Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Nhận ra phương trình bậc nhất hai ẩn, đoán số nghiệm của hệ mà chưa cần giải, và giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 1, Bài 2
⚡ Nhớ nhanh
- 1Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c (a, b không đồng thời bằng 0). Nghiệm là một cặp số (x₀; y₀).
- 2Mỗi phương trình có vô số nghiệm, nằm trên một đường thẳng. Nghiệm của hệ là điểm chung của hai đường thẳng.
- 3Cắt nhau → 1 nghiệm · song song → vô nghiệm · trùng nhau → vô số nghiệm.
- 4Phương pháp thế: rút một ẩn rồi thế vào phương trình kia. Phương pháp cộng: làm hệ số một ẩn bằng/đối nhau rồi trừ/cộng.
- 5Giải xong luôn thử lại vào cả hai phương trình.
👀 Nhìn là hiểu
Mỗi phương trình là một đường thẳng. Đổi hệ số và xem số nghiệm của hệ thay đổi theo.
Chạm vào một điểm trên lưới để thử nó có là nghiệm không.
Bấm vào một hệ số để đổi nó:
Hai đường thẳng cắt nhau tại (1; 2) ⇒ hệ có nghiệm duy nhất (1; 2).
a/a' = 1/3 · b/b' = −2 · c/c' = 5
1 📏 Phương trình bậc nhất hai ẩn
Cần nhớ
- ✦Dạng ax + by = c, a và b không đồng thời bằng 0. Ví dụ: 2x − 3y = 5; cả 0x + 2y = 4 cũng là (vì b = 2 ≠ 0).
- ✦Cặp số (x₀; y₀) là nghiệm nếu thay vào thì hai vế bằng nhau. (2; 1) là nghiệm của 2x − 3y = 1 vì 4 − 3 = 1.
- ✦Phương trình có vô số nghiệm, biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng ax + by = c.
- ✦a = 0: đường thẳng y = c/b, song song hoặc trùng trục Ox. b = 0: đường thẳng x = c/a, song song hoặc trùng trục Oy.
Dạng bài
Viết nghiệm tổng quát
- 1 Rút một ẩn theo ẩn còn lại (chọn ẩn có hệ số 1 hoặc −1 cho gọn).
- 2 Viết nghiệm dạng cặp số, ẩn còn lại lấy giá trị tuỳ ý.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nghiệm là một cặp số, viết x trước y: (4; 0) khác (0; 4).
Viết nghiệm tổng quát của phương trình x − 2y = 4.
Hướng dẫn giải
2 ✖️ Hệ phương trình và số nghiệm
Cần nhớ
- ✦Hệ {ax + by = ca'x + b'y = c' : nghiệm của hệ là nghiệm chung của cả hai phương trình.
- ✦Kiểm tra một cặp số có là nghiệm của hệ: thay vào cả hai phương trình. Chỉ đúng một phương trình thì không phải nghiệm của hệ.
- ✦Số nghiệm của hệ = số điểm chung của hai đường thẳng. Kéo thử ở hình phía trên để thấy.
Đoán số nghiệm không cần giải (mẹo khi a', b', c' khác 0)
| Hai đường thẳng | Số nghiệm của hệ | Dấu hiệu |
|---|---|---|
| Cắt nhau | Duy nhất | a/a' ≠ b/b' |
| Song song | Vô nghiệm | a/a' = b/b' ≠ c/c' |
| Trùng nhau | Vô số nghiệm | a/a' = b/b' = c/c' |
3 🔁 Giải bằng phương pháp thế
Dạng bài
Phương pháp thế
- 1 Từ một phương trình, rút một ẩn theo ẩn kia (ưu tiên ẩn có hệ số 1 hoặc −1).
- 2 Thế vào phương trình còn lại → được phương trình một ẩn, giải nó.
- 3 Thay giá trị vừa tìm vào biểu thức đã rút để tìm ẩn kia.
- 4 Kết luận nghiệm (x; y) và thử lại vào cả hai phương trình.
⚠️ Bẫy hay gặp: Thế xong nhớ đóng ngoặc: 2(3x − 1) = 6x − 2, không phải 6x − 1.
Giải hệ {x + 2y = 53x − y = 1
Hướng dẫn giải
4 ➕ Giải bằng phương pháp cộng đại số
Dạng bài
Phương pháp cộng đại số
- 1 Nhân mỗi phương trình với một số thích hợp để hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.
