Tất cảMầm nonTiểu họcTHCSTHPT
Toán lớp 9
Chủ điểm 5 · Học kỳ 1

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Gọi đúng cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền của một góc nhọn, tính sin, côsin, tang, côtang, nhớ ba góc đặc biệt 30°, 45°, 60° và dùng quan hệ hai góc phụ nhau.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 11

⚡ Nhớ nhanh

  • 1Xét một góc nhọn α của tam giác vuông: sin α = đối / huyền, cos α = kề / huyền, tan α = đối / kề, cot α = kề / đối.
  • 2Cạnh đối là cạnh không chạm góc α, cạnh kề là cạnh còn lại (khác huyền). Đổi sang góc nhọn kia thì đối và kề hoán đổi.
  • 3Tỉ số chỉ phụ thuộc độ lớn của góc, không phụ thuộc tam giác to hay nhỏ. Sin và cos của góc nhọn luôn nằm giữa 0 và 1.
  • 4Hai góc phụ nhau (α + β = 90°): sin α = cos β và tan α = cot β. Hệ thức cơ bản: sin²α + cos²α = 1.
  • 5Thuộc bảng 30°, 45°, 60°, rồi thử lại bằng sin² + cos² = 1 hoặc bằng máy tính.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo góc α và phóng to, thu nhỏ tam giác. Cạnh đổi nhưng tỉ số không đổi: chỉ có góc quyết định tỉ số.

30°6,934,008ABC

Tam giác ABC vuông tại B. Với góc A: đối = BC, kề = AB, huyền = AC.

Góc α = 30°

Cỡ tam giác (cạnh huyền AC) = 8

sin 30° = đối/huyền = 4,00/8,00 ≈ 0,50= 1/2

cos 30° = kề/huyền = 6,93/8,00 ≈ 0,87= √3/2

tan 30° = đối/kề = 4,00/6,93 ≈ 0,58= √3/3

cot 30° = kề/đối = 6,93/4,00 ≈ 1,73= √3

Kéo cỡ tam giác: các cạnh đổi nhưng tỉ số vẫn là 0,50; 0,87; 0,58. Chỉ đổi góc thì tỉ số mới đổi ⇒ tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc góc.

Góc phụ: sin 30° = 0,50 = cos 60° (vì 30° + 60° = 90°).

Cạnh đối ngắn hơn cạnh kề ⇒ tan 30° < 1.

1 📐 Bốn tỉ số lượng giác

Cần nhớ

  • ✦sin α = đối / huyền, cos α = kề / huyền: hai tỉ số này dùng cạnh huyền nên luôn nhỏ hơn 1. Ví dụ cạnh đối 3, huyền 5 ⇒ sin α = 35.
  • ✦tan α = đối / kề, cot α = kề / đối: không dùng cạnh huyền, có thể lớn hơn 1. Ví dụ đối 4, kề 3 ⇒ tan α = 43.
  • ✦Đối / kề tính từ góc đang xét. Cạnh huyền (đối diện góc vuông) thì không bao giờ đổi vai.

Dạng bài

Tính tỉ số lượng giác của một góc trong tam giác vuông

  1. 1 Tính cạnh còn thiếu bằng Pythagore (nếu đề chưa cho đủ ba cạnh).
  2. 2 Xác định huyền, rồi cạnh đối và kề theo góc đề hỏi.
  3. 3 Viết bốn tỉ số bằng định nghĩa, rút gọn phân số.
  4. 4 Thử lại bằng sin² + cos² = 1.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đối và kề tuỳ theo góc: với góc C thì AB mới là cạnh đối, nên sin C = 817, không phải 1517.

📐
Làm mẫu

Tam giác ABC vuông tại A, AB = 8, AC = 15. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ⭐ Ba góc đặc biệt 30°, 45°, 60°

Bảng phải thuộc

30°45°60°
sin12√22√32
cos√32√2212
tan√331√3
cot√31√33

Mẹo nhớ

  • ✦sin tăng dần: √12, √22, √32 (tức 12, √22, √32). cos thì ngược lại.
  • ✦45° là tam giác vuông cân: hai cạnh góc vuông bằng nhau nên tan 45° = 1.
  • ✦Muốn chắc thì vẽ nửa tam giác đều (góc 30°, 60°) hoặc tam giác vuông cân rồi đếm cạnh, không cần học vẹt.

Dạng bài

Tính biểu thức chứa góc đặc biệt

  1. 1 Thay từng tỉ số bằng giá trị trong bảng.
  2. 2 Làm nhân, chia trước, rồi cộng, trừ.
  3. 3 Rút gọn kết quả.
  4. 4 Thử lại bằng giá trị gần đúng (√3 ≈ 1,73).

⚠️ Bẫy hay gặp: Đừng đổi chỗ sin và cos: sin 30° = 12 ≈ 0,5 nhưng cos 30° = √32 ≈ 0,87. Góc nhỏ thì cạnh đối ngắn nên sin nhỏ.

⭐
Làm mẫu

Tính A = sin 60° · cos 30° + tan 45° · cos 60°.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🔄 Hai góc phụ nhau và so sánh

Cần nhớ

  • ✦α + β = 90° ⇒ sin α = cos β, tan α = cot β. Ví dụ sin 20° = cos 70°.
  • ✦Trong tam giác ABC vuông tại A, hai góc B, C phụ nhau nên sin B = cos C (cạnh đối của B chính là cạnh kề của C).
  • ✦Góc nhọn càng lớn: sin và tan tăng, cos và cot giảm. Ví dụ sin 20° < sin 50°, nhưng cos 20° > cos 50°.

