{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Thuận Thành Số 1 Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2026","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6984034ed50880d311befb14","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6984034ed50880d311befb15","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6984034ed50880d311befb16","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, cạnh $BA=a,BC=2a,SA=3a$. Biết $SA \\perp (ABCD)$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$4a^3\\sqrt{3}$","correct":false,"reason":"Sai do áp dụng nhầm công thức, có thể là tính diện tích đáy như tam giác đều (xuất hiện $\\sqrt{3}$) hoặc nhân sai hệ số, không cho kết quả $2a^3$ khi tính $V=\\frac{1}{3}S_{ABCD}\\cdot SA$."},{"label":"B","text":"$3a^3$","correct":false,"reason":"Sai do tính nhầm diện tích đáy (ví dụ lấy $BA\\cdot SA=3a^2$ thay vì $BA\\cdot BC=2a^2$) hoặc áp dụng sai chiều cao, dẫn đến $V=\\frac{1}{3}\\cdot 3a^2\\cdot 3a=3a^3$."},{"label":"C","text":"$6a^3$","correct":false,"reason":"Sai do quên hệ số $\\frac{1}{3}$ trong công thức thể tích khối chóp, tính nhầm thành thể tích khối lăng trụ $V=S_{ABCD}\\cdot SA=2a^2\\cdot 3a=6a^3$."},{"label":"D","text":"$2a^3$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức $V=\\frac{1}{3}S_{ABCD}\\cdot SA=\\frac{1}{3}\\cdot (a\\cdot 2a)\\cdot 3a=2a^3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp: $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$.\n\nCác độ dài: $BA=a,\\; BC=2a,\\; SA=3a$.\n\n$SA\\perp (ABCD)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.\n\nCần áp dụng công thức thể tích khối chóp: thể tích = $\\dfrac{1}{3}$ × diện tích đáy × chiều cao.\n\nBiết rằng chiều cao của khối chóp là khoảng cách từ $S$ tới mặt đáy; bởi $SA\\perp (ABCD)$, nên chiều cao chính là $SA$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDiện tích đáy $ABCD$ (hình chữ nhật) là tích hai cạnh kề:\n$S_{ABCD}=BA\\cdot BC=a\\cdot 2a=2a^2.$\n\nChiều cao của khối chóp:\n$h=SA=3a.$\n\nÁp dụng công thức thể tích khối chóp:\n$V=\\frac{1}{3}\\,S_{ABCD}\\cdot h.$\n\nThay các giá trị vào:\n$V=\\frac{1}{3}\\cdot 2a^2\\cdot 3a=\\;2a^3.$\n\n(Kiểm tra với hình: đỉnh $S$ vuông góc với mặt đáy nên dùng $SA$ làm chiều cao là hợp lệ.)\n\n✅ Đáp án: $D. 2a^3$","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","grade":"GRADE_11","questionCategory":"thể tích","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Tập xác định $D$ của hàm số $y=(x-3)^{-5}+\\log_3(4-x)$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$D=(4;+\\infty)$","correct":false,"reason":"Phương án này sai vì khoảng $(4;+\\infty)$ làm cho $4-x<0$, khiến $\\log_3(4-x)$ không xác định, trong khi điều kiện cần là $x<4$."},{"label":"B","text":"$D=(-\\infty;4)$","correct":false,"reason":"Phương án này sai vì chưa loại trừ $x=3$; tại $x=3$ thì $(x-3)^{-5}=\\frac{1}{(x-3)^5}$ không xác định do mẫu thức bằng $0$."},{"label":"C","text":"$D=(3;4)$","correct":false,"reason":"Phương án này sai vì bỏ sót các giá trị $x<3$ (ví dụ $x=2$) vẫn thỏa mãn cả hai điều kiện $x\\neq 3$ và $x<4$, nên tập xác định phải rộng hơn."},{"label":"D","text":"$D=(-\\infty;4)\\setminus{3}$","correct":true,"reason":"Phương án đúng vì thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: $x<4$ (để $\\log_3(4-x)$ xác định) và $x\\neq 3$ (để $(x-3)^{-5}$ xác định), tức là $D=(-\\infty;4)\\setminus\\{3\\}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=(x-3)^{-5}+\\log_3(4-x).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm tập xác định $D$ của hàm số — tức tất cả các giá trị thực của $x$ để cả hai biểu thức trong hàm số đều xác định.\n\nKiến thức cần dùng:\nQuy tắc với luỹ thừa mũ âm: biểu thức $a^{-5}$ xác định khi $a\\neq0$.\n\nĐiều kiện xác định của logarit: $\\log_3(4-x)$ xác định khi biểu thức trong log > 0.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét thành phần thứ nhất $(x-3)^{-5}$:\nPhải có $x-3\\neq0$, tức là $x\\neq3.$\n\nXét thành phần thứ hai $\\log_3(4-x)$:\nCần $4-x>0$, suy ra $x<4.$\n\nKết hợp hai điều kiện:\nTa cần cả $x<4$ và $x\\neq3$ cùng lúc.\n\nVậy tập xác định là $D=\\{x\\in\\mathbb{R}\\mid x<4,\\ x\\neq3\\}$ hay viết dưới dạng khoảng: $D=(-\\infty;4)\\setminus\\{3\\}.$\n\nKiểm tra nhanh bằng các ví dụ:\nVới $x=2$: thoả cả hai điều kiện → hợp lệ.\n\nVới $x=3$: làm cho $(x-3)^{-5}$ không xác định → loại.\n\nVới $x=5$: làm cho $4-x=-1\\le0$ → log không xác định → loại.\n\n✅ Đáp án: D. $D=(-\\infty;4)\\setminus\\{3\\}$","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khái niệm lôgarit","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Cho tứ diện $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $SA\\perp(ABC)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên cạnh $SB$ và $SC$. Khẳng định nào sau đây sai?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$SA\\perp BC$","correct":false,"reason":"Vì $SA \\perp (ABC)$ và $BC \\subset (ABC)$ nên $SA \\perp BC$."},{"label":"B","text":"$AM\\perp SC$","correct":false,"reason":"Ta có $BC \\perp AB$ và $BC \\perp SA$ nên $BC \\perp (SAB)$, suy ra $BC \\perp AM$. Kết hợp $AM \\perp SB$ (theo gt) nên $AM \\perp (SBC)$, do đó $AM \\perp SC$."},{"label":"C","text":"$AM\\perp MN$","correct":false,"reason":"Vì $AM \\perp (SBC)$ (chứng minh ở B) và $MN \\subset (SBC)$ nên $AM \\perp MN$."},{"label":"D","text":"$AN\\perp SB$","correct":true,"reason":"$AN \\perp SC$ theo giả thiết, nhưng $AN$ không vuông góc với $SB$; nếu $AN \\perp SB$ thì $AN \\perp (SBC)$, suy ra $AN \\parallel AM$ (cùng vuông góc $(SBC)$) là vô lý vì $M, N$ phân biệt."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: Summarize given data\n2. ❓ Hiểu câu hỏi: Explain what is being asked (which statement is false), mention knowledge about line perpendicular to plane, three perpendiculars theorem\n3. 🔎 Hướng dẫn cách làm: Step-by-step analysis of each option using the three perpendiculars theorem and properties of perpendicular lines and planes\n4. ✅ Đáp án: D\n5. ❌ Các đáp án khác: Brief explanation of why A, B, C are true\n\n**Detailed steps for the solution:**\n\n**Step 1: Establish basic perpendicular relationships**\n- $SA \\perp (ABC) \\Rightarrow SA \\perp AB, SA \\perp BC, SA \\perp AC$\n- $\\triangle ABC$ right at $B \\Rightarrow AB \\perp BC$\n- From $SA \\perp BC$ and $AB \\perp BC$, we get $BC \\perp (SAB)$\n- Therefore $BC \\perp SB$ (since $SB \\subset (SAB)$), $BC \\perp AM$ (since $AM \\subset (SAB)$)\n\n**Step 2: Analyze Option A**\n- $SA \\perp (ABC)$ and $BC \\subset (ABC)$, so $SA \\perp BC$. Correct.\n\n**Step 3: Analyze Option B ($AM \\perp SC$)**\n- $M","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"đường thẳng vuông góc với mặt phẳng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":4,"text":"Nghiệm của phương trình $\\tan 3x=\\tan x$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$x=k\\pi,,k\\in\\mathbb Z$","correct":true,"reason":"Từ $\\tan 3x = \\tan x$ ta có $3x = x + k\\pi$ ($k \\in \\mathbb{Z}$), suy ra $x = \\frac{k\\pi}{2}$. Tuy nhiên, phải loại trừ trường hợp $k$ lẻ vì khi đó $x = \\frac{\\pi}{2} + m\\pi$ làm $\\cos x = 0$ nên $\\tan x$ không xác định. Vậy chỉ còn $x = k\\pi$."},{"label":"B","text":"$x=\\dfrac{k\\pi}{6},,k\\in\\mathbb Z$","correct":false,"reason":"Giá trị $\\frac{k\\pi}{6}$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Có thể do nhầm lẫn khi áp dụng sai công thức chu kỳ (cho rằng $\\tan u = \\tan v \\Leftrightarrow u = v + \\frac{k\\pi}{3}$) hoặc giải phương trình $\\tan 3x = \\tan \\frac{x}{2}$."},{"label":"C","text":"$x=\\dfrac{k\\pi}{2},,k\\in\\mathbb Z$","correct":false,"reason":"Đây là tập nghiệm thu được trước khi xét điều kiện xác định $\\cos x \\neq 0$ và $\\cos 3x \\neq 0$, nhưng chứa nghiệm ngoại lai khi $k$ lẻ (ví dụ $x = \\frac{\\pi}{2}$ làm $\\tan x$ không xác định nên không phải là nghiệm)."},{"label":"D","text":"$x=k2\\pi,,k\\in\\mathbb Z$","correct":false,"reason":"Tập nghiệm này thiếu sót các nghiệm lẻ như $x = \\pi$, $x = 3\\pi$, v.v. (ví dụ $x = \\pi$ thỏa mãn $\\tan 3\\pi = \\tan \\pi = 0$ nhưng không thuộc dạng $k2\\pi$)."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: Tìm nghiệm của phương trình $\\tan 3x = \\tan x$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: Yêu cầu giải phương trình lượng giác cơ bản $\\tan u = \\tan v$. Cần áp dụng công thức nghiệm của phương trình $\\tan u = \\tan v$ và điều kiện xác định của hàm số tan.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n- Phương trình $\\tan 3x = \\tan x$ xác định khi $\\cos 3x \\neq 0$ và $\\cos x \\neq 0$.\n- Sử dụng công thức nghiệm: $\\tan u = \\tan v \\Leftrightarrow u = v + k\\pi$ ($k \\in \\mathbb{Z}$).\n- Ta có: $3x = x + k\\pi \\Leftrightarrow 2x = k\\pi \\Leftrightarrow x = \\frac{k\\pi}{2}$.\n- Kiểm tra điều kiện với $x = \\frac{k\\pi}{2}$:\n - Nếu $k$ chẵn, đặt $k = 2m$ ($m \\in \\mathbb{Z}$), thì $x = m\\pi$.\n - Khi đó $\\cos x = \\cos(m\\pi) = (-1)^m \\neq 0$ và $\\cos 3x = \\cos(3m\\pi) = (-1)^{3m} \\neq 0$. Thỏa mãn.\n - Nếu $k$ lẻ, đặt $k = 2m+1$ ($m \\in \\mathbb{Z}$), thì $x = \\frac{(2m+1)\\pi}{2} = m\\pi + \\frac{\\pi}{2}$.\n - Khi đó $\\cos x = \\cos(m\\pi + \\frac{\\pi}{2}) = 0$. Không thỏa mãn điều kiện (hàm tan không xác định).\n- Vậy nghiệm của phương trình là $x = m\\pi$ ($m \\in \\mathbb{Z}$), hay $x = k\\pi$ ($k \\in \\mathbb{Z}$).\n\nAlternative method using sine/cosine:\n- $\\tan 3x = \\tan x \\Leftrightarrow \\frac{\\sin 3x}{\\cos 3x} = \\frac{\\sin x}{\\cos x}$\n- $\\Leftrightarrow \\sin 3x \\cos x = \\sin x \\cos 3x$ (với điều kiện $\\cos 3x \\neq 0, \\cos x \\neq 0$)\n- $\\Leftrightarrow \\sin 3x \\cos x - \\cos 3x \\sin x = 0$\n- $\\Leftrightarrow \\sin(3x - x) = 0$\n- $\\Leftrightarrow \\sin 2x = 0$\n- $\\Leftrightarrow 2x = k\\pi$\n- $\\Leftrightarrow x = \\frac{k\\pi}{2}$\n- Sau đó loại trừ các giá trị làm cho $\\cos x = 0$ hoặc $\\cos 3x = 0$, tức là loại trừ $x = \\frac{\\pi}{2} + m\\pi$, tức là loại trừ $k$ lẻ.\n- Còn lại $x = k\\pi$.\n\n✅ Đáp án: A\n\n❌ Các đáp","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"phương trình lượng giác cơ bản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình tanx=m","difficulty":"nhận biết"},{"id":5,"text":"Một bình đựng 9 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi rồi trả lại vào bình và tiếp tục lấy ra 1 bi. Xác suất để lấy bi thứ nhất màu đỏ và bi thứ hai màu xanh bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$\\dfrac{9}{16}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\dfrac{9}{16}$ chỉ là xác suất lấy được bi xanh trong một lần rút đơn lẻ, không phải là xác suất của biến cố kép \"thứ nhất đỏ và thứ hai xanh\" cần tính."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{63}{256}$","correct":true,"reason":"Đúng vì xác suất lấy bi đỏ lần đầu là $\\dfrac{7}{16}$, bi xanh lần hai là $\\dfrac{9}{16}$, và do lấy có hoàn trả nên hai biến cố độc lập, suy ra xác suất đồng thời là $\\dfrac{7}{16} \\cdot \\dfrac{9}{16} = \\dfrac{63}{256}$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{16}{256}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\dfrac{16}{256} = \\dfrac{1}{16}$ không phải là kết quả của phép nhân $\\dfrac{7}{16} \\cdot \\dfrac{9}{16}$, có thể do nhầm lẫn trong phép tính tử số hoặc mẫu số."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{9}{17}$","correct":false,"reason":"Sai vì tổng số bi là $9+7=16$ chứ không phải $17$, đồng thời $\\dfrac{9}{17}$ cũng không phải là tích của hai xác suất thành phần $\\dfrac{7}{16}$ và $\\dfrac{9}{16}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBình có 9 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ.\n\nLần lượt lấy ngẫu nhiên 1 viên rồi trả lại vào bình (lấy có hoàn trả), sau đó tiếp tục lấy 1 viên nữa.\n\nCần tính xác suất để bi thứ nhất là màu đỏ và bi thứ hai là màu xanh.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính xác suất của sự kiện \"bi thứ nhất màu đỏ và bi thứ hai màu xanh\".\n\nDo lấy có hoàn trả, hai lần lấy là các biến cố độc lập — ta sẽ nhân xác suất từng lần.\n\nCần biết công thức xác suất cho biến cố đồng thời của hai biến cố độc lập:\n$P(A \\text{ và } B)=P(A)\\cdot P(B).$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số bi trong bình: $16=9+7.$\n\nXác suất lấy bi thứ nhất màu đỏ:\n$P(\\text{thứ nhất đỏ})=\\dfrac{7}{16}.$\n\nVì sau lần lấy thứ nhất ta trả lại bi, nên thành phần bình không đổi; xác suất lấy bi thứ hai màu xanh là:\n$P(\\text{thứ hai xanh})=\\dfrac{9}{16}.$\n\nHai lần lấy độc lập nên:\n$P(\\text{thứ nhất đỏ và thứ hai xanh})=P(\\text{thứ nhất đỏ})\\cdot P(\\text{thứ hai xanh})=\\dfrac{7}{16}\\cdot\\dfrac{9}{16}.$\n\nNhân hai phân số:\n$\\dfrac{7}{16}\\cdot\\dfrac{9}{16}=\\dfrac{63}{256}.$\n\n✅ Đáp án: $B. \\dfrac{63}{256}$","chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập","grade":"GRADE_11","questionCategory":"công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập","difficulty":"nhận biết"},{"id":6,"text":"Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $\\log_{\\frac12}(x-1)>2$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$S=\\left(\\dfrac54;+\\infty\\right)$","correct":false,"reason":"Sai. Đáp án này xảy ra khi học sinh quên đổi chiều bất phương trình khi cơ số $0 < \\frac{1}{2} < 1$, giải sai thành $x-1 > \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 = \\frac{1}{4}$ thay vì $x-1 < \\frac{1}{4}$."},{"label":"B","text":"$S=(1;\\sqrt2)$","correct":false,"reason":"Sai. Có thể do nhầm lẫn khi tính giá trị lũy thừa $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2$ hoặc nhầm cơ số, dẫn đến khoảng nghiệm không chính xác."},{"label":"C","text":"$S=\\left(1;\\dfrac54\\right)$","correct":true,"reason":"Đúng. Với cơ số $\\frac{1}{2} < 1$, bất phương trình tương đương $0 < x-1 < \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 = \\frac{1}{4}$, kết hợp điều kiện $x > 1$ ta được $1 < x < \\frac{5}{4}$."},{"label":"D","text":"$S=\\left(-\\infty;\\dfrac54\\right)$","correct":false,"reason":"Sai. Do bỏ qua điều kiện xác định $x-1 > 0$ (tức $x > 1$), chỉ giải $x-1 < \\frac{1}{4}$ dẫn đến $x < \\frac{5}{4}$ và chọn khoảng $\\left(-\\infty; \\frac{5}{4}\\right)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho bất phương trình $\\log_{\\frac{1}{2}}(x-1) > 2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình lôgarit trên. Để giải, cần áp dụng:\n* **Điều kiện xác định** của hàm số lôgarit: cơ số dương và khác 1, thực số dương.\n* **Tính chất của hàm số lôgarit** khi cơ số $0 < a < 1$: hàm số nghịch biến (đồng biến ngược chiều), nghĩa là khi bỏ lôgarit, bất phương trình đổi chiều.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\n**Bước 1: Điều kiện xác định**\nĐể $\\log_{\\frac{1}{2}}(x-1)$ xác định thì thực số phải dương:\n$$x - 1 > 0 \\Leftrightarrow x > 1$$\n\n**Bước 2: Giải bất phương trình**\nCơ số của lôgarit là $a = \\frac{1}{2}$, ta có $0 < \\frac{1}{2} < 1$.