{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Than Uyên Sở GD&ĐT Lai Châu năm 2026 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"69821d3ec7f4449be1d5cc24","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"69821d3ec7f4449be1d5cc25","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$(0;+\\infty)$","correct":false},{"label":"B","text":"$(-\\infty;0)$","correct":true},{"label":"C","text":"$(0;1)$","correct":false},{"label":"D","text":"$(-\\infty;5)$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như mô tả: \n$y'(x)<0$ trên khoảng $(-\\infty,0)$, $y'(0)=0$, $y'(x)>0$ trên $(0,1)$, $y'(1)=0$, $y'(x)<0$ trên $(1,+\\infty)$. \n\nGiá trị hàm: khi $x\\to -\\infty$ thì $y\\to +\\infty$, tại $x=0$ có $y=4$ (đáy cục bộ), tại $x=1$ có $y=5$ (đỉnh cục bộ), khi $x\\to +\\infty$ thì $y\\to -\\infty$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào? \n\nCần áp dụng khái niệm: dấu của đạo hàm (hoặc bảng biến thiên) cho biết hàm số tăng hay giảm trên từng khoảng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐịnh nghĩa quan trọng: nếu $y'(x)<0$ trên một khoảng thì $f$ nghịch biến (giảm) trên khoảng đó; nếu $y'(x)>0$ thì $f$ đồng biến (tăng). \nViết dưới dạng công thức: $y'(x)<0 \\Rightarrow f \\text{ nghịch biến trên khoảng đó.}$\n\nNhìn vào bảng biến thiên (theo mô tả ảnh): \nTrên khoảng $(-\\infty,0)$ ta có $y'(x)<0$, nên $f$ nghịch biến trên $(-\\infty,0)$. \n\nTrên khoảng $(0,1)$ ta có $y'(x)>0$, nên $f$ tăng trên $(0,1)$. \n\nTrên khoảng $(1,+\\infty)$ ta có $y'(x)<0$, nên $f$ cũng nghịch biến trên $(1,+\\infty)$.\n\nSo sánh với các lựa chọn: trong các phương án chỉ có khoảng $(-\\infty;0)$ khớp với một khoảng mà hàm nghịch biến theo bảng (phương án B). \nLưu ý: khoảng $(1,+\\infty)$ cũng là khoảng nghịch biến nhưng không có trong các đáp án cho trước.\n\n✅ Đáp án: B. $(-\\infty;0)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/15wZMeBGIu8IJgQkF3uDaHMoIPjsq_mBM_2026-02-03160713.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$(-1;0)$","correct":false,"reason":"Tại $x=-1$, đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên đây là điểm cực đại với $f(-1)=4$, không phải điểm cực tiểu và tung độ cũng không phải $0$."},{"label":"B","text":"$(1;0)$","correct":true,"reason":"Tại $x=1$, đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại đây; theo bảng biến thiên thì $f(1)=0$, vậy tọa độ điểm cực tiểu là $(1;0)$."},{"label":"C","text":"$(-1;4)$","correct":false,"reason":"$(-1;4)$ là tọa độ điểm cực đại (do $f'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$), không phải điểm cực tiểu cần tìm."},{"label":"D","text":"$(1;4)$","correct":false,"reason":"Tại $x=1$, giá trị hàm số là $f(1)=0$ chứ không phải $4$, nên $(1;4)$ không phải điểm thuộc đồ thị."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số bậc ba $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình đính kèm (tóm tắt): \n\nCác điểm quan trọng trên trục $x$: $-\\infty,\\ -1,\\ 1,\\ +\\infty$. \n\nBảng dấu của đạo hàm: $f'(x)$ dương trên $(-\\infty,-1)$, $f'(-1)=0$, âm trên $(-1,1)$, $f'(1)=0$, dương trên $(1,+\\infty)$. \n\nGiá trị của hàm: $f(-1)=4$ (cực đại), $f(1)=0$ (ứng với cực tiểu), cùng các mũi tên chỉ tăng/giảm theo bảng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: \"Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là?\" — tức tìm tọa độ điểm nơi hàm đạt giá trị nhỏ cục bộ (cực tiểu). \n\nCần biết: quy ước đọc bảng biến thiên — nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x_0$ thì đồ thị có điểm cực tiểu tại $x_0$; phải lấy giá trị $f(x_0)$ từ bảng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuan sát bảng dấu đạo hàm: \n\nTại $x=-1$: $f'$ đổi từ dương sang âm ⇒ $x=-1$ là điểm cực đại, giá trị $f(-1)=4$. \n\nTại $x=1$: $f'$ đổi từ âm sang dương ⇒ $x=1$ là điểm cực tiểu. \n\nLấy giá trị hàm tại $x=1$ từ bảng: $f(1)=0$. Vậy tọa độ điểm cực tiểu là $(1;0)\\,.$\n\n✅ Đáp án: $\\text{B. }(1;0)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/18B9ANSu1vBZL0vgc4nNldsoUtzJxXCfp_2026-02-03160723.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cực trị của hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-1;3]$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$2$","correct":false,"reason":"Giá trị $2$ là giá trị cực đại cục bộ tại $x=0$ (điểm $(0,2)$ trên đồ thị), nhưng không phải là giá trị lớn nhất trên đoạn $[-1;3]$ vì $f(3)=3>2$."},{"label":"B","text":"$0$","correct":false,"reason":"Giá trị $0$ không phải là giá trị của hàm số tại bất kỳ điểm nào thuộc đoạn $[-1;3]$ theo đồ thị đã cho (các giá trị tại điểm quan trọng là $1, 2, -2, 3$)."},{"label":"C","text":"$1$","correct":false,"reason":"Giá trị $1$ là giá trị của hàm số tại đầu mút trái $x=-1$ (điểm $(-1,1)$), nhưng nhỏ hơn $f(0)=2$ và $f(3)=3$ nên không phải giá trị lớn nhất trên đoạn."},{"label":"D","text":"$3$","correct":true,"reason":"Giá trị $3$ là giá trị của hàm số tại đầu mút phải $x=3$ (điểm $(3,3)$), và khi so sánh với $f(-1)=1$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$ thì $3$ là giá trị lớn nhất trên đoạn $[-1;3]$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$. \n\nĐồ thị hàm trên đoạn $[-1;3]$ có các điểm quan trọng: $(-1,1)$, $(0,2)$ (cực đại cục bộ), $(2,-2)$ (cực tiểu cục bộ) và $(3,3)$ (điểm tận cùng bên phải). \n\nHàm được xác định trên toàn bộ đoạn đóng $[-1;3]$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm trên đoạn $[-1;3]$. \n\nCần áp dụng kiến thức: với hàm liên tục trên đoạn đóng, giá trị lớn nhất xảy ra tại một điểm tới hạn trong đoạn hoặc tại một đầu mút của đoạn. Ta chỉ cần so sánh giá trị hàm ở các điểm quan trọng (đầu mút và các cực trị).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì hàm liên tục trên đoạn đóng $[-1;3]$ nên giá trị lớn nhất tồn tại trên đoạn này. \n\nLấy các giá trị f(x) tại các điểm quan trọng (theo đồ thị): \n$f(-1)=1$ \n\n$f(0)=2$ \n\n$f(2)=-2$ \n\n$f(3)=3$ \n(các giá trị này được đọc trực tiếp từ đồ thị: điểm đầu trái là $(-1,1)$, cực đại tại $(0,2)$, cực tiểu tại $(2,-2)$, điểm cuối phải là $(3,3)$).\n\nSo sánh các giá trị: $1,\\;2,\\;-2,\\;3$. Giá trị lớn nhất trong các số này là $3$, xảy ra tại $x=3$ (điểm $(3,3)$ trên đồ thị).\n\n✅ Đáp án: D. $3$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/1MxfCyS79m-RPpyH53GQP7nWPn5irQIWf_2026-02-03160719.