{"title":"Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Cụm chuyên môn số 3 Sở GD&ĐT Đắk Lắk năm 2025 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2025,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"684ea3a9ede1c566b23972a3","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"684ea3a9ede1c566b23972a4","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"684ea3a9ede1c566b23972a5","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(2; 1; -3)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $M(2; 1; -3)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a3","options":[{"label":"A","text":"$(0; 1; 0)$","correct":false,"reason":"Sai vì điểm trên trục $Ox$ phải có dạng $(x;0;0)$, trong khi đây là $(0;1;0)$ với hoành độ $0\\neq 2$ và tung độ $1\\neq 0$. Đây thực chất là hình chiếu của $M$ lên trục $Oy$."},{"label":"B","text":"$(0; 1; -3)$","correct":false,"reason":"Sai vì điểm $(0;1;-3)$ có tung độ $y=1\\neq 0$ và cao độ $z=-3\\neq 0$, nên không thuộc trục $Ox$. Đây là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $Oyz$ (mặt phẳng $x=0$)."},{"label":"C","text":"$(2; 0; 0)$","correct":true,"reason":"Đúng vì hình chiếu vuông góc của $M(x_M;y_M;z_M)$ lên trục $Ox$ có tọa độ $(x_M;0;0)$. Với $M(2;1;-3)$ ta được $(2;0;0)$."},{"label":"D","text":"$(0; 0; -3)$","correct":false,"reason":"Sai vì điểm này có hoành độ $0\\neq 2$ và cao độ $-3\\neq 0$, không thỏa mãn dạng $(x;0;0)$ của trục $Ox$. Đây là hình chiếu của $M$ lên trục $Oz$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $M(2;1;-3)$ trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. \n\nYêu cầu tìm hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên trục $Ox$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMuốn tìm điểm trên trục $Ox$ sao cho đoạn nối từ $M$ đến điểm đó vuông góc với trục $Ox$. \n\nTrục $Ox$ bao gồm tất cả các điểm có tọa độ dạng $(x;0;0)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $H(x_H,y_H,z_H)$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên trục $Ox$. \n\nVì $H$ nằm trên trục $Ox$ nên phải có \n$y_H=0\\quad\\text{và}\\quad z_H=0.$ \n\nĐồng thời, chiếu vuông góc lên trục $Ox$ giữ nguyên hoành độ, nên \n$x_H = x_M = 2.$ \n\nKết luận: \n$H\\bigl(x_H,y_H,z_H\\bigr) = (2;0;0).$\n\n✅ Đáp án: $(2;0;0)$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $(0;1;0)$ sai vì hoành độ không giữ nguyên và điểm không thuộc trục $Ox$. \n\nB. $(0;1;-3)$ sai vì cả tung độ và cao độ không bằng 0, nên không nằm trên trục $Ox$. \n\nD. $(0;0;-3)$ sai vì hoành độ không đúng và cao độ không 0.","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"hệ trục tọa độ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Trong không gian $Oxy$, cho hai vectơ $\\overrightarrow{a} = (2; 3; 3)$, $\\overrightarrow{b} = (3; 2; -1)$. Khi đó tích vô hướng $\\overrightarrow{a} \\cdot \\overrightarrow{b}$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a3","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{a} \\cdot \\overrightarrow{b} = 9$","correct":true,"reason":"Áp dụng đúng công thức tích vô hướng $\\overrightarrow{a} \\cdot \\overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$, ta có $\\overrightarrow{a} \\cdot \\overrightarrow{b} = 2 \\cdot 3 + 3 \\cdot 2 + 3 \\cdot (-1) = 6 + 6 - 3 = 9$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{a} \\cdot \\overrightarrow{b} = 7$","correct":false,"reason":"Sai do tính toán nhầm lẫn, có thể đã tính $6 + 6 - 5 = 7$ hoặc thực hiện phép cộng/trừ sai các tích thành phần."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{a} \\cdot \\overrightarrow{b} = 3$","correct":false,"reason":"Sai do bỏ sót thành phần $a_x b_x = 6$, chỉ tính $3 \\cdot 2 + 3 \\cdot (-1) = 3$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{a} \\cdot \\overrightarrow{b} = 15$","correct":false,"reason":"Sai do bỏ qua dấu âm của $b_z$, tính $2 \\cdot 3 + 3 \\cdot 2 + 3 \\cdot 1 = 15$ thay vì $3 \\cdot (-1) = -3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho không gian Oxy (thực chất là không gian Oxyz nhưng chỉ xét tọa độ 3 chiều).\n\nVectơ $\\overrightarrow{a} = (2; 3; 3)$.\n\nVectơ $\\overrightarrow{b} = (3; 2; -1)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tính tích vô hướng $\\overrightarrow{a} \\cdot \\overrightarrow{b}$.\n\nCần áp dụng công thức tích vô hướng trong không gian 3 chiều.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo công thức tích vô hướng trong không gian 3 chiều, nếu $\\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z)$ và $\\overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)$ thì\n$\\overrightarrow{a}\\cdot\\overrightarrow{b}\n = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.$\n\nÁp dụng với $\\overrightarrow{a}=(2;3;3)$ và $\\overrightarrow{b}=(3;2;-1)$:\n$\\overrightarrow{a}\\cdot\\overrightarrow{b}\n = 2\\cdot 3 + 3\\cdot 2 + 3\\cdot(-1).$\n\nTính từng tích:\n$2\\cdot 3 = 6$\n\n$3\\cdot 2 = 6$\n\n$3\\cdot (-1) = -3$\n\nCộng lại:\n$6 + 6 - 3 = 9.$\n\n✅ Đáp án: $9$\n❌ Các đáp án khác:\nB. 7: Sai vì tính toán $6+6-3$ đã cho $9$, không phải $7$.\n\nC. 3: Sai vì $6+6-3\\neq 3$.\n\nD. 15: Sai vì $6+6-3\\neq 15$.","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"biểu thức tọa độ của tích vô hướng","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Một mẫu số liệu ghép nhóm có độ lệch chuẩn bằng 3 thì có phương sai bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a3","options":[{"label":"A","text":"$s^2 = 3$","correct":false,"reason":"Sai vì phương sai $s^2$ được định nghĩa là bình phương của độ lệch chuẩn $s$, do đó $s^2 = 3^2 = 9 \\neq 3$."},{"label":"B","text":"$s^2 = 6$","correct":false,"reason":"Sai vì $3^2 = 9$ chứ không phải $6$ (có thể do nhầm lẫn giữa phép nhân đôi và phép bình phương)."},{"label":"C","text":"$s^2 = 9$","correct":true,"reason":"Đúng vì theo định nghĩa phương sai bằng bình phương độ lệch chuẩn: $s^2 = 3^2 = 9$."},{"label":"D","text":"$s^2 = \\sqrt{3}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\sqrt{3}$ là căn bậc hai của độ lệch chuẩn, trong khi phương sai phải là bình phương $3^2 = 9$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMột mẫu số liệu ghép nhóm có độ lệch chuẩn $s = 3$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính phương sai khi biết độ lệch chuẩn.\n\nÁp dụng mối liên hệ giữa phương sai và độ lệch chuẩn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo định nghĩa, phương sai $s^2$ bằng bình phương của độ lệch chuẩn $s$:\n$s^2 = (s)^2$\n\nThay giá trị $s = 3$ vào công thức:\n$s^2 = 3^2 = 9$\n\nSo sánh với các lựa chọn đáp án:\nĐáp án cho giá trị bằng $9$ là chính xác.\n\n✅ Đáp án: $9$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $s^2 = 3$: sai vì $3^2 \\neq 3$. \n\nB. $s^2 = 6$: sai vì $3^2 \\neq 6$. \n\nD. $s^2 = \\sqrt{3}$: sai vì $3^2 \\neq \\sqrt{3}$.","chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"phương sai và độ lệch chuẩn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"phương sai và độ lệch chuẩn","difficulty":"nhận biết"},{"id":4,"text":"Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau. Tìm khoảng biến thiên cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a3","options":[{"label":"A","text":"$4$","correct":false,"reason":"Đây chỉ là độ rộng của mỗi khoảng nhóm ($4-0=4$), không phải khoảng biến thiên của toàn bộ dữ liệu. Khoảng biến thiên phải tính từ mốc dưới nhóm đầu đến mốc trên nhóm cuối."},{"label":"B","text":"$15$","correct":false,"reason":"Giá trị $15$ không phải là hiệu giữa giá trị lớn nhất ($20$) và nhỏ nhất ($0$) của mẫu số liệu. Theo công thức $R = x_{\\max} - x_{\\min}$, kết quả đúng là $20-0=20$."},{"label":"C","text":"$20$","correct":true,"reason":"Đúng vì khoảng biến thiên $R = x_{\\max} - x_{\\min} = 20 - 0 = 20$, với $x_{\\max}=20$ là mốc trên của nhóm cuối $[16; 20)$ và $x_{\\min}=0$ là mốc dưới của nhóm đầu $[0; 4)$."},{"label":"D","text":"$16$","correct":false,"reason":"Đây là mốc dưới của khoảng cuối cùng $[16; 20)$, không phải khoảng biến thiên. Khoảng biến thiên phải là hiệu giữa mốc trên nhóm cuối ($20$) và mốc dưới nhóm đầu ($0$)."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nThời gian hoàn thành bài tập được ghép nhóm theo các khoảng (phút): [0; 4), [4; 8), [8; 12), [12; 16), [16; 20). \n\nSố học sinh trong mỗi khoảng tương ứng là: 2, 4, 7, 4, 3. \n\nPhải tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm khoảng biến thiên (range) của dữ liệu ghép nhóm. \n\nÁp dụng công thức: \n$\\text{Khoảng biến thiên} = x_{\\max} - x_{\\min}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định giá trị nhỏ nhất $x_{\\min}$: do dữ liệu ghép nhóm, giá trị nhỏ nhất là mốc dưới của khoảng đầu tiên, tức $0$. \n\nXác định giá trị lớn nhất $x_{\\max}$: mốc trên của khoảng cuối cùng, tức $20$. \n\nÁp dụng công thức tính khoảng biến thiên: \n\n✅ Đáp án: $20$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $4$: đây chỉ là độ dài mỗi khoảng nhóm đầu, không phải khoảng biến thiên của toàn bộ dữ liệu. \n\nB. $15$: không xuất phát từ hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong tập số liệu ghép nhóm. \n\nD. $16$: là mốc dưới của khoảng cuối, chứ không phải hiệu giữa giá trị cực đại và cực tiểu.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-3-tinh-dak-lak-2025-lan-1-co-dap-an/1osYHDN29ibgB_xuQnPUIUd03aHNj2XK0_2025-06-15104237.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khoảng biến thiên","difficulty":"nhận biết"},{"id":5,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\\overrightarrow{a} = (2; 3; 3)$, $\\overrightarrow{b} = (0; -2; -1)$, $\\overrightarrow{c} = (1; -2; 1)$. Khi đó tọa độ của vectơ $\\overrightarrow{u} = 2\\overrightarrow{a} + \\overrightarrow{b} - \\overrightarrow{c}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a3","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{u} = (1; 2; 3)$","correct":false,"reason":"Sai do không nhân hệ số $2$ với vectơ $\\overrightarrow{a}$ (tính $\\overrightarrow{a}+\\overrightarrow{b}-\\overrightarrow{c}$ thay vì $2\\overrightarrow{a}+\\overrightarrow{b}-\\overrightarrow{c}$) hoặc nhầm lẫn dấu khi cộng/trừ các thành phần tương ứng."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{u} = (3; 6; 4)$","correct":true,"reason":"Đúng vì $2\\overrightarrow{a}=(4;6;6)$, cộng $\\overrightarrow{b}$ được $(4;4;5)$, trừ $\\overrightarrow{c}$ (tức cộng $(-1;2;-1)$) nên $\\overrightarrow{u}=(3;6;4)$."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{u} = (3; -1; 5)$","correct":false,"reason":"Sai do tính nhầm thành phần $y$: có thể đã tính $6+(-2)=-1$ thay vì $4$ khi cộng $\\overrightarrow{b}$, hoặc $4-(-2)=-1$ thay vì $6$ khi trừ $\\overrightarrow{c}$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{u} = (1; 3; 3)$","correct":false,"reason":"Sai do thực hiện phép tính không nhất quán, có thể đã cộng/trừ sai hệ số hoặc nhầm lẫn thứ tự các vectơ dẫn đến kết quả $(1;3;3)$ không khớp với biểu thức $2\\overrightarrow{a}+\\overrightarrow{b}-\\overrightarrow{c}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ \n\n$\\overrightarrow{a} = (2; 3; 3)$ \n\n$\\overrightarrow{b} = (0; -2; -1)$ \n\n$\\overrightarrow{c} = (1; -2; 1)$ \n\nYêu cầu tìm tọa độ của $\\overrightarrow{u} = 2\\overrightarrow{a} + \\overrightarrow{b} - \\overrightarrow{c}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần áp dụng quy tắc nhân vectơ với số và cộng/trừ các thành phần tương ứng để tìm tọa độ của $\\overrightarrow{u}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính $2\\overrightarrow{a}$ theo từng thành phần: \n$2\\overrightarrow{a} = 2\\,(2;3;3) = (4;6;6).