{"title":"Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 Lần 1 - Mã đề 103","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2025,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"68771afd17f952016f30c5a8","section":"SESSION_1","sectionType":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"68771afd17f952016f30c5a9","section":"SESSION_2","sectionType":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"68771afd17f952016f30c5aa","section":"SESSION_3","sectionType":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Chọn ngẫu nhiên 2 bạn từ một tổ có 10 học sinh (gồm 6 bạn nữ và 4 bạn nam), xác suất chọn được 2 bạn nữ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"$\\dfrac{3}{5}$","correct":false,"reason":"Nhầm lẫn tỷ lệ số bạn nữ trong tổ $\\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}$ với xác suất chọn 2 bạn nữ. Tỷ lệ này chỉ đúng khi chọn 1 bạn, không phải khi chọn 2 bạn đồng thời."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{1}{5}$","correct":false,"reason":"Sai do tính toán không đúng công thức tổ hợp hoặc áp dụng sai quy tắc tính xác suất, không phản ánh đúng tỷ số $\\dfrac{C_6^2}{C_{10}^2}$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{1}{3}$","correct":true,"reason":"Áp dụng đúng công thức xác suất cổ điển: $P = \\dfrac{C_6^2}{C_{10}^2} = \\dfrac{15}{45} = \\dfrac{1}{3}$. Số tử là số cách chọn 2 bạn nữ từ 6 bạn nữ, mẫu số là tổng số cách chọn 2 bạn từ 10 bạn."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{1}{6}$","correct":false,"reason":"Có thể sai do nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp, tính mẫu số là $A_{10}^2 = 90$ thay vì $C_{10}^2 = 45$, dẫn đến $\\dfrac{15}{90} = \\dfrac{1}{6}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMột tổ có 10 học sinh, gồm 6 bạn nữ và 4 bạn nam.\n\nChọn ngẫu nhiên 2 bạn từ tổ đó.\n\nTính xác suất để 2 bạn được chọn đều là nữ.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính xác suất chọn được 2 bạn nữ khi chọn ngẫu nhiên 2 bạn từ 10 bạn.\n\nCần áp dụng kiến thức về xác suất cổ điển:\n$P(A) = \\dfrac{\\text{số trường hợp thuận lợi}}{\\text{số trường hợp có thể}}$\n\nSử dụng tổ hợp để đếm số cách chọn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số học sinh là 10 bạn.\n\nSố cách chọn ngẫu nhiên 2 bạn từ 10 bạn là:\n$C_{10}^2 = \\dfrac{10 \\cdot 9}{2} = 45$\n\nSố trường hợp chọn được 2 bạn đều là nữ (trong 6 bạn nữ):\n$C_6^2 = \\dfrac{6 \\cdot 5}{2} = 15$\n\nXác suất chọn được 2 bạn nữ là:\n$P = \\dfrac{15}{45} = \\dfrac{1}{3}$\n\n✅ Đáp án: C. $\\dfrac{1}{3}$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $\\dfrac{3}{5}$: sai vì có thể nhầm khi lấy tỷ lệ nữ trong lớp (6/10), nhưng đề yêu cầu là xác suất chọn 2 bạn đều nữ.\n\nB. $\\dfrac{1}{5}$: sai vì không đúng cách tính xác suất chọn 2 bạn nữ.\n\nD. $\\dfrac{1}{6}$: sai vì có thể nhầm với xác suất chọn được 1 nữ trong 2 bạn.","chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"công thức cộng xác suất","grade":"GRADE_11","questionCategory":"công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc","difficulty":"thông hiểu"},{"id":2,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;5]$ và có đồ thị như hình vẽ sau. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;5]$","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"1","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\max_{[-1,5]} f(x) = 3$ tại $x=5$, $\\min_{[-1,5]} f(x) = -2$ tại $x=-1$ (và $x=2$), nên tổng là $3+(-2)=1$."},{"label":"B","text":"2","correct":false,"reason":"Sai vì tổng đúng là $1$, không phải $2$; có thể do nhầm giá trị nhỏ nhất là $-1$ thay vì $-2$."},{"label":"C","text":"4","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là $3$ chứ không phải $4$, hoặc nhầm khi cộng giá trị cực đại $f(0)=1$ với $3$."},{"label":"D","text":"-1","correct":false,"reason":"Sai vì tổng là $1$, không phải $-1$; có thể do lấy cực đại tại $x=0$ là $f(0)=1$ thay vì giá trị lớn nhất thực sự là $3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;5]$. \n\nTừ đồ thị ta có các điểm quan trọng: \nCực đại tại $(0;1)$ ⇒ $f(0)=1$. \n\nCực tiểu tại $(2;-2)$ ⇒ $f(2)=-2$. \n\nTại biên $x=-1$, $f(-1)=-2$. \n\nTại biên $x=5$, $f(5)=3$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-1;5]$. \n\nCần áp dụng: Định lý giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất cho hàm liên tục trên đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLiệt kê các giá trị ứng viên cho giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: \n$f(-1) = -2$ \n\n$f(0) = 1$ \n\n$f(2) = -2$ \n\n$f(5) = 3$\n\nXác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: \n$\\displaystyle \\max_{[-1,5]}f(x)=3\\quad\\text{tại }x=5$ \n\n$\\displaystyle \\min_{[-1,5]}f(x)=-2\\quad\\text{tại }x=-1\\text{ và }x=2$\n\nTính tổng: \n$\\max f + \\min f \\;=\\; 3 + (-2) \\;=\\; 1.$\n\n✅ Đáp án: $1$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $2$: Sai vì tổng thực tế là $1$, không phải $2$. \n\nC. $4$: Sai do nhầm giá trị lớn nhất (không phải $4$). \n\nD. $-1$: Sai do nhầm kết quả tổng; $3 + (-2)$ cho ra $1$, không phải $-1$.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-vinh-phuc-2025-lan-1-ma-de-103-co-dap-an/Screenshot_2026-01-15_151637.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-vinh-phuc-2025-lan-1-ma-de-103-co-dap-an/1ITW6IPo1z_7iR4fElV35sxhH1lQTajzG_2025-07-16032232.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn","difficulty":"nhận biết"},{"id":3,"text":"Cho mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: Nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sách ở một cửa hàng trong một ngày như sau. Trung vị mẫu số liệu là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"$M_e = 25$","correct":false,"reason":"Sai vì $25$ là tần số $f$ của nhóm trung vị $[60;70)$, không phải giá trị trung vị $M_e$. Trung vị phải được tính bằng công thức nội suy $M_e = l + \\frac{\\frac{n}{2} - F}{f} \\times w$ chứ không phải lấy tần số."},{"label":"B","text":"$M_e = 65$","correct":false,"reason":"Sai vì $65$ là trung điểm (giá trị đại diện) của nhóm trung vị $[60;70)$, không phải kết quả của công thức tính trung vị. Đáp án này bỏ qua việc xác định tỉ lệ chính xác $\\frac{30-13}{25}$ của vị trí trung vị trong nhóm."},{"label":"C","text":"$M_e = 60,8$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm lẫn giá trị tần số tích lũy $F$ (ví dụ: có thể dùng nhầm $F=28$ thay vì $F=13$), dẫn đến tính sai phần bù $\\frac{30-F}{25} \\times 10 = 0{,}8$ thay vì $6{,}8$, hoặc nhầm lẫn với công thức tính tứ phân vị khác."},{"label":"D","text":"$M_e = 66,8$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng chính xác công thức trung vị cho dữ liệu ghép nhóm: nhóm trung vị là $[60;70)$ với $l=60$, $F=13$, $f=25$, $w=10$, suy ra $M_e = 60 + \\frac{30-13}{25} \\times 10 = 60 + 6{,}8 = 66{,}8$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDữ liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: Nghìn đồng) của 60 khách hàng.\n\nCác lớp (nhóm): [40;50), [50;60), [60;70), [70;80), [80;90).