Tất cảMầm nonTiểu họcTHCSTHPT
Toán lớp 9
Chủ điểm 12 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi vào 10

Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Dịch một bài toán có lời văn thành phương trình hoặc hệ phương trình, giải ra rồi loại nghiệm không hợp điều kiện trước khi kết luận.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 3, Bài 21

⚡ Nhớ nhanh

  • 1Ba bước: ① lập (chọn ẩn + điều kiện, biểu thị các đại lượng, lập PT/hệ) → ② giải → ③ trả lời.
  • 2Bước ③ không bỏ được: nghiệm của PT chưa chắc là nghiệm của bài toán. Vận tốc phải dương, số người phải là số tự nhiên, ngược dòng thì x > vận tốc dòng nước.
  • 3Hai ẩn thì lập hệ (SGK Bài 3), một ẩn mà ra bậc hai thì lập PT bậc hai (SGK Bài 21).
  • 4Làm xong một mình trong x ngày ⇒ mỗi ngày làm được 1/x công việc. Làm chung thì cộng các 1/x, không cộng x.
  • 5Đổi đơn vị trước khi lập PT: 30 phút = 0,5 giờ, 1 giờ 20 phút = 43 giờ. Cuối cùng thử lại với đề bài gốc.

👀 Nhìn là hiểu

Chọn ẩn x rồi kéo: bảng dịch đề cho số thật, hai vế phương trình chạy tới khi bằng nhau. Kéo x ra ngoài điều kiện để thấy vì sao phải loại nghiệm.

Sân bóng hình chữ nhật có chiều rộng nhỏ hơn chiều dài 30 m, diện tích 1 800 m². Gọi x là chiều rộng.

Đại lượng Theo x Giá trị Chiều rộng x 20 mChiều dài (hơn 30 m) x + 30 50 m

Diện tích

Vế trái
1 000
Vế phải
1 800

x(x + 30) = 1 800

Chọn ẩn: x (m) = chiều rộng

Điều kiện x > 0 ✓

x = 20 m

Thử nhanh:

Vế trái còn nhỏ hơn vế phải → tăng x.

1 🪜 Ba bước chung và bài toán tìm số

Cần nhớ

  • ✦Bước ① Lập: gọi ẩn bằng chữ kèm đơn vị, ghi điều kiện, rồi biểu thị các đại lượng khác theo ẩn. Ví dụ: "Gọi x (km/h) là vận tốc thực, x > 3".
  • ✦Bước ② Giải phương trình hay hệ vừa lập bằng kĩ năng đã học (thế, cộng, công thức nghiệm).
  • ✦Bước ③ Trả lời: đối chiếu từng nghiệm với điều kiện của ẩn, loại nghiệm không thoả, rồi kết luận bằng câu có đơn vị.
  • ✦Hai ẩn thì cần hai phương trình độc lập. Một ẩn thì một phương trình là đủ.

Điều kiện của ẩn hay gặp

Đại lượngĐiều kiện
Vận tốc, thời gian, số ngày làm việcx > 0
Số người, số sản phẩm, số tự nhiênx ∈ ℕ, x > 0
Chữ số hàng chục a, hàng đơn vị b1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, a, b ∈ ℕ
Ca nô, tàu ngược dòng (dòng nước 3 km/h)x > 3 (x = 3 thì đứng yên)
Phép chia có dư rsố chia lớn hơn r

Dạng bài

Tìm số bằng hệ phương trình

  1. 1 Gọi hai số là x, y; ghi điều kiện (số tự nhiên, số dư nhỏ hơn số chia…).
  2. 2 Dịch từng câu của đề thành một phương trình: "tổng là…", "thương là… dư…".
  3. 3 Giải hệ (thế hoặc cộng).
  4. 4 Đối chiếu điều kiện rồi thử lại vào đề.

⚠️ Bẫy hay gặp: Số có hai chữ số ab = 10a + b, không phải a + b: số 36 = 10·3 + 6. Đổi chỗ hai chữ số được 10b + a = 63.

🔢
Làm mẫu

Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 100, biết số lớn chia số nhỏ được thương 3 và dư 4.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🚗 Chuyển động: gặp nhau, xuôi và ngược dòng

Cần nhớ

  • ✦Quãng đường = vận tốc · thời gian. Hai xe ngược chiều gặp nhau thì tổng quãng đường hai xe đã đi bằng khoảng cách ban đầu.
  • ✦Xe xuất phát sau t giờ thì khi gặp nhau nó đi ít hơn t giờ: đi 2,5 giờ và xuất phát sau 30 phút ⇒ xe kia đi 2,5 − 0,5 = 2 giờ.
  • ✦Xuôi dòng: x + vₙ. Ngược dòng: x − vₙ (phải có x > vₙ). Thời gian = quãng đường chia vận tốc.
  • ✦Đổi phút ra giờ trước khi lập: 30 phút = 0,5 giờ; 1 giờ 20 phút = 1 + 2060 = 43 giờ.