$ \n\nViết lại $\\overrightarrow{b}$ và $\\overrightarrow{c}$: \n$\\overrightarrow{b} = (0; -2; -1),\\quad \\overrightarrow{c} = (1; -2; 1).$ \n\nCộng $2\\overrightarrow{a} + \\overrightarrow{b}$: \n$(4;6;6) + (0; -2; -1) = (4 + 0;\\;6 - 2;\\;6 - 1) = (4;4;5).$ \n\nTrừ thêm $\\overrightarrow{c}$: \n$(4;4;5) - (1; -2; 1) = (4 - 1;\\;4 - (-2);\\;5 - 1) = (3;6;4).$\n\n✅ Đáp án: $\\overrightarrow{u} = (3;6;4)$ \n❌ Các đáp án khác: \nA. $(1;2;3)$ sai vì cộng/trừ thành phần không đúng (không lấy đủ hệ số 2 khi nhân với $\\overrightarrow{a}$). \n\nC. $(3;-1;5)$ sai do tính nhầm thành phần thứ hai khi cộng $\\overrightarrow{b}$. \n\nD. $(1;3;3)$ sai do cộng cả ba thành phần không nhất quán với phép tính chính xác.","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ","difficulty":"nhận biết"},{"id":6,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$, có đồ thị trên đoạn $[-2; 2]$ như hình vẽ. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $[-2; 2]$ lần lượt là $M$ và $m$. Khi đó $M - m$ bằng:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a3","options":[{"label":"A","text":"$5$","correct":true},{"label":"B","text":"$3$","correct":false},{"label":"C","text":"$-4$","correct":false},{"label":"D","text":"$0$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị hàm số $y = f(x)$ xác định trên đoạn $[-2;2]$. \n\nĐồ thị đi qua các điểm $(-2;-4)$, $(-1;1)$, có điểm cực tiểu $(0{.}5;-3)$ và đi qua $(2;-2)$. \n\nYêu cầu: gọi giá trị lớn nhất là $M$, giá trị nhỏ nhất là $m$ trên đoạn $[-2;2]$, tính $M - m$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số trên đoạn cho trước. \n\nTính hiệu của hai giá trị đó, tức là $M - m$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLập bảng giá trị tại các điểm đặc biệt: \n$f(-2) = -4$ \n\n$f(-1) = 1$ \n\n$f(0.5) = -3$ \n\n$f(2) = -2$\n\nXác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: \n$M = \\max\\{-4,\\,1,\\,-3,\\,-2\\} = 1$ \n\n$m = \\min\\{-4,\\,1,\\,-3,\\,-2\\} = -4$\n\nTính hiệu: \n\n✅ Đáp án: $5$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $3$: Sai vì hiệu các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất không phải là 3. \n\nC. $-4$: Sai vì hiệu không thể là một số âm. \n\nD. $0$: Sai vì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất không trùng nhau, nên hiệu khác 0.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-3-tinh-dak-lak-2025-lan-1-co-dap-an/1uPDEpKTgfTvMbV5E8IA36dDZcTVSSjzQ_2025-06-15104237.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn","difficulty":"thông hiểu"},{"id":7,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho $\\overrightarrow{a} = (2; -2; 6)$. Khi đó độ dài của vectơ $\\overrightarrow{a}$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a3","options":[{"label":"A","text":"$\\left|\\overrightarrow{a}\\right| = 6$","correct":false,"reason":"Sai vì $|\\overrightarrow{a}| = \\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 6^2} = \\sqrt{44} = 2\\sqrt{11} \\neq 6$, do $6^2 = 36 \\neq 44$."},{"label":"B","text":"$\\left|\\overrightarrow{a}\\right| = 2\\sqrt{11}$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức $|\\overrightarrow{a}| = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ta có $|\\overrightarrow{a}| = \\sqrt{4 + 4 + 36} = \\sqrt{44} = 2\\sqrt{11}$."},{"label":"C","text":"$\\left|\\overrightarrow{a}\\right| = 44$","correct":false,"reason":"Sai vì $44$ là giá trị của tổng $x^2 + y^2 + z^2$ dưới dấu căn, chưa thực hiện phép khai căn nên chưa phải là độ dài vectơ."},{"label":"D","text":"$\\left|\\overrightarrow{a}\\right| = \\sqrt{11}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\sqrt{44} = \\sqrt{4 \\cdot 11} = 2\\sqrt{11} \\neq \\sqrt{11}$, thiếu hệ số $2$ khi rút gọn."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong không gian Oxyz, cho vectơ $\\overrightarrow{a} = (2; -2; 6)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tính độ dài của vectơ $\\overrightarrow{a}$.\n\nSử dụng công thức độ dài vectơ trong không gian 3 chiều.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức chung: \n$\\bigl|\\overrightarrow{a}\\bigr| = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\,,\\quad \\text{với } \\overrightarrow{a}=(x;y;z).$\n\nÁp dụng cho $\\overrightarrow{a}=(2;\\,-2;\\,6):$ \nTính bình phương các thành phần: \n$2^2 = 4,\\quad (-2)^2 = 4,\\quad 6^2 = 36.$\n\nCộng lại: \n$4 + 4 + 36 = 44.$\n\nVậy \n$\\bigl|\\overrightarrow{a}\\bigr| = \\sqrt{44} = 2\\sqrt{11}.$\n\n✅ Đáp án: $2\\sqrt{11}$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $6$: Sai vì $\\sqrt{44}\\neq 6\\;(6^2=36\\neq44).$ \n\nC. $44$: Sai vì 44 là giá trị dưới dấu căn, không phải kết quả của căn. \n\nD. $\\sqrt{11}$: Sai vì $\\sqrt{44} = 2\\sqrt{11}\\neq \\sqrt{11}.$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ","difficulty":"nhận biết"},{"id":8,"text":"Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a3","options":[{"label":"A","text":"$y = x^3 - 3x^2 + 1$","correct":false,"reason":"Đây là hàm đa thức bậc 3 nên không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, trong khi đồ thị đã cho có tiệm cận đứng $x = -1$ và tiệm cận ngang $y = 1$."},{"label":"B","text":"$y = \\frac{x^2 - x - 1}{x + 2}$","correct":false,"reason":"Hàm số có tiệm cận đứng tại $x = -2$ và có tiệm cận xiên (do bậc tử số lớn hơn bậc mẫu), không khớp với tiệm cận đứng $x = -1$ và tiệm cận ngang $y = 1$ của đồ thị."},{"label":"C","text":"$y = \\frac{x + 1}{x - 3}$","correct":false,"reason":"Hàm số có tiệm cận đứng tại $x = 3$ (do $x - 3 = 0$), không phải $x = -1$ như trong hình vẽ."},{"label":"D","text":"$y = \\frac{x - 1}{x + 1}$","correct":true,"reason":"Hàm số có tiệm cận đứng $x = -1$, tiệm cận ngang $y = 1$ và đi qua các điểm $(0; -1)$, $(1; 0)$, phù hợp hoàn toàn với đặc điểm của đồ thị."