Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
Giải phương trình tích, giải phương trình chứa ẩn ở mẫu và loại được nghiệm ngoại lai bằng điều kiện xác định.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 4
⚡ Nhớ nhanh
- 1Phương trình tích: A(x)·B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0. Quy tắc này chỉ đúng với số 0, nên phải chuyển hết về một vế rồi phân tích thành nhân tử.
- 2Phương trình chứa ẩn ở mẫu: ba bước theo thứ tự điều kiện → khử mẫu → đối chiếu.
- 3Điều kiện xác định (ĐKXĐ): mọi mẫu phải khác 0. Đặt trước khi biến đổi, không để đến cuối mới nhớ.
- 4Khử mẫu làm tập nghiệm rộng ra nên có thể sinh nghiệm ngoại lai: nghiệm tìm được nhưng làm một mẫu bằng 0 thì loại.
- 5Ra 0 = 0 là vô số nghiệm (mọi x thoả ĐKXĐ); ra đẳng thức vô lí như 0 = 5 mới là vô nghiệm.
👀 Nhìn là hiểu
Chọn một phương trình mẫu, đổi các số rồi xem nghiệm nào được nhận, nghiệm nào bị loại vì làm mẫu bằng 0.
Chạm vào trục số để đặt giá trị đang chọn.
Bấm một số để đổi nó:
(x − 2)(x + 3) / (x − 2) = 0
ĐKXĐ: x ≠ 2
Cho tử bằng 0: x = 2 hoặc x = −3.
- x = 2: mẫu x − 2 = 2 − 2 = 0 ⇒ mẫu bằng 0 ✗
- x = −3: mẫu x − 2 = −3 − 2 = −5 ≠ 0 ✓
⇒ Nhận x = −3, loại x = 2 vì làm mẫu bằng 0.
1 ✖️ Phương trình tích
Cần nhớ
- ✦A·B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0. Ví dụ: (x − 1)(x + 2) = 0 cho x = 1 hoặc x = −2.
- ✦Quy tắc chỉ dùng được khi vế phải bằng 0. Từ (x − 1)(x + 2) = 4 không suy ra x − 1 = 4 hoặc x + 2 = 4, vì 4 còn tách được thành 2·2, 1·4, …
- ✦Có ẩn ở cả hai vế (x² = 4x): chuyển vế rồi đặt nhân tử chung, đừng chia hai vế cho x vì sẽ mất nghiệm x = 0.
Dạng bài
Giải phương trình tích
- 1 Chuyển hết về một vế, vế kia bằng 0.
- 2 Phân tích thành nhân tử (đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, hoặc tìm hai số có tổng và tích phù hợp).
- 3 Cho từng nhân tử bằng 0, giải các phương trình bậc nhất.
- 4 Kết luận nghiệm và thử lại vào phương trình gốc.
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết x(x + 2) = 8 rồi suy ra "x = 8 hoặc x + 2 = 8" là sai: x = 8 cho 8² + 2·8 = 80 ≠ 8. Phải chuyển vế cho vế phải bằng 0 trước.
Giải phương trình x² + 2x = 8.
Hướng dẫn giải
2 🚧 Điều kiện xác định
Cần nhớ
- ✦Phân thức A/B chỉ có nghĩa khi B ≠ 0. Ví dụ: 2x/(x − 4) có nghĩa khi x ≠ 4.
- ✦Có nhiều mẫu thì mỗi mẫu đều phải khác 0: 1x − 1 + 3x + 2 cần x ≠ 1 và x ≠ −2.
- ✦ĐKXĐ là điều kiện của căn thức hay của phân thức? Phân thức chỉ cần mẫu ≠ 0. "x > 4" là điều kiện của căn, không dùng ở đây.
Dạng bài
Tìm điều kiện xác định
- 1 Gạch chân mọi mẫu có chứa ẩn.
- 2 Cho từng mẫu ≠ 0, giải ra các giá trị bị cấm.
- 3 Viết ĐKXĐ gọn: x ≠ …, x ≠ …
⚠️ Bẫy hay gặp: 2x − 6 ≠ 0 cho x ≠ 3, không phải x ≠ 6: nhớ chia cho hệ số 2 (2·6 − 6 = 6 ≠ 0, còn 2·3 − 6 = 0).
Tìm ĐKXĐ của phương trình 52x − 6 + 1x + 4 = 1.
Hướng dẫn giải
3 ➗ Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Cần nhớ
- ✦Thứ tự bắt buộc: ĐKXĐ → quy đồng, khử mẫu → giải → đối chiếu ĐKXĐ.
- ✦Nghiệm tìm được phải thoả ĐKXĐ mới nhận. Làm một mẫu bằng 0 thì là nghiệm ngoại lai, loại.
- ✦A/B = 0 thì phải A = 0 và B ≠ 0. Giá trị làm cả tử lẫn mẫu bằng 0 làm phân thức không xác định, không phải bằng 0.
Dạng bài
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
- 1 Tìm ĐKXĐ.
- 2 Quy đồng, khử mẫu (nhân hai vế với mẫu chung, hoặc nhân chéo khi mỗi vế một phân thức).
- 3 Giải phương trình nhận được.
- 4 Đối chiếu ĐKXĐ: nhận nghiệm thoả, loại nghiệm vi phạm; thử lại vào phương trình gốc.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nhân chéo 3(x + 1) = 2(x − 1) phải nhân cả ngoặc: 3x + 3 và 2x − 2. Viết 3x + 1 = 2x − 1 sẽ ra x = −2, sai.
Giải phương trình 3x − 1 = 2x + 1.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Nhận ra nghiệm ngoại lai
- 1 Tìm ĐKXĐ và ghi lại giá trị bị cấm.
- 2 Khử mẫu, giải ra nghiệm.
- 3 So nghiệm với giá trị bị cấm: trùng thì loại.
- 4 Nếu loại hết thì phương trình vô nghiệm.
⚠️ Bẫy hay gặp: Ra x = 3 rồi ghi luôn "nghiệm là 3" là sai: thay x = 3 vào, mẫu 3 − 3 = 0 và phân thức không có nghĩa.
Giải phương trình 2x/(x − 3) = 6x − 3 + 1.
Hướng dẫn giải
4 🧭 Ba kết cục của phương trình một ẩn
Sau khi rút gọn về ax + b = 0
| Trường hợp | Kết luận | Ví dụ |
|---|---|---|
| a ≠ 0 | Một nghiệm x = −b/a | 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3 |
| a = 0, b ≠ 0 | Vô nghiệm | 0x = 5 |
| a = 0, b = 0 | Vô số nghiệm (mọi x thoả ĐKXĐ) | 0x = 0 |
Cẩn thận khi ra 0 = 0
- ✦Ví dụ: x/(x − 1) = 1 + 1x − 1. Khử mẫu: x = (x − 1) + 1 ⇒ 0 = 0. Đáp số là mọi x ≠ 1, không phải "mọi x".
- ✦Vì khử mẫu đã làm mất thông tin x ≠ 1, chỉ ĐKXĐ đặt từ đầu mới giữ lại được.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Phương trình tích
- 1Nhận biết
Phương trình (x − 3)(x + 5) = 0 có tập nghiệm:
- 2Nhận biết
Phương trình nào có thể dùng NGAY quy tắc "tích bằng 0 thì có thừa số bằng 0"?
- 3Thông hiểu Nghiệm dương của phương trình (2x − 6)(x + 1) = 0 là x = .
- 4Thông hiểu Phương trình x² = 4x có nghiệm khác 0 là x = .
- 5Thông hiểu Phương trình x² + x = 6 có nghiệm âm là x = .
- 6Vận dụng Phương trình x³ − 4x = 0 có ba nghiệm, nghiệm lớn nhất là x = .
Điều kiện xác định
- 1Nhận biết
Điều kiện xác định của phương trình 2x/(x − 4) = 1 là:
- 2Thông hiểu
ĐKXĐ của phương trình 1x − 1 + 3x + 2 = 1 là:
- 3Thông hiểu Phương trình 52x − 6 = 1 xác định khi x ≠ .
- 4Vận dụng
ĐKXĐ của phương trình 1x² − 9 = 2 là:
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
- 1Thông hiểu Giải 6x − 1 = 3 ⇒ x = .
- 2Thông hiểu Giải 4x + 1 = 2x − 1 ⇒ x = .
- 3Thông hiểu Giải x + 3x − 1 = 2 ⇒ x = .
- 4Vận dụng Giải 3/x = 2x − 1 ⇒ x = .
- 5Vận dụng
Phương trình 1x − 2 + 1x + 2 = 4x² − 4 có bao nhiêu nghiệm?
Nghiệm ngoại lai
- 1Nhận biết
Giải xong phương trình chứa ẩn ở mẫu, bước nào KHÔNG được bỏ?
- 2Thông hiểu
Phương trình x² − 4x − 2 = 0 có nghiệm là:
- 3Thông hiểu Phương trình x² − 9x − 3 = 0 có nghiệm x = .
- 4Vận dụng
Phương trình x/(x − 1) = 1x − 1 có bao nhiêu nghiệm?
Vô nghiệm, vô số nghiệm, tham số
- 1Nhận biết
Phương trình 0x = 5 có:
- 2Thông hiểu
Phương trình x/(x − 1) = 1 + 1x − 1 có tập nghiệm là:
- 3Vận dụng
Phương trình (x − 2)x − mx − 3 = 0 có đúng một nghiệm khi:
🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?
- •Phương trình tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu thường xuất hiện như một bước trong bài rút gọn biểu thức hoặc bài toán lập phương trình.
- •Hay có câu hỏi đặt điều kiện xác định hoặc yêu cầu giải rồi loại nghiệm ngoại lai. Bước đối chiếu điều kiện thường là điểm dễ mất.
- •Dạng tham số kiểu "tìm m để phương trình có đúng một nghiệm" thường hay có ở câu khó hơn.
3. Bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất một ẩn