Tất cảMầm nonTiểu họcTHCSTHPT
Toán lớp 9
Chủ điểm 6 · Học kỳ 1 ⭐ Hay ra thi vào 10

Hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông, ứng dụng thực tế

Chọn đúng tỉ số lượng giác để giải tam giác vuông và tính chiều cao, khoảng cách trong bài toán thực tế.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 12

⚡ Nhớ nhanh

  • 1Tam giác ABC vuông tại A: cạnh góc vuông = huyền · sin góc đối = huyền · cos góc kề. Tức AC = BC·sin B = BC·cos C.
  • 2Cạnh góc vuông = cạnh góc vuông kia · tan góc đối. Tức AC = AB·tan B.
  • 3Hai góc nhọn phụ nhau: B + C = 90°. Biết một góc là biết góc kia.
  • 4Giải tam giác vuông = tìm hết cạnh và góc còn lại; cần hai dữ kiện (ngoài góc vuông), trong đó ít nhất một là cạnh.
  • 5Đo chiều cao: h = d · tan α (d là khoảng cách ngang). Đề cho chiều cao mắt thì cộng thêm vào.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo khoảng cách d hoặc góc nhìn α để xem chiều cao vật thay đổi; chọn mẫu cột cờ, toà nhà, cây.

α = 35°h₁d = 20 mh ≈ 15,6 m

Chấm xanh là mắt người đo, chấm đỏ là đỉnh vật.

Khoảng cách d 20 m
Góc nâng α 35°
Mắt cao h₀:

h₁ = d·tan α = 20·tan 35° ≈ 20·0,700 ≈ 14,0 m
h = h₁ + h₀ = 14,0 + 1,6 = 15,6 m

Với d = 20 m và α = 35°, vật cao khoảng 15,6 m (cỡ vài tầng nhà). Đường ngắm (cạnh huyền) dài 24,4 m, không phải chiều cao.

α < 45° ⇒ tan α < 1 ⇒ phần cao trên tầm mắt ngắn hơn khoảng cách d.

1 📐 Hệ thức cạnh và góc

Cần nhớ

  • ✦Tam giác ABC vuông tại A, BC là huyền. Cạnh đối góc B là AC, cạnh kề góc B là AB.
  • ✦Có huyền thì dùng sin hoặc cos: AC = BC·sin B, AB = BC·cos B. Ví dụ BC = 10, B = 30° ⇒ AC = 10·0,5 = 5.
  • ✦Chỉ có hai cạnh góc vuông thì dùng tan: AC = AB·tan B. Ví dụ AB = 6, B = 45° ⇒ AC = 6·1 = 6.
  • ✦Tìm huyền thì chia: BC = AC / sin B = AB / cos B.

Biết gì thì dùng gì

BiếtTìmDùng
Huyền + một gócCạnh góc vuôngsin hoặc cos (nhân)
Một cạnh góc vuông + một gócCạnh góc vuông kiatan (nhân)
Một cạnh góc vuông + một gócCạnh huyềnsin hoặc cos (chia)
Hai cạnhGócTính tỉ số rồi tra ngược

Dạng bài

Chọn tỉ số lượng giác

  1. 1 Xác định cạnh huyền trước (cạnh đối diện góc vuông).
  2. 2 Gọi tên: cạnh nào đối, cạnh nào kề góc đã cho; cạnh nào cần tìm.
  3. 3 Chọn tỉ số chứa đúng hai cạnh đó (có huyền → sin/cos; không có → tan), rồi tính.
  4. 4 Thử lại bằng Pythagore hoặc so sánh độ dài.

⚠️ Bẫy hay gặp: Với AB = 6, B = 30°, AB không phải huyền: AC = 6·sin 30° = 3 là sai, vì sin chỉ dùng khi có cạnh huyền (huyền ở đây là BC).

📐
Làm mẫu

Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6, B = 30°. Tính AC.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🧩 Giải tam giác vuông

Dạng bài

Giải tam giác vuông

  1. 1 Tìm góc nhọn còn lại: C = 90° − B (luôn làm trước).
  2. 2 Chọn tỉ số, tính cạnh góc vuông thứ nhất.
  3. 3 Tính cạnh còn lại (tỉ số khác hoặc Pythagore).
  4. 4 Thử lại: Pythagore, và góc lớn đối diện cạnh dài hơn.