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐường tiệm cận đứng: $x = -1$ \n\nĐường tiệm cận ngang: $y = 1$ \n\nĐồ thị đi qua hai điểm $(0; -1)$ và $(1; 0)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định hàm số nào có đồ thị như trên. \n\nCần áp dụng kiến thức về hàm phân thức bậc nhất, xác định tiệm cận và sử dụng điểm thuộc đồ thị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiả sử hàm số có dạng $y = \\frac{ax + b}{cx + d}\\,.$\n\nBước 1: Xét tiệm cận ngang \n\nBước 2: Xét tiệm cận đứng tại $x=-1$ \n$cx + d = 0\\ \\text{tại}\\ x=-1\\;\\Longrightarrow\\;-c + d = 0\\;\\Longrightarrow\\;d = c.$\n\nChọn hệ số tỷ lệ $c=1$ thì $a=1,\\ d=1$, suy ra \n$y = \\frac{x + b}{x + 1}.$\n\nBước 3: Thay điểm $(0; -1)$ vào để tìm $b$ \n$-1 = \\frac{0 + b}{0 + 1}\\;\\Longrightarrow\\;b = -1.$\n\nVậy hàm số là \n$\\boxed{y = \\frac{x - 1}{x + 1}}.$\n\nKiểm tra: với $x=1$, $y = \\frac{1-1}{1+1}=0$ đúng theo điểm $(1;0).$\n\n✅ Đáp án: $y = \\frac{x - 1}{x + 1}$\n❌ Các đáp án khác:\nA: $y = x^3 - 3x^2 + 1$: là đa thức, không có tiệm cận. \n\nB: $y = \\frac{x^2 - x - 1}{x + 2}$: tiệm cận đứng $x=-2$, không khớp. \n\nC: $y = \\frac{x + 1}{x - 3}$: tiệm cận đứng $x=3$, sai so với $x=-1$.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-3-tinh-dak-lak-2025-lan-1-co-dap-an/1IS59gx7DFtzsVWxqp9Eq40bVeiLdh7rP_2025-06-15104237.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ","difficulty":"thông hiểu"},{"id":9,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a3","options":[{"label":"A","text":"$(1; 3)$","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(1; 3) \\subset (-\\infty; 3)$, ta có $f'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến, không phải nghịch biến."},{"label":"B","text":"$(3; 4)$","correct":true,"reason":"Trên khoảng $(3; 4)$, đạo hàm $f'(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng này."},{"label":"C","text":"$(4; +\\infty)$","correct":false,"reason":"Trên $(4; +\\infty)$, đạo hàm $f'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến, không thỏa mãn điều kiện nghịch biến."},{"label":"D","text":"$(-\\infty; 2)$","correct":false,"reason":"Khoảng $(-\\infty; 2)$ nằm trong $(-\\infty; 3)$ nên $f'(x) > 0$, do đó hàm số đồng biến chứ không nghịch biến."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho bảng xét dấu đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ (hình ảnh đính kèm). \n\nTheo bảng, \n$f'(x)>0$ trên $(-\\infty;3)$, \n\n$f'(x)<0$ trên $(3;4)$, \n\n$f'(x)>0$ trên $(4;+\\infty)$.\n\nCác phương án cần so sánh: $(1;3)$, $(3;4)$, $(4;+\\infty)$, $(-\\infty;2)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định khoảng hàm số nghịch biến. \n\nTheo định nghĩa, hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi \n$f'(x)<0\\quad\\text{trên khoảng đó.}$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhắc lại điều kiện nghịch biến \nHàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $I$ nếu với mọi $x\\in I$ ta có \n$f'(x)<0.$\n\nBước 2: Đọc bảng xét dấu đạo hàm (từ hình ảnh đính kèm) \nPhát hiện $f'(x)<0$ chỉ khi $30$, hàm số tăng chứ không nghịch biến. \n\nC. $(4;+∞)$: Trên khoảng này $f'(x)>0$, hàm số vẫn tăng. \n\nD. $(-\\infty;2)$: Gồm phần $(-\\infty;1)$ và $(1;2)$ nơi $f'(x)>0$, nên hàm tăng.","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":10,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-2;0]$ bằng:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a3","options":[{"label":"A","text":"$1$","correct":false,"reason":"Sai vì $1$ không phải là giá trị lớn nhất; giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2;0]$ là $4$ tại điểm cực đại $x=-1$."},{"label":"B","text":"$4$","correct":true,"reason":"Đúng vì tại $x=-1 \\in [-2;0]$, hàm số đạt cực đại với $f(-1)=4$, lớn hơn các giá trị tại hai đầu mút $f(-2)=0$ và $f(0)=2$."},{"label":"C","text":"$-2$","correct":false,"reason":"Sai vì $f(x) \\geq 0$ trên đoạn $[-2;0]$ (đồ thị nằm trên hoặc trên trục hoành) nên giá trị lớn nhất không thể là số âm $-2$."},{"label":"D","text":"$-1$","correct":false,"reason":"Sai vì $-1$ không phải là giá trị lớn nhất của hàm số; giá trị lớn nhất thực tế là $4$ tại $x=-1$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị hàm số $y=f(x)$ là một hàm bậc ba có \n• Điểm cực đại tại $(-1;4)$ \n• Điểm cực tiểu tại $(1;0)$ \n\nXét trên đoạn $[-2;0]$ \n\nCác giá trị lựa chọn: $1,\\;4,\\;-2,\\;-1$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm giá trị lớn nhất của $y=f(x)$ trên đoạn kín $[-2;0]$ \n\nTheo định lý giá trị lớn nhất trên đoạn, điểm đạt giá trị lớn nhất là một trong: \n• Các điểm biên $x=-2$ hoặc $x=0$ \n• Hoặc điểm cực trị nằm trong đoạn (nếu có) \n\nTrên $[-2;0]$, điểm cực trị duy nhất là $x=-1$ (cực đại)\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định các điểm cần xét: \n• $x=-2$ \n• $x=-1$ (cực đại) \n• $x=0$ \n\nĐọc giá trị hàm từ đồ thị: \n• $f(-2)=0$ (đồ thị cắt trục Ox tại $x=-2$) \n• $f(-1)=4$ (điểm cực đại, có chấm đen tại $(-1;4)$) \n• Hàm nghịch biến trên $(-1;1)$ và $f(1)=0$ nên với $x=0$ ta có $00$: $3t^2-12>0\\iff t^2>4\\iff t>2$.\n\nBước 3: Khi $t=2$ thì $v(2)=0$, hạt đứng yên tại thời điểm này.\n\nBước 4: Khi $02$ chứ không phải $t\\ge2$."},{"label":"B","text":"Quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0 < t < 3$ là $9m$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình chuyển động: $y = t^3 - 12t + 3$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0 2$ và hạt giảm tốc $0 < t < 2$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vận tốc: $v(t)=3t^2-12$.\n\nHàm gia tốc: $a(t)=6t$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định thời điểm hạt tăng tốc hoặc giảm tốc dựa vào dấu của vận tốc và gia tốc.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo định nghĩa, hạt tăng tốc nếu vận tốc và gia tốc cùng dấu.