Phương trình bậc hai một ẩn, biệt thức Δ
Tính biệt thức Δ để biết phương trình bậc hai có 2 nghiệm, nghiệm kép hay vô nghiệm, giải bằng công thức nghiệm, và tìm m để phương trình có số nghiệm cho trước.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 19
⚡ Nhớ nhanh
- 1Dạng chuẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Phải đưa về dạng này trước khi làm gì khác.
- 2Biệt thức Δ = b² − 4ac. Khi b chẵn (b = 2b′) có thể dùng Δ′ = b′² − ac, cùng dấu với Δ.
- 3Δ > 0: 2 nghiệm phân biệt · Δ = 0: nghiệm kép · Δ < 0: vô nghiệm. Đó cũng là số giao điểm của parabol với trục Ox.
- 4Công thức nghiệm khi Δ ≥ 0: x = (−b ± √Δ) / 2a. Nghiệm kép: x = −b / 2a.
- 5Trước khi tính Δ, thử nhẩm: a + b + c = 0 hoặc a − b + c = 0, khuyết b, khuyết c.
- 6Bài có tham số m: luôn kiểm a ≠ 0 trước, rồi mới xét Δ.
👀 Nhìn là hiểu
Đổi a, b, c và xem parabol cắt, chạm hay lơ lửng so với trục Ox, khi Δ đổi dấu.
Chạm vào hình để thử một giá trị x.
y = x² − 2x − 3
Phương trình x² − 2x − 3 = 0
Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4·1·(−3) = 16
Δ' = b'² − ac = (−1)² − 1·(−3) = 4 (b chẵn, cùng dấu với Δ)
Δ > 0: parabol cắt trục Ox tại hai điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ = −1, x₂ = 3.
Chấm tím là đỉnh parabol: x = −b/(2a), y = −Δ/(4a) = −4.
1 🧮 Công thức nghiệm
Cần nhớ
- ✦Dạng chuẩn ax² + bx + c = 0, a ≠ 0. Ví dụ: 2x² − 3x − 2 = 0 có a = 2, b = −3, c = −2 (mang theo cả dấu).
- ✦Δ = b² − 4ac, dấu trừ. Với c âm thì −4ac thành cộng: x² − 2x − 3 = 0 có Δ = 4 + 12 = 16.
- ✦Δ ≥ 0 thì x = (−b ± √Δ) / 2a. Mẫu là 2a, không phải a.
- ✦b chẵn thì dùng Δ′ = b′² − ac với b′ = b/2, nghiệm x = (−b′ ± √Δ′) / a. Số nhỏ hơn nên đỡ nhầm.
Dạng bài
Giải bằng công thức nghiệm
- 1 Đưa về dạng chuẩn ax² + bx + c = 0, ghi rõ a, b, c kèm dấu.
- 2 Tính Δ = b² − 4ac (đặt số âm trong ngoặc).
- 3 Xét dấu Δ: âm thì kết luận vô nghiệm; không âm thì thay vào công thức nghiệm.
- 4 Kết luận và thử lại nghiệm vào phương trình.
⚠️ Bẫy hay gặp: c = −2 nên −4ac = −4·2·(−2) = +16. Viết Δ = 9 − 16 = −7 rồi kết luận vô nghiệm là sai cả bài.
Giải phương trình 2x² − 3x − 2 = 0
Hướng dẫn giải
2 📈 Δ và số nghiệm, tìm m
Dấu của Δ và hình parabol (kéo ở hình phía trên để thấy)
| Δ | Số nghiệm | Parabol so với trục Ox |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Hai nghiệm phân biệt | Cắt tại hai điểm |
| Δ = 0 | Nghiệm kép x = −b / 2a | Tiếp xúc, chạm một điểm |
| Δ < 0 | Vô nghiệm | Không chạm trục Ox |
Dạng bài
Tìm m để phương trình có số nghiệm cho trước
- 1 Kiểm a ≠ 0 (nếu a chứa m thì xét riêng a = 0 ở phần sau).
- 2 Tính Δ (hoặc Δ′ nếu b chẵn), có chứa m.
- 3 Lập điều kiện: hai nghiệm phân biệt Δ > 0; nghiệm kép Δ = 0; vô nghiệm Δ < 0; có nghiệm Δ ≥ 0.
- 4 Giải bất phương trình / phương trình theo m, rồi thử lại bằng một giá trị m.
⚠️ Bẫy hay gặp: "Hai nghiệm phân biệt" là Δ > 0, không phải Δ ≥ 0. Dùng Δ ≥ 0 thì lấy thừa m = 1, khi đó phương trình chỉ có nghiệm kép x = 1.
Tìm m để x² − 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
3 ⚡ Nhẩm nghiệm, không cần Δ
Bốn trường hợp giải nhanh
- ✦Khuyết c (ax² + bx = 0): đặt nhân tử chung, x(ax + b) = 0. Ví dụ 3x² − 12x = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 4.
- ✦Khuyết b (ax² + c = 0): chuyển vế rồi khai căn. Ví dụ 2x² − 18 = 0 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3.
- ✦a + b + c = 0 ⇒ x₁ = 1, x₂ = c/a. Ví dụ 5x² − 7x + 2 = 0 (5 − 7 + 2 = 0) ⇒ x = 1 hoặc x = 25.