\n\nBất phương trình đã cho:\n$$\\log_{\\frac{1}{2}}(x-1) > 2$$\n\nBiến đổi vế phải thành dạng lôgarit cùng cơ số:\n$$2 = \\log_{\\frac{1}{2}}\\left(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2\\right) = \\log_{\\frac{1}{2}}\\left(\\frac{1}{4}\\right)$$\n\nDo đó:\n$$\\log_{\\frac{1}{2}}(x-1) > \\log_{\\frac{1}{2}}\\left(\\frac{1}{4}\\right)$$\n\nVì cơ số $\\frac{1}{2} < 1$ (hàm số lôgarit nghịch biến), khi bỏ lôgarit ta đổi chiều bất phương trình:\n$$x - 1 < \\frac{1}{4}$$\n\nKết hợp với điều kiện xác định $x - 1 > 0$, ta được:\n$$0 < x - 1 < \\frac{1}{4}$$\n\n$$\\Leftrightarrow 1 < x < 1 + \\frac{1}{4}$$\n\n$$\\Leftrightarrow 1 < x < \\frac{5}{4}$$\n\nVậy tập nghiệm là $S = \\left(1; \\frac{5}{4}\\right)$.\n\n✅ Đáp án: C\n\n❌ Các đáp án khác:\n* **A. $S=\\left(\\frac{5}{4};+\\infty\\right)$:** Sai. Đáp án này xảy ra nếu học sinh quên đổi chiều bất phương trình khi cơ số nhỏ hơn 1 (tức là giải thành $x-1 > \\frac{1}{4}$), hoặc nhầm","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bất phương trình lôgarit","difficulty":"thông hiểu"},{"id":7,"text":"Cho góc $\\dfrac\\pi2<\\alpha<\\pi$. Khẳng định nào sau đây sai?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$\\tan\\alpha<0$","correct":false,"reason":"Với $\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<\\pi$ (góc phần tư II), ta có $\\sin\\alpha>0$ và $\\cos\\alpha<0$ nên $\\tan\\alpha=\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}<0$."},{"label":"B","text":"$\\cos\\alpha>0$","correct":true,"reason":"Với $\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<\\pi$ thuộc góc phần tư II, $\\cos\\alpha<0$, do đó khẳng định $\\cos\\alpha>0$ là sai."},{"label":"C","text":"$\\cot\\alpha<0$","correct":false,"reason":"Vì $\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<\\pi$ nên $\\cos\\alpha<0$ và $\\sin\\alpha>0$, suy ra $\\cot\\alpha=\\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}<0$."},{"label":"D","text":"$\\sin\\alpha>0$","correct":false,"reason":"Trong góc phần tư II ($\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<\\pi$), hàm số $\\sin\\alpha$ luôn nhận giá trị dương nên $\\sin\\alpha>0$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGóc $\\dfrac{\\pi}{2}<\\alpha<\\pi$. \n\nCác phương án: \nA: $\\tan\\alpha<0$ \n\nB: $\\cos\\alpha>0$ \n\nC: $\\cot\\alpha<0$ \n\nD: $\\sin\\alpha>0$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Khẳng định nào sau đây sai? — tức là tìm phương án chứa mệnh đề không đúng với góc đã cho. \n\nCần áp dụng kiến thức: dấu của các hàm lượng giác theo góc ở từng góc phần tư trên đường tròn lượng giác; công thức liên hệ giữa các hàm: $\\tan\\alpha=\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha},\\quad \\cot\\alpha=\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGóc $\\dfrac{\\pi}{2}<\\alpha<\\pi$ thuộc góc phần tư II. \n\nTrong góc phần tư II: $\\sin\\alpha>0,\\quad \\cos\\alpha<0.$ (đây là kiến thức cơ bản về dấu của sin và cos theo góc phần tư) \n\nTừ đó suy ra dấu của các hàm khác: \n$\\tan\\alpha=\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}$ với tử dương và mẫu âm nên $\\tan\\alpha<0.$ \n\n$\\cot\\alpha=\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}$ với tử âm và mẫu dương nên $\\cot\\alpha<0.$\n\nKiểm tra từng phương án: \nA: $\\tan\\alpha<0$ — đúng. \n\nB: $\\cos\\alpha>0$ — sai vì ta có $\\cos\\alpha<0$ trong góc phần tư II. \n\nC: $\\cot\\alpha<0$ — đúng. \n\nD: $\\sin\\alpha>0$ — đúng.\n\n✅ Đáp án: $B. \\cos\\alpha>0$","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"giá trị lượng giác của góc lượng giác","grade":"GRADE_11","questionCategory":"quan hệ giữa các giá trị lượng giác","difficulty":"nhận biết"},{"id":8,"text":"Phương trình $2\\cos x=-1$ có họ nghiệm là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$\\left{\\dfrac\\pi3+\\dfrac{k\\pi}2,,k\\in\\mathbb Z\\right}$","correct":false,"reason":"Phương án này sai vì $\\cos\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\frac{1}{2} \\neq -\\frac{1}{2}$ và chu kỳ $\\frac{\\pi}{2}$ không đúng."},{"label":"B","text":"$\\left{\\pm\\dfrac{2\\pi}3+k2\\pi,,k\\in\\mathbb Z\\right}$","correct":false,"reason":"Phương án này đúng vì từ $\\cos x = -\\frac{1}{2}$ ta có $x = \\pm \\arccos\\left(-\\frac{1}{2}\\right) + k2\\pi = \\pm \\frac{2\\pi}{3} + k2\\pi$ với $k \\in \\mathbb{Z}$."},{"label":"C","text":"$\\left{-\\dfrac\\pi3+\\dfrac{k\\pi}3,,k\\in\\mathbb Z\\right}$","correct":false,"reason":"Phương án này sai vì $\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\frac{1}{2} \\neq -\\frac{1}{2}$ và chu kỳ $\\frac{\\pi}{3}$ không đúng."},{"label":"D","text":"$\\left{\\dfrac{2\\pi}3+k\\pi,,k\\in\\mathbb Z\\right}$","correct":false,"reason":"Phương án này sai vì khi $k$ lẻ, ví dụ $k=1$, ta có $x = \\frac{2\\pi}{3} + \\pi = \\frac{5\\pi}{3}$ thì $\\cos\\left(\\frac{5\\pi}{3}\\right) = \\frac{1}{2} \\neq -\\frac{1}{2}$, do đó chu kỳ phải là $2\\pi$ chứ không phải $\\pi$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình lượng giác $2\\cos x = -1$ cần giải để tìm họ nghiệm tổng quát.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định tập nghiệm của phương trình dạng $\\cos x = a$ (phương trình lượng giác cơ bản). Cầ","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"phương trình lượng giác cơ bản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình cosx=m","difficulty":"nhận biết"},{"id":9,"text":"Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\\mathbb R$, liên tục tại $x=2$ và thỏa mãn $\\lim_{x\\to2}f(x)=4$. Khi đó ta phải gán $f(2)$ bằng bao nhiêu?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$f(2)=-1$","correct":false,"reason":"Giá trị $f(2)=-1$ khác với $\\lim_{x\\to 2}f(x)=4$, vi phạm định nghĩa liên tục tại điểm $x=2$ yêu cầu $f(2)=\\lim_{x\\to 2}f(x)$."},{"label":"B","text":"$f(2)=1$","correct":false,"reason":"Nếu $f(2)=1$ thì $f(2)\\neq\\lim_{x\\to 2}f(x)=4$, trái với điều kiện cần và đủ của tính liên tục tại $x=2$."},{"label":"C","text":"$f(2)=-4$","correct":false,"reason":"$f(2)=-4$ không bằng giới hạn $4$, không thỏa mãn định nghĩa hàm số liên tục tại $x=2$ là $\\lim_{x\\to 2}f(x)=f(2)$."},{"label":"D","text":"$f(2)=4$","correct":true,"reason":"Theo định nghĩa, hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi $f(2)=\\lim_{x\\to 2}f(x)$. Do đề cho $\\lim_{x\\to 2}f(x)=4$ nên suy ra $f(2)=4$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)$ được xác định trên $\\mathbb R$. \n\nHàm số liên tục tại $x=2$. \n\n$\\lim_{x\\to2} f(x)=4$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Khi biết hàm số liên tục tại $x=2$ và giới hạn tại điểm đó bằng $4$, ta phải gán giá trị $f(2)$ bằng bao nhiêu? \n\nKiến thức cần áp dụng: định nghĩa liên tục tại một điểm (tích hợp khái niệm giới hạn và giá trị hàm tại điểm đó).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo định nghĩa, hàm số $f$ liên tục tại điểm $x=2$ nghĩa là: \n$\\lim_{x\\to2} f(x)=f(2).$\n\nBài toán cho biết $\\lim_{x\\to2} f(x)=4$ và $f$ liên tục tại $2$, nên từ định nghĩa ta có: \n$f(2)=4.$\n\nKiểm tra bằng phản ví dụ để hiểu rõ: nếu một hàm có giới hạn bằng 4 nhưng không liên tục tại 2, thì giá trị tại 2 có thể khác 4, ví dụ \n$g(x)=\\begin{cases}4,&x\\ne2\\\\[4pt]1,&x=2\\end{cases}$ \nvới $\\lim_{x\\to2}g(x)=4$ nhưng $g(2)=1$ (không liên tục). Tuy nhiên trong đề bài hàm đã cho là liên tục tại 2, nên trường hợp như trên bị loại.