{"title":"Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Ninh Bình năm 2025 - Lần thứ hai","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2025,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6835728129cbc50e9298d742","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6835728129cbc50e9298d743","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6835728129cbc50e9298d744","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(3; -2; 4)$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$4$","correct":false,"reason":"Giá trị $4$ bằng $|z_0|$, là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ chứ không phải đến $(Oxz)$."},{"label":"B","text":"$5$","correct":false,"reason":"Giá trị $5$ bằng $\\sqrt{x_0^2+z_0^2}$, là khoảng cách từ $A$ đến trục $Oy$, không phải đến mặt phẳng $(Oxz)$."},{"label":"C","text":"$3$","correct":false,"reason":"Giá trị $3$ bằng $|x_0|$, là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(Oyz)$ chứ không phải đến $(Oxz)$."},{"label":"D","text":"$2$","correct":true,"reason":"Đúng vì khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình $y=0$ được tính bằng $|y_0|=|-2|=2$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHệ tọa độ không gian $Oxyz$ \n\nĐiểm $A(3;\\,-2;\\,4)$ \n\nMặt phẳng $(Oxz)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(Oxz)$. \n\nCần vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi tọa độ điểm $A$ là $(x_0,y_0,z_0)=(3,-2,4)$. \n\nPhương trình tổng quát của mặt phẳng $(Oxz)$ là $y=0$, tức là $0\\cdot x+1\\cdot y+0\\cdot z+0=0$. \n\nCông thức khoảng cách từ điểm $(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$ là \n\nỞ đây $a=0,\\;b=1,\\;c=0,\\;d=0$, thế vào công thức ta được \n\n✅ Đáp án: $2$\n❌ Các đáp án khác:\n4: Sai, vì giá trị tuyệt đối của hoành độ $y_0$ chỉ là 2, không phải 4. \n\n5: Sai, không phù hợp với công thức khoảng cách. \n\n3: Sai, bỏ qua giá trị thực của $|y_0|$.","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt phẳng","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng","difficulty":"nhận biết"},{"id":2,"text":"Nguyên hàm của hàm số $2x + \\cos x$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$x^2 + \\sin x + C$","correct":true,"reason":"Áp dụng công thức nguyên hàm, ta có $\\int 2x \\, dx = x^2$ và $\\int \\cos x \\, dx = \\sin x$, suy ra kết quả đúng là $x^2 + \\sin x + C$."},{"label":"B","text":"$2x + \\sin x + C$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm lẫn khi tính $\\int 2x \\, dx$, kết quả đúng phải là $x^2$ chứ không phải $2x$."},{"label":"C","text":"$2x - \\sin x + C$","correct":false,"reason":"Sai cả hai phần: nhầm nguyên hàm của $2x$ (phải là $x^2$) và nhầm dấu của $\\sin x$ (phải là dấu $+$ vì $\\int \\cos x \\, dx = \\sin x + C$)."},{"label":"D","text":"$x^2 - \\sin x + C$","correct":false,"reason":"Sai dấu trước $\\sin x$; do $\\frac{d}{dx}(\\sin x) = \\cos x$ nên $\\int \\cos x \\, dx = \\sin x + C$, không phải $-\\sin x$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số cần tìm nguyên hàm: $f(x) = 2x + \\cos x$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: Tìm một nguyên hàm chung của $f(x)$, tức là tính tích phân $\\displaystyle \\int (2x + \\cos x)\\,dx$. \n\nÁp dụng công thức: \n$\\displaystyle \\int x^n\\,dx = \\tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ \n\n$\\displaystyle \\int \\cos x\\,dx = \\sin x + C$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTách tích phân: \n$\\displaystyle \\int (2x + \\cos x)\\,dx = \\int 2x\\,dx + \\int \\cos x\\,dx.$ \n\nTính từng phần: \n$\\displaystyle \\int 2x\\,dx = 2 \\int x\\,dx = 2\\cdot \\frac{x^2}{2} = x^2.$ \n\n$\\displaystyle \\int \\cos x\\,dx = \\sin x.$\n\nKết hợp lại và thêm hằng số tích phân $C$: \n$\\displaystyle x^2 + \\sin x + C.$\n\n✅ Đáp án: $x^2 + \\sin x + C$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $2x + \\sin x + C$: Nhầm ở phần tích phân của $2x$, phải là $x^2$ chứ không phải $2x$. \n\nC. $2x - \\sin x + C$: Sai cả hai chỗ: phần $2x$ và dấu trước $\\sin x$ (đúng là cộng, không phải trừ). \n\nD. $x^2 - \\sin x + C$: Nhầm dấu ở kết quả tích phân của $\\cos x$ (phải cộng $\\sin x$).","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"nguyên hàm","grade":"GRADE_12","questionCategory":"nguyên hàm của một số hàm số thường gặp","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Cho hàm số $y = \\dfrac{ax + b}{cx + d}$ (với $c \\ne 0; ad - bc \\ne 0$) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$x - 2 = 0$","correct":false,"reason":"Đường thẳng $x = 2$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị vì từ hình vẽ, đồ thị tiến đến vô cực khi $x \\to -1$, không phải khi $x \\to 2$."},{"label":"B","text":"$x + 1 = 0$","correct":true,"reason":"Từ hình vẽ, đồ thị hàm số tiến đến vô cực khi $x \\to -1$ nên tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$, tức là $x + 1 = 0$."},{"label":"C","text":"$y + 1 = 0$","correct":false,"reason":"Phương trình $y + 1 = 0$ (hay $y = -1$) là đường thẳng ngang, không phải tiệm cận đứng (tiệm cận đứng phải có dạng $x = x_0$)."},{"label":"D","text":"$y - 2 = 0$","correct":false,"reason":"Phương trình $y - 2 = 0$ (hay $y = 2$) là tiệm cận ngang của đồ thị theo hình vẽ, không phải tiệm cận đứng mà đề bài yêu cầu tìm."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm phân thức $y = \\frac{ax + b}{cx + d}$ với $c \\neq 0$ và $ad - bc \\neq 0$. \n\nTheo hình vẽ, đồ thị có:\n• Tiệm cận đứng là đường thẳng mà đồ thị “vươn lên” vô cực khi $x \\to -1$. \n• Tiệm cận ngang là $y = 2$. \n• Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu xác định phương trình tiệm cận đứng của hàm phân thức. \n\nÁp dụng kiến thức: với $y = \\frac{ax + b}{cx + d}$, tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số $cx + d = 0$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhắc lại định nghĩa \nTiệm cận đứng của $y = \\tfrac{ax + b}{cx + d}$ là nghiệm của $cx + d = 0\\quad(c\\neq0).$ \n\nBước 2: Nhìn vào đồ thị (image attached), ta thấy khi $x \\to -1$ thì $y\\to\\pm\\infty$. \n→ Suy ra mẫu số phải bằng 0 tại $x = -1$. \n\nBước 3: Viết phương trình tiệm cận đứng: \n$x = -1\\quad\\Longleftrightarrow\\quad x + 1 = 0.$ \n\nBước 4: Đối chiếu với các phương án, chọn phương án tương ứng.\n\n✅ Đáp án: $x + 1 = 0$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $x - 2 = 0$: Sai vì đây là tiệm cận đứng giả sử tại $x=2$, không khớp hình vẽ. \n\nC. $y + 1 = 0$: Sai, đây là đường thẳng ngang $y=-1$ chứ không phải tiệm cận đứng. \n\nD. $y - 2 = 0$: Sai, đây là tiệm cận ngang $y=2$, không đúng yêu cầu tìm tiệm cận đứng.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/1_9Lb5VbDbaiia_nJVUkeXYIz-IrOilH6_2025-05-27080613.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận đứng","difficulty":"nhận biết"},{"id":4,"text":"Nghiệm của phương trình $5^x = 3$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$\\sqrt[3]{5}$","correct":false,"reason":"$\\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$ là nghiệm của phương trình $x^3=5$, không phải của phương trình mũ $5^x=3$."