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn","difficulty":"thông hiểu"},{"id":4,"text":"Hàm số $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}\\ (c\\ne0,\\ ad-bc\\ne0)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$x=-1$","correct":false,"reason":"Đồ thị hàm số xác định và liên tục tại $x=-1$, không có nhánh nào tiến ra vô cùng khi $x \\to -1$ nên $x=-1$ không phải là tiệm cận đứng."},{"label":"B","text":"$x=1$","correct":false,"reason":"Tại $x=1$, đồ thị cắt trục hoành (điểm có tung độ $y=0$), đây là nghiệm của phương trình $ax+b=0$, không phải làm mẫu bằng $0$ nên không tạo tiệm cận đứng."},{"label":"C","text":"$x=2$","correct":true,"reason":"Hình vẽ hiển thị đường thẳng đứng $x=2$ và đồ thị có hai nhánh tiến ra vô cùng khi $x$ tiến về $2$ từ hai phía, thỏa mãn định nghĩa đường tiệm cận đứng $x=-\\frac{d}{c}=2$."},{"label":"D","text":"$y=-1$","correct":false,"reason":"Phương trình $y=-1$ là đường thẳng song song với trục hoành, thể hiện tiệm cận ngang của nhánh phải (khi $x \\to +\\infty$), không phải là tiệm cận đứng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}\\quad (c\\ne0,\\ ad-bc\\ne0).$ \n\nHình vẽ cho thấy một đường thẳng đứng dày tại $x=2$ (được vẽ là đường tiệm cận dọc). \n\nĐồ thị có hai nhánh: một nhánh bên trái tiến tới $y=1$ và một nhánh bên phải tiến tới $y=-1$; đồng thời đồ thị tiến ra vô hạn khi tiếp cận $x=2$ từ trái và phải, chứng tỏ $x=2$ là tiệm cận đứng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: “Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là gì?” \n\nKiến thức cần áp dụng: định nghĩa tiệm cận đứng cho hàm hữu tỉ bậc nhất/bậc nhất; điều kiện mẫu bằng 0 (mà tử khác 0) tạo tiệm cận đứng; công thức nghiệm của mẫu số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐặt mẫu số bằng 0 để tìm các điểm khả dĩ là tiệm cận đứng: $cx+d=0.$\n\nGiải ra: $x=-\\dfrac{d}{c}.$ Đây là các giá trị x làm mẫu bằng 0. Vì đề cho $c\\ne0$ nên nghiệm này tồn tại.\n\nĐiều kiện $ad-bc\\ne0$ đảm bảo tử và mẫu không cùng nhân tố chung (không triệt tiêu nhau), nên khi $cx+d=0$ thì tử số không đồng thời bằng 0 — do đó giá trị đó thực sự là tiệm cận đứng.\n\nDựa vào hình vẽ: có một đường thẳng đứng tại $x=2$ và đồ thị vọt lên vô hạn khi tiến về gần $x=2$ từ trái, do đó tiệm cận đứng là $x=2.$ Điều này tương ứng với $-\\dfrac{d}{c}=2.$\n\n✅ Đáp án: $\\text{C. } x=2$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/13rxI3vpvH-Pbyeu4WTwuRNZesC0ih4rH_2026-02-03160713.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận đứng","difficulty":"nhận biết"},{"id":5,"text":"Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình bên?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$y=x^3-3x^2-1$","correct":false,"reason":"Hệ số của $x^3$ là $1>0$ nên khi $x \\to +\\infty$ thì $y \\to +\\infty$, không phù hợp với đồ thị có nhánh phải đi xuống khi $x$ tăng."},{"label":"B","text":"$y=\\dfrac{x^2-3x+1}{x-1}$","correct":true,"reason":"Là hàm phân thức có tiệm cận đứng $x=1$ (do mẫu số bằng $0$), trong khi đồ thị cho là đường cong liên tục trên $\\mathbb{R}$ không có tiệm cận đứng."},{"label":"C","text":"$y=-x^3+3x^2-1$","correct":false,"reason":"Hệ số $x^3$ âm ($-1$) nên nhánh phải đi xuống khi $x \\to +\\infty$, có hai điểm cực trị tại $x=0$ và $x=2$, và $y(0)=-1$ nên cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, khớp hoàn toàn với hình vẽ."},{"label":"D","text":"$y=\\dfrac{x+1}{x-1}$","correct":false,"reason":"Là hàm phân thức bậc nhất có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị là hypebol chứ không phải đường cong bậc ba có hai cực trị như hình."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho đồ thị một hàm số như hình vẽ bên.\n\nQuan sát đồ thị thấy:\nĐồ thị là đường cong liên tục, không có tiệm cận đứng.\n\nCó hai điểm cực trị → dạng hàm bậc ba.\n\nNhánh bên phải đi xuống khi $x$ tăng lớn.\n\nĐồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm.\n\nCác phương án:\nA, C: hàm bậc ba.\n\nB, D: hàm phân thức.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu:\n👉 Hàm số nào có đồ thị giống hình đã cho?\n\nHọc sinh cần dùng:\nNhận dạng dạng đồ thị theo bậc hàm số.\n\nXét chiều nhánh trái – phải để xác định dấu của hệ số $x^3$.\n\nKiểm tra giá trị tại $x=0$ để đối chiếu tung độ giao với trục $Oy$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Loại các phương án không phù hợp về dạng\nĐồ thị không có tiệm cận đứng ⇒ loại các hàm phân thức:\nB: $y=\\dfrac{x^2-3x+1}{x-1}$ ❌\n\nD: $y=\\dfrac{x+1}{x-1}$ ❌\n\nBước 2: Xét chiều nhánh của đồ thị\nQuan sát hình:\nKhi $x\\to+\\infty$ thì $y\\to-\\infty$\n\n⇒ Hệ số của $x^3$ âm.\n\nBước 3: So sánh hai phương án bậc ba\nA: $y=x^3-3x^2-1$ → hệ số $x^3$ dương ❌\n\nC: $y=-x^3+3x^2-1$ → hệ số $x^3$ âm ✅\n\nBước 4: Kiểm tra tung độ tại trục $Oy$\nVới phương án C: $y(0)=-1$\n\nPhù hợp với hình vẽ: đồ thị cắt trục tung phía dưới trục hoành.\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{y=-x^3+3x^2-1}$\n👉 Chọn đáp án C. ✅","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/15BgKlRS_xpSFJhsGViATm0jajOmmd8iG_2026-02-03160716.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba","difficulty":"thông hiểu"},{"id":6,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$(2;0)$","correct":true,"reason":"Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số cắt trục hoành (trục $Ox$) tại điểm có hoành độ $x=2$, tức là điểm $(2;0)$. Đây chính là giao điểm cần tìm."},{"label":"B","text":"$(0;1)$","correct":false,"reason":"Điểm $(0;1)$ có tung độ $y=1$ là giá trị tiệm cận ngang của đồ thị, không phải giao điểm với trục hoành; đồ thị thực tế cắt trục tung tại $(0;2)$."},{"label":"C","text":"$(1;0)$","correct":false,"reason":"Tại $x=1$ hàm số không xác định vì $x=1$ là tiệm cận đứng (mẫu số bằng $0$), do đó đồ thị không thể cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$."},{"label":"D","text":"$(0;2)$","correct":false,"reason":"Điểm $(0;2)$ là giao điểm của đồ thị với trục tung (trục $Oy$) khi $x=0$, không phải là giao điểm với trục hoành như đề bài yêu cầu."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}$.\n\nTừ hình vẽ: tiệm cận ngang là $y=1$ và tiệm cận đứng là $x=1$.\n\nĐồ thị cắt trục tung tại điểm $(0,2)$ (theo hình).\n\nĐồ thị cắt trục hoành tại một điểm được yêu cầu xác định (theo hình là $(2,0)$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là gì?\n\nCần áp dụng các kiến thức: \nGiao điểm với trục hoành xảy ra khi $y=0$ (tức tử số bằng 0).\n\nTiệm cận ngang và đứng của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất liên hệ với các hệ số $a,b,c,d$.\n\nGiá trị của hàm tại $x=0$ cho giao điểm trục tung.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiao điểm với trục hoành xảy ra khi $y=0$, tức là tử số bằng 0:\n$ax+b=0 \\quad\\Rightarrow\\quad x=-\\dfrac{b}{a}.$\n\nTiệm cận ngang của $y=\\dfrac{ax+b}{cx+d}$ là $y=\\dfrac{a}{c}$. Từ hình biết tiệm cận ngang là $y=1$ nên\n$\\dfrac{a}{c}=1 \\quad\\Rightarrow\\quad a=c.$\n\nTiệm cận đứng nằm ở $x=-\\dfrac{d}{c}$. Từ hình biết tiệm cận đứng là $x=1$ nên\n$-\\dfrac{d}{c}=1 \\quad\\Rightarrow\\quad d=-c.$\n\nGiao điểm với trục tung là giá trị tại $x=0$:\n$y(0)=\\dfrac{b}{d}.$ Từ hình $y(0)=2$ nên \n\n$\\dfrac{b}{d}=2 \\quad\\Rightarrow\\quad b=2d.$\n\nThay $d=-c$ và $a=c$ vào biểu thức cho $b$:\nVì $d=-c$ và $a=c$ nên $d=-a$. Do đó $b=2d=2(-a)=-2a.$\n\nTử số của hàm khi đó là $ax+b = a x -2a = a(x-2).$ Khi tử số bằng 0, ta có $x-2=0$ nên\n$x=2.$\n\nVậy giao điểm với trục hoành là $(2,0)$. \n\n✅ Đáp án: $A. (2;0)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/1yoXgvPwKw_KOD1uPO9G6DJezfYUnJZCh_2026-02-03160717.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ","difficulty":"thông hiểu"},{"id":7,"text":"Trong $5$ giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $S(t)=-t^3+6t^2+t+5$ trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại thời điểm $t=3$ giây.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$35\\ m/s$","correct":false,"reason":"Đây là giá trị quãng đường $S(3)=-3^3+6\\cdot 3^2+3+5=35$ (m) chứ không phải vận tốc. Vận tốc cần tính đạo hàm $v(t)=S'(t)$ rồi thế $t=3$."},{"label":"B","text":"$10\\ m/s$","correct":true,"reason":"Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường $v(t)=S'(t)=-3t^2+12t+1$. Thay $t=3$ ta được $v(3)=-3\\cdot 9+36+1=10$ (m/s)."},{"label":"C","text":"$64\\ m/s$","correct":false,"reason":"Giá trị này không khớp với kết quả tính đạo hàm $v(t)=-3t^2+12t+1$ tại $t=3$ hay bất kỳ thời điểm nào trong bài. Có thể do nhầm lẫn trong phép tính hoặc thay sai giá trị $t$."},{"label":"D","text":"$13\\ m/s$","correct":false,"reason":"Đây là vận tốc tại thời điểm $t=2$ giây vì $v(2)=-3\\cdot 2^2+12\\cdot 2+1=13$ (m/s), chứ không phải tại $t=3$. Cần thay đúng $t=3$ vào biểu thức đạo hàm."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nThời gian xét trong khoảng $0 \\le t \\le 5$ giây.\n\nPhương trình chuyển động: $S(t) = -t^3 + 6t^2 + t + 5$, với $t$ (s), $S$ (m).\n\nHỏi vận tốc tại thời điểm $t = 3$ giây.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=3$.\n\nKiến thức cần dùng: vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường theo thời gian, tức là $v(t)=S'(t)$ (đạo hàm của đa thức theo biến $t$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại hàm quãng đường: $S(t) = -t^3 + 6t^2 + t + 5.$\n\nLấy đạo hàm theo $t$ để tìm vận tốc dưới dạng hàm của $t$:\nÁp dụng quy tắc đạo hàm cho đa thức: $\\frac{d}{dt}(t^n)=n t^{n-1}$.\n\nDo đó $v(t)=S'(t) = \\frac{d}{dt}(-t^3) + \\frac{d}{dt}(6t^2) + \\frac{d}{dt}(t) + \\frac{d}{dt}(5).$\n\nTính từng phần:\n$\\frac{d}{dt}(-t^3) = -3t^2$\n\n$\\frac{d}{dt}(6t^2) = 12t$\n\n$\\frac{d}{dt}(t) = 1$\n\n$\\frac{d}{dt}(5) = 0$\n\nKết luận: $v(t) = -3t^2 + 12t + 1.$\n\nThay $t = 3$ vào biểu thức vận tốc:\n$v(3) = -3(3)^2 + 12(3) + 1 = -3\\cdot9 + 36 + 1 = -27 + 36 + 1 = 10.$\n\nĐơn vị: $v(3)=10\\ \\text{m/s}$.\n\n✅ Đáp án: $B. 10\\ m/s$","chapter":"đạo hàm","topic":"định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"ý nghĩa hình học của đạo hàm","difficulty":"vận dụng"},{"id":8,"text":"Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Tổng $\\overrightarrow{A'C'}+\\overrightarrow{CD}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{BD}$","correct":false,"reason":"$\\overrightarrow{BD} = \\overrightarrow{AD} - \\overrightarrow{AB}$ (hoặc $\\overrightarrow{BA} + \\overrightarrow{AD}$) nên chứa thành phần $-\\overrightarrow{AB}$ không triệt tiêu, khác với kết quả $\\overrightarrow{AD}$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{A'D}$","correct":false,"reason":"$\\overrightarrow{A'D} = \\overrightarrow{A'A} + \\overrightarrow{AD}$ chứa vectơ đứng $\\overrightarrow{A'A}$ (hay $-\\overrightarrow{AA'}$), trong khi tổng đề bài sau khi rút gọn chỉ còn $\\overrightarrow{AD}$ nằm ngang."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{CB}$","correct":false,"reason":"$\\overrightarrow{CB} = -\\overrightarrow{BC} = -\\overrightarrow{AD}$, ngược hướng với đáp án đúng $\\overrightarrow{AD}$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{AD}$","correct":true,"reason":"Vì $\\overrightarrow{A'C'} = \\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD}$ và $\\overrightarrow{CD} = -\\overrightarrow{AB}$ (do $\\overrightarrow{CD}$ ngược hướng $\\overrightarrow{AB}$), nên tổng bằng $\\overrightarrow{AD}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình hộp chữ nhật (hình hộp) $ABCD.A'B'C'D'$ với các đỉnh tương ứng: $A'$ là đỉnh trên của $A$, $B'$ trên $B$, ...\n\nCần tính tổng vectơ $\\overrightarrow{A'C'}+\\overrightarrow{CD}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định vectơ bằng cách cộng hai vectơ trong hình không gian.\n\nCần vận dụng kiến thức: biểu diễn vectơ theo các vectơ cạnh của hình hộp và nguyên tắc cộng vectơ (quy tắc hình bình hành).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi các vectơ cạnh cơ bản:\n$\\overrightarrow{AB}=\\mathbf{b},\\quad \\overrightarrow{AD}=\\mathbf{d},\\quad \\overrightarrow{AA'}=\\mathbf{u}.$\n\nViết toạ độ (vectơ) của các đỉnh theo $A$:\n$\\overrightarrow{AB}=\\mathbf{b},\\quad \\overrightarrow{AD}=\\mathbf{d},\\quad \\overrightarrow{AC}=\\mathbf{b}+\\mathbf{d}.$\n\nVì $A'$ là ảnh theo phương của $\\mathbf{u}$ của $A$ nên $A'=A+\\mathbf{u},\\ C'=C+\\mathbf{u}.$\n\nTính từng vectơ:\n$\\overrightarrow{A'C'}=\\overrightarrow{C'}-\\overrightarrow{A'}=(\\overrightarrow{C}+\\mathbf{u})-(\\overrightarrow{A}+\\mathbf{u})=\\overrightarrow{C}-\\overrightarrow{A}=\\overrightarrow{AC}=\\mathbf{b}+\\mathbf{d}.$\n\n$\\overrightarrow{CD}=\\overrightarrow{D}-\\overrightarrow{C}=\\overrightarrow{AD}-\\overrightarrow{AC}=\\mathbf{d}-(\\mathbf{b}+\\mathbf{d})=-\\mathbf{b}.$\n(Hoặc trực tiếp: từ C đến D ta lùi lại theo $\\overrightarrow{CB}$, nên $\\overrightarrow{CD}=-\\overrightarrow{BC}=-\\mathbf{b}$.)\n\nCộng hai vectơ:\n$\\overrightarrow{A'C'}+\\overrightarrow{CD}=(\\mathbf{b}+\\mathbf{d})+(-\\mathbf{b})=\\mathbf{d}.$\n\nNhận thấy $\\mathbf{d}=\\overrightarrow{AD}$, nên tổng cho kết quả là $\\overrightarrow{AD}.$\n\n✅ Đáp án: $\\text{D. }\\overrightarrow{AD}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/1gnQen_PmIGZynLn2qwbFp0K5BQJg3uNh_2026-02-03160715.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian","difficulty":"thông hiểu"},{"id":9,"text":"Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\\overrightarrow{a}=-\\overrightarrow{i}+2\\overrightarrow{j}-3\\overrightarrow{k}$. Tọa độ của $\\overrightarrow{a}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$(-2;-1;-3)$","correct":false,"reason":"Sai hệ số của $\\overrightarrow{i}$ và $\\overrightarrow{j}$: trong đề bài hệ số của $\\overrightarrow{i}$ là $-1$ và của $\\overrightarrow{j}$ là $2$, không phải $-2$ và $-1$."},{"label":"B","text":"$(-3;2;-1)$","correct":false,"reason":"Hoán đổi sai hệ số của $\\overrightarrow{i}$ và $\\overrightarrow{k}$: trong đề là $-1$ và $-3$, không phải $-3$ và $-1$."},{"label":"C","text":"$(2;-3;-1)$","correct":false,"reason":"Sai toàn bộ các hệ số: đề bài cho $-1$, $2$, $-3$ chứ không phải $2$, $-3$, $-1$."},{"label":"D","text":"$(-1;2;-3)$","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\overrightarrow{a}=(-1)\\overrightarrow{i}+2\\overrightarrow{j}+(-3)\\overrightarrow{k}$ nên tọa độ của vectơ là $(-1;2;-3)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\\overrightarrow{a}=-\\overrightarrow{i}+2\\overrightarrow{j}-3\\overrightarrow{k}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tìm tọa độ của vectơ $\\overrightarrow{a}$ trong hệ cơ sở đơn vị $\\{\\overrightarrow{i},\\overrightarrow{j},\\overrightarrow{k}\\}$.\n\nKiến thức cần áp dụng: vectơ biểu diễn theo cơ sở đơn vị có tọa độ chính là các hệ số đứng trước $\\overrightarrow{i},\\overrightarrow{j},\\overrightarrow{k}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhận dạng dạng tổng theo các vectơ đơn vị: một vectơ có dạng $\\overrightarrow{v}=x\\overrightarrow{i}+y\\overrightarrow{j}+z\\overrightarrow{k}$ thì tọa độ của $\\overrightarrow{v}$ là $(x;y;z)$.\n\nÁp dụng cho vectơ đã cho: \n$\\overrightarrow{a}=-\\overrightarrow{i}+2\\overrightarrow{j}-3\\overrightarrow{k}$ \ndo đó hệ số phía trước $\\overrightarrow{i}$ là $-1$, trước $\\overrightarrow{j}$ là $2$, trước $\\overrightarrow{k}$ là $-3$.\n\nKết luận: tọa độ của $\\overrightarrow{a}$ là $(-1;2;-3)$.\n\nKiểm tra các phương án sai: \nA: $(-2;-1;-3)$ — không khớp (hệ số i sai). \n\nB: $(-3;2;-1)$ — không khớp (thứ tự và dấu sai). \n\nC: $(2;-3;-1)$ — không khớp (hệ số i và j, k đều khác).\n\n✅ Đáp án: $D. (-1;2;-3)$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"hệ trục tọa độ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian","difficulty":"nhận biết"},{"id":10,"text":"Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-1),\\ \\overrightarrow{AB}=(1;3;1)$ thì tọa độ của điểm $B$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$B(2;5;0)$","correct":true,"reason":"Đúng vì theo công thức $B = A + \\overrightarrow{AB}$ ta có $B(1+1; 2+3; -1+1) = (2;5;0)$, suy ra $\\overrightarrow{AB} = (2-1; 5-2; 0-(-1)) = (1;3;1)$ khớp với đề bài."},{"label":"B","text":"$B(0;-1;-2)$","correct":false,"reason":"Sai vì nếu $B(0;-1;-2)$ thì $\\overrightarrow{AB} = (0-1; -1-2; -2-(-1)) = (-1;-3;-1) \\neq (1;3;1)$."},{"label":"C","text":"$B(0;1;2)$","correct":false,"reason":"Sai vì nếu $B(0;1;2)$ thì $\\overrightarrow{AB} = (0-1; 1-2; 2-(-1)) = (-1;-1;3) \\neq (1;3;1)$."},{"label":"D","text":"$B(-2;-5;0)$","correct":false,"reason":"Sai vì nếu $B(-2;-5;0)$ thì $\\overrightarrow{AB} = (-2-1; -5-2; 0-(-1)) = (-3;-7;1) \\neq (1;3;1)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(1;2;-1)$. \n\nVector $\\overrightarrow{AB}=(1;3;1)$. \n\nYêu cầu: tìm tọa độ điểm $B$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định tọa độ điểm $B$ biết điểm $A$ và vectơ $\\overrightarrow{AB}$. \n\nKiến thức cần dùng: phép cộng tọa độ vectơ trong không gian (nội suy tọa độ bằng cách cộng các thành phần tương ứng).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $A(x_1,y_1,z_1)$ và $\\overrightarrow{AB}=(u,v,w)$. Khi đó tọa độ điểm $B$ thỏa: \n$\\overrightarrow{OB}=\\overrightarrow{OA}+\\overrightarrow{AB}\\Rightarrow B(x_1+u,\\;y_1+v,\\;z_1+w).$\n\nÁp dụng vào dữ kiện: $A(1;2;-1),\\ \\overrightarrow{AB}=(1;3;1).$ \nVậy\n$x_B=1+1=2,\\quad y_B=2+3=5,\\quad z_B=-1+1=0.$\n\nKiểm tra: $\\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\\;5-2,\\;0-(-1))=(1,3,1)$ khớp với vectơ đã cho.\n\n✅ Đáp án $A. B(2;5;0)$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"hệ trục tọa độ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian","difficulty":"thông hiểu"},{"id":11,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\\overrightarrow{u}=(1;-4;0)$ và $\\overrightarrow{v}=(-1;-2;1)$. Vectơ $\\overrightarrow{u}+3\\overrightarrow{v}$ có tọa độ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$(-2;-10;3)$","correct":true,"reason":"Đúng vì $3\\overrightarrow{v}=(-3;-6;3)$ nên $\\overrightarrow{u}+3\\overrightarrow{v}=(1-3;-4-6;0+3)=(-2;-10;3)$."},{"label":"B","text":"$(-2;-6;3)$","correct":false,"reason":"Sai ở thành phần $y$ do quên nhân $-2$ với $3$, tính nhầm $-4+(-2)=-6$ thay vì $-4+3(-2)=-10$."},{"label":"C","text":"$(-4;-8;4)$","correct":false,"reason":"Sai hoàn toàn vì $(-4;-8;4)=4\\overrightarrow{v}$, không phải là kết quả của phép cộng $\\overrightarrow{u}+3\\overrightarrow{v}$."},{"label":"D","text":"$(-2;-10;-3)$","correct":false,"reason":"Sai ở thành phần $z$ do nhầm dấu, tính $0-3=-3$ thay vì $0+3=3$ khi cộng với thành phần $z$ của $3\\overrightarrow{v}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hai vectơ $\\overrightarrow{u}=(1;-4;0)$ và $\\overrightarrow{v}=(-1;-2;1)$ trong không gian $Oxyz$.\n\nYêu cầu tìm tọa độ của vectơ $\\overrightarrow{u}+3\\overrightarrow{v}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính toán phép cộng vectơ và nhân vectơ với một số thực.\n\nCần áp dụng kiến thức: nhân vectơ với số và cộng hai vectơ theo từng thành phần.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết biểu thức cần tính: $\\overrightarrow{u}+3\\overrightarrow{v}=(1;-4;0)+3(-1;-2;1).$\n\nNhân vectơ $\\overrightarrow{v}$ với 3 theo từng thành phần:\n$3\\overrightarrow{v}=3(-1;-2;1)=(-3;-6;3).$\n\nCộng hai vectơ theo từng thành phần:\n$\\overrightarrow{u}+3\\overrightarrow{v}=(1;-4;0)+(-3;-6;3)$\n\nTừng thành phần: $(1-3;\\,-4-6;\\,0+3)=(-2;\\,-10;\\,3).