\n\n✅ Đáp án: D. $f(2)=4$","chapter":"giới hạn. hàm số liên tục","topic":"hàm số liên tục","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hàm số liên tục tại một điểm","difficulty":"nhận biết"},{"id":10,"text":"Cho số thực dương $a$ khác $1$. Giá trị của biểu thức $\\log_2(4a)$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$2\\log_2 a$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm lẫn tính chất nhân $\\log_b(xy)=\\log_b x+\\log_b y$ thành phép nhân hệ số. Biểu thức $2\\log_2 a$ bằng $\\log_2(a^2)$ theo tính chất luỹ thừa, khác với $\\log_2(4a)$."},{"label":"B","text":"$2+\\log_2 a$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng tính chất $\\log_b(xy)=\\log_b x+\\log_b y$ ta có $\\log_2(4a)=\\log_2 4+\\log_2 a=2+\\log_2 a$ (do $4=2^2$ nên $\\log_2 4=2$)."},{"label":"C","text":"$4\\log_2 a$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm lẫn giữa tính chất nhân với tính chất luỹ thừa $\\log_b(x^n)=n\\log_b x$. Biểu thức $4\\log_2 a$ bằng $\\log_2(a^4)$, không phải $\\log_2(4a)$."},{"label":"D","text":"$4+\\log_2 a$","correct":false,"reason":"Sai vì tính nhầm giá trị $\\log_2 4=4$ thay vì $2$. Thực tế $4+\\log_2 a=\\log_2 16+\\log_2 a=\\log_2(16a)$, khác với $\\log_2(4a)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho số thực dương a và a ≠ 1.\n\nCần tìm giá trị của biểu thức $\\log_2(4a)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu biểu diễn $\\log_2(4a)$ dưới dạng đơn giản hơn (theo dạng chứa $\\log_2 a$).\n\nCần vận dụng kiến thức về phép biến đổi logarit, đặc biệt là tính chất: $\\log_b(xy)=\\log_b x+\\log_b y$ và giá trị $\\log_2 4$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng tính chất nhân trong logarit:\n$\\log_2(4a)=\\log_2 4+\\log_2 a.$\n\nTính $\\log_2 4$: vì $4=2^2$ nên $\\log_2 4=2.$\n\nThay vào biểu thức:\n$\\log_2(4a)=2+\\log_2 a.$\n\nKiểm tra bằng ví dụ: lấy $a=2$. Ta có $\\log_2(4\\cdot2)=\\log_2 8=3$ và $2+\\log_2 2=2+1=3$ — đúng.\n\n✅ Đáp án: B. $2+\\log_2 a$","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"tính chất của lôgarit","difficulty":"nhận biết"},{"id":11,"text":"Điểm thi môn Toán của hai lớp 11A và 11B được cho trong bảng sau, biết mỗi lớp có 50 học sinh. Lớp nào có điểm thi trung bình cao hơn?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$\\text{Điểm thi trung bình của lớp 11A bằng lớp 11B.}$","correct":false},{"label":"B","text":"$\\text{Đáp án khác.}$","correct":false},{"label":"C","text":"$\\text{Điểm thi trung bình của lớp 11B cao hơn lớp 11A.}$","correct":false},{"label":"D","text":"$\\text{Điểm thi trung bình của lớp 11A cao hơn lớp 11B.}$","correct":true}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng phân bố điểm thi Toán của hai lớp, mỗi lớp có 50 học sinh\n\nCác lớp điểm: $[0;2),\\ [2;4),\\ [4;6),\\ [6;8),\\ [8;10)$\n\nSố học sinh:\nLớp 11A: $2,\\ 4,\\ 12,\\ 28,\\ 4$\n\nLớp 11B: $4,\\ 10,\\ 17,\\ 14,\\ 5$\n\nTrung điểm các lớp điểm lần lượt là: $1,\\ 3,\\ 5,\\ 7,\\ 9$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần so sánh điểm thi trung bình của hai lớp.\n\nDùng công thức tính trung bình cho bảng số liệu ghép lớp:\n$\\overline{x}=\\frac{\\sum f_i x_i}{\\sum f_i}$\ntrong đó $x_i$ là trung điểm lớp, $f_i$ là tần số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính điểm trung bình lớp 11A:\n$\\overline{x}_{11A} =\\frac{2\\cdot1+4\\cdot3+12\\cdot5+28\\cdot7+4\\cdot9}{50} =\\frac{306}{50} =6{,}12$\n\nTính điểm trung bình lớp 11B:\n$\\overline{x}_{11B} =\\frac{4\\cdot1+10\\cdot3+17\\cdot5+14\\cdot7+5\\cdot9}{50} =\\frac{262}{50} =5{,}24$\n\nSo sánh:\n$\\overline{x}*{11A} > \\overline{x}*{11B}$\n\n✅ Đáp án: D. Lớp 11A có điểm thi trung bình cao hơn lớp 11B.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-thuan-thanh-so-1-tinh-bac-ninh-2026-co-dap-an/1K3Rr4MPQEZKUlRTv9JgaTZSBlol3PNb-_2026-02-05024116.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6984034ed50880d311befb14","options":[{"label":"A","text":"$(3^x)'=3^x\\ln3$","reason":"Áp dụng công thức $(a^x)' = a^x \\ln a$ với $a=3$, ta có $(3^x)' = 3^x \\ln 3$. Đây là kết quả đúng theo quy tắc đạo hàm của hàm số mũ."},{"label":"B","text":"$(e^{2x})'=e^{2x}$","correct":true,"reason":"Khi tính đạo hàm của $e^{2x}$ phải áp dụng quy tắc đạo hàm hàm số hợp: $(e^{u})' = e^u \\cdot u'$ với $u=2x$, suy ra $(e^{2x})' = 2e^{2x}$. Phương án B thiếu hệ số $2$ nên cho kết quả sai."},{"label":"C","text":"$(\\log_3 x)'=\\dfrac1{x\\ln3}$","reason":"Theo công thức $(\\log_a x)' = \\frac{1}{x\\ln a}$ với cơ số $a=3$, ta có $(\\log_3 x)' = \\frac{1}{x\\ln 3}$. Đây là kết quả chính xác."},{"label":"D","text":"$(10^x)'=10^x\\ln10$","reason":"Áp dụng công thức $(a^x)' = a^x \\ln a$ với $a=10$, ta được $(10^x)' = 10^x \\ln 10$. Kết quả này đúng theo công thức đạo hàm hàm số mũ tổng quát."}],"chapter":"đạo hàm","topic":"các quy tắc tính đạo hàm.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"đạo hàm của một số hàm số thường gặp","difficulty":"nhận biết","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCâu hỏi đưa ra bốn phương án tính đạo hàm của các hàm số: $(3^x)'$, $(e^{2x})'$, $(\\log_3 x)'$, $(10^x)'$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định kết quả tính đạo hàm nào trong các phương án A, B, C, D là sai.\nKiến thức áp dụng: Công thức đạo hàm của hàm số mũ $(a^x)' = a^x \\ln a$, đạo hàm của hàm số logarit $(\\log_a x)' = \\frac{1}{x\\ln a}$, và quy tắc đạo hàm hàm số hợp $(e^{u})' = e^u \\cdot u'$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n1. Kiểm tra phương án A: Áp dụng công thức $(a^x)' = a^x \\ln a$ với $a=3$, ta có $(3^x)' = 3^x \\ln 3$. Kết quả đúng.\n2. Kiểm tra phương án D: Áp dụng công thức $(a^x)' = a^x \\ln a$ với $a=10$, ta có $(10^x)' = 10^x \\ln 10$. Kết quả đúng.\n3. Kiểm tra phương án C: Áp dụng công thức $(\\log_a x)' = \\frac{1}{x\\ln a}$ với $a=3$, ta có $(\\log_3 x)' = \\frac{1}{x\\ln 3}$. Kết quả đúng.\n4. Kiểm tra phương án B: Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm số hợp cho $y = e^{2x}$. Đặt $u = 2x$, suy ra $u' = 2$. Ta có $(e^{2x})' = e^{2x} \\cdot (2x)' = 2e^{2x}$. Phương án B cho kết quả là $e^{2x}$ (thiếu hệ số $2$), do đó sai.\n\n✅ Đáp án: B\n❌ Các đáp án khác:\n- A: $(3^x)' = 3^x \\ln 3$ — đúng theo công thức $(a^x)' ="},{"id":13,"text":"Cho hai biểu thức $f(x)=0,1^{x^2-3x+m}$ và $g(x)=10^{1-x}$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6984034ed50880d311befb15","statements":[{"label":"A","text":"Khi $m=2$ thì bất phương trình $f(x)\\ge g(x)$ có $3$ nghiệm nguyên.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai biểu thức: $f(x)=0{.}1^{x^2-3x+m}$ và $g(x)=10^{1-x}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét lựa chọn A: \"Khi $m=2$ thì bất phương trình $f(x)\\ge g(x)$ có $3$ nghiệm nguyên.\".\n\nCần so sánh hai hàm mũ và chuyển về bất phương trình đa thức bậc hai để đếm nghiệm nguyên.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại $f(x)$ theo cơ số $10$: $0{.}1=10^{-1}$, nên $f(x)=\\left(10^{-1}\\right)^{x^2-3x+m}=10^{-x^2+3x-m}.$ \n\nVì hàm mũ cơ số $10>1$ đồng biến theo mũ nên $f(x)\\ge g(x)\\iff -x^2+3x-m\\ge 1-x.$ \n\nSắp xếp: $-x^2+3x-m-(1-x)\\ge0\\iff -x^2+4x-(m+1)\\ge0\\iff x^2-4x+(m+1)\\le0.$ \n\nThay $m=2$: ta có $x^2-4x+3\\le0\\iff (x-1)(x-3)\\le0\\iff x\\in[1,3].$ \n\nCác nghiệm nguyên trong đoạn này là $x=1,2,3$ — đúng là $3$ nghiệm nguyên.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Khi $m=-4$ thì bất phương trình $f(x)<1$ có tập nghiệm là $(-\\infty;-1)\\cup(4;+\\infty)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai biểu thức: $f(x)=0{.