Hàm số y = ax² (a ≠ 0), parabol và đường thẳng
Đọc đồ thị y = ax² theo dấu của a, so sánh giá trị hàm số, tìm a khi biết một điểm, và tìm giao điểm của parabol với đường thẳng.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 18
⚡ Nhớ nhanh
- 1Đồ thị y = ax² (a ≠ 0) là một parabol đỉnh O, đối xứng qua trục Oy, luôn đi qua gốc toạ độ.
- 2a > 0: lõm lên, y ≥ 0, giá trị nhỏ nhất bằng 0. a < 0: lõm xuống, y ≤ 0, giá trị lớn nhất bằng 0.
- 3Hàm không đơn điệu trên cả ℝ: a > 0 thì nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0 (a < 0 thì ngược lại).
- 4|a| càng lớn parabol càng hẹp. Hai giá trị x đối nhau cho cùng một y nên so sánh hãy so |x|.
- 5Parabol cắt đường thẳng: giải phương trình hoành độ ax² = mx + n, rồi thế nghiệm để tìm y.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo a để đổi parabol, bật đường thẳng để thấy số giao điểm. Chạm vào lưới để thử một điểm.
Chạm vào một điểm trên lưới để thử nó có thuộc parabol không.
y = x² (a = 1)
a = 1 > 0 ⇒ parabol lõm lên, O là điểm thấp nhất: y ≥ 0, y nhỏ nhất = 0.
Nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0. |a| = 1 ⇒ cùng độ rộng với y = x².
Đối xứng qua trục Oy: x và −x cho cùng một y.
1 📈 Đồ thị y = ax² và bề lõm
Cần nhớ
- ✦Đồ thị là parabol đỉnh O(0; 0), nhận trục Oy làm trục đối xứng. Ví dụ: (−2; 8) và (2; 8) cùng thuộc y = 2x².
- ✦Dấu của a quyết định bề lõm: a > 0 lõm lên (đỉnh là điểm thấp nhất), a < 0 lõm xuống (đỉnh là điểm cao nhất).
- ✦a > 0 thì y ≥ 0, y nhỏ nhất = 0; a < 0 thì y ≤ 0, y lớn nhất = 0. Chỉ có một trong hai, không có cả hai.
- ✦Độ rộng phụ thuộc |a|, không phụ thuộc a: y = −5x² hẹp hơn y = x² dù −5 < 1.
Đọc nhanh theo dấu của a
| a > 0 | a < 0 | |
|---|---|---|
| Bề lõm | Hướng lên | Hướng xuống |
| Giá trị | y ≥ 0, y min = 0 | y ≤ 0, y max = 0 |
| x < 0 | Nghịch biến | Đồng biến |
| x > 0 | Đồng biến | Nghịch biến |
Dạng bài
Vẽ parabol y = ax²
- 1 Lập bảng giá trị với vài x đối nhau: −2, −1, 0, 1, 2.
- 2 Tính y = ax² cho từng x (x và −x cho cùng y).
- 3 Đánh dấu các điểm trên mặt phẳng toạ độ.
- 4 Nối thành đường cong trơn qua O, rồi kiểm tra đối xứng qua Oy.
⚠️ Bẫy hay gặp: 2·(−2)² = 2·4 = 8, không phải (2·(−2))² = 16 hay −8: bình phương x trước, rồi mới nhân a.
Vẽ đồ thị y = 2x².
Hướng dẫn giải
2 ↕️ Đồng biến, nghịch biến và so sánh giá trị
Cần nhớ
- ✦Với a > 0: nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0. Ví dụ y = x²: x từ −3 lên −1 thì y từ 9 xuống 1.
- ✦Với a < 0 thì ngược lại: đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
- ✦Chỉ so sánh theo chiều biến thiên trong cùng một nửa (cùng dấu). Hai nửa khác nhau thì đưa về cùng nửa nhờ đối xứng, hoặc so |x|.
Dạng bài
So sánh y(x₁) và y(x₂) của y = ax²
- 1 So hai giá trị |x₁| và |x₂| (vì y chỉ phụ thuộc |x|).
- 2 Nhìn dấu của a: a > 0 thì |x| lớn hơn cho y lớn hơn; a < 0 thì |x| lớn hơn cho y nhỏ hơn.
- 3 Kết luận chiều bất đẳng thức.
- 4 Thử lại bằng cách tính trực tiếp hai giá trị.
⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy −3 < 2 rồi kết luận y(−3) < y(2) vì cho rằng hàm đồng biến: sai, hai điểm ở hai nửa khác nhau. Với y = x² thì y(−3) = 9 lớn hơn y(2) = 4.
Cho y = −2x². So sánh y(−3) và y(2).
Hướng dẫn giải
3 🎯 Điểm thuộc parabol và tìm a
Cần nhớ
- ✦Điểm M(x₀; y₀) thuộc đồ thị y = ax² khi y₀ = a·x₀². Ví dụ (1; −2) thuộc y = −2x² vì −2·1 = −2.
- ✦Biết một điểm (khác O) thuộc parabol thì tìm được a = y₀ / x₀².
- ✦Đồ thị y = ax² có a ≠ 0. Gặp tham số m thì a ≠ 0 là điều kiện phải kiểm tra.