},{"label":"B","text":"$\\sqrt[3]{3}$","correct":false,"reason":"$\\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$ liên quan đến phương trình $x^3=3$, không liên quan đến phương trình đã cho với cơ số $5$."},{"label":"C","text":"$\\log_5 3$","correct":true,"reason":"Lấy lôgarit cơ số $5$ hai vế phương trình $5^x=3$ ta được $\\log_5(5^x)=\\log_5 3$, suy ra $x=\\log_5 3$ theo định nghĩa."},{"label":"D","text":"$\\log_3 5$","correct":false,"reason":"$\\log_3 5$ là nghiệm của phương trình $3^x=5$ (cơ số và số bị lôgarit đảo ngược), không phải của $5^x=3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình cần giải: $5^x = 3$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm giá trị thực của $x$ sao cho luỹ thừa $5^x$ bằng 3. \n\nĐể giải phương trình dạng $a^x = b$, ta cần sử dụng kiến thức về lôgarit.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét phương trình tổng quát $a^x = b\\,,\\quad a>0,\\;a\\neq1,\\;b>0.$\n\nLấy lôgarit cơ số $a$ hai vế của phương trình: \n$\\log_a\\bigl(a^x\\bigr) \\;=\\;\\log_a b$\n\nVì $\\log_a(a^x)=x$, suy ra \n$x \\;=\\;\\log_a b.$\n\nTrong bài toán này, $a=5$ và $b=3$, nên \n$x \\;=\\;\\log_5 3.$\n\n✅ Đáp án: $\\log_5 3$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $\\sqrt[3]{5}$ sai vì đây là giá trị $5^{\\frac13}$, không phải logarit của 3. \n\nB. $\\sqrt[3]{3}$ sai vì đây là giá trị $3^{\\frac13}$, không liên quan đến nghiệm của phương trình $5^x=3$. \n\nD. $\\log_3 5$ sai vì đây là logarit cơ số 3 của 5, trong khi ta cần logarit cơ số 5 của 3.","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"phương trình mũ","difficulty":"nhận biết"},{"id":5,"text":"Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 1$ và công sai $d = 2$. Tổng của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$200$","correct":false,"reason":"Sai vì quên chia $2$ trong công thức $S_n=\\frac{n}{2}(u_1+u_n)$, tính nhầm thành $S_{10}=10(1+19)=200$."},{"label":"B","text":"$110$","correct":false,"reason":"Sai vì tính nhầm số hạng thứ $10$ là $u_{10}=u_1+10d=21$ thay vì $u_{10}=u_1+9d=19$, dẫn đến $S_{10}=5(1+21)=110$."},{"label":"C","text":"$95$","correct":false,"reason":"Sai vì tính nhầm $u_{10}=18$ hoặc áp dụng sai công thức $S_{10}=\\frac{10}{2}\\cdot u_{10}=95$ (bỏ qua $u_1$ trong tổng)."},{"label":"D","text":"$100$","correct":true,"reason":"Đúng vì $u_{10}=1+9\\cdot 2=19$ và áp dụng công thức $S_{10}=\\frac{10}{2}(u_1+u_{10})=5(1+19)=100$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCấp số cộng $(u_n)$ \n\nSố hạng đầu $u_1 = 1$ \n\nCông sai $d = 2$ \n\nYêu cầu: tính tổng của 10 số hạng đầu\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính $S_{10}$ của cấp số cộng. \n\nÁp dụng các công thức: \n+ Công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n - 1)d$ \n+ Công thức tổng cấp số cộng: $S_n = \\frac{n}{2}\\,(u_1 + u_n)$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Tính số hạng thứ 10 \n$u_{10} = u_1 + (10 - 1)\\,d = 1 + 9 \\times 2 = 19$ \n\nBước 2: Tính tổng 10 số hạng đầu \n$S_{10} = \\frac{10}{2}\\,(u_1 + u_{10}) = 5 \\times (1 + 19) = 5 \\times 20 = 100$\n\n✅ Đáp án: 100\n❌ Các đáp án khác:\nA. 200: Sai vì quên chia 2 trong công thức tổng. \n\nB. 110: Sai vì thay nhầm giá trị $u_{10}$ hoặc tính trung bình số hạng không đúng. \n\nC. 95: Sai vì tính nhầm cả $u_{10}$ và tổng cấp số.","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số cộng","grade":"GRADE_11","questionCategory":"tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng","difficulty":"nhận biết"},{"id":6,"text":"Hàm số $y = \\dfrac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$(-2; 0)$","correct":true},{"label":"B","text":"$(-\\infty; -2)$","correct":false},{"label":"C","text":"$(0; +\\infty)$","correct":false},{"label":"D","text":"$(-4; 0)$","correct":false}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y = \\dfrac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$. \n\nCác khoảng cần xét: $(-\\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; +\\infty)$, $(-4; 0)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu xác định khoảng mà hàm số nghịch biến. \n\nPhương pháp: dùng đạo hàm $y'$ để kiểm tra dấu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định miền xác định: \n$x \\neq -2$ ⇒ $D = (-\\infty, -2)\\cup(-2, +\\infty)$.\n\nBước 2: Phân tích biểu thức: \n\nBước 3: Tính đạo hàm: \n\nBước 4: Giải bất phương trình $y' < 0$:\n\nBước 5: Kết hợp miền xác định (loại bỏ $x=-2$):\n$y' < 0$ trên hai khoảng $\\,(-4,-2)$ và $(-2,0)$.\n\nBước 6: Đối chiếu với các đáp án:\n$(-\\infty; -2)$: không thỏa vì trên $(-\\infty,-4)$ hàm số lại đồng biến. \n\n$(0; +\\infty)$: $y' > 0$, hàm số đồng biến. \n\n$(-4; 0)$: chứa $x=-2$ (không nằm trong miền xác định). \n\n$(-2; 0)$: hoàn toàn nằm trong vùng $y' < 0$ ⇒ hàm số nghịch biến.\n\n✅ Đáp án: $(-2; 0)$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $(-\\infty; -2)$: có phần $(-\\infty,-4)$ hàm số đồng biến. \n\nC. $(0; +\\infty)$: $y' > 0$ ⇒ hàm số đồng biến. \n\nD. $(-4; 0)$: chứa điểm $x=-2$ nơi hàm không xác định.","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":7,"text":"Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y = \\sin x$?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"Hình 1","correct":false,"reason":"Đồ thị có tiệm cận đứng tại $x = \\frac{\\pi}{2} + k\\pi$ và đi qua gốc tọa độ $(0,0)$, đây là đặc trưng của hàm $y = \\tan x$, không phải $y = \\sin x$."},{"label":"B","text":"Hình 2","correct":false,"reason":"Tại $x = 0$ thì $y = 1$ (giá trị cực đại), đây là đồ thị của hàm $y = \\cos x$ vì $\\cos 0 = 1$, trong khi $\\sin 0 = 0$."},{"label":"C","text":"Hình 3","correct":false,"reason":"Đồ thị có tiệm cận đứng và là hàm nghịch biến trên từng nhánh, đây là đặc trưng của hàm $y = \\cot x$, không phải $y = \\sin x$."},{"label":"D","text":"Hình 4","correct":true,"reason":"Đồ thị đi qua gốc tọa độ $(0,0)$ với $\\sin 0 = 0$, có biên độ $1$, chu kỳ $2\\pi$, dao động trong $[-1,1]$ và không có tiệm cận, đúng với hàm $y = \\sin x$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐề bài yêu cầu xác định đồ thị của hàm số $y = \\sin x$ \n\nHình 1: đồ thị hàm $y = \\tan x$ \n\nHình 2: đồ thị hàm $y = \\cos x$ \n\nHình 3: đồ thị hàm $y = \\cot x$ \n\nHình 4: đồ thị hàm $y = \\sin x$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định đồ thị phù hợp với hàm số $y = \\sin x$. \n\nÁp dụng kiến thức về biên độ, chu kỳ, điểm đặc trưng và tiệm cận của các hàm sin, cos, tan, cot.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nHàm $y = \\sin x$ có các đặc điểm sau: \n• Biên độ = 1 \n• Chu kỳ = $2\\pi$ \n• Dao động trong khoảng $[-1,1]$ \n• Đi qua gốc tọa độ (0,0) \n• Không có tiệm cận \n\nKiểm tra từng hình: \n• Hình 1: xuất hiện tiệm cận đứng ⇒ đây là $y = \\tan x$ ⇒ loại. \n• Hình 2: tại $x=0$ có $y=1$ ⇒ đây là $y = \\cos x$ ⇒ loại. \n• Hình 3: có tiệm cận đứng ⇒ đây là $y = \\cot x$ ⇒ loại. \n• Hình 4: tại $x=0$ có $y=0$, dao động đều trong $[-1,1]$, không tiệm cận ⇒ đúng với $y = \\sin x$.