Slide bài giảng Toán kinh tế - Chương 2: Hàm một biến: Đạo hàm, tích phân và ứng dụng

Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường. Giả sử hàm cầu là P = 100 - 4Q (P là giá bán 1 đơn vị sản phẩm); hàm chi phí là C = Q³ - 3Q² + 30Q + 100 (Q > 0). Tính chi phí biên và hệ số co giãn của giá theo lượng cầu tại mức sản lượng Q = 15.

Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường có hàm cầu P = 1560 - 2Q biểu thị quan hệ giữa giá bán một đơn vị sản phẩm P (đơn vị tính: USD) với sản lượng cầu Q (lượng sản phẩm bán được). Giả sử chi phí cố định là FC = 2000 (USD) và tổng chi phí TC là hàm bậc hai đối với Q. Biết rằng ở mức Q = 1, chi phí biên là 66 (USD). Nếu tăng Q từ mức này thêm 5 đơn vị sản phẩm thì chi phí biên tăng thêm 30 (USD). Tìm mức sản lượng cầu Q (> 0) để tối ưu hóa lợi nhuận π và tính mức giá tối ưu P tương ứng.

Giả sử hàm cầu P = P(Q) biểu thị quan hệ giữa giá bán một đơn vị sản phẩm P với sản lượng cầu Q (lượng sản phẩm bán được) là một hàm bậc nhất. Biết rằng nếu giá mỗi đơn vị sản phẩm là P = 2000 thì sẽ bán được 200 đơn vị sản phẩm. Nếu giảm giá mỗi đơn vị sản phẩm đi 250 thì lượng bán được sẽ tăng thêm 50 đơn vị sản phẩm. Chi phí bình quân AC = 1500. Tìm mức sản lượng cầu Q (> 0) để tối ưu hóa lợi nhuận và tính mức giá P tương ứng và mức lợi nhuận π tối ưu đó.

Cho chi phí C = C(Q), doanh thu R = R(Q) và lợi nhuận π = π(Q) là các hàm (khả vi) theo biến sản lượng Q không âm (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi). Xét khẳng định dưới đây.
(1) Chi phí biên tại mức sản lượng Q = Q₀ là MC(Q₀) ≈ C'(Q₀).
(2) Doanh thu biên MR(Q₀) tại mức sản lượng Q₀ chính là xấp xỉ lượng thay đổi tương đối của doanh thu khi sản lượng tăng tương đối lên 1% từ mức Q₀ lên mức Q₀ + 1%(Q₀).
(3) Hệ số co giãn εPQ(Q₀) của lợi nhuận theo sản lượng tại mức Q₀ chính là xấp xỉ lượng thay đổi tuyệt đối của lợi nhuận khi sản lượng tăng lên 1 đơn vị từ mức Q₀ lên mức Q₀ + 1.
Đếm số khẳng định sai.

Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường. Giả sử hàm cầu (theo giá P) của sản phẩm đó là Q = 101 - P và chi phí bình quân là AC = Q² + 3Q + 50 + 10Q⁻¹. Tìm mức sản lượng tối ưu hóa lợi nhuận và tính mức giá tương ứng.

Giả sử doanh thu (đơn vị tính triệu đồng) R = R(Q) theo sản lượng cầu Q của một doanh nghiệp là một ẩn hàm xác định bởi phương trình theo tham số thời gian t như sau
Q = Q(t) = 3t + 5, R = R(t) = -3t² + 225t + 20000.
Tìm mức sản lượng cầu Q (> 0) tối ưu hóa doanh thu và tính doanh thu tối đa của doanh nghiệp đó.

Xét các khẳng định dưới đây.
(1) Xét hàm chi phí theo biến sản lượng (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi). Chi phí biên tại mức sản lượng là .
(2) Chi phí biên tại mức sản lượng chính là xấp xỉ lượng thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên 1 đơn vị từ mức lên mức (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi).
(3) Giả sử là hàm cầu trong kinh tế biểu thị sự phụ thuộc của giá theo lượng cầu (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi). Hệ số co giãn của giá theo lượng cầu tại mức là .
(4) Hệ số co giãn của giá theo lượng cầu tại mức chính là xấp xỉ lượng thay đổi của giá khi lượng cầu tăng tương đối lên 1 % từ mức lên mức (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi).
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là

Giả sử tổng chi phí (đơn vị tính là triệu đồng) theo sản lượng của một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa là một ẩn hàm được cho bởi phương trình

Chọn khẳng định đúng

Xét các khẳng định dưới đây.
(1) Xét hàm doanh thu theo theo biến sản lượng (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi). Doanh thu biên tại mức sản lượng là .
(2) Doanh thu biên tại mức sản lượng chính là xấp xỉ lượng thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng lên 1 đơn vị từ mức lên mức (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi).
(3) Hệ số co giãn của doanh thu theo sản lượng tại mức chính là xấp xỉ lượng thay đổi tuyệt đối của doanh thu khi sản lượng tăng tương đối lên 1% từ mức lên mức (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi).
Đếm số khẳng định sai

Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường. Giả sử hàm cầu (theo giá ) của sản phẩm đó là và chi phí bình quân là . Ký hiệu MC, MR và M lần lượt là các hàm chi phí biên, doanh thu biên và lợi nhuận biên theo sản lượng . Chọn khẳng định đúng

Giả sử doanh thu (đơn vị tính triệu đồng) theo sản lượng cầu của một doanh nghiệp là một ẩn hàm xác định bởi phương trình theo tham số thời gian như sau

Tìm mức sản lượng cầu tối ưu hóa doanh thu và tính doanh thu tối đa của doanh nghiệp đó.

