Tất cảMầm nonTiểu họcTHCSTHPT
Toán lớp 9
Chủ điểm 13 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi vào 10

Góc nội tiếp và tứ giác nội tiếp

Nhận ra góc nội tiếp và cung bị chắn, tính góc bằng định lí góc nội tiếp, và dùng tổng hai góc đối bằng 180° của tứ giác nội tiếp.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 27, Bài 29

⚡ Nhớ nhanh

  • 1Góc nội tiếp: đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây. Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn.
  • 2Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn (chắn cung nhỏ thì cũng bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung đó).
  • 3Cùng chắn một cung thì bằng nhau. Chắn nửa đường tròn thì là góc vuông.
  • 4Tứ giác nội tiếp (bốn đỉnh trên một đường tròn): tổng hai góc đối bằng 180°.
  • 5Hình chữ nhật, hình vuông đều nội tiếp: tâm là giao hai đường chéo, R = nửa đường chéo.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo điểm C trên đường tròn: góc ACB không đổi. Kéo B để đổi cung AB, rồi thêm điểm D để thấy hai góc đối bù nhau.

120°60°OABC

Kéo các điểm A, B, C trên đường tròn.

Kéo thanh trượt (hoặc kéo thẳng điểm trên hình):

Cung AB bị chắn (không chứa C) = 120° ⇒ ACB = 120° : 2 = 60°.

Góc ở tâm AOB = 120° và ACB = 120° : 2 = 60°: góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm.

Kéo C trên cung này: ACB vẫn bằng 60°. Sang cung bên kia thì ACB thành 180° − 60° = 120°.

1 📐 Góc nội tiếp và cung bị chắn

Cần nhớ

  • ✦Góc nội tiếp của đường tròn: đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung. Cả hai điều kiện đều cần.
  • ✦Cung bị chắn là cung nằm bên trong góc (không chứa đỉnh). Góc ACB chắn cung AB không chứa C.
  • ✦Góc có đỉnh ở tâm O là góc ở tâm, không phải góc nội tiếp. Góc có đỉnh trong hay ngoài đường tròn cũng không phải.
  • ✦Một cung AB có vô số góc nội tiếp cùng chắn nó, vì đỉnh C chạy được khắp cung còn lại.

Nhận biết nhanh

GócĐỉnhHai cạnhGóc nội tiếp?
ACBC trên đường trònCA, CB là hai dâyCó
AOBO là tâmOA, OB là bán kínhKhông (góc ở tâm)
Góc có đỉnh trong đường trònNằm trongCắt đường trònKhông
Đỉnh trên đường tròn, một cạnh đi ra ngoàiTrên đường trònMột cạnh không chứa dâyKhông

Dạng bài

Nhận biết góc nội tiếp và cung bị chắn

  1. 1 Xem đỉnh của góc có nằm trên đường tròn không.
  2. 2 Xem hai cạnh có đều chứa một dây cung (cắt đường tròn thêm một điểm nữa) không.
  3. 3 Đủ cả hai thì là góc nội tiếp. Cung bị chắn là cung nằm trong góc, nối hai đầu mút của hai dây.

⚠️ Bẫy hay gặp: Góc AOB có đỉnh ở tâm nên chỉ là góc ở tâm: nếu cung AB là 80° thì AOB = 80°, còn góc nội tiếp ACB chỉ là 40°.

📐
Làm mẫu

Đường tròn (O) có A, B, C nằm trên đường tròn. Góc ACB có phải góc nội tiếp không? Chắn cung nào?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🎯 Định lí góc nội tiếp

Cần nhớ

  • ✦Định lí: số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn. Ví dụ cung AB = 100° thì ACB = 50° (C ở cung còn lại).
  • ✦Góc nội tiếp chắn cung nhỏ thì bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung ấy: AOB = 100° ⇒ ACB = 50°.
  • ✦Các góc nội tiếp cùng chắn một cung (hoặc các cung bằng nhau) thì bằng nhau: ACB = ADB = 50°.
  • ✦Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông: AB là đường kính thì ACB = 180° : 2 = 90°.

Dạng bài

Tính góc nội tiếp, cung, góc ở tâm

  1. 1 Xác định cung bị chắn: cung nằm trong góc, không chứa đỉnh.
  2. 2 Tìm số đo cung đó: cung nhỏ bằng góc ở tâm, cung lớn bằng 360° − cung nhỏ.
  3. 3 Góc nội tiếp = ½ · số đo cung bị chắn (hoặc ngược lại, cung = 2 · góc nội tiếp).
  4. 4 Thử lại bằng cách nhân đôi trở lại.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cung nhỏ AB = 100° thì góc nội tiếp là 50°, không phải 100°. Đỉnh nằm trên cung nhỏ thì chắn cung lớn: 130°, không phải 50°.

🎯
Làm mẫu

Cung nhỏ AB của (O) có số đo 100°. Tính ACB với C trên cung lớn, và ADB với D trên cung nhỏ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Dùng góc chắn nửa đường tròn

  1. 1 Tìm đoạn là đường kính của đường tròn.
  2. 2 Đỉnh còn lại nằm trên đường tròn ⇒ góc đối diện đường kính bằng 90°.
  3. 3 Dùng tam giác vuông vừa có để tính các góc còn lại.
  4. 4 Thử lại tổng ba góc bằng 180°.

⚠️ Bẫy hay gặp: Góc vuông nằm ở C (đối diện đường kính AB), không phải ở A hay B: BAC = 35° thì ABC = 55°, không phải 35° hay 90°.

📐
Làm mẫu

AB là đường kính của (O), C nằm trên (O), góc BAC = 35°. Tính góc ABC.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🔷 Tứ giác nội tiếp

Cần nhớ

  • ✦Tứ giác nội tiếp: bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn (đường tròn ấy gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác).
  • ✦Định lí: trong tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối bằng 180°: Â + Ĉ = 180°, B̂ + D̂ = 180°. Ví dụ Â = 70° ⇒ Ĉ = 110°.
  • ✦Hai góc kề nhau thì không có quan hệ cố định. Chỉ hai góc đối mới bù nhau.
  • ✦Cách chứng tỏ nội tiếp trong bài này: chỉ ra điểm cách đều bốn đỉnh, hoặc hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới góc vuông (tâm là trung điểm cạnh đó).

Dạng bài

Tính góc của tứ giác nội tiếp

  1. 1 Ghi cặp góc đối: Â đối Ĉ, B̂ đối D̂.
  2. 2 Góc cần tìm = 180° − góc đối của nó.
  3. 3 Thử lại tổng bốn góc bằng 360°.

⚠️ Bẫy hay gặp: Bù với góc đối, không phải góc kề: Â = 60°, B̂ = 80° thì Ĉ = 120° (đối với Â), không phải 100°.

🔷
Làm mẫu

ABCD nội tiếp đường tròn, Â = 60°, B̂ = 80°. Tính Ĉ và D̂.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Chứng tỏ tứ giác nội tiếp bằng tâm, rồi tính góc

  1. 1 Tìm hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới góc vuông: tâm là trung điểm cạnh đó.
  2. 2 Bốn đỉnh cách đều tâm (trung tuyến ứng với cạnh huyền) ⇒ tứ giác nội tiếp.
  3. 3 Dùng tổng hai góc đối bằng 180° để tính góc cần tìm.
  4. 4 Thử lại bằng tổng các góc của tam giác.

⚠️ Bẫy hay gặp: Trong BCEF (thứ tự B, C, E, F) góc BFE đối với Ĉ, không phải với B̂: BFE = 180° − 80° = 100°, không phải 120°.

🔷
Làm mẫu

Tam giác ABC nhọn có các đường cao BE, CF; B̂ = 60°, Ĉ = 80°. Chứng tỏ BCEF nội tiếp, tính BFE và CEF.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 ⬛ Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông

Cần nhớ

  • ✦Hình chữ nhật và hình vuông đều là tứ giác nội tiếp. Tâm là giao điểm hai đường chéo.
  • ✦Bán kính = nửa độ dài đường chéo. Hình chữ nhật 3 × 4 có đường chéo 5 ⇒ R = 2,5.
  • ✦Đường chéo hình chữ nhật a × b: d² = a² + b² (Pythagore).
  • ✦Hình vuông cạnh a: đường chéo d = a√2, nên R = a√2 : 2.

Dạng bài

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

  1. 1 Vẽ đường chéo, tâm O là giao điểm hai đường chéo.
  2. 2 Tính đường chéo bằng Pythagore: d² = a² + b².
  3. 3 Bán kính R = d : 2.
  4. 4 Thử lại: 4R² = a² + b².