Dạng bài

So sánh các tỉ số lượng giác

  1. 1 Đưa hết về cùng một hàm (thường là sin) bằng quan hệ phụ nhau.
  2. 2 Nhớ chiều: sin, tan tăng theo góc; cos, cot giảm.
  3. 3 So sánh các góc, rồi sắp xếp.
  4. 4 Thử lại bằng giá trị gần đúng.

⚠️ Bẫy hay gặp: cos giảm khi góc tăng: cos 25° ≈ 0,91 lớn hơn cos 65° ≈ 0,42, không phải nhỏ hơn.

🔄
Làm mẫu

Sắp xếp tăng dần: sin 25°, cos 25°, sin 65°.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧩 Hệ thức cơ bản và tìm tỉ số còn lại

Cần nhớ

  • ✦sin²α + cos²α = 1 (chia hai vế của Pythagore cho huyền²). Ví dụ (35)² + (45)² = 925 + 1625 = 1.
  • ✦tan α = sin α / cos α, cot α = cos α / sin α, nên tan α · cot α = 1.
  • ✦Góc nhọn thì mọi tỉ số đều dương. Tính ra sin α = 1,25 là chắc chắn sai.

Dạng bài

Biết một tỉ số, tìm các tỉ số còn lại

  1. 1 Dùng sin² + cos² = 1 để tìm tỉ số còn thiếu (lấy giá trị dương vì α nhọn).
  2. 2 Tính tan = sin / cos, cot = cos / sin.
  3. 3 Thử lại bằng sin² + cos² = 1 hoặc tan · cot = 1.

⚠️ Bẫy hay gặp: cos²α = 1 − sin²α = 1 − 925 = 1625, không phải 1 − 35 = 25.

🧩
Làm mẫu

Biết sin α = 35 với α nhọn. Tính cos α, tan α, cot α.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

🧮 Máy tính cầm tay

  • ✦Chuyển máy về chế độ độ (Deg) trước khi bấm. Bấm sin 30 phải ra 0,5.
  • ✦Máy tính dùng để thử lại. Bài tự luận vẫn viết giá trị đúng (√32, 12…).

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.

📐

Gọi tên cạnh, tính tỉ số

  1. 1
    Nhận biết

    Trong tam giác vuông, sin của một góc nhọn bằng:

  2. 2
    Nhận biết

    Tam giác ABC vuông tại A. Cạnh đối của góc B là:

  3. 3
    Thông hiểu Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6, AC = 8, BC = 10. Khi đó sin B = .
  4. 4
    Thông hiểu Cùng tam giác đó (AB = 6, AC = 8, BC = 10): cos B = .
  5. 5
    Thông hiểu Tam giác ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Khi đó BC = và tan C = .
⭐

Góc đặc biệt 30°, 45°, 60°

  1. 1
    Nhận biết

    Giá trị sin 30° bằng:

  2. 2
    Nhận biết

    Giá trị tan 60° bằng:

  3. 3
    Thông hiểu sin 30° + cos 60° =
  4. 4
    Thông hiểu 2 · sin 45° · cos 45° =
  5. 5
    Vận dụng Tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30°, BC = 10. Khi đó AC = .
  6. 6
    Vận dụng Tam giác ABC vuông tại A, góc B = 60°, AB = 4. Khi đó BC = .
🔄

Góc phụ nhau, so sánh

  1. 1
    Thông hiểu

    Cho α + β = 90°. Đẳng thức nào luôn đúng?

  2. 2
    Thông hiểu sin 70° = cos °
  3. 3
    Thông hiểu

    Tam giác ABC vuông tại A. Đẳng thức nào đúng?

  4. 4
    Vận dụng

    Sắp xếp tăng dần: sin 20°, cos 20°, sin 50°.

  5. 5
    Vận dụng tan 25° · tan 65° =
🧩

Hệ thức cơ bản

  1. 1
    Nhận biết

    Góc nhọn α có thể có sin α = 1,25 không?

  2. 2
    Thông hiểu sin²35° + cos²35° =
  3. 3
    Thông hiểu Biết sin α = 35, α nhọn. Khi đó cos α = .
  4. 4
    Thông hiểu Biết cos α = 513, α nhọn. Khi đó tan α = .
  5. 5
    Vận dụng Biết tan α = 34, α nhọn. Khi đó sin α = .
🎯

Vận dụng: tìm cạnh từ tỉ số

  1. 1
    Vận dụng Tam giác ABC vuông tại A, sin B = 35 và BC = 10. Khi đó AC = và AB = .
  2. 2
    Vận dụng

    Tam giác ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Khẳng định nào đúng?

🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?

  • •Hay có câu tính giá trị biểu thức chứa góc đặc biệt, hoặc so sánh / sắp xếp các tỉ số bằng quan hệ góc phụ nhau.
  • •Tỉ số lượng giác là công cụ cho chủ điểm 6: tính cạnh, tính góc, bài toán đo chiều cao thực tế thường có nhiều điểm hơn.
  • •Thói quen hay cứu điểm: kiểm tra lại bằng sin² + cos² = 1 hoặc nhớ sin, cos của góc nhọn luôn nhỏ hơn 1.
Có đề cô giao? Tải lên để làm thử
Chủ điểm tiếp theo
6. Hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông, ứng dụng thực tế