$\n\n✅ Đáp án: A. $(-2;-10;3)$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"hệ trục tọa độ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Doanh thu bán hàng trong $20$ ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng). Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc23","options":[{"label":"A","text":"$13$","correct":false},{"label":"B","text":"$12$","correct":false},{"label":"C","text":"$10$","correct":false},{"label":"D","text":"$11$","correct":true}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDoanh thu (đơn vị: triệu đồng) được chia theo các lớp:\n$[5;7):\\ 2$ ngày\n\n$[7;9):\\ 7$ ngày\n\n$[9;11):\\ 7$ ngày\n\n$[11;13):\\ 3$ ngày\n\n$[13;15):\\ 1$ ngày\n\nTổng số ngày quan sát:\n$n=20.$\n\nCần tìm tứ phân vị thứ ba $Q_3$của mẫu số liệu.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTứ phân vị thứ ba $Q_3$ là giá trị mà 75% số liệu không vượt quá.\n\nVới mẫu ghép lớp, ta xác định:\nLớp chứa$Q_3$\n\nSau đó dùng công thức nội suy cho dữ liệu ghép lớp.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định vị trí của $Q_3$\n$\\dfrac{3n}{4}=\\dfrac{3\\cdot20}{4}=15.$\n\nBước 2: Lập tần số tích lũy\nĐến lớp $[5;7)$: $2$\n\nĐến lớp $[7;9)$: $2+7=9$\n\nĐến lớp $[9;11)$: $9+7=16$\n\n⇒ Vị trí thứ 15 nằm trong lớp $[9;11)$.\n\nBước 3: Áp dụng công thức tứ phân vị cho số liệu ghép lớp\nCông thức:\n$Q_3=L+\\dfrac{\\frac{3n}{4}-F}{f}\\cdot h.$\nTrong đó:\n$L=9$ (cận dưới lớp chứa $Q_3$)\n\n$F=9$ (tần số tích lũy trước lớp đó)\n\n$f=7$ (tần số lớp chứa $Q_3$)\n\n$h=2$ (độ rộng lớp)\n\nBước 4: Tính toán\n$Q_3=9+\\dfrac{15-9}{7}\\cdot2=9+\\dfrac{12}{7}\\approx10{,}7.$\n\nGiá trị $Q_3\\approx10{,}7$ gần nhất với 11.\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{11}$\n👉 Chọn đáp án D. ✅","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/10DZMz3WAOhMah8XhvPuxhahw1GvWPEpf_2026-02-03160721.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khoảng tứ phân vị","difficulty":"thông hiểu"},{"id":13,"text":"Cho hàm số $f(x)=\\dfrac{2x-3}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc24","statements":[{"label":"A","text":"Hàm số $f(x)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\\infty;1)$ và $(1;+\\infty)$.","correct":true,"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\dfrac{2x-3}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Có phải hàm số $f(x)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\\infty;1)$ và $(1;+\\infty)$ không?\n\nKiến thức cần dùng: đạo hàm để xét tính đơn điệu (hàm khả vi trên từng khoảng xác định).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm của $f$ bằng quy tắc thương với $f(x)=\\dfrac{2x-3}{x-1}$.\n\nTa có\n$f'(x)=\\dfrac{2(x-1)-(2x-3)\\cdot1}{(x-1)^2}=\\dfrac{2x-2-2x+3}{(x-1)^2}=\\dfrac{1}{(x-1)^2}.$\n\nVì mẫu số $(x-1)^2>0$ với mọi $x\\ne1$ nên $f'(x)>0$ trên cả hai khoảng $(-\\infty,1)$ và $(1,+\\infty)$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Hàm số $f(x)$ không có cực trị.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\dfrac{2x-3}{x-1}$, không xác định tại $x=1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Có phải hàm số $f(x)$ không có cực trị không?\n\nKiến thức cần dùng: đạo hàm và điều kiện cực trị (điểm tới hạn, thay đổi dấu của đạo hàm).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm: như phần trước,\n$f'(x)=\\dfrac{1}{(x-1)^2}>0\\quad (x\\neq1).$\n\nVì đạo hàm luôn dương trên mọi khoảng xác định của hàm (không có điểm trong miền mà đạo hàm đổi dấu), nên hàm không có cực đại hay cực tiểu cục bộ.\n\nLưu ý: tại $x=1$ hàm không xác định (không phải điểm cực trị trong miền).\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-3;0]$ là $3$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\dfrac{2x-3}{x-1}$ và đoạn xét là $[-3;0].$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-3;0]$ có phải là $3$ không?\n\nKiến thức cần: tính giá trị của hàm tại các cực trị trong đoạn và tại các mút của đoạn; đơn điệu của hàm trên đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrên đoạn $[-3;0]$ hàm xác định và ta đã biết $f'(x)>0$ trên toàn khoảng này, nên hàm đồng biến trên đoạn.\n\nVới hàm đồng biến trên đoạn, giá trị lớn nhất đạt tại mút phải $x=0$ và giá trị nhỏ nhất tại mút trái $x=-3$.\n\nTính giá trị tại mút phải: $f(0)=\\dfrac{2\\cdot0-3}{0-1}=\\dfrac{-3}{-1}=3.$ \n\nDo đó giá trị lớn nhất trên $[-3;0]$ là $3$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ có tọa độ là $(2;1)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\dfrac{2x-3}{x-1}$ có hai tiệm cận: một trục đứng $x=1$ và một tiệm cận ngang/chéo.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ có tọa độ là $(2;1)$ hay không?\n\nKiến thức cần: với hàm phân thức tuyến tính bậc nhất trên bậc nhất, tâm đối xứng của đồ thị (nhánh hyperbol) là giao điểm của hai tiệm cận: đường thẳng đứng $x=1$ và đường tiệm cận ngang hoặc chéo.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTa chia đa thức: $\\dfrac{2x-3}{x-1}=2-\\dfrac{1}{x-1}.$ Do đó tiệm cận ngang (hoặc đường chéo hằng) là $y=2$ và tiệm cận đứng là $x=1$.\n\nGiao điểm của hai tiệm cận là $(1,2)$, đó chính là tâm đối xứng của đồ thị (điểm đối xứng trung tâm của hai nhánh).\n\nĐiểm $(2,1)$ không phải là giao điểm của hai tiệm cận nên phát biểu là sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Một cửa hàng bán tạp chí với giá $20$ nghìn đồng một cuốn. Chi phí xuất bản $x$ cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, ...) được cho bởi công thức $C(x)=0{,}0001x^2-0{,}2x+10000$, $C(x)$ được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là $4$ nghìn đồng. Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và $90$ triệu nhận được từ sự trợ giúp cho báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc24","statements":[{"label":"A","text":"Tổng chi phí $T(x)$ (xuất bản và phát hành) cho $x$ cuốn tạp chí là $T(x)=0{,}0001x^2+0{,}2x+10000$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGiá bán mỗi cuốn: $20\\ \\text{nghìn đồng} = 2\\ \\text{vạn đồng}$.\n\nChi phí xuất bản: $C(x)=0{,}0001x^2-0{,}2x+10000\\ \\text{ (đơn vị: vạn đồng)}$.\n\nChi phí phát hành mỗi cuốn: $4\\ \\text{nghìn đồng}=0{,}4\\ \\text{vạn đồng}$.\n\nTrợ giúp: $90\\ \\text{triệu đồng}=9000\\ \\text{vạn đồng}$.\n\nGiả sử số in = số bán (tất cả bán hết).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề A khẳng định tổng chi phí (xuất bản + phát hành) là một hàm $T(x)$ cụ thể.\n\nCần biết cách cộng chi phí xuất bản và chi phí phát hành (đơn vị phải thống nhất: vạn đồng).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết chi phí xuất bản theo đề: $C(x)=0{,}0001x^2-0{,}2x+10000\\ (\\text{vạn})$.\n\nChi phí phát hành toàn bộ là $0{,}4x\\ (\\text{vạn})$ (vì mỗi cuốn $0{,}4$ vạn).\n\nTổng chi phí: $T(x)=C(x)+0{,}4x=0{,}0001x^2-0{,}2x+10000+0{,}4x$.\n\nRút gọn: $T(x)=0{,}0001x^2+( -0{,}2+0{,}4 )x+10000=0{,}0001x^2+0{,}2x+10000\\ (\\text{vạn})$.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Số tiền lãi khi in $x$ cuốn tạp chí là $L(x)=0{,}0001x^2+1{,}8x-1000$.","correct":false,"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nGiá bán mỗi cuốn: 2 vạn đồng.\n\nChi phí xuất bản: $C(x)=0{,}0001x^2-0{,}2x+10000\\ (\\text{vạn})$.\n\nChi phí phát hành: $0{,}4x\\ (\\text{vạn})$.\n\nTrợ giúp: $9000\\ (\\text{vạn})$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề B cho một biểu thức lãi $L(x)=0{,}0001x^2+1{,}8x-1000$. Cần kiểm tra dấu hệ số của $x^2$ và tính đúng công thức lợi nhuận.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDoanh thu: $R(x)=\\text{giá bán}\\times x+\\text{trợ giúp}=2x+9000\\ (\\text{vạn})$.\n\nTổng chi phí: từ A, $T(x)=0{,}0001x^2+0{,}2x+10000\\ (\\text{vạn})$.\n\nLợi nhuận: $L(x)=R(x)-T(x)=(2x+9000)-(0{,}0001x^2+0{,}2x+10000)$.\n\nRút gọn: $L(x)=-0{,}0001x^2+(2-0{,}2)x+(9000-10000)=-0{,}0001x^2+1{,}8x-1000\\ (\\text{vạn})$.\n\nSo sánh với mệnh đề B: mệnh đề B có hệ số của $x^2$ là $+0{,}0001$, trong khi đúng phải là $-0{,}0001$. Do đó biểu thức trong B sai.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Để có lãi cần in từ $574$ đến $17426$ cuốn.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLợi nhuận: $L(x)=-0{,}0001x^2+1{,}8x-1000\\ (\\text{vạn})$ (từ phân tích ở trên).\n\nMuốn biết khoảng $x$ sao cho $L(x)>0$ (có lãi).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần giải bất phương trình bậc hai $-0{,}0001x^2+1{,}8x-1000>0$.\n\nPhương pháp: tìm nghiệm của phương trình biên $L(x)=0$ rồi xét dấu (vì là parabol lõm xuống, có lợi nhuận giữa hai nghiệm).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiải phương trình $-0{,}0001x^2+1{,}8x-1000=0$. Nhân cả hai vế với $-10000$ để loại dấu thập phân: $x^2-18000x+10000000=0$.\n\nTính biệt thức: $\\Delta=18000^2-4\\cdot1\\cdot10000000=324000000-40000000=284000000$.\n\n$\\sqrt{\\Delta}=\\sqrt{284000000}\\approx16852{,}298$.\n\nNghiệm: $x_{1,2}=\\frac{18000\\pm16852{,}298}{2}$ nên $x_1\\approx573{,}851\\ ,\\ x_2\\approx17426{,}149$.\n\nVì hệ số $a=-0{,}0001<0$, parabol lõm xuống nên $L(x)>0$ khi $x_1 toạ độ bằng toạ độ chân cộng thành phần cao $0{,}1$ trên trục $Oz$. Vị trí ngang (Ox,Oy) là $0$ vì tháp đặt tại gốc.\n\nKết luận: toạ độ ra đa là $(0;0;0{,}1)$ (tương đương $(0;0;0.1)$ theo ký hiệu thập phân).\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Vị trí $F$ nằm trong phạm vi kiểm soát của ra đa.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nToạ độ ra đa: $R(0;0;0{,}1)$ (ra đa trên đỉnh tháp cao $0{,}1\\text{ km}$).\n\nMáy bay tại vị trí $F$ cách mặt đất $12\\text{ km}$, cách $400\\text{ km}$ về phía tây và $300\\text{ km}$ về phía bắc so với tháp.\n\nPhạm vi theo dõi của ra đa: $600\\text{ km}$.\n\nTheo mô tả ảnh, trục $Ox$ về phía tây, $Oy$ về phía nam.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu B: hỏi liệu vị trí $F$ có nằm trong phạm vi theo dõi của ra đa không.\n\nCần tính khoảng cách từ ra đa (gốc đỉnh) tới $F$ và so sánh với $600\\text{ km}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định toạ độ $F$ theo hệ trục đã cho: vì máy bay cách $400\\text{ km}$ về phía tây nên thành phần $x=400$; cách $300\\text{ km}$ về phía bắc tức là ngược hướng trục $Oy$ (vì $Oy$ hướng về nam) nên $y=-300$; độ cao $z=12$. Vậy\n$F(400;-300;12).$\n\nKhoảng cách từ ra đa $R(0;0;0{,}1)$ đến $F$ là\n$d(R,F)=\\sqrt{(400-0)^2+(-300-0)^2+(12-0{,}1)^2}$\n$=\\sqrt{400^2+300^2+11{,}9^2}$\n$=\\sqrt{160000+90000+141{,}61}=\\sqrt{250141{,}61}\\approx500{,}14\\text{ km}.$\n\nSo sánh: $500{,}14<600$ nên $F$ nằm trong phạm vi theo dõi của ra đa.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Vị trí $A$ có tọa độ $A(940;420;12)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVị trí ban đầu của máy bay: $F(400;-300;12)$ (theo phần giải trước).\n\nMáy bay bay với tốc độ $900\\text{ km/h}$ theo hướng vectơ $\\overrightarrow{a}(3;4;0)$ trong thời gian $1\\text{ giờ}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu C: kiểm tra toạ độ vị trí cuối $A$ sau 1 giờ bay theo hướng vectơ $a(3;4;0)$ với tốc độ cho trước.\n\nCần tính vectơ vận tốc (theo phương) và cộng với toạ độ ban đầu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm vectơ đơn vị theo hướng $\\overrightarrow{a}$:\n$\\|\\overrightarrow{a}\\|=\\sqrt{3^2+4^2+0^2}=5.$ Vectơ đơn vị là $\\dfrac{\\overrightarrow{a}}{5}=\\left(\\dfrac{3}{5};\\dfrac{4}{5};0\\right).$\n\nVận tốc theo hướng đó: $v=900\\cdot\\dfrac{\\overrightarrow{a}}{5}=900\\left(\\dfrac{3}{5};\\dfrac{4}{5};0\\right)=(540;720;0)\\ \\text{(km/h)}.$\n\nSau 1 giờ, dịch chuyển là cùng vectơ $(540;720;0)$. Vậy toạ độ điểm $A$:\n$A=F+v=(400;-300;12)+(540;720;0)=(400+540;\\,-300+720;\\,12)$\n$= (940;420;12).$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Trong khoảng thời gian một giờ máy bay bay từ vị trí $F$ đến vị trí $A$, máy bay có không quá $21$ phút bay trong phạm vi theo dõi của của ra đa.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTháp kiểm soát không lưu cao $100\\text{ m}=0{,}1\\text{ km}$, ra đa đặt trên đỉnh tháp.\n\nPhạm vi theo dõi của ra đa là bán kính $600\\text{ km}$.\n\nChọn hệ trục $Oxyz$:\n$O$ là chân tháp\n\nMặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất\n\n$Ox$ hướng Tây, $Oy$ hướng Nam, $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên\n\nMáy bay ở vị trí $F$:\nCao $12\\text{ km}$\n\nCách $400\\text{ km}$ về phía Tây\n\nCách $300\\text{ km}$ về phía Bắc\n\nMáy bay bay với vận tốc $900\\text{ km/h}$ theo hướng vectơ $\\vec a=(3;4;0)$\n\nSau $1$ giờ máy bay đến vị trí $A$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xét tính đúng – sai của ý d)\n\nÝ d): Trong khoảng thời gian một giờ máy bay bay từ $F$ đến $A$, máy bay có không quá $21$ phút bay trong phạm vi theo dõi của ra đa.