Tất cảMầm nonTiểu họcTHCSTHPT
Toán lớp 9
Chủ điểm 14 · Học kỳ 2

Đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; đa giác đều và phép quay

Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác, rồi tính góc của đa giác đều và tìm góc quay giữ nguyên hình.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 28, Bài 30

⚡ Nhớ nhanh

  • 1Ngoại tiếp đi qua ba đỉnh: tâm O là giao ba đường trung trực, OA = OB = OC = R.
  • 2Nội tiếp tiếp xúc ba cạnh: tâm I là giao ba đường phân giác, cách đều ba cạnh một đoạn r.
  • 3Tâm ngoại tiếp: tam giác nhọn → trong; vuông → trung điểm cạnh huyền (R = huyền/2); tù → ngoài. Tâm nội tiếp luôn ở trong.
  • 4Tam giác đều cạnh a: hai tâm trùng nhau, R = a√33, r = a√36 nên R = 2r. Mọi tam giác: S = p·r (p là nửa chu vi).
  • 5Đa giác đều n cạnh: góc trong (n − 2)·180°/n, góc ở tâm = góc quay nhỏ nhất = 360°/n. Hai góc này cộng lại bằng 180°.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo ba đỉnh để thấy tâm ngoại tiếp, nội tiếp chạy theo; chuyển sang đa giác đều để kéo thanh trượt n và quay thử.

OIABC

Kéo ba đỉnh A, B, C (lưới số nguyên) để tâm O và I chạy theo.

Tam giác nhọn ⇒ tâm ngoại tiếp O nằm trong tam giác. Tâm nội tiếp I thì luôn ở trong.

R = 4,51 · r = 2,23 · S = 26 · R/r = 2,02

1 ⭕ Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cần nhớ

  • ✦Đường tròn ngoại tiếp đi qua cả ba đỉnh, nên tâm O cách đều ba đỉnh: O là giao ba đường trung trực.
  • ✦Tam giác vuông: O là trung điểm cạnh huyền, R = huyền/2. Ví dụ: huyền 10 ⇒ R = 5.
  • ✦Mẹo nhớ cặp đôi: ngoại – trung trực – đỉnh.

Tâm ngoại tiếp nằm ở đâu?

Tam giácTâm ngoại tiếp O
NhọnTrong tam giác
VuôngTrung điểm cạnh huyền
TùNgoài tam giác
ĐềuTrùng tâm nội tiếp

Dạng bài

Bán kính ngoại tiếp tam giác vuông

  1. 1 Xác định góc vuông, cạnh đối diện là cạnh huyền.
  2. 2 Tính cạnh huyền bằng định lí Pi-ta-go.
  3. 3 R bằng nửa cạnh huyền (O là trung điểm của nó).
  4. 4 Thử lại: bình phương hai cạnh góc vuông cộng lại phải bằng bình phương huyền.

⚠️ Bẫy hay gặp: Không phải tam giác nào cũng có tâm ở trong: tam giác có các góc 120°, 30°, 30° là tam giác tù, tâm ngoại tiếp nằm ngoài tam giác.

⭕
Làm mẫu

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Tính R.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🔵 Đường tròn nội tiếp tam giác

Cần nhớ

  • ✦Đường tròn nội tiếp tiếp xúc ba cạnh, nên tâm I cách đều ba cạnh: I là giao ba đường phân giác.
  • ✦Tâm I luôn nằm trong tam giác, với mọi dạng tam giác.
  • ✦Diện tích S = p·r, trong đó p = a + b + c2 là nửa chu vi. Tam giác vuông còn có r = b + c − a2 (a là huyền).
  • ✦Tam giác đều cạnh a: O ≡ I, R = a√33, r = a√36, nên R = 2r. Ví dụ a = 6: R = 2√3, r = √3.
⭕ Ngoại tiếp

Qua ba đỉnh · tâm = giao ba trung trực · ngoại → ra ngoài, chạm đỉnh.

🔵 Nội tiếp

Chạm ba cạnh · tâm = giao ba phân giác · nội → vào trong, chạm cạnh.

Dạng bài

Bán kính nội tiếp qua diện tích

  1. 1 Tính nửa chu vi p = a + b + c2.
  2. 2 Tính diện tích S của tam giác.
  3. 3 r = S : p.
  4. 4 Thử lại: r phải nhỏ hơn R, và tam giác vuông thì khớp r = b + c − a2.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chia cho nửa chu vi, không phải chu vi: 24 : 24 = 1 là sai, đúng là 24 : 12 = 2.

🔵
Làm mẫu

Tam giác vuông có ba cạnh 6, 8, 10. Tính r.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ⬡ Đa giác đều: góc trong và góc ở tâm

Cần nhớ

  • ✦Đa giác đều có mọi cạnh bằng nhau và mọi góc bằng nhau. Hình thoi (4 cạnh bằng nhau) hay hình chữ nhật (4 góc bằng nhau) đều không phải đa giác đều.
  • ✦Tổng các góc trong của đa giác n cạnh là (n − 2)·180°. Ví dụ ngũ giác: 3·180° = 540°.
  • ✦Một góc trong của đa giác đều: (n − 2)·180°/n. Ví dụ n = 6: 4·180°/6 = 120°.
  • ✦Góc ở tâm (nhìn hai đỉnh kề nhau từ tâm) là 360°/n. Ví dụ n = 6: 60°. Góc trong + góc ở tâm = 180°.