\n\nVới $t>2$: $v(t)>0$ và $a(t)>0$ ⇒ cùng dấu ⇒ hạt tăng tốc.\n\nVới $00$ ⇒ trái dấu ⇒ độ lớn vận tốc giảm ⇒ hạt giảm tốc.\n\nTuy nhiên, nếu chỉ dựa trên dấu của gia tốc (a(t)>0 là tăng tốc), thì với mọi $t>0$ gia tốc đều dương, hạt luôn tăng tốc, không riêng khoảng $t>2$.\n\nKết luận: Sai vì mệnh đề áp dụng định nghĩa tăng/giảm tốc không nhất quán."}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tốc độ thay đổi của một đại lượng","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;2), B(-2;1;-3), C(1;0;-5)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a4","statements":[{"label":"A","text":"$\\cos ( \\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{BC}) = \\frac{\\sqrt{10}}{35}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTam giác $ABC$ với $A(1;2;2), B(-2;1;-3), C(1;0;-5)$.\n\nXét góc giữa hai vectơ $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{BC}$.\n❓ Hiểu câu hỏi:\n\nTính giá trị $\\cos(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{BC})$ và so sánh với $\\dfrac{\\sqrt{10}}{35}$.\n\nÁp dụng công thức $\\cos(\\mathbf{u},\\mathbf{v})=\\dfrac{\\mathbf{u}\\cdot\\mathbf{v}}{|\\mathbf{u}|\\,|\\mathbf{v}|}$.\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nTính $\\overrightarrow{AB}=B-A=(-2-1,\\;1-2,\\;-3-2)=(-3,-1,-5)$.\n\nTính $\\overrightarrow{BC}=C-B=(1-(-2),\\;0-1,\\;-5-(-3))=(3,-1,-2)$.\n\nTích vô hướng: $\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{BC}=(-3)\\cdot3+(-1)\\cdot(-1)+(-5)\\cdot(-2)=2$.\n\nĐộ dài: $|\\overrightarrow{AB}|=\\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-5)^2}=\\sqrt{35},\\quad |\\overrightarrow{BC}|=\\sqrt{3^2+(-1)^2+(-2)^2}=\\sqrt{14}$.\n\nDo đó $\\cos(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{BC})=\\dfrac{2}{\\sqrt{35}\\,\\sqrt{14}}=\\dfrac{2}{7\\sqrt{10}}=\\dfrac{\\sqrt{10}}{35}\\,.$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Gọi $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$. Khi đó điểm $D(0;3;-6)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTam giác $ABC$ với $A(1;2;2), B(-2;1;-3), C(1;0;-5)$.\n\nCho điểm $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$.\n❓ Hiểu câu hỏi:\n\nTìm tọa độ $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.\n\nTrong hình bình hành, $\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{DC}$ hay $\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{BC}$.\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nDùng công thức $\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{DC}\\implies D=A+C-B$.\n\nTính $D=(1,2,2)+(1,0,-5)-(-2,1,-3)=(1+1+2,\\;2+0-1,\\;2-5+3)=(4,1,0)$.\n\nKết quả $D(4;1;0)\\neq(0;3;-6)$ như đề bài nêu.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G(0;1;-2)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTam giác $ABC$ với $A(1;2;2), B(-2;1;-3), C(1;0;-5)$.\n\nTìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.\n❓ Hiểu câu hỏi:\n\nCông thức trọng tâm tam giác: $G\\Bigl(\\tfrac{x_A+x_B+x_C}3,\\tfrac{y_A+y_B+y_C}3,\\tfrac{z_A+z_B+z_C}3\\Bigr)$.\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nTính trung bình hoành độ: $x_G=\\frac{1+(-2)+1}3=0$.\n\nTính trung bình tung độ: $y_G=\\frac{2+1+0}3=1$.\n\nTính trung bình cao độ: $z_G=\\frac{2+(-3)+(-5)}3=-2$.\n\nVậy $G(0;1;-2)$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$, sao cho $|\\overrightarrow{MA} + \\overrightarrow{MB} + \\overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức $T = a + b - c + 2024$ bằng $2025$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTam giác $ABC$ với $A(1;2;2), B(-2;1;-3), C(1;0;-5)$.\n\nĐiểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)\\,:b=0$.\n\nXét giá trị $\\bigl|\\overrightarrow{MA}+\\overrightarrow{MB}+\\overrightarrow{MC}\\bigr|$ và biểu thức $T=a+b-c+2024$.\n❓ Hiểu câu hỏi:\n\nBiểu thức vector tổng: $\\overrightarrow{MA}+\\overrightarrow{MB}+\\overrightarrow{MC}=3\\overrightarrow{MG}$, với $G$ là trọng tâm.\n\nTìm $M$ trên mặt phẳng sao cho $|3\\overrightarrow{MG}|$ nhỏ nhất.\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nTrọng tâm $G(0;1;-2)$.\n\nĐể $|\\overrightarrow{MG}|$ nhỏ nhất, $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên mặt phẳng $b=0$: $M(0;0;-2)$.\n\nKhi đó $T=a+b-c+2024=0+0-(-2)+2024=2026$.\n\nĐề bài cho $T=2025$, mâu thuẫn với kết quả thật.\n\nKết luận: Sai"}],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a4","statements":[{"label":"A","text":"Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0; 1)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng biến thiên cho biết $f'(x)>0$ trên khoảng $(0;1)$.\n\nKhi đạo hàm dương thì hàm số đồng biến.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định tính đơn điệu của hàm số trên khoảng $(0;1)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ bảng biến thiên, trên $(0;1)$, dấu của $y'=f'(x)$ là dấu cộng ($+$).\n\nKhi $f'(x)>0$, hàm số đồng biến trên khoảng đó.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại $x = 1$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng biến thiên cho biết hàm số chuyển từ tăng sang giảm tại $x=1$.\n\nTại $x=1$, $f'(1)=0$ và đổi dấu từ $+$ sang $-$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định xem hàm số có cực đại hay cực tiểu tại $x=1$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nKiểm tra dấu của $f'(x)$:\nTrên khoảng $(0;1)$: $f'(x)>0$ (hàm tăng).\n\nTrên khoảng $(1;+\u000214)$: $f'(x)<0$ (hàm giảm).\n\nKhi hàm chuyển từ tăng (trước $x=1$) sang giảm (sau $x=1$) thì có cực đại tại $x=1$.\n\nGiá trị cực đại là $f(1)=1$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Đồ thị của hàm số có hai đường tiệm cận.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng biến thiên cho biết:\n$\\lim_{x\\to0^-}f(x)=-1$ và $\\lim_{x\\to0^+}f(x)=-\\infty$.\n\nHàm không xác định tại $x=0$.