Dạng bài
Tìm a khi đồ thị đi qua một điểm
- 1 Thay toạ độ điểm vào y = ax².
- 2 Giải phương trình một ẩn a (nhớ bình phương x₀ trước).
- 3 Kết luận a, viết lại hàm số, nhận xét bề lõm.
- 4 Thử lại bằng cách thay điểm vào hàm vừa tìm.
⚠️ Bẫy hay gặp: Với x₀ = −2 thì x₀² = 4, không phải −4: −12 = 4a ⇒ a = −3, không phải a = 3.
Đồ thị y = ax² đi qua A(−2; −12). Tìm a.
Hướng dẫn giải
4 ✂️ Parabol và đường thẳng
Cần nhớ (phần mở rộng, hay ra thi vào 10)
- ✦Giao điểm của parabol y = ax² và đường thẳng y = mx + n có hoành độ là nghiệm của phương trình ax² = mx + n, tức ax² − mx − n = 0.
- ✦Đặt Δ = m² + 4an (biệt thức của phương trình trên, sẽ học kĩ ở chủ điểm 10). Số giao điểm bằng số nghiệm.
- ✦Có nghiệm x thì tung độ y = mx + n (hoặc y = ax², hai cách phải ra cùng một số).
Số giao điểm theo Δ
| Δ | Số nghiệm | Parabol và đường thẳng |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 nghiệm phân biệt | Cắt nhau tại 2 điểm |
| Δ = 0 | Nghiệm kép | Tiếp xúc (1 điểm chung) |
| Δ < 0 | Vô nghiệm | Không có điểm chung |
Dạng bài
Tìm giao điểm của parabol và đường thẳng
- 1 Lập phương trình hoành độ: cho ax² = mx + n, chuyển vế về dạng ax² − mx − n = 0.
- 2 Tính Δ rồi giải: nghiệm x = (m ± √Δ) / (2a).
- 3 Thế từng x vào đường thẳng để tìm y.
- 4 Thử lại: toạ độ mỗi điểm phải thoả cả parabol lẫn đường thẳng.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chuyển vế đổi dấu: x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0, không phải x² + x − 2 = 0 (cái đó cho nghiệm 1 và −2, sai).
Tìm giao điểm của y = x² và y = x + 2.
Hướng dẫn giải
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Đồ thị và bề lõm
- 1Nhận biết
Đồ thị hàm số y = −3x² có bề lõm hướng:
- 2Nhận biết
Trục đối xứng của parabol y = ax² là:
- 3Thông hiểu
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x² bằng:
- 4Thông hiểu Điểm (−2; y) thuộc đồ thị y = 3x² khi y = .
- 5Thông hiểu
Parabol nào dưới đây hẹp nhất?
Đồng biến, nghịch biến, so sánh
- 1Nhận biết
Hàm số y = 2x² đồng biến khi:
- 2Thông hiểu
Hàm số y = −4x² nghịch biến khi:
- 3Thông hiểu
Với y = x², so sánh y(−3) và y(2):
- 4Vận dụng
Cho y = ax² với a < 0 và hai số x₁, x₂ khác 0 có |x₁| < |x₂|. Khi đó:
Điểm thuộc parabol, tìm a
- 1Thông hiểu Đồ thị y = ax² đi qua A(2; 12) ⇒ a = .
- 2Thông hiểu Đồ thị y = ax² đi qua B(−3; −18) ⇒ a = .
- 3Thông hiểu
Điểm nào thuộc đồ thị y = −2x²?
- 4Vận dụng Đồ thị y = (m − 1)x² đi qua M(2; 8) khi m = .
- 5Vận dụng
Đồ thị hàm số y = (m − 2)x² là parabol lõm xuống khi:
Parabol và đường thẳng
- 1Nhận biết
Phương trình hoành độ giao điểm của y = x² và y = 2x + 3 là:
- 2Nhận biết
Parabol y = x² và đường thẳng y = −4 có bao nhiêu điểm chung?
- 3Thông hiểu Phương trình x² − 2x − 3 = 0 có Δ = .
- 4Thông hiểu Parabol y = x² cắt đường thẳng y = 2x + 3 tại hai điểm, hoành độ nhỏ hơn là , hoành độ lớn hơn là .
- 5Thông hiểu
Parabol y = x² và đường thẳng y = 2x − 1 có bao nhiêu điểm chung?
- 6Vận dụng Đường thẳng y = 4x + n tiếp xúc parabol y = x² khi n = .
- 7Vận dụng Đường thẳng y = 2x + n cắt parabol y = x² tại hai điểm phân biệt khi n > .
- 8Vận dụng Parabol y = −x² cắt đường thẳng y = 2x − 3 tại điểm có hoành độ dương là (x; y) = (; ).
🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?
- •Câu hàm số ở đề vào 10 hay cho parabol (P): y = ax² và đường thẳng (d), hỏi toạ độ giao điểm: lập phương trình hoành độ rồi thế nghiệm tìm y.
- •Thường có thêm ý tham số m: tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc, hoặc không cắt, dựa vào dấu của Δ.
- •Ý vẽ đồ thị thường yêu cầu bảng giá trị với các x đối nhau: dùng tính đối xứng để vẽ nhanh và đúng.
10. Phương trình bậc hai một ẩn, biệt thức Δ