- 2 Hệ số đối nhau thì cộng từng vế, bằng nhau thì trừ từng vế → mất một ẩn.
- 3 Giải phương trình một ẩn, thay vào một phương trình ban đầu để tìm ẩn kia.
- 4 Kết luận và thử lại.
⚠️ Bẫy hay gặp: Khi trừ từng vế, mọi hạng tử của phương trình thứ hai đều đổi dấu: 3y − (−y) = 4y, không phải 2y.
Giải hệ {2x + 3y = 83x − 2y = −1
Hướng dẫn giải
Có một ẩn mang hệ số 1 hoặc −1, hoặc một phương trình đã có sẵn dạng y = … / x = …
Hệ số đều lớn, hoặc một ẩn đã có hệ số bằng nhau / đối nhau ở hai phương trình.
🧮 Máy tính cầm tay
- ✦Chọn chế độ giải hệ phương trình (Equation → hệ phương trình), chọn 2 ẩn, nhập lần lượt a, b, c của từng phương trình rồi bấm = để xem x, y.
- ✦Máy tính dùng để thử lại. Bài tự luận vẫn phải trình bày các bước thế hoặc cộng.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm
- 1Nhận biết
Phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn?
- 2Nhận biết
Cặp số nào là nghiệm của phương trình 2x − y = 3?
- 3Thông hiểu Cặp số (4; y) là nghiệm của phương trình x + 2y = 10 khi y = .
- 4Thông hiểu
Tập nghiệm của phương trình 0x + 2y = 6 được biểu diễn bởi đường thẳng nào?
- 5Vận dụng Nghiệm tổng quát của x − 2y = 4 là (x; y) với x = , y tuỳ ý.
Đoán số nghiệm, không cần giải
- 1Nhận biết
Hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình của một hệ song song với nhau. Hệ đó:
- 2Thông hiểu
Cặp số (1; 2) có phải nghiệm của hệ {x + y = 32x − y = 1 không?
- 3Thông hiểu
Hệ {x + y = 32x + 2y = 6 có bao nhiêu nghiệm?
- 4Thông hiểu
Hệ {2x − y = 14x − 2y = 5 có bao nhiêu nghiệm?
- 5Thông hiểu
Hệ {x + 2y = 43x − y = 5 có bao nhiêu nghiệm?
Giải hệ bằng phương pháp thế
- 1Thông hiểu Giải hệ {x − y = 12x + y = 8 ⇒ (x; y) = (; )
- 2Thông hiểu Giải hệ {y = 2x − 33x + 2y = 8 ⇒ (x; y) = (; )
- 3Vận dụng Giải hệ {x/2 + y/3 = 2x − y = −1 ⇒ (x; y) = (; )
Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số
- 1Thông hiểu Giải hệ {3x + 2y = 75x − 2y = 1 ⇒ (x; y) = (; )
- 2Thông hiểu Giải hệ {4x + 3y = 104x − y = 2 ⇒ (x; y) = (; )
- 3Thông hiểu Giải hệ {2x + 3y = 133x − 2y = 0 ⇒ (x; y) = (; )
- 4Vận dụng Giải hệ {0,5x + 0,2y = 1,6x − 0,4y = 0,8 ⇒ (x; y) = (; )
Vận dụng: tìm hệ số, tham số
- 1Vận dụng Hệ {2x + by = −4bx − ay = −5 có nghiệm (1; −2) khi a = , b = .
- 2Vận dụng Hệ {x + 2y = 32x + my = 1 vô nghiệm khi m = .
- 3Vận dụng
Hệ {mx + y = 1x + y = 2 có nghiệm duy nhất khi:
- 4Vận dụng Đường thẳng y = ax + b đi qua A(1; 3) và B(2; 5) khi a = , b = .
🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?
- •Giải hệ phương trình là một ý quen thuộc ở câu Đại số, thường 0,5–1 điểm: trình bày đủ các bước của phương pháp thế hoặc cộng.
- •Hay có bài tham số m: tìm m để hệ có nghiệm duy nhất / vô nghiệm, hoặc biết nghiệm rồi tìm hệ số.
- •Hệ phương trình còn là bước cuối của bài giải toán bằng cách lập hệ (chủ điểm 2), dạng này thường nhiều điểm hơn.
2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn