Căn bậc hai, căn bậc ba và rút gọn biểu thức
Tìm điều kiện xác định của căn thức, rút gọn biểu thức chứa căn (kể cả trục căn ở mẫu) và dùng đúng √(A²) = |A| mà không mất điều kiện.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 7, Bài 8, Bài 9, Bài 10
⚡ Nhớ nhanh
- 1√a ≥ 0 luôn luôn: √9 = 3 (không phải ±3). Số âm không có căn bậc hai. √A xác định ⇔ A ≥ 0, còn căn đứng ở mẫu thì cần A > 0.
- 2√(A²) = |A|, không phải A. Ví dụ √((−5)²) = 5.
- 3Căn phân phối qua nhân và chia: √(ab) = √a·√b, nhưng không qua cộng: √(9 + 16) = 5 ≠ 3 + 4.
- 4Rút gọn: tách bình phương ra ngoài (√72 = 6√2), trục căn ở mẫu (nhân cả tử và mẫu với căn hoặc với biểu thức liên hợp), chỉ cộng trừ các căn đồng dạng.
- 5Căn bậc ba ∛a có với mọi số thực, kể cả số âm (∛(−8) = −2), và ∛(a³) = a, không có trị tuyệt đối.
- 6Rút gọn xong vẫn giữ điều kiện của biểu thức ban đầu.
👀 Nhìn là hiểu
Hình vuông diện tích a có cạnh √a, khối lập phương thể tích a có cạnh ∛a. Chuyển sang chế độ √(A²) để thấy kết quả luôn là |A|.
Mỗi ô vuông nhỏ là 1 đơn vị diện tích.
Diện tích a = 9
Hình vuông diện tích 9 có cạnh 3, vì 3² = 9. Vậy √9 = 3. (Chỉ lấy 3, vì độ dài không âm: đó là căn bậc hai số học.)
1 √ Căn bậc hai, điều kiện xác định, √(A²) = |A|
Cần nhớ
- ✦Căn bậc hai số học của a ≥ 0 là số không âm có bình phương bằng a. √9 = 3. Hai căn bậc hai của 9 mới là 3 và −3.
- ✦Số âm không có căn bậc hai. √A xác định khi A ≥ 0. Ví dụ √(x − 2) xác định khi x ≥ 2 (x = 2 vẫn được vì √0 = 0).
- ✦Có căn ở mẫu thì cần dưới căn > 0: 1/√(x − 2) xác định khi x > 2.
- ✦√(A²) = |A|: √((−7)²) = |−7| = 7, không phải −7.
Dạng bài
Tìm điều kiện xác định
- 1 Gạch chân từng căn và từng mẫu trong biểu thức.
- 2 Căn đứng một mình: biểu thức dưới căn ≥ 0. Căn nằm ở mẫu: biểu thức dưới căn > 0.
- 3 Giải từng bất phương trình rồi gộp điều kiện.
- 4 Thử lại bằng cách thay giá trị biên vào xem còn nghĩa không.
⚠️ Bẫy hay gặp: Căn ở mẫu phải > 0, không phải ≥ 0: tại x = 3 thì 1/√(3 − 3) = 10, vô nghĩa.
Tìm điều kiện xác định của √(2x − 6) và của 1/√(3 − x).
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Bỏ trị tuyệt đối khi rút gọn √(A²)
- 1 Viết √(A²) = |A|.
- 2 Xét dấu của A theo điều kiện đề cho.
- 3 A ≥ 0 thì |A| = A. A < 0 thì |A| = −A.
- 4 Thử lại bằng một số cụ thể thoả điều kiện.
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết √((x − 3)²) = x − 3 khi x < 3 là sai: với x = 1 vế phải bằng −2, một căn bậc hai âm.
Rút gọn √((x − 3)²) khi x < 3.
Hướng dẫn giải
2 ✂️ Khai căn tích, thương và đưa thừa số ra ngoài căn
Cần nhớ
- ✦√(ab) = √a·√b (a, b ≥ 0) và √(a/b) = √a/√b (a ≥ 0, b > 0). Ví dụ √(4·9) = 2·3 = 6.
- ✦Đưa thừa số ra ngoài: √(A²B) = |A|√B. Ví dụ √72 = √(36·2) = 6√2.
