Định lí Viète và bài toán tham số m
Tính tổng và tích hai nghiệm mà không giải phương trình, tìm hai số khi biết tổng và tích, và xét dấu hai nghiệm theo tham số m.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 20
⚡ Nhớ nhanh
- 1Nếu ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thì x₁ + x₂ = −b/a và x₁·x₂ = c/a. Chú ý dấu trừ ở tổng.
- 2Chỉ dùng được khi phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0). Vô nghiệm thì không có x₁, x₂ nào để cộng hay nhân.
- 3Biết tổng S và tích P: hai số là nghiệm của X² − SX + P = 0 (cần S² ≥ 4P).
- 4Xét dấu: P < 0 ⇒ trái dấu (khỏi kiểm Δ). Cùng dấu thì bắt buộc Δ ≥ 0 và P > 0, rồi nhìn S để biết cùng dương hay cùng âm.
- 5Biểu thức đối xứng đưa về S, P: x₁² + x₂² = S² − 2P.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo m, hai nghiệm chạy trên trục số còn tổng và tích luôn khớp −b/a và c/a. Kéo tới khi hết nghiệm để thấy Viète dùng không được.
Kéo m bên dưới và nhìn hai nghiệm chạy trên trục số.
x² − 2(m − 1)x + m² − 3 = 0, với m = 0
Thay m: x² + 2x − 3 = 0 · a = 1, b = 2, c = −3
Δ = b² − 4ac = 4 − 4·(−3) = 16 > 0
x₁ + x₂ = −2 · −b/a = −2 ✓ bằng nhau
x₁·x₂ = −3 · c/a = −3 ✓ bằng nhau
P = −3 < 0 ⇒ hai nghiệm trái dấu (không cần tính Δ vẫn biết).
1 ➕ Hệ thức Viète: tổng và tích hai nghiệm
Cần nhớ
- ✦ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a. Ví dụ: x² − 5x + 6 = 0 có tổng 5, tích 6 (nghiệm 2 và 3).
- ✦Kiểm Δ ≥ 0 trước. x² + x + 1 = 0 có Δ = 1 − 4 = −3 < 0, viết "tổng bằng −1" là vô nghĩa vì phương trình không có nghiệm.
- ✦Điểm mạnh: dùng được cả khi nghiệm xấu. x² − 5x + 3 = 0 có nghiệm đầy căn nhưng tổng vẫn là 5, tích vẫn là 3.
Dạng bài
Tính tổng, tích hai nghiệm mà không giải
- 1 Xác định a, b, c.
- 2 Tính Δ = b² − 4ac và kiểm Δ ≥ 0.
- 3 Viết S = −b/a, P = c/a.
- 4 Thử lại bằng cách giải thật (nếu nghiệm đẹp) hoặc thay vào biểu thức đối chiếu.
⚠️ Bẫy hay gặp: Tổng là −b/a, không phải b/a. Với x² − 7x + 12 = 0 thì b/a = −7 nhưng tổng hai nghiệm là +7.
Không giải phương trình x² − 7x + 12 = 0, tính tổng và tích hai nghiệm.
Hướng dẫn giải
2 🔎 Tìm hai số khi biết tổng và tích
Cần nhớ
- ✦Hai số có tổng S và tích P là hai nghiệm của X² − SX + P = 0. Ví dụ S = 5, P = 6 ⇒ X² − 5X + 6 = 0.
- ✦Có hai số như vậy khi và chỉ khi S² − 4P ≥ 0 (chính là Δ của phương trình trên).
Dạng bài
Tìm hai số biết S và P
- 1 Tính S² − 4P, phải ≥ 0 (nếu âm thì không có hai số như vậy).
- 2 Lập phương trình X² − SX + P = 0.
- 3 Giải phương trình, hai nghiệm chính là hai số cần tìm.
- 4 Thử lại tổng và tích.
⚠️ Bẫy hay gặp: Dấu trừ trước S: tổng 5, tích 6 lập X² − 5X + 6 = 0. Viết X² + 5X + 6 = 0 thì ra hai số −2 và −3, tổng −5.
Tìm hai số có tổng 9 và tích 20.
Hướng dẫn giải
3 ± Xét dấu hai nghiệm, tìm m
Nhìn P trước, rồi S
| Điều kiện | Hai nghiệm | Cần kiểm Δ? |
|---|---|---|
| P < 0 | Trái dấu | Không, tự có Δ > 0 |
| Δ ≥ 0, P > 0, S > 0 | Cùng dương | Có |
| Δ ≥ 0, P > 0, S < 0 | Cùng âm | Có |
| P = 0 | Có một nghiệm bằng 0 | Nghiệm kia là −b/a |
Cần nhớ
- ✦Trái dấu chỉ cần ac < 0: khi đó −4ac > 0 nên Δ chắc chắn dương. Ví dụ x² − 2x + m − 1 = 0 trái dấu khi P = m − 1 < 0, tức m < 1 (m = 0 cho x² − 2x − 1 = 0, P = −1 ✓).
- ✦Cùng dấu thì Δ có thể âm, lúc đó phương trình vô nghiệm và chẳng có nghiệm nào để nói về dấu.