\n\nTần số tương ứng: 5, 8, 25, 20, 2.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.\n\nCần vận dụng công thức trung vị cho dữ liệu phân nhóm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tổng số quan sát: \n$n = 5 + 8 + 25 + 20 + 2 = 60.$\n\nVị trí trung vị: \n$\\frac{n}{2} = \\frac{60}{2} = 30.$\n\nXác định lớp trung vị: quan sát thứ 30 nằm trong lớp [60;70) vì tần số tích lũy đến lớp trước đó là \n$5 + 8 = 13 < 30 \\le 13 + 25 = 38.$\n\nGọi các ký hiệu: \n$l$: giới hạn dưới của lớp trung vị = 60 \n\n$F$: tần số tích lũy đến trước lớp trung vị = 13 \n\n$f$: tần số lớp trung vị = 25 \n\n$w$: độ rộng lớp = 70 − 60 = 10\n\nÁp dụng công thức trung vị: \n$M_e = l + \\frac{\\frac{n}{2} - F}{f}\\times w\n = 60 + \\frac{30 - 13}{25}\\times 10\n = 60 + \\frac{17}{25}\\times 10\n = 60 + 6{,}8\n = 66{,}8.$\n\n✅ Đáp án: D. $M_e = 66{,}8$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $M_e = 25$: không áp dụng công thức cho dữ liệu nhóm. \n\nB. $M_e = 65$: tính sai phân số khi tính tỉ lệ trong lớp. \n\nC. $M_e = 60{,}8$: sai do nhầm lẫn giá trị tần số tích lũy.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-vinh-phuc-2025-lan-1-ma-de-103-co-dap-an/1vdr71b6d5TnaRv-4zYfxRsP1Q7pLzCTI_2025-07-16032232.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khoảng tứ phân vị","difficulty":"thông hiểu"},{"id":4,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f'(x)$ như hình dưới đây. Hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"1","correct":false,"reason":"Sai vì hàm số có tới 4 điểm cực trị tại $x=-2, -1, 0, 2$ do đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu tại tất cả các điểm này, chứ không phải chỉ có 1."},{"label":"B","text":"3","correct":false,"reason":"Sai vì bỏ sót một điểm cực trị; thực tế cả 4 điểm $x=-2, -1, 0, 2$ đều làm đạo hàm đổi dấu nên đều là điểm cực trị."},{"label":"C","text":"4","correct":true,"reason":"Đúng vì tại cả 4 điểm $x=-2, -1, 0, 2$ đạo hàm $f'(x)$ đều đổi dấu (từ $-$ sang $+$ hoặc từ $+$ sang $-$) nên hàm số đạt cực trị tại tất cả các điểm này."},{"label":"D","text":"2","correct":false,"reason":"Sai vì số điểm cực trị thực tế là 4, không phải 2; có thể do chỉ đếm được 2 điểm đổi dấu mà bỏ qua các điểm còn lại."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$. \n\nBảng xét dấu của $f'(x)$: \n$f'(x)<0$ trên $(-\\infty,\\,-2)$ \n\n$f'(x)=0$ tại $x=-2$ \n\n$f'(x)>0$ trên $(-2,\\,-1)$ \n\n$f'(x)=0$ tại $x=-1$ \n\n$f'(x)<0$ trên $(-1,\\,0)$ \n\n$f'(x)=0$ tại $x=0$ \n\n$f'(x)>0$ trên $(0,\\,2)$ \n\n$f'(x)=0$ tại $x=2$ \n\n$f'(x)<0$ trên $(2,\\,+\\infty)$\n\nCâu hỏi: Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định số điểm mà hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu dựa vào dấu của $f'(x)$. \n\nÁp dụng khái niệm: \n• Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương ⇒ cực tiểu. \n• Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm ⇒ cực đại.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định các điểm tới hạn (nơi $f'(x)=0$): \n$x=-2,\\,-1,\\,0,\\,2.$\n\nKiểm tra dấu $f'(x)$ bên trái và bên phải từng điểm:\nTại $x=-2$: \n• Bên trái ($x<-2$): $f'(x)<0$ \n• Bên phải ($-20$ \n⇒ Đổi từ âm sang dương ⇒ cực tiểu.\n\nTại $x=-1$: \n• Bên trái ($-20$ \n• Bên phải ($-10$ \n⇒ Đổi từ âm sang dương ⇒ cực tiểu.\n\nTại $x=2$: \n• Bên trái ($00$ \n• Bên phải ($x>2$): $f'(x)<0$ \n⇒ Đổi từ dương sang âm ⇒ cực đại.\n\nKết luận: Có tổng cộng 4 điểm cực trị.\n\n✅ Đáp án: $4$\n❌ Các đáp án khác:\nA. 1: Sai, vì thực tế có 4 điểm cực trị chứ không phải 1. \n\nB. 3: Sai, thiếu một trong bốn điểm cực trị. \n\nD. 2: Sai, số điểm cực trị là 4, không phải 2.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-vinh-phuc-2025-lan-1-ma-de-103-co-dap-an/11RufEBK92ptm2X2BLIBHhCDZtGRx1UZm_2025-07-16032232.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cực trị của hàm số","difficulty":"nhận biết"},{"id":5,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\\overrightarrow{u} = (3; -4; 5)$ và $\\overrightarrow{v} = (5; 7; -1)$. Tọa độ của vectơ $\\overrightarrow{u} + \\overrightarrow{v}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{u}+ \\overrightarrow{v}=(8; 3; 4)$","correct":true,"reason":"Áp dụng quy tắc cộng vectơ theo từng thành phần: $\\overrightarrow{u}+\\overrightarrow{v}=(3+5;\\,-4+7;\\,5+(-1))=(8;\\,3;\\,4)$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{u}+ \\overrightarrow{v}=(-8;- 3;- 4)$","correct":false,"reason":"Sai do đổi dấu toàn bộ các thành phần của vectơ tổng đúng, trong khi tổng hai vectơ phải có các thành phần dương tương ứng."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{u}+ \\overrightarrow{v}=(2; 11; -6)$","correct":false,"reason":"Sai do thực hiện phép trừ $\\overrightarrow{v}-\\overrightarrow{u}=(5-3;\\,7-(-4);\\,-1-5)$ thay vì phép cộng các thành phần tương ứng."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{u}+ \\overrightarrow{v}=(-2; -11; 6)$","correct":false,"reason":"Sai do thực hiện phép trừ $\\overrightarrow{u}-\\overrightarrow{v}=(3-5;\\,-4-7;\\,5-(-1))$ thay vì phép cộng, dẫn đến các giá trị đối của phương án C."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hai vectơ trong không gian $Oxyz$: \n$\\overrightarrow{u}=(3;\\,-4;\\,5)$ \n$\\overrightarrow{v}=(5;\\,7;\\,-1)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu tính tọa độ của tổng hai vectơ $\\overrightarrow{u}+\\overrightarrow{v}$. \n\nÁp dụng phép cộng vectơ theo từng thành phần.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo định nghĩa, nếu \nthì \n\nÁp dụng cho \n• Hoành độ: $3+5=8$ \n• Tung độ: $-4+7=3$ \n• Cao độ: $5+(-1)=4$ \n\nKết luận: \n\n✅ Đáp án: $(8;3;4)$\n❌ Các đáp án khác:\nB: $(-8;-3;-4)$ sai vì đổi dấu cả ba thành phần. \n\nC: $(2;11;-6)$ sai do tính nhầm thành phần. \n\nD: $(-2;-11;6)$ sai cả về dấu lẫn giá trị từng thành phần.","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ","difficulty":"thông hiểu"},{"id":6,"text":"Tập xác định của hàm số $y = \\log(1 - x)$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"$( -\\infty; 1 )$","correct":true,"reason":"Hàm số xác định khi $1-x > 0 \\Leftrightarrow x < 1$, nên tập xác định là $D = (-\\infty; 1)$."},{"label":"B","text":"$(1; +\\infty)$","correct":false,"reason":"Sai vì khi $x > 1$ thì $1-x < 0$, vi phạm điều kiện biểu thức trong logarit phải dương."},{"label":"C","text":"$[1; +\\infty)$","correct":false,"reason":"Sai vì tại $x = 1$ thì $1-x = 0$ (không xác định), và với $x > 1$ thì $1-x < 0$ cũng vi phạm điều kiện."},{"label":"D","text":"$( -\\infty; +\\infty )$","correct":false,"reason":"Sai vì tập này chứa các giá trị $x \\geq 1$ làm cho $1-x \\leq 0$, không thỏa mãn điều kiện để logarit xác định."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y = \\log(1 - x)$. Yêu cầu xác định tập giá trị của biến $x$ để hàm số xác định (tập xác định).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm tập xác định của hàm số logarit $y = \\log(1 - x)$.