Bảng tần số, tần số tương đối, ghép nhóm
Lập bảng tần số và tần số tương đối từ dãy số liệu, ghép nhóm số liệu, đọc mốt trên biểu đồ và so sánh hai mẫu khác cỡ bằng tỉ lệ phần trăm.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 22, Bài 23, Bài 24
⚡ Nhớ nhanh
- 1Tần số nᵢ của một giá trị là số lần nó xuất hiện. Cỡ mẫu N = tổng các tần số.
- 2Mốt là giá trị có tần số lớn nhất (cột cao nhất), không phải bản thân tần số. Có thể có nhiều mốt.
- 3Tần số tương đối: fᵢ = nᵢ / N · 100%. Tổng các fᵢ luôn bằng 100%.
- 4Hai mẫu khác cỡ thì so bằng tỉ lệ, không so bằng số lượng.
- 5Ghép nhóm: chia thành các nửa khoảng [a; b), số bằng a vào nhóm này, số bằng b sang nhóm sau. Giá trị đại diện là trung điểm a + b2.
- 6Lập bảng xong luôn kiểm: tổng tần số = N và tổng tần số tương đối = 100%.
👀 Nhìn là hiểu
Chọn một điểm rồi thêm hoặc bớt số bạn đạt điểm đó: bảng và biểu đồ đổi theo ngay. Bật Ghép nhóm để xem điểm 10 rơi vào nhóm nào.
Cột vàng là mốt. Chạm vào một cột để chọn điểm cần sửa.
Chọn một điểm, rồi đổi số bạn đạt điểm đó:
Điểm 10: 1 bạn
| Điểm | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Tổng |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 0 | 1 | 1 | 3 | 4 | 5 | 3 | 2 | 1 | 20 |
| Tỉ lệ (%) | 0 | 5 | 5 | 15 | 20 | 25 | 15 | 10 | 5 | 100 |
Tổng tần số = 0 + 1 + 1 + 3 + 4 + 5 + 3 + 2 + 1 = 20 = cỡ mẫu N ✓. Tổng tần số tương đối = 100% ✓ (làm tròn từng ô có thể lệch chút).
Mốt: 7 (tần số 5, là giá trị chứ không phải tần số). Trung bình = 6,65.
1 📊 Bảng tần số và mốt
Cần nhớ
- ✦Tần số nᵢ = số lần giá trị xᵢ xuất hiện. Điểm 7 có 4 bạn đạt thì n = 4.
- ✦Cỡ mẫu N = n₁ + n₂ + … + n_k. Dãy có các tần số 2, 3, 5 thì N = 10.
- ✦Mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Hai giá trị cùng tần số lớn nhất thì cả hai đều là mốt.
- ✦Dữ liệu rời rạc (điểm số, số con) vẽ cột rời nhau.
Dạng bài
Lập bảng tần số và tìm mốt
- 1 Liệt kê các giá trị khác nhau, xếp tăng dần.
- 2 Đếm tần số của từng giá trị (gạch từng số liệu một).
- 3 Kiểm tổng: tổng các tần số phải bằng cỡ mẫu N.
- 4 Mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Số trung bình = tổng (giá trị · tần số) chia N.
⚠️ Bẫy hay gặp: Mốt là 7 (điểm), không phải 4 (số bạn). Và 7,2 không trùng điểm của ai, nhưng vẫn đúng: trung bình chỉ là con số tóm tắt.
Điểm của 10 bạn: 5, 7, 6, 7, 8, 7, 9, 6, 7, 10. Lập bảng tần số, tìm mốt và số trung bình.
Hướng dẫn giải
2 ％ Tần số tương đối
Cần nhớ
- ✦fᵢ = nᵢ / N · 100%. Mẫu 20 bạn, 5 bạn đạt điểm 8 thì f = 520 = 25%.
- ✦Tổng các tần số tương đối = 100% (lệch chút xíu nếu làm tròn). Đây là phép kiểm nhanh nhất.
- ✦Tính ngược: nᵢ = fᵢ · N. 15% của 40 bạn là 6 bạn.
- ✦Biểu đồ hình quạt: góc = f · 360°. 25% ứng với 90°.