Vài đa giác đều quen thuộc

nGóc trongGóc ở tâm
3 — tam giác đều60°120°
4 — hình vuông90°90°
6 — lục giác đều120°60°
12150°30°

Dạng bài

Tìm số cạnh khi biết góc trong

  1. 1 Tính góc ở tâm: 180° − góc trong.
  2. 2 Số cạnh n = 360° : góc ở tâm.
  3. 3 n phải là số nguyên ≥ 3.
  4. 4 Thử lại bằng công thức (n − 2)·180°/n.

⚠️ Bẫy hay gặp: Góc trong của lục giác đều là 120°, không phải 60°: 60° là góc ở tâm (360°/6).

⬡
Làm mẫu

Một đa giác đều có góc trong bằng 144°. Hỏi nó có mấy cạnh?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🔄 Phép quay giữ nguyên đa giác đều

Cần nhớ

  • ✦Phép quay tâm O góc α đưa mỗi điểm M sang M′ với OM = OM′ và góc MOM′ = α.
  • ✦Đa giác đều n cạnh trùng khít chính nó khi quay quanh tâm một góc là bội của 360°/n. Ví dụ n = 6: 60°, 120°, 180°…
  • ✦Đa giác đều n cạnh có đúng n trục đối xứng. Ví dụ lục giác đều: 6 trục.

Dạng bài

Kiểm tra một góc quay có giữ nguyên hình

  1. 1 Tính góc quay nhỏ nhất 360°/n.
  2. 2 Chia góc quay α cho nó.
  3. 3 Thương nguyên ⇒ trùng khít; thương lẻ ⇒ hình bị lệch.
  4. 4 Thử lại bằng phép nhân: thương · 360°/n phải bằng α.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lục giác đều quay 45° thì lệch: 45 : 60 = 0,75 không phải số nguyên.

🔄
Làm mẫu

Bát giác đều (8 cạnh) quay 135° quanh tâm thì có trùng khít chính nó không?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.

⭕

Tâm ngoại tiếp: nằm ở đâu?

  1. 1
    Nhận biết

    Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường:

  2. 2
    Thông hiểu

    Tam giác ABC vuông tại A. Tâm đường tròn ngoại tiếp là:

  3. 3
    Thông hiểu

    Tam giác có ba góc 40°, 60°, 80° thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm:

  4. 4
    Thông hiểu

    Tam giác có một góc 110° thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm:

  5. 5
    Vận dụng Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên cạnh BC, AB = 5, AC = 12. Khi đó R = .
🔵

Đường tròn nội tiếp

  1. 1
    Nhận biết

    Tâm đường tròn nội tiếp tam giác cách đều:

  2. 2
    Thông hiểu

    Tâm đường tròn nội tiếp một tam giác bất kì:

  3. 3
    Thông hiểu Tam giác có diện tích 24 và chu vi 16. Bán kính đường tròn nội tiếp r = .
  4. 4
    Vận dụng Tam giác vuông có cạnh huyền 10 và r = 2. Chu vi tam giác là .
📏

Tính bán kính R và r

  1. 1
    Thông hiểu Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 9 và 12. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = .
  2. 2
    Thông hiểu Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5 và 12: R = , r = .
  3. 3
    Thông hiểu Tam giác đều có bán kính ngoại tiếp R = 4. Bán kính nội tiếp r = .
  4. 4
    Vận dụng Tam giác đều cạnh 6√3: R = , r = .
⬡

Góc của đa giác đều

  1. 1
    Nhận biết

    Tổng các góc trong của một ngũ giác bằng:

  2. 2
    Thông hiểu Lục giác đều có góc trong bằng ° và góc ở tâm bằng °.
  3. 3
    Thông hiểu Đa giác đều 9 cạnh có góc trong bằng °.
  4. 4
    Thông hiểu

    Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau. Nó có phải đa giác đều không?

  5. 5
    Vận dụng Đa giác đều có góc trong bằng 156° thì có cạnh.
🔄

Phép quay và trục đối xứng

  1. 1
    Nhận biết

    Đa giác đều n cạnh có bao nhiêu trục đối xứng?

  2. 2
    Thông hiểu

    Góc quay nhỏ nhất (lớn hơn 0°) biến tam giác đều thành chính nó là:

  3. 3
    Thông hiểu Góc quay nhỏ nhất biến lục giác đều thành chính nó là °.
  4. 4
    Thông hiểu

    Lục giác đều quay 45° quanh tâm thì:

  5. 5
    Vận dụng

    Phép quay nào quanh tâm giữ nguyên bát giác đều?

  6. 6
    Vận dụng Một đa giác đều có góc quay nhỏ nhất giữ nguyên hình là 40° thì có cạnh.

🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?

  • •Hay có câu tính bán kính R, r của tam giác vuông hoặc tam giác đều, thường kèm dùng S = p·r.
  • •Trong bài hình tổng hợp, ý "chứng minh tứ giác nội tiếp" thường đi cùng việc xác định tâm đường tròn ngoại tiếp bằng trung trực hoặc trung điểm cạnh huyền.
  • •Đa giác đều và phép quay thường là câu trắc nghiệm ngắn: tính góc trong, góc ở tâm, số cạnh khi biết góc.
Có đề cô giao? Tải lên để làm thử
Chủ điểm tiếp theo
15. Hình trụ, hình nón, hình cầu