- ✦a − b + c = 0 ⇒ x₁ = −1, x₂ = −c/a. Ví dụ 2x² + 5x + 3 = 0 (2 − 5 + 3 = 0) ⇒ x = −1 hoặc x = −32.
Dạng bài
Nhẩm trước khi tính Δ
- 1 Nhìn xem phương trình có khuyết b hoặc khuyết c không.
- 2 Tính nhanh a + b + c và a − b + c.
- 3 Trúng một trường hợp thì viết luôn hai nghiệm; không trúng mới tính Δ.
- 4 Thử lại một nghiệm vào phương trình.
⚠️ Bẫy hay gặp: Với a + b + c = 0, nghiệm thứ hai là c/a = 23, không phải −c/a = −23. Dấu trừ chỉ có ở trường hợp a − b + c = 0.
Giải phương trình 3x² − 5x + 2 = 0
Hướng dẫn giải
4 🎯 Hệ số a chứa tham số m
Dạng bài
Phương trình (m − k)x² + … có a chứa m
- 1 Xét a = 0 trước: phương trình thành bậc nhất, giải xem có mấy nghiệm.
- 2 Xét a ≠ 0: tính Δ theo m, lập điều kiện về số nghiệm.
- 3 Gộp kết quả hai trường hợp, loại giá trị m làm a = 0 nếu điều kiện đòi bậc hai.
- 4 Thử lại từng giá trị m tìm được.
⚠️ Bẫy hay gặp: Quên xét a = 0 là lỗi kinh điển: chỉ lấy m = 3 thì mất đáp án m = 2, khi đó phương trình bậc nhất −2x + 1 = 0 vẫn có đúng một nghiệm.
Tìm m để (m − 2)x² − 2x + 1 = 0 có đúng một nghiệm.
Hướng dẫn giải
🧮 Máy tính cầm tay
- ✦Chọn chế độ giải phương trình bậc hai (Equation, bậc 2), nhập a, b, c rồi bấm = để xem x₁, x₂.
- ✦Máy dùng để thử lại. Bài tự luận vẫn phải trình bày Δ và công thức nghiệm.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Tính biệt thức Δ
- 1Nhận biết
Biệt thức Δ của phương trình 3x² − 4x + 1 = 0 bằng:
- 2Thông hiểu Biệt thức Δ của x² − 2x − 3 = 0 bằng .
- 3Thông hiểu Biệt thức Δ của 2x² + 5x − 3 = 0 bằng .
- 4Thông hiểu Phương trình 3x² − 8x + 5 = 0 có b′ = −4, nên Δ′ = b′² − ac = .
Δ và số nghiệm
- 1Nhận biết
Phương trình bậc hai có Δ < 0 thì:
- 2Nhận biết
Parabol tiếp xúc với trục Ox (chạm đúng một điểm) khi:
- 3Thông hiểu
Phương trình x² + 2x + 3 = 0 có:
- 4Thông hiểu
Phương trình 2x² − 5x + 2 = 0 có:
- 5Thông hiểu
Phương trình x² − 6x + 9 = 0 có:
- 6Vận dụng
Với mọi giá trị của m, phương trình x² + mx − 1 = 0:
Giải bằng công thức nghiệm
- 1Thông hiểu Giải x² − 5x + 6 = 0: nghiệm nhỏ x₁ = , nghiệm lớn x₂ = .
- 2Thông hiểu Giải x² + 2x − 8 = 0: nghiệm nhỏ x₁ = , nghiệm lớn x₂ = .
- 3Thông hiểu
Nghiệm của 2x² − 7x + 3 = 0 là:
- 4Vận dụng Giải x² + 3x = 2x + 6: đưa về x² + x − 6 = 0, nghiệm nhỏ x₁ = , nghiệm lớn x₂ = .
Nhẩm nghiệm nhanh
- 1Nhận biết
Phương trình nào có nghiệm x = 1 (nhìn a + b + c = 0)?
- 2Thông hiểu Phương trình 3x² − 12x = 0 có hai nghiệm x = 0 và x = .
- 3Thông hiểu Nghiệm dương của 2x² − 18 = 0 là x = .
- 4Thông hiểu Phương trình 5x² − 7x + 2 = 0 có a + b + c = 0, nên x₁ = 1 và x₂ = .
- 5Thông hiểu
Phương trình 2x² + 5x + 3 = 0 có a − b + c = 0, nên hai nghiệm là:
Tìm m
- 1Thông hiểu x² − 6x + m = 0 có nghiệm kép khi m = .
- 2Vận dụng x² + 4x + m − 1 = 0 vô nghiệm khi m > .
- 3Vận dụng x² − 2mx + 2m − 1 = 0 có Δ′ = (m − 1)² nên luôn có nghiệm; nó có nghiệm kép khi m = .
- 4Vận dụng
(m − 1)x² − 2x + 1 = 0 có đúng một nghiệm khi:
🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?
- •Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm hay nhẩm a + b + c = 0 là ý quen thuộc, thường 0,5–1 điểm ở câu Đại số.
- •Hay có bài tham số m: tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép hoặc vô nghiệm. Chú ý đề hỏi "có nghiệm" (Δ ≥ 0) hay "hai nghiệm phân biệt" (Δ > 0).
- •Δ là bước mở đầu của định lí Viète (chủ điểm 11) và của bài giải toán bằng cách lập phương trình (chủ điểm 12).
11. Định lí Viète và bài toán tham số m