Hình trụ, hình nón, hình cầu
Nhận ra khối nào sinh ra khi quay một hình phẳng, và tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình trụ, hình nón, hình cầu.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 31, Bài 32
⚡ Nhớ nhanh
- 1Hình trụ (quay hình chữ nhật): S xung quanh = 2πrh · S toàn phần = 2πrh + 2πr² (hai đáy) · V = πr²h.
- 2Hình nón (quay tam giác vuông): đường sinh ℓ² = r² + h² · S xung quanh = πrℓ · S toàn phần = πrℓ + πr² (một đáy) · V = ⅓πr²h.
- 3Hình cầu (quay nửa hình tròn): S = 4πR² (gấp 4 lần hình tròn lớn) · V = ⁴⁄₃πR³.
- 4Nón: diện tích xung quanh dùng ℓ, thể tích dùng h. Hai đại lượng này khác nhau.
- 5Nhìn số mũ để chọn công thức: mũ 2 → diện tích (cm²), mũ 3 → thể tích (cm³). Ghi đơn vị.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo góc quay để thấy hình phẳng quét ra khối. Đổi r, h xem diện tích và thể tích đổi theo, rồi trải mặt xung quanh ra.
Hình hồng là hình phẳng đang quay quanh trục; vùng xanh là phần đã quét.
Mới quay được 150°. Quay đủ 360° thì hình chữ nhật sinh ra hình trụ.
S xung quanh = 2πrh
= 2π·3·5 = 30π ≈ 94,25 cm²
S toàn phần = 2πrh + 2πr²
= 30π + 18π = 48π ≈ 150,8 cm²
Thể tích V = πr²h
= π·3²·5 = 45π ≈ 141,37 cm³
1 🥫 Hình trụ
Cần nhớ
- ✦Quay hình chữ nhật quanh một cạnh → hình trụ. Cạnh nằm trên trục là chiều cao h, cạnh vuông góc là bán kính r.
- ✦Trải mặt xung quanh ra được hình chữ nhật 2πr × h ⇒ S xung quanh = 2πrh. Với r = 3, h = 5: 2π·3·5 = 30π.
- ✦Toàn phần cộng hai đáy: S toàn phần = 2πrh + 2πr². Với r = 3, h = 5: 30π + 18π = 48π.
- ✦Thể tích = diện tích đáy · chiều cao: V = πr²h. Với r = 3, h = 5: π·9·5 = 45π.
Dạng bài
Tính S xung quanh, S toàn phần, V của hình trụ
- 1 Xác định r (bán kính đáy) và h (chiều cao). Đề cho đường kính thì chia đôi.
- 2 Tính S xung quanh = 2πrh.
- 3 Cộng hai đáy: S toàn phần = S xung quanh + 2πr². Tính V = πr²h.
- 4 Ghi đơn vị (cm², cm³) và kiểm tra S toàn phần > S xung quanh.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đề cho đường kính 8 thì r = 4, không phải 8. Lấy nhầm r = 8 sẽ ra S xung quanh = 80π, gấp đôi đáp án đúng 40π.
Hình trụ có đường kính đáy 8 cm, chiều cao 5 cm. Tính S xung quanh, S toàn phần, V.
Hướng dẫn giải
2 🍦 Hình nón
Cần nhớ
- ✦Quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông → hình nón. Cạnh nằm trên trục là h, cạnh còn lại là r, cạnh huyền là đường sinh ℓ.
- ✦ℓ² = r² + h² (Pythagore). Với r = 3, h = 4: ℓ = 5, không phải 7.
- ✦S xung quanh = πrℓ. S toàn phần = πrℓ + πr² (chỉ một đáy). Với r = 3, ℓ = 5: 15π và 24π.
- ✦V = ⅓πr²h: dùng h, bằng một phần ba hình trụ cùng đáy và cùng chiều cao. Với r = 3, h = 4: 12π.
Dạng bài
Tính đường sinh, S xung quanh, V của hình nón
- 1 Xác định r và h. Tính đường sinh ℓ = √(r² + h²).
- 2 Tính S xung quanh = πrℓ (dùng ℓ).
- 3 Tính V = ⅓πr²h (dùng h). Toàn phần: cộng một đáy πr².
- 4 Kiểm tra: ℓ phải lớn hơn cả r lẫn h.
⚠️ Bẫy hay gặp: S xung quanh dùng ℓ chứ không phải h: với r = 3, h = 4 thì πrℓ = 15π, còn πrh = 12π là kết quả sai.
Hình nón có r = 5 cm, h = 12 cm. Tính ℓ, S xung quanh, V.
Hướng dẫn giải
Trụ và nón đặt cạnh nhau
| Hình trụ | Hình nón | |
|---|---|---|
| Sinh ra khi quay | Hình chữ nhật | Tam giác vuông |
| Mặt cắt qua trục | Hình chữ nhật | Tam giác cân |
| Số đáy | 2 | 1 |
| S xung quanh | 2πrh | πrℓ |
| V | πr²h | ⅓πr²h |
3 ⚽ Hình cầu
Cần nhớ
- ✦Mặt cầu gồm các điểm cách tâm O đúng R; hình cầu gồm cả phần bên trong. Quay nửa hình tròn quanh đường kính được hình cầu.
