{"title":"Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025","examType":"REFERENCE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2025,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6825b2bfd1af982131874b83","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6825b2bfd1af982131874b84","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6825b2bfd1af982131874b85","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^x$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$\\frac{e^x}{x+1} + C$","correct":false,"reason":"Sai vì đạo hàm của $\\frac{e^x}{x+1}$ là $\\frac{xe^x}{(x+1)^2} \\neq e^x$, không trả về hàm số $f(x)$ ban đầu."},{"label":"B","text":"$e^x + C$","correct":true,"reason":"Đúng vì theo công thức cơ bản $\\int e^x \\, dx = e^x + C$, và $(e^x + C)' = e^x = f(x)$."},{"label":"C","text":"$\\frac{e^x}{x} + C$","correct":false,"reason":"Sai vì đạo hàm của $\\frac{e^x}{x}$ là $\\frac{e^x(x-1)}{x^2} \\neq e^x$, không khớp với $f(x)$."},{"label":"D","text":"$x e^{x-1} + C$","correct":false,"reason":"Sai vì đạo hàm của $xe^{x-1}$ là $e^{x-1}(x+1) \\neq e^x$ với mọi $x$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số cần tìm nguyên hàm: $f(x) = e^x$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm nguyên hàm (antiderivative) của hàm số đã cho. \n\nCần áp dụng quy tắc cơ bản của tích phân không xác định cho hàm mũ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhắc lại công thức cơ bản: \n$\\int e^x \\, dx = e^x + C.$ \n\nLý do: vì khi lấy đạo hàm của $e^x + C$ ta được \n$\\frac{d}{dx}\\bigl(e^x + C\\bigr) = e^x.$ \n\nDo đó, nguyên hàm của $f(x)=e^x$ là $e^x + C$.\n\n✅ Đáp án: $e^x + C$\n❌ Các đáp án khác:\nĐáp án A: $\\frac{e^x}{x+1} + C$ – không đúng vì tích phân của $e^x$ không sinh ra mẫu chứa $x+1$. \n\nĐáp án C: $\\frac{e^x}{x} + C$ – sai vì không phù hợp với quy tắc $\\int e^x dx$. \n\nĐáp án D: $x e^{x-1} + C$ – sai vì đây không phải nguyên hàm của $e^x$.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"nguyên hàm","grade":"GRADE_12","questionCategory":"nguyên hàm của một số hàm số thường gặp","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn $[a;b]$. Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ có thể tích là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$V=\\pi\\int_a^b\\left|f(x)\\left|dx\\right.\\right.$","correct":false,"reason":"Sai vì thiếu bình phương bán kính. Diện tích tiết diện ngang của đĩa tròn tại vị trí $x$ là $\\pi [f(x)]^2$, không phải $\\pi |f(x)|$."},{"label":"B","text":"$V = \\pi^2 \\int_a^b f(x) dx$","correct":false,"reason":"Sai hệ số $\\pi^2$ (đúng là $\\pi$) và thiếu bình phương hàm số $f(x)$ trong tích phân, dẫn đến sai đơn vị và công thức."},{"label":"C","text":"$V = \\pi^2 \\int_a^b \\left[ f(x) \\right]^2 dx$","correct":false,"reason":"Sai hệ số $\\pi^2$; đúng ra phải là $\\pi$ vì diện tích hình tròn tiết diện là $\\pi r^2$ với bán kính $r = f(x)$."},{"label":"D","text":"$V = \\pi \\int_a^b \\left[ f(x) \\right]^2 dx$","correct":true,"reason":"Đúng theo phương pháp đĩa: thể tích bằng tích phân các diện tích tiết diện ngang hình tròn $S(x) = \\pi [f(x)]^2$ từ $a$ đến $b$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn $[a;b]$. \n\nVùng phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$. \n\nQuay vùng $(H)$ quanh trục $Ox$ để tạo khối tròn xoay, yêu cầu tính thể tích.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính thể tích khối khi vùng dưới đồ thị $y=f(x)$ được quay quanh trục $Ox$. \n\nÁp dụng phương pháp đĩa (disk method) trong tích phân.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nKhi quay quanh trục $Ox$, tại mỗi điểm $x\\in[a,b]$ ta có một “đĩa” (hình tròn) bán kính bằng khoảng cách từ đồ thị đến trục hoành, tức là $R(x)=f(x)\\,.$\n\nDiện tích mặt cắt ngang của đĩa tại $x$ là: $ S(x)=\\pi\\,[R(x)]^2=\\pi\\,[f(x)]^2. $\n\nTổng thể tích khối từ $x=a$ đến $x=b$ là tích phân: $ V \\;=\\; \\int_a^b dV \\;=\\;\\int_a^b \\pi\\,[f(x)]^2\\,dx \\;=\\;\\pi\\int_a^b [f(x)]^2\\,dx. $\n\n✅ Đáp án: $ V = \\pi \\int_a^b [f(x)]^2 \\,dx $\n❌ Các đáp án khác:\nA: Công thức dùng tích phân lồng không phù hợp với phương pháp đĩa. \n\nB: Sai hệ số và thiếu bình phương, phải là $\\pi$ (không phải $\\pi^2$) và $[f(x)]^2$. \n\nC: Sai hệ số $\\pi$, không thể có $\\pi^2$ trong công thức đúng.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"ứng dụng hình học của tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể","difficulty":"thông hiểu"},{"id":3,"text":"Hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_1, M_2$ có bảng tần số ghép nhóm như sau. Gọi $s_1, s_2$ lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm $M_1, M_2$. Phát biểu nào sau đây là đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$s_1 = s_2$","correct":true,"reason":"Hai mẫu số liệu $M_1$ và $M_2$ có bảng tần số ghép nhóm hoàn toàn giống nhau (cùng các nhóm $[8;10)$, $[10;12)$, $[12;14)$, $[14;16)$, $[16;18)$ và cùng tần số $3, 4, 8, 6, 4$), do đó giá trị trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của chúng bằng nhau, tức là $s_1 = s_2$."},{"label":"B","text":"$s_1 = 2s_2$","correct":false,"reason":"Sai vì $s_1 = s_2$, không phải $s_1 = 2s_2$. Mối quan hệ này chỉ đúng nếu độ phân tán của $M_2$ bằng một nửa $M_1$, nhưng thực tế hai bảng tần số giống hệt nhau nên độ lệch chuẩn phải bằng nhau."},{"label":"C","text":"$2s_1 = s_2$","correct":false,"reason":"Sai vì $s_1 = s_2$, không phải $2s_1 = s_2$. Nếu $2s_1 = s_2$ thì $s_2 = 2s_1$, điều này không đúng do hai mẫu có phân phối tần số như nhau nên $s_1$ và $s_2$ phải bằng nhau."},{"label":"D","text":"$4s_1 = s_2$","correct":false,"reason":"Sai vì $s_1 = s_2$, không phải $4s_1 = s_2$. Mối quan hệ này không tồn tại khi hai bảng tần số ghép nhóm hoàn toàn giống nhau, dẫn đến $s_1$ và $s_2$ có giá trị bằng nhau."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó hai mẫu số liệu ghép nhóm là $M_1$ và $M_2$ với bảng tần số như nhau:\nCác lớp: $[8;10)$, $[10;12)$, $[12;14)$, $[14;16)$, $[16;18)$\n\nTần số: lần lượt là $3, 4, 8, 6, 4$ cho cả $M_1$ và $M_2$\n\nGọi $s_1, s_2$ là độ lệch chuẩn mẫu của hai mẫu số liệu trên.