\n\n✅ Đáp án: $\\text{Hình 4}$\n❌ Các đáp án khác:\nHình 1: đồ thị hàm $y = \\tan x$, có tiệm cận đứng. \n\nHình 2: đồ thị hàm $y = \\cos x$, tại $x=0$ có $y=1$. \n\nHình 3: đồ thị hàm $y = \\cot x$, có tiệm cận đứng.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/10DpjyTK1UjwTMjz87XwmKTowjMU1GHQf_2025-05-27080613.png"],"chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"hàm số lượng giác","grade":"GRADE_11","questionCategory":"đồ thị và tính chất của hàm số y=sinx","difficulty":"thông hiểu"},{"id":8,"text":"Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[1; 4]$ và $F(4) = 9,\\ F(1) = 3$. Giá trị của $\\int_1^4 [f(x) + 2]\\,dx$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$0$","correct":false,"reason":"Sai vì bỏ qua cả phần hiệu nguyên hàm $F(4)-F(1)=6$ và tích phân hằng số $2(4-1)=6$, hoặc tính toán nhầm lẫn dẫn đến kết quả $0$."},{"label":"B","text":"$8$","correct":false,"reason":"Sai vì chỉ tính phần tích phân hằng số nhưng tính sai ($2\\cdot 4=8$ quên trừ $2\\cdot 1$) hoặc chỉ cộng thêm $2$ mà không nhân với độ dài đoạn, đồng thời bỏ sót phần $\\int_1^4 f(x)\\,dx$."},{"label":"C","text":"$-4$","correct":false,"reason":"Sai do đảo ngược hiệu nguyên hàm $F(1)-F(4)=-6$ và tính sai tích phân hằng số (chỉ cộng $2$ thay vì $6$), dẫn đến $-6+2=-4$."},{"label":"D","text":"$12$","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\int_1^4 f(x)\\,dx = F(4)-F(1) = 6$ và $\\int_1^4 2\\,dx = 2(4-1) = 6$, nên tổng giá trị cần tìm là $6+6=12$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[1;4]$. \n\n$F(4)=9,\\quad F(1)=3$. \n\nCần tính giá trị của $\\displaystyle \\int_1^4 [f(x)+2]\\,dx$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính tích phân xác định của biểu thức $f(x)+2$ trên đoạn từ 1 đến 4. \n\nÁp dụng công thức tích phân của nguyên hàm và tích phân hằng số.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhắc lại: nếu $F'(x)=f(x)$ thì \n$\\int f(x)\\,dx = F(x) + C.$ \n\nDo đó \n$\\int [f(x)+2]\\,dx = \\int f(x)\\,dx \\;+\\;\\int 2\\,dx = F(x) + 2x + C.$ \n\nTính tích phân xác định từ 1 đến 4: \n\nThay giá trị đã cho: \n\n✅ Đáp án: $12$\n❌ Các đáp án khác: \nA. $0$: Bỏ qua cả phần đóng góp của hằng số và sai hiệu của $F(4)-F(1)$. \n\nB. $8$: Chỉ tính tích phân hằng số $2$ mà không tính phần hiệu của nguyên hàm. \n\nC. $-4$: Tính toán sai hiệu và dấu dẫn đến kết quả âm.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"tích phân","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính chất của tích phân","difficulty":"thông hiểu"},{"id":9,"text":"Tập nghiệm của bất phương trình $\\log_3(x - 2) < 1$ là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$(5; +\\infty)$","correct":false,"reason":"Nếu $x \\in (5; +\\infty)$ thì $x - 2 > 3$, dẫn đến $\\log_3(x-2) > 1$, không thỏa mãn bất phương trình đã cho."},{"label":"B","text":"$(-\\infty; 5)$","correct":false,"reason":"Tập này chứa các giá trị $x \\leq 2$ khiến $x - 2 \\leq 0$, làm cho $\\log_3(x-2)$ không xác định."},{"label":"C","text":"$(0; 5)$","correct":false,"reason":"Chứa khoảng $(0; 2]$ làm cho $x - 2 \\leq 0$, vi phạm điều kiện xác định $x - 2 > 0$ của logarit."},{"label":"D","text":"$(2; 5)$","correct":true,"reason":"Thỏa mãn điều kiện xác định $x > 2$ và kết hợp với $x < 5$ suy ra từ $\\log_3(x-2) < 1$, ta được nghiệm đúng là $2 < x < 5$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBất phương trình $\\log_3(x - 2) < 1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhải tìm tập giá trị của $x$ thỏa mãn bất phương trình đã cho. \n\nCần áp dụng điều kiện xác định của logarit và tính chất đồng biến của hàm số $\\log_3$ với cơ số $3>1$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định điều kiện xác định của biểu thức logarit: \n$x - 2 > 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad x > 2.$\n\nVì hàm $\\log_3 t$ với $t>0$ và $3>1$ là hàm đồng biến, nên \n$\\log_3(x - 2) < 1 \\quad\\Longrightarrow\\quad x - 2 < 3^1 = 3.$\n\nGiải bất phương trình vừa tìm được: \n$x - 2 < 3 \\quad\\Longrightarrow\\quad x < 5.$\n\nKết hợp với điều kiện xác định $x>2$, ta có nghiệm: \n$2 < x < 5.$\n\n✅ Đáp án: $(2; 5)$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $(5; +\\infty)$: chỉ chứa $x>5$, không thỏa mãn $\\log_3(x-2)<1$. \n\nB. $(-\\infty; 5)$: bao gồm cả $x \\le 2$ làm cho log không xác định. \n\nC. $(0; 5)$: bao gồm $0 < x \\le 2$ khiến $x-2 \\le 0$, log không tồn tại.","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"bất phương trình lôgarit","difficulty":"thông hiểu"},{"id":10,"text":"Thống kê số điện (kWh) của 30 lớp học ở trường THPT X dùng trong một tháng được kết quả sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng bao nhiêu?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$50$","correct":false,"reason":"Sai vì $50$ chỉ là giới hạn dưới của lớp đầu tiên (giá trị nhỏ nhất), không phải khoảng biến thiên. Khoảng biến thiên phải tính bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất."},{"label":"B","text":"$40$","correct":false,"reason":"Sai vì $40$ không phải là hiệu số giữa giới hạn trên của lớp cuối ($110$) và giới hạn dưới của lớp đầu ($50$)."},{"label":"C","text":"$10$","correct":false,"reason":"Sai vì $10$ là độ rộng của mỗi lớp ghép nhóm ($60-50=10$), không phải khoảng biến thiên của toàn bộ mẫu số liệu."},{"label":"D","text":"$60$","correct":true,"reason":"Đúng vì khoảng biến thiên $R = 110 - 50 = 60$, trong đó $110$ là giới hạn trên của lớp cuối và $50$ là giới hạn dưới của lớp đầu."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho: \nBảng tần số ghép nhóm thể hiện mức tiêu thụ điện (kWh) của 30 lớp. \n\nTổng cộng: 1 + 5 + 6 + 9 + 7 + 2 = 30 lớp \n\nYêu cầu: Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nKhoảng biến thiên (range) = độ chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. \n\nTrong dữ liệu ghép nhóm, giá trị nhỏ nhất là giới hạn dưới của lớp đầu, giá trị lớn nhất là giới hạn trên của lớp cuối.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nXác định giá trị nhỏ nhất: giới hạn dưới của khoảng đầu tiên = 50. \n\nXác định giá trị lớn nhất: giới hạn trên của khoảng cuối cùng = 110. \n\nÁp dụng công thức: \n$R = \\max - \\min$ \n\nThay số vào: \n$R = 110 - 50 = 60$\n\n✅ Đáp án: $60$\n❌ Các đáp án khác: \nA. 50: Sai vì chỉ lấy nhầm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị trên của lớp đầu. \n\nB. 40: Sai vì không đúng chênh lệch giữa 50 và 110. \n\nC. 10: Sai vì nhầm lẫn với độ rộng của mỗi lớp.