Dạng bài

Hai xe ngược chiều gặp nhau (lập hệ)

  1. 1 Gọi vận tốc hai xe là x, y (km/h), x, y > 0. Tính thời gian mỗi xe đã đi.
  2. 2 Lập hệ: một phương trình về hiệu/tỉ lệ vận tốc, một phương trình về tổng quãng đường.
  3. 3 Giải hệ.
  4. 4 Kiểm tra điều kiện, thử lại với quãng đường.

⚠️ Bẫy hay gặp: Xe 2 xuất phát sau 30 phút nên đi 2,5 − 0,5 = 2 giờ. Viết 2,5 − 30 hay quên trừ đều ra phương trình sai.

🚗
Làm mẫu

A và B cách nhau 205 km. Xe 1 đi từ A; 30 phút sau xe 2 đi từ B ngược chiều. Hai xe gặp nhau khi xe 1 đã đi 2,5 giờ. Xe 1 nhanh hơn xe 2 là 10 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Xuôi dòng – ngược dòng (lập PT bậc hai)

  1. 1 Gọi x (km/h) là vận tốc thực, điều kiện x > vận tốc dòng nước.
  2. 2 Thời gian xuôi s/(x + vₙ), ngược s/(x − vₙ); lập PT theo tổng thời gian (đã trừ thời gian nghỉ).
  3. 3 Nhân hai vế với (x + vₙ)(x − vₙ), đưa về PT bậc hai, giải bằng Δ′.
  4. 4 Loại nghiệm không thoả điều kiện, rồi thử lại.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nghiệm −0,4 đúng với PT nhưng không đúng với bài toán: vận tốc không âm, và còn phải lớn hơn 2. Quên Bước ③ là mất điểm.

🚤
Làm mẫu

Ca nô chạy xuôi dòng 24 km rồi ngược dòng 24 km trên cùng khúc sông, tổng cộng 5 giờ (không nghỉ). Dòng nước 2 km/h. Tìm vận tốc thực của ca nô.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🛠️ Làm chung – làm riêng

Cần nhớ

  • ✦Coi cả công việc là 1. Làm một mình xong trong x giờ ⇒ mỗi giờ làm được 1/x, sau t giờ làm được t/x. Ví dụ: x = 20 ⇒ mỗi giờ 120, 6 giờ được 620.
  • ✦Làm chung thì cộng năng suất: 1/x + 1/y. Hai người làm chung xong trong 12 giờ ⇒ 1/x + 1/y = 112.
  • ✦Hệ có 1/x, 1/y thì đặt ẩn phụ u = 1/x, v = 1/y để thành hệ bậc nhất quen thuộc. Giải xong nhớ đổi ngược: x = 1/u.

Dạng bài

Làm chung – làm riêng bằng ẩn phụ

  1. 1 Gọi x, y là thời gian mỗi người (đội, vòi) làm một mình xong, x, y > 0. Mỗi đơn vị thời gian làm được 1/x và 1/y.
  2. 2 Dịch từng điều kiện thành "phần việc": chung → 1/x + 1/y; làm riêng t giờ → t/x.
  3. 3 Đặt u = 1/x, v = 1/y, giải hệ bậc nhất, rồi suy ra x = 1/u, y = 1/v.
  4. 4 Thử lại từng điều kiện bằng phần việc.

⚠️ Bẫy hay gặp: Hai người làm chung không phải x + y giờ, và 120 + 130 = 112 chứ không phải 150. Phải quy đồng: 360 + 260 = 560 = 112.

🛠️
Làm mẫu

Hai người làm chung thì 12 giờ xong việc. Nếu người I làm 6 giờ và người II làm 3 giờ thì được 25 công việc. Hỏi mỗi người làm một mình xong trong bao lâu?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!
⏱ Đặt ẩn là thời gian

Gọi x là số giờ / ngày làm một mình. Trả lời được ngay, nhưng PT có 1/x nên phải đặt ẩn phụ để giải.

📦 Đặt ẩn là năng suất

Gọi u là phần việc mỗi giờ. Hệ bậc nhất gọn, nhưng cuối cùng phải đổi x = 1/u mới trả lời.

4 📈 Năng suất và phần trăm

Cần nhớ

  • ✦Vượt mức p% so với x nghĩa là được x·(1 + p/100). Vượt 15% so với x là 1,15x; 10% là 1,1x.
  • ✦Giảm p% thì nhân (1 − p/100): giảm 20% so với x là 0,8x.
  • ✦Gọi ẩn là số của năm ngoái (mốc để so sánh), rồi biểu thị năm nay qua nó.

