Tất cảMầm nonTiểu họcTHCSTHPT
Toán lớp 9
Chủ điểm 7 · Học kỳ 1

Đường tròn: cung, dây, độ dài cung, hình quạt, hình vành khuyên

Xác định vị trí điểm với đường tròn, tính dây từ khoảng cách tới tâm, và tính độ dài cung, diện tích hình quạt, hình vành khuyên.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 13, Bài 14, Bài 15

⚡ Nhớ nhanh

  • 1Điểm M so với (O; R): OM < R nằm trong · OM = R nằm trên · OM > R nằm ngoài. Đường tròn chỉ là cái viền, hình tròn gồm cả phần trong.
  • 2Góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn. Cung lớn = 360° − cung nhỏ.
  • 3Dây càng gần tâm càng dài. Dây cách tâm d thì AB = 2√(R² − d²).
  • 4Cung n° chiếm n/360 cả đường tròn: ℓ = πRn/180, S quạt = πR²n/360.
  • 5Vành khuyên: S = π(R² − r²), hiệu hai bình phương. Luôn kiểm đơn vị: cung là cm, quạt là cm².

👀 Nhìn là hiểu

Kéo điểm trên đường tròn để đổi góc ở tâm: cung, hình quạt và công thức đổi theo. Chuyển sang vành khuyên để đổi R và r.

R = 660°O

Kéo điểm vàng (hoặc chạm vào hình) để đổi góc ở tâm.

n = 60°
R = 6

Góc ở tâm 60° chắn cung nhỏ 60°, chiếm 1/6 vòng.

Độ dài cung ℓ = π·6·60/180 = 2π ≈ 6,28 cm

Diện tích quạt S = π·6²·60/360 = 6π ≈ 18,85 cm²

Kiểm chéo: ℓR/2 = 6,28·6/2 = 18,85 ✓

1 ⭕ Điểm, góc ở tâm và cung

Cần nhớ

  • ✦So OM với R là xong: OM < R trong, OM = R trên, OM > R ngoài. Với R = 5, OM = 3 thì M nằm trong.
  • ✦Dây dài nhất là đường kính = 2R. Tam giác vuông nội tiếp đường tròn có cạnh huyền là đường kính: BC = 12 thì R = 6.
  • ✦Góc ở tâm AOB chắn cung AB thì sđ cung AB = góc AOB. Góc ở tâm 70° ⇒ cung nhỏ 70°.
  • ✦Cung lớn AB = 360° − cung nhỏ AB. Cung nhỏ 70° thì cung lớn 290°.

Dạng bài

Tìm số đo cung từ góc ở tâm

  1. 1 Xác định cung nhỏ cùng đầu mút với góc ở tâm: sđ cung nhỏ = góc ở tâm.
  2. 2 Cung lớn còn lại: 360° trừ số đo cung nhỏ.
  3. 3 Kiểm tra: cung nhỏ + cung lớn = 360°.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cung lớn là 360° − 70° = 290°, không phải 180° − 70° = 110°.

⭕
Làm mẫu

Đường tròn (O) có góc ở tâm AOB = 70°. Tìm số đo hai cung AB.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📏 Dây và khoảng cách tới tâm

Cần nhớ

  • ✦Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây: OH ⊥ AB ⇒ HA = HB.
  • ✦Dây gần tâm hơn thì dài hơn: d = 0 là đường kính (dài nhất 2R).
  • ✦Tam giác OHA vuông tại H: HA² = R² − d², nên AB = 2√(R² − d²). Với R = 5, d = 3: HA = 4, AB = 8.

Dạng bài

Tính dây khi biết khoảng cách tới tâm

  1. 1 Kẻ OH ⊥ AB tại H; H là trung điểm của AB.
  2. 2 Tam giác OHA vuông tại H: HA² = R² − d².
  3. 3 Lấy căn được HA, rồi nhân đôi để được AB.
  4. 4 Thử lại: HA² + d² = R² và AB < 2R.

⚠️ Bẫy hay gặp: HA = 4 mới là nửa dây. Ghi AB = 4 là sai: phải nhân đôi thành 8.

📏
Làm mẫu

Đường tròn (O; 5) có dây AB cách tâm 3. Tính AB.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!
✅ Nhớ đúng

Dây gần tâm thì dài. Dây đi qua tâm là đường kính, dài nhất.

❌ Nhớ ngược

Dây xa tâm thì dài. Sai: dây AB = 16 trong (O; 10) cách tâm 6, ngắn hơn đường kính 20.

3 🍕 Độ dài cung và diện tích hình quạt

Cần nhớ

  • ✦Cung n° chiếm n/360 cả đường tròn: n = 60 thì 16 vòng.
  • ✦Độ dài cung: ℓ = πRn/180 (= 2πR·n/360). Đơn vị là độ dài (cm).
  • ✦Diện tích quạt: S = πR²n/360. Đơn vị là diện tích (cm²).
  • ✦Liên hệ gọn: S = ℓR/2. Dùng để kiểm chéo hai kết quả.

Dạng bài

Tính độ dài cung và diện tích quạt

  1. 1 Viết phần của vòng: n/360 (rút gọn nếu được).
  2. 2 Độ dài cung = phần đó × chu vi 2πR.
  3. 3 Diện tích quạt = phần đó × diện tích πR².
  4. 4 Kiểm chéo bằng S = ℓR/2.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quạt dùng mẫu 360, không dùng 180: với R = 6, n = 60 thì S = 6π, còn mẫu 180 cho 12π (gấp đôi).