\n\n$\\lim_{x\\to-\\infty}f(x)=+\\infty$ và $\\lim_{x\\to+\\infty}f(x)=-\\infty$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTiệm cận đứng: xét $x\\to0$, vì một bên giới hạn vô cùng còn bên kia hữu hạn nên có đường tiệm cận đứng duy nhất $x=0$.\n\nTiệm cận ngang:\nXét $x\\to-\\infty$: $f(x)\\to+\\infty$ → không có tiệm cận ngang.\n\nXét $x\\to+\\infty$: $f(x)\\to-\\infty$ → không có tiệm cận ngang.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Phương trình $f(x) = 1$ có 3 nghiệm phân biệt.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng biến thiên cho biết:\nTrên $(-\\infty,0)$: $\\lim_{x\\to-\\infty}f(x)=+\\infty$ và $\\lim_{x\\to0^-}f(x)=-1$.\n\nTrên $(0,1)$: $\\lim_{x\\to0^+}f(x)=-\\infty$ và $f(1)=1$.\n\nHàm liên tục trên mỗi khoảng và gián đoạn tại $x=0$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định số nghiệm phân biệt của phương trình $f(x)=1$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrên khoảng $(-\\infty,0)$:\nHàm đi từ $+\\infty$ xuống $-1$ liên tục → theo định lý giá trị trung gian tồn tại ít nhất một nghiệm $x_1$ sao cho $f(x_1)=1$.\n\nTrên khoảng $(0,1)$:\nHàm đi từ $-\\infty$ lên $1$ liên tục → theo định lý giá trị trung gian tồn tại ít nhất một nghiệm $x_2$ sao cho $f(x_2)=1$.\n\nTại $x=1$: $f(1)=1$ nên có nghiệm $x_3=1$.\n\nTổng cộng có 3 nghiệm phân biệt: $x_1,x_2,x_3$.\n\nKết luận: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-3-tinh-dak-lak-2025-lan-1-co-dap-an/1Pk8AqdBrwQ306GCUEgeX4KTEdtPrFS5K_2025-06-15104237.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"sơ đồ khảo sát hàm số","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng như bên dưới. Các mệnh đề sau đây là đúng hay sai?","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a4","statements":[{"label":"A","text":"Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng $79.17$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDữ liệu được nhóm thành 5 khoảng: [50;100), [100;150), [150;200), [200;250), [250;300).\n\nSố ngày tương ứng f: 5, 10, 9, 4, 2.\n\nTổng số ngày N = 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính khoảng tứ phân vị (IQR) của mẫu số liệu ghép nhóm.\n\nÁp dụng công thức xác định Q₁ và Q₃ qua nội suy trong mỗi lớp.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVị trí Q₁: $\\frac{N}{4} = \\frac{30}{4} = 7.5$, vị trí Q₃: $\\frac{3N}{4} = \\frac{3\\times30}{4} = 22.5$.\n\nLớp chứa Q₁ là [100;150), có CF trước = 5, f = 10, độ rộng h = 50:\n$Q_1 = 100 + \\frac{7.5 - 5}{10}\\times50 = 100 + 12.5 = 112.5\\,(\\text{km})$\n\nLớp chứa Q₃ là [150;200), CF trước = 15, f = 9:\n$Q_3 = 150 + \\frac{22.5 - 15}{9}\\times50 = 150 + 41.67 = 191.67\\,(\\text{km})$\n\nKhoảng tứ phân vị: $IQR = Q_3 - Q_1 = 191.67 - 112.5 = 79.17\\,(\\text{km})$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $250$ (km).","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGiới hạn nhỏ nhất xₘᵢₙ = 50, giới hạn lớn nhất xₘₐₓ = 300.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính khoảng biến thiên (range) của dữ liệu nhóm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nKhoảng biến thiên = xₘₐₓ − xₘᵢₙ:\n$\\text{Range} = 300 - 50 = 250\\,(\\text{km})$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $145$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDựa trên bảng phân bố tần số theo lớp đã cho trước đó:\nCác khoảng quãng đường (km):\n$[50; 100), [100; 150), [150; 200), [200; 250), [250; 300)$\n\nTần số tương ứng (số ngày):\n$5, 10, 9, 4, 2$\n\nĐề yêu cầu xác minh: Giá trị trung bình mẫu có phải là $145$ hay không.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần kiểm tra xem trung bình cộng mẫu của dữ liệu ghép nhóm có phải là $145$:\nSử dụng giá trị giữa lớp (trung điểm của mỗi khoảng) làm đại diện cho lớp đó.\n\nDữ liệu là bảng tần số nên cần nhập vào máy tính theo dạng thống kê 1 biến với tần số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm bằng máy tính cầm tay Casio FX - 580 VN/ Vinacal 680EX PLUS:\n👉🏻 Bước 1: Bật bảng thống kê\nNhấn SHIFT → MENU → di chuyển đến Statistics → Chọn 3: Statistics → Chọn 1: On\n👉🏻 Bước 2: Vào chế độ thống kê\nNhấn MENU → Chọn 6: Statistics → Chọn 1: 1-Variable\n👉🏻 Bước 3: Nhập dữ liệu thống kê\nTính giá trị giữa mỗi khoảng:\n$\\frac{50 + 100}{2} = 75$\n\n$\\frac{100 + 150}{2} = 125$\n\n$\\frac{150 + 200}{2} = 175$\n\n$\\frac{200 + 250}{2} = 225$\n\n$\\frac{250 + 300}{2} = 275$\n\nNhập vào máy:\nCột $x$: 75, 125, 175, 225, 275\n\nCột $\\text{Freq}$: 5, 10, 9, 4, 2\n\n👉🏻 Bước 4: Gọi kết quả thống kê\nNhấn OPTN → Chọn 3: 1-Variable Calc\n→ Quan sát giá trị $\\bar{x}$ (trung bình mẫu)\n👉🏻 Bước 5: Kết luận\nGiá trị hiển thị trên máy tính:\n$\\bar{x} = 155$\n\n❌ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng $55.68$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMột bác tài đã thống kê lại số ngày tương ứng với độ dài quãng đường (theo từng khoảng). Bảng đã cho:\nCác khoảng quãng đường: $[50; 100), [100; 150), [150; 200), [200; 250), [250; 300)$\n\nSố ngày tương ứng: $5, 10, 9, 4, 2$\n\nYêu cầu: Kiểm tra xem độ lệch chuẩn của mẫu dữ liệu có phải là $55{,}68$ hay không.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu ta kiểm tra độ lệch chuẩn của mẫu dữ liệu đã cho:\nDữ liệu là bảng tần số (bảng phân bố tần số theo lớp).\n\nTa cần tính độ lệch chuẩn mẫu (không phải tổng thể), tức là $\\sigma_x$ trên máy tính.\n\nDùng các giá trị giữa lớp và tần số tương ứng để nhập vào máy tính.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm bằng máy tính cầm tay Casio FX - 580 VN/ Vinacal 680EX PLUS:\n👉🏻 Bước 1: Bật bảng thống kê\nNhấn SHIFT → MENU → di chuyển đến Statistics → Chọn 3: Statistics → Chọn 1: On\n👉🏻 Bước 2: Vào chế độ thống kê\nNhấn MENU → Chọn 6: Statistics → Chọn 1: 1-Variable\n👉🏻 Bước 3: Nhập dữ liệu thống kê\nTính các giá trị giữa của từng khoảng:\n$\\frac{50 + 100}{2} = 75$\n\n$\\frac{100 + 150}{2} = 125$\n\n$\\frac{150 + 200}{2} = 175$\n\n$\\frac{200 + 250}{2} = 225$\n\n$\\frac{250 + 300}{2} = 275$\n\nNhập vào máy:\nCột $x$: 75, 125, 175, 225, 275\n\nCột $\\text{Freq}$: 5, 10, 9, 4, 2\n\n👉🏻 Bước 4: Gọi kết quả thống kê\nNhấn OPTN → Chọn 3: 1-Variable Calc\n→ Quan sát giá trị $\\sigma_x$ (độ lệch chuẩn mẫu)\n👉🏻 Bước 5: Kết luận\nGiá trị hiển thị trên máy tính:\n$\\sigma_x \\approx 55{,}68$\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-3-tinh-dak-lak-2025-lan-1-co-dap-an/14OZcL4hSkixONg6sAXb2QaT7ydp73OBi_2025-06-15104237.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"bài tập cuối chương iii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 3","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Cho $C(x) = 16000 + 500x - 1.6x^2 + 0.004x^3$ là hàm chi phí và $p(x) = 1700 - 7x$ là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất (tính theo đơn vị hàng hóa) sẽ tối đa hóa lợi nhuận.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a5","correctAnswer":"100","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm chi phí: $C(x) = 16000 + 500x - 1.6x^2 + 0.004x^3$ \n\nHàm cầu (giá bán): $p(x) = 1700 - 7x$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tìm mức sản xuất $x$ để lợi nhuận được tối đa hóa. \n\nÁp dụng kiến thức về hàm lợi nhuận và đạo hàm để tìm điểm cực trị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Viết hàm doanh thu \n$R(x) = x\\cdot p(x) = x(1700 - 7x) = 1700x - 7x^2.$ \n\nBước 2: Viết hàm lợi nhuận \n$L(x) = R(x) - C(x) = (1700x - 7x^2) - \\bigl(16000 + 500x -1.6x^2 +0.004x^3\\bigr).$ \n\nBước 3: Rút gọn biểu thức \n$L(x) = 1700x -7x^2 -16000 -500x +1.6x^2 -0.004x^3$ \n$\\quad = 1200x -5.4x^2 -0.004x^3 -16000.$ \n\nBước 4: Tính đạo hàm \n$L'(x) = 1200 - 2\\cdot5.4\\,x -3\\cdot0.004\\,x^2 = 1200 -10.8x -0.012x^2.$\n\nBước 5: Giải $L'(x)=0$ \nGiải phương trình bậc hai:\nBỏ nghiệm âm, chọn $x=100$.\n\nBước 6: Kiểm tra dấu đạo hàm hai bên cho thấy đây là điểm cực đại.\n\n✅ Đáp án: Mức sản xuất tối ưu là 100 đơn vị.","chapter":"chuyên đề 2 - ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu","topic":"vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu","grade":"GRADE_12","questionCategory":"vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế","difficulty":"vận dụng"},{"id":18,"text":"Bảng sau đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng của một quả dưa lưới thu hoạch được ở một khu vườn (đơn vị: gam). Tìm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a5","correctAnswer":"2631","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCác lớp cân nặng (gam): $[600;650), [650;700), [700;750), [750;800), [800;850)$\n\nTần số tương ứng: $14,;40,;13,;10,;3$\n\nTổng số mẫu: $n = 80$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm\n\nCần:\nTính giá trị đại diện (trung điểm) của mỗi lớp\n\nTính trung bình cộng $\\overline{x}$\n\nÁp dụng công thức phương sai:\n$S^2 = \\dfrac{1}{n} \\sum f_i (x_i - \\overline{x})^2$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định trung điểm mỗi lớp:\n$625,;675,;725,;775,;825$\n\nTính trung bình:\n$\\overline{x} = \\dfrac{14\\cdot625 + 40\\cdot675 + 13\\cdot725 + 10\\cdot775 + 3\\cdot825}{80} = \\dfrac{55400}{80} = 692.5$\n\nTính phương sai:\n$S^2 = \\dfrac{1}{80}\\Big(14(625-692.5)^2 + 40(675-692.5)^2 + 13(725-692.5)^2 + 10(775-692.5)^2 + 3(825-692.5)^2\\Big)$\n\nTính từng phần:\n$14\\cdot4556.25 = 63787.5$\n\n$40\\cdot306.25 = 12250$\n\n$13\\cdot1056.25 = 13731.25$\n\n$10\\cdot6806.25 = 68062.5$\n\n$3\\cdot17556.25 = 52668.75$\n\nTổng:\n$\\sum = 210500$\n\nSuy ra:\n$S^2 = \\dfrac{210500}{80} = 2631.25$\n\nLàm tròn đến hàng đơn vị:\n$S^2 \\approx 2631$\n\n✅ Đáp án: 2631","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-3-tinh-dak-lak-2025-lan-1-co-dap-an/1Mw-U5b-mzlWY7dCSAOw30fT6nCJ8z4Sl_2025-06-15104237.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"phương sai và độ lệch chuẩn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"phương sai và độ lệch chuẩn","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = 3, SB = 4, SC = 5$. Một mặt phẳng $\\alpha$ luôn đi qua tâm trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ và cắt cạnh $SA, SB, SC$ lần lượt tại $A', B', C'$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \\frac{1}{SA^2} + \\frac{1}{SB^2} + \\frac{1}{SC^2}$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a5","correctAnswer":"0,18","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABC$ có các cạnh bên:\n$SA = x = 3$\n\n$SB = y = 4$\n\n$SC = z = 5$\n\nGọi $SA', SB', SC'$ là các đoạn thẳng từ $S$ đến các điểm $A', B', C'$, nằm trên các cạnh bên, sao cho $A', B', C'$ cùng nằm trên mặt phẳng $\\alpha$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác đáy $ABC$.\n\nCần tìm giá trị nhỏ nhất của:\n$T = \\frac{1}{SA'^2} + \\frac{1}{SB'^2} + \\frac{1}{SC'^2}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các nghịch đảo bình phương độ dài từ đỉnh $S$ đến các điểm cắt $A', B', C'$.\n\nKiến thức cần dùng:\nVectơ và tính chất trọng tâm tam giác.\n\nĐiều kiện đồng phẳng các điểm.\n\nBất đẳng thức Cauchy-Schwarz để tìm giá trị nhỏ nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nGọi $SA = x, SB = y, SC = z \\Rightarrow x = 3, y = 4, z = 5$\n\nTrọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có vectơ:\n$\\vec{SG} = \\frac{1}{3}(\\vec{SA} + \\vec{SB} + \\vec{SC})$\n\nVì $G \\in \\alpha$ và $A', B', C' \\in \\alpha$, nên 4 điểm $G, A', B', C'$ đồng phẳng.\n\nGọi $SA' = a, SB' = b, SC' = c$, khi đó theo điều kiện đồng phẳng (áp dụng vectơ), ta có:\n$\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} + \\frac{z}{c} = 3$\n\nĐặt $T = \\frac{1}{a^2} + \\frac{1}{b^2} + \\frac{1}{c^2}$. Ta cần tìm GTNN của T khi thỏa mãn điều kiện trên.