Dạng bài

Phần trăm vượt mức (lập hệ)

  1. 1 Gọi x, y là số năm ngoái của hai đơn vị (x, y > 0).
  2. 2 Một phương trình cho tổng năm ngoái, một phương trình cho tổng năm nay (nhân hệ số 1,1; 1,2…).
  3. 3 Giải hệ, rồi tính số năm nay nếu đề hỏi.
  4. 4 Thử lại cả hai tổng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Vượt 10% so với 500 tấn là 500 + 0,1·500 = 550, không phải 500 + 10 = 510 và cũng không phải 0,1·500 = 50.

🌾
Làm mẫu

Năm ngoái hai đơn vị thu hoạch tổng cộng 800 tấn thóc. Năm nay đơn vị I vượt 10%, đơn vị II vượt 20% nên cả hai thu 910 tấn. Hỏi năm nay mỗi đơn vị thu bao nhiêu tấn?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 📐 Lập phương trình bậc hai: hình học và lãi kép

Cần nhớ

  • ✦Hình chữ nhật rộng x, dài hơn rộng 5 ⇒ dài x + 5, diện tích x(x + 5). Biết diện tích là 84 thì x(x + 5) = 84.
  • ✦Lãi kép (lãi suất x là số thập phân mỗi kì): gửi a, sau 1 kì được a(1 + x), sau 2 kì được a(1 + x)². Lãi 5% thì x = 0,05.
  • ✦PT bậc hai có thể cho hai nghiệm đều hợp lệ (hai cạnh 6 và 8 cùng là nghiệm). Kiểm tra từng nghiệm, đừng mặc định loại nghiệm âm hay nghiệm nhỏ.

Dạng bài

Bài toán hình học (diện tích)

  1. 1 Gọi một cạnh là x (m) và đặt điều kiện x > 0 (kèm điều kiện cạnh còn lại nếu có).
  2. 2 Biểu thị cạnh kia, lập PT từ diện tích hoặc chu vi.
  3. 3 Đưa về dạng ax² + bx + c = 0, tính Δ rồi giải.
  4. 4 Loại nghiệm không thoả, thử lại.

⚠️ Bẫy hay gặp: x = −12 nghiệm đúng PT: (−12)(−7) = 84. Nhưng độ dài âm thì vô lý: phải loại ở Bước ③.

📐
Làm mẫu

Mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5 m và diện tích 84 m². Tính các cạnh.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Lãi kép

  1. 1 Gọi lãi suất mỗi kì là x (dạng số thập phân), x > 0.
  2. 2 Số tiền sau kì 1: a(1 + x); sau kì 2: a(1 + x)². Lập PT với số tiền cho trước.
  3. 3 Giải (thường chia hai vế rồi khai căn), nhớ lấy cả hai giá trị của căn.
  4. 4 Loại nghiệm âm, đổi x ra phần trăm và thử lại.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lãi suất 5% là x = 0,05, không phải x = 5. Viết 50(1 + 5)² = 1 800 là sai hẳn.

🏦
Làm mẫu

Gửi 50 triệu đồng kì hạn 12 tháng theo lãi kép. Sau hai năm không rút, nhận được 55,125 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Tìm lãi suất mỗi năm.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

🧮 Máy tính cầm tay

  • ✦Máy giải được PT bậc hai (Equation, bậc 2) và hệ hai ẩn: dùng để thử lại nghiệm, không thay phần lập và loại nghiệm.
  • ✦Máy trả mọi nghiệm của PT, kể cả nghiệm không hợp đề. Bước đối chiếu điều kiện vẫn là việc của bạn.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.

🪜

Ba bước và tìm số

  1. 1
    Nhận biết

    Ở Bước ③ (trả lời) của bài toán lập phương trình ta làm gì?

  2. 2
    Nhận biết

    Ca nô chạy ngược dòng, dòng nước 4 km/h. Gọi x (km/h) là vận tốc thực. Điều kiện của x là:

  3. 3
    Thông hiểu Tìm hai số tự nhiên có tổng 59; số lớn chia số nhỏ được thương 4 dư 4. Số nhỏ là , số lớn là .
  4. 4
    Thông hiểu Số có hai chữ số, tổng hai chữ số bằng 9. Đổi chỗ hai chữ số thì được số lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị. Số ban đầu là .
  5. 5
    Vận dụng Vật hợp kim đồng và kẽm nặng 77,6 g, thể tích 10 cm³; 1 cm³ đồng nặng 8,9 g, 1 cm³ kẽm nặng 7 g. Khối lượng đồng là g, kẽm là g.
🚗

Chuyển động

  1. 1
    Nhận biết

    1 giờ 20 phút bằng bao nhiêu giờ?