}1^{x^2-3x+m}$ và $g(x)=10^{1-x}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét lựa chọn B: \"Khi $m=-4$ thì bất phương trình $f(x)<1$ có tập nghiệm là $(-\\infty,-1)\\cup(4,+\\infty)$.\".\n\nCần chuyển điều kiện $f(x)<1$ về điều kiện trên biểu thức mũ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại $f(x)$: $f(x)=10^{-x^2+3x-m}.$ \n\nVì $10^t<1\\iff t<0$, nên $f(x)<1\\iff -x^2+3x-m<0.$ \n\nSắp xếp: $-x^2+3x-m<0\\iff x^2-3x+m>0.$ \n\nThay $m=-4$: $x^2-3x-4>0\\iff (x-4)(x+1)>0.$ \n\nGiải bất phương trình: nghiệm là $x<-1$ hoặc $x>4$, tức $(-\\infty,-1)\\cup(4,+\\infty).$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"$f(x)\\le g(x)$ với mọi $x\\in\\mathbb R$ khi và chỉ khi $m\\le3$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai biểu thức: $f(x)=0{.}1^{x^2-3x+m}$ và $g(x)=10^{1-x}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét lựa chọn C: \"$f(x)\\le g(x)$ với mọi $x\\in\\mathbb R$ khi và chỉ khi $m\\le3$.\".\n\nCần tìm điều kiện trên $m$ để bất đẳng thức đúng với mọi $x\\in\\mathbb R$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nSo sánh như trên: $f(x)\\le g(x)\\iff -x^2+3x-m\\le 1-x$ \n\nSuy ra: $-x^2+4x-(m+1)\\le0\\iff x^2-4x+(m+1)\\ge0\\,\\text{ với mọi }x.$ \n\nĐa thức bậc hai $x^2-4x+(m+1)$ luôn không âm với mọi $x$ khi hệ số cao nhất dương (đúng) và \nđịnh thức (discriminant) $\\Delta=(-4)^2-4(m+1)=16-4(m+1)\\le0.$ \n\nGiải điều kiện: $16-4(m+1)\\le0\\iff 12-4m\\le0\\iff m\\ge3.$ \n\nDo đó điều kiện đúng là $m\\ge3$ chứ không phải $m\\le3$. Ví dụ phản ví dụ: nếu $m=0$ thì $x=2$ cho $x^2-4x+(m+1)=4-8+1=-3<0$ nên bất đẳng thức không đúng với mọi $x$.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Bất phương trình $g(x)>100$ có tập nghiệm là $(-\\infty;3)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai biểu thức: $f(x)=0{.}1^{x^2-3x+m}$ và $g(x)=10^{1-x}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét lựa chọn D: \"Bất phương trình $g(x)>100$ có tập nghiệm là $(-\\infty,3)$.\".\n\nCần giải bất phương trình mũ $10^{1-x}>100$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại: $g(x)>100\\iff 10^{1-x}>10^2\\iff 1-x>2$ (vì cơ số $10>1$). \n\nSuy ra: $-x>1\\iff x<-1.$ \n\nVậy tập nghiệm là $(-\\infty,-1)$, khác với khẳng định $(-\\infty,3)$. \n\nKiểm tra phản ví dụ: với $x=0\\in(-\\infty,3)$ ta có $g(0)=10^{1}=10\\not>100$, mâu thuẫn với khẳng định.\n\n✅ Đáp án: Sai"}],"chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"bài tập cuối chương vi.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 6","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ có cạnh bằng $a$. Gọi $I$ là giao điểm của $EG$ và $HF$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6984034ed50880d311befb15","statements":[{"label":"A","text":"Khoảng cách giữa $AE$ và $BH$ bằng $a$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lập phương $ABCD.EFGH$ có cạnh bằng $a$.\n\nGọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo $EG$ và $HF$ (điểm tâm của mặt trên).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu kiểm tra: \"Khoảng cách giữa $AE$ và $BH$ bằng $a$.\" (cần so sánh khoảng cách tính được với $a$).\n\nCần biết khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo (skew lines) trong không gian và cách tính.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTa chọn hệ trục: $A(0,0,0),\\;B(a,0,0),\\;C(a,a,0),\\;D(0,a,0),\\;E(0,0,a),\\;F(a,0,a),\\;G(a,a,a),\\;H(0,a,a).$ (theo hình lập phương chuẩn).\n\nĐường thẳng $AE$: một điểm là $A(0,0,0)$ và vectơ hướng $\\vec{u}=(0,0,1)$.\n\nĐường thẳng $BH$: đi qua $B(a,0,0)$ đến $H(0,a,a)$ nên vectơ hướng $\\vec{v}=H-B=(-a,a,a)$.\n\nKhoảng cách giữa hai đường chéo không song song được cho bởi công thức\n$d=\\dfrac{|\\,(\\vec{r})\\cdot(\\vec{u}\\times\\vec{v})\\,|}{|\\vec{u}\\times\\vec{v}|},$\nvới $\\vec{r} = \\overrightarrow{AB} = (a,0,0).$\n\nTính tích vô hướng: $\\vec{u}\\times\\vec{v}=(0,0,1)\\times(-a,a,a)=(-a,-a,0).$\n\nTa có $|\\vec{u}\\times\\vec{v}|=a\\sqrt{2}$ và $|(a,0,0)\\cdot(-a,-a,0)|=a^2.$\n\nVậy\n$d=\\dfrac{a^2}{a\\sqrt{2}}=\\dfrac{a}{\\sqrt2}=\\dfrac{a\\sqrt2}{2}.$\n\nSo sánh: $\\dfrac{a}{\\sqrt2}\\neq a\\;\\; (\\text{vì }\\dfrac{1}{\\sqrt2}<1).$\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AI$ và $DG$ bằng $\\dfrac{a\\sqrt5}{5}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lập phương $ABCD.EFGH$, cạnh bằng $a$.\n\n$I$ là giao điểm của $EG$ và $HF$ (tâm mặt trên, tọa độ $(\\tfrac{a}{2},\\tfrac{a}{2},a)$).\n\nCần kiểm tra: khoảng cách giữa hai đường thẳng $AI$ và $DG$ có bằng $\\dfrac{a\\sqrt5}{5}$ hay không.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo trong không gian và so sánh với giá trị đã cho.\n\nÁp dụng phương pháp tọa độ và công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChọn hệ trục như trước: $A(0,0,0),\\;D(0,a,0),\\;G(a,a,a).$\n\nTọa độ của $I$: giao điểm hai đường chéo của mặt trên là tâm mặt trên $I\\left(\\tfrac{a}{2},\\tfrac{a}{2},a\\right).$\n\nVectơ hướng của $AI$: $\\vec{u}=I-A=\\left(\\tfrac{a}{2},\\tfrac{a}{2},a\\right)=a\\left(\\tfrac12,\\tfrac12,1\\right).$\n\nVectơ hướng của $DG$: $\\vec{v}=G-D=(a,0,a)=a(1,0,1).$\n\nĐiểm bất kỳ trên $AI$ lấy là $A(0,0,0)$, trên $DG$ lấy là $D(0,a,0)$ nên $\\vec{r}=\\overrightarrow{AD}=(0,a,0)=a(0,1,0).$\n\nTa dùng công thức\n$d=\\dfrac{|\\vec{r}\\cdot(\\vec{u}\\times\\vec{v})|}{|\\vec{u}\\times\\vec{v}|}.$\n\nTính nhanh bằng tách hệ số: với $\\vec{u}'=(\\tfrac12,\\tfrac12,1),\\;\\vec{v}'=(1,0,1),\\;\\vec{r}'=(0,1,0)$ ta có\n$\\vec{u}'\\times\\vec{v}'=\\tfrac12(1,1,-1),\\; (\\vec{r}')\\cdot(\\vec{u}'\\times\\vec{v}')=\\tfrac12,\\; |\\vec{u}'\\times\\vec{v}'|=\\tfrac12\\sqrt3.$ \n\nDo đó\n$d=a\\cdot\\dfrac{\\tfrac12}{\\tfrac12\\sqrt3}=\\dfrac{a}{\\sqrt3}.$\n\nSo sánh: $\\dfrac{a}{\\sqrt3}\\approx0.577a\\quad\\text{không bằng}\\quad\\dfrac{a\\sqrt5}{5}\\approx0.447a.$\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $EG$ bằng $a$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lập phương $ABCD.EFGH$, cạnh bằng $a$.\n\nCần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ (đường chéo của đáy) và $EG$ (đường chéo của mặt trên).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu khẳng định: khoảng cách giữa $BD$ và $EG$ bằng $a$.\n\nCần dùng ý tưởng khoảng cách giữa hai đường nằm trong hai mặt phẳng song song (ở đây hai mặt phẳng $z=0$ và $z=a$) và kiểm tra có tồn tại đoạn vuông góc chung thẳng đứng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTọa độ như trước: điểm giữa của $BD$ là $M\\left(\\tfrac{a}{2},\\tfrac{a}{2},0\\right)$ (vì $BD$ đi từ $B(a,0,0)$ đến $D(0,a,0)$).\n\nĐiểm giữa của $EG$ là $N\\left(\\tfrac{a}{2},\\tfrac{a}{2},a\\right)$ (vì $EG$ đi từ $E(0,0,a)$ đến $G(a,a,a)$).\n\nĐoạn $MN$ là đoạn thẳng đứng có chiều dài $a$, phương thẳng đứng $(0,0,1)$ trực giao với cả hai vectơ hướng của $BD$ và $EG$ (vì cả hai vectơ hướng có thành phần $z=0$).\n\nDo đó $MN$ là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng và bằng $a$. Vậy khoảng cách giữa $BD$ và $EG$ là $a$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AE$ và $GH$ là $EH$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lập phương $ABCD.EFGH$, cạnh bằng $a$.\n\nXét hai đường thẳng $AE$ và $GH$; khẳng định cần kiểm tra: \"Đoạn vuông góc chung của $AE$ và $GH$ là $EH$.\"\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần kiểm tra xem đoạn nối hai điểm thuộc hai đường thẳng (ở đây $E\\in AE$ và $H\\in GH$) có phải là đoạn vuông góc chung (perpendicular common segment) không.