⚠️ Bẫy hay gặp: Hình vuông cạnh a = 6 cm có R = 6√2 : 2 = 3√2 ≈ 4,24 cm, không phải a : 2 = 3 cm. Bán kính là nửa đường chéo, không phải nửa cạnh.

⬛
Làm mẫu

Hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm, AD = 4 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.

📐

Nhận biết góc nội tiếp

  1. 1
    Nhận biết

    Góc nội tiếp của một đường tròn là góc có:

  2. 2
    Nhận biết

    Góc nội tiếp ACB của (O) chắn cung nào?

🎯

Tính góc nội tiếp, cung, góc ở tâm

  1. 1
    Nhận biết Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng °.
  2. 2
    Thông hiểu Cung nhỏ AB có số đo 100°, C nằm trên cung lớn AB. Khi đó ACB = °.
  3. 3
    Thông hiểu Góc ở tâm AOB = 70°, C nằm trên cung lớn AB. Khi đó ACB = °.
  4. 4
    Thông hiểu Góc nội tiếp ACB = 55° thì cung AB không chứa C có số đo °.
  5. 5
    Thông hiểu

    Cung nhỏ AB có số đo 80°, D nằm trên cung nhỏ AB. Góc ADB bằng:

  6. 6
    Thông hiểu Hai góc nội tiếp ACB và ADB cùng chắn cung AB, ACB = 42°. Khi đó ADB = °.
  7. 7
    Thông hiểu AB là đường kính của (O), C thuộc (O), BAC = 35°. Khi đó ABC = °.
  8. 8
    Vận dụng A, B, C thuộc (O), C nằm trên cung lớn AB, ACB = 40°. Tam giác OAB cân tại O nên OAB = °.
🔷

Tứ giác nội tiếp: tính góc

  1. 1
    Nhận biết

    Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có:

  2. 2
    Thông hiểu Tứ giác ABCD nội tiếp, Â = 70°. Khi đó Ĉ = °.
  3. 3
    Thông hiểu Tứ giác ABCD nội tiếp, B̂ = 95°. Khi đó D̂ = °.
  4. 4
    Thông hiểu Tứ giác ABCD nội tiếp, Â = 60°, B̂ = 80°. Khi đó Ĉ = °, D̂ = °.
  5. 5
    Thông hiểu

    Hình bình hành nội tiếp một đường tròn thì là hình gì?

  6. 6
    Vận dụng ABCD nội tiếp (O), AB cắt DC tại X (B nằm giữa A và X, C nằm giữa D và X). Biết DAB = 70°, ABC = 130°. Khi đó BXC = °.
  7. 7
    Vận dụng Tứ giác ABCD nội tiếp có Â = 2x và Ĉ = 3x (số đo độ). Khi đó Â = °.
⬛

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông

  1. 1
    Nhận biết

    Tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là:

  2. 2
    Thông hiểu Hình chữ nhật có hai kích thước 6 cm và 8 cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là cm.
  3. 3
    Vận dụng Hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính 5 cm có diện tích cm².
  4. 4
    Vận dụng Hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng, bán kính đường tròn ngoại tiếp 2,5 cm. Diện tích là cm².
  5. 5
    Vận dụng Hình vuông cạnh 6 cm có bán kính đường tròn ngoại tiếp R thoả R² = .
  6. 6
    Vận dụng Cổng hình chữ nhật rộng 4 m, cao 3 m, chân cổng nằm giữa đường kính của một khung thép nửa đường tròn bao ngoài (hai góc trên của cổng chạm khung). Bán kính R của khung thoả R² = .

🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?

  • •Bài hình học cuối đề thường có ý chứng minh tứ giác nội tiếp rồi dùng nó để suy ra các góc bằng nhau, thường chiếm một phần đáng kể của câu hình.
  • •Hay có ý dùng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để có góc vuông, mở đường cho tam giác vuông và hệ thức.
  • •Ý tính góc bằng định lí góc nội tiếp và tổng hai góc đối 180° cũng hay có ở câu hình ngắn hơn.
Có đề cô giao? Tải lên để làm thử
Chủ điểm tiếp theo
14. Đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; đa giác đều và phép quay