\nÁp dụng kiến thức: Điều kiện để hàm số logarit $y = \\log_a u(x)$ (với cơ số $a > 0, a \\neq 1$) có nghĩa là biểu thức $u(x) > 0$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n**Bước 1:** Xác định điều kiện xác định của hàm số.\n\nHàm số logarit $y = \\log(1 - x)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong dấu logarit dương:\n$$1 - x > 0$$\n\n**Bước 2:** Giải bất phương trình điều kiện.\n\n$$1 - x > 0 \\Leftrightarrow -x > -1 \\Leftrightarrow x < 1$$\n\n**Bước 3:** Kết luận tập xác định.\n\nTập xác định của hàm số là $D = (-\\infty; 1)$.\n\n✅ Đáp án: A\n\n❌ Các đáp án khác:\n* **B. $(1; +\\infty)$:** Sai. Với $x > 1$ thì $1 - x < 0$, biểu thức trong logarit âm nên hàm số không xác định.\n* **C. $[1; +\\infty)$:** Sai. Tại $x = 1$ thì $1 - x = 0$, $\\log 0$ không xác định; đồng thời với $x > 1$ thì $1 - x < 0$ cũng không thỏa mãn.\n* **D. $(-\\infty; +\\infty)$:** Sai. Tập này chứa các giá trị $x \\geq 1$, tại đó $1 - x \\leq 0$, không thỏa mãn điều kiện để logarit xác định.","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","grade":"GRADE_11","questionCategory":"hàm số lôgarit","difficulty":"nhận biết"},{"id":7,"text":"Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = (x + 4)(x - 3)$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"$( -4; 3 )$","correct":true,"reason":"Trên khoảng $(-4; 3)$, ta có $x+4 > 0$ và $x-3 < 0$ nên $f'(x) = (x+4)(x-3) < 0$, do đó hàm số nghịch biến."},{"label":"B","text":"$( -\\infty; 3 )$","correct":false,"reason":"Khoảng $(-\\infty; 3)$ chứa $(-\\infty; -4)$, tại đó $f'(x) > 0$ (tích hai số âm) nên hàm số đồng biến, không nghịch biến trên toàn khoảng."},{"label":"C","text":"$(3; +\\infty)$","correct":false,"reason":"Với $x \\in (3; +\\infty)$ thì $x+4 > 0$ và $x-3 > 0$ nên $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến chứ không nghịch biến."},{"label":"D","text":"$( -\\infty; -4 )$","correct":false,"reason":"Với $x \\in (-\\infty; -4)$ thì $x+4 < 0$ và $x-3 < 0$ nên $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến chứ không nghịch biến."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$ và có đạo hàm \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xác định khoảng mà hàm số $f(x)$ nghịch biến, tức là khoảng mà $f'(x) < 0$. \n\nÁp dụng quy tắc dấu của tích đa thức để tìm dấu của $f'(x)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định nghiệm của $f'(x)$: \n\nLập bảng xét dấu hoặc phân tích dấu trên ba khoảng chia bởi $-4$ và $3$:\n\nVới $x < -4$, chọn $x = -5$: \n\nVới $-4 < x < 3$, chọn $x = 0$: \n\nVới $x > 3$, chọn $x = 4$: \n\nKết luận: hàm số $f$ nghịch biến trên khoảng $(-4;3)$.\n\n✅ Đáp án: $(-4;3)$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $(-∞;3)$: Sai vì trên $(-∞,-4)$ ta có $f'(x)>0$, hàm tăng, không phải giảm khắp khoảng này. \n\nC. $(3;+\\infty)$: Sai vì trên khoảng này $f'(x)>0$, hàm tăng, không giảm. \n\nD. $(-∞;-4)$: Sai vì tại đây $f'(x)>0$, hàm tăng, không giảm.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-vinh-phuc-2025-lan-1-ma-de-103-co-dap-an/Screenshot_2026-01-15_152006.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tính đơn điệu của hàm số","difficulty":"thông hiểu"},{"id":8,"text":"Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \\dfrac{2x - 2024}{x + 1}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"$x = -1$","correct":true,"reason":"Tại $x = -1$, mẫu số $x+1=0$ và tử số $2x-2024=-2026 \\neq 0$ nên $x=-1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị."},{"label":"B","text":"$y = -1$","correct":false,"reason":"Đây là phương trình dạng đường ngang $y=k$, không phải đường tiệm cận đứng dạng $x=a$. Hơn nữa, đường tiệm cận ngang đúng của hàm số là $y=2$, không phải $y=-1$."},{"label":"C","text":"$x = 2$","correct":false,"reason":"Tại $x=2$, mẫu số $x+1=3 \\neq 0$ nên hàm số xác định tại đây, do đó $x=2$ không phải là đường tiệm cận đứng."},{"label":"D","text":"$y = 2$","correct":false,"reason":"Mặc dù $y=2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị (vì $\\lim_{x \\to \\infty} \\frac{2x-2024}{x+1} = 2$), nhưng đề bài yêu cầu tìm đường tiệm cận đứng nên đáp án này không đúng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y = \\dfrac{2x - 2024}{x + 1}$ \n\nCác phương án: \n• $x = -1$ \n• $y = -1$ \n• $x = 2$ \n• $y = 2$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu xác định đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. \n\nĐường tiệm cận đứng là giá trị $x = a$ làm cho mẫu số bằng 0 mà tử số khác 0.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định mẫu số của hàm số: $x + 1.$ \n\nBước 2: Giải phương trình mẫu số bằng 0 để tìm giá trị $x$ không thuộc miền xác định: \n$x + 1 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x = -1.$ \n\nBước 3: Kiểm tra tại $x = -1$ xem tử số có khác 0 không: \nTử số tại $x = -1$ là $2(-1) - 2024 = -2 - 2024 = -2026 \\neq 0$. \n\nKết luận: $x = -1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị.\n\n✅ Đáp án: $x = -1$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $y = -1$: Đây là đường ngang, không phải đứng. \n\nC. $x = 2$: Tại $x = 2$, mẫu số không bằng 0 nên không có tiệm cận đứng. \n\nD. $y = 2$: Đây cũng là phương trình đường ngang, không đúng yêu cầu tiệm cận đứng.","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"đường tiệm cận đứng","difficulty":"nhận biết"},{"id":9,"text":"Biết đồ thị hàm số $y = f(x)$ có dạng như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"$f(x) = -x^3 + 3x - 1$","correct":false,"reason":"Hệ số $a = -1 < 0$ nên nhánh phải của đồ thị đi xuống, trái với hình vẽ có nhánh phải đi lên."},{"label":"B","text":"$f(x) = -x^3 - 3x - 1$","correct":true,"reason":"Hệ số $a = 1 > 0$ nên nhánh phải đi lên; đạo hàm $f'(x) = 3x^2 - 3$ cho hai cực trị tại $x = \\pm 1$ (cực đại tại $x=-1$, cực tiểu tại $x=1$) và $f(0) = -1$, phù hợp hoàn toàn với đồ thị."},{"label":"C","text":"$f(x) = x^3 + 3x - 1$","correct":false,"reason":"Đạo hàm $f'(x) = 3x^2 + 3 > 0$ với mọi $x$ nên hàm số luôn đồng biến, không có cực trị, trái với đồ thị có hai điểm cực trị."},{"label":"D","text":"$f(x) = -x^3 - 3x + 1$","correct":false,"reason":"Hệ số $a = -1 < 0$ nên nhánh phải của đồ thị đi xuống, không khớp với hình vẽ có nhánh phải đi lên."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị hàm số $y = f(x)$ là một đường cong bậc ba.\n\nĐồ thị có 2 điểm cực trị (một cực đại bên trái, một cực tiểu bên phải).\n\nĐồ thị có nhánh bên phải đi lên.\n\nĐồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm (suy ra có 3 nghiệm phân biệt).\n\nĐề bài yêu cầu chọn công thức đúng trong 4 phương án A, B, C, D.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nDựa vào hình dạng đồ thị để xác định dấu của hệ số $a$ trong hàm số bậc ba: $f(x) = ax^3 + bx + c$.\n\nDựa vào đặc điểm của cực trị để kiểm tra điều kiện $\\dfrac{c}{a} < 0$.\n\nLoại các phương án không phù hợp.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhánh phải của đồ thị đi lên ⇒ hệ số bậc ba $a > 0$.\n→ Loại các phương án A và D vì đều có hệ số $a < 0$.\n\nĐồ thị có 2 cực trị và tích hoành độ 2 cực trị là âm ⇒ $x_1 \\cdot x_2 < 0$.\nMà với hàm bậc ba $f(x) = ax^3 + bx + c$, nếu có 2 cực trị tại $x_1, x_2$ thì:\n$x_1 \\cdot x_2 = -\\dfrac{c}{a}$.\n\nDo đó: $-\\dfrac{c}{a} < 0 \\Rightarrow \\dfrac{c}{a} > 0 \\Rightarrow c > 0$ (vì $a > 0$)\n→ Loại phương án C vì có $c = -1 < 0$\n\nChỉ còn lại phương án B: $f(x) = x^3 - 3x - 1$\n$a = 1 > 0$ ✅\n\n$c = -1 < 0$ ⇒ $\\dfrac{c}{a} < 0$ ⇒ tích hai cực trị âm ✅\n\nPhù hợp với đồ thị.\n\n✅ Đáp án: B. $f(x) = x^3 - 3x - 1$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $a < 0$ → đồ thị nhánh phải đi xuống ⇒ sai với hình vẽ.\n\nC. $c = -1$, $\\dfrac{c}{a} < 0$ không phù hợp vì tích 2 cực trị phải âm ⇒ sai.\n\nD. $a < 0$ ⇒ đồ thị không đúng chiều ⇒ sai.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-vinh-phuc-2025-lan-1-ma-de-103-co-dap-an/1B2GSDZYTXDGysBuwTeTZUgDRZYbnCXRW_2025-07-16032234.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba","difficulty":"thông hiểu"},{"id":10,"text":"Giới hạn $\\lim_{x \\to -\\infty} \\dfrac{3x - 1}{2x + 1}$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"$I=\\dfrac{3}{2}$","correct":true,"reason":"Chia tử và mẫu cho $x$ (lũy thừa cao nhất), ta được $\\displaystyle\\frac{3-\\frac{1}{x}}{2+\\frac{1}{x}}$. Khi $x \\to -\\infty$ thì $\\frac{1}{x} \\to 0$, suy ra giới hạn bằng $\\frac{3}{2}$."},{"label":"B","text":"$I=2$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm tỉ số hệ số của $x$; đáp án đúng phải là $\\frac{3}{2}$ chứ không phải $2$."},{"label":"C","text":"$I=-2$","correct":false,"reason":"Sai dấu; khi $x \\to -\\infty$, cả tử số $3x-1$ và mẫu số $2x+1$ đều tiến đến $-\\infty$ (cùng âm) nên thương số dương, không thể bằng $-2$."},{"label":"D","text":"$I=-\\dfrac{3}{2}$","correct":false,"reason":"Sai dấu; giới hạn phải dương do tử và mẫu cùng âm khi $x \\to -\\infty$, và giá trị đúng là $\\frac{3}{2}$ chứ không phải $-\\frac{3}{2}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBiểu thức cần xét: $\\displaystyle \\frac{3x - 1}{2x + 1}$ \n\nGiới hạn khi $x \\to -\\infty$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm giá trị của $\\displaystyle \\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{3x - 1}{2x + 1}$. \n\nÁp dụng kiến thức về giới hạn của tỉ số hai đa thức cùng bậc.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChú ý: Tử số và mẫu số đều là đa thức bậc nhất. \n\nBước 1: Chia cả tử và mẫu cho $x$ (lần lượt là biến có bậc cao nhất): \n\nBước 2: Khi $x \\to -\\infty$, ta có $\\tfrac{1}{x} \\to 0$. \n\nBước 3: Thay thế vào biểu thức: \n\n✅ Đáp án: A. $\\displaystyle \\frac{3}{2}$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $2$ – Sai vì tỉ số hệ số của $x$ trong tử và mẫu là $\\tfrac{3}{2}$, không phải $2$. \n\nC. $-2$ – Sai vì giới hạn cho kết quả dương, không phải âm. \n\nD. $-\\tfrac{3}{2}$ – Sai vì dấu âm không phù hợp với dấu của tỉ số.","chapter":"giới hạn. hàm số liên tục","topic":"giới hạn của hàm số","grade":"GRADE_11","questionCategory":"giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực","difficulty":"thông hiểu"},{"id":11,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a$, cạnh bên $SA \\perp (ABCD)$ và $SA=2a$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"$2a^3$","correct":false,"reason":"Sai vì thiếu hệ số $\\frac{1}{3}$ trong công thức thể tích khối chóp $V = \\frac{1}{3}S_{\\text{đáy}} \\cdot h$, nhầm lẫn với công thức khối lăng trụ $V = a^2 \\cdot 2a = 2a^3$."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{3a^3}{4}$","correct":false,"reason":"Sai do áp dụng sai công thức hoặc tính toán nhầm số liệu, không phản ánh đúng kết quả $\\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot 2a$ theo đề bài."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{a^3}{4}$","correct":false,"reason":"Sai vì có thể đã dùng sai chiều cao (như $h = \\frac{3a}{4}$) hoặc sai công thức, không cho kết quả $\\frac{2a^3}{3}$."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{2a^3}{3}$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng chính xác công thức thể tích khối chóp $V = \\frac{1}{3}S_{ABCD} \\cdot SA = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot 2a = \\frac{2a^3}{3}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$, cạnh đáy bằng $a$\n\nCạnh bên $SA \\perp$ mặt phẳng đáy\n\n$SA = 2a$\n\nYêu cầu: Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐây là bài toán tính thể tích khối chóp đều có đỉnh vuông góc với đáy.\n\nCần áp dụng công thức thể tích hình chóp:\n$V = \\dfrac{1}{3} \\cdot S_{\\text{đáy}} \\cdot \\text{chiều cao}$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì đáy là hình vuông cạnh $a$ nên:\n$S_{\\text{đáy}} = a^2$\n\nCạnh bên $SA \\perp$ mặt đáy ⇒ chiều cao của hình chóp chính là $SA = 2a$\n\nÁp dụng công thức thể tích:\n$V = \\dfrac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot 2a = \\dfrac{2a^3}{3}$\n\n✅ Đáp án: D. $\\dfrac{2a^3}{3}$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $2a^3$: Không chia 3 theo công thức thể tích ⇒ sai\n\nB. $\\dfrac{3a^3}{4}$: sai công thức và số liệu\n\nC. $\\dfrac{a^3}{4}$: sai do không đúng chiều cao và công thức","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-vinh-phuc-2025-lan-1-ma-de-103-co-dap-an/Screenshot_2026-01-15_152233.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","grade":"GRADE_11","questionCategory":"thể tích","difficulty":"thông hiểu"},{"id":12,"text":"Cho tứ diện $ABCD$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"68771afd17f952016f30c5a8","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{CD} + \\overrightarrow{BC}$","correct":false,"reason":"Vế trái $\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{DB}$, còn vế phải $\\overrightarrow{CD} + \\overrightarrow{BC} = \\overrightarrow{BD} = -\\overrightarrow{DB}$ nên hai vế trái dấu, mệnh đề sai."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{DB} - \\overrightarrow{DC}$","correct":true,"reason":"Ta có $\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{CB}$ và $\\overrightarrow{DB} - \\overrightarrow{DC} = \\overrightarrow{CB}$, suy ra hai vế bằng nhau, mệnh đề đúng."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DA} - \\overrightarrow{DC}$","correct":false,"reason":"Vế trái $\\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{AC}$, trong khi vế phải $\\overrightarrow{DA} - \\overrightarrow{DC} = \\overrightarrow{CA} = -\\overrightarrow{AC}$, hai vectơ ngược hướng nên mệnh đề sai."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{AC} - \\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{BD} - \\overrightarrow{BC}$","correct":false,"reason":"Vế trái $\\overrightarrow{AC} - \\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{DC}$, còn vế phải $\\overrightarrow{BD} - \\overrightarrow{BC} = \\overrightarrow{CD} = -\\overrightarrow{DC}$, hai vectơ đối nhau nên mệnh đề sai."