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm phát biểu đúng về mối quan hệ giữa $s_1$ và $s_2$.\n\nVì hai bảng tần số giống nhau, nên điểm khác biệt (nếu có) sẽ đến từ giá trị cụ thể của mỗi mẫu.\n\nCần tính độ lệch chuẩn mẫu của từng nhóm để so sánh $s_1$ và $s_2$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm bằng máy tính cầm tay Casio FX - 580 VN/ Vinacal 680EX PLUS:\n👉🏻 Bước 1: Bật bảng thống kê\nSHIFT → MENU → ▼ → 3: Statistics → 1: On\n👉🏻 Bước 2: Vào chế độ thống kê\nMENU → 6: Statistics → 1: 1-Variable\n👉🏻 Bước 3: Nhập dữ liệu thống kê\nTính giá trị giữa các khoảng:\n$[8;10) \\Rightarrow 9$\n\n$[10;12) \\Rightarrow 11$\n\n$[12;14) \\Rightarrow 13$\n\n$[14;16) \\Rightarrow 15$\n\n$[16;18) \\Rightarrow 17$\n\nNhập dữ liệu vào máy:\nNhập các giá trị: $9, 11, 13, 15, 17$ vào cột $x$\n\nNhập tần số tương ứng: $3, 4, 8, 6, 4$ vào cột $\\text{Freq}$\n\n👉🏻 Bước 4: Gọi kết quả thống kê\nOPTN → 3: 1-Variable Calc\nChú ý giá trị $s_x$: đây là độ lệch chuẩn mẫu cần so sánh\n👉🏻 Bước 5: Kết luận\nVì hai bảng tần số giống nhau và giá trị của các lớp giống nhau, nên ta có:\n$s_1 = s_2$\n\n✅ Đáp án: $s_1 = s_2$\n❌ Các đáp án khác:\n$s_1 > s_2$ – Sai vì dữ liệu giống hệt nhau nên không có sự khác biệt về độ lệch chuẩn.\n\n$s_1 < s_2$ – Sai vì tương tự, độ phân tán giống nhau.\n\n$s_1 \\neq s_2$ – Sai vì khẳng định sự khác biệt mà không có cơ sở.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-2025-co-dap-an/1dGAaYWkMhFoZSMcs7Y99sSI5ulAN11Dk_2025-05-15092403.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"phương sai và độ lệch chuẩn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro","difficulty":"thông hiểu"},{"id":4,"text":"Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình của đường thẳng đi qua điểm $M(1;-3;5)$ và có một vectơ chỉ phương $\\vec{u}(2;-1;1)$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$\\frac{x-1}{2} = \\frac{y-3}{-1} = \\frac{z-5}{1}$","correct":false},{"label":"B","text":"$\\frac{x-1}{2}=\\frac{y-3}{-1}=\\frac{z+5}{1}$","correct":false},{"label":"C","text":"$\\frac{x-1}{2} = \\frac{y+3}{-1} = \\frac{z-5}{1}$","correct":true},{"label":"D","text":"$\\frac{x+1}{2} = \\frac{y+3}{-1} = \\frac{z-5}{1}$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $M(1;\\,-3;\\,5)$ thuộc đường thẳng cần xác định. \n\nVectơ chỉ phương $\\vec{u}(2;\\,-1;\\,1)$. \n\nHình vẽ minh họa hệ trục Oxyz, điểm M và vectơ u cho ta hướng đi của đường thẳng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm phương trình của đường thẳng trong không gian qua điểm $M$ và có vectơ chỉ phương $\\vec{u}$. \n\nÁp dụng công thức phương trình đối xứng của đường thẳng: \nvới $(x_0,y_0,z_0)$ là điểm cho trước và $(a,b,c)$ là thành phần vectơ chỉ phương.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $M$ với tham số $t$: \n\nBước 2: Từ mỗi biểu thức, đưa về dạng $t$: \n\nBước 3: Kết hợp lại để có phương trình đối xứng: \n\n✅ Đáp án: \n❌ Các đáp án khác:\nA. $\\displaystyle \\frac{x-1}{2}=\\frac{y-3}{-1}=\\frac{z-5}{1}$: sai ở vế $y$, phải là $y+3$ vì $y_0=-3$. \n\nB. $\\displaystyle \\frac{x-1}{2}=\\frac{y-3}{-1}=\\frac{z+5}{1}$: sai cả dấu ở $y$ và $z$. \n\nD. $\\displaystyle \\frac{x+1}{2}=\\frac{y+3}{-1}=\\frac{z-5}{1}$: sai ở vế $x$, phải là $x-1$.","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình đường thẳng trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"phương trình đường thẳng","difficulty":"nhận biết"},{"id":5,"text":"Cho hàm số $y = \\frac{ax + b}{cx + d} \\ (c \\ne 0, ad - bc \\ne 0)$ có đồ thị như hình. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$x=-1$","correct":false,"reason":"Đây là phương trình đường thẳng song song với trục tung ($x=-1$) nên là tiệm cận đứng (tại $cx+d=0$), không phải tiệm cận ngang. Câu hỏi yêu cầu xác định tiệm cận ngang."},{"label":"B","text":"$y = \\frac{1}{2}$","correct":true,"reason":"Với hàm phân thức $y=\\frac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận ngang là $y=\\frac{a}{c}$. Quan sát đồ thị, khi $x \\to \\pm\\infty$ các nhánh đồ thị tiến gần đường thẳng $y=\\frac{1}{2}$."},{"label":"C","text":"$y=-1$","correct":false,"reason":"Giá trị sai. Đồ thị tiến đến $y=\\frac{1}{2}$ khi $x \\to \\pm\\infty$, chứ không phải $y=-1$."},{"label":"D","text":"$x = \\frac{1}{2}$","correct":false,"reason":"Đây là phương trình dạng $x=\\text{const}$ nên nếu có thì là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang. Hơn nữa, tiệm cận đứng của đồ thị là $x=-1$, không phải $x=\\frac{1}{2}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y = \\frac{ax + b}{cx + d}$ với $c \\neq 0$ và $ad - bc \\neq 0$. \n\nĐồ thị có tiệm cận đứng $x = -1$. \n\nĐồ thị có tiệm cận ngang cần xác định. \n\nĐồ thị đi qua các điểm $(0, -\\tfrac12)$ và $(1, 0)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định tiệm cận ngang của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. \n\nKiến thức cần dùng: với hàm $y = \\frac{a x + b}{c x + d}$, khi $x \\to \\pm\\infty$ thì $y \\to \\frac{a}{c}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhận xét: Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, nên tiệm cận ngang có dạng $y = \\frac{a}{c}$. \n\nTừ đồ thị (một đường kẻ ngang chấm ở mức $y = \\tfrac12$), ta thấy đồ thị càng xa trục tung thì càng tiến gần đường thẳng $y = \\tfrac12$. \n\nDo đó, tiệm cận ngang của hàm số là $y=\\frac{1}{2}$.\n\n✅ Đáp án: $y = \\frac12$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $x=-1$ không phải tiệm cận ngang mà là đường thẳng đứng. \n\nC. $y=-1$ sai vì đồ thị tiến đến $y = \\tfrac12$, không phải 1. \n\nD. $x = \\tfrac12$ cũng là đường thẳng đứng, không phải ngang.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-2025-co-dap-an/13bMOvTAEGTIcLHg-l_IlqEn3L_fYwPrf_2025-05-15092403.jpg"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận ngang","difficulty":"thông hiểu"},{"id":6,"text":"Tập nghiệm của bất phương trình $\\log_2(x - 1) < 3$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$(1;9)$","correct":true},{"label":"B","text":"$(-\\infty; 9)$","correct":false},{"label":"C","text":"$(9; +\\infty)$","correct":false},{"label":"D","text":"$(1;7)$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBất phương trình cần giải: $\\log_2(x - 1) < 3$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm tập hợp các giá trị của $x$ để thỏa bất phương trình \n\nCần áp dụng hai kiến thức chính: \n• Điều kiện xác định của hàm logarit \n• Tính chất đơn điệu (tăng) của hàm số $\\log_2 t$ với cơ số 2 > 1\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định điều kiện xác định: \n$x - 1 > 0\\;\\Longrightarrow\\;x > 1.$\n\nSử dụng tính chất hàm logarit tăng: \n$\\log_2(x - 1) < 3\\;\\Longrightarrow\\;x - 1 < 2^3.$\n\nTính lũy thừa: \n$2^3 = 8\\;\\Longrightarrow\\;x - 1 < 8\\;\\Longrightarrow\\;x < 9.$\n\nKết hợp hai điều kiện: \n$1 < x < 9.$\n\nVậy tập nghiệm của bất phương trình là: \n$(1;9).$\n\n✅ Đáp án: $(1;9)$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $(-\\infty; 9)$: Bỏ qua điều kiện $x>1$, sai vì logarit không xác định khi $x\\le1$. \n\nC. $(9; +\\infty)$: Mâu thuẫn với yêu cầu $x<9$. \n\nD. $(1;7)$: Giới hạn trên lấy sai, phải là 9 chứ không phải 7.","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bất phương trình lôgarit","difficulty":"thông hiểu"},{"id":7,"text":"Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 3y - z + 8 = 0$. Vector nào sau đây là một vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$\\vec{n}_1(1; -3; 1)$","correct":false},{"label":"B","text":"$\\vec{n}_2(1; -3; -1)$","correct":true},{"label":"C","text":"$\\vec{n}_3(1;-3;8)$","correct":false},{"label":"D","text":"$\\vec{n}_4(1; 3; 8)$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$. \n\nMặt phẳng $(P)$ có phương trình \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. \n\nÁp dụng kiến thức về dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng trong không gian.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhận dạng dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng:\n\nBước 2: Vector pháp tuyến $\\vec{n} = (a,\\,b,\\,c)$.\n\nBước 3: So sánh với phương trình đã cho $x - 3y - z + 8 = 0$:\n$a = 1$, $b = -3$, $c = -1$.\n\nVậy $\\vec{n} = (1;\\,-3;\\,-1)$.\n\nBước 4: Đối chiếu với các phương án đã cho để chọn đáp án đúng.\n\n✅ Đáp án: B. $\\displaystyle \\vec{n}_2(1;\\,-3;\\,-1)$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $\\vec{n}_1(1;\\,-3;\\,1)$ sai dấu thành phần thứ ba. \n\nC. $\\vec{n}_3(1;\\,-3;\\,8)$ nhầm lấy hệ số tự do $d=8$ thay vì $c$. \n\nD. $\\vec{n}_4(1;\\,3;\\,8)$ sai cả thành phần $y$ và $z$.","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt phẳng","grade":"GRADE_12","questionCategory":"phương trình tổng quát của mặt phẳng","difficulty":"nhận biết"},{"id":8,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \\perp (ABCD)$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$(SAB)$","correct":true,"reason":"Mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $SA$ mà $SA \\perp (ABCD)$, nên theo định nghĩa $(SAB) \\perp (ABCD)$."},{"label":"B","text":"$(SBC)$","correct":false,"reason":"Mặt phẳng $(SBC)$ không chứa đường thẳng $SA$ (do $A \\notin (SBC)$), do đó không chứa đường thẳng vuông góc với $(ABCD)$ nên không vuông góc với đáy."},{"label":"C","text":"$(SCD)$","correct":false,"reason":"Mặt phẳng $(SCD)$ không chứa $SA$ và không có đường thẳng nào vuông góc với $(ABCD)$, vì vậy không vuông góc với mặt phẳng đáy."},{"label":"D","text":"$(SBD)$","correct":false,"reason":"Mặt phẳng $(SBD)$ không chứa đường thẳng $SA$ nên không thỏa mãn điều kiện chứa đường thẳng vuông góc với $(ABCD)$, do đó không vuông góc với đáy."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. \n\n$SA\\perp (ABCD)$. \n\nCâu hỏi: Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$?\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMuốn tìm một mặt phẳng vuông góc với $(ABCD)$. \n\nÁp dụng định nghĩa: Một mặt phẳng $\\alpha$ vuông góc với mặt phẳng $\\beta$ nếu và chỉ nếu $\\alpha$ chứa một đường thẳng $d$ sao cho $d\\perp\\beta$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm\nBước 1: Xác định đường thẳng vuông góc với đáy: từ giả thiết ta có \n$SA\\perp (ABCD).$ \n\nBước 2: Chọn mặt phẳng chứa đường thẳng $SA$. Mặt phẳng $(SAB)$ chứa $SA$ và đường thẳng $AB$. \n\nBước 3: Vì $(SAB)$ chứa đường thẳng $SA$ mà $SA\\perp (ABCD)$, nên theo định nghĩa, \n$(SAB)\\perp (ABCD).$ \n\nBước 4: Kiểm tra các phương án khác: các mặt phẳng $(SBC)$, $(SCD)$, $(SBD)$ đều không chứa đường thẳng $SA$, nên không thể chứa đoạn thẳng vuông góc với đáy, do đó chúng không vuông góc với $(ABCD)$.\n\n✅ Đáp án: $(SAB)$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $(SBC)$: không chứa đường thẳng $SA\\perp(ABCD)$, nên không vuông góc với đáy. \n\nC. $(SCD)$: không chứa $SA$, vì vậy không có đường thẳng vuông góc với đáy. \n\nD. $(SBD)$: cũng không chứa $SA$, nên không thỏa điều kiện vuông góc.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-2025-co-dap-an/THPT_TKT_2025_BGDDT_Cu_8_2025-06-05032121.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"hai mặt phẳng vuông góc","grade":"GRADE_11","questionCategory":"góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc","difficulty":"nhận biết"},{"id":9,"text":"Nghiệm của phương trình $2^x = 6$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$x = \\log_6 2$","correct":false,"reason":"Phương án này nhầm lẫn giữa $\\log_6 2$ và $\\log_2 6$, trong khi $\\log_6 2 = \\frac{1}{\\log_2 6} \\neq \\log_2 6$."},{"label":"B","text":"$x = 3$","correct":false,"reason":"Thay $x = 3$ vào phương trình ta được $2^3 = 8 \\neq 6$, do đó $x = 3$ không phải là nghiệm."},{"label":"C","text":"$x = 4$","correct":false,"reason":"Thay $x = 4$ vào phương trình ta được $2^4 = 16 \\neq 6$, do đó $x = 4$ không phải là nghiệm."