"label":"D","text":"$(-2;-6;-2)$.","correct":false,"reason":"Sai vì đây chính là tọa độ vectơ $\\overrightarrow{AB} = (0-2; -4-2; 1-3) = (-2; -6; -2)$, không phải trung điểm."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(2;2;3)$.\n\nĐiểm $B(0;-4;1)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$.\n\nCần áp dụng kiến thức: công thức tọa độ điểm trung điểm trong không gian Oxyz.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức trung điểm M của đoạn nối hai điểm $A(x_A,y_A,z_A)$ và $B(x_B,y_B,z_B)$ là\n$M\\left(\\dfrac{x_A+x_B}{2},\\dfrac{y_A+y_B}{2},\\dfrac{z_A+z_B}{2}\\right).$\n\nThay tọa độ của $A(2;2;3)$ và $B(0;-4;1)$ vào công thức:\nHoành độ: $\\dfrac{x_A+x_B}{2}=\\dfrac{2+0}{2}=\\dfrac{2}{2}=1.$\n\nTung độ: $\\dfrac{y_A+y_B}{2}=\\dfrac{2+(-4)}{2}=\\dfrac{-2}{2}=-1.$\n\nTọa độ cao: $\\dfrac{z_A+z_B}{2}=\\dfrac{3+1}{2}=\\dfrac{4}{2}=2.$\n\nVậy tọa độ trung điểm là $(1;-1;2).$\n\nKiểm tra nhanh: điểm này nằm chính giữa hai điểm theo từng thành phần tọa độ, phù hợp với định nghĩa trung điểm.\n\n✅ Đáp án: $B. (1;-1;2)$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"hệ trục tọa độ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian","difficulty":"nhận biết"},{"id":5,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\\vec a(1;2;3)$, $\\vec b(0;-1;1)$. Độ dài của vectơ $2\\vec a-\\vec b$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$54$.","correct":true,"reason":"Sai. Đây là giá trị của $|2\\vec a-\\vec b|^2$ (bình phương độ dài), không phải là độ dài thực tế. Độ dài đúng phải là $\\sqrt{54}$."},{"label":"B","text":"$\\sqrt{54}$.","correct":false,"reason":"Đúng. Ta có $2\\vec a=(2;4;6)$, suy ra $2\\vec a-\\vec b=(2;5;5)$. Do đó $|2\\vec a-\\vec b|=\\sqrt{2^2+5^2+5^2}=\\sqrt{54}$."},{"label":"C","text":"$62$.","correct":false,"reason":"Sai. Đây là giá trị $|2\\vec a+\\vec b|^2$ vì $2\\vec a+\\vec b=(2;3;7)$ và $2^2+3^2+7^2=62$, tức là bình phương độ dài của vectơ tổng thay vì vectơ hiệu."},{"label":"D","text":"$\\sqrt{62}$.","correct":false,"reason":"Sai. Giá trị này bằng $|2\\vec a+\\vec b|$ vì $2\\vec a+\\vec b=(2;3;7)$ và $\\sqrt{2^2+3^2+7^2}=\\sqrt{62}$, trong khi đề bài yêu cầu tính độ dài của vectơ hiệu $2\\vec a-\\vec b$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$.\n\nHai vectơ $\\vec a(1;2;3)$ và $\\vec b(0;-1;1)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm độ dài của vectơ $2\\vec a-\\vec b$.\n\nCần áp dụng các khái niệm: nhân vectơ với số thực, hiệu hai vectơ theo toạ độ và công thức độ dài vectơ trong không gian 3 chiều.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết toạ độ hai vectơ: $\\vec a=(1,2,3),\\quad \\vec b=(0,-1,1).$\n\nNhân vectơ $\\vec a$ với 2: $2\\vec a=(2,4,6).$\n\nTính hiệu: \n$2\\vec a-\\vec b=(2-0,\\;4-(-1),\\;6-1)=(2,5,5).$\n\nCông thức độ dài của vectơ $\\vec v=(x,y,z)$ là $|\\vec v|=\\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$\n\nÁp dụng cho $2\\vec a-\\vec b$:\n$|2\\vec a-\\vec b|=\\sqrt{2^2+5^2+5^2}=\\sqrt{4+25+25}=\\sqrt{54}.$\n\n✅ Đáp án: $B. \\sqrt{54}$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ","difficulty":"nhận biết"},{"id":6,"text":"Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=1,u_2=-2$. Số hạng thứ $5$ của cấp số cộng là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$-9$.","correct":false,"reason":"Sai do tính nhầm công sai hoặc nhầm lẫn giữa các số hạng, chẳng hạn nhầm $u_4=-8$ thành $-9$ hoặc tính $u_5$ với giá trị $d \\neq -3$."},{"label":"B","text":"$-7$.","correct":false,"reason":"Sai do tính nhầm công sai $d = -2$ (thay vì $d = u_2 - u_1 = -3$), dẫn đến áp dụng công thức $u_5 = 1 + 4(-2) = -7$."},{"label":"C","text":"$-14$.","correct":false,"reason":"Sai do áp dụng nhầm công thức $u_n = u_1 + nd$ thay vì $u_n = u_1 + (n-1)d$, tính ra $1 + 5(-3) = -14$."},{"label":"D","text":"$-11$.","correct":true,"reason":"Đúng vì công sai $d = u_2 - u_1 = -3$, áp dụng công thức số hạng tổng quát $u_5 = u_1 + 4d = 1 + 4(-3) = -11$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 1,\\; u_2 = -2$.\n\nCần tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm $u_5$, tức là số hạng thứ 5 của một cấp số cộng.\n\nCần áp dụng kiến thức về cấp số cộng: hiệu công cộng (công sai) và công thức số hạng tổng quát:\nHiệu công cộng $d = u_2 - u_1$.\n\nCông thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n-1)d$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính hiệu công cộng:\n$d = u_2 - u_1 = -2 - 1 = -3.$\n\nViết công thức tổng quát cho số hạng thứ n:\n$u_n = u_1 + (n-1)d.$\n\nThay $n = 5$, $u_1 = 1$ và $d = -3$ vào công thức:\n$u_5 = 1 + (5-1)(-3) = 1 + 4\\cdot(-3).$\n\n$u_5 = 1 - 12 = -11.$\n\nKiểm tra bằng cách liệt kê các số hạng: $u_1=1,\\; u_2=-2,\\; u_3=-5,\\; u_4=-8,\\; u_5=-11.$ Mỗi lần trừ 3 là đúng với $d=-3$.\n\n✅ Đáp án: $D. -11$","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số cộng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số cộng","difficulty":"nhận biết"},{"id":7,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[-2;2]$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(2)-F(-2)=5$. Giá trị của tích phân $\\int_{-2}^{2}[f(x)-2x+1],dx$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$7$.","correct":false,"reason":"Sai do tính nhầm $\\int_{-2}^{2}1\\,dx = 2$ (chỉ lấy cận trên) hoặc tính sai tích phân của $2x$, dẫn đến kết quả $5+2=7$ hoặc $5-2+4=7$."},{"label":"B","text":"$9$.","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\int_{-2}^{2}[f(x)-2x+1]\\,dx = [F(x)]_{-2}^{2} - 2\\cdot 0 + [x]_{-2}^{2} = 5 + 4 = 9$, trong đó $\\int_{-2}^{2}x\\,dx = 0$ do $x$ là hàm lẻ trên khoảng đối xứng."},{"label":"C","text":"$1$.","correct":false,"reason":"Sai do tính nhầm $\\int_{-2}^{2}x\\,dx = 4$ (quên chia 2 khi tính nguyên hàm $\\frac{x^2}{2}$), dẫn đến $5-2\\cdot 4+4=1$."},{"label":"D","text":"$-1$.","correct":false,"reason":"Sai do nhầm $\\int_{-2}^{2}f(x)\\,dx = F(-2)-F(2) = -5$ (đảo ngược thứ tự cận), kết hợp với tính đúng các hạng tử còn lại $-2\\cdot 0+4$ cho kết quả $-1$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[-2;2]$.\n\n$F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.\n\n$F(2)-F(-2)=5$.\n\nCần tính tích phân $\\displaystyle\\int_{-2}^{2}[f(x)-2x+1]\\,dx$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tính một tích phân xác định dựa trên thông tin về nguyên hàm và các tính chất cơ bản của tích phân.\n\nCác kiến thức cần dùng: tính chất tuyến tính của tích phân, định lý cơ bản của giải tích (nguyên hàm liên hệ với tích phân), và tích phân của hàm chẵn/lẻ hoặc tích phân hàm đơn giản trên khoảng đối xứng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng tính tuyến tính của tích phân:\n$\\displaystyle\\int_{-2}^{2}[f(x)-2x+1]\\,dx=\\int_{-2}^{2}f(x)\\,dx-2\\int_{-2}^{2}x\\,dx+\\int_{-2}^{2}1\\,dx.$\n\nBiết $F$ là nguyên hàm của $f$ nên theo định lý cơ bản của giải tích:\n$\\displaystyle\\int_{-2}^{2}f(x)\\,dx=F(2)-F(-2)=5.$\n\nTính tích phân của $x$ trên khoảng đối xứng $[-2,2]$ (hàm $x$ là lẻ), nên:\n$\\displaystyle\\int_{-2}^{2}x\\,dx=0.