- ✦Đưa thừa số vào trong chỉ làm khi số đó không âm: 3√5 = √45. Số âm giữ dấu trừ ở ngoài: −3√5 = −√45.
- ✦Căn không phân phối qua cộng, trừ: √(9 + 16) = 5 nhưng √9 + √16 = 7.
Tách bình phương lớn nhất
| Căn | Tách thành | Kết quả |
|---|---|---|
| √50 | √(25·2) | 5√2 |
| √72 | √(36·2) | 6√2 |
| √18 | √(9·2) | 3√2 |
| √45 | √(9·5) | 3√5 |
Dạng bài
Rút gọn tổng các căn
- 1 Tách mỗi số dưới căn thành (bình phương lớn nhất) · (phần còn lại).
- 2 Đưa bình phương ra ngoài căn.
- 3 Cộng trừ hệ số của các căn đồng dạng.
- 4 Thử lại bằng máy tính.
⚠️ Bẫy hay gặp: Không cộng số dưới căn: √50 + √18 ≠ √68. Cụ thể √68 ≈ 8,25 còn √50 + √18 ≈ 11,31.
Rút gọn A = √50 + √18 − √8.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
So sánh hai số có căn
- 1 Đưa thừa số (dương) vào trong căn cho cả hai số.
- 2 So sánh hai số dưới căn.
- 3 Kết luận. Thử lại bằng số thập phân.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đưa số âm vào căn thì dấu trừ ở lại ngoài: −3√2 = −√18, không phải √18.
So sánh 3√5 và 5√3.
Hướng dẫn giải
3 🧲 Trục căn thức ở mẫu
Cần nhớ
- ✦Mẫu một căn: a/√b = a√b/b (b > 0). Ví dụ 2/√3 = 2√33.
- ✦Mẫu dạng √a ± √b: nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp (đổi dấu ở giữa). Mẫu mới là a − b, hết căn.
- ✦Cộng trừ căn chỉ làm được khi đồng dạng: 2√3 + 5√3 = 7√3. Còn 3√2 + 2√3 thì không gộp được.
Dạng bài
Trục căn thức ở mẫu
- 1 Mẫu có một căn: nhân cả tử và mẫu với chính căn đó.
- 2 Mẫu là √a ± √b: nhân cả tử và mẫu với liên hợp √a ∓ √b.
- 3 Mẫu mới = a − b (không còn căn). Rút gọn phân thức.
- 4 Thử lại bằng số thập phân.
⚠️ Bẫy hay gặp: Phải nhân cả tử và mẫu. Chỉ nhân mẫu với √3 thì 2/√3 thành 23, giá trị đã đổi.
Trục căn thức ở mẫu: 6√5 − √2.
Hướng dẫn giải
4 🧮 Rút gọn biểu thức chứa chữ
Cần nhớ
- ✦Thứ tự: đặt điều kiện → phân tích nhân tử hoặc quy đồng → rút gọn → ghi kết quả kèm điều kiện.
- ✦Mẹo trung tâm: a = (√a)², nên a − 4 = (√a − 2)(√a + 2).
- ✦Điều kiện lấy từ biểu thức ban đầu. Rút gọn xong không được bỏ nó đi.
Hai biểu thức trông giống mà khác hẳn
| (√a)² | √(a²) | |
|---|---|---|
| Điều kiện | a ≥ 0 | Mọi a |
| Kết quả | a | |a| |
| Với a = −5 | Vô nghĩa | 5 |
Dạng bài
Rút gọn biểu thức chứa căn
- 1 Đặt điều kiện (căn ≥ 0, mẫu ≠ 0).
- 2 Viết a = (√a)², phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
- 3 Rút nhân tử chung (nhân tử đó phải khác 0 theo điều kiện).
- 4 Kết luận kèm điều kiện. Thử lại bằng một giá trị cụ thể.
⚠️ Bẫy hay gặp: Giữ nguyên điều kiện a ≠ 4: √a + 2 có nghĩa tại a = 4 (bằng 4) nhưng P ban đầu thì mẫu √4 − 2 = 0.
Rút gọn P = a − 4√a − 2 với a ≥ 0, a ≠ 4.
Hướng dẫn giải
🧮 Máy tính cầm tay
- ✦Máy tính dùng để thử lại: nhập biểu thức gốc và biểu thức đã rút gọn tại cùng một giá trị, hai kết quả phải bằng nhau.