Dạng bài
Tìm m để hai nghiệm cùng dấu
- 1 Viết Δ, S, P theo m.
- 2 Cùng dấu: Δ ≥ 0 và P > 0. Cùng dương thêm S > 0, cùng âm thêm S < 0.
- 3 Giải từng bất phương trình rồi lấy phần chung.
- 4 Thử lại bằng một giá trị m trong khoảng và một giá trị ngoài khoảng.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ lấy P = m > 0 là thiếu: m = 10 vẫn có P > 0 nhưng Δ = −24 < 0, phương trình vô nghiệm.
Tìm m để x² − 4x + m = 0 có hai nghiệm cùng dương.
Hướng dẫn giải
4 🔁 Biểu thức đối xứng
Cần nhớ
- ✦Biểu thức đối xứng (đổi chỗ x₁, x₂ không đổi giá trị) đưa được về S và P, khỏi cần biết nghiệm.
- ✦x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = S² − 2P. Ví dụ x² − 5x + 6 = 0: 25 − 12 = 13 (nghiệm 2, 3: 4 + 9 = 13 ✓).
Dạng bài
Tìm m theo biểu thức của hai nghiệm
- 1 Tìm điều kiện Δ ≥ 0 để phương trình có nghiệm.
- 2 Viết S, P theo m, rồi đưa biểu thức đề cho về S và P.
- 3 Giải phương trình theo m.
- 4 Đối chiếu điều kiện Δ, giá trị nào vi phạm thì loại; thử lại bằng nghiệm thật.
⚠️ Bẫy hay gặp: x₁² + x₂² không bằng S². Với x² − 5x + 6 = 0, S² = 25 nhưng x₁² + x₂² = 13 (thiếu −2P = −12).
Tìm m để x² − 2x + m − 1 = 0 có hai nghiệm thoả x₁² + x₂² = 6.
Hướng dẫn giải
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Tổng và tích hai nghiệm
- 1Nhận biết
Hệ thức Viète đúng với phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ là:
- 2Nhận biết
Phương trình x² − 9x + 14 = 0 (Δ = 81 − 56 = 25 > 0) có tổng hai nghiệm bằng:
- 3Thông hiểu Phương trình 2x² − 10x + 8 = 0 có Δ = 36 > 0. Khi đó x₁ + x₂ = và x₁x₂ = .
- 4Thông hiểu Phương trình x² + 6x − 16 = 0 có Δ = 100 > 0. Khi đó x₁ + x₂ = và x₁x₂ = .
- 5Thông hiểu
Phương trình nào KHÔNG được dùng hệ thức Viète để tính tổng hai nghiệm?
- 6Vận dụng Phương trình x² − 7x + m = 0 có một nghiệm bằng 3. Nghiệm còn lại là và m = .
Tìm hai số biết tổng và tích
- 1Nhận biết
Hai số có tổng 7 và tích 10 là nghiệm của phương trình:
- 2Thông hiểu Hai số có tổng 8 và tích 15: số nhỏ là , số lớn là .
- 3Thông hiểu Hai số có tổng −1 và tích −12: số âm là , số dương là .
- 4Vận dụng
Có hai số thực nào có tổng 4 và tích 5 không?
Xét dấu hai nghiệm, tìm m
- 1Nhận biết
Phương trình x² + 2x − 15 = 0 có hai nghiệm:
- 2Nhận biết
Điều kiện nào đủ để kết luận hai nghiệm trái dấu mà không cần kiểm Δ?
- 3Thông hiểu
Phương trình x² − 8x + 15 = 0 có hai nghiệm:
- 4Thông hiểu
Phương trình x² + 7x + 10 = 0 có hai nghiệm:
- 5Thông hiểu Phương trình x² − 2x + m − 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi m < .
- 6Vận dụng Phương trình x² − 6x + m = 0 có hai nghiệm dương phân biệt khi 0 < m < .
- 7Vận dụng
Phương trình x² + 2x + m = 0 có hai nghiệm cùng âm khi:
Biểu thức đối xứng
- 1Thông hiểu Phương trình x² − 6x + 4 = 0 có Δ = 20 > 0. Khi đó x₁² + x₂² = .
- 2Thông hiểu
Phương trình x² + 3x − 4 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Giá trị x₁² + x₂² bằng:
- 3Vận dụng Phương trình x² − 4x + m + 1 = 0 có hai nghiệm thoả x₁² + x₂² = 10 khi m = .
- 4Vận dụng
Có giá trị m nào để x² − 6x + m = 0 có hai nghiệm thoả x₁² + x₂² = 12 không?
🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?
- •Định lí Viète thường nằm ở câu Đại số cùng phương trình bậc hai chứa tham số m: tìm m để có hai nghiệm thoả một điều kiện, thường 0,5–1 điểm.
- •Điều kiện hay có: hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, hoặc một biểu thức đối xứng như x₁² + x₂² = k.
- •Bước Δ ≥ 0 (hoặc Δ > 0 nếu đề nói "phân biệt") hay bị bỏ sót và thường mất điểm ở chính chỗ này.
12. Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình