Vị trí tương đối với đường tròn, tiếp tuyến
Xét được vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, của hai đường tròn bằng cách so khoảng cách, và dùng tính chất tiếp tuyến để tính độ dài.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 16, Bài 17
⚡ Nhớ nhanh
- 1Đường thẳng cách tâm O một khoảng d, đường tròn bán kính R: d < R ⇒ cắt (2 điểm) · d = R ⇒ tiếp xúc (1 điểm) · d > R ⇒ không giao.
- 2Khi cắt, dây AB = 2√(R² − d²). Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
- 3Hai tiếp tuyến cắt nhau tại M thì MA = MB và MO là phân giác góc AMB.
- 4Hai đường tròn (O; R), (O'; r), d = OO': so d với R + r và |R − r| ⇒ có đúng 5 trường hợp.
- 5Làm bài luôn tính hai mốc R + r và |R − r| trước, rồi xem d rơi vào chặng nào.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo đường thẳng (hoặc đường tròn nhỏ) và xem d so với R, R + r, |R − r| thay đổi kết luận thế nào.
Kéo đường thẳng đỏ sang trái / phải để đổi d.
d = 2 · R = 3
2 < 3, tức d < R ⇒ đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm. Dây AB = 2√(3² − 2²) = 2√5 ≈ 4,47.
1 📏 Đường thẳng và đường tròn
Cần nhớ
- ✦d là khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng, tức đoạn vuông góc. Lấy một điểm bất kì của đường thẳng thì được số lớn hơn.
- ✦Chỉ có ba vị trí: 2, 1 hoặc 0 điểm chung. Không bao giờ có 3 điểm chung.
- ✦Đường thẳng qua tâm (d = 0) vẫn là cắt, dây lúc đó là đường kính: AB = 2R.
- ✦Công thức dây tự nói ba trường hợp: d < R thì √(R² − d²) có nghĩa (có dây), d = R thì bằng 0 (dây co thành điểm), d > R thì dưới căn âm (không có dây).
So d với R
| So sánh | Vị trí | Số điểm chung |
|---|---|---|
| d < R | Cắt nhau | 2 |
| d = R | Tiếp xúc | 1 |
| d > R | Không giao nhau | 0 |
Dạng bài
Xét vị trí và tính dây
- 1 Xác định d (khoảng cách vuông góc từ O tới đường thẳng) và R.
- 2 So d với R để kết luận vị trí.
- 3 Nếu cắt: hạ OH vuông góc với dây, H là trung điểm. Tính HA = √(R² − d²) rồi AB = 2·HA.
- 4 Thử lại bằng Pythagore: HA² + d² phải bằng R².
⚠️ Bẫy hay gặp: HA = 15 mới là nửa dây. Quên nhân đôi thì ra AB = 15, sai; đúng là AB = 2·15 = 30.
Đường thẳng a cách tâm O của (O; 17) một khoảng 8. Xét vị trí và tính dây nếu có.
Hướng dẫn giải
2 📐 Tiếp tuyến và hai tiếp tuyến cắt nhau
Cần nhớ
- ✦Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm: a tiếp xúc (O) tại T ⇒ OT ⊥ a. Đây là cách tạo ra tam giác vuông.
- ✦Hai tiếp tuyến MA, MB cắt nhau tại M ⇒ MA = MB và MO là phân giác góc AMB. Ví dụ ∠AMB = 60° thì ∠AMO = 30°.
- ✦Điểm M trong đường tròn: 0 tiếp tuyến. M trên đường tròn: 1 tiếp tuyến. M ngoài đường tròn: 2 tiếp tuyến.
Dạng bài
Tính độ dài tiếp tuyến bằng Pythagore
- 1 Nối OA (A là tiếp điểm). Vì OA ⊥ MA nên tam giác MAO vuông tại A.
- 2 Xác định cạnh huyền là MO (đối diện góc vuông), hai cạnh góc vuông là OA = R và MA.
- 3 Áp dụng Pythagore: MA² = MO² − R².
- 4 Thử lại: MA² + R² phải bằng MO².
⚠️ Bẫy hay gặp: MO là cạnh huyền, nên MA = √(25² − 7²) = 24. Không cộng 25 + 7 = 32, cũng không viết √(25² + 7²).
Từ M cách tâm O một khoảng 25 kẻ tiếp tuyến MA tới (O; 7). Tính MA.
Hướng dẫn giải
3 ⭕ Hai đường tròn: năm trường hợp
Cần nhớ
- ✦Đặt d = OO'. Hai mốc cần tính: tổng R + r và hiệu |R − r|.
- ✦Năm trường hợp là năm chặng của một chuyển động: kéo O' từ xa vào gần thì lần lượt ngoài nhau → tiếp xúc ngoài → cắt nhau → tiếp xúc trong → đựng nhau.
- ✦Đúng một điểm chung có hai cách xảy ra: d = R + r (tiếp xúc ngoài) hoặc d = |R − r| (tiếp xúc trong).
Năm trường hợp (d giảm dần)
| Điều kiện | Vị trí | Điểm chung |
|---|---|---|
| d > R + r | Ngoài nhau | 0 |
| d = R + r | Tiếp xúc ngoài | 1 |
| |R − r| < d < R + r | Cắt nhau | 2 |
| d = |R − r| | Tiếp xúc trong | 1 |
| d < |R − r| | Đựng nhau | 0 |
Dạng bài
Xét vị trí hai đường tròn
- 1 Tính R + r và |R − r| trước.