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/1A7Xu_Uzq_A87jhcdHl7zPvgb_68suKMm_2025-05-27080613.jpg"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khoảng biến thiên","difficulty":"nhận biết"},{"id":11,"text":"Có hai xạ thủ $A, B$ độc lập cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ $A$ là $0{,}8$ và xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ $B$ là $0{,}9$. Xác suất để có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$0{,}26$","correct":true,"reason":"Đây là xác suất để đúng một xạ thủ bắn trúng, tính bằng tổng xác suất của hai sự kiện xung khắc “$A$ trúng, $B$ trượt” và “$A$ trượt, $B$ trúng”: $0{,}8 \\times 0{,}1 + 0{,}2 \\times 0{,}9 = 0{,}26$."},{"label":"B","text":"$0{,}74$","correct":false,"reason":"Đây là xác suất của sự kiện bù (cả hai cùng trúng hoặc cả hai cùng trượt), tính bởi $1 - 0{,}26 = 0{,}74$, chứ không phải xác suất để đúng một người trúng."},{"label":"C","text":"$0{,}98$","correct":false,"reason":"Đây là xác suất để ít nhất một xạ thủ trúng ($P(A \\cup B) = 0{,}8 + 0{,}9 - 0{,}72 = 0{,}98$ hoặc $1 - 0{,}2 \\times 0{,}1$), bao gồm cả trường hợp cả hai đều trúng."},{"label":"D","text":"$0{,}72$","correct":false,"reason":"Đây là xác suất để cả hai xạ thủ đều bắn trúng ($0{,}8 \\times 0{,}9 = 0{,}72$), không phải xác suất chỉ có đúng một người trúng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai xạ thủ A và B bắn độc lập vào cùng một mục tiêu. \n\nXác suất A bắn trúng mục tiêu: $0{,}8$. \n\nXác suất B bắn trúng mục tiêu: $0{,}9$. \n\nYêu cầu tìm xác suất để đúng một xạ thủ bắn trúng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính xác suất của sự kiện “chính xác một trong hai xạ thủ trúng”. \n\nSử dụng tính chất độc lập và quy tắc cộng xác suất cho các sự kiện tương hỗ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi \n$E_1$: A trúng và B trượt. \n\n$E_2$: A trượt và B trúng.\n\nVì độc lập, \nXác suất A trượt: $P(A_{\\text{trượt}})=1-0{,}8=0{,}2$. \n\nXác suất B trượt: $P(B_{\\text{trượt}})=1-0{,}9=0{,}1$.\n\nTính từng xác suất: \n$P(E_1)=P(A_{\\text{trúng}})\\times P(B_{\\text{trượt}})=0{,}8\\times0{,}1=0{,}08$ \n\n$P(E_2)=P(A_{\\text{trượt}})\\times P(B_{\\text{trúng}})=0{,}2\\times0{,}9=0{,}18$\n\nVì $E_1$ và $E_2$ không cùng xảy ra, nên \n\n✅ Đáp án: $0{,}26$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $0{,}74$: Đây là xác suất “ít nhất một xạ thủ trúng” (1 − P(cả hai trượt)), không phải “chính xác một”. \n\nC. $0{,}98$: Đây cũng là xác suất “ít nhất một trúng” (1 − 0{,}2×0{,}1), không phải yêu cầu. \n\nD. $0{,}72$: Đây là xác suất “cả hai xạ thủ đều trúng” (0{,}8×0{,}9).","chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"công thức cộng xác suất","grade":"GRADE_11","questionCategory":"công thức cộng xác suất","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Cho hình chóp đều $S.ABCD$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Khẳng định nào sau đây là sai?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6835728129cbc50e9298d742","options":[{"label":"A","text":"$SA \\perp AB$","correct":true,"reason":"Trong hình chóp đều, tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $SA=SB$ nên $\\angle SAB$ nhọn, không thể vuông tại $A$ (nếu $SA \\perp AB$ thì $SB > SA$, mâu thuẫn với $SA=SB$). Do đó $SA$ không vuông góc với $AB$."},{"label":"B","text":"$AC \\perp BD$","correct":false,"reason":"$ABCD$ là hình vuông (tính chất đáy hình chóp đều) nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại tâm $O$."},{"label":"C","text":"$BD \\perp SC$","correct":false,"reason":"$BD \\perp AC$ (tính chất hình vuông) và $BD \\perp SO$ (do $SO \\perp (ABCD)$), suy ra $BD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$, do đó $BD \\perp SC$."},{"label":"D","text":"$SO \\perp CD$","correct":false,"reason":"Vì $SO \\perp (ABCD)$ (tính chất hình chóp đều) nên $SO$ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt đáy, kể cả $CD$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông.\n\n$O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.\n\nCác khẳng định cần kiểm tra: \n$SA \\perp AB,\\quad AC \\perp BD,\\quad BD \\perp SC,\\quad SO \\perp CD.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định khẳng định nào trong bốn khẳng định trên là sai.\n\nVận dụng tính chất hình chóp đều (đỉnh – tâm đáy vuông góc) và tính chất hình vuông (hai đường chéo vuông góc).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $S.ABCD$ là chóp đều nên \n$SO\\perp (ABCD)\\quad\\Longrightarrow\\quad SO\\perp CD\\ \\text{và}\\ SO\\perp BD\\ \\text{v.v.}$ \nDo đó mọi đường thẳng trong mặt đáy đều vuông góc với $SO$.\n\nKiểm tra từng khẳng định:\nKhẳng định $AC\\perp BD$: đúng, vì trong hình vuông hai đường chéo vuông góc tại $O$.\n\nKhẳng định $SO\\perp CD$: đúng, do $SO\\perp (ABCD)$.\n\nKhẳng định $BD\\perp SC$: \nChọn hệ trục: \nKhi đó \n\nKhẳng định $SA\\perp AB$: \nVới cùng tọa độ, \nta có \nVậy khẳng định này sai.\n\n✅ Đáp án: $A$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $AC\\perp BD$ đúng vì hai đường chéo hình vuông vuông góc. \n\nC. $BD\\perp SC$ đúng do $\\vec{SC}\\cdot\\vec{BD}=0$. \n\nD. $SO\\perp CD$ đúng vì $SO\\perp (ABCD)$.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/1_9Lb5VbDbaiia_nJVUkeXYIz-IrOilH6_2025-05-27080613.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"hai mặt phẳng vuông góc","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hình chóp đều và hình chóp cụt đều","difficulty":"thông hiểu"},{"id":13,"text":"Hai vận động viên $A$ và $B$ tham dự một cuộc thi chạy bộ trên một đường thẳng, xuất phát cùng một thời điểm, cùng vạch xuất phát và chạy cùng chiều với vận tốc lần lượt là $v_A$ và $v_B$. Trong khoảng thời gian 32 giây chạy đầu tiên ta có $v_A = \\dfrac{1}{450}t^3 - \\dfrac{47}{450}t^2 + \\dfrac{64}{45}t\\ (\\text{m/s})$; $v_B = at^2 + bt$ (m/s) $(\\text{với } t \\ge 0 \\text{ là thời gian tính bằng giây})$. Hàm số $y = at^2 + bt$ có đồ thị là một phần của parabol như hình vẽ bên.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6835728129cbc50e9298d743","statements":[{"label":"A","text":"Tốc độ chạy lớn nhất của vận động viên $A$ trong khoảng 20 giây tính từ khi bắt đầu xuất phát là 6 m/s.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vận tốc vận động viên A: $v_A(t) = \\frac{1}{450}t^3 - \\frac{47}{450}t^2 + \\frac{64}{45}t$ (m/s).\n\nKhoảng thời gian cần xét: từ $t = 0$ đến $t = 20$ giây.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm tốc độ chạy lớn nhất của vận động viên A trong khoảng thời gian 20 giây đầu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm:\n$v_A'(t) = \\frac{3t^2}{450} - \\frac{94t}{450} + \\frac{64}{45}.$ \n\nGiải phương trình $v_A'(t) = 0$:\n$3t^2 - 94t + 640 = 0 \\Longrightarrow t = 10\\text{ s hoặc }t\\approx21{,}33\\text{ s}.$ \n\nTrong đoạn $[0;20]$, chỉ có $t = 10$ thoả mãn.\n\nTính vận tốc tại $t = 10$:\n$v_A(10) = \\frac{1}{450}\\cdot1000 - \\frac{47}{450}\\cdot100 + \\frac{64}{45}\\cdot10 = 6\\,(m/s).$\n\nKiểm tra tại $t=0$ và $t=20$ đều nhỏ hơn 6.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Sau 30 giây tính từ khi bắt đầu xuất phát, hai vận động viên cách nhau một khoảng bằng 120 m.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vận tốc A: $v_A(t) = \\frac{1}{450}t^3 - \\frac{47}{450}t^2 + \\frac{64}{45}t$.