Dạng bài
Lập bảng tần số tương đối
- 1 Xác định cỡ mẫu N (cộng các tần số).
- 2 Chia từng tần số cho N rồi nhân 100%.
- 3 Kiểm tổng các tần số tương đối bằng 100%.
- 4 Cần vẽ hình quạt thì lấy tần số tương đối nhân 360° cho từng phần.
⚠️ Bẫy hay gặp: fᵢ là tần số chia N rồi mới nhân 100%: 5 bạn trong lớp 20 bạn là 520 = 25%, không phải 5%.
Một lớp 20 bạn xếp loại: Tốt 5 bạn, Khá 9 bạn, Đạt 6 bạn. Lập bảng tần số tương đối và tính góc hình quạt.
Hướng dẫn giải
3 ⚖️ So sánh hai mẫu khác cỡ
Khi nào dùng cái nào
| Tần số | Tần số tương đối | |
|---|---|---|
| Trả lời | Bao nhiêu người? | Bao nhiêu phần trăm? |
| Dùng khi | Trong một mẫu | So hai mẫu khác cỡ |
| Ví dụ | 8 bạn thích | 40% số bạn thích |
Dạng bài
So sánh hai nhóm khác cỡ
- 1 Hỏi trước: hai nhóm có cùng cỡ không? Khác cỡ thì không so số lượng.
- 2 Tính tần số tương đối của mỗi nhóm.
- 3 So hai tỉ lệ rồi kết luận.
⚠️ Bẫy hay gặp: 15 > 12 nhưng lớp 9B đông hơn nên số giỏi nhiều hơn cũng dễ hiểu. Kết luận ngược lại: 9A mới có tỉ lệ cao hơn.
Lớp 9A có 30 bạn, 12 bạn đạt giỏi. Lớp 9B có 50 bạn, 15 bạn đạt giỏi. Lớp nào có kết quả tốt hơn?
Hướng dẫn giải
4 🧱 Ghép nhóm số liệu
Cần nhớ
- ✦Nhóm là nửa khoảng [a; b): a ≤ x < b. [10; 20) chứa 10 nhưng không chứa 20.
- ✦Số liệu bằng đầu mút phải vào nhóm sau: 170 thuộc [170; 180), không thuộc [160; 170).
- ✦Giá trị đại diện là trung điểm a + b2. Nhóm [4; 6) có đại diện 5.
- ✦Ghép nhóm được hình dạng phân bố nhưng mất số liệu gốc, nên số trung bình chỉ là xấp xỉ. Cột vẽ dính liền.
Dạng bài
Lập bảng tần số ghép nhóm
- 1 Chọn độ rộng nhóm, viết các nửa khoảng liên tiếp phủ hết số liệu.
- 2 Xếp từng số vào nhóm theo [a; b): bằng a thì vào, bằng b thì sang nhóm sau.
- 3 Đếm tần số mỗi nhóm.
- 4 Kiểm tổng tần số = N.
⚠️ Bẫy hay gặp: Số 170 thuộc nhóm [170; 180), không thuộc [160; 170). Xếp nhầm thì nhóm đó thành 5, nhóm sau thành 0 và tổng vẫn 10 nên dễ không phát hiện.
Chiều cao (cm) của 10 bạn: 148, 150, 152, 155, 156, 160, 160, 162, 164, 170. Ghép nhóm độ rộng 10 từ 140.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Số trung bình xấp xỉ từ bảng ghép nhóm
- 1 Tính giá trị đại diện (trung điểm) của từng nhóm.
- 2 Nhân đại diện với tần số rồi cộng lại.
- 3 Chia cho N.
- 4 Ghi dấu ≈ và nhớ kiểm: kết quả phải nằm trong khoảng các nhóm, gần nhóm đông nhất.
⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng đầu mút trái thay cho trung điểm thì lệch: 0 + 50 + 6020 = 5,5, thấp hơn 8 đúng nửa độ rộng nhóm (2,5).
Thời gian tự học (giờ) của 20 bạn: [0; 5) có 4 bạn, [5; 10) có 10 bạn, [10; 15) có 6 bạn. Tính số trung bình xấp xỉ.
Hướng dẫn giải
Dữ liệu rời rạc (điểm số, số con): mỗi giá trị một cột, có khe giữa các cột.