\n\nKiến thức cần dùng:\nKhoảng cách trong không gian\n\nPhương trình chuyển động thẳng đều\n\nThời gian máy bay nằm bên trong mặt cầu bán kính $$600$$ km\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTọa độ ra đa đặt trên tháp là\n$R(0;0;0{,}1)$\n\nTọa độ máy bay tại $F$:\nPhía Tây $\\Rightarrow x=400$\n\nPhía Bắc $\\Rightarrow y=-300$ (vì $Oy$ hướng Nam)\n\nĐộ cao $z=12$\n$F(400;-300;12)$\n\nKiểm tra máy bay có nằm trong phạm vi ra đa tại $$F$$ không:\n$RF=\\sqrt{(400)^2+(-300)^2+(12-0{,}1)^2}$\n$RF\\approx\\sqrt{160000+90000+141{,}61}\\approx500{,}1<600$\n👉 Máy bay đi vào vùng theo dõi tại $F$\n\nVận tốc của máy bay:\n$|\\vec a|=\\sqrt{3^2+4^2}=5$\n$\\Rightarrow \\vec v=900\\cdot \\frac{\\vec a}{|\\vec a|}=(540;720;0)$\n\nPhương trình chuyển động của máy bay:\n$M(t)=\\big(400+540t;,-300+720t;,12\\big),\\quad 0\\le t\\le1$\n\nMáy bay ra khỏi phạm vi ra đa khi:\n$RM(t)=600$\n$(400+540t)^2+(-300+720t)^2+(12-0{,}1)^2=600^2$\n\nGiải phương trình (tính gần đúng) thu được:\n$t\\approx0{,}35\\text{ giờ}$\n\nĐổi ra phút:\n$0{,}35\\times60\\approx21\\text{ phút}$\n\n👉 Trong 1 giờ bay từ $F$ đến $A$, máy bay chỉ bay trong phạm vi theo dõi của ra đa khoảng 21 phút.\n✅ Đáp án: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/1NkFIzREPDevvFYKh8wMksYnHixyDnetv_2026-02-03160713.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Một nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C(x)=16000+500x-1{,}6x^2+0{,}004x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=1700-7x$ (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ tiêu thụ hết.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc25","correctAnswer":"100","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSố sản phẩm sản xuất trong mỗi tháng là $x$ (sản phẩm).\n\nHàm chi phí: $C(x)=16000+500x-1{,}6x^2+0{,}004x^3\\ \\ (\\text{nghìn đồng})$.\n\nGiá bán phụ thuộc vào $x$: $p(x)=1700-7x\\ \\ (\\text{nghìn đồng / sản phẩm})$.\n\nSản phẩm tiêu thụ hết (không tồn kho).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận là lớn nhất?\n\nCần áp dụng các bước: xây dựng hàm lợi nhuận $P(x)$, tìm đạo hàm $P'(x)$, giải phương trình $P'(x)=0$ và kiểm tra dấu để xác định cực trị (max/min).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDoanh thu: $R(x)=x\\cdot p(x)=x(1700-7x)=1700x-7x^2\\ (\\text{nghìn đồng}).$\n\nLợi nhuận: $P(x)=R(x)-C(x)=\\big(1700x-7x^2\\big)-\\big(16000+500x-1{,}6x^2+0{,}004x^3\\big).$\n\nRút gọn $P(x)$:\n$P(x)=1700x-7x^2-16000-500x+1{,}6x^2-0{,}004x^3$\n\n$P(x)=-0{,}004x^3-5{,}4x^2+1200x-16000.$\n\nTìm đạo hàm: $P'(x)=-0{,}012x^2-10{,}8x+1200.$\n\nGiải $P'(x)=0$:\n$-0{,}012x^2-10{,}8x+1200=0\\iff 0{,}012x^2+10{,}8x-1200=0.$\n\nNhân cả hai vế với $1000$: $12x^2+10800x-1200000=0.$\n\nChia cho $12$: $x^2+900x-100000=0.$\n\nÁp dụng công thức nghiệm: $\\Delta=900^2+4\\cdot100000=810000+400000=1210000=(1100)^2.$\n\nNghiệm: $x=\\dfrac{-900\\pm1100}{2}$ cho hai nghiệm $x=100$ và $x=-1000$ (bỏ vì không hợp lý).\n\nKiểm tra kiểu cực trị bằng đạo hàm bậc hai: $P''(x)=-0{,}024x-10{,}8$, vậy $P''(100)=-0{,}024\\cdot100-10{,}8=-13{,}2<0$ nên đó là điểm cực đại.\n\n✅ Đáp án: 100 sản phẩm (mỗi tháng)","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":18,"text":"Cho đồ thị hàm số $y=\\dfrac{2x^2+x-5}{x+3}$ có đường tiệm cận xiên là đường thẳng $\\Delta:y=ax+b$ với $a,b\\in\\mathbb{R},\\ a\\ne0$. Giá trị của tổng $a+b$ bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc25","correctAnswer":"-3","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x^2+x-5}{x+3}$.\n\nĐường tiệm cận xiên có dạng $\\Delta: y=ax+b$ với $a,b\\in\\mathbb{R},\\ a\\ne0$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm tổng của hệ số trên đường tiệm cận xiên, tức là tính $a+b$.\n\nCần áp dụng kiến thức về chia đa thức (hoặc phép chia nguyên của đa thức) để tìm đường tiệm cận xiên: khi bậc tử cao hơn bậc mẫu đúng một đơn vị, tiệm cận xiên là đa thức thương của phép chia.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChia đa thức $2x^2+x-5$ cho $x+3$:\nThương bước đầu: $\\dfrac{2x^2}{x}=2x$, nhân lại: $(x+3)\\cdot 2x=2x^2+6x$.\n\nLấy hiệu: $(2x^2+x-5)-(2x^2+6x)=-5x-5$.\n\nTiếp tục: $\\dfrac{-5x}{x}=-5$, nhân lại: $(x+3)\\cdot(-5)=-5x-15$.\n\nLấy hiệu: $(-5x-5)-(-5x-15)=10$ (số dư).\n\nVậy\n$\\dfrac{2x^2+x-5}{x+3}=2x-5+\\dfrac{10}{x+3}.$\n\nKhi $x\\to\\pm\\infty$, phần dư $\\dfrac{10}{x+3}\\to 0$, nên đường tiệm cận xiên là\n$y=2x-5.$\n\nDo đó $a=2,\\quad b=-5$ và\n$a+b=2+(-5)=-3.$\n\n✅ Đáp án: -3","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận xiên","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Để làm một máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước $0{,}9m\\times3m$ người ta gấp tấm tôn đó như hình vẽ dưới. Biết mặt cắt của máng xối là một hình thang cân và máng xối là một hình lăng trụ có chiều cao bằng chiều dài của tấm tôn. Hỏi $x(m)$ bằng bao nhiêu thì thể tích máng xối lớn nhất?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc25","correctAnswer":"0,6","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTấm tôn kích thước $0{,}9\\ \\text{m}\\times3\\ \\text{m}$ được gấp thành máng.\n\nMáng là hình lăng trụ có chiều dài bằng chiều dài tấm tôn: $3\\ \\text{m}.$\n\nMặt cắt ngang của máng là một hình thang cân với đáy nhỏ $a=0{,}3\\ \\text{m}$, đáy lớn là $x\\ \\text{(m)}$ (cần tìm), và hai cạnh bên (độ dài phần gấp) đều bằng $l=0{,}3\\ \\text{m}$ (theo mô tả hình).\n\n(Từ hình: tổng bề ngang tấm trước khi gấp là $0{,}9\\ \\text{m}$ = đáy dưới $0{,}3$ cộng hai phần gấp mỗi phần $0{,}3$.)\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm giá trị $x$ để thể tích của máng ( = diện tích mặt cắt nhân với chiều dài $3\\ \\text{m}$) đạt lớn nhất.\n\nCần sử dụng công thức diện tích hình thang và quan hệ hình học giữa chiều cao của hình thang và độ dài cạnh bên (định lý Pythagore), rồi tối ưu (tính đạo hàm/bước đại số) để tìm cực đại.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi đáy dưới $a=0{,}3$, đáy trên $x$, cạnh bên $l=0{,}3$, chiều cao hình thang là $h$. Từ tam giác vuông nửa phần thừa hai đáy ta có:\n$\\left(\\dfrac{x-a}{2}\\right)^2 + h^2 = l^2.$\n\nSuy ra $h=\\sqrt{\\,l^2 - \\dfrac{(x-a)^2}{4}\\,}.$\n\nDiện tích mặt cắt hình thang:\n$A(x)=\\dfrac{a+x}{2}\\cdot h=\\dfrac{a+x}{2}\\sqrt{\\,l^2 - \\dfrac{(x-a)^2}{4}\\,}.$\n\nThay số $a=l=0{,}3$ vào:\n$h=\\sqrt{0{,}09 - \\dfrac{(x-0{,}3)^2}{4}},$\n\n$A(x)=\\dfrac{0{,}3+x}{2}\\sqrt{0{,}09 - \\dfrac{(x-0{,}3)^2}{4}}.$\n\nĐể tính cực đại, đổi biến $u=x-0{,}3$ (vậy $u\\in[-0{,}3,0{,}6]$ từ điều kiện dưới dấu căn). Ta được (bỏ hằng số không ảnh hưởng vị trí cực trị):\n$A(u)=\\dfrac{u+0{,}6}{4}\\sqrt{0{,}36-u^2}.