\n\nHàm vận tốc B: $v_B(t) = at^2 + bt$, đồ thị parabol bề lõm xuống đi qua các điểm $(5;6),(25;10),(32;4)$.\n\nCần tính khoảng cách giữa hai vận động viên sau 30 giây.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính quãng đường A và B chạy được sau 30 giây.\n\nTính hiệu quãng đường để xác định khoảng cách hai người.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuãng đường A:\n$s_A(30)=\\int_0^{30}v_A(t)dt=\\left[\\frac{t^4}{1800}-\\frac{47t^3}{1350}+\\frac{32t^2}{45}\\right]_0^{30}=150\\,m.$ \n\nXác định $a,b$ của B từ hệ:\n$\\begin{cases}25a+5b=6,\\\\625a+25b=10.\\end{cases}$\nGiải được $a=-\\frac{1}{25},\\;b=\\frac{7}{5}$.\n\nQuãng đường B:\n$s_B(30)=\\int_0^{30}(at^2+bt)dt=\\left[\\frac{a t^3}{3}+\\frac{b t^2}{2}\\right]_0^{30}=270\\,m.$ \n\nKhoảng cách giữa hai vận động viên: $|270-150|=120\\,(m).$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"$a = -\\dfrac{1}{5}$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị hàm $v_B = at^2 + bt$ là parabol bề lõm xuống đi qua các điểm $(5;6),(25;10),(32;4)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định hệ số $a$ của hàm bậc hai này.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDùng hai điểm $(5;6)$ và $(25;10)$ lập hệ:\n$\\begin{cases}25a+5b=6,\\\\625a+25b=10.\\end{cases}$\n\nGiải hệ cho $a=-\\frac{1}{25}, b=\\frac{7}{5}$.\n\nNhận thấy $a\\neq -\\frac{1}{5}$ mà $a=-\\frac{1}{25}$.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Quãng đường vận động viên $B$ chạy được trong 30 giây tính từ khi bắt đầu xuất phát là 250 m (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vận tốc B: $v_B(t) = -\\frac{1}{25}t^2 + \\frac{7}{5}t$.\n\nCần tính quãng đường B chạy trong 30 giây.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính $s_B(30)=\\int_0^{30}v_B(t)dt$ và so sánh với 250 m.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tích phân:\n$s_B(30)=\\int_0^{30}\\Bigl(-\\frac{1}{25}t^2+\\frac{7}{5}t\\Bigr)dt=\\left[-\\frac{t^3}{75}+\\frac{7t^2}{10}\\right]_0^{30}=270\\,m.$ \n\nKết quả: 270 m ≠ 250 m.\n\nKết luận: Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/1kdH0R0uENvQpBBmwZK-MXxliCJs_vJgf_2025-05-27080613.jpg"],"chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"bài tập cuối chương iv","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 4","difficulty":"vận dụng"},{"id":14,"text":"Một chiếc đèn được đặt trên đỉnh của một cột đèn cao $h$ (m) để chiếu sáng một vòng xuyến giao thông đồng đều có bán kính 12 m. Cường độ ánh sáng $I$ tại một điểm $P$ trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc $\\theta$ và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách $d$ (m) từ nguồn sáng đến điểm $P$ (xem hình).","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6835728129cbc50e9298d743","statements":[{"label":"A","text":"Nếu $I = f(h)$ thì $f'(h) = k \\cdot \\dfrac{-2h^2 + 144}{(h^2 + 144)^2 \\cdot \\sqrt{(h^2 + 144)^3}}$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCột đèn cao $h$ (m).\n\nVòng xuyến bán kính $12\\ \\text{m}$.\n\nGóc chiếu sáng với trục cột là $\\theta$.\n\nKhoảng cách từ đèn đến điểm $P$ là $d=\\sqrt{h^2+144}$.\n\nCường độ ánh sáng $I\\propto\\dfrac{\\cos\\theta}{d^2}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nOption A cho rằng nếu $I=f(h)$ thì\n$f'(h)=k\\cdot\\dfrac{-2h^2+144}{(h^2+144)^2\\cdot\\sqrt{(h^2+144)^3}}$.\n\nCần kiểm tra biểu thức đạo hàm của hàm $I(h)$ thực tế.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTa có $I(h)=k\\,\\dfrac{h}{(h^2+144)^{3/2}}$.\n\nTính đạo hàm:\n$I'(h)=k\\,\\frac{(h^2+144)^{3/2}-h\\cdot\\tfrac{3}{2}(h^2+144)^{1/2}\\cdot2h}{(h^2+144)^3}\n =k\\,\\frac{144-2h^2}{(h^2+144)^{5/2}}.$ \n\nMẫu ở Option A là $(h^2+144)^2\\cdot\\sqrt{(h^2+144)^3}=(h^2+144)^{7/2}$, không khớp với $(h^2+144)^{5/2}$.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"B","text":"Để cường độ ánh $I$ lớn nhất thì cột đèn phải cao $6\\sqrt{2}$ m","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCột đèn cao $h$ (m).\n\nVòng xuyến bán kính $12\\ \\text{m}$.\n\nGóc chiếu sáng $\\theta$.\n\nKhoảng cách $d=\\sqrt{h^2+144}$.\n\nCường độ ánh sáng $I(h)=k\\,\\dfrac{h}{(h^2+144)^{3/2}}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nOption B khẳng định để $I$ lớn nhất thì $h=6\\sqrt{2}\\ \\text{m}$.\n\nCần tìm cực trị của hàm $I(h)$ theo $h$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm:\n$I'(h)=k\\,\\frac{144-2h^2}{(h^2+144)^{5/2}}.$ \n\nGiải $I'(h)=0\\Rightarrow 144-2h^2=0\\Rightarrow h^2=72\\Rightarrow h=6\\sqrt{2}.$ \n\nXét dấu $I'(h)$ có $a<0(a=-2)$ nên đây là hàm parabol úp xuống => cho thấy đây là điểm cực đại.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"$\\cos \\theta = \\dfrac{12}{\\sqrt{h^2 + 144}}$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCột đèn cao $h$ (m).\n\nVòng xuyến bán kính $12\\ \\text{m}$.\n\nGóc chiếu sáng $\\theta$.\n\nKhoảng cách $d=\\sqrt{h^2+144}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nOption C đưa công thức $\\cos\\theta=\\dfrac{12}{\\sqrt{h^2+144}}$.\n\nCần so sánh với công thức trong tam giác vuông.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrong tam giác vuông, cạnh đối là $h$, cạnh huyền $d$, nên\n$\\cos\\theta=\\frac{\\text{cạnh kề}}{\\text{cạnh huyền}}=\\frac{h}{d}=\\dfrac{h}{\\sqrt{h^2 + 144}}$ \n\nOption C dùng $12$ thay vào vị trí $h$ nên không đúng.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"$I = k \\cdot \\dfrac{\\cos \\theta}{d^2}$ (với $k$ là hằng số dương)","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCột đèn cao $h$ (m).\n\nVòng xuyến bán kính $12\\ \\text{m}$.\n\nGóc chiếu sáng $\\theta$.\n\nKhoảng cách $d=\\sqrt{h^2+144}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nOption D cho công thức\n$I=k\\cdot\\frac{\\cos\\theta}{d^2}\\quad(k>0).$\n\nCần kiểm tra tính đúng với quy luật tỉ lệ thuận/nghịch.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo đề: $I$ tỉ lệ thuận với $\\cos\\theta$ và nghịch với $d^2$.\n\nDo đó biểu thức $I=k\\,\\dfrac{\\cos\\theta}{d^2}$ hoàn toàn chính xác.\n\nKết luận: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/1y4zjwThQcH-z30k-YvfcIGJFX0Z-XFpq_2025-05-27080613.jpg"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":15,"text":"Aria mua một ngôi nhà với giá bán $P = 290{,}000\\ \\text{\\$}$ theo hình thức mua trả góp, lãi suất 8,25% một năm, trong vòng 30 năm, với số tiền phải trả mỗi tháng không đổi bằng $M$ ($). Gọi $r$ là lãi suất một tháng.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6835728129cbc50e9298d743","statements":[{"label":"A","text":"Số tiền Aria còn nợ sau tháng đầu tiên là $A_1 = P(1 + r) - M$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGiá mua ngôi nhà: $P = 290{,}000\\ \\text{\\$}$\n\nLãi suất hàng năm: $8{,}25\\%$, suy ra lãi suất hàng tháng là $r = \\frac{8{,}25\\%}{12}$\n\nSố tiền phải trả mỗi tháng: $M$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định số dư nợ còn lại sau tháng đầu tiên.