},{"label":"D","text":"$x = \\log_2 6$","correct":true,"reason":"Lấy logarit cơ số $2$ hai vế phương trình $2^x = 6$, áp dụng tính chất $\\log_2(2^x) = x$ ta được $x = \\log_2 6$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình cần giải: $2^x = 6$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tìm giá trị của $x$ sao cho $2^x$ bằng 6. \n\nHọc sinh cần vận dụng kiến thức về logarit để giải phương trình mũ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhận thấy phương trình có dạng $a^x = b$ với $a>0$, $a\\neq1$, $b>0$. \n\nBước 2: Áp dụng log cơ số 2 hai vế để đưa số mũ về dạng biểu thức logarit: \n$\\log_2\\bigl(2^x\\bigr) = \\log_2(6)$ \n\nBước 3: Sử dụng tính chất $\\log_a(a^x)=x$: \n$x = \\log_2(6)$\n\n✅ Đáp án: \n$x = \\log_2 6$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $x = \\log_6 2$ sai vì $\\log_6 2 = \\tfrac{1}{\\log_2 6}$, không bằng $\\log_2 6$. \n\nB. $x = 3$ sai vì $2^3 = 8 \\neq 6$. \n\nC. $x = 4$ sai vì $2^4 = 16 \\neq 6$.","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hàm số mũ","difficulty":"nhận biết"},{"id":10,"text":"Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 1$ và $u_2 = 3$. Số hạng $u_5$ của cấp số cộng là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$5$","correct":false,"reason":"Sai vì tính nhầm công sai $d = 1$ thay vì $2$, dẫn đến $u_5 = 1 + 4 \\cdot 1 = 5$ thay vì $9$."},{"label":"B","text":"$7$","correct":false,"reason":"Sai vì có thể đã tính nhầm số hạng thứ $4$ ($u_4 = 1 + 3 \\cdot 2 = 7$) hoặc dùng công sai $d = 1,5$."},{"label":"C","text":"$9$","correct":true,"reason":"Đúng vì công sai $d = u_2 - u_1 = 2$, áp dụng công thức $u_5 = u_1 + 4d = 1 + 4 \\cdot 2 = 9$."},{"label":"D","text":"$11$","correct":false,"reason":"Sai vì áp dụng nhầm công thức $u_n = u_1 + nd$ (thay vì $(n-1)d$) nên $u_5 = 1 + 5 \\cdot 2 = 11$, hoặc tính nhầm $d = 2,5$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nCấp số cộng $(u_n)$ \n\n$u_1 = 1$ \n\n$u_2 = 3$\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nCần tìm số hạng thứ 5, $u_5$, của cấp số cộng đã cho. \n\nPhải áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nXác định công sai $d$ của cấp số cộng: \n$d = u_2 - u_1 = 3 - 1 = 2.$ \n\nGhi lại công thức tổng quát của cấp số cộng: \n$u_n = u_1 + (n - 1)\\,d.$ \n\nThay $n = 5$ vào công thức: \n$u_5 = u_1 + (5 - 1)\\,d = 1 + 4 \\times 2 = 1 + 8 = 9.$\n\n✅ Đáp án: $9$\n❌ Các đáp án khác: \nA. 5: Sai vì đã lấy $d = 1$ thay vì 2, dẫn đến $u_5 = 1 + 4\\cdot1 = 5$. \n\nB. 7: Sai vì tính nhầm $d$ hoặc nhầm thứ tự số hạng. \n\nD. 11: Sai vì giả sử $d = 2.5$ hoặc tính thêm bước không chính xác.","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số cộng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"số hạng tổng quát của cấp số cộng","difficulty":"thông hiểu"},{"id":11,"text":"Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (minh họa như hình). Phát biểu nào sau đây là đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BB^{\\prime}}+\\overrightarrow{B^{\\prime}A^{\\prime}}=\\overrightarrow{AC^{\\prime}}$","correct":false,"reason":"Theo quy tắc cộng vectơ theo đường gấp khúc $A \\to B \\to B' \\to A'$, tổng bằng $\\overrightarrow{AA'}$ (trùng điểm đầu cuối), không phải $\\overrightarrow{AC'}$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BC^{\\prime}}+\\overrightarrow{C^{\\prime}D^{\\prime}}=\\overrightarrow{AC^{\\prime}}$","correct":false,"reason":"Tổng vectơ tạo thành đường gấp khúc $A \\to B \\to C' \\to D'$ nên kết quả là $\\overrightarrow{AD'}$, không phải $\\overrightarrow{AC'}$."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AC}+\\overrightarrow{AA^{\\prime}}=\\overrightarrow{AC^{\\prime}}$","correct":false,"reason":"Vì $\\overrightarrow{AC}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}$ nên vế trái bằng $2\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'} \\neq \\overrightarrow{AC'}$ (thừa vectơ $\\overrightarrow{AB}$)."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AA^{\\prime}}+\\overrightarrow{AD^{}}=\\overrightarrow{AC^{\\prime}}$","correct":true,"reason":"Ta có $\\overrightarrow{AC'}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BC}+\\overrightarrow{CC'}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}$ do $\\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{AD}$ và $\\overrightarrow{CC'}=\\overrightarrow{AA'}$ (tính chất hình hộp)."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với các đỉnh đáy dưới là $A,B,C,D$ và đỉnh đáy trên là $A',B',C',D'$. \n\nCác cạnh đối song song: $AB\\parallel C'D',\\;AD\\parallel B'C',\\;AA'\\parallel CC',$ v.v. \n\nHỏi phát biểu nào sau đây đúng biểu diễn vectơ $\\overrightarrow{AC'}$?\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần diễn đạt vectơ từ điểm $A$ đến $C'$ dưới dạng tổng các vectơ cạnh của hình hộp. \n\nÁp dụng tính chất song song và bằng nhau của các cạnh trong hình hộp chữ nhật: \nBC = AD, CC' = AA'. \n\nSử dụng phép cộng vectơ theo đường gấp khúc nối các điểm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChọn đường gấp khúc từ $A$ đến $C'$ qua hai đỉnh trung gian, ví dụ $A\\to B\\to C\\to C'\\,.$\n\nViết tổng vectơ theo đường gấp khúc: \n$\\overrightarrow{AC'}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BC}+\\overrightarrow{CC'}\\,.$\n\nÁp dụng: \n$\\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{AD}\\quad(\\text{vì }BC\\parallel AD,\\;BC=AD),$ \n$\\overrightarrow{CC'}=\\overrightarrow{AA'}\\quad(\\text{vì }CC'\\parallel AA',\\;CC'=AA').$\n\nThay vào biểu thức: \n$\\overrightarrow{AC'}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AA'}\\,.$\n\nDo phép cộng vectơ khả chuyển, có thể viết lại thành: \n$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AA'}+\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{AC'}\\,.$\n\n✅ Đáp án: \n$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AA'}+\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{AC'}$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BB'}+\\overrightarrow{B'A'}=\\overrightarrow{AC'}$ \nSai vì đường gấp khúc $A\\to B\\to B'\\to A'$ kết thúc ở $A'$, không đến $C'$. \n\nB. $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BC'}+\\overrightarrow{C'D'}=\\overrightarrow{AC'}$ \nSai vì đường gấp khúc $A\\to B\\to C'\\to D'$ kết thúc ở $D'$, không đến $C'$. \n\nC. $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AC}+\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{AC'}$ \nSai vì $\\overrightarrow{AC}$ không phải là vectơ cạnh cơ bản; thay vào đó $\\overrightarrow{AC}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AD}$ dẫn đến kết quả không đúng.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-2025-co-dap-an/1dGAaYWkMhFoZSMcs7Y99sSI5ulAN11Dk_2025-05-15092403.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6825b2bfd1af982131874b83","options":[{"label":"A","text":"$ (−\\infty; -1) $","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(-\\infty; -1)$, đồ thị đi xuống từ trái sang phải (khi $x$ tăng thì $y$ giảm từ $+\\infty$ xuống $-2$), nên hàm số nghịch biến, không đồng biến."},{"label":"B","text":"$(−\\infty;-1)$","correct":false,"reason":"Giống phương án A, khoảng $(-\\infty; -1)$ là khoảng hàm số nghịch biến (giảm), không thỏa mãn điều kiện đồng biến."},{"label":"C","text":"$(−1;1)$","correct":true,"reason":"Trên khoảng $(-1; 1)$, đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu $(-1; -2)$ đến điểm cực đại $(1; 2)$, nghĩa là khi $x$ tăng thì $y$ tăng, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này."},{"label":"D","text":"$(1; +\\infty)$","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(1; +\\infty)$, đồ thị đi xuống từ điểm cực đại $(1; 2)$ xuống phía dưới (khi $x$ tăng thì $y$ giảm), nên hàm số nghịch biến, không đồng biến."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị hàm số đi qua các điểm $(-1,-2)$, $(0,0)$, $(1,2)$. \n\nHàm số nghịch biến trên khoảng $(-\\infty; -1)$. \n\nHàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$ và $(0;1)$. \n\nHàm số nghịch biến trên khoảng $(1; +\\infty)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định khoảng mà hàm số đồng biến. \n\nDựa vào tính chất đơn điệu đã cho từ đồ thị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ thông tin đồ thị, ta liệt kê các khoảng đơn điệu: \n• Nghịch biến trên $(-\\infty; -1)$. \n• Đồng biến trên $(-1;0)$ và $(0;1)$. \n• Nghịch biến trên $(1; +\\infty)$. \n\nHai khoảng đồng biến $(-1;0)$ và $(0;1)$ liền kề nhau, nên hợp lại thành khoảng đồng biến chung là $(-1;1)$. \n\nKiểm tra các phương án: \n• A, B: $(-\\infty; -1)$ – sai (hàm giảm). \n• C: $(-1;1)$ – đúng (hợp khoảng tăng). \n• D: $(1; +\\infty)$ – sai (hàm giảm).\n\n✅ Đáp án: $(-1;1)$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $(-\\infty; -1)$ – Khoảng này hàm số nghịch biến, không phải đồng biến. \n\nB. $(-\\infty; -1)$ – Tương tự A, không thỏa. \n\nD. $(1; +\\infty)$ – Hàm số giảm trên khoảng này, không phải tăng.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-2025-co-dap-an/1iXLKjeKvhWCRPV0itat6sSUDwG61BPWM_2025-05-15092403.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":13,"text":"Cho hàm số $f(x) = 2 \\cos x + x$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6825b2bfd1af982131874b84","statements":[{"label":"A","text":"$f(0) = 2; \\ f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = \\frac{\\pi}{2}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=2\\cos x + x$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính giá trị của hàm số tại các điểm $x=0$ và $x=\\frac{\\pi}{2}$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTại $x=0$: $f(0)=2\\cos0+0=2\\cdot1+0=2$\n\nTại $x=\\frac{\\pi}{2}$: $f\\Bigl(\\frac{\\pi}{2}\\Bigr)=2\\cos\\frac{\\pi}{2}+\\frac{\\pi}{2}=2\\cdot0+\\frac{\\pi}{2}=\\frac{\\pi}{2}$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 2\\sin x + 1$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=2\\cos x + x$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính đạo hàm $f'(x)$ của hàm số đã cho\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng quy tắc: $(\\cos x)'=-\\sin x$ nên\n\n$f'(x)=2\\cdot(-\\sin x)+1=-2\\sin x+1$\n\nMệnh đề đưa ra là $f'(x)=2\\sin x+1$, khác với kết quả trên.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $\\left[0; \\frac{\\pi}{2}\\right]$ là $\\frac{\\pi}{6}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐạo hàm $f'(x)=-2\\sin x+1$ của hàm $f(x)=2\\cos x+x$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm nghiệm của phương trình $f'(x)=0$ trên đoạn $\\bigl[0;\\tfrac{\\pi}{2}\\bigr]$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiải $-2\\sin x+1=0\\Longrightarrow\\sin x=\\frac12$\n\nTrên đoạn $[0;\\tfrac{\\pi}{2}]$ chỉ có nghiệm $x=\\frac{\\pi}{6}$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\\left[0; \\frac{\\pi}{2} \\right]$ là $\\sqrt{3} + \\frac{\\pi}{6}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=2\\cos x + x$ trên đoạn $[0;\\tfrac{\\pi}{2}]$\n\nĐạo hàm $f'(x)=-2\\sin x+1$ và điểm tới hạn $x=\\tfrac{\\pi}{6}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính và so sánh giá trị của $f(x)$ tại các điểm $0$, $\\tfrac{\\pi}{6}$, $\\tfrac{\\pi}{2}$ để tìm giá trị lớn nhất\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n$f(0)=2$\n\n$f\\bigl(\\tfrac{\\pi}{2}\\bigr)=\\tfrac{\\pi}{2}\\approx1.571$\n\n$f\\bigl(\\tfrac{\\pi}{6}\\bigr)=2\\cos\\tfrac{\\pi}{6}+\\tfrac{\\pi}{6}=2\\cdot\\tfrac{\\sqrt3}{2}+\\tfrac{\\pi}{6}=\\sqrt3+\\tfrac{\\pi}{6}\\approx2.256$\n\nNhận thấy $\\sqrt3+\\tfrac{\\pi}{6}$ lớn nhất trong ba giá trị.\n\nKết luận: Đúng"}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200 m, tốc độ của ô tô là 36 km/h. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t) = at + b \\ (a,b \\in \\mathbb{R}, \\ a > 0)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6825b2bfd1af982131874b84","statements":[{"label":"A","text":"Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 $m$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nÔ tô cách điểm nhập làn 200 m, vận tốc ban đầu 36 km/h.\n\nSau 2 s, ô tô bắt đầu tăng tốc với $v(t)=at+b$.\n\nXe nhập làn sau 12 s kể từ khi bắt đầu tăng tốc.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐổi đơn vị: $36\\ \\text{km/h} = 36 \\times \\frac{1000}{3600} = 10\\ \\text{m/s}$.\n\nQuãng đường 2 s đầu không tăng tốc: $s_1 = v\\Delta t = 10 \\times 2 = 20\\ \\text{m}$.\n\nTổng quãng đường đến điểm nhập làn là 200 m, nên quãng đường tăng tốc: $200 - 20 = 180\\ \\text{m}$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Giá trị của $b$ là 10.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm tốc độ khi tăng tốc: $v(t)=at+b$, với $t$ tính từ thời điểm bắt đầu tăng tốc.