- ✦S = 4πR²: gấp 4 lần diện tích hình tròn lớn. Với R = 3: 4π·9 = 36π.
- ✦V = ⁴⁄₃πR³. Với R = 3: ⁴⁄₃·π·27 = 36π.
- ✦Cắt mặt cầu bằng mặt phẳng qua tâm được đường tròn lớn bán kính R.
Dạng bài
Tính S, V của hình cầu; tìm R khi biết V hoặc S
- 1 Xác định bán kính R (đề cho đường kính thì chia đôi).
- 2 Tính S = 4πR² và V = ⁴⁄₃πR³.
- 3 Cho V: chia hai vế cho ⁴⁄₃π được R³, rồi lấy căn bậc ba. Cho S: được R², lấy căn bậc hai.
- 4 Thay R vừa tìm lại vào công thức để thử.
⚠️ Bẫy hay gặp: Biết V thì lấy căn bậc ba. Lấy căn bậc hai của 27 ra 5,19…, không phải 3.
Hình cầu có thể tích 36π cm³. Tính R và diện tích mặt cầu.
Hướng dẫn giải
4 ⚖️ So sánh và đổi nhanh
Cần nhớ
- ✦Trụ và nón cùng r, cùng h: V trụ gấp 3 lần V nón (ba nón đổ đầy một trụ). Với r = 3, h = 4: 36π và 12π.
- ✦Cầu đặt vừa khít trong trụ (r = R, h = 2R): V cầu : V trụ = 2 : 3 (Archimedes). Với R = 3: 36π và 54π.
- ✦Nhân bán kính cầu lên k lần: S nhân k², V nhân k³. Gấp đôi R thì S gấp 4, V gấp 8.
Diện tích: 4πR², 2πr², πr². Đơn vị cm².
Thể tích: ⁴⁄₃πR³. Đơn vị cm³. Cho V thì khai căn bậc ba.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Hình trụ
- 1Nhận biết
Quay một hình chữ nhật quanh một cạnh của nó, ta được:
- 2Nhận biết
Diện tích xung quanh của hình trụ bán kính r, chiều cao h là:
- 3Thông hiểu Hình trụ r = 4 cm, h = 5 cm có diện tích xung quanh cm².
- 4Thông hiểu Hình trụ r = 3 cm, h = 5 cm có thể tích cm³.
- 5Thông hiểu Hình trụ r = 2 cm, h = 6 cm có diện tích toàn phần cm².
- 6Vận dụng
Quay hình chữ nhật 4 cm × 6 cm quanh cạnh 6 cm. Thể tích khối trụ là:
- 7Vận dụng Hình trụ có thể tích 75π cm³ và r = 5 cm thì chiều cao h = cm.
Hình nón
- 1Nhận biết
Diện tích xung quanh của hình nón được tính bằng bán kính đáy r và:
- 2Thông hiểu Hình nón r = 6, h = 8 có đường sinh ℓ = .
- 3Thông hiểu Hình nón r = 3 cm, ℓ = 5 cm có diện tích xung quanh cm².
- 4Thông hiểu Hình nón r = 5 cm, h = 12 cm có thể tích cm³.
- 5Thông hiểu Hình nón r = 4 cm, h = 3 cm có diện tích toàn phần cm².
- 6Vận dụng Hình nón có r = 5 cm, diện tích xung quanh 65π cm² thì chiều cao h = cm.
- 7Vận dụng Hình nón r = 3, ℓ = 5. Trải mặt xung quanh ra hình quạt tâm đỉnh nón, bán kính ℓ, cung dài 2πr. Góc ở tâm quạt là °.
Hình cầu
- 1Nhận biết
Diện tích mặt cầu bán kính R bằng:
- 2Thông hiểu Hình cầu R = 3 cm có thể tích cm³.
- 3Thông hiểu Mặt cầu R = 5 cm có diện tích cm².
- 4Thông hiểu Hình cầu có thể tích 288π cm³ thì bán kính R = cm.
- 5Vận dụng Mặt cầu có diện tích 144π cm² thì thể tích hình cầu là cm³.
So sánh các khối
- 1Nhận biết
Công thức có R³ là của:
- 2Thông hiểu
Hình trụ và hình nón có cùng bán kính đáy và cùng chiều cao. Thể tích trụ gấp mấy lần thể tích nón?
- 3Thông hiểu Trụ và nón cùng r = 3 cm, h = 4 cm. Thể tích trụ lớn hơn nón cm³.
- 4Vận dụng
Tăng bán kính một hình cầu lên gấp đôi thì:
- 5Vận dụng
Hình cầu bán kính R đặt vừa khít trong hình trụ (bán kính R, chiều cao 2R). Tỉ số V cầu : V trụ bằng:
🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?
- •Thường có một bài tính toán thực tế (cốc nước, thùng chứa, nón lá, quả bóng) với r, h cho sẵn: 0,5–1 điểm, chủ yếu là thay số đúng công thức.
- •Hay có bẫy đường sinh và chiều cao ở hình nón, và bẫy đường kính ↔ bán kính.
- •Bài hình học có thể kết hợp tính thể tích sau khi chứng minh, hoặc cho V để tìm r, h (phương trình bậc nhất hoặc khai căn bậc ba).
16. Bảng tần số, tần số tương đối, ghép nhóm