Bài giảng Toán kinh tế – Chương 3: Hàm nhiều biến

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại hàng hóa. Giả sử ứng với các mức sản lượng (đơn vị sản phẩm) của từng loại hàng hóa, doanh nghiệp có hàm chi phí (đơn vị tính là triệu đồng) như sau:

Xét các khẳng định dưới đây.

(1) C đạt cực đại tại điểm và đạt cực tiểu tại .

(2) Mức sản lượng làm tối ưu hóa chi phí C.

(3) Mức sản lượng không tối ưu hóa chi phí C.

Đếm số khẳng định đúng

Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là (lượng đơn vị sản phẩm). Biết rằng giá thuê một đơn vị vốn là USD, giá thuê nhân công giá USD và doanh nghiệp sản xuất trong điều kiện ngân sách cố định USD. Xác định lượng cầu Marshall của vốn và nhân công mà doanh nghiệp cần sử dụng để tối đa hóa sản lượng. Sản lượng tối đa đó là bao nhiêu?

Một doanh nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa với hàm chi phí kết hợp C ứng với mỗi mức sản lượng của từng loại hàng hóa thứ nhất, thứ hai được cho như sau:

Giả sử giá bán mỗi đơn vị hàng hóa thứ nhất, thứ hai lần lượt là 12 và 64 (đơn vị tính là triệu VND).

1. Xác định hàm doanh thu của doanh nghiệp ở mỗi mức sản lượng của từng loại hàng hóa.
2. Giả sử doanh nghiệp đó sản xuất trong điều kiện ngân sách không đổi tỷ đồng. Hãy xác định các lượng hàng hóa mà doanh nghiệp cần sản xuất để tối đa hóa doanh thu và tính mức doanh thu tối đa đó.

Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là (lượng đơn vị sản phẩm). Biết rằng giá thuê một đơn vị vốn là , giá thuê nhân công giá và doanh nghiệp sản xuất trong điều kiện ngân sách cố định . Xác định lượng cầu Marshall của vốn và nhân công mà doanh nghiệp cần sử dụng để tối đa hóa sản lượng. Sản lượng tối đa đó là bao nhiêu?

Trên thị trường ta xét hai loại hàng hóa . Giả sử, với mỗi túi hàng hóa , người tiêu dùng có hàm lợi ích ; và lần lượt là lượng của hàng hóa (). Giả mỗi đơn vị từng loại hàng hóa tại thời điểm khảo sát tương ứng là . Hãy tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick tương ứng khi người tiêu dùng muốn thu hưởng mức lợi ích cố định.

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại hàng hóa. Giả sử ứng với các mức sản lượng (đơn vị sản phẩm) của từng loại hàng hóa, doanh nghiệp có hàm chi phí (đơn vị tính là triệu đồng) như sau:

Xét các khẳng định dưới đây:

(1) Doanh nghiệp đạt chi phí tối thiểu ở mức và nào đó.
(2) Doanh nghiệp đạt chi phí tối thiểu ở mức và nào đó.
(3) Doanh nghiệp đạt chi phí tối thiểu ở mức và .

Đếm số khẳng định sai.

Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas Q(K, L) = aK³α⁻¹L¹⁻α với a, α là các hằng số đã cho (0,2 < α < 1). K là lượng vốn đầu tư vào sản xuất, L là lượng lao động dùng trong quá trình sản xuất. Xét các khẳng định dưới đây.

• (1) Q là hàm thuần nhất bậc 4α tức là Q(tK, tL) = t²αQ(K,L) với mọi t > 0.
• (2) Hiệu quả sản xuất không giảm theo quy mô khi và chỉ khi 0,25 ≤ α < 1.
• (3) Hiệu quả sản xuất không tăng theo quy mô khi và chỉ khi 0,25 ≥ α > 0,2.

Đếm số khẳng định đúng.

Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas Q(K, L) = aK³α⁻¹L¹⁻α với a, α là các hằng số đã cho (1/3 < α < 1). K là lượng vốn đầu tư vào sản xuất, L là lượng lao động dùng trong quá trình sản xuất. Xét các khẳng định dưới đây.

• (1) Q là hàm thuần nhất bậc 2α tức là Q(tK, tL) = t²αQ(K,L) với mọi t > 0.
• (2) Hiệu quả sản xuất không giảm theo quy mô khi và chỉ khi 0,5 ≤ α.
• (3) Hiệu quả sản xuất không tăng theo quy mô khi và chỉ khi 0,5 ≥ α.
• (4) Hiệu quả sản xuất không đổi theo quy mô khi và chỉ khi α = 0,5.

Đếm số khẳng định đúng.