\n\nTrước khi tăng tốc, ô tô chạy 2 s với $36\\ \\text{km/h} = 10\\ \\text{m/s}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định giá trị $b$ (vận tốc ban đầu tại $t=0$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTại $t=0$, $v(0)=b$ chính là vận tốc trước khi tăng tốc: $b=10\\ \\text{m/s}$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Quãng đường $S(t)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây $(0 \\le t \\le 24)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S(t) = \\int_0^{24} v(t) dt$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐịnh nghĩa quãng đường đi được trong thời gian $t$: $S(t)=\\int_0^t v(u)\\,du$.\n\nĐề bài cho công thức $S(t)=\\int_0^{24} v(t)\\,dt$ cho mọi $0\\le t\\le24$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra tính đúng/sai của công thức quãng đường theo biến $t$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức quãng đường từ 0 đến $t$ phải là $S(t)=\\int_0^t v(u)\\,du$, không phải cố định cận trên là 24.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTừ kết quả giải hệ, ta có $a=\\tfrac56\\,\\text{m/s}^2$, $b=10\\,\\text{m/s}$.\n\nSau 24 s, $v(24)=a\\cdot24+b$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nSo sánh vận tốc sau 24 s với giới hạn 100 km/h.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính $v(24)=\\tfrac56\\times24+10=20+10=30\\ \\text{m/s}$.\n\nĐổi sang km/h: $30\\ \\text{m/s}\\times3.6=108\\ \\text{km/h}$, vượt quá 100 km/h.\n\nKết luận: Sai"}],"chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"bài tập cuối chương iv","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 4","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời “sẽ mua”; có 95 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời “sẽ mua” và “không mua” lần lượt là 70% và 30%. \nGọi $A$ là biến cố “Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm”.\nGọi $B$ là biến cố “Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm”.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6825b2bfd1af982131874b84","statements":[{"label":"A","text":"Xác suất $P(B) = \\frac{21}{40}$ và $P(\\overline{B}) = \\frac{19}{40}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 200 khách hàng được phỏng vấn.\n\nTrong đó, 105 người trả lời “sẽ mua” và 95 người trả lời “không mua”.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất P(B) và $P(\\overline{B})$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBiết tổng số n = 200.\n\nSố người trả lời sẽ mua là 105, do đó $P(B) = \\frac{105}{200} = \\frac{21}{40}$.\n\nSố người trả lời không mua là 95, do đó $P(\\overline{B}) = \\frac{95}{200} = \\frac{19}{40}$.\n\nKết luận: Đúng."},{"label":"B","text":"Xác suất có điều kiện $P(A|B) = 0{,}3$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong số 200 khách hàng, có 105 người trả lời “sẽ mua”.\n\nTỉ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm khi trả lời “sẽ mua” là 70%.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác suất có điều kiện P(A|B).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo giả thiết, trong nhóm trả lời sẽ mua, xác suất thực sự mua là 0.7.\n\nDo đó $P(A|B) = 0.7$.\n\nKết luận: Sai."},{"label":"C","text":"Xác suất $P(A) = 0{,}51$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 200 khách hàng, 105 người trả lời “sẽ mua” và 95 người trả lời “không mua”.\n\nTỉ lệ thực sự mua sản phẩm là 70% nếu trả lời “sẽ mua” và 30% nếu trả lời “không mua”.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất tổng P(A).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nỨng dụng công thức xác suất toàn phần: $P(A) = P(B)P(A|B) + P(\\overline{B})P(A|\\overline{B})$.\n\nThay số: $P(A) = \\frac{21}{40} \\times 0.7 + \\frac{19}{40} \\times 0.3 = 0.51$.\n\nKết luận: Đúng."},{"label":"D","text":"Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có 70% người đã trả lời “sẽ mua” khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 200 khách hàng, 105 trả lời “sẽ mua” và 95 trả lời “không mua”.\n\nTỉ lệ thực sự mua sản phẩm khi trả lời “sẽ mua” là 70%.\n\nXác suất tổng P(A) đã tính là 0.51.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất có điều kiện P(B|A).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức: $P(B|A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)}$.\n\nTính $P(A \\cap B) = P(B)P(A|B) = \\frac{21}{40} \\times 0.7 = 0.3675$.\n\nDo đó $P(B|A) = \\frac{0.3675}{0.51} \\approx 0.72$ (khoảng 72%).\n\nKết luận: Sai."}],"chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"bài tập cuối chương vi","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 6","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $7\\,500\\,000 \\ km$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây hiểm nguy cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $6\\,600 \\ km$ so với mặt nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $6\\,400 \\ km$. \nChọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc O tại tâm Trái Đất và đơn vị đo dài trên mỗi trục là $1\\,000 \\ km$. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(6;20;0)$ đến điểm $N(-6;-12;16)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6825b2bfd1af982131874b84","statements":[{"label":"A","text":"Đường thẳng $MN$ có phương trình tham số là $\\begin{cases} x = 6 + 3t \\\\ y = 20 + 8t \\\\ z = -4t \\end{cases} \\ (t \\in \\mathbb{R})$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm M(6;20;0) và N(-6;-12;16).\n\nCần viết phương trình tham số của đường thẳng qua M và N.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định véc-tơ chỉ phương và một điểm để lập phương trình.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính véc-tơ chỉ phương: $\\vec{MN}=N-M=(-12,-32,16).$\n\nChia véc-tơ này cho -4 để giản ước: $(3,8,-4).$\n\nPhương trình tham số đường thẳng MN:\n$x=6+3t,\\ y=20+8t,\\ z=-4t,\\ t\\in\\mathbb{R}.$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm $A(-3;-4;12)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình tham số đường thẳng: $x=6+3t,\\ y=20+8t,\\ z=-4t.$ \n\nPhạm vi quan sát là khối cầu tâm O bán kính $13$ (đơn vị 1000\\ km).