\n\nKiểm tra công thức $A_1 = P(1 + r) - M$ có phù hợp với quy tắc tính lãi và thanh toán.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Số dư nợ ban đầu là $P$.\n\nBước 2: Sau một tháng, số nợ sinh thêm lãi: $P \\times r$.\n\nBước 3: Tổng số nợ trước khi thanh toán là $P + Pr = P(1+r)$.\n\nBước 4: Trừ đi khoản thanh toán tháng đầu tiên $M$.\n\nBước 5: Số dư nợ cuối tháng đầu tiên:\n$A_1 = P(1+r) - M$\n\nKết luận: Đúng vì công thức khớp với quy tắc tính lãi và trừ khoản thanh toán."},{"label":"B","text":"$r = 0{,}6875\\%$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLãi suất năm: $8{,}25\\%$\n\nLãi suất tháng là $r = \\frac{8{,}25\\%}{12}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính giá trị $r$ dưới dạng phần trăm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChuyển phần trăm sang số thập phân: $8{,}25\\% = 0{,}0825$.\n\nChia cho 12 tháng:\n$r = \\frac{0{,}0825}{12} = 0{,}006875 = 0{,}6875\\%$\n\nKết luận: Đúng vì phép tính cho $r = 0{,}6875\\%$."},{"label":"C","text":"Tổng số tiền Aria phải trả sau 30 năm gấp hơn 2,5 lần so với giá bán $P$ của ngôi nhà","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGiá gốc: $P = 290{,}000\\ \\text{\\$}$\n\nLãi suất tháng: $r = 0{,}006875$\n\nThời gian vay: $n = 30\\ \\text{năm} = 360\\ \\text{tháng}$\n\nSố tiền trả mỗi tháng: $M$ do công thức trả góp đều.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nSo sánh tổng số tiền phải trả sau 30 năm với $2{,}5P$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức thanh toán cố định:\n$M = P \\frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$\n\nTổng tiền trả sau 30 năm:\n$T = nM = 360M = 360P \\frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$\n\nTính xấp xỉ:\n$(1+r)^n \\approx e^{n\\ln(1+r)} = e^{360\\ln(1.006875)} \\approx e^{360\\times0.006852} \\approx e^{2.4667} \\approx 11.79$\n\n$\\frac{T}{P} \\approx 360 \\times \\frac{0.006875\\times11.79}{11.79 - 1} \\approx 360 \\times 0.007517 \\approx 2.706$\n\nNhư vậy $T \\approx 2.706P > 2.5P$.\n\nKết luận: Đúng vì tổng số tiền trả lớn hơn $2.5P$."},{"label":"D","text":"Mỗi tháng, Aria quyết định trả thêm $250\\ \\text{\\$}$ so với số tiền phải trả $M$. Cô ấy sẽ trả hết tiền mua nhà trong 20 năm","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGiá gốc: $P = 290{,}000\\ \\text{\\$}$\n\nLãi suất tháng: $r = 0{,}006875$\n\nKhoản thanh toán gốc mỗi tháng: $M \\approx 290000 \\times 0.007517 \\approx 2180\\ \\text{\\$}$\n\nPhương án thanh toán mới: mỗi tháng trả thêm $250\\ \\text{\\$}$, tức $M' = M + 250 \\approx 2430\\ \\text{\\$}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định thời gian cần để trả hết nợ với khoản thanh toán $M'$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức xác định số tháng $n'$:\n$P = M' \\frac{1 - (1+r)^{-n'}}{r}$\n\nSuy ra:\n$(1+r)^{-n'} = 1 - \\frac{Pr}{M'}$\n$n' = -\\frac{\\ln\\bigl(1 - \\frac{Pr}{M'}\\bigr)}{\\ln(1+r)}$\n\nThay số:\n$Pr = 290000 \\times 0.006875 = 1993.75$\n\n$1 - \\frac{1993.75}{2430} \\approx 0.1794$\n\n$n' \\approx -\\frac{\\ln(0.1794)}{\\ln(1.006875)} \\approx \\frac{1.717}{0.006852} \\approx 250.6\\ \\text{tháng} \\approx 20.9\\ \\text{năm}$\n\nKết luận: thời gian trả nợ xấp xỉ 20.9 năm, không phải 20 năm.\n\nKết luận: Sai vì không đủ rút ngắn xuống đúng 20 năm."}],"chapter":"chuyên đề 3 - ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính","topic":"tín dụng. vay nợ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"vay nợ của các tổ chức tín dụng","difficulty":"vận dụng"},{"id":16,"text":"Số liệu thống kê chiều cao (đơn vị tính chiều cao: cm) của tất cả các cây vú sữa trong vườn ươm của một lâm trường được thể hiện trên biểu đồ tần số sau:","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6835728129cbc50e9298d743","statements":[{"label":"A","text":"Nếu tăng số cây của mỗi nhóm lên gấp 3 lần thì phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm mới cũng tăng lên gấp 3 lần.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDữ liệu được cho dưới dạng bảng tần số nhóm.\n\nĐộ rộng lớp Δ = 10 cm.\n\nCỡ mẫu n = 102.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhát biểu A: “Nếu tăng số cây của mỗi nhóm lên gấp 3 lần thì phương sai mẫu mới cũng tăng lên gấp 3 lần.”\n\nCần kiểm tra ảnh hưởng của nhân tần số lên trung bình và phương sai.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $f_i$ tần số ban đầu, $f'_i = 3·f_i $ là tần số mới.\n\nTrung bình mẫu mới:\n$\\bar x' = \\frac{\\sum f'_i x_i}{\\sum f'_i} = \\frac{3\\sum f_i x_i}{3n} = \\bar x.$ \n\nPhương sai mẫu mới:\n$s'^2 = \\frac{\\sum f'_i (x_i - \\bar x')^2}{\\sum f'_i} = \\frac{3\\sum f_i (x_i - \\bar x)^2}{3n} = s^2.$ \n\nNhận xét: phương sai KHÔNG đổi, không tăng gấp 3 lần.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"B","text":"Chiều cao trung bình (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) của các cây vú sữa trong vườn ươm là 96, 66cm.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nSố liệu chiều cao (cm) nhóm theo khoảng:\n[70; 80): 9 cây, [80; 90): 20 cây, [90; 100): 33 cây, [100; 110): 25 cây, [110; 120): 15 cây.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính chiều cao trung bình của các cây vú sữa theo số liệu ghép nhóm.\n\nKết quả làm tròn đến hàng phần trăm, kiểm tra có phải $96.66\\ \\text{cm}$ không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm bằng máy tính cầm tay Casio FX-580 VN / Vinacal 680EX PLUS:\n👉🏻 Bước 1: Bật bảng thống kê\nNhấn SHIFT → MENU → chọn Statistics → 3: Statistics → 1: On.\n👉🏻 Bước 2: Vào chế độ thống kê\nNhấn MENU → 6: Statistics → 1: 1-Variable.\n👉🏻 Bước 3: Nhập dữ liệu thống kê\nTính giá trị giữa mỗi khoảng bằng công thức\n$\\text{Giá trị giữa}=\\frac{a+b}{2}$\n[70; 80) ⇒ $75$\n\n[80; 90) ⇒ $85$\n\n[90; 100) ⇒ $95$\n\n[100; 110) ⇒ $105$\n\n[110; 120) ⇒ $115$\n\nNhập các giá trị giữa vào cột $x$, tần số tương ứng vào cột $\\text{Freq}$.\n\n👉🏻 Bước 4: Gọi kết quả thống kê\nNhấn OPTN → 3: 1-Variable Calc. Màn hình chỉ cần quan tâm đến:\n$\\bar{x}$: giá trị trung bình\n\n👉🏻 Bước 5: Kết luận\nĐọc từ máy tính: $\\bar{x}\\approx96.67\\ \\text{cm}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)\n\nSo sánh với phát biểu: $96.67\\neq96.66$\n\n Kết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là $n = 102$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTần số các nhóm: 9, 20, 33, 25, 15.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhát biểu C: “Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là n = 102.”\n\nCần tính tổng tần số để xác định cỡ mẫu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCỡ mẫu n = tổng tần số = 9 + 20 + 33 + 25 + 15 = 102.\n\n(Hoặc từ thông tin sử dụng máy tính Casio ở câu b, ta có thể tìm giá trị $n$ để xem cỡ mẫu)\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Nếu trong vườn ươm nói trên, cây vú sữa thấp nhất có chiều cao 71 cm và cây vú sữa cao nhất có chiều cao 117 cm thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là 4 cm.