  2. 2
    Thông hiểu A và B cách nhau 150 km. Xe máy đi từ A, ô tô đi từ B, cùng lúc và ngược chiều, sau 1,5 giờ thì gặp nhau. Ô tô nhanh hơn xe máy 20 km/h. Ô tô đi km/h, xe máy đi km/h.
  3. 3
    Thông hiểu Hai xe cách nhau 160 km đi ngược chiều. Xe 2 xuất phát sau xe 1 là 30 phút; hai xe gặp nhau khi xe 1 đã đi 2 giờ. Xe 1 nhanh hơn xe 2 là 10 km/h. Xe 1 đi km/h, xe 2 đi km/h.
  4. 4
    Thông hiểu Ca nô chạy xuôi 15 km rồi ngược 15 km hết 4 giờ, dòng nước 5 km/h. Vận tốc thực của ca nô là km/h.
  5. 5
    Thông hiểu

    Ở bài ca nô trên, nghiệm x = −2,5 bị loại vì:

  6. 6
    Vận dụng Tàu chạy xuôi 30 km từ A đến B, nghỉ 30 phút, rồi ngược 30 km về A; tổng thời gian 8 giờ. Dòng nước 3 km/h. Vận tốc thực của tàu là km/h.
🛠️

Làm chung – làm riêng

  1. 1
    Nhận biết

    Một người làm một mình xong công việc trong x giờ. Mỗi giờ người đó làm được bao nhiêu phần công việc?

  2. 2
    Thông hiểu Vòi I chảy một mình đầy bể trong 10 giờ, vòi II trong 15 giờ. Mở cả hai vòi thì đầy bể sau giờ.
  3. 3
    Thông hiểu

    Đội I làm một mình xong trong 10 ngày, đội II trong 15 ngày. Hai đội làm chung 4 ngày được bao nhiêu phần công việc?

  4. 4
    Vận dụng Hệ {3/x + 6/y = 121/x + 1/y = 18 có nghiệm x = , y = .
  5. 5
    Vận dụng Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 50 phút. Mở vòi I trong 15 phút và vòi II trong 30 phút thì được 25 bể. Vòi I chảy một mình đầy bể sau phút, vòi II sau phút.
📈

Năng suất và phần trăm

  1. 1
    Nhận biết

    Năm ngoái một đơn vị thu x tấn. Năm nay vượt mức 15% so với năm ngoái thì năm nay thu:

  2. 2
    Thông hiểu Năm ngoái hai đơn vị thu 600 tấn. Năm nay đơn vị I vượt 10%, đơn vị II vượt 20% nên cả hai thu 680 tấn. Năm ngoái đơn vị I thu tấn, đơn vị II thu tấn.
  3. 3
    Vận dụng Năm ngoái hai tổ thu 900 tấn. Năm nay tổ I vượt 15%, tổ II vượt 10% nên cả hai thu 1 020 tấn. Năm nay tổ II thu tấn.
📐

Lập phương trình bậc hai

  1. 1
    Nhận biết

    Hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4 m. Gọi x (m) là chiều rộng. Điều kiện của x là:

  2. 2
    Thông hiểu Mảnh vườn hình chữ nhật dài hơn rộng 6 m, diện tích 160 m². Chiều rộng là m, chiều dài là m.
  3. 3
    Thông hiểu Gửi 100 triệu đồng theo lãi kép, sau hai năm nhận 108,16 triệu đồng. Lãi suất là % mỗi năm.
  4. 4
    Thông hiểu

    Gửi 100 triệu đồng, sau hai năm theo lãi kép nhận 121 triệu. Gọi x (số thập phân) là lãi suất mỗi năm. Phương trình đúng là:

  5. 5
    Vận dụng Hình chữ nhật có chu vi 28 m và diện tích 48 m². Cạnh ngắn là m, cạnh dài là m.

🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?

  • •Bài giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ thường nằm ở câu Đại số của đề, thường được nhiều điểm: chấm cả phần lập luận (gọi ẩn, điều kiện, đối chiếu) chứ không chỉ đáp số.
  • •Các dạng hay gặp: chuyển động (xuôi–ngược dòng, hai xe gặp nhau), làm chung–làm riêng, năng suất–phần trăm, hình chữ nhật. Dạng xuôi–ngược dòng và hình học thường dẫn tới PT bậc hai.
  • •Điểm dễ mất nhất là Bước ③: không loại nghiệm không hợp điều kiện, quên đơn vị, hoặc không đổi phút ra giờ.
Có đề cô giao? Tải lên để làm thử
Chủ điểm tiếp theo
13. Góc nội tiếp và tứ giác nội tiếp