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định điểm thiên thạch đầu tiên chạm mặt cầu bán kính 13.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiải phương trình giao tuyến với mặt cầu:\n$(6+3t)^2+(20+8t)^2+(-4t)^2=169.$ \n\nRút gọn thành $89t^2+356t+267=0$, có nghiệm $t=-1$ và $t=-3$.\n\nKhi $t$ giảm từ 0 (M) xuống -4 (N), giá trị $t=-1$ là điểm vào phạm vi quan sát tại $(3,12,4)$, không phải $(-3,-4,12)$.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là $18\\,900 \\ km$ (kết quả làm tròn đến hàng trăm đơn vị, vi-kilô-mét).","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm vào phạm vi: $A_1=(3,12,4)$ và điểm ra khỏi phạm vi: $A_2=(-3,-4,12).$\n\nMỗi đơn vị tọa độ tương ứng $1000\\ km$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính khoảng cách hai điểm trong không gian rồi nhân với $1000\\ km$ và làm tròn đến hàng trăm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nKhoảng cách trong hệ toạ độ:\n$d=\\sqrt{(3-(-3))^2+(12-(-4))^2+(4-12)^2}=\n \\sqrt{6^2+16^2+(-8)^2}=\\sqrt{356}\\approx18.867.$ \n\nNhân với $1000\\ km$: $d\\approx18867\\ km$, làm tròn đến hàng trăm là $18900\\ km$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Nếu thiên thạch di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ $M$ đến $N$ là 6 phút.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nThiên thạch vào và ra phạm vi quan sát tại $t=-1$ và $t=-3$.\n\nThời gian tham số trong phạm vi $\\Delta t=2$ đơn vị tham số.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCho biết thời gian thiên thạch di chuyển trong phạm vi là $3$ phút, hỏi tổng thời gian từ M đến N.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n$2$ tham số tương ứng $3$ phút $\\Rightarrow 1$ tham số là $1.5$ phút.\n\nTổng tham số từ M (t=0) đến N (t=-4) là $4$ đơn vị $\\Rightarrow4\\times1.5=6$ phút.\n\nKết luận: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-2025-co-dap-an/1XNox3ucZ_Wz9bGUGiW_r_sAegzwydRA5_2025-05-15092403.jpg"],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB = 5, BC = 6, CA = 7$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6825b2bfd1af982131874b85","correctAnswer":"4,9","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nHình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ với đáy là tam giác $ABC$ và các cạnh bên $AA', BB', CC'$ vuông góc với mặt đáy. \n\n$AB = 5,\\; BC = 6,\\; CA = 7$. \n\nCần tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nVì $AA'\\perp (ABC)$ và $BC\\subset (ABC)$, nên khoảng cách giữa $AA'$ và $BC$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BC$. \n\nÁp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong mặt phẳng: \n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nBước 1: Xác định nhờ tính chất của lăng trụ đứng, khoảng cách cần tìm là \n\nBước 2: Tính bán chu vi và diện tích tam giác $ABC$ theo công thức Heron: \n\nBước 3: Tính khoảng cách từ $A$ đến $BC$: \n\n✅ Đáp án: 4,9","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-2025-co-dap-an/THPT_TKT_2025_BGDDT_Cu_17_2025-06-05044503.jpeg"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"khoảng cách","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":18,"text":"Một trò chơi điện tử quy định như sau: Có 4 trụ $A, B, C, D$ với số lượng các thử thách trên đường đi giữa các cặp trụ được mô tả trong hình bên. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì người chơi sẽ bị buộc phải theo hướng thẻ quay trở lại trụ đó được nêu ra, nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường đi mà đảm bảo điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6825b2bfd1af982131874b85","correctAnswer":"43","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 4 trụ $A, B, C, D$. \n\nSố thử thách trên mỗi đoạn: $AB=10$, $AC=11$, $BC=12$, $AD=9$, $BD=11$, $CD=14$. \n\nNgười chơi xuất phát từ một trụ, đi qua tất cả trụ còn lại rồi trở về trụ ban đầu. \n\nYêu cầu: tìm tổng thử thách của đường đi sao cho nhỏ nhất.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhải tìm chu trình Hamilton (đi qua mỗi đỉnh đúng một lần và quay về điểm xuất phát) trên đồ thị đầy đủ có 4 đỉnh. \n\nÁp dụng kiến thức bài toán người du lịch (TSP) để tính tổng trọng số nhỏ nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiả sử bắt đầu tại trụ $A$, liệt kê tất cả chu trình Hamilton đi qua 4 trụ và về lại $A$: \n$A\\to B\\to C\\to D\\to A$: \ntổng = $AB+BC+CD+DA=10+12+14+9=45\\,.$ \n\n$A\\to B\\to D\\to C\\to A$: \ntổng = $AB+BD+DC+CA=10+11+14+11=46\\,.$ \n\n$A\\to C\\to B\\to D\\to A$: \ntổng = $AC+CB+BD+DA=11+12+11+9=43\\,.$ \n\n$A\\to C\\to D\\to B\\to A$: \ntổng = $AC+CD+DB+BA=11+14+11+10=46\\,.$ \n\n$A\\to D\\to B\\to C\\to A$: \ntổng = $AD+DB+BC+CA=9+11+12+11=43\\,.$ \n\n$A\\to D\\to C\\to B\\to A$: \ntổng = $AD+DC+CB+BA=9+14+12+10=45\\,.$\n\nTrong các giá trị trên, kết quả nhỏ nhất là $43\\,.$\n\n✅ Đáp án: 43","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-2025-co-dap-an/1xhl-B4BFdCBiVToC6NiaFaPS1zfrOKv8_2025-05-15092403.jpg"],"chapter":"chuyên đề 2. làm quen với một vài khái niệm của lí thuyết đồ thị","topic":"bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bài toán tìm đường đi ngắn nhất","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3;1;0), B(3;6;6), C(4;6;2), D(6;2;14)$; vị trí $M(a;b;c)$ thỏa mãn $MA = 3, MB = 6, MC = 5, MD = 13$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $O$ bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6825b2bfd1af982131874b85","correctAnswer":"3","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nTọa độ bốn vệ tinh: \nA(3;1;0), B(3;6;6), C(4;6;2), D(6;2;14). \n\nĐộ dài các đoạn: \n$MA=3,\\quad MB=6,\\quad MC=5,\\quad MD=13.$ \n\nM có tọa độ $M(a;b;c)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nTìm khoảng cách từ điểm $M(a;b;c)$ đến gốc tọa độ $O$, tức $OM=\\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. \n\nPhải thiết lập hệ phương trình cho điều kiện khoảng cách trong không gian 3 chiều và giải tìm $a,b,c$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nViết phương trình khoảng cách theo định nghĩa: \n$\\begin{cases}\n (a-3)^2+(b-1)^2+c^2=9,\\\\\n (a-3)^2+(b-6)^2+(c-6)^2=36,\\\\\n (a-4)^2+(b-6)^2+(c-2)^2=25,\\\\\n (a-6)^2+(b-2)^2+(c-14)^2=169.\n\\end{cases}$\n\nLập hiệu dần các phương trình để khử bình phương, thu được hệ tuyến tính: \n$\\begin{cases}\n 5b+6c=22,\\\\\n a-4c=-7,\\\\\n a-2b+6c=9.\n\\end{cases}$\n\nGiải hệ trên: \nTừ $a=4c-7$ và thay vào hai phương trình còn lại, tìm được $c=2$. \n\nKhi đó $b=5c-8=2$ và $a=4\\cdot2-7=1$.\n\nKết luận $M(1;2;2)$, suy ra \n$OM=\\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\\sqrt{9}=3.$\n\n✅ Đáp án: 3","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 5","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là $60 \\ m$ và $80 \\ m$. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh trong cùng của hình chữ nhật bằng $20 \\ m$ (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6825b2bfd1af982131874b85","correctAnswer":"3200","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMột khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với:\nChiều rộng: $60\\,m$\n\nChiều dài: $80\\,m$\n\nHai đầu hình chữ nhật có phần cong tạo bởi parabol, đỉnh tại trục đối xứng và cách đáy trong cùng $20\\,m$.\n\nPhần tô đậm là sân chơi; phần còn lại là khu trồng hoa.\n\nYêu cầu: Tính diện tích phần sân chơi.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính diện tích phần sân chơi.\n\nCần:\nDùng kiến thức về tích phân để tính diện tích giới hạn bởi parabol và đường thẳng.\n\nÁp dụng công thức diện tích hình chữ nhật.\n\nTrừ đi phần diện tích 2 miền cong của parabol.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Diện tích hình chữ nhật:\n$S_{\\text{chữ nhật}} = 60 \\times 80 = 4800\\,m^2$\n\nBước 2: Xác định phương trình parabol:\nCó dạng $y = ax^2$ vì:\nĐi qua gốc tọa độ ⇒ $c = 0$.\n\nĐỉnh nằm trên trục tung ⇒ $b = 0$.\n\nĐi qua điểm $(30, 20)$:\n$20 = a \\cdot 30^2 \\Rightarrow a = \\dfrac{1}{45}$\n\n⇒ Parabol: $y = \\dfrac{1}{45}x^2$\n\nBước 3: Tính diện tích phần cong (một miền trồng hoa):\nDiện tích giới hạn giữa đường thẳng $y = 20$ và parabol $y = \\dfrac{1}{45}x^2$:\n$S_1 = \\int_{-30}^{30} \\left(20 - \\dfrac{1}{45}x^2\\right) dx$\nHàm đối xứng ⇒ tính từ 0 đến 30 rồi nhân đôi:\n$= 2 \\cdot \\int_0^{30} \\left(20 - \\dfrac{1}{45}x^2\\right) dx\n= 2 \\cdot \\left[20x - \\dfrac{1}{135}x^3\\right]_0^{30}\n= 2 \\cdot (600 - 200) = 800\\,m^2$\n\nBước 4: Diện tích phần sân chơi:\nCó 2 phần cong ⇒ diện tích cần trừ là:\n$2 \\cdot 800 = 1600\\,m^2$\n\nVậy:\n$S_{\\text{sân chơi}} = 4800 - 1600 = \\boxed{3200\\,m^2}$\n\n✅ Đáp án: $3200\\,m^2$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-2025-co-dap-an/THPT_TKT_2025_BGDDT_Cu_20_2025-06-05052103.jpeg","/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-2025-co-dap-an/1BPMteE-lT5jVgCK-sOF-Kb345yTW4VJe_2025-05-15092403.jpg"],"chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"ứng dụng hình học của tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng","difficulty":"vận dụng"},{"id":21,"text":"Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \\le x \\le 500)$ thì doanh thu thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x) = x^3 -1999x^2 + 1001000x + 250000 \\ (\\text{đồng})$, trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x) = x + 1000 + \\frac{250000}{x} \\ (\\text{đồng})$. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt lớn nhất?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6825b2bfd1af982131874b85","correctAnswer":"333","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSố sản phẩm sản xuất: $x$ với $1 \\le x \\le 500$ \n\nDoanh thu khi bán hết: $F(x) = x^3 -1999x^2 +1001000x +250000\\ \\text{(đồng)}$ \n\nChi phí sản xuất bình quân mỗi sản phẩm: $G(x) = x +1000 +\\frac{250000}{x}\\ \\text{(đồng)}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tìm giá trị $x$ để lợi nhuận đạt lớn nhất. \n\nLợi nhuận = Doanh thu – Tổng chi phí. \n\nTổng chi phí = $x \\times G(x)\\,$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tổng chi phí: \n$T(x) = x\\cdot G(x) = x(x+1000) + 250000 = x^2 +1000x +250000.$\n\nViết hàm lợi nhuận: \n\nTìm điểm cực trị qua đạo hàm: \n$P'(x) = 3x^2 -4000x +1000000.$\n\nGiải phương trình $P'(x)=0$:\nKết quả: $x_1 = 1000\\,,\\quad x_2 \\approx 333.33.$\n\nTrong miền $[1;500]$ chỉ có $x_2$ khả thi. Vì $x$ phải là số nguyên, xét $P(333)$ và $P(334)$ cho thấy \n$P(333) > P(334).$ \n⇒ Chọn $x = 333$ để lợi nhuận lớn nhất.\n\n✅ Đáp án: 333 sản phẩm","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6825b2bfd1af982131874b85","correctAnswer":"0,08","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHộp I có 6 quả bóng đỏ, 4 quả bóng vàng. \n\nHộp II có 7 quả bóng đỏ, 3 quả bóng vàng. \n\nChuyển ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp I sang hộp II. \n\nSau đó rút ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp II. \n\nBiết quả bóng rút ra từ hộp II có màu đỏ.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất để quả bóng rút ra từ hộp II chính là quả bóng vừa chuyển từ hộp I, dưới điều kiện biết bóng đó màu đỏ. \n\nVận dụng kiến thức xác suất có điều kiện.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $T$ là biến cố \"bóng rút ra từ hộp II là quả bóng đã chuyển\". \n\nGọi $R$ là biến cố \"bóng rút ra từ hộp II có màu đỏ\". \n\nTheo định nghĩa xác suất có điều kiện: \n$P(T\\mid R)=\\frac{P(T\\cap R)}{P(R)}.$\n\nTính $P(T\\cap R)$: \nXác suất quả bóng chuyển sang là đỏ: $\\frac{6}{10}.$ \n\nKhi đó tổng số bóng trong hộp II là 11, xác suất rút đúng quả bóng đó: $\\frac{1}{11}.$ \n⇒ $P(T\\cap R)=\\frac{6}{10}\\cdot\\frac{1}{11}=\\frac{6}{110}.$\n\nTính $P(R)$ theo xác suất toàn phần: \nNếu chuyển quả đỏ: $\\frac{6}{10}\\times\\frac{8}{11}=\\frac{48}{110}.$ \n\nNếu chuyển quả vàng: $\\frac{4}{10}\\times\\frac{7}{11}=\\frac{28}{110}.$ \n⇒ $P(R)=\\frac{48+28}{110}=\\frac{76}{110}=\\frac{38}{55}.$\n\nKết luận: \n$P(T\\mid R)=\\frac{\\frac{6}{110}}{\\frac{38}{55}}\n =\\frac{6\\cdot55}{110\\cdot38}\n =\\frac{3}{38}\\approx0{,}079\\approx8\\%.$\n\n✅ Đáp án: $8\\%$","chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"xác suất có điều kiện","grade":"GRADE_12","questionCategory":"xác suất có điều kiện","difficulty":"vận dụng cao"}]}