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChiều cao nhỏ nhất cây gốc 71 cm, cao nhất 117 cm.\n\nDữ liệu ghép nhóm bắt đầu từ 70 cm đến dưới 120 cm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhát biểu D: “Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm lớn hơn mẫu gốc là 4 cm.”\n\nCần tính và so sánh khoảng biến thiên (range).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nMẫu gốc: range = 117 − 71 = 46 cm.\n\nMẫu ghép nhóm: range = 120 − 70 = 50 cm.\n\nHiệu = 50 − 46 = 4 cm.\n\nKết luận: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/1NcvxBaltdCq--WZlizMEZTgAPnQ5dzk0_2025-05-27080613.jpg"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"bài tập cuối chương iii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 3","difficulty":"vận dụng"},{"id":17,"text":"Kim tự tháp kính Louvre là một kim tự tháp được xây bằng kính và kim loại nằm ở giữa sân Napoléon của bảo tàng Louvre, Paris, Pháp. Kim tự tháp kính Louvre có dạng hình chóp tứ giác đều cao $20{,}6$ m, góc giữa cạnh bên và mặt đáy xấp xỉ $39^\\circ46'22''$. Thể tích của kim tự tháp đó bằng bao nhiêu mét khối? (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6835728129cbc50e9298d744","correctAnswer":"8412","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKim tự tháp kính Louvre có dạng hình chóp tứ giác đều. \n\nChiều cao chóp $h = 20{,}6$ m. \n\nGóc giữa cạnh bên và mặt đáy $\\alpha = 39^\\circ46'22''$. \n\nĐáy ABCD là hình vuông, tâm đáy là $O$, đỉnh chóp là $S$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tính thể tích của hình chóp đều. \n\nCần áp dụng công thức thể tích $\\displaystyle V = \\frac{1}{3} \\,S_{\\text{đáy}}\\times h$. \n\nTrước hết phải tìm độ dài cạnh đáy $a$ từ góc $\\alpha$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nXét mặt phẳng đáy, gọi $O$ là tâm hình vuông, $A$ là một đỉnh đáy. Khi đó \n\nTheo định nghĩa góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy, ta có \n\nSuy ra \n\nThay $h = 20{,}6$ m và $\\alpha = 39^\\circ46'22''$ vào tính \n\nDiện tích đáy \n\nThể tích chóp \n\nLàm tròn đến hàng đơn vị được $8412$.\n\n✅ Đáp án: $8412$ m³","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/10DpjyTK1UjwTMjz87XwmKTowjMU1GHQf_2025-05-27080613.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","grade":"GRADE_11","questionCategory":"thể tích","difficulty":"vận dụng"},{"id":18,"text":"Khuôn viên của một công viên có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với $AB = 100\\ \\text{m}$, $AD = 80\\ \\text{m}$. Người ta muốn chia công viên thành hai khu gồm một khu dành cho trẻ em, một khu dành cho người lớn. Để tạo thiết kế độc đáo và lạ mắt người ta dùng một đường cong chia khuôn viên thành hai phần$H_1$ (không tô màu) dành cho trẻ em và $H_2$ (tô màu) dành cho người lớn như hình vẽ bên dưới với $AH=40m;AE=60m;AP=20m$ và $EF//AB;PQ//AD$.\nBiết rằng khi xét trong một hệ tọa độ Oxy, đường cong trong hình là một phần của một đồ thị hàm số bậc ba. Phần chính giữa của công viên người ta muốn mắc dây đèn trang trí dọc theo đoạn thẳng $MN $ như hình. Biết giá tiền mỗi mét dây trang trí của phần dành cho trẻ em là 140 nghìn đồng và phần dành cho người lớn là 180 nghìn đồng. Tổng số tiền mắc dây đèn trang trí trên đoạn $MN$ là bao nhiêu triệu đồng?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6835728129cbc50e9298d744","correctAnswer":"12,7","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chữ nhật $ABCD$ với $A(0,0)$, $B(100,0)$, $C(100,80)$, $D(0,80)$; $AB=100\\text{ m}$, $AD=80\\text{ m}$.\n\nĐường cong chia hai khu là phần đồ thị hàm số bậc ba\n$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\,.$\n\nBa điểm trên đường cong: $H(0,40)$, $Q(20,60)$ (cực đại nên $f'(20)=0$), $F(100,60)$.\n\nĐường thẳng $MN\\colon x=50$ với $M(50,0)$, $N(50,80)$.\n\nGiá tiền mỗi mét: khu trẻ em 140 000 đ/m, khu người lớn 180 000 đ/m.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định giao điểm $I$ của đường cong với $x=50$, tức $I(50,f(50))$.\n\nTính độ dài hai phần của $MN$:\n$MI$ nằm trong khu người lớn (dưới đường cong).\n\n$IN$ nằm trong khu trẻ em (trên đường cong).\n\nNhân chiều dài từng phần với đơn giá tương ứng, rồi cộng lại.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết\n$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\\quad f'(x)=3ax^2+2bx+c\\,.$\n\nThiết lập hệ 4 phương trình từ các điều kiện:\n$\\begin{cases}\nf(0)=d=40,\\\\\nf(20)=8000a+400b+20c+d=60,\\\\\nf'(20)=1200a+40b+c=0,\\\\\nf(100)=1000000a+10000b+100c+d=60.\n\\end{cases}$\n\nGiải hệ thu được\n$a=\\frac1{2000},\\quad b=-0.07,\\quad c=2.2,\\quad d=40\\,.$\n\nTính\n$f(50)=\\frac1{2000}\\cdot50^3-0.07\\cdot50^2+2.2\\cdot50+40=37.5\\,.$\nSuy ra $I(50,37.5)$.\n\nĐộ dài các đoạn:\n$MI=37.5\\text{ m},\\quad IN=80-37.5=42.5\\text{ m}.$\n\nChi phí:\nkhu người lớn:\n$37.5\\times180000=6.75\\text{ triệu đồng}.$\n\nkhu trẻ em:\n$42.5\\times140000=5.95\\text{ triệu đồng}.$\n\nTổng chi phí:\n$6.75+5.95=12.7\\text{ triệu đồng}.$\n\n✅ Đáp án: 12,7 triệu đồng.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/1A7Xu_Uzq_A87jhcdHl7zPvgb_68suKMm_2025-05-27080613.jpg","/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/1VoqF7lNaLvlw7yVyMjUVvkg2YQzyyXqE_2025-05-27080613.jpg"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, hình lập phương $OBCD.O'B'C'D'$ có cạnh bằng 9 sao cho điểm $D$ thuộc tia $Ox$, $B$ thuộc tia $Oy$ và $O^{\\prime}$ thuộc tia $Oz$. Điểm $M$ thuộc cạnh $O'B'$ sao cho $O^{\\prime}B^{\\prime}=30M$. Một con kiến bò từ vị trí $M$ qua sáu mặt của hình lập phương đã rồi quay lại vị trí điểm $M$ sao cho quãng đường đi của con kiến là ngắn nhất. Hỏi với cách bò như vậy, con kiến đã bò qua bao nhiêu điểm mà điểm đó có hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6835728129cbc50e9298d744","correctAnswer":"6","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKhối lập phương OBCD.O′B′C′D′ có cạnh bằng 9, với D trên Ox, B trên Oy, O′ trên Oz. \n\nĐiểm M trên cạnh O′B′ sao cho $O′B′=3\\cdot OM$. \n\nCon kiến bò qua sáu mặt rồi quay về M sao cho quãng đường đi ngắn nhất. \n\nĐếm số điểm trên đường đi có hoành độ, tung độ, cao độ là các số nguyên dương.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhải biến quãng đường trên mặt khối lập phương thành đoạn thẳng trên bản net (trải phẳng). \n\nTìm số điểm có tọa độ nguyên dương mà con kiến đi qua. \n\nÁp dụng công thức đếm điểm trên đoạn thẳng trong lưới: nếu hai đầu là điểm nguyên thì số điểm trên đoạn (gồm hai đầu) là $\\gcd(\\Delta x,\\Delta y)+1\\,.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính khoảng cách trên cạnh: \n$OM=\\frac{O′B′}{3}=\\frac{9}{3}=3\\quad\\Longrightarrow\\quad M(0,3,9).$ \n\nTrải phẳng khối lập phương thành bản net sao cho hai hình ảnh của mặt $x=0$ chứa điểm M nằm ở hai đầu đoạn thẳng. \n\nTrên bản net, ta thu được hai điểm tương ứng với M có toạ độ 2D là \n$M(3,9)\\quad\\text{và}\\quad M'(9,15).