$\n(Hoặc tính trực tiếp: $\\left[\\frac{x^2}{2}\\right]_{-2}^{2}=\\frac{4}{2}-\\frac{4}{2}=0$.)\n\nTính tích phân của hằng số 1:\n$\\displaystyle\\int_{-2}^{2}1\\,dx=[x]_{-2}^{2}=2-(-2)=4.$\n\nCộng lại:\n$5-2\\cdot 0+4=9.$\n\n✅ Đáp án: $\\text{B. 9.}$","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính chất của tích phân","difficulty":"thông hiểu"},{"id":8,"text":"Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$y=\\dfrac{x^2-2x}{x-1}$.","reason":"Hàm số $y=\\dfrac{x^2-2x}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x-1$ và đi qua gốc tọa độ, nhưng khi $x \\to 1^+$ thì $y \\to -\\infty$ (nhánh phải đi xuống), trong khi đồ thị cho thấy nhánh phải đi lên $+\\infty$."},{"label":"B","text":"$y=\\dfrac{x^2+2x}{x-1}$.","reason":"Hàm số $y=\\dfrac{x^2+2x}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+3$, đi qua $(0;0)$ và $(-2;0)$, và có đúng hành vi: $x \\to 1^+$ thì $y \\to +\\infty$, $x \\to 1^-$ thì $y \\to -\\infty$, phù hợp với đồ thị."},{"label":"C","text":"$y=\\dfrac{-x^2+2x}{x-1}$.","reason":"Hàm số $y=\\dfrac{-x^2+2x}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=-x+1$ với hệ số góc $-1$ (đi xuống), trong khi đồ thị cho thấy đường tiệm cận có hệ số góc dương (đi lên)."},{"label":"D","text":"$y=\\dfrac{x+2}{x-1}$.","reason":"Hàm số $y=\\dfrac{x+2}{x-1}$ có tiệm cận ngang $y=1$, không có tiệm cận xiên như trong hình vẽ."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1DAiO58TsU0UuL0wX2r4SndAgMoyCqz1K_2026-02-04074107.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận đứng","difficulty":"thông hiểu","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐề bài đề cập đến một hình vẽ đồ thị hàm số và yêu cầu xác định hàm số tương ứng từ 4 phương án cho sẵn. Tuy nhiên, đề bài không cung cấp hình ảnh hay mô tả chi tiết nào về đồ thị.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xác định hàm số có đồ thị phù hợp với hình vẽ được mô tả. Kiến thức cần áp dụng: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số hữu tỉ, đường tiệm cận.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nKhông đủ dữ kiện từ đề để giải chi tiết. Đề bài thiếu hình ảnh đồ thị hoặc mô tả đặc điểm của đồ thị (điểm đi qua, dạng đồ thị, đường tiệm cận đứng/ngang, tính chất đối xứng...). Không thể đối chiếu đồ thị với các phương án khi không có thông tin về hình vẽ.\n\n✅ Đáp án: Không xác định được\n❌ Các đáp án khác:\nKhông đủ dữ kiện để phân tích từng phương án A, B, C, D."},{"id":9,"text":"Nguyên hàm của hàm số $f(x)=2^x$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$2^x+C$.","correct":false,"reason":"Sai vì đạo hàm của $2^x+C$ là $2^x\\ln 2 \\neq 2^x$, nên không thỏa mãn định nghĩa nguyên hàm."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{2^{x+1}}{x+1}+C$.","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm lẫn với công thức nguyên hàm của hàm luỹ thừa $\\int x^n \\,dx$, trong khi $2^x$ là hàm mũ với biến số ở số mũ."},{"label":"C","text":"$2^x\\ln2+C$.","correct":false,"reason":"Sai vì $2^x\\ln 2$ chính là đạo hàm của $2^x$, không phải nguyên hàm; nguyên hàm phải chia cho $\\ln 2$ thay vì nhân."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{2^x}{\\ln2}+C$.","correct":true,"reason":"Đúng vì theo công thức nguyên hàm của hàm mũ $\\displaystyle\\int a^x \\,dx = \\frac{a^x}{\\ln a} + C$ với $a=2$, hoặc qua biến đổi $2^x = e^{x\\ln 2}$ rồi tích phân."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số cần tìm nguyên hàm: $f(x)=2^x.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2^x$ (tức là một hàm $F(x)$ sao cho $F'(x)=2^x$).\n\nCần vận dụng kiến thức về tích phân/đạo hàm của hàm mũ cơ bản: hàm mũ với cơ số e và công thức đạo hàm/đẳng thức chuyển đổi $a^x=e^{x\\ln a}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại $2^x$ dưới dạng hàm mũ cơ số e: $2^x=e^{x\\ln2}.$\n\nÁp dụng công thức nguyên hàm của $e^{kx}$: $\\int e^{kx}\\,dx=\\frac{1}{k}e^{kx}+C.$\n\nVới $k=\\ln2$ ta có\n$\\int 2^x\\,dx=\\int e^{x\\ln2}\\,dx=\\frac{1}{\\ln2}e^{x\\ln2}+C.$\n\nQuay lại dạng cơ số 2: $\\frac{1}{\\ln2}e^{x\\ln2}=\\frac{2^x}{\\ln2}.$\n\nKiểm tra đạo hàm: $\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{2^x}{\\ln2}+C\\right)=\\frac{1}{\\ln2}\\cdot 2^x\\ln2=2^x,$ đúng như yêu cầu.\n\nNhận xét các đáp án sai trong các lựa chọn khác:\nNếu nguyên hàm là $2^x+C$ thì đạo hàm của nó là $2^x\\ln2$ ≠ $2^x$, nên sai.\n\nNếu là $2^x\\ln2+C$ thì đạo hàm là $2^x(\\ln2)^2$, cũng sai.\n\nDạng $\\dfrac{2^{x+1}}{x+1}+C$ không hợp lý (không phải tích phân của hàm mũ cơ bản).\n\n✅ Đáp án: $D. \\dfrac{2^x}{\\ln2}+C$","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"nguyên hàm","grade":"GRADE_12","questionCategory":"nguyên hàm của một số hàm số thường gặp","difficulty":"nhận biết"},{"id":10,"text":"Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\\dfrac{-x+2}{x-1}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$y=-1$.","correct":true,"reason":"Vì bậc của tử và mẫu bằng nhau (cùng bậc 1), đường tiệm cận ngang là $y=\\frac{-1}{1}=-1$, hoặc $\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\frac{-x+2}{x-1}=-1$."},{"label":"B","text":"$x=1$.","correct":false,"reason":"Đây là phương trình đường tiệm cận đứng (vertical asymptote) tại điểm làm mẫu bằng 0 ($x=1$), không phải tiệm cận ngang."},{"label":"C","text":"$y=1$.","correct":false,"reason":"Sai vì tỷ số hệ số cao nhất của tử ($-1$) và mẫu ($1$) bằng $-1$, do đó tiệm cận ngang là $y=-1$ chứ không phải $y=1$."},{"label":"D","text":"$x=-1$.","correct":false,"reason":"$x=-1$ không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số này; hàm số chỉ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\dfrac{-x+2}{x-1}.$\n\nTìm phương trình của đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu: xác định phương trình của đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.\n\nKiến thức cần dùng: tính bậc của tử và mẫu của hàm phân thức, hoặc phép chia sơ cấp đa thức / giới hạn khi $x\\to\\pm\\infty$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét hàm phân thức $y=\\dfrac{-x+2}{x-1}.$ Cả tử và mẫu đều là đa thức bậc 1 (bậc bằng nhau).\n\nQuy tắc: nếu bậc tử bằng bậc mẫu (cùng bậc 1), đường tiệm cận ngang là đường $y=\\dfrac{\\text{hệ số cao nhất của tử}}{\\text{hệ số cao nhất của mẫu}}.$\nHệ số cao nhất của tử là $-1$, của mẫu là $1$, nên tỷ số là $-1.$\n\nHoặc thực hiện phép chia đa thức: \n$\\frac{-x+2}{x-1}=-1+\\frac{1}{x-1}.$\nKhi $x\\to\\pm\\infty$ thì $\\frac{1}{x-1}\\to 0,$ nên $y\\to -1.$\n\nDo đó đường tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng $y=-1.$ \n\n✅ Đáp án: $A. y=-1.$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận ngang","difficulty":"nhận biết"},{"id":11,"text":"Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ với mặt phẳng $(ABCD)$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$\\widehat{SAB}$.","correct":false,"reason":"Góc $\\widehat{SAB}$ là góc giữa $SA$ và $AB$, và vì $SA \\perp (ABCD)$ nên $\\widehat{SAB} = 90^\\circ$. Đây không phải là góc giữa đường thẳng $SB$ với mặt phẳng đáy."