Dữ liệu ghép nhóm: các nhóm nối tiếp nhau, không hở khoảng nào.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Bảng tần số, cỡ mẫu và mốt
- 1Nhận biết
Tần số của một giá trị trong mẫu số liệu là:
- 2Nhận biết
Mốt của một mẫu số liệu là:
- 3Thông hiểu Dãy 4, 6, 6, 8, 4, 6, 9, 6: tần số của giá trị 6 là , mốt là .
- 4Thông hiểu Điểm của 15 bạn: điểm 6 có 3 bạn, điểm 7 có x bạn, điểm 8 có 5 bạn, điểm 9 có 2 bạn. Khi đó x = .
- 5Thông hiểu
Bảng tần số: điểm 5, 6, 7, 8 có tần số lần lượt 2, 7, 4, 7. Mốt của mẫu là:
- 6Vận dụng Điểm của 10 bạn: 5, 7, 6, 7, 8, 7, 9, 6, 7, 10. Điểm 7 có tần số và số trung bình = .
Tần số tương đối
- 1Nhận biết
Mẫu có N = 50, một giá trị có tần số 10. Tần số tương đối của nó là:
- 2Thông hiểu Lớp 40 bạn có 14 bạn thích bóng đá. Tần số tương đối của bóng đá là %.
- 3Thông hiểu Trong biểu đồ hình quạt, phần chiếm 30% ứng với góc °.
- 4Thông hiểu Lớp 25 bạn: Giỏi 5 bạn, Khá 10 bạn, Trung bình 8 bạn, Yếu 2 bạn. Tần số tương đối của Khá là %.
- 5Thông hiểu
Các tần số tương đối của một mẫu là 20%, 35%, 25% và x%. Giá trị x bằng:
- 6Vận dụng Mẫu cỡ N = 40, một giá trị có tần số tương đối 15%. Tần số của nó là .
So sánh hai mẫu khác cỡ
- 1Thông hiểu
Lớp A có 20 bạn, 8 bạn thích môn Tin. Lớp B có 50 bạn, 20 bạn thích môn Tin. Kết luận đúng là:
- 2Thông hiểu
Lớp 9A có 36 bạn, 9 bạn đi xe buýt. Lớp 9B có 48 bạn, 14 bạn đi xe buýt. Lớp nào có tỉ lệ đi xe buýt cao hơn?
- 3Vận dụng
Trường X có 200 học sinh, 30 bạn đạt giải. Trường Y có 500 học sinh, 60 bạn đạt giải. Trường nào có tỉ lệ đạt giải cao hơn?
Ghép nhóm
- 1Nhận biết
Giá trị đại diện của nhóm [10; 20) là:
- 2Thông hiểu
Với các nhóm [140; 150), [150; 160), [160; 170), số liệu 150 thuộc nhóm nào?
- 3Thông hiểu Chiều cao 10 bạn: 148, 150, 152, 155, 156, 160, 160, 162, 164, 170. Số bạn thuộc nhóm [160; 170) là .
- 4Thông hiểu Thời gian tự học của 40 bạn: [0; 2) có 4 bạn, [2; 4) có 10 bạn, [4; 6) có 16 bạn, [6; 8) có 10 bạn. Tần số tương đối của nhóm [4; 6) là %.
- 5Vận dụng Mẫu 10 bạn chia thành [0; 4), [4; 8), [8; 12) với tần số 2, 6, 2. Số trung bình xấp xỉ là .
- 6Vận dụng Mẫu cỡ 25 chia thành ba nhóm A, B, C. Nhóm A có tần số tương đối 28%, nhóm B có 44%. Tần số của nhóm C là .
🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?
- •Thống kê thường là câu nhẹ điểm của đề: đọc bảng hoặc biểu đồ rồi tính tần số tương đối, hay có thêm ý đọc mốt.
- •Hay có bài cho tần số tương đối (hoặc hình quạt) và cỡ mẫu, bắt tính ngược số lượng, hoặc so sánh hai nhóm khác cỡ bằng phần trăm.
- •Bảng ghép nhóm thường hỏi nhóm nào đông nhất, hoặc số liệu bằng đầu mút thuộc nhóm nào.
17. Xác suất của biến cố