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTứ diện $ABCD$ \n\nCác vectơ cần xét: $\\overrightarrow{AB},\\;\\overrightarrow{AC},\\;\\overrightarrow{DB},\\;\\overrightarrow{DC}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng về quan hệ các vectơ trong tứ diện $ABCD$. \n\nÁp dụng công thức cộng, trừ vectơ: \nnếu $X,Y,Z$ là các điểm thì $\\overrightarrow{XY}+\\overrightarrow{YZ}=\\overrightarrow{XZ}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết các vectơ xuất phát từ $D$: \n$\\overrightarrow{DB}=\\overrightarrow{DA}+\\overrightarrow{AB},\\quad \n \\overrightarrow{DC}=\\overrightarrow{DA}+\\overrightarrow{AC}.$\n\nLấy hiệu hai biểu thức trên: \n\nVậy mệnh đề \n$\\overrightarrow{AB}-\\overrightarrow{AC}\n =\\overrightarrow{DB}-\\overrightarrow{DC}$ \nlà đúng.\n\n✅ Đáp án: B. $\\overrightarrow{AB}-\\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{DB}-\\overrightarrow{DC}$\n❌ Các đáp án khác:\nA: Sai vì \n$\\overrightarrow{AB}-\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{DB}\n =\\overrightarrow{DC}+\\overrightarrow{CB}\\neq\\overrightarrow{CD}+\\overrightarrow{BC}.$ \n\nC: Sai vì \n$\\overrightarrow{BC}+\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{AC}$ \nchứ không bằng \n$\\overrightarrow{DA}-\\overrightarrow{DC}=\\overrightarrow{CA}=-\\overrightarrow{AC}.$ \n\nD: Sai vì \n$\\overrightarrow{AC}-\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{DC}$ \nkhác dấu với \n$\\overrightarrow{BD}-\\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{CD}.$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","grade":"GRADE_12","questionCategory":"tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian","difficulty":"nhận biết"},{"id":13,"text":"Kết quả khảo sát đo chiều cao một số học sinh ta được mẫu số liệu như sau","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"68771afd17f952016f30c5a9","statements":[{"label":"A","text":"Có 29 học sinh đã được khảo sát.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng tần số cho biết số học sinh tương ứng với từng khoảng chiều cao:\n[155;157): 3 học sinh\n\n[157;159): 6 học sinh\n\n[159;161): 4 học sinh\n\n[161;163): 5 học sinh\n\n[163;165): 5 học sinh\n\n[165;167): 6 học sinh\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định tổng số học sinh trong khảo sát.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCộng các tần số:\n$3 + 6 + 4 + 5 + 5 + 6 = 29$\n\nKết luận: Đúng."},{"label":"B","text":"Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 1,48 (làm tròn đến hàng phần trăm).","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng tần số cho biết số học sinh tương ứng với từng khoảng chiều cao, tổng n = 29.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính khoảng tứ phân vị (IQR = Q3 - Q1) cho dữ liệu nhóm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVị trí Q1: $(n+1)/4 = (29+1)/4 = 7.5$ thuộc lớp [157;159) (f = 6, h = 2).\n\nNội suy để tính Q1:\n$Q_1 = 157 + \\frac{7.5 - 3}{6} \\times 2 = 158.5$\n\nVị trí Q3: $3(n+1)/4 = 3\\times30/4 = 22.5$ thuộc lớp [163;165) (f = 5).\n\nNội suy để tính Q3:\n$Q_3 = 163 + \\frac{22.5 - 18}{5} \\times 2 = 164.8$\n\nIQR = $Q_3 - Q_1 = 164.8 - 158.5 = 6.3$\n\nKết luận: Sai."},{"label":"C","text":"Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 10,59 (làm tròn đến hàng phần trăm).","correct":false,"explanation":"📑 Thông tin đề bài cho:\n• Bảng tần số và các điểm giữa lớp:\n ∘ $x_1 = 156 \\ (f_1 = 3),\\ x_2 = 158 \\ (f_2 = 6),\\ x_3 = 160 \\ (f_3 = 4),\\ x_4 = 162 \\ (f_4 = 5),\\ x_5 = 164 \\ (f_5 = 5),\\ x_6 = 166 \\ (f_6 = 6)$\n• Tổng số $n = 29$.\n❓ Hiểu câu hỏi:\n• Tính phương sai mẫu cho dữ liệu nhóm.\n🔍 Hướng dẫn cách làm:\n• Tính trung bình:\n $\\overline{x} = \\dfrac{\\sum f_i x_i}{n} = \\dfrac{4682}{29} \\approx 161.45$\n• Tính $\\sum f_i x_i^2 = 756228$\n• Áp dụng công thức:\n $s^2 = \\dfrac{\\sum f_i x_i^2}{n} - \\overline{x}^2 = \\dfrac{756228}{29} - (161.45)^2 \\approx 12.54$\n• Sai khác với 10.59.\n➡️ Kết luận: Sai."},{"label":"D","text":"Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 12.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLớp thấp nhất: [155;157), giới hạn dưới = 155.\n\nLớp cao nhất: [165;167), giới hạn trên = 167.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính khoảng biến thiên (range) = max - min.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nRange = $167 - 155 = 12$\n\nKết luận: Đúng."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-vinh-phuc-2025-lan-1-ma-de-103-co-dap-an/1dLr4TEpStq6oQx7N8Rc2moO5SaVw9hCF_2025-07-16032234.png"]},{"id":14,"text":"Một cửa hàng bán sầu riêng ruột đỏ Thái Lan với giá bán là 120000 đồng/1 kg. Giá nhập vào là 80000 đồng/1 kg. Với giá bán này cửa hàng bán được 60 kg/1 ngày. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cứ giảm 5000 đồng/1 kg thì số sầu riêng ruột đỏ bán được sẽ tăng thêm là 10 kg.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"68771afd17f952016f30c5a9","statements":[{"label":"A","text":"Nếu giữ nguyên giá ban đầu, lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là 2 400000 đồng.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGiá bán ban đầu: 120000 đồng/kg\n\nGiá nhập (đầu vào): 80000 đồng/kg\n\nKhối lượng bán được mỗi ngày khi giá bán 120000: 60 kg\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính lợi nhuận theo ngày với giá bán ban đầu.\n\nCông thức tính lợi nhuận: Lợi nhuận = (Giá bán – Giá nhập) × Số lượng bán.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLợi nhuận trên mỗi kg: $120000 - 80000 = 40000$ (đồng/kg)\n\nTổng lợi nhuận mỗi ngày: $40000 \\times 60 = 2400000$ (đồng)\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Nếu giá bán là 100000 đồng/1 kg, khi đó cửa hàng bán được 90 kg /1 ngày.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGiá bán ban đầu: 120000 đồng/kg\n\nKhi giảm mỗi 5000 đồng, sản lượng bán thêm 10 kg\n\nKhối lượng ban đầu: 60 kg\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính số kg bán được khi giá bán giảm xuống 100000 đồng/kg.\n\nCông thức: Số nấc giảm x = (120000 – Giá mới)/5000; Sản lượng = 60 + 10x.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính x: $(120000 - 100000)/5000 = 4$\n\nTăng thêm sản lượng: $10 \\times 4 = 40\\,\\text{kg}$\n\nTổng sản lượng: $60 + 40 = 100\\,\\text{kg}$ chứ không phải 90 kg.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Nếu giá bán là 110000 đồng/1 kg, khi đó lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là 2300000 đồng.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGiá bán khi xét: 110000 đồng/kg\n\nGiá nhập: 80000 đồng/kg\n\nCông thức điều chỉnh sản lượng: giảm 5000 đồng → tăng 10 kg / ngày\n\nSố lượng ban đầu: 60 kg\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính lợi nhuận mỗi ngày khi giá bán là 110000 đồng/kg.\n\nCần biết số kg bán được và lợi nhuận/ kg.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính số nấc giảm: $(120000 - 110000)/5000 = 2$\n\nKhối lượng bán được: $60 + 10 \\times 2 = 80\\,\\text{kg}$\n\nLợi nhuận trên mỗi kg: $110000 - 80000 = 30000$ (đồng/kg)\n\nTổng lợi nhuận: $30000 \\times 80 = 2400000$ (đồng), không phải 2300000.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Lợi nhuận tối đa theo ngày của cửa hàng là 2 450000 đồng.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nGiá bán ban đầu: 120000 đồng/kg\n\nGiá nhập: 80000 đồng/kg\n\nMỗi lần giảm 5000 đồng/kg → sản lượng tăng 10 kg\n\nKhối lượng ban đầu: 60 kg\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính lợi nhuận tối đa mỗi ngày theo biến x = số lần giảm 5000 đồng.\n\nBiết lợi nhuận L(x) là hàm bậc hai, tìm đỉnh để tối đa hóa.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi x = số bước giảm giá (mỗi bước 5000 đồng):\nGiá bán: $p = 120000 - 5000x$\n\nSản lượng: $q = 60 + 10x$\n\nLợi nhuận: $L(x) = (p - 80000)\\,q = (120000 - 5000x - 80000)(60 + 10x)$\n= $(40000 - 5000x)(60 + 10x)$\n\nViết dưới dạng nghìn đồng để tính nhanh: $L(x) = (40 - 5x)(60 + 10x) = -50x^2 + 100x + 2400$ (nghìn đồng)\n\nĐỉnh của parabol: $x = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{100}{2(-50)} = 1$\n\nThay x = 1: $L(1) = -50 + 100 + 2400 = 2450$ (nghìn đồng) = 2 450 000 đồng.\n\nKết luận: Đúng"}]},{"id":15,"text":"Cho hàm số $f(x) = 3x- \\log_4(x + 1)$","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"68771afd17f952016f30c5a9","statements":[{"label":"A","text":"Giá trị của hàm số $f(x)$ tại điểm $x = 3$ là $f(3) = 8$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=3x-\\log_4(x+1)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính giá trị của hàm số tại $x=3$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThay $x=3$ vào biểu thức của hàm số:\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Hàm số $f(x)$ có một điểm cực trị.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=3x-\\log_4(x+1)$ có tập xác định $(-1,\\,+\\infty)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định xem hàm số có điểm cực trị hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm:\n\nGiải $f'(x)=0$:\n\nGiá trị $x=\\frac{1}{3\\ln4}-1$ thuộc miền xác định và dấu của $f'$ chuyển từ âm sang dương, nên hàm số có đúng một điểm cực tiểu.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $( -1; 0 )$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=3x-\\log_4(x+1)$, xác định trên $(-1,\\,+\\infty)$.\n\nKhoảng xét tính đơn điệu: $(-1,\\,0)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra tính đồng biến của $f$ trên khoảng $(-1,0)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm:\n\nXét dấu $f'(x)$ trên $(-1,0)$:\nKhi $x\\to -1^+$, $x+1\\to0^+$ nên $f'(x)\\to -\\infty$ (âm);\n\nKhi $x=0$, $f'(0)=3-\\frac{1}{\\ln4}>0$.\n\nDo đạo hàm đổi dấu trong khoảng, hàm số không đồng biến trên toàn $(-1,0)$.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f'(x) =3- \\dfrac{1}{x + 1}, \\forall x \\in (-1; +\\infty)$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=3x-\\log_4(x+1)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định đúng công thức của đạo hàm $f'(x)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức đạo hàm của $\\log_4(x+1)$ là\nnên\n\nKhác với phương án đưa ra $f'(x)=3-\\frac{1}{x+1}$, ở đây thiếu $\\ln4$ trong mẫu.\n\nKết luận: Sai"}]},{"id":16,"text":"Hệ thống cáp treo gồm hai trụ lớn và một đường cáp nối thẳng giữa hai trụ đó (coi như độ cong không đáng kể), được đặt trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$...","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"68771afd17f952016f30c5a9","statements":[{"label":"A","text":"Có một khu vui chơi phía dưới cáp treo nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ với điểm trung tâm có tọa độ $(750{,}5; 1497{,}25; 0)$. Biết rằng từ trong cabin cáp treo có thể ngắm nhìn toàn cảnh khu vui chơi rõ nhất tại vị trí điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ cách trung tâm khu vui chơi một khoảng ngắn nhất. Khi đó, ta có $x_0 + y_0 + z_0 \\approx 2332{,}5$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai trụ cáp có tọa độ $A(x_A,y_A,z_A)$ và $C(x_C,y_C,z_C)$ trong không gian 3 chiều.\n\nĐường cáp nối thẳng hai trụ (giả thiết không cong).\n\nKhu vui chơi nằm dưới đường cáp, nằm trong mặt phẳng Oxy.\n\nTọa độ trung tâm khu vui chơi được cho là $P(750{,}5;1497{,}25;0)$.\n\nĐiểm $M(x_0,y_0,z_0)$ trên đường cáp sao cho $M$ cách $P$ ngắn nhất.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định xem $P$ có thực sự là trung điểm của hai hình chiếu $A'$ và $C'$ lên mặt phẳng Oxy hay không.\n\nXác định $M$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên đường thẳng $AC$.\n\nTính tổng $x_0 + y_0 + z_0$ và so sánh với 2332,5.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nHình chiếu của $A$ và $C$ lên Oxy là $A'(x_A,y_A,0)$, $C'(x_C,y_C,0)$. Trung điểm của $A'C'$ là\n$P\\Bigl(\\tfrac{x_A+x_C}2;\\;\\tfrac{y_A+y_C}2;\\;0\\Bigr).$\nThay số vào ta được đúng $P(750{,}5;1497{,}25;0)$.\n\nĐể tìm $M$, lấy vectơ $\\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A,y_C-y_A,z_C-z_A)$ và vectơ $\\overrightarrow{AP}=(x_P-x_A,y_P-y_A,z_P-z_A)$. Hình chiếu vuông góc cho\n$M=A+\\frac{\\overrightarrow{AP}\\cdot\\overrightarrow{AC}}{|\\overrightarrow{AC}|^2}\\,\\overrightarrow{AC}.$\n\nThay tọa độ cụ thể của $A,C,P$ rồi tính ra $x_0,y_0,z_0$. Kết quả cho $x_0+y_0+z_0\\approx2332{,}5$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Trên đường cáp có điểm $B$ với hoành độ $x_B = 672$, khi đó thời gian để cabin đi từ điểm $B$ đến điểm $A$ xấp xỉ là $75 \\ \\text{giây} \\ (\\text{kết quả làm tròn đến hàng đơn vị})$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai trụ cáp có tọa độ $A(x_A,y_A,z_A)$ và $C(x_C,y_C,z_C)$.\n\nCabin chuyển động đều với vận tốc $v$ không đổi.\n\nXét điểm $B$ trên đường thẳng $AC$ sao cho hoành độ $x_B=672$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm tham số $t$ sao cho điểm trên đường AC có hoành độ 672.\n\nTính quãng đường từ $B$ về $A$ và thời gian tương ứng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nPhương trình tham số của đường thẳng $AC$:\n$x=x_A+t(x_C-x_A),\\quad y=y_A+t(y_C-y_A),\\quad z=z_A+t(z_C-z_A).$\nGiải $x_A+t(x_C-x_A)=672\\,\\Rightarrow\\,t=\\frac{672-x_A}{x_C-x_A}.$ \n\nTọa độ điểm $B$: $B=A+t(C-A).$\n\nĐộ dài quãng đường $BA$ là\n$BA=t\\,|AC|.$ \n\nThời gian cabin đi từ $B$ về $A$:\n$\\Delta t=\\frac{BA}{v},$\nthay số cho kết quả ≈75 giây (làm tròn đến hàng đơn vị).\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Độ dài đường cáp xấp xỉ bằng $2220 \\ m \\ (\\text{kết quả làm tròn đến hàng đơn vị})$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai trụ cáp có tọa độ $A(x_A,y_A,z_A)$ và $C(x_C,y_C,z_C)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính độ dài đường cáp nối hai trụ $AC$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức tính độ dài:\n$AC=\\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2+(z_C-z_A)^2}.$ \n\nThay tọa độ cụ thể của $A$ và $C$ vào, ta được kết quả khác 2220 m. \nKết quả đúng ≠2220 m (sau khi làm tròn đến hàng đơn vị).\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Điểm chính giữa của đường cáp có tọa độ là $(448; 1012{,}5; 94)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai trụ cáp có tọa độ $A(x_A,y_A,z_A)$ và $C(x_C,y_C,z_C)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AC$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức trung điểm:\n$H\\Bigl(\\tfrac{x_A+x_C}2;\\tfrac{y_A+y_C}2;\\tfrac{z_A+z_C}2\\Bigr).$\n\nThay tọa độ cụ thể, ta thu được giá trị khác $(448;1012{,}5;94)$.\n\nKết luận: Sai"}]},{"id":17,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1; -1; 2),\\ B(2; 0; 3),\\ C(0; 1; -2)$. Gọi $M(a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S = \\overrightarrow{MA}.\\overrightarrow{MB} - 2\\overrightarrow{MB}.\\overrightarrow{MC} + 5\\overrightarrow{MC}.\\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị $T = 8a + 8b + 2c$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"68771afd17f952016f30c5aa","correctAnswer":"5","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTam giác $ABC$ trong không gian $Oxyz$ với:\n$A(1;-1;2), B(-2;0;3), C(0;1;-2)$\n\nĐiểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ ⇒ $M(x, y, 0)$\n\nBiểu thức cần tối thiểu:\n$S = \\vec{MA} \\cdot \\vec{MB} - 2\\vec{MB} \\cdot \\vec{MC} + 5\\vec{MC} \\cdot \\vec{MA}$\n\nTính giá trị của:\n$T = 8a + 8b + 2c = 8x + 8y + 0$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm điểm $M(x, y, 0)$ sao cho biểu thức $S$ là nhỏ nhất.\n\nSau đó thay vào biểu thức $T = 8x + 8y$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $M(x, y, 0)$, ta có:\n$\\vec{MA} = (1 - x, -1 - y, 2)$\n\n$\\vec{MB} = (-2 - x, -y, 3)$\n\n$\\vec{MC} = (-x, 1 - y, -2)$\n\n➡️ Tính biểu thức:\n$S = \\vec{MA} \\cdot \\vec{MB} - 2\\vec{MB} \\cdot \\vec{MC} + 5\\vec{MC} \\cdot \\vec{MA}$\nTừng phần:\n$\\vec{MA} \\cdot \\vec{MB} = (1-x)(-2-x) + (-1-y)(-y) + 6$\n\n$\\vec{MB} \\cdot \\vec{MC} = (-2-x)(-x) + (-y)(1-y) + (-6)$\n\n$\\vec{MC} \\cdot \\vec{MA} = (-x)(1-x) + (1-y)(-1-y) + (-4)$\n\n➡️ Thay vào và rút gọn:\n$S = (1-x)(-2-x) + (-1-y)(-y) + 6$ \n $- 2[( -2-x)(-x) + (-y)(1-y) -6 ]$\n $+ 5[ (-x)(1-x) + (1-y)(-1-y) -4 ]$\nGộp lại:\n$S = 4x^2 -8x + 4y^2 + 3y -9$\nHoặc như trong hình, hoàn chỉnh việc hoàn thành bình phương:\n$S = 4(x - 1)^2 + 4\\left( y + \\frac{3}{8} \\right)^2 - \\frac{217}{16}$\nGiá trị nhỏ nhất của $S$ đạt được khi:\n$x = 1, \\quad y = -\\frac{3}{8}$\n➡️ Khi đó:\n$T = 8x + 8y = 8 \\cdot 1 + 8 \\cdot \\left( -\\frac{3}{8} \\right) = 8 - 3 = 5$\n✅ Đáp án: $\\boxed{5}$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","grade":"GRADE_12","questionCategory":"vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn","difficulty":"vận dụng cao"},{"id":18,"text":"Một chiếc hộp có dạng là một hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy là một hình vuông cạnh bằng $x\\ (\\text{cm})$. Biết tổng diện tích các mặt của chiếc hộp bằng $243\\ (\\text{cm}^2)$. Tìm $x$ để chiếc hộp có thể tích lớn nhất?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"68771afd17f952016f30c5aa","correctAnswer":"9","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChiếc hộp không có nắp, đáy là hình vuông cạnh $x\\ (\\text{cm})$ (hình vẽ bên: đáy vuông cạnh $x$, chiều cao hộp là $h$). \n\nTổng diện tích các mặt của hộp: $243\\ \\text{cm}^2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm giá trị $x$ để thể tích $V$ của hộp đạt giá trị lớn nhất. \n\nCần lập biểu thức thể tích theo $x$, sử dụng điều kiện về diện tích để biểu diễn $h$ theo $x$, rồi khảo sát cực trị (dùng đạo hàm).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi chiều cao hộp là $h\\ (\\text{cm})$. \n\nThể tích hộp: \n$V = x^2\\cdot h.$ \n\nDiện tích các mặt (đáy + 4 mặt bên): \n$x^2 + 4x h = 243.$ \n\nTừ đó giải ra $h$ theo $x$: \n$h = \\frac{243 - x^2}{4x}.$ \n\nThay vào công thức thể tích: \n\nTính đạo hàm và tìm nghiệm: \n\nXét dấu đạo hàm hoặc đạo hàm bậc hai:\n$V''(x) = -\\frac{3x}{2}<0\\quad (\\text{với }x>0),$\nnên $x=9$ cho cực đại.\n\n✅ Đáp án: 9 (cm)","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-vinh-phuc-2025-lan-1-ma-de-103-co-dap-an/Screenshot_2026-01-15_152543.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","grade":"GRADE_12","questionCategory":"bài tập cuối chương 1","difficulty":"vận dụng"},{"id":19,"text":"Một công ty kinh doanh dịch vụ nghỉ dưỡng nhận thấy rằng: Nếu áp dụng mức giá $4$ triệu đồng/người/ngày thì mỗi tháng có $120$ khách đến nghỉ và mỗi khách sẽ nghỉ $14$ ngày. Nếu cứ tăng giá thêm $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ giảm $2$ người và thời gian lưu trú của mỗi người khách cũng giảm đi $4$ ngày. Ngược lại, nếu cứ giảm giá đi $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ tăng thêm $2$ người và thời gian lưu trú của mỗi người khách cũng tăng thêm $4$ ngày. Hỏi công ty cần áp dụng mức giá bao nhiêu triệu đồng/người/ngày để lợi nhuận hàng tháng thu được là lớn nhất, biết tổng chi phí công ty phải chi cho mỗi ngày lưu trú của mỗi người khách là $3$ triệu đồng và Sở du lịch không cho công ty thu vượt quá $10$ triệu đồng/người/ngày $\\ (\\text{Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm})$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"68771afd17f952016f30c5aa","correctAnswer":"4,34","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMức giá ban đầu: $4$ triệu đồng/người/ngày\n\nSố khách ban đầu: $120$ người\n\nThời gian lưu trú mỗi người: $14$ ngày\n\nMỗi khi tăng giá $0{,}5$ triệu → khách giảm $2$ người và thời gian lưu trú giảm $4$ ngày\n\nChi phí: $3$ triệu/người/ngày\n\nMức giá không được vượt quá $10$ triệu/người/ngày\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm giá (theo ẩn $x$ là số lần tăng thêm 0,5 triệu đồng) sao cho lợi nhuận là lớn nhất.\n\nBiến đổi mô hình lợi nhuận thành hàm bậc ba rồi tìm giá trị cực trị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $x$ là số lần tăng thêm $0{,}5$ triệu đồng → $p = 4 + 0{,}5x$\n\nĐiều kiện: $4 + 0{,}5x \\leq 10 \\Rightarrow x \\leq 12$\n\nKhi đó:\nSố khách: $120 - 2x$\n\nThời gian ở: $14 - 4x$\n\nTổng doanh thu:\n$DT = (4 + 0{,}5x)(120 - 2x)(14 - 4x)$\n\nTổng chi phí:\n$CP = 3(120 - 2x)(14 - 4x)$\n\nLợi nhuận:\n$L = DT - CP = \\left[(4 + 0{,}5x) - 3\\right](120 - 2x)(14 - 4x) = (1 + 0{,}5x)(120 - 2x)(14 - 4x)$\n\nTa khai triển biểu thức:\n\n$L = (1 + 0{,}5x)(120 - 2x)(14 - 4x)$\n\nRút gọn:\n\n$L = 4x^3 - 246x^2 + 332x + 1680$\n\nGiải phương trình đạo hàm để tìm cực trị:\n$x \\approx 0{,}68$\n\nThay vào công thức $p = 4 + 0{,}5x$:\n$p \\approx 4 + 0{,}5 \\cdot 0{,}68 = 4{,}34 \\ (\\text{làm tròn đến hàng phần trăm})$\n\n✅ Đáp án:\n$\\boxed{4{,}34\\ \\text{triệu đồng/người/ngày}}$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","grade":"GRADE_12","questionCategory":"cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn","difficulty":"vận dụng"},{"id":20,"text":"Cho $\\tan \\alpha = \\dfrac{2}{3}$. Giá trị của biểu thức $A = \\dfrac{5\\sin \\alpha + 3\\cos \\alpha}{7\\sin \\alpha - 2\\cos \\alpha}$ bằng $\\dfrac{a}{b} \\ (với\\ a, b \\in \\mathbb{N},\\ b \\ne 0,\\ \\dfrac{a}{b} \\ \\text{là phân số tối giản})$. Tính $100a + b$?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"68771afd17f952016f30c5aa","correctAnswer":"1908","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$\\tan \\alpha = \\frac{2}{3}.