},{"label":"B","text":"$\\widehat{ASB}$.","correct":false,"reason":"Góc $\\widehat{ASB}$ là góc tại đỉnh $S$ trong tam giác $SAB$, tức là góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $SB$. Đây không phải góc giữa đường thẳng $SB$ với mặt phẳng $(ABCD)$."},{"label":"C","text":"$\\widehat{DBA}$.","correct":false,"reason":"Góc $\\widehat{DBA}$ là góc trong mặt phẳng đáy giữa đường chéo $DB$ và cạnh $BA$, không liên quan đến đường thẳng $SB$ cần xét."},{"label":"D","text":"$\\widehat{SBA}$.","correct":true,"reason":"Vì $SA \\perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy là $A$, suy ra hình chiếu của đường thẳng $SB$ trên $(ABCD)$ là $AB$. Do đó góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SB$ và $AB$, tức là $\\widehat{SBA}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác S.ABCD.\n\nSA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD).\n\nCần tìm: góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABCD).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi hỏi: \"Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là góc nào?\" \n\nKiến thức cần dùng: góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐịnh nghĩa (dạng công thức): \n$\\text{Góc giữa đường thẳng }l\\text{ và mặt phẳng }(P)\\;=\\;\\text{góc giữa }l\\text{ và hình chiếu của }l\\text{ lên }(P).$\n\nVì SA vuông góc với mặt phẳng đáy và giao với mặt phẳng tại điểm A, nên điểm chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là chính điểm A (theo nội dung ảnh: \"SA vuông mặt phẳng đáy ABCD, nên góc giữa SB và mặt phẳng đáy là SBA\").\n\nDo đó hình chiếu của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng BA.\n\nVậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SB và BA, tức là góc tại đỉnh B với hai tia BS và BA, ký hiệu là $\\widehat{SBA}.$\n\nKiểm tra các lựa chọn: các lựa chọn sai là $\\widehat{SAB},\\; \\widehat{ASB},\\; \\widehat{DBA}$; lựa chọn đúng là $\\widehat{SBA}.$\n\n✅ Đáp án: D. $\\widehat{SBA}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1n8ikw24BiBgmBsvqRcEdz5gdG_hGO_6v_2026-02-04074115.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"đường thẳng vuông góc với mặt phẳng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"đường thẳng vuông góc với mặt phẳng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Nghiệm của phương trình $\\sin\\left(x+\\dfrac{\\pi}{3}\\right)=-\\dfrac{1}{2}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6982f81d0be64544579bc07f","options":[{"label":"A","text":"$\r\n\\left[\r\n\\begin{array}{l}\r\nx = -\\dfrac{\\pi}{2} + k\\pi \\\\\r\nx = \\dfrac{5\\pi}{6} + k\\pi\r\n\\end{array}\r\n\\right.\r\n,\\ k \\in \\mathbb{Z}.\r\n$.","reason":"Phương án A sai vì sử dụng chu kỳ $k\\pi$ thay vì $k2\\pi$, dẫn đến nghiệm ngoại lai (ví dụ với $k=1$ thì $x=\\frac{\\pi}{2}$ không thỏa mãn phương trình)."},{"label":"B","text":"$\\left[\\begin{array}{l}x=-\\dfrac{\\pi}{6}+k2\\pi \\\\ x=\\dfrac{\\pi}{2}+k2\\pi\\end{array}\\right.,k\\in\\mathbb{Z}.$.","reason":"Thay $x=-\\frac{\\pi}{6}$ vào phương trình được $\\sin\\left(\\frac{\\pi}{6}\\right)=\\frac{1}{2}\\neq -\\frac{1}{2}$, và $x=\\frac{\\pi}{2}$ cũng cho $\\sin\\left(\\frac{5\\pi}{6}\\right)=\\frac{1}{2}\\neq -\\frac{1}{2}$ nên các nghiệm đều không đúng."},{"label":"C","text":"$\\left[\\begin{array}{l}x=-\\dfrac{\\pi}{2}+k2\\pi \\\\ x=\\dfrac{5\\pi}{6}+k2\\pi\\end{array}\\right.,k\\in\\mathbb{Z}.$.","reason":"Đúng vì từ $\\sin\\left(x+\\frac{\\pi}{3}\\right)=-\\frac{1}{2}=\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)$ suy ra $x+\\frac{\\pi}{3}=-\\frac{\\pi}{6}+k2\\pi$ hoặc $x+\\frac{\\pi}{3}=\\frac{7\\pi}{6}+k2\\pi$, biến đổi ra $x=-\\frac{\\pi}{2}+k2\\pi$ hoặc $x=\\frac{5\\pi}{6}+k2\\pi$."},{"label":"D","text":"$\r\n\\left[\r\n\\begin{array}{l}\r\nx = -\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi \\\\\r\nx = \\dfrac{\\pi}{2} + k\\pi\r\n\\end{array}\r\n\\right.\r\n,\\ k \\in \\mathbb{Z}.\r\n$.","reason":"Sai vì chu kỳ $k\\pi$ không đúng với phương trình sin, và các giá trị $-\\frac{\\pi}{6}$, $\\frac{\\pi}{2}$ khi thay vào vế trái đều cho $\\sin$ bằng $\\frac{1}{2}$ thay vì $-\\frac{1}{2}$."}],"chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"phương trình lượng giác cơ bản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình sinx=m","difficulty":"nhận biết","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình lượng giác $\\sin\\left(x+\\dfrac{\\pi}{3}\\right)=-\\dfrac{1}{2}$ cần giải để tìm nghiệm $x$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu c"},{"id":13,"text":"Cho hàm số $f(x)=\\log_3(2x-3)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6982f81d0be64544579bc080","statements":[{"label":"A","text":"Tập xác định của hàm số là $\\left[\\dfrac{3}{2};+\\infty\\right)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\log_3(2x-3)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: kiểm tra phát biểu rằng tập xác định của hàm số là $\\left[\\dfrac{3}{2};+\\infty\\right)$.\n\nCần áp dụng kiến thức: điều kiện xác định của hàm số logarit (biểu thức trong log phải dương).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐiều kiện xác định của $f$ là: $2x-3>0$.\n\nGiải bất phương trình: $2x>3\\Rightarrow x>\\dfrac{3}{2}$.\n\nDo đó tập xác định là $\\left(\\dfrac{3}{2},+\\infty\\right)$ — không bao gồm điểm $\\dfrac{3}{2}$.\n\nPhát biểu đưa ra là $\\left[\\dfrac{3}{2};+\\infty\\right)$ (có bao gồm $\\dfrac{3}{2}$) nên sai vì tại $x=\\dfrac{3}{2}$ ta có biểu thức bên trong log bằng 0 và $\\log_3 0$ không xác định.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"$f'(x)=\\dfrac{2}{(2x-3)\\ln3},\\ \\forall x\\in\\left(\\dfrac{3}{2};+\\infty\\right)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\log_3(2x-3)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: kiểm tra phát biểu về đạo hàm $f'(x)=\\dfrac{2}{(2x-3)\\ln3},\\ \\forall x\\in\\left(\\dfrac{3}{2};+\\infty\\right)$.\n\nCần áp dụng kiến thức: đạo hàm của hàm logarit cơ sở $a$ là $\\dfrac{u'}{u\\ln a}$ với $u>0$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐặt $u(x)=2x-3$, khi đó $f(x)=\\log_3 u(x)$ và $u'(x)=2$.\n\nÁp dụng công thức: $\\dfrac{d}{dx}\\log_3 u(x)=\\dfrac{u'(x)}{u(x)\\ln 3}$.\n\nDo đó $f'(x)=\\dfrac{2}{(2x-3)\\ln 3}$, xác định cho mọi $x$ thỏa mãn $2x-3>0$, tức $x\\in\\left(\\dfrac{3}{2},+\\infty\\right)$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Phương trình $f(x)=\\log_3(x^2-x-1)$ có hai nghiệm phân biệt.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\log_3(2x-3)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: kiểm tra phát biểu rằng phương trình $f(x)=\\log_3(x^2-x-1)$ có hai nghiệm phân biệt.\n\nCần áp dụng kiến thức: tính chất logarit (nếu $\\log_3 A=\\log_3 B$ và cả hai dương thì $A=B$) và điều kiện xác định của hai vế (các biểu thức bên trong phải dương).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChuyển phương trình: $\\log_3(2x-3)=\\log_3(x^2-x-1)\\ \\Rightarrow\\ 2x-3=x^2-x-1$ (với điều kiện cả hai biểu thức bên trong phải dương).\n\nGiải phương trình đại số: $x^2-x-1-2x+3=0\\Rightarrow x^2-3x+2=0\\Rightarrow (x-1)(x-2)=0$ nên nghiệm là $x=1$ hoặc $x=2$.\n\nKiểm tra điều kiện xác định:\nVới $x=1$: $2x-3= -1<0$ nên không thỏa điều kiện (loại).\n\nVới $x=2$: $2x-3=1>0$ và $x^2-x-1=1>0$ nên hợp lệ.\n\nKết luận: phương trình chỉ có một nghiệm thực hợp lệ là $x=2$, không phải hai nghiệm phân biệt.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Gọi $S$ là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $f(x)\\le4$. Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng $903$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\log_3(2x-3)$.\n\nXét tập $S$ là tập các nghiệm nguyên của bất phương trình $f(x)\\le 4$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: kiểm tra phát biểu rằng tổng các phần tử của $S$ bằng $903$.\n\nCần áp dụng kiến thức: giải bất phương trình logarit và tính tổng dãy số nguyên.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBất phương trình: $\\log_3(2x-3)\\le 4$ với điều kiện xác định $2x-3>0\\ (x>\\tfrac{3}{2})$.\n\nChuyển sang dạng số: $2x-3\\le 3^4=81\\Rightarrow 2x\\le84\\Rightarrow x\\le42$.\n\nKết hợp điều kiện xác định: $x>\\tfrac{3}{2}$ và $x\\le42$ nên nghiệm thực là $x\\in\\left(\\tfrac{3}{2},42\\right]$.\n\nNghiệm nguyên: các số nguyên từ $2$ đến $42$ (bao gồm).\n\nTổng các số nguyên từ $2$ đến $42$ là tổng từ $1$ đến $42$ trừ $1$: $\\sum_{k=2}^{42}k=\\frac{42\\cdot43}{2}-1=903-1=902$.\n\nPhát biểu cho rằng tổng bằng $903$ là sai (thực tế là $902$).\n\n✅ Đáp án: Sai"}],"chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"bài tập cuối chương vi.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 6","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{ax^2+bx+c}{x+d}$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng điểm $O(0;0)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6982f81d0be64544579bc080","statements":[{"label":"A","text":"Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y=x+1$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số có dạng $y=\\dfrac{ax^2+bx+c}{x+d}$.\n\nTrên đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 (đường đỏ trong hình).\n\nĐồ thị có một đường tiệm cận xiên (đường chéo đỏ trong hình).\n\nĐiểm $O(0;0)$ là một điểm cực đại của đồ thị.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu A hỏi: phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị có phải là $y=x+1$ không?\n\nCần dùng kiến thức: tiệm cận đứng từ mẫu số, phép chia đa thức để tìm tiệm cận xiên (thương của phép chia) và điều kiện điểm (0,0) thuộc đồ thị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì đồ thị có tiệm cận đứng tại $x=1$ nên mẫu của hàm số phải bằng $x-1$, tức là $x+d= x-1\\Rightarrow d=-1$.\n\nThực hiện chia đa thức: với $d=-1$, viết\n$y=\\dfrac{ax^2+bx+c}{x-1}.$ \nKhi chia, ta có (chia theo biến x):\n$\\dfrac{ax^2+bx+c}{x-1}=ax+(a+b)+\\dfrac{c+a+b}{x-1}.$ \nDo đó tiệm cận xiên là\n$y=ax+(a+b).$\n\nĐể tiệm cận xiên đúng bằng $y=x+1$ ta cần\n$a=1,\\quad a+b=1\\Rightarrow b=0.$\n\nThêm điều kiện điểm $O(0,0)$ thuộc đồ thị: \n$y(0)=\\dfrac{c}{0-1}=-c=0\\Rightarrow c=0.$\n\nVậy hệ số là $a=1,b=0,c=0,d=-1$ và khi đó tiệm cận xiên là\n$y=1\\cdot x+(1+0)=x+1.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $T(2;4)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSau khi xác định ở trên ta có hàm số\n$y=\\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\\dfrac{1}{x-1}.$ \n\nĐiểm $T(2;4)$ được đưa ra trong lựa chọn B.\n\nBiết đồ thị có các tính chất như trong hình (tiệm cận đứng x=1, tiệm cận xiên y=x+1, đồ thị đi qua O).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu B hỏi: liệu điểm cực tiểu của đồ thị có phải là $T(2;4)$ không?\n\nCần dùng đạo hàm để kiểm tra điều kiện cần và đủ của điểm cực trị ($y'=0$ và dấu của $y''$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại hàm rõ ràng: $y= x+1+\\dfrac{1}{x-1}.$\n\nTính đạo hàm:\n$y'=1-\\dfrac{1}{(x-1)^2}.$\n\nKiểm tra tại $x=2$:\n$y'(2)=1-\\dfrac{1}{(2-1)^2}=1-1=0.$\n\nTính đạo hàm bậc hai để xác định loại cực trị:\n$y''=\\dfrac{2}{(x-1)^3}.$ \nKhi $x=2$, $y''(2)=\\dfrac{2}{1^3}=2>0$ nên tại $x=2$ là điểm cực tiểu.\n\nGiá trị hàm tại $x=2$:\n$y(2)=\\dfrac{2^2}{2-1}=4.$ \nVậy điểm cực tiểu là $T(2;4).$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Hàm số đồng biến trên $(1;+\\infty)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số đã được xác định: $y=\\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\\dfrac{1}{x-1}.$\n\nCần xét tính đơn điệu trên khoảng $(1; +\\infty).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu C khẳng định: hàm số đồng biến trên $(1; +\\infty)$.\n\nDùng đạo hàm để kiểm tra dấu của $y'$ trên khoảng này.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐạo hàm đã tính: $y'=1-\\dfrac{1}{(x-1)^2}.$\n\nXét một giá trị cụ thể trong khoảng $(1; +\\infty)$, ví dụ $x=\\tfrac{3}{2}=1.5$:\n$(x-1)^2=(0.5)^2=0.25\\Rightarrow y'\\Big(\\tfrac{3}{2}\\Big)=1-\\dfrac{1}{0.25}=1-4=-3<0.$ \n\nVì tồn tại điểm trong khoảng $(1,+\\infty)$ mà $y'<0$, hàm không thể đồng biến trên toàn khoảng đó.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Gọi $A,B$ là hai điểm di động trên đồ thị hàm số sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $A$ và $B$ luôn song song với nhau. Khi khoảng cách từ điểm $M(4;1)$ đến đường thẳng $AB$ lớn nhất thì độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $2\\sqrt5$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\\dfrac{1}{x-1}.$\n\nGọi hai điểm di động $A(x_1,y_1),\\;B(x_2,y_2)$ trên đồ thị sao cho các tiếp tuyến tại A và B song song nhau.\n\nĐiểm cố định $M(4;1)$. Khi khoảng cách từ M đến đường thẳng $AB$ lớn nhất thì câu D khẳng định $AB=2\\sqrt5.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần biểu diễn toạ độ A, B khi tiếp tuyến song song; tìm chiều dài $AB$ và biểu thức khoảng cách từ M tới đường thẳng qua A và B; tối ưu và kiểm tra kết quả.\n\nDùng đạo hàm và các phép toán hình học phẳng (đo khoảng cách điểm tới đường thẳng, định thức 2×2) là kiến thức trung học phổ thông.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐiều kiện hai tiếp tuyến song song nghĩa là $y'(x_1)=y'(x_2)$. Ta có\n$y'=1-\\dfrac{1}{(x-1)^2}.$ \nTừ đó suy ra $(x_1-1)^2=(x_2-1)^2.$ Vì A và B khác nhau nên lấy nghiệm đối nhau quanh 1: \n$x_1=1+h,\\quad x_2=1-h\\ (h>0).$\n\nToạ độ tương ứng:\n$y(1+h)=2+h+\\dfrac{1}{h},\\qquad y(1-h)=2-h-\\dfrac{1}{h}.$ \n\nTâm đoạn thẳng AB (điểm giữa) là\n$\\Big(\\dfrac{x_1+x_2}{2},\\dfrac{y_1+y_2}{2}\\Big)=(1,2).$ (điều này xuất phát từ đối xứng và cộng hai hoành, tung).\n\nVector từ trung điểm đến A là\n$\\vec{v}=(h,\\;h+\\dfrac{1}{h}).$\nDo đó độ dài đoạn AB là\n$|AB|=2|\\vec{v}|=2\\sqrt{h^2+\\Big(h+\\dfrac{1}{h}\\Big)^2}.$\n\nVector từ trung điểm đến M là $\\vec{w}=M-(1,2)=(3,-1).$\nKhoảng cách từ M đến đường thẳng AB (đường đi qua trung điểm theo hướng $\\vec v$) bằng\n$d=\\dfrac{|\\det(\\vec v,\\vec w)|}{|\\vec v|}=\\dfrac{| -4h-\\dfrac{3}{h}|}{\\sqrt{h^2+\\big(h+\\dfrac{1}{h}\\big)^2}}.$\n\nĐể tối đa hoá $d$, xét bình phương khoảng cách:\n$d^2=\\dfrac{(4h+3/h)^2}{2h^2+2+1/h^2}.$ \nĐặt $u=h^2>0$, ta được\n$d^2=\\dfrac{(4u+3)^2}{2u^2+2u+1}.