- 2 Đặt d lên trục số có hai mốc đó, xem d rơi vào chặng nào.
- 3 Kết luận vị trí và số điểm chung.
- 4 Thử lại bằng cách so d với từng mốc một lần nữa.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đừng quên tiếp xúc trong và đựng nhau: (O; 5) và (O'; 3) với d = 2 cũng có đúng 1 điểm chung, vì |5 − 3| = 2.
Cho (O; 9) và (O'; 5) với OO' = 11. Xét vị trí tương đối.
Hướng dẫn giải
4 🔗 Dây chung của hai đường tròn cắt nhau
Cần nhớ
- ✦Đường nối tâm OO' là trung trực của dây chung AB: OO' ⊥ AB tại trung điểm H.
- ✦Đặt OH = x thì O'H = d − x. Tính HA² bằng hai tam giác vuông OHA và O'HA.
Dạng bài
Tính dây chung
- 1 OO' ⊥ AB tại H, HA = HB. Đặt OH = x, khi đó O'H = d − x.
- 2 Viết HA² theo hai tam giác vuông: R² − x² = r² − (d − x)².
- 3 Giải phương trình tìm x, rồi HA = √(R² − x²).
- 4 AB = 2·HA. Thử lại bằng tam giác thứ hai.
⚠️ Bẫy hay gặp: O'H = d − x. Với x = 5 thì O'H = 9, không phải 14 và cũng không phải 5.
Hai đường tròn (O; 13) và (O'; 15) cắt nhau tại A, B với OO' = 14. Tính AB.
Hướng dẫn giải
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Đường thẳng và đường tròn
- 1Nhận biết
Đường thẳng cách tâm O của (O; R) một khoảng d. Chúng cắt nhau tại hai điểm khi:
- 2Nhận biết
Một đường thẳng và một đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?
- 3Thông hiểu
Đường tròn (O; 7) và đường thẳng a cách O một khoảng 9. Vị trí tương đối là:
- 4Thông hiểu Đường thẳng cách tâm của (O; 5) một khoảng 3 cắt đường tròn tại A, B. Khi đó AB = .
- 5Vận dụng Đường thẳng cách tâm của (O; 10) một khoảng 6 cắt đường tròn tại A, B. Khi đó AB = .
- 6Vận dụng Đường thẳng cách tâm O một khoảng 5 cắt (O; R) tại A, B với AB = 24. Khi đó R = .
Tiếp tuyến
- 1Nhận biết
Tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm T thì:
- 2Thông hiểu
Từ một điểm nằm bên trong đường tròn kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến?
- 3Thông hiểu Từ M cách tâm O của (O; 5) một khoảng 13, kẻ tiếp tuyến MA. Khi đó MA = .
- 4Thông hiểu
Từ M kẻ tiếp tuyến MA tới (O; 6) với MA = 8. Khi đó MO bằng:
- 5Vận dụng Từ M cách O một khoảng 17, kẻ tiếp tuyến MA = 15 tới (O; R). Khi đó R = .
- 6Vận dụng Hai tiếp tuyến MA, MB của (O) cắt nhau tại M và ∠AMB = 60°. Khi đó ∠AMO = °.
Vị trí hai đường tròn
- 1Nhận biết
Hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài khi:
- 2Thông hiểu
Cho (O; 6) và (O'; 2) với OO' = 8. Hai đường tròn:
- 3Thông hiểu
Cho (O; 7) và (O'; 3) với OO' = 5. Hai đường tròn:
- 4Thông hiểu
Cho (O; 9) và (O'; 4) với OO' = 5. Hai đường tròn:
- 5Thông hiểu
Cho (O; 8) và (O'; 3) với OO' = 4. Hai đường tròn:
- 6Vận dụng
Hai đường tròn (O; 5) và (O'; 3) có đúng một điểm chung khi:
- 7Vận dụng Hai đường tròn (O; 6) và (O'; 4) cắt nhau. Số giá trị nguyên của d = OO' là .
Dây chung
- 1Nhận biết
Hai đường tròn cắt nhau tại A, B. Đường nối tâm OO' là gì của đoạn AB?
- 2Thông hiểu Hai đường tròn (O; 5) và (O'; 5) cắt nhau tại A, B với OO' = 6. Khi đó AB = .
- 3Vận dụng Hai đường tròn (O; 10) và (O'; 17) cắt nhau tại A, B với OO' = 21. Khi đó AB = .
🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?
- •Hay có câu hình có tiếp tuyến: dùng OA ⊥ MA để tính độ dài bằng Pythagore, hoặc chứng minh MA = MB, MO là phân giác.
- •Câu xét vị trí tương đối thường cho số và chỉ cần so d với R, hoặc tính R + r và |R − r| rồi so với d.
- •Trong bài hình tổng hợp, ý đầu thường là chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến: chứng minh nó vuông góc với bán kính tại một điểm thuộc đường tròn.
9. Hàm số y = ax² (a ≠ 0), parabol và đường thẳng