$\n\nBiểu thức cần tính: \n$A = \\frac{5\\sin \\alpha + 3\\cos \\alpha}{7\\sin \\alpha - 2\\cos \\alpha}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm giá trị của $A$ khi biết $\\tan \\alpha = \\frac{2}{3}$. \n\nỨng dụng công thức lượng giác để xác định $\\sin \\alpha$ và $\\cos \\alpha$. \n\nKết quả dưới dạng phân số tối giản $\\frac{a}{b}$, rồi tính $100a + b$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ $\\tan \\alpha = \\frac{2}{3}$, giả sử trong tam giác vuông cạnh đối = 2, cạnh kề = 3. Khi đó cạnh huyền là \n$\\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{13}.$\n\nDo vậy \n$\\sin \\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{13}},\\quad \\cos \\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{13}}\\,.$\n\nThay vào biểu thức của $A$: \n\nPhân số tối giản là $\\frac{a}{b} = \\frac{19}{8}$, nên $a = 19,\\ b = 8$. \n\nTính $100a + b = 100 \\times 19 + 8 = 1908.$\n\n✅ Đáp án: 1908","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"công thức lượng giác","grade":"GRADE_11","questionCategory":"công thức biến đổi tổng thành tích","difficulty":"vận dụng"},{"id":21,"text":"Một xí nghiệp may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may $1$ áo vest hết $2\\,m$ vải và cần $20$ giờ; may $1$ quần âu hết $1{,}5\\,m$ vải và cần $5$ giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá $880\\,m$ vải và số giờ công không vượt quá $5600$ giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần âu bán ra không nhỏ hơn số lượng áo vest bán ra và số lượng quần âu bán ra không vượt quá $2$ lần số lượng áo vest bán ra. Khi xuất ra thị trường, $1$ chiếc áo vest lãi $350$ nghìn đồng, $1$ chiếc quần âu lãi $100$ nghìn đồng. Gọi $x, y$ lần lượt là số áo vest và quần âu xí nghiệp cần may và bán ra thị trường để xí nghiệp có số tiền lãi cao nhất. Tính $T = 2x + 3y$?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"68771afd17f952016f30c5aa","correctAnswer":"1360","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n1 chiếc áo vest cần 2 m vải và 20 giờ công. \n\n1 chiếc quần âu cần 1,5 m vải và 5 giờ công. \n\nTổng vải sử dụng không vượt quá 880 m. \n\nTổng giờ công không vượt quá 5600 giờ. \n\nThị trường yêu cầu: $y \\ge x$ và $y \\le 2x$. \n\nLãi 1 áo vest là 350 (nghìn đồng), 1 quần âu là 100 (nghìn đồng).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm số lượng áo vest $x$ và quần âu $y$ để lợi nhuận \n$P = 350x + 100y$ \nđạt giá trị lớn nhất. \n\nSau đó tính giá trị $T = 2x + 3y$ tại điểm tối ưu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXây dựng hệ bất đẳng thức nguyên liệu và giờ công:\n\nChuyển về dạng đơn giản:\n\nThêm điều kiện thị trường:\n\nHàm mục tiêu:\n\nXét các giao điểm của các đường biên:\nGiao $\\{4x+3y=1760,\\;4x+y=1120\\}$ cho $(x,y)=(200,320)$, $P=350\\cdot200+100\\cdot320=102000$. \n\nGiao $\\{4x+y=1120,\\;y=x\\}$ cho $(224,224)$, $P=100800$. \n\nGiao $\\{4x+3y=1760,\\;y=2x\\}$ cho $(176,352)$, $P=96800$.\n\nĐiểm $(200,320)$ cho lợi nhuận lớn nhất. \n\nTính:\n\n✅ Đáp án: 1360","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-vinh-phuc-2025-lan-1-ma-de-103-co-dap-an/cau_5_2026-01-16015334.png"],"chapter":"bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","topic":"hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","grade":"GRADE_10","questionCategory":"hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","difficulty":"vận dụng"},{"id":22,"text":"Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có thể tích bằng $\\dfrac{1}{12}$ với $AB = \\dfrac{1}{2}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, trên các cạnh $AB, SD$ lần lượt lấy các điểm $E, F$ sao cho $EF$ song song $BG$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $DG$ và $EF$ bằng $\\dfrac{m}{n} \\ (\\text{với}\\ m, n \\in \\mathbb{N}^*,\\ \\dfrac{m}{n}\\ \\text{là phân số tối giản})$. Tính giá trị của biểu thức $T = 2m - n$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"68771afd17f952016f30c5aa","correctAnswer":"-7","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKhối chóp tứ giác đều $S.ABCD$, có thể tích $\\dfrac{1}{12}$ và $AB = \\dfrac{1}{2}$.\n\n$G$ là trọng tâm tam giác $SCD$.\n\nTrên các cạnh $AB$, $SD$, lấy điểm $E, F$ sao cho $EF \\parallel BG$.\n\nKhoảng cách giữa hai đường thẳng $DG$ và $EF$ là $\\dfrac{m}{n}$ (tối giản).\n\nYêu cầu tính $T = 2m - n$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nSử dụng tính chất đồng phẳng và song song để suy ra quan hệ giữa các đoạn thẳng.\n\nDùng công thức thể tích tứ diện và công thức diện tích tam giác để tính khoảng cách giữa hai đường chéo.\n\nRút gọn kết quả dưới dạng phân số tối giản $\\dfrac{m}{n}$, từ đó tính biểu thức $T$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $EF \\parallel BG$ nên 4 điểm $E, F, G, B$ đồng phẳng.\nTa có:\n$\\begin{cases}\n(EFGB) \\cap (SCD) = GF \\\\\n(EFGB) \\cap (ABCD) = EB \\\\\n(SCD) \\cap (ABCD) = CD\n\\end{cases}\n\\Rightarrow GF \\parallel EB \\parallel CD$\n➡ Từ đó, ta có thể xét khoảng cách giữa 2 đường chéo chéo nhau:\n$d(DG, EF) = d(EF, (BGD)) = d(E, (BGD)) = \\dfrac{3V_{G.EBD}}{S_{BGD}}$\n👉 Thể tích:\n$V_{G.BED} = \\dfrac{1}{3}d(G, (BED)) \\cdot S_{BED} = \\dfrac{1}{3} \\cdot \\dfrac{1}{3} d(S, (ABCD)) \\cdot S_{BED}$\nVì hình bình hành $EBGF \\Rightarrow \\dfrac{EB}{AB} = \\dfrac{GF}{CD} = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow \\dfrac{SG}{SM} = \\dfrac{1}{3}$\nNên:\n$S_{BED} = \\dfrac{1}{3} S_{BAD} = \\dfrac{1}{6} S_{ABCD}$\nSuy ra:\n$V_{G.BED} = \\dfrac{1}{3} \\cdot \\dfrac{1}{3} d(S, (ABCD)) \\cdot \\dfrac{1}{6} S_{ABCD} = \\dfrac{1}{18} \\cdot \\dfrac{1}{12} = \\dfrac{1}{216}$\n👉 Tính các độ dài cần thiết:\n$BD = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$\n\nThể tích khối chóp: $V_{S.ABCD} = \\dfrac{1}{3} SO \\cdot S_{ABCD} \\Rightarrow SO = 1$\n\n$SB = \\sqrt{SO^2 + OB^2} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{4}$\n\n$BM = \\sqrt{BC^2 + CM^2} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{4}$\n\n$SM = \\sqrt{SO^2 + OM^2} = \\dfrac{\\sqrt{17}}{4} \\Rightarrow GM = \\dfrac{\\sqrt{17}}{12}$\n\n👉 Áp dụng định lý cos trong tam giác $\\triangle GMB$:\n$BG^2 = GM^2 + BM^2 - 2 \\cdot BM \\cdot GM \\cdot \\cos \\widehat{GMB}$\nVới:\n$\\cos \\widehat{GMB} = \\dfrac{MS^2 + MB^2 - SB^2}{2 \\cdot MS \\cdot MB} = \\dfrac{2\\sqrt{85}}{18}$\nTừ đó suy ra:\n$BG = \\dfrac{5\\sqrt{2}}{12}$\n👉 Tiếp tục:\n$GD = \\sqrt{GM^2 + MD^2} = \\dfrac{\\sqrt{26}}{12}$\n👉 Nửa chu vi tam giác $BGD$:\n$p = \\dfrac{BG + GD + DB}{2} = \\dfrac{\\sqrt{26} + 11\\sqrt{2}}{24}$\n👉 Áp dụng công thức Heron:\n$S_{BGD} = \\dfrac{1}{8}$\n👉 Khoảng cách:\n$d(DG, EF) = \\dfrac{3V_{G.EBD}}{S_{BGD}} = \\dfrac{3 \\cdot \\dfrac{1}{216}}{\\dfrac{1}{8}} = \\dfrac{1}{9} = \\dfrac{m}{n}$\n👉 Tính giá trị biểu thức:\n$T = 2m - n = 2 \\cdot 1 - 9 = -7$\n✅ Đáp số cuối cùng:\n$\\boxed{-7}$","chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"khoảng cách","grade":"GRADE_11","questionCategory":"khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau","difficulty":"vận dụng cao"}]}