\n\nPhải chứng minh $EH\\perp AE$ và $EH\\perp GH$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVectơ hướng của $AE$: $\\vec{u}=(0,0,1)$ (theo trục $z$).\n\nVectơ hướng của $GH$: $\\vec{v}=H-G=(0,a,a)-(a,a,a)=(-a,0,0)$ (nằm trên trục $x$ hướng ngang tại $y=a,z=a$).\n\nVectơ của đoạn $EH$: $\\vec{w}=H-E=(0,a,a)-(0,0,a)=(0,a,0)$ (nằm trên trục $y$ tại $z=a$).\n\nTính tích vô hướng: $\\vec{w}\\cdot\\vec{u}=0\\;\\Rightarrow\\;EH\\perp AE.$\n\nTương tự: $\\vec{w}\\cdot\\vec{v}=(0,a,0)\\cdot(-a,0,0)=0\\;\\Rightarrow\\;EH\\perp GH.$\n\nVì $EH$ nối một điểm thuộc $AE$ và một điểm thuộc $GH$ và vuông góc với cả hai, nên nó là đoạn vuông góc chung.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"bài tập cuối chương vii.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 7","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s(t)=t^3-3t^2+7t-2$, trong đó $t>0$ tính bằng giây và $s$ là quãng đường chuyển động được của vật trong $t$ giây tính bằng mét.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6984034ed50880d311befb15","statements":[{"label":"A","text":"Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng $16m/s$ là $10(m/s^2)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vị trí của vật: $s(t)=t^3-3t^2+7t-2$ với $t>0$ (giây), $s$ tính bằng mét.\n\nVận tốc: $v(t)=s'(t)$; gia tốc: $a(t)=v'(t)=s''(t)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi kiểm tra phát biểu: \"Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc bằng $16\\ \\text{m/s}$ là $10\\ \\text{(m/s}^2)$\".\n\nCần tìm thời điểm $t$ sao cho $v(t)=16$ rồi tính $a(t)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính vận tốc: $v(t)=s'(t)=3t^2-6t+7$.\n\nGiải phương trình $v(t)=16:\\quad 3t^2-6t+7=16\\Rightarrow 3t^2-6t-9=0$. Chia 3: $t^2-2t-3=0\\Rightarrow (t-3)(t+1)=0$. Vì $t>0$ nên lấy $t=3$.\n\nTính gia tốc: $a(t)=s''(t)=6t-6$, do đó $a(3)=6\\cdot3-6=18-6=12\\ \\text{(m/s}^2)$.\n\nSo gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 16 là $12\\ \\text{(m/s}^2)$, không phải $10\\ \\text{(m/s}^2)$.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Gia tốc của vật tại thời điểm $t=2$ là $6(m/s^2)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vị trí: $s(t)=t^3-3t^2+7t-2$ với $t>0$.\n\nGia tốc là đạo hàm bậc hai: $a(t)=s''(t)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: \"Gia tốc của vật tại thời điểm $t=2$ là $6\\ \\text{(m/s}^2)$?\"\n\nCần tính $a(2)$ bằng cách lấy đạo hàm bậc hai của $s(t)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính vận tốc: $v(t)=s'(t)=3t^2-6t+7$ (để nhớ cấu trúc), rồi gia tốc: $a(t)=s''(t)=6t-6$.\n\nThay $t=2$: $a(2)=6\\cdot2-6=12-6=6\\ \\text{(m/s}^2)$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Tốc độ của vật tại thời điểm $t=2$ là $7(m/s)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vị trí: $s(t)=t^3-3t^2+7t-2$, $t>0$.\n\nVận tốc: $v(t)=s'(t)=3t^2-6t+7$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: \"Tốc độ của vật tại thời điểm $t=2$ là $7\\ \\text{(m/s)}$?\"\n\nCần tính $v(2)$ bằng cách thay trực tiếp vào biểu thức của $v(t)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính vận tốc: $v(t)=3t^2-6t+7$.\n\nThay $t=2$: $v(2)=3\\cdot2^2-6\\cdot2+7=3\\cdot4-12+7=12-12+7=7\\ \\text{(m/s)}$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Thời điểm $t=1$ tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vị trí: $s(t)=t^3-3t^2+7t-2$ với $t>0$.\n\nVận tốc: $v(t)=s'(t)=3t^2-6t+7$; gia tốc: $a(t)=v'(t)=6t-6$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: \"Thời điểm $t=1$ tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất.\" Kiểm tra xem $t=1$ có phải là điểm cực trị (cực tiểu) của $v(t)$ hay không.\n\nCần dùng đạo hàm của $v(t)$ (tức $a(t)$) và tính xét dấu hoặc dùng tính chất đồ thị parabol.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm của vận tốc: $v'(t)=a(t)=6t-6$.\n\nGiải $v'(t)=0\\Rightarrow 6t-6=0\\Rightarrow t=1$, nên $t=1$ là điểm tới hạn của $v$.\n\nKiểm tra tính chất: đạo hàm bậc hai của $v$ là $v''(t)=6>0$ (hằng dương), hoặc nhận thấy $v(t)=3t^2-6t+7$ là một parabol mở lên (hệ số $3>0$), do đó điểm tới hạn là một cực tiểu.\n\nVậy $t=1$ là thời điểm vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"đạo hàm","topic":"bài tập cuối chương ix.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 9","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Khi xe đạp di chuyển, van $V$ của bánh xe quay quanh trục $O$ theo chiều kim đồng hồ với tốc độ không đổi $12rad/s$. Ban đầu van $V$ ở vị trí $A$. Sau $2$ phút di chuyển, khoảng cách từ van $V$ đến mặt đất là $h$, biết bán kính $OA=60cm$. Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6984034ed50880d311befb15","statements":[{"label":"A","text":"Với mỗi góc lượng giác $(OA,OV)=\\alpha$, sau $25$ vòng quay bánh xe thì $(OA,OV)=\\beta$ ta luôn có $\\sin\\beta=\\sin\\alpha$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBánh trước có tâm O, van V nằm trên và quay quanh O.\n\nXét hai góc lượng giác (OA,OV)=α và sau 25 vòng quay được góc (OA,OV)=β.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu khẳng định: sau 25 vòng quay, với (OA,OV)=β, ta luôn có $\\sin\\beta=\\sin\\alpha$.\n\nCần áp dụng kiến thức về chu kỳ của hàm số sin và số vòng quay (góc thay đổi là bội của $2\\pi$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nKhi quay 25 vòng tròn đầy, góc thay đổi là $25\\times 2\\pi\\;\\text{(radian)}$.\n\nNếu ban đầu góc là $\\alpha$ thì góc sau là $\\beta=\\alpha+25\\cdot 2\\pi\\,.$\n\nÁp dụng tính chất chu kỳ của hàm sin: $\\sin(\\theta+2k\\pi)=\\sin\\theta\\quad(k\\in\\mathbb Z).$\n\nVậy $\\sin\\beta=\\sin(\\alpha+25\\cdot2\\pi)=\\sin\\alpha\\,.$\n\n(Hình ảnh hỗ trợ: van V quay xung quanh tâm O; 25 vòng là một số nguyên vòng đầy, nên vị trí góc chỉ khác đi bội của $2\\pi$.)\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"$h=114,78cm$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBán kính $OA=60\\,\\text{cm}.$\n\nTốc độ góc: $\\omega=12\\,\\text{rad/s}$ (quay theo chiều kim đồng hồ).\n\nThời gian: $t=2\\,\\text{phút}=120\\,\\text{s}.$\n\nBan đầu van V ở vị trí A (trên trục +x theo hình).\n\nYêu cầu: khoảng cách từ V đến mặt đất là $h$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính tọa độ tung y của V sau khi quay trong thời gian cho trước và từ đó tìm khoảng cách đến mặt đất.\n\nÁp dụng công thức chuyển động quay: tọa độ theo góc và quan hệ giữa tâm O và mặt đất (mặt đất tại $y=-R$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng góc quay (theo quy ước lượng giác, quay theo chiều kim đồng hồ là âm):\n$\\theta=\\omega t=12\\cdot120=1440\\,\\text{rad}$\nnên góc hướng tới là $-1440\\,\\text{rad}$ (hoặc xét dư mod $2\\pi$).\n\nTọa độ tung của V so với tâm O là $y_V=R\\sin\\theta\\quad\\text{với }R=60\\,\\text{cm}.$\n\nMặt đất theo hình nằm ở $y_{mặt\\,đất}=-R=-60\\,\\text{cm}.$\n\nDo đó khoảng cách từ V đến mặt đất:\n$h=y_V-(-R)=R(1+\\sin\\theta).$\n\nRút gọn góc: $1440=229\\cdot2\\pi+1.1505646559\\,\\text{(xấp xỉ)}$ nên\n$\\theta\\equiv-1.1505646559\\,\\text{rad (mod }2\\pi).$\n\nTính sin: $\\sin\\theta=\\sin(-1.1505646559)\\approx-0.91474.$\n\nVậy\n$h=60\\big(1-0.91474\\big)\\approx60\\times0.08526\\approx5.12\\,\\text{cm}.$\n(Làm tròn đến hai chữ số thập phân: $h\\approx5.12\\,\\text{cm}$.)\n\nNhận xét: giá trị $114.78\\,\\text{cm}$ do đáp án B nêu là không đúng (vượt quá vị trí tương ứng với góc tính được và khác với kết quả tính).\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Khi góc $\\alpha=20^\\circ$ thì số đo góc lượng giác $(OA,OV)=20^\\circ+k.360^\\circ\\ (k\\in\\mathbb Z)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình vẽ cho thấy van V nằm ở phần dưới, phía phải của tâm O (hình ảnh V ở góc phần tư IV).\n\nCho một góc cụ thể $\\alpha=20^\\circ.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu khẳng định: khi $\\alpha=20^\\circ$ thì số đo góc lượng giác $(OA,OV)=20^\\circ+k\\cdot360^\\circ\\ (k\\in\\mathbb Z).$\n\nCần xét định nghĩa \"góc lượng giác\" trong hình (góc có hướng) và vị trí thực tế của V trên hình.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuy ước: góc lượng giác (góc có hướng) lấy dương khi quay ngược chiều kim đồng hồ, và âm khi quay theo chiều kim đồng hồ.\n\nNếu điểm V theo hình nằm ở góc phần tư IV (dưới trục Ox), thì một góc nhỏ cùng vị trí với giá trị tuyệt đối $20^\\circ$ sẽ có số đo bằng $-20^\\circ$ (hoặc tương đương $340^\\circ$), chứ không phải luôn là $+20^\\circ$.\n\nDạng tổng quát của các góc đồng vị (cùng hướng) là $\\theta=\\theta_0+k\\cdot360^\\circ\\ (k\\in\\mathbb Z).$\n\nNếu trong bài người ta cho vị trí V nằm ở phần tư IV, và nếu góc với hướng như hình có giá trị tuyệt đối $20^\\circ$ thì biểu diễn chính xác phải là $(OA,OV)=-20^\\circ+k\\cdot360^\\circ\\quad(\\text{hoặc }340^\\circ+k\\cdot360^\\circ).$\n\nVì vậy phát biểu chỉ nêu $20^\\circ+k\\cdot360^\\circ$ là không đúng trong ngữ cảnh vị trí V như hình.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Biết $\\cos\\alpha=\\dfrac35$, và vị trí van $V$ như hình vẽ. Khi đó $\\sin\\alpha=-\\dfrac45$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBiết $\\cos\\alpha=\\dfrac35$.\n\nVị trí van V như hình ở góc phần tư IV (dưới trục Ox), tức tung độ âm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm dấu của $\\sin\\alpha$ dựa vào giá trị cos và vị trí của góc trong hình.\n\nÁp dụng định lý Pythagore cho sin và cos: $\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha=1.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ $\\cos\\alpha=\\dfrac35$ suy ra\n$\\sin^2\\alpha=1-\\cos^2\\alpha=1-\\Big(\\dfrac35\\Big)^2=1-\\dfrac{9}{25}=\\dfrac{16}{25}.$\n\nVậy $\\sin\\alpha=\\pm\\dfrac{4}{5}.$\n\nDựa trên hình, V nằm ở góc phần tư IV nên tung độ âm, nghĩa là $\\sin\\alpha<0.$\n\nDo đó ta chọn dấu âm: $\\sin\\alpha=-\\dfrac{4}{5}\\,.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-thuan-thanh-so-1-tinh-bac-ninh-2026-co-dap-an/1Hsbxn78BzLNk9tTn_6GrTLkzmZaTfK3D_2026-02-05024114.png"],"chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"bài tập cuối chương i.","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Ba bạn An, Bình, Nam chơi phi tiêu, ai phi trúng mục tiêu trước thì người đó thắng cuộc chơi và được hai bạn còn lại mua tặng vé xem trận bán kết AFF Suzuki Cup 2018 của tuyển Việt Nam. Thứ tự chơi lần lượt là: An, Bình, Nam; An, Bình, Nam; $\\ldots$ Xác suất phi trúng mục tiêu trong một lần phi tiêu của An, Bình, Nam tương ứng là $0{,}2;0{,}4;0{,}6$. Gọi $P_1,P_2,P_3$ lần lượt là xác suất giành chiến thắng của ba bạn An, Bình, Nam. Khi đó xác suất giành chiến thắng của Bình là bao nhiêu (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6984034ed50880d311befb16","correctAnswer":"0,40","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nThứ tự bắn lặp lại: An → Bình → Nam → An → Bình → Nam → …\n\nXác suất trúng mỗi lần:\nAn: $p_A=0{,}2 \\Rightarrow \\overline p_A=0{,}8$ (trượt)\n\nBình: $p_B=0{,}4 \\Rightarrow \\overline p_B=0{,}6$\n\nNam: $p_N=0{,}6 \\Rightarrow \\overline p_N=0{,}4$\n\nAi trúng trước thì thắng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất Bình thắng.\n\nNhận ra: nếu cả 3 người đều trượt trong một “vòng” (An, Bình, Nam) thì trò chơi quay lại y hệt ban đầu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nKí hiệu:\n$\\overline A$: An trượt, $B$: Bình trúng, $\\overline B$: Bình trượt, $\\overline N$: Nam trượt.\n\nBình thắng có thể xảy ra theo các kiểu (đúng như hình bạn gửi):\nThắng ngay vòng 1: $X_1=\\overline A,B$\n\nThắng ở vòng 2: $X_2=\\overline A,\\overline B,\\overline N,\\overline A,B$\n\nThắng ở vòng 3: $X_3=\\overline A,\\overline B,\\overline N,\\overline A,\\overline B,\\overline N,\\overline A,B$\n\n…\n⇒ Bình thắng là hợp các biến cố rời nhau:\n$X=X_1\\cup X_2\\cup X_3\\cup\\cdots$\n\nTính xác suất từng kiểu:\n$P(X_1)=P(\\overline A)P(B)=0{,}8\\cdot 0{,}4=0{,}32.$\n\nĐặt “trượt cả vòng”:\n$q=P(\\overline A,\\overline B,\\overline N)=0{,}8\\cdot 0{,}6\\cdot 0{,}4=0{,}192.$\n\nKhi đó:\n$P(X_2)=q\\cdot 0{,}32,\\quad P(X_3)=q^2\\cdot 0{,}32,\\ \\ldots$\n\nVậy:\n$P(X)=0{,}32\\left(1+q+q^2+\\cdots\\right) =0{,}32\\cdot \\frac{1}{1-q} =0{,}32\\cdot \\frac{1}{1-0{,}192}.$\n$P(X)=\\frac{0{,}32}{0{,}808}\\approx 0{,}3960 \\approx 0{,}40.$\n\n✅ Đáp án: 0,40","chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"xác suất có điều kiện","grade":"GRADE_12","questionCategory":"xác suất có điều kiện","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":18,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{2x-1}{x+5}$ có đồ thị $(C)$. Diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng $-6$ và hai trục tọa độ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6984034ed50880d311befb16","correctAnswer":"284","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$y=\\dfrac{2x-1}{x+5} \\ (C)$\n\nĐiểm tiếp xúc $M$ có hoành độ $x_M=-6$\n\nCần tính diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm tọa độ $M(-6;y_M)$ trên $(C)$\n\nTính đạo hàm để lấy hệ số góc tiếp tuyến $k=y'(-6)$\n\nLập phương trình tiếp tuyến, tìm giao điểm với $Ox, Oy$ rồi tính diện tích\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm điểm $M$:\n$x=-6 \\Rightarrow y=\\dfrac{2(-6)-1}{-6+5}=\\dfrac{-13}{-1}=13$\n\n$\\Rightarrow M(-6;13)$\n\nTính đạo hàm:\n$y=\\dfrac{2x-1}{x+5}\\Rightarrow y'=\\dfrac{2(x+5)-(2x-1)}{(x+5)^2}=\\dfrac{11}{(x+5)^2}$\n\nTính hệ số góc tiếp tuyến tại $M$:\n$k=y'(-6)=\\dfrac{11}{(-6+5)^2}=\\dfrac{11}{(-1)^2}=11$\n\nViết phương trình tiếp tuyến $\\Delta$ tại $M(-6;13)$:\n$\\Delta:\\ y-13=11(x+6)$\n\n$\\Rightarrow y=11x+79$\n\nTìm giao điểm với hai trục:\nVới $Oy$: $x=0\\Rightarrow y=79 \\Rightarrow OB=|79|$\n\nVới $Ox$: $y=0\\Rightarrow 11x+79=0\\Rightarrow x=-\\dfrac{79}{11}\\Rightarrow OA=\\left|-\\dfrac{79}{11}\\right|=\\dfrac{79}{11}$\n\nDiện tích tam giác tạo bởi $\\Delta$ và hai trục:\n$S_{\\triangle AOB}=\\dfrac12\\cdot OA\\cdot OB=\\dfrac12\\cdot \\dfrac{79}{11}\\cdot 79=\\dfrac{6241}{22}\\approx 283{,}681$\n\nLàm tròn đến hàng đơn vị: $S\\approx 284$\n\n✅ Đáp án: 284","chapter":"đạo hàm","topic":"định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm","grade":"GRADE_11","questionCategory":"ý nghĩa hình học của đạo hàm","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Một hộ nông dân dự định trồng dưa và cà trên diện tích $8$ ha. Nếu trồng dưa thì cần $20$ công và thu $3$ triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng cà thì cần $30$ công và thu $4$ triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi hộ nông dân thu được nhiều tiền nhất bao nhiêu triệu đồng, biết rằng tổng số công không quá $180$?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6984034ed50880d311befb16","correctAnswer":"26","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng diện tích đất trồng: 8 ha\n\nTrồng lúa: cần 20 công/ha, thu 3 triệu đồng/ha\n\nTrồng cà phê: cần 30 công/ha, thu 4 triệu đồng/ha\n\nTổng số công không quá 180\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHỏi cách chia diện tích trồng lúa và cà phê sao cho tiền thu được lớn nhất\n\nDùng kiến thức lập hệ bất phương trình và tối ưu hàm bậc nhất (quy hoạch tuyến tính đơn giản)\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $x$ (ha) là diện tích trồng lúa, $y$ (ha) là diện tích trồng cà phê, với $x \\ge 0,\\ y \\ge 0.$\n\nRàng buộc diện tích: $x+y=8.$\n\nRàng buộc số công: $20x+30y \\le 180.$\n\nTiền thu (triệu đồng) là: $P=3x+4y \\quad \\text{(cần tối đa)}.$\n\nTừ $x+y=8 \\Rightarrow y=8-x.$\n\nThay vào điều kiện công:\n$20x+30(8-x)\\le 180$\n$20x+240-30x\\le 180$\n$240-10x\\le 180 \\Rightarrow -10x\\le -60 \\Rightarrow x\\ge 6.$\nĐồng thời $y=8-x \\ge 0 \\Rightarrow x \\le 8.$\nVậy $6 \\le x \\le 8.$\n\nThay vào hàm tiền:\n$P=3x+4(8-x)=3x+32-4x=32-x.$\nVì $32-x$ giảm khi $x$ tăng, nên $P$ lớn nhất khi $x$ nhỏ nhất, tức $x=6.$\n\nKhi đó $y=8-6=2.$\n\nTiền lớn nhất:\n$P_{\\max}=3\\cdot 6+4\\cdot 2=18+8=26\\ (\\text{triệu đồng}).$\n\n✅ Đáp án: điền đáp án \"26 triệu đồng\"","chapter":"chuyên đề 2 - ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu","topic":"vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài toán quy hoạch tuyến tính với miền chấp nhận được là miền đa giác","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AD=2a,,AB=a\\sqrt2$. Tam giác $SAD$ cân tại $S$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng $SB$ tạo với đáy một góc $30^\\circ$. Gọi $\\alpha$ là góc tạo bởi $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$. Giá trị $\\sin\\alpha$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6984034ed50880d311befb16","correctAnswer":"0,58","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AD=2a,\\ AB=a\\sqrt2$.\n\n$(SAD)\\perp(ABCD)$ và tam giác $SAD$ cân tại $S$ ⇒ $SA=SD$.\n\n$AA'$ không có; ở đây là hình chóp $S.ABCD$.\n\nĐường thẳng $SB$ tạo với đáy $(ABCD)$ góc $30^\\circ$.\n\n$\\alpha$ là góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$, cần tính $\\sin\\alpha$ (làm tròn đến hàng phần trăm).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nDựng tọa độ để tìm tọa độ điểm $S$ từ các điều kiện vuông góc, cân.\n\nDùng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:\n$\\sin\\alpha=\\frac{|\\vec{SA}\\cdot \\vec{n}|}{|\\vec{SA}|\\ |\\vec{n}|},$\nvới $\\vec n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐặt mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $z=0$, chọn:\n$A(0,0,0),\\ B(a\\sqrt2,0,0),\\ D(0,2a,0),\\ C(a\\sqrt2,2a,0).$\n\nVì $(SAD)\\perp(ABCD)$ và chứa $AD$ nên có thể chọn $(SAD)$ là mặt phẳng $x=0$ ⇒ $S(0,y,z)$.\n\nĐiều kiện tam giác $SAD$ cân tại $S$:\n$SA=SD \\Rightarrow y^2+z^2=(y-2a)^2+z^2 \\Rightarrow y=a.$\n⇒ $S(0,a,z)$.\n\nGóc giữa $SB$ và đáy là $30^\\circ$:\n$\\sin 30^\\circ=\\frac{\\text{độ cao}}{SB}=\\frac{z}{\\sqrt{(a\\sqrt2)^2+(-a)^2+z^2}} =\\frac{z}{\\sqrt{3a^2+z^2}}=\\frac12.$\nGiải ra:\n$2z=\\sqrt{3a^2+z^2}\\Rightarrow 4z^2=3a^2+z^2\\Rightarrow z^2=a^2\\Rightarrow z=a.$\n⇒ $S(0,a,a)$.\n\nTính $\\sin\\alpha$ với $\\alpha$ là góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$:\n$\\vec{SA}=(0,a,a).$\n\nLấy $\\vec{SB}=B-S=(a\\sqrt2,-a,-a),\\ \\vec{SC}=C-S=(a\\sqrt2,a,-a).$\nVectơ pháp tuyến của $(SBC)$ là:\n$\\vec n=\\vec{SB}\\times\\vec{SC}\\ \\sim\\ (1,0,\\sqrt2).$\n\nKhi đó:\n$\\vec{SA}\\cdot \\vec n=(0,a,a)\\cdot(1,0,\\sqrt2)=a\\sqrt2,$\n$|\\vec{SA}|=a\\sqrt2,\\quad |\\vec n|=\\sqrt{1+0+2}=\\sqrt3.$\n\nSuy ra:\n$\\sin\\alpha=\\frac{a\\sqrt2}{a\\sqrt2\\cdot\\sqrt3}=\\frac{1}{\\sqrt3}=\\frac{\\sqrt3}{3}\\approx 0{,}577.$\n\n✅ Đáp án: $\\sin\\alpha=\\dfrac{\\sqrt3}{3}\\approx 0{,}58.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-thuan-thanh-so-1-tinh-bac-ninh-2026-co-dap-an/1K3Rr4MPQEZKUlRTv9JgaTZSBlol3PNb-_2026-02-05024116.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"góc giữa đường thẳng và mặt phẳng","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":21,"text":"Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức $S(t)=S_0.3^{\\frac{t}{300}}$, trong đó $S_0$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $S(t)$ là số lượng vi khuẩn có sau $t$ phút, $t$ (tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có $500$ con. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc ban đầu để số lượng vi khuẩn đạt $121500$ con (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6984034ed50880d311befb16","correctAnswer":"25","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số mô tả sự tăng trưởng: $S(t)=S_0\\cdot 3^{\\frac{t}{300}}$ (tính theo phút).\n\nSố lượng ban đầu: $S_0=500$ (con).\n\nSố lượng cần đạt: $S(t)=121500$ (con).\n\nThời gian t tính theo phút; yêu cầu trả lời bằng giờ (làm tròn đến hàng đơn vị).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm thời gian kể từ lúc ban đầu để số vi khuẩn đạt 121500 con, kết quả yêu cầu cho bằng giờ.\n\nÁp dụng kiến thức về phương trình mũ và nhận biết lũy thừa (hoặc dùng logarit) để giải phương trình mũ.\n\nBiết cách chuyển đổi phút sang giờ: 60 phút = 1 giờ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết phương trình theo đề: $500\\cdot 3^{\\frac{t}{300}}=121500.$\n\nChia hai vế cho 500: $3^{\\frac{t}{300}}=\\frac{121500}{500}=243.$\n\nNhận biết lũy thừa: $243=3^5$ (vì $3^5=243$).\n\nTừ đó suy ra: $\\frac{t}{300}=5\\Rightarrow t=5\\cdot 300=1500\\ (\\text{phút}).$\n\nChuyển sang giờ: $\\text{giờ}=\\frac{1500}{60}=25\\ (\\text{giờ}).$\n\nKết quả đã là số nguyên nên không cần làm tròn thêm.\n\n✅ Đáp án: 25 giờ","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hàm số mũ","difficulty":"vận dụng"},{"id":22,"text":"Hai đội bóng chuyền $A$ và $B$ đấu với nhau một trận gồm nhiều hiệp đấu. Biết rằng mỗi hiệp đấu không có kết quả hòa và đội nào thắng $3$ hiệp trước thì là đội chiến thắng chung cuộc. Trong mỗi hiệp đấu, xác suất để đội $A$ thắng nhiều hơn $12%$ so với xác suất để đội $B$ thắng. Tính xác suất để đội $A$ giành chiến thắng chung cuộc, biết rằng kết quả của các hiệp đấu là độc lập nhau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6984034ed50880d311befb16","correctAnswer":"0,61","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGọi $p_A$ là xác suất A thắng 1 hiệp, $p_B$ là xác suất B thắng 1 hiệp\n\nKhông hòa nên $p_A+p_B=1$\n\n“A thắng nhiều hơn B 12%” nên $p_A-p_B=0{,}12$\n\nAi thắng 3 hiệp trước thì thắng chung cuộc, các hiệp độc lập\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nLập hệ để tìm $p_A,,p_B$\n\nTính xác suất A thắng chung cuộc qua các trường hợp: 3–0, 3–1, 3–2\n\nCuối cùng làm tròn đến hàng phần trăm (tức làm tròn đến $0{,}01$)\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLập hệ:\n$\\begin{cases} p_A+p_B=1\\\\ p_A-p_B=0{,}12\\end{cases}$\n\nCộng 2 phương trình:\n$2p_A=1{,}12 \\Rightarrow p_A=0{,}56,\\quad p_B=1-0{,}56=0{,}44.$\n\nXác suất A thắng chung cuộc:\nTH1: A thắng $3-0$\n$P_1=p_A^3$\n\nTH2: A thắng $3-1$ (hiệp cuối A thắng; trong 3 hiệp đầu B thắng đúng 1 hiệp)\n$P_2=\\mathrm{C}_3^1\\cdot p_B\\cdot p_A^3$\n\nTH3: A thắng $3-2$ (hiệp cuối A thắng; trong 4 hiệp đầu B thắng đúng 2 hiệp)\n$P_3=\\mathrm{C}_4^2\\cdot p_B^2\\cdot p_A^3$\n\nCộng lại:\n$P=P_1+P_2+P_3=p_A^3\\left(1+3p_B+6p_B^2\\right).$\n\nThế $p_A=0{,}56,\\ p_B=0{,}44$:\n$P=0{,}56^3\\left(1+3\\cdot 0{,}44+6\\cdot 0{,}44^2\\right)=0{,}61142\\ldots \\approx 0{,}61.$\n\n✅ Đáp án: điền đáp án \"0,61\"","chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"xác suất có điều kiện","grade":"GRADE_12","questionCategory":"xác suất có điều kiện","difficulty":"vận dụng"}]}

Bắt đầu thi thử