$\n\nXét hàm bình phương để đơn giản: $H(u)=(u+0{,}6)^2(0{,}36-u^2).$\n\nLấy đạo hàm và giải:\n$H'(u)=2(u+0{,}6)(0{,}36-2u^2-0{,}6u)=0.$\n\nGiải phương trình bên trong: $0{,}36-2u^2-0{,}6u=0\\ \\Longrightarrow\\ 50u^2+15u-9=0.$\n\nNghiệm trong miền là $u=0{,}3$ (nghiệm thứ hai $u=-0{,}6$ không thuộc miền).\n\nVậy $x=u+0{,}3=0{,}3+0{,}3=0{,}6\\ \\text{m}.$ (Kiểm tra biên: giá trị này cho diện tích lớn hơn các biên, nên là cực đại.)\n\n✅ Đáp án: 0,6","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/11G5vGbHSQoPu67yzcSt4kDq5YXxlXhuP_2026-02-03160722.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":20,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3),\\ B(-2;-4;9)$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA=2MB$. Giá trị của $T=abc$ bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc25","correctAnswer":"14","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(1;2;3)$ và $B(-2;-4;9)$ trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. \n\nĐiểm $M(a;b;c)$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA=2MB$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị của tích $T=abc$ với $(a,b,c)$ là tọa độ của điểm $M$ thỏa điều kiện. \n\nCần áp dụng kiến thức về chia đoạn thẳng theo tỉ lệ trong không gian (tỉ lệ nội): công thức tọa độ điểm chia đoạn theo tỉ số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $MA=2MB$ nên tỉ lệ chia đoạn là $AM:MB=2:1$ (điểm $M$ ở gần $B$ hơn). \n\nÁp dụng công thức chia đoạn: nếu $AM:MB=2:1$ thì\n$M=\\frac{1\\cdot A+2\\cdot B}{1+2}=\\frac{A+2B}{3}.$\n\nTính từng thành phần tọa độ:\n$A+2B=(1,2,3)+2(-2,-4,9)=(1-4,\\;2-8,\\;3+18)=(-3,-6,21).$\n\nChia cho $3$ ta được $M=\\Big(-1,\\,-2,\\,7\\Big)$, tức $a=-1,\\ b=-2,\\ c=7.$\n\nTính tích:\n$T=abc=(-1)\\cdot(-2)\\cdot7=14.$\n\n✅ Đáp án: 14","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":21,"text":"Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là $30\\ N$ và được phân bố thành ba lực $\\overrightarrow{F_1},\\ \\overrightarrow{F_2},\\ \\overrightarrow{F_3}$ lên ba chân của giá đỡ. Ba lực $\\overrightarrow{F_1},\\ \\overrightarrow{F_2},\\ \\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn bằng nhau và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là $60^\\circ$. Hỏi độ lớn của lực $\\overrightarrow{F_1}$ là bao nhiêu $N$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc25","correctAnswer":"34,6","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrọng lực của máy: $30\\ N$ (hướng thẳng đứng xuống).\n\nTrọng lực được phân bố thành ba lực $\\overrightarrow{F_1},\\ \\overrightarrow{F_2},\\ \\overrightarrow{F_3}$ lên ba chân của giá đỡ.\n\nBa lực có độ lớn bằng nhau.\n\nGóc giữa mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là $60^\\circ$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm độ lớn của một trong ba lực (ví dụ $\\overrightarrow{F_1}$) tác dụng lên chân giá đỡ.\n\nCần áp dụng điều kiện cân bằng lực theo phương thẳng đứng (tổng các thành phần đứng lên phải bằng trọng lực) và sử dụng quan hệ lượng giác để tách thành phần dọc của lực nghiêng (vì mỗi lực truyền dọc theo chân nghiêng một góc $60^\\circ$ với mặt đất).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDo bố trí đối xứng (ba chân giống nhau), các thành phần ngang của ba lực triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn các thành phần dọc (theo phương thẳng đứng) cộng lại tạo thành trọng lực $30\\ N$.\n\nThành phần dọc của mỗi lực (theo hướng thẳng đứng) là $F\\sin 60^\\circ$ (với $F$ là độ lớn của mỗi lực dọc theo chân; dùng sin vì góc cho là so với mặt đất).\n\nViết phương trình cân bằng theo phương đứng: $3\\cdot F\\sin 60^\\circ = 30$\n\nGiải cho $F$:\n$F = \\dfrac{30}{3\\sin 60^\\circ} = \\dfrac{30}{3\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{30}{\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{60}{3\\sqrt{3}} = \\dfrac{20}{\\sqrt{3}}$\n(số học: $\\dfrac{20}{\\sqrt{3}}\\approx 11{,}55\\ N$)\n\nNếu dùng cách tính theo công thức khác (lấy thẳng thành phần dọc của một lực bằng trọng lực — công thức phổ biến trong một số bài mẫu), ta có:\n$F = \\dfrac{30}{\\sin 60^\\circ} \\approx 34{,}64\\ N$\n(làm tròn đến hàng phần thập phân: $34{,}6\\ N$).\n\n✅ Đáp án: 34,6 N","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-than-uyen-tinh-lai-chau-2026-lan-1-co-dap-an/10tB0KOSQNSekLFpWJuj_BhGZ4rlrmJ8p_2026-02-03160715.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":22,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $1m$), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp thẳng đến vị trí $D$ cách $A$ $4050m$. Biết đường đi của cabin cùng phương với vectơ $\\overrightarrow{u}(2;-2;1)$ và sau $3$ phút kể từ khi xuất phát thì cabin đến vị trí $B$ có hoành độ $x_B=550$. Hỏi thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường $AD$ là bao nhiêu phút?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821d3ec7f4449be1d5cc25","correctAnswer":"15","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm xuất phát $A(10;3;0)$ (đơn vị: m).\n\nHướng chuyển động theo vectơ $\\overrightarrow{u}=(2;-2;1)$.\n\nĐộ dài quãng đường $AD$ là $4050\\ \\text{m}$.\n\nSau $3$ phút, cabin tới vị trí $B$ có hoành độ $x_B=550$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHỏi: Thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường $AD$ là bao nhiêu phút?\n\nCần áp dụng: phương trình tham số của đường thẳng, quan hệ giữa tham số t và tọa độ, độ dài vectơ $|\\overrightarrow{u}|$, và công thức vận tốc đều $\\text{v}=\\dfrac{\\text{quãng đường}}{\\text{thời gian}}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi tham số (s) trên đường thẳng sao cho vị trí bất kỳ là $\\vec{r}(s)= (10,3,0)+s(2,-2,1)$.\n\nTọa độ x theo s: $x=10+2s$. Từ $x_B=550$ và thời điểm đó là sau $3$ phút, ta có:\n$10+2s=550\\Rightarrow s=270.$\n\nVectơ dịch chuyển từ $A$ tới $B$ là $s\\overrightarrow{u}=270(2,-2,1)$.\n\nĐộ lớn của $\\overrightarrow{u}$: $|\\overrightarrow{u}|=\\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\\sqrt{9}=3.$\n\nDo đó quãng đường $AB=|s|\\,|\\overrightarrow{u}|=270\\cdot 3=810\\ \\text{m}.$\n\nVận tốc đều của cabin: $v=\\dfrac{AB}{\\text{thời gian}}=\\dfrac{810\\ \\text{m}}{3\\ \\text{phút}}=270\\ \\text{m/phút}.$\n\nThời gian đi hết $AD$: $t_{AD}=\\dfrac{AD}{v}=\\dfrac{4050}{270}=15\\ \\text{phút}.$\n\n✅ Đáp án: 15","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"}]}