🍕
Làm mẫu

Đường tròn bán kính R = 6 cm. Tính độ dài cung 60° và diện tích quạt tương ứng.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm số đo cung khi biết độ dài hoặc diện tích

  1. 1 Viết công thức rồi rút n: n = 180ℓ/(πR) hoặc n = 360S/(πR²).
  2. 2 Thay số, giản ước π.
  3. 3 Thử lại bằng cách tính ℓ (hoặc S) từ n vừa tìm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Giản ước π hai vế, đừng thay π = 3,14 giữa chừng: 180·3π/(π·9) = 60 chính xác, còn thay 3,14 chỉ ra số lẻ.

🔎
Làm mẫu

Cung có độ dài 3π trên đường tròn bán kính 9. Tìm số đo cung.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Góc quen thì nhẩm được

nPhần của vòngDiện tích quạt
60°16πR²/6
90°14πR²/4
120°13πR²/3
180°12Nửa hình tròn

4 🍩 Hình vành khuyên

Cần nhớ

  • ✦Vành khuyên là phần giữa hai đường tròn đồng tâm: bán kính ngoài R, bán kính trong r.
  • ✦S = πR² − πr² = π(R² − r²). Với R = 5, r = 3: S = π(25 − 9) = 16π.
  • ✦Mẹo: R² − r² = (R − r)(R + r), tính nhanh hơn khi số lớn.

Dạng bài

Tính diện tích vành khuyên

  1. 1 Lấy diện tích hình tròn lớn trừ hình tròn nhỏ.
  2. 2 Tính R² − r² (hiệu hai bình phương).
  3. 3 Nhân với π và kiểm tra: nhỏ hơn πR².

⚠️ Bẫy hay gặp: π(R − r)² = π·16 = 16π là sai: phải là hiệu hai bình phương π(100 − 36) = 64π.

🍩
Làm mẫu

Vành khuyên có bán kính ngoài 10 cm, bán kính trong 6 cm. Tính diện tích.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

🧮 Máy tính cầm tay

  • ✦Nhập công thức có π bằng phím π rồi bấm = để xem số thập phân.
  • ✦Máy dùng để thử lại. Bài tự luận vẫn ghi công thức và kết quả theo π.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.

⭕

Điểm, góc ở tâm và cung

  1. 1
    Nhận biết

    Cho đường tròn (O; 5) và điểm M với OM = 5. Điểm M:

  2. 2
    Nhận biết

    Góc ở tâm 80° chắn cung nhỏ có số đo:

  3. 3
    Thông hiểu Góc ở tâm AOB = 110°. Số đo cung lớn AB là °.
  4. 4
    Thông hiểu

    Tam giác ABC vuông tại A có BC = 14. Bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh bằng:

  5. 5
    Vận dụng Tam giác OAB có OA = OB = AB = R (A, B thuộc (O; R)). Số đo cung nhỏ AB là °.
📏

Dây và khoảng cách tới tâm

  1. 1
    Nhận biết

    Trong cùng một đường tròn, dây gần tâm hơn thì:

  2. 2
    Thông hiểu Đường tròn (O; 5), dây AB cách tâm 3. Độ dài AB = .
  3. 3
    Thông hiểu Đường tròn (O; 13), dây AB cách tâm 5. Độ dài AB = .
  4. 4
    Thông hiểu Đường tròn (O; 10), dây AB = 16. Khoảng cách từ O đến AB là .
  5. 5
    Vận dụng Đường tròn (O; 17), dây AB = 30. Khoảng cách từ O đến AB là .
  6. 6
    Vận dụng Đường tròn (O; 13) có hai dây AB = 24 và CD = 10. Tổng khoảng cách từ O đến hai dây là .
〰️

Độ dài cung

  1. 1
    Nhận biết

    Độ dài cung 180° của đường tròn bán kính R là:

  2. 2
    Thông hiểu Đường tròn R = 9, cung 120°: ℓ = π.
  3. 3
    Thông hiểu

    Cung 90° trên đường tròn bán kính 4 có độ dài:

  4. 4
    Vận dụng Cung có độ dài 3π trên đường tròn bán kính 9 có số đo °.
🍕

Diện tích hình quạt

  1. 1
    Nhận biết

    Công thức diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n° là:

  2. 2
    Thông hiểu R = 4, n = 90: S = π.
  3. 3
    Thông hiểu R = 6, n = 120: S = π.
  4. 4
    Thông hiểu Hình quạt có cung dài 2π, bán kính 6. Diện tích S = ℓR/2 = π.
  5. 5
    Vận dụng Hình quạt bán kính 6 có diện tích 15π thì số đo cung là °.
🍩

Hình vành khuyên

  1. 1
    Nhận biết

    Diện tích hình vành khuyên có bán kính ngoài R, trong r là:

  2. 2
    Thông hiểu R = 5, r = 3: S = π.
  3. 3
    Vận dụng Vành khuyên có R = 7 và diện tích 24π thì bán kính trong r = .
  4. 4
    Vận dụng

    Vành khuyên có bán kính trong 4 và bề rộng 2 (R = 6). Diện tích là:

🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?

  • •Dạng tính độ dài cung, diện tích quạt hoặc vành khuyên thường nằm trong câu hình thực tế (bánh xe, mặt đồng hồ, sân vườn), cần nhớ đúng công thức và đơn vị.
  • •Hay có bài dây và khoảng cách tới tâm: kẻ OH vuông góc với dây rồi dùng Pythagore.
  • •Tam giác vuông nội tiếp đường tròn có cạnh huyền là đường kính là kết quả hay dùng ở câu hình học chứng minh.
Có đề cô giao? Tải lên để làm thử
Chủ điểm tiếp theo
8. Vị trí tương đối với đường tròn, tiếp tuyến