\n\nÁp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:\n$\\left( \\frac{1}{a^2} + \\frac{1}{b^2} + \\frac{1}{c^2} \\right)(x^2 + y^2 + z^2) \\ge \\left( \\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} + \\frac{z}{c} \\right)^2$\n\nThay số:\n$T \\cdot (x^2 + y^2 + z^2) \\ge 3^2 = 9$\n$T \\cdot (3^2 + 4^2 + 5^2) \\ge 9 \\Rightarrow T \\cdot 50 \\ge 9 \\Rightarrow T \\ge \\frac{9}{50} = 0{,}18$\n\nDấu \"=\" xảy ra khi:\n$\\frac{x}{a} = \\frac{y}{b} = \\frac{z}{c}$\nTức là $\\frac{3}{SA'} = \\frac{4}{SB'} = \\frac{5}{SC'}$ → $A', B', C'$ chia đều các đoạn SA, SB, SC theo tỉ lệ tỉ lệ nghịch với độ dài, tức là mặt phẳng cắt các cạnh theo cùng một tỉ lệ.\n\n✅ Đáp án: $0{,}18$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-3-tinh-dak-lak-2025-lan-1-co-dap-an/1osYHDN29ibgB_xuQnPUIUd03aHNj2XK0_2025-06-15104237.png"],"chapter":"vectơ","topic":"bài tập cuối chương iv","grade":"GRADE_10","questionCategory":"bài tập cuối chương 4","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":20,"text":"Một mảnh vuông hình chữ nhật có diện tích $1000 m^2$, người ta muốn mở rộng thêm 4 phần đất sao cho thành hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn (Tham khảo hình vẽ). Biết tâm của hình tròn trùng với tâm của hình chữ nhật. Tìm diện tích nhỏ nhất $S_{min}$ của 4 phần đất mở rộng. (làm tròn đến hàng đơn vị)","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a5","correctAnswer":"571","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMột hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $1000\\text{ m}^2$.\n\nHình chữ nhật được nội tiếp trong một hình tròn tâm $O$ (các đỉnh $A,B,C,D$ nằm trên đường tròn).\n\nTâm $O$ của đường tròn trùng với tâm hình chữ nhật.\n\nPhần gạch chéo (màu xám) chính là phần diện tích hình tròn nằm ngoài hình chữ nhật.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính diện tích nhỏ nhất của phần mở rộng, tức là \n\nBiết $S_{\\text{chữ nhật}} = 1000$, cần xác định bán kính $R$ sao cho $S_{\\text{tròn}} = \\pi R^2$ tối thiểu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi hai cạnh hình chữ nhật là $a$ và $b$ thỏa $ab = 1000$.\n\nĐường chéo: \n\nDiện tích hình tròn: \n\nDiện tích phần mở rộng: \n\nVới tích cố định $ab=1000$, để $a^2 + b^2$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a=b$ (do bất đẳng thức AM–GM).\n\nKhi $a = b$, ta có $a^2 = 1000$ ⇒ $a^2 + b^2 = 2\\cdot1000 = 2000$.\n\nThay vào biểu thức $S$: \n\nXấp xỉ: $500\\pi \\approx 1570{,}8$ ⇒ \n\n✅ Đáp án: 571","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-cum-chuyen-so-3-tinh-dak-lak-2025-lan-1-co-dap-an/1oUBzv5_TbTI1UUSQiIWnyRCd3GPm0ow8_2025-06-15104237.jpg"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":21,"text":"Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát $300m$ về phía Nam và $100m$ về phía Đông, đồng thời cách mặt đất $100m$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $200m$ về phía Bắc và $100m$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $50m$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a5","correctAnswer":"47","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nHai khinh khí cầu xuất phát từ cùng một điểm O. \n\nKhinh khí cầu A cách O 300 m về phía Nam và 100 m về phía Đông, độ cao 100 m. \n\nKhinh khí cầu B cách O 200 m về phía Bắc và 100 m về phía Tây, độ cao 50 m. \n\nNgười quan sát đứng tại điểm M trên mặt đất (mặt phẳng z=0) sao cho tổng khoảng cách MA + MB nhỏ nhất.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nPhải tìm khoảng cách OM khi M là vị trí tối ưu khiến MA + MB nhỏ nhất. \n\nÁp dụng phương pháp phản xạ qua mặt phẳng để biến bài toán tối ưu đường đi thành tìm giao điểm đường thẳng với mặt phẳng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nChọn hệ trục tọa độ: O = (0,0,0), trục x hướng Đông, y hướng Bắc, z hướng lên. \n\nTọa độ hai khinh khí cầu: \n$A(100,\\,-300,\\,100)$ \n\n$B(-100,\\,200,\\,50)$\n\nPhản xạ điểm A qua mặt phẳng đáy $z=0$ được $A'(100,\\,-300,\\,-100)\\,$. \n\nPhương trình tham số của đường thẳng $A'B$: \n\nXác định giao điểm M với mặt phẳng $z=0$: \n$-100 + 150t = 0\\quad\\Rightarrow\\quad t = \\tfrac{2}{3}.$ \n\nTọa độ M: \n$M = \\Bigl(100 - 200\\cdot\\tfrac{2}{3},\\; -300 + 500\\cdot\\tfrac{2}{3},\\;0\\Bigr)\n= \\Bigl(-\\tfrac{100}{3},\\;\\tfrac{100}{3},\\;0\\Bigr).$ \n\nKhoảng cách từ M đến O: \n\n✅ Đáp án: 47 m","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Cho hàm số $y = x^3 - 3x$, có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $y_1$ và $y_2$. Khi đó giá trị của biểu thức $2y_1 - y_2$ bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"684ea3a9ede1c566b23972a5","correctAnswer":"6","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y = x^3 - 3x$ \n\nGiá trị cực đại là $y_1$ \n\nGiá trị cực tiểu là $y_2$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính biểu thức $2y_1 - y_2$ với $y_1$, $y_2$ lần lượt là giá trị cực đại và cực tiểu của hàm. \n\nCần áp dụng kiến thức tìm điểm tới hạn bằng đạo hàm và xét dấu đạo hàm cấp hai.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm: \n$y' = 3x^2 - 3.$ \n\nGiải phương trình $y'=0$ để tìm điểm tới hạn: \n$3x^2 - 3 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x^2 = 1 \\;\\Longrightarrow\\; x = \\pm1.$ \n\nTính đạo hàm cấp hai để phân loại: \n$y'' = 6x.$ \nTại $x = -1$: $y''(-1) = -6 < 0$ ⇒ điểm $x=-1$ là cực đại. \n\nTại $x = 1$: $y''(1) = 6 > 0$ ⇒ điểm $x=1$ là cực tiểu.\n\nTính giá trị hàm tại hai điểm: \n$y_1 = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2.$ \n\n$y_2 = y(1) = 1^3 - 3\\cdot1 = 1 - 3 = -2.$\n\nCuối cùng, tính biểu thức: \n$2y_1 - y_2 = 2\\cdot 2 - (-2) = 4 + 2 = 6.$\n\n✅ Đáp án: 6","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cực trị của hàm số","difficulty":"thông hiểu"}]}