$ \n\nVectơ dịch chuyển trên net: \n$\\Delta x=9-3=6,\\quad \\Delta y=15-9=6.$ \n\nSố điểm nguyên trên đoạn (gồm hai đầu): \n$\\gcd(6,6)+1=6+1=7.$ \n\nLoại trừ điểm xuất phát có hoành độ $x=0$ không thỏa (x>0) ⇒ còn lại \n$7-1=6\\;\\text{điểm}.$\n\n✅ Đáp án: 6","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 2","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó 3 điểm và sử dụng 3 đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối 3 điểm đó với một điểm treo. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ba điểm trên miệng của chậu cây là $A(0;1;2),B(2;-2;1),$ $ C(-2;0;1) $ và điểm treo $M(a; b; c)$ nằm trên mặt phẳng $(\\alpha):2x+2y+z-3=0$. Bình phương khoảng cách từ điểm $M$ đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6835728129cbc50e9298d744","correctAnswer":"62","explanation":"📷 Như hình minh hoạ, chậu cây được treo bằng ba sợi dây từ ba điểm A, B, C trên miệng chậu tới điểm treo M sao cho ba đoạn dây bằng nhau, tạo sự cân bằng.\n📃 Thông tin đề bài cho:\nBa điểm trên miệng chậu: \n$A(0;1;2),\\quad B(2;-2;1),\\quad C(-2;0;1).$ \n\nĐiểm treo: $M(a; b; c)$ nằm trên mặt phẳng \n$(\\alpha):\\;2x+2y+z-3=0.$\n\nĐộ dài ba dây bằng nhau: $MA=MB=MC.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm tọa độ $M(a;b;c)$ sao cho $MA=MB=MC$ và $M\\in(\\alpha).$ \n\nTính bình phương khoảng cách từ $M$ đến gốc tọa độ $O$, tức $OM^2.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết biểu thức bình phương các khoảng cách:\n$MA^2=(a-0)^2+(b-1)^2+(c-2)^2.$\n\n$MB^2=(a-2)^2+(b+2)^2+(c-1)^2.$\n\n$MC^2=(a+2)^2+(b-0)^2+(c-1)^2.$\n\nĐiều kiện cân bằng $MA^2=MB^2$ và $MA^2=MC^2$ cho hai phương trình:\n\nKết hợp với phương trình mặt phẳng $2a+2b+c=3.$\n\nGiải hệ ba phương trình:\nTừ $2a+b+c=0$ và $2a-3b-c=2$ suy ra\n$b=2a-1,\\quad c=-4a+1.$\n\nThay vào $2a+2b+c=3$:\n\nKhi đó $b=2\\cdot2-1=3,\\quad c=-4\\cdot2+1=-7.$\n\nVậy $M(2;3;-7).$ \n\nTính $OM^2=a^2+b^2+c^2=2^2+3^2+(-7)^2=4+9+49=62.$\n\n✅ Đáp án: 62","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-ninh-binh-2025-lan-thu-hai-co-dap-an/1KaFVmq11apZQGemfTUH1GieVFklicXVz_2025-05-27080613.jpg"],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt cầu","grade":"GRADE_12","questionCategory":"một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn","difficulty":"vận dụng"},{"id":21,"text":"Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, luật chơi như sau: \nTrong một hộp có chứa 25 cái phiếu được đánh số từ 1 đến 25, người chơi được bốc thăm ngẫu nhiên 5 phiếu, nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được là số chia hết cho 4 thì trúng thưởng. Bạn Hoa là người đầu tiên bốc thăm, xác suất để Hoa trúng thưởng là $\\frac{a}{b}$ (là phân số tối giản). Tính $S = b - a$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6835728129cbc50e9298d744","correctAnswer":"663","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHộp có 25 phiếu đánh số từ 1 đến 25. \n\nBốc ngẫu nhiên 5 phiếu. \n\nNếu tổng bình phương các số bốc được chia hết cho 4 thì trúng thưởng. \n\nXác suất trúng thưởng của Hoa là $\\frac{a}{b}$ phân số tối giản, cần tính $S = b - a$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất để tổng $\\sum x_i^2$ (với các $x_i$ là các số bốc được) chia hết cho 4. \n\nViết xác suất dưới dạng phân số tối giản $\\tfrac{a}{b}$, rồi tìm $S = b - a$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét bình phương một số $n$ theo mod 4: \nNếu $n$ chẵn, $n^2\\equiv0\\pmod4$. \n\nNếu $n$ lẻ, $n^2\\equiv1\\pmod4$.\n\nTrong 1…25 có 12 số chẵn và 13 số lẻ. \n\nKhi lấy 5 số, tổng các bình phương $\\bmod4$ bằng số lượng số lẻ đã lấy ($0$ với mỗi số chẵn, $1$ với mỗi số lẻ). \n\nMuốn tổng chia hết cho 4, số lẻ lấy được phải ≡0 mod 4, trong 5 số chỉ có thể lấy 0 hoặc 4 số lẻ:\n0 số lẻ (5 số chẵn): $\\binom{12}{5}\\cdot\\binom{13}{0}$. \n\n4 số lẻ + 1 số chẵn: $\\binom{13}{4}\\cdot\\binom{12}{1}$.\n\nTổng số cách thuận lợi \n\nTổng số cách chọn 5 từ 25: $\\binom{25}{5}=53130.$ \n\nXác suất \n\nVới $a=142$, $b=805$ ta có $S=b-a=805-142=663$.\n\n✅ Đáp án: 663","chapter":"tính xác suất theo định nghĩa cổ điển","topic":"thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển","grade":"GRADE_10","questionCategory":"sử dụng phương pháp tổ hợp","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":22,"text":"Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm $T$ được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm $T$ là $x$ (USD) thì số sản phẩm $T$ các nhà máy sản xuất sẽ là $R(x) = x - 200$ và số sản phẩm $T$ mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước là $Q(x) = 4200 - x$. Số sản phẩm còn lại được xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $x_0=3200USD$. Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a(USD)$ và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi suất xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là $4 : 1$. Hãy xác định giá trị $a$ biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6835728129cbc50e9298d744","correctAnswer":"100","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm cung nội địa: $R(x)=x-200$\n\nHàm cầu nội địa: $Q(x)=4200-x$\n\nGiá xuất khẩu cố định: $x_0=3200\\text{ USD}$\n\nThuế xuất khẩu mỗi sản phẩm: $a\\ (\\text{USD})$\n\nTỉ lệ giữa lãi xuất khẩu trên mỗi sản phẩm và thuế thu được trên mỗi sản phẩm là 4:1\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm giá trị a sao cho lãi doanh nghiệp thu được từ xuất khẩu đạt cực đại.\n\nCần thiết lập hàm lãi và tối ưu hóa.\n\nSử dụng điều kiện tỉ lệ lãi : thuế = 4:1 để liên hệ a và x.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1. Xác định số lượng xuất khẩu\n$E(x)=R(x)-Q(x)\n=(x-200)-(4200-x)\n=2x-4400.$\n\nBước 2. Xác định lãi trên mỗi sản phẩm xuất khẩu\nGiá bán quốc tế: $x_0$\n\nChi phí sản xuất: $x$\n\nThuế: $a$\n\nVậy \n$\\text{lãi trên mỗi sp}\n=x_0 - (x + a).$\n\nBước 3. Thiết lập điều kiện tỉ lệ lãi : thuế = 4:1\n$\\frac{x_0 - x - a}{a}=4\n\\;\\Longrightarrow\\;\nx_0 - x - a=4a\n\\;\\Longrightarrow\\;\nx_0 - x=5a\n\\;\\Longrightarrow\\;\na=\\frac{x_0 - x}{5}.$\n\nBước 4. Viết hàm lãi xuất khẩu tổng\n$L(x)\n=(x_0 - x - a)\\,E(x)\n=(x_0 - x - a)(2x-4400).$\nThay $a=\\tfrac{x_0 - x}{5}$ và $x_0 - x - a=\\tfrac{4}{5}(x_0 - x)$:\n$L(x)\n=\\frac{4}{5}(x_0 - x)(2x-4400).$\n\nBước 5. Tối ưu hóa hàm lãi\nTính đạo hàm:\n$L'(x)\n=\\frac{4}{5}\\Bigl[-1\\cdot(2x-4400)+(x_0 - x)\\cdot2\\Bigr]\n=\\frac{4}{5}(2x_0 -4x+4400).$\n\nĐặt $L'(x)=0$, thay $x_0=3200$:\n$2\\cdot3200 -4x+4400=0\n\\;\\Longrightarrow\\;\n10800=4x\n\\;\\Longrightarrow\\;\nx=2700\\ (\\text{USD}).$\n\nBước 6. Tính thuế tối ưu $a$\n$a\n=\\frac{x_0 - x}{5}\n=\\frac{3200-2700}{5}\n=100\\ (\\text{USD}).$\n\n✅ Đáp án: 100 USD","chapter":"chuyên đề 2 - ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu","topic":"vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu","grade":"GRADE_12","questionCategory":"vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế","difficulty":"vận dụng cao"}]}

Bắt đầu thi thử