- ✦Bài tự luận vẫn phải ghi đủ điều kiện và các bước biến đổi.
5 🧊 Căn bậc ba
Cần nhớ
- ✦∛a = b ⇔ b³ = a. Ví dụ ∛27 = 3 vì 3³ = 27.
- ✦Mọi số thực có căn bậc ba, kể cả số âm, và chỉ có đúng một: ∛(−64) = −4.
- ✦∛(a³) = a với mọi a, không có trị tuyệt đối.
- ✦∛(ab) = ∛a·∛b nhưng không qua phép cộng: ∛(1 + 7) = 2 còn 1 + ∛7 ≈ 2,91.
Căn bậc hai và căn bậc ba
| Căn bậc hai √a | Căn bậc ba ∛a | |
|---|---|---|
| Điều kiện của a | a ≥ 0 | Mọi a |
| Dấu của kết quả | Luôn ≥ 0 | Cùng dấu với a |
| Rút gọn luỹ thừa | √(a²) = |a| | ∛(a³) = a |
| Của −8 | Không có | −2 |
Dạng bài
Tính và rút gọn căn bậc ba
- 1 Viết số dưới căn thành lập phương (số âm thì lấy dấu trừ vào).
- 2 Dùng ∛(a³) = a và ∛(ab) = ∛a·∛b.
- 3 Nếu đi kèm căn bậc hai thì nhớ √(a²) = |a| và xét dấu.
- 4 Thử lại bằng một số cụ thể.
⚠️ Bẫy hay gặp: ∛(−8) không phải "không tồn tại": (−2)³ = −8 nên ∛(−8) = −2. Điều kiện a ≥ 0 chỉ dành cho căn bậc hai.
Rút gọn ∛(a³) − √(a²) khi a < 0.
Hướng dẫn giải
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Căn bậc hai và điều kiện xác định
- 1Nhận biết
Giá trị của √49 bằng
- 2Nhận biết
Điều kiện xác định của √(x − 2) là
- 3Thông hiểu
Rút gọn √((−7)²) được
- 4Thông hiểu Biểu thức √(3x − 6) xác định khi x ≥ .
- 5Thông hiểu
Biểu thức 1/√(4 − x) xác định khi
- 6Vận dụng Với x < 0, giá trị của √(x²) + x bằng .
Khai căn tích, đưa thừa số ra ngoài
- 1Nhận biết
√(4·9) bằng
- 2Thông hiểu √72 = √2.
- 3Thông hiểu √50 + √18 − √8 = √2.
- 4Thông hiểu
So sánh 3√5 và 5√3.
- 5Vận dụng Với a < 0, √(4a²) = .
Trục căn thức ở mẫu
- 1Nhận biết
Trục căn thức ở mẫu của 1/√2 được
- 2Thông hiểu 6/√3 = √3.
- 3Thông hiểu 6√5 − √2 = (√5 + √2).
- 4Vận dụng (1√3 − 1 + 1√3 + 1) · √3 = .
Rút gọn biểu thức chứa chữ
- 1Thông hiểu
Với a ≥ 0, a ≠ 4, rút gọn a − 4√a − 2 được
- 2Thông hiểu
Điều kiện xác định của √x/(√x − 1) là
- 3Vận dụng
Với a > 0, rút gọn (a − √a)/√a được
- 4Vận dụng Với a = 16, giá trị của a − 9√a − 3 bằng .
Căn bậc ba
- 1Nhận biết
Giá trị của ∛125 bằng
- 2Thông hiểu ∛(−27) = .
- 3Thông hiểu
Rút gọn ∛(8a³) được
- 4Vận dụng
Với a < 0, ∛(a³) + √(a²) bằng
🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?
- •Rút gọn biểu thức chứa căn thường nằm ở câu đầu của phần Đại số, hay có nhiều ý: rút gọn P, tính giá trị tại một x cho trước, tìm x để P thoả một điều kiện.
- •Hay có bẫy: quên điều kiện xác định, quên √(A²) = |A|, hoặc rút gọn xong làm mất điều kiện của biểu thức ban đầu.
- •Trục căn ở mẫu (nhân liên hợp) và đưa thừa số ra ngoài căn là hai kĩ năng nền, thường xuất hiện ngay trong lời giải. Căn bậc ba thường chỉ xen vào phép tính hoặc so sánh.
5. Tỉ số lượng giác của góc nhọn