$ \nLấy đạo hàm theo $u$ và giải phương trình nghiệm cho thấy cực trị tại $u=\\tfrac{1}{2} \\ (\\text{tức } h=\\tfrac{1}{\\sqrt2}).$\n\nKhi $u=\\tfrac12$, ta tính được giá trị tối đa\n$d_{\\max}^2=10\\Rightarrow d_{\\max}=\\sqrt{10}.$ \nĐồng thời khi đó độ dài đoạn AB là\n$\\[AB=\\sqrt{\\left(\\dfrac{2-\\sqrt{2}}{2}-\\dfrac{2+\\sqrt{2}}{2}\\right)^2+\\left(\\dfrac{4-3\\sqrt{2}}{2}-\\dfrac{4+3\\sqrt{2}}{2}\\right)^2} =2\\sqrt{5}.\\]$\n\nNhư vậy khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB đạt cực đại thì $AB=2\\sqrt5$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1HSQFGxlKS1yy3wW4lgbfZy9MkU_-bh3V_2026-02-04074110.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$, $\\widehat{A'AB}=120^\\circ$, $\\widehat{A'AC}=60^\\circ$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $N$ là điểm thỏa mãn $\\overrightarrow{BN}=\\dfrac{2}{3}\\overrightarrow{BB'}$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6982f81d0be64544579bc080","statements":[{"label":"A","text":"Giả sử $\\overrightarrow{A'M}=x\\overrightarrow{AB}+y\\overrightarrow{AC}+z\\overrightarrow{AA'}$ thì $x+y=z$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$.\n\n$\\widehat{A'AB}=120^\\circ$ và $\\widehat{A'AC}=60^\\circ$.\n\n$M$ là trung điểm của $BC$; $N$ thỏa mãn $\\overrightarrow{BN}=\\dfrac{2}{3}\\overrightarrow{BB'}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa xét phát biểu: \"Giả sử $\\overrightarrow{A'M}=x\\,\\overrightarrow{AB}+y\\,\\overrightarrow{AC}+z\\,\\overrightarrow{AA'}$ thì $x+y=z$.\"\n\nCần kiểm tra hệ số $x,y,z$ khi biểu diễn $\\overrightarrow{A'M}$ theo cơ sở $\\{\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AC},\\overrightarrow{AA'}\\}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChọn gốc tại $A$ và đặt $\\overrightarrow{AB}=\\mathbf{u},\\;\\overrightarrow{AC}=\\mathbf{v},\\;\\overrightarrow{AA'}=\\mathbf{w}$. Theo đề: $|\\mathbf{u}|=|\\mathbf{v}|=|\\mathbf{w}|=a$ và góc $\\widehat{u,v}=60^\\circ$, $\\widehat{w,u}=120^\\circ$, $\\widehat{w,v}=60^\\circ$.\n\nVị trí điểm: $\\overrightarrow{AM}=\\dfrac{\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AC}}{2}=\\dfrac{\\mathbf{u}+\\mathbf{v}}{2}$ và $\\overrightarrow{AA'}=\\mathbf{w}$ nên\n$\\overrightarrow{A'M}=\\overrightarrow{AM}-\\overrightarrow{AA'}=\\dfrac{1}{2}\\mathbf{u}+\\dfrac{1}{2}\\mathbf{v}-\\mathbf{w}.$ \n\nSo sánh với biểu diễn giả sử ta có $x=\\dfrac{1}{2},\\;y=\\dfrac{1}{2},\\;z=-1$. Khi đó $x+y=1\\quad\\text{nhưng}\\quad z=-1$, nên $x+y\\neq z$.\n\n(Nhìn vào hình: vector từ $A'$ tới trung điểm $M$ có thành phần âm theo hướng $AA'$ vì $M$ nằm dưới $A'$.)\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{NB}=-2\\overrightarrow{NB'}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ với mọi cạnh bằng $a$.\n\nĐiểm $N$ thỏa mãn $\\overrightarrow{BN}=\\dfrac{2}{3}\\overrightarrow{BB'}$ (tức $N$ nằm trên đoạn $BB'$, cách $B$ bằng $\\tfrac{2}{3}BB'$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra phát biểu: $\\overrightarrow{NB}=-2\\,\\overrightarrow{NB'}$.\n\nCần tính các vectơ $\\overrightarrow{NB}$ và $\\overrightarrow{NB'}$ theo vectơ cạnh bên $\\overrightarrow{BB'}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $\\overrightarrow{BB'}=\\mathbf{w}$. Từ điều kiện: $\\overrightarrow{BN}=\\dfrac{2}{3}\\mathbf{w}$.\n\nDo đó $\\overrightarrow{NB}=-\\overrightarrow{BN}=-\\dfrac{2}{3}\\mathbf{w}.$ \n\nTa có $\\overrightarrow{NB'}=\\overrightarrow{NB}+\\overrightarrow{BB'}=-\\dfrac{2}{3}\\mathbf{w}+\\mathbf{w}=\\dfrac{1}{3}\\mathbf{w}.$ \n\nSo sánh: $\\overrightarrow{NB}=-\\dfrac{2}{3}\\mathbf{w}=-2\\cdot\\dfrac{1}{3}\\mathbf{w}=-2\\,\\overrightarrow{NB'}.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{CC'}=\\overrightarrow{AB'}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLăng trụ $ABC.A'B'C'$ có mọi cạnh bằng $a$, đặt $\\overrightarrow{AB}=\\mathbf{u},\\;\\overrightarrow{AA'}=\\mathbf{w}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra đẳng thức vectơ: $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{CC'}=\\overrightarrow{AB'}.$\n\nCần dùng tính chất các cạnh bên song song và bằng nhau trong lăng trụ: $\\overrightarrow{CC'}=\\overrightarrow{AA'}=\\mathbf{w}$ và $\\overrightarrow{AB'}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BB'}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì là lăng trụ, các cạnh bên bằng và song song: $\\overrightarrow{CC'}=\\overrightarrow{AA'}=\\mathbf{w}$ và $\\overrightarrow{BB'}=\\mathbf{w}$.\n\nTa có $\\overrightarrow{AB'}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BB'}=\\mathbf{u}+\\mathbf{w}.$ \n\nBên trái của đẳng thức cần kiểm tra: $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{CC'}=\\mathbf{u}+\\mathbf{w}$. Do đó hai vế bằng nhau.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{A'M}\\cdot\\overrightarrow{C'N}=\\dfrac{4a^2}{3}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$ ⟹ $AB=BC=CA=AA'=BB'=CC'=a$.\n\n$\\angle A'AB=120^\\circ$ ⟹ góc giữa $\\overrightarrow{AA'}$ và $\\overrightarrow{AB}$ là $120^\\circ$.\n\n$\\angle A'AC=60^\\circ$ ⟹ góc giữa $\\overrightarrow{AA'}$ và $\\overrightarrow{AC}$ là $60^\\circ$.\n\n$M$ là trung điểm của $BC$.\n\n$N$ thỏa mãn $\\overrightarrow{BN}=\\dfrac{2}{3}\\overrightarrow{BB'}$.\n\nCần xét mệnh đề (d): $\\overrightarrow{A'M}\\cdot\\overrightarrow{C'N}=\\dfrac{4a^2}{3}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa phải biểu diễn $\\overrightarrow{A'M}$ và $\\overrightarrow{C'N}$ theo các vectơ cơ bản $\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AC},\\overrightarrow{AA'}$.\n\nDùng kiến thức tích vô hướng: $\\overrightarrow{u}\\cdot\\overrightarrow{v}=|\\overrightarrow{u}||\\overrightarrow{v}|\\cos\\theta$.\n\nDùng các giá trị:\n$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=a^2\\cos 60^\\circ=\\dfrac{a^2}{2}$ (vì $ABC$ đều cạnh $a$).\n\n$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AA'}=a^2\\cos 120^\\circ=-\\dfrac{a^2}{2}$.\n\n$\\overrightarrow{AC}\\cdot\\overrightarrow{AA'}=a^2\\cos 60^\\circ=\\dfrac{a^2}{2}$.\n\n$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{AC}\\cdot\\overrightarrow{AC}=\\overrightarrow{AA'}\\cdot\\overrightarrow{AA'}=a^2$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $M$ là trung điểm $BC$ nên\n$\\overrightarrow{AM}=\\dfrac{1}{2}\\left(\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AC}\\right).$\n\nSuy ra\n$\\overrightarrow{A'M}=\\overrightarrow{A'A}+\\overrightarrow{AM}=-\\overrightarrow{AA'}+\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AB}+\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AC}.$\nHay:\n$\\overrightarrow{A'M}=\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AB}+\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AC}-\\overrightarrow{AA'}.$\n\nDo $\\overrightarrow{BN}=\\dfrac{2}{3}\\overrightarrow{BB'}$ mà trong lăng trụ $\\overrightarrow{BB'}=\\overrightarrow{AA'}$ nên\n$\\overrightarrow{BN}=\\dfrac{2}{3}\\overrightarrow{AA'}.$\n\nTa có $\\overrightarrow{C'N}=\\overrightarrow{C'C}+\\overrightarrow{CN}=-\\overrightarrow{AA'}+\\left(\\overrightarrow{CB}+\\overrightarrow{BN}\\right).$\nTrong đó $\\overrightarrow{CB}=\\overrightarrow{AB}-\\overrightarrow{AC}$, nên\n$\\overrightarrow{C'N}=-\\overrightarrow{AA'}+\\left(\\overrightarrow{AB}-\\overrightarrow{AC}\\right)+\\dfrac{2}{3}\\overrightarrow{AA'}.$\nRút gọn:\n$\\overrightarrow{C'N}=\\overrightarrow{AB}-\\overrightarrow{AC}-\\dfrac{1}{3}\\overrightarrow{AA'}.$\n\nTính tích vô hướng:\n$\\overrightarrow{A'M}\\cdot\\overrightarrow{C'N}=\\left(\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AB}+\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AC}-\\overrightarrow{AA'}\\right)\\cdot\\left(\\overrightarrow{AB}-\\overrightarrow{AC}-\\dfrac{1}{3}\\overrightarrow{AA'}\\right).$\n\nKhai triển và thay các tích vô hướng đã biết:\n$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AB}=a^2,\\quad \\overrightarrow{AC}\\cdot\\overrightarrow{AC}=a^2,\\quad \\overrightarrow{AA'}\\cdot\\overrightarrow{AA'}=a^2$\n\n$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=\\dfrac{a^2}{2},\\quad \\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AA'}=-\\dfrac{a^2}{2},\\quad \\overrightarrow{AC}\\cdot\\overrightarrow{AA'}=\\dfrac{a^2}{2}$\n\nSau khi thay và rút gọn, thu được:\n$\\overrightarrow{A'M}\\cdot\\overrightarrow{C'N}=\\dfrac{4a^2}{3}.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1CSKgmePZORGng70KojCwNsOqHaz4XAcg_2026-02-04074106.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Một vật đang đứng yên thì bắt đầu chuyển động nhanh dần đều trong khoảng $10$ giây với gia tốc là $a\\text{ (m/s}^2\\text{)},\\ a>0$. Biết rằng quãng đường vật đi được sau $5$ giây kể từ khi bắt đầu chuyển động là $25$ m.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6982f81d0be64544579bc080","statements":[{"label":"A","text":"Vận tốc của vật tại thời điểm $t=5\\text{ (s)}$ là $10\\text{ (m/s)}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMột vật đang đứng yên (v0 = 0) rồi chuyển động nhanh dần đều trong khoảng $10$ giây với gia tốc $a\\ (\\text{m/s}^2),\\ a>0$.\n\nQuãng đường vật đi được sau $5$ giây là $25\\ \\text{m}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi (option A) khẳng định: Vận tốc của vật tại thời điểm $t=5\\text{ (s)}$ là $10\\ \\text{(m/s)}$.\n\nCần áp dụng công thức chuyển động thẳng nhanh dần đều (vì bắt đầu đứng yên và gia tốc không đổi).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì vật bắt đầu đứng yên nên vận tốc ban đầu $u=0$.\n\nCông thức quãng đường khi có gia tốc không đổi: $s(t)=ut+\\tfrac{1}{2}at^2$.\n\nÁp dụng cho $t=5$: $25=s(5)=0\\cdot5+\\tfrac{1}{2}a\\cdot5^2=\\tfrac{1}{2}a\\cdot25=12.5a$.\n\nSuy ra $a=\\dfrac{25}{12.5}=2\\ \\text{m/s}^2$.\n\nCông thức vận tốc theo thời gian (vì $u=0$): $v(t)=u+at=at$.\n\nVậy $v(5)=a\\cdot5=2\\cdot5=10\\ \\text{m/s}$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Vận tốc tức thời của vật là $v(t)=at\\text{ (m/s)}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVật bắt đầu đứng yên (v0 = 0) và chuyển động nhanh dần đều với gia tốc không đổi $a\\ (\\text{m/s}^2)$.\n\nQuãng đường sau $5$ s là $25\\ \\text{m}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi (option B) khẳng định: Vận tốc tức thời là $v(t)=at\\ \\text{(m/s)}$.\n\nCần biết công thức liên hệ giữa vận tốc, vận tốc ban đầu và gia tốc trong chuyển động thẳng biến đổi đều.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức tổng quát cho vận tốc khi gia tốc không đổi: $v(t)=u+at$.\n\nỞ đây vật bắt đầu đứng yên nên $u=0$, do đó $v(t)=0+at=at$.\n\nCông thức đúng cho mọi thời điểm trong quá trình chuyển động nhanh dần đều bắt đầu từ nghỉ.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"$a=2$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVật đứng yên rồi chuyển động nhanh dần đều với gia tốc $a>0$ trong $10$ s.\n\nQuãng đường sau $5$ s là $25\\ \\text{m}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi (option C) khẳng định: Gia tốc $a=2\\ \\text{m/s}^2$.\n\nCần dùng công thức quãng đường cho chuyển động thẳng đều biến đổi để tìm $a$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức quãng đường: $s(t)=ut+\\tfrac{1}{2}at^2$, với $u=0$ nên $s(t)=\\tfrac{1}{2}at^2$.\n\nThay $t=5$ và $s(5)=25$: $25=\\tfrac{1}{2}a\\cdot5^2=12.5a$.\n\nGiải ra: $a=\\dfrac{25}{12.5}=2\\ \\text{m/s}^2$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Quãng đường vật đi được sau $10$ giây kể từ khi bắt đầu chuyển động là $50$ m.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVật bắt đầu đứng yên, gia tốc không đổi $a>0$, thời gian chuyển động tổng cộng $10$ s.\n\nQuãng đường sau $5$ s là $25\\ \\text{m}$ (từ đó có thể tìm $a$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi (option D) khẳng định: Quãng đường vật đi được sau $10$ giây là $50\\ \\text{m}$.\n\nCần tính quãng đường sau $10$ s bằng công thức chuyển động nhanh dần đều.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ dữ kiện sau $5$ s: $25=\\tfrac{1}{2}a\\cdot5^2\\Rightarrow a=2\\ \\text{m/s}^2$ (như đã tìm ở trên).\n\nCông thức quãng đường sau $t$ giây: $s(t)=\\tfrac{1}{2}at^2$ (vì $u=0$).\n\nThay $t=10$ và $a=2$: $s(10)=\\tfrac{1}{2}\\cdot2\\cdot10^2=1\\cdot100=100\\ \\text{m}$.\n\nSo sánh: đề cho là $50\\ \\text{m}$ nhưng kết quả đúng là $100\\ \\text{m}$, nên khẳng định trong option D là sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"}],"chapter":"đạo hàm","topic":"bài tập cuối chương ix.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 9","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Một người dùng ba loại nguyên liệu $A,B,C$ để sản xuất ra hai loại sản phẩm $P$ và $Q$. Để sản xuất $1kg$ mỗi loại sản phẩm $P$ hoặc $Q$ phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra $1kg$ sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau: Loại nguyên liệu $A,B,C$; Số kilôgam nguyên liệu đang có: $A:10,\\ B:4,\\ C:12$; Số kilôgam từng loại nguyên liệu cần để sản xuất $1kg$ sản phẩm: $P:(2,0,2),\\ Q:(2,2,4)$. Biết $1kg$ sản phẩm $P$ có lợi nhuận $3$ triệu đồng và $1kg$ sản phẩm $Q$ có lợi nhuận $5$ triệu đồng. Người đó đã lập được phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. Hỏi lãi cao nhất bằng bao nhiêu triệu đồng?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6982f81d0be64544579bc081","correctAnswer":"17","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBa loại nguyên liệu: A, B, C; số kilôgam đang có: A: 10, B: 4, C: 12. (đã cho trong bảng/ảnh)\n\nSố kilôgam từng loại nguyên liệu cần để sản xuất 1 kg sản phẩm: P: (2, 0, 2) tương ứng với A, B, C; Q: (2, 2, 4).\n\nLợi nhuận: 1 kg P cho 3 triệu đồng, 1 kg Q cho 5 triệu đồng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm số kg sản phẩm $P$ và $Q$ (gọi là $x$ và $y$) sao cho lợi nhuận tổng được tối đa, thỏa mãn các ràng buộc về nguyên liệu.\n\nÁp dụng kiến thức: bài toán tối ưu tuyến tính hai biến — xét miền khả thi xác định bởi bất đẳng thức, kiểm tra các đỉnh để tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $x$ = số kg sản phẩm $P$, $y$ = số kg sản phẩm $Q$.\n\nViết các ràng buộc theo nguyên liệu (từ bảng/ảnh):\n\nHàm mục tiêu (lợi nhuận) cần tối đa hóa:\n$Z = 3x + 5y.$\n\nĐơn giản hóa ràng buộc:\n$x+y \\le 5$ (chia ràng buộc A cho 2),\n\n$y \\le 2$ (từ B),\n\n$x+2y \\le 6$ (chia C cho 2).\n\nXác định các đỉnh (giao điểm) của miền khả thi:\n\n(0,0)\n\n(5,0) từ $x+y=5$ với $y=0$\n\n(4,1) giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ (từ trừ: $y=1$, $x=4$)\n\n(2,2) giao của $y=2$ và $x+2y=6$ (ra $x=2$)\n\n(0,2) giao của $x=0$ và $y=2$\n\nTính lợi nhuận tại mỗi đỉnh:\n(0,0): $Z=0$\n\n(5,0): $Z=3\\cdot5+5\\cdot0=15$\n\n(4,1): $Z=3\\cdot4+5\\cdot1=12+5=17$\n\n(2,2): $Z=3\\cdot2+5\\cdot2=6+10=16$\n\n(0,2): $Z=3\\cdot0+5\\cdot2=10$\n\nChọn giá trị lớn nhất: $Z_{\\max}=17$ tại điểm $(x,y)=(4,1)$ (sản xuất 4 kg P và 1 kg Q).\n\n✅ Đáp án: 17 (triệu đồng)","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1DAiO58TsU0UuL0wX2r4SndAgMoyCqz1K_2026-02-04074107.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1UX1-VbQIVTo14Z1yzpW5A8m_z_xcFnnW_2026-02-04074113.png"],"chapter":"bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":18,"text":"Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $a$ thuộc $[\\pi;10\\pi]$ sao cho $\\int_0^a \\cos x,dx=\\dfrac{1}{2}$. Số phần tử của $S$ là bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6982f81d0be64544579bc081","correctAnswer":"8","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChủ đề: MATH.\n\nTập nghiệm cần tìm: các giá trị $a\\in[\\pi;10\\pi]$ sao cho $\\int_0^a \\cos x\\,dx=\\dfrac{1}{2}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: đếm số phần tử của tập $S$ gồm các $a\\in[\\pi;10\\pi]$ thỏa $\\int_0^a \\cos x\\,dx=\\dfrac{1}{2}$.\n\nCần áp dụng kiến thức: tính tích phân cơ bản và nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác $\\sin x=\\dfrac{1}{2}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tích phân:\n$\\int_0^a \\cos x\\,dx=\\sin a-\\sin 0=\\sin a.$\n\nVậy ta cần giải phương trình $\\sin a=\\dfrac{1}{2}.$\n\nViết nghiệm tổng quát của $\\sin a=\\dfrac{1}{2}$:\n$a=\\dfrac{\\pi}{6}+2k\\pi\\quad\\text{hoặc}\\quad a=\\dfrac{5\\pi}{6}+2k\\pi,\\quad k\\in\\mathbb{Z}.$\n\nXét nghiệm thuộc đoạn $[\\pi,10\\pi]$.\nVới $a=\\dfrac{\\pi}{6}+2k\\pi$: yêu cầu $\\pi\\le \\dfrac{\\pi}{6}+2k\\pi\\le 10\\pi.$\nTừ trái: $2k\\pi\\ge \\pi-\\dfrac{\\pi}{6}=\\dfrac{5\\pi}{6}\\Rightarrow k\\ge \\dfrac{5}{12}\\Rightarrow k\\ge1.$\n\nTừ phải: $2k\\pi\\le 10\\pi-\\dfrac{\\pi}{6}=\\dfrac{59\\pi}{6}\\Rightarrow k\\le \\dfrac{59}{12}\\Rightarrow k\\le4.$\n\nVậy với họ nghiệm này có các $k=1,2,3,4$ — cho 4 nghiệm.\n\nVới $a=\\dfrac{5\\pi}{6}+2k\\pi$: yêu cầu $\\pi\\le \\dfrac{5\\pi}{6}+2k\\pi\\le 10\\pi.$\nTừ trái: $2k\\pi\\ge \\pi-\\dfrac{5\\pi}{6}=\\dfrac{\\pi}{6}\\Rightarrow k\\ge \\dfrac{1}{12}\\Rightarrow k\\ge1.$\n\nTừ phải: $2k\\pi\\le 10\\pi-\\dfrac{5\\pi}{6}=\\dfrac{55\\pi}{6}\\Rightarrow k\\le \\dfrac{55}{12}\\Rightarrow k\\le4.$\n\nVậy với họ nghiệm này cũng có $k=1,2,3,4$ — cho 4 nghiệm.\n\nTổng số nghiệm trong đoạn là $4+4=8.$\n\n✅ Đáp án: 8","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính chất của tích phân","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=4$, $AC=AD=CD=2\\sqrt3$, $BC=BD=\\sqrt7$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6982f81d0be64544579bc081","correctAnswer":"1,45","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTứ diện $ABCD$, $AB=4$\n\n$AC=AD=CD=2\\sqrt3$\n\n$BC=BD=\\sqrt7$\n\nGọi $M$ là trung điểm của $CD$\n\nLấy $N\\in AB$ sao cho $MN\\perp AB$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nChứng minh $MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$, từ đó $d(AB,CD)=MN$.\n\nTính $MN$ thông qua diện tích tam giác $AMB$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $M$ là trung điểm của $CD$. Lấy điểm $N\\in AB$ sao cho $MN\\perp AB$.\n\nVì $AC=AD$ nên tam giác $ACD$ cân tại $A$. Suy ra $AM\\perp CD \\quad (1)$.\n\nVì $BC=BD$ nên tam giác $BCD$ cân tại $B$. Suy ra $BM\\perp CD \\quad (2)$.\n\nTừ $(1)$ và $(2)$ suy ra $CD\\perp (ABM)$, mà $MN\\subset (ABM)$ nên $CD\\perp MN$.\n\nVậy $MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$, suy ra:\n$d(AB,CD)=MN.$\n\nVì $AC=AD=CD=2\\sqrt3$ nên tam giác $ACD$ đều, do đó:\n$AM=\\frac{\\sqrt3}{2}\\cdot 2\\sqrt3=3.$\n\nXét tam giác $BCM$ vuông tại $M$:\n$BM=\\sqrt{BC^2-CM^2}=\\sqrt{7-3}=2.$\n\nNửa chu vi tam giác $AMB$ là:\n$p=\\frac{2+3+4}{2}=4{,}5.$\n\nDiện tích tam giác $AMB$:\n$S_{AMB}=\\sqrt{4{,}5(4{,}5-2)(4{,}5-3)(4{,}5-4)}=\\frac{3\\sqrt{15}}{4}.$\n\nMặt khác:\n$S_{AMB}=\\frac12\\cdot AB\\cdot MN$\n$\\Rightarrow \\frac{3\\sqrt{15}}{4}=\\frac12\\cdot 4\\cdot MN \\Rightarrow MN=\\frac{3\\sqrt{15}}{8}\\approx 1{,}45.$\n\n✅ Đáp án: $d(AB,CD)=MN=\\frac{3\\sqrt{15}}{8}\\approx \\mathbf{1{,}45}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1n8ikw24BiBgmBsvqRcEdz5gdG_hGO_6v_2026-02-04074115.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"khoảng cách","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ tâm $O$, bán kính bằng $1$. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x;y)$, trong đó $x,y\\in\\mathbb{Z}$, sao cho từ $M$ kẻ được $2$ tiếp tuyến $MA,MB$ đến $(C)$ ($A,B$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\\widehat{AMB}\\ge60^\\circ$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm trong $T$. Biết xác suất để đường thẳng đi qua $2$ điểm được chọn song song với trục $Ox$ bằng $\\dfrac{1}{a}$. Tính $a^2$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6982f81d0be64544579bc081","correctAnswer":"196","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, có đường tròn $(C)$ tâm $O$, bán kính $1$.\n\n$T$ là tập hợp các điểm $M(x;y)$ với $x,y\\in\\mathbb Z$ sao cho từ $M$ kẻ được 2 tiếp tuyến $MA,MB$ đến $(C)$ và $\\widehat{AMB}\\ge 60^\\circ$.\n\nChọn ngẫu nhiên 2 điểm trong $T$.\n\nXác suất để đường thẳng qua 2 điểm được chọn song song với trục $Ox$ là $\\frac1a$.\n\nTính $a^2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐiều kiện “kẻ được 2 tiếp tuyến” ⇒ $M$ nằm ngoài đường tròn $(C)$.\n\nDùng liên hệ góc tạo bởi 2 tiếp tuyến với góc ở tâm (hoặc tam giác vuông $OMB$) để đổi điều kiện $\\widehat{AMB}\\ge 60^\\circ$ thành điều kiện về $OM$.\n\nĐếm các điểm nguyên $M$ thỏa điều kiện, rồi tính số cặp điểm và số cặp tạo đường thẳng song song $Ox$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì từ $M(x;y)$ kẻ được 2 tiếp tuyến $MA,MB$ đến $(C)$ nên $M$ nằm ngoài đường tròn $(C)$.\n\nCó:\n$\\widehat{AMB}\\ge 60^\\circ \\Leftrightarrow \\widehat{OMB}\\ge 30^\\circ \\Leftrightarrow \\sin\\widehat{OMB}\\ge \\sin 30^\\circ$\n$\\Leftrightarrow \\frac{OB}{OM}\\ge \\frac12 \\Leftrightarrow OM\\le 2.$\n\nSuy ra $M$ có thể nằm trên hoặc bên trong đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $2$.\n\nMà $x,y$ nguyên nên có $8$ điểm $M$ thỏa mãn với tọa độ:\n$(2;0),(0;2),(-2;0),(0;-2),(1;1),(-1;1),(-1;-1),(1;-1).$\n\nTừ $8$ điểm trên, ta có được:\n$C_8^2=28$ đường thẳng, trong đó có $2$ đường thẳng song song với trục $Ox$ là $y=1$ và $y=-1$.\n\nVậy xác suất để đường thẳng đi qua 2 điểm được chọn song song với $Ox$ bằng:\n$\\frac{2}{28}=\\frac{1}{14}=\\frac{1}{a}\\Rightarrow a=14\\Rightarrow a^2=196.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{196}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1HSQFGxlKS1yy3wW4lgbfZy9MkU_-bh3V_2026-02-04074110.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng"},{"id":21,"text":"Một bể bơi hình bán nguyệt có đường kính là $AB=100\\text{ m}$. Một người muốn bơi từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ theo phương thẳng rồi lên bờ đi bộ từ $C$ đến $B$. Biết rằng vận tốc bơi là $5\\text{ km/h}$ và vận tốc đi bộ là $6\\text{ km/h}$. Hỏi thời gian tối đa để người đó hoàn thành lộ trình như trên là bao nhiêu phút? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6982f81d0be64544579bc081","correctAnswer":"1,65","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBể bơi hình bán nguyệt có đường kính $AB=100\\text{ m}$ (suy ra bán kính $R=50\\text{ m}=0{,}05\\text{ km}$).\n\nNgười bơi thẳng từ $A$ đến điểm $C$ trên cung bán nguyệt (xem hình: bán kính tâm $O$, điểm $C$ nằm trên cung; đoạn $AC$ được vẽ).\n\nSau khi lên bờ tại $C$, người đó đi bộ dọc bờ từ $C$ đến $B$ (theo cung).\n\nVận tốc bơi: $5\\text{ km/h}$; vận tốc đi bộ: $6\\text{ km/h}$.\n\nYêu cầu: tìm thời gian lớn nhất để hoàn thành lộ trình (đơn vị: phút), làm tròn đến hàng phần trăm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của tổng thời gian\nThời gian bơi = (độ dài $AC$) / (vận tốc bơi).\n\nThời gian đi bộ = (độ dài cung $CB$) / (vận tốc đi bộ).\n\nCần sử dụng kiến thức: công thức khoảng cách trong tọa độ/hình học trên vòng tròn, độ dài cung $=R\\theta$, và tối ưu hóa hàm số (lấy đạo hàm tìm cực trị).\n\nDùng hình vẽ: đặt góc tham số $\\theta$ tại tâm giữa bán kính tới $B$ (góc giữa bán kính tới $B$ và tới $C$), với $0\\le\\theta\\le\\pi$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐặt bán kính $R=0{,}05\\ \\text{km}$. Gọi $\\theta$ là góc ở tâm giữa bán kính tới $B$ (tức $\\angle BOC$), nên $\\theta\\in[0,\\pi]$ (hình tham khảo).\n\nTính độ dài đoạn $AC$:\nTọa độ: $A(-R,0),\\ C(R\\cos\\theta,R\\sin\\theta)$.\n\nKhoảng cách: $AC= \\sqrt{(R\\cos\\theta+R)^2+(R\\sin\\theta)^2}=2R\\cos\\frac{\\theta}{2}.$\n\nĐộ dài cung từ $C$ đến $B$: $\\text{CB}_{\\text{cung}}=R\\theta.$\n\nThời gian tổng (tính bằng giờ):\n$T(\\theta)=\\frac{AC}{5}+\\frac{R\\theta}{6}=\\frac{2R\\cos(\\theta/2)}{5}+\\frac{R\\theta}{6}.$\nThay $R=0{,}05$:\n$T(\\theta)=0{,}02\\cos\\frac{\\theta}{2}+\\frac{\\theta}{120}\\quad(\\text{giờ}).$\n\nLấy đạo hàm để tìm cực trị:\n$T'(\\theta)=-0{,}02\\cdot\\frac{1}{2}\\sin\\frac{\\theta}{2}+\\frac{1}{120}=-0{,}01\\sin\\frac{\\theta}{2}+\\frac{1}{120}.$\nGiải $T'(\\theta)=0$:\n$\\sin\\frac{\\theta}{2}=\\frac{1/120}{0{,}01}=\\frac{1}{120}\\cdot100=\\frac{5}{6}.$\nDo đó $\\frac{\\theta}{2}=\\arcsin\\frac{5}{6}\\quad\\Rightarrow\\quad \\theta=2\\arcsin\\frac{5}{6}.$\n\nKiểm tra dấu: $T''(\\theta)=-0{,}005\\cos\\frac{\\theta}{2}<0$ nên đây là cực đại của $T$ trên đoạn.\n\nTính giá trị thời gian tại nghiệm:\n$\\cos\\frac{\\theta}{2}=\\sqrt{1-\\left(\\frac{5}{6}\\right)^2}=\\frac{\\sqrt{11}}{6}.$\n\nThời gian theo giờ:\n$T_{\\max}=0{,}02\\cdot\\frac{\\sqrt{11}}{6}+\\frac{2\\arcsin(5/6)}{120}.$\n\nChuyển sang phút (nhân 60):\n$T_{\\max}\\ (\\text{phút})=60\\cdot T_{\\max}=0{,}2\\sqrt{11}+\\frac{2\\arcsin(5/6)}{2}=0{,}2\\sqrt{11}+\\arcsin\\frac{5}{6}.$\n\nTính số:\n$0{,}2\\sqrt{11}\\approx0{,}663325$\n\n$\\arcsin\\frac{5}{6}\\approx0{,}986297\\ \\text{(rad)}$\n\nTổng $\\approx0{,}663325+0{,}986297=1{,}649622\\ \\text{phút}.$\n\nLàm tròn đến hàng phần trăm: $1{,}65\\ \\text{phút}.$\n\n✅ Đáp án: A. 1,65 phút","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1wMUlEPa0JOnazMpd-F6wfJVYoslDIhSc_2026-02-04074109.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng"},{"id":22,"text":"Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng $8\\text{ m}$ và chiều cao là $3\\text{ m}$. Cửa vào lều là hình thang $EFGH$ trong đó $AE=FB$ và $EF=4\\text{ m}$. Gọi $G,H$ lần lượt là trung điểm của $SE$ và $SF$. Một nguồn sáng đặt chính $S$ $1\\text{ m}$ ở phía dưới. Ánh sáng chiếu ra ngoài qua cửa tạo thành một tứ giác được chiếu sáng $EFG'H'$. Diện tích vùng được chiếu sáng là bao nhiêu $\\text{m}^2$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6982f81d0be64544579bc081","correctAnswer":"6","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh $8,\\text{m}$, chiều cao $3,\\text{m}$.\n\nCửa là hình thang $EFGH$ với $E,F\\in AB,\\ AE=FB,\\ EF=4,\\text{m}$.\n\n$H$ là trung điểm của $SE$, $G$ là trung điểm của $SF$.\n\nNguồn sáng $I$ đặt cách đỉnh $S$ $1,\\text{m}$ theo phương vuông góc đáy (lấy đúng như bài mẫu trong ảnh).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nDựng hệ trục theo đúng hướng dẫn: $D$ trùng gốc $O$, $A\\in Ox$, $C\\in Oy$, $S$ có cao độ dương.\n\nTìm giao điểm $H',G'$ của các đường thẳng $IH, IG$ với mặt phẳng đáy $z=0$.\n\nTính diện tích hình thang chiếu sáng $EFG'H'$ trên mặt phẳng $(Oxy)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChọn hệ trục $Oxyz$ sao cho $D$ trùng gốc tọa độ $O$, $A\\in Ox$, $C\\in Oy$, $S$ có cao độ dương. Khi đó:\n$D(0;0;0),\\ A(8;0;0),\\ B(8;8;0),\\ C(0;8;0),\\ S(4;4;3),\\ I(4;4;2).$\n\nTa có:\n$AE=FB=\\frac{AB-EF}{2}=\\frac{8-4}{2}=2,$\ndo đó:\n$E(8;2;0),\\ F(8;6;0).$\n\n$H$ là trung điểm của $SE$ nên:\n$H\\left(\\frac{4+8}{2};\\frac{4+2}{2};\\frac{3+0}{2}\\right)=(6;3;\\tfrac32).$\n$G$ là trung điểm của $SF$ nên:\n$G\\left(\\frac{4+8}{2};\\frac{4+6}{2};\\frac{3+0}{2}\\right)=(6;5;\\tfrac32).$\n\nĐường thẳng $IH$ đi qua $I$, nhận\n$\\overrightarrow{IH}=H-I=(2;-1;-\\tfrac12)$\nlàm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số: $\\begin{cases} x = 4 + 2t\\\\ y = 4 - t\\\\ z = 2 - \\dfrac{1}{2}t \\end{cases} \\quad (t \\in \\mathbb{R})$\n\n$IH$ giao với mặt phẳng đáy tại $0=2-\\frac12 t\\Leftrightarrow t=4.$\nSuy ra $H'(12;0;0).$\n\nĐường thẳng $IG$ đi qua $I$, nhận\n$\\overrightarrow{IG}=G-I=(2;1;-\\tfrac12)$\nlàm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số: $\\begin{cases} x = 4 + 2t\\\\ y = 4 + t\\\\ z = 2 - \\dfrac{1}{2}t \\end{cases} \\quad (t \\in \\mathbb{R})$\n$IG$ giao với mặt phẳng đáy tại $0=2-\\frac12 t\\Leftrightarrow t=4.$\nSuy ra $G'(12;8;0).$\n\nBiểu diễn trên mặt phẳng $(Oxy)$ (bỏ tọa độ $z$):\n$EF=6-2=4.$\n\n$E(8,2),\\ F(8,6),\\ H'(12,0),\\ G'(12,8).$\nKhi đó $EF\\parallel G'H'$ (đều là các đoạn thẳng song song trục $Oy$).\n\n$G'H'=8-0=8.$\n\nKhoảng cách giữa hai đường thẳng $x=8$ và $x=12$ là $12-8=4.$\n\nDiện tích hình thang $EFG'H'$:\n$S=\\frac{EF+G'H'}{2}\\cdot 4=\\frac{4+8}{2}\\cdot 4=24\\ (\\text{m}^2).$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{24\\ \\text{m}^2}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1CSKgmePZORGng70KojCwNsOqHaz4XAcg_2026-02-04074106.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-dang-dao-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/179odC6MigLrjhuqkS-W33i7luwVvbPL5_2026-02-04074104.png"],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"vận dụng cao"}]}

Bắt đầu thi thử