Giả sử hàm cầu biểu thị quan hệ giữa sản lượng cầu (số lượng sản phẩm bán được) với giá bán một sản phẩm là một hàm bậc nhất. Biết rằng nếu giá mỗi sản phẩm là 1830 thì sẽ bán được 290 sản phẩm. Nếu giảm giá mỗi sản phẩm 60 thì số lượng bán được sẽ tăng thêm 20 sản phẩm. Chi phí bình quân là 1500. Tính mức giá để tối ưu hóa lợi nhuận và tính mức lợi nhuận tối ưu đó.

Xét các khẳng định dưới đây.
(1) Xét hàm doanh thu theo R = R(Q) theo biến sản lượng Q (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi). Doanh thu biên tại mức sản lượng Q = Q₀ là MR(Q₀) ≈ R'(Q₀).
(2) Doanh thu biên tại mức sản lượng Q₀ chính là xấp xỉ lượng thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng lên 1 đơn vị từ mức Q₀ lên mức Q₀ + 1 (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi).
(3) Hệ số co giãn εRQ(Q₀) của doanh thu theo sản lượng tại mức Q₀ chính là xấp xỉ lượng thay đổi tuyệt đối của doanh thu khi sản lượng tăng tương đối lên 1 % từ mức Q₀ lên mức Q₀ + (1%)Q₀ (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi).
Đếm số khẳng định sai.

Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường. Giả sử hàm cầu (theo giá P) của sản phẩm đó là Q = 200 - P và chi phí bình quân là AC = Q² + 2Q + 95 + 15Q⁻¹. Ký hiệu MC, MR và Mπ lần lượt là các hàm chi phí biên, doanh thu biên và lợi nhuận biên theo sản lượng Q > 0. Chọn khẳng định đúng.

Giả sử doanh thu (đơn vị tính là triệu đồng) R = R(Q) theo sản lượng cầu Q của một doanh nghiệp là một ẩn hàm xác định bởi phương trình theo tham số thời gian t như sau
Q = Q(t) = 2t + 4, R = R(t) = -8t² + 216t + 368.
Tìm mức sản lượng cầu Q (> 0) tối ưu hóa doanh thu và tính doanh thu tối đa của doanh nghiệp đó.

Giả sử hàm cầu P = P(Q) biểu thị quan hệ giữa sản lượng cầu Q (số lượng sản phẩm bán được) với giá P bán một sản phẩm là một hàm bậc nhất. Biết rằng nếu giá mỗi sản phẩm là 1830 thì sẽ bán được 290 sản phẩm. Nếu giảm giá mỗi sản phẩm 60 thì số lượng bán được sẽ tăng thêm 20 sản phẩm. Chi phí bình quân là 1500. Tính mức giá P để tối ưu hóa lợi nhuận và tính mức lợi nhuận tối ưu đó.

Xét các khẳng định dưới đây.
(1) Xét hàm chi phí và hàm doanh thu theo biến sản lượng (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi). Lợi nhuận biên tại mức sản lượng là .
(2) Lợi nhuận biên tại mức sản lượng chính là xấp xỉ lượng thay đổi của lợi nhuận khi sản lượng tăng lên 1 đơn vị từ mức lên mức (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi).
(3) Hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi) tại mức là .
(4) Hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng tại mức chính là xấp xỉ lượng thay đổi tương đối của chi phí (tính bằng %) khi sản lượng tăng tương đối lên 1 % từ mức lên mức (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi).
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là

Giả sử tổng chi phí TC(Q) (đơn vị tính là triệu đồng) theo sản lượng Q của một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa là một ẩn hàm được cho bởi phương trình

Chọn khẳng định đúng.

Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường. Giả sử hàm cầu (theo giá P) của sản phẩm đó là và chi phí bình quân là . Xét các hàm (theo sản lượng Q) gồm doanh thu R, chi phí C, lợi nhuận , doanh thu cận biên MR, chi phí biên MC và lợi nhuận biên M. Chọn khẳng định đúng.

Cho hai ma trận và . Chọn khẳng định sai.

Cho M = {3 4, 1 3} và P là một ma trận vuông cấp 2 khả nghịch. Giả sử N là một ma trận vuông cấp 2 thỏa mãn hệ thức PN = MP. Xét các khẳng định dưới đây.
(1) Ma trận N khả nghịch và detM = detN.
(2) M và N cùng chéo hóa được và có cùng dạng chéo.
(3) N chéo hóa được khi và chỉ khi P chéo hóa được.

Cho ma trận M = {3 1, 4 3}. Xét các khẳng định dưới đây.
(1) Tất cả các GTR của M là λ₁ = 1 và λ₂ = 5.
(2) M chắc chắn chéo hóa được với dạng chéo là {1 0, 0 5}.
(3) Các vector {−2017, 2017} và {2017, 2017} là các VTR của M.
(4) M được chéo hóa bởi ma trận {1 1, −2 2} với dạng chéo là {1 0, 0 5}
Đếm số khẳng định sai.

Cho hàm tiêu dùng C = 20(√Y² + 80)/Y + 10. Xác định xu hướng tiết kiệm cận biên khi thu nhập Y = 100.

Chọn khẳng định ĐÚNG trong các khẳng định dưới đây.