⚠️ Bẫy hay gặp: Hai góc không đủ để tính cạnh: biết B = 60°, C = 30° mà không có cạnh nào thì chỉ biết hình dạng, chưa biết kích thước.

🧩
Làm mẫu

Tam giác ABC vuông tại A, BC = 12, B = 60°. Giải tam giác.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🌳 Đo chiều cao bằng góc nhìn

Cần nhớ

  • ✦Góc nâng α là góc giữa phương ngang và đường ngắm lên đỉnh.
  • ✦Tam giác vuông có cạnh kề là khoảng cách d, cạnh đối là phần cao trên tầm mắt h₁ = d·tan α. Ví dụ d = 10, α = 45° ⇒ h₁ = 10.
  • ✦Chiều cao thật: h = h₁ + chiều cao mắt. Ví dụ h₁ = 10, mắt cao 1,6 ⇒ h = 11,6.

Dạng bài

Bài toán đo chiều cao

  1. 1 Vẽ hình: đánh dấu mắt người đo, chân vật, đỉnh vật. Tam giác vuông bắt đầu từ mắt, không từ mặt đất.
  2. 2 Tính phần trên tầm mắt: h₁ = d·tan α.
  3. 3 Cộng chiều cao mắt: h = h₁ + h₀.
  4. 4 Thử lại: tan α = h₁ / d.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên cộng chiều cao mắt: 14,0 m thay vì 15,6 m. Đề cho sẵn "1,6 m" chính là để thử bước này.

🌳
Làm mẫu

Đứng cách chân tháp 20 m, người cao 1,6 m nhìn thấy đỉnh dưới góc nâng 35°. Tính chiều cao tháp (làm tròn 0,1 m).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🪜 Bài toán thực tế có cạnh huyền

🌳 Đo cao: dùng tan

Cây, cột, toà nhà: không biết huyền, chỉ có khoảng cách ngang và góc nên dùng tan.

🪜 Thang, dây, đường dốc: dùng sin/cos

Chiều dài thang hay dây là cạnh huyền, nên dùng sin (độ cao) hoặc cos (khoảng cách ngang).

Dạng bài

Thang dựa tường

  1. 1 Vẽ tam giác vuông: thang là huyền, tường và đất là hai cạnh góc vuông.
  2. 2 Độ cao đầu thang là cạnh đối góc tạo với đất: h = thang · sin α.
  3. 3 Khoảng cách chân thang tới tường là cạnh kề: = thang · cos α.
  4. 4 Thử lại bằng Pythagore.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thang dài 4 m, góc với đất 30°: độ cao là 4·sin 30° = 2 m, không phải 4·tan 30°, vì 4 m là huyền.

🪜
Làm mẫu

Thang dài 5 m dựa vào tường, chân thang cách tường 3 m. Đầu thang cao bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.

📐

Hệ thức cạnh và góc

  1. 1
    Nhận biết

    Tam giác ABC vuông tại A. Hệ thức nào đúng?

  2. 2
    Nhận biết

    Sin và côsin của một góc nhọn dùng được khi đề cho:

  3. 3
    Nhận biết Tam giác ABC vuông tại A có B = 35° thì C = °.
  4. 4
    Thông hiểu

    Tam giác ABC vuông tại A, BC = 12, B = 30°. Cạnh AC bằng:

  5. 5
    Thông hiểu Tam giác ABC vuông tại A, BC = 8, B = 60°. Khi đó AB = .
  6. 6
    Thông hiểu Tam giác ABC vuông tại A, AB = 7, B = 45°. Khi đó AC = .
🧩

Giải tam giác vuông

  1. 1
    Thông hiểu

    Tam giác ABC vuông tại A, BC = 16, B = 60°. Cạnh AC bằng:

  2. 2
    Thông hiểu

    Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6, B = 60°. Cạnh huyền BC bằng:

  3. 3
    Thông hiểu Tam giác ABC vuông tại A có BC = 10, AC = 6. Khi đó AB = .
  4. 4
    Vận dụng

    Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6, AC = 6√3. Số đo góc B bằng:

  5. 5
    Vận dụng Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6√3, B = 30°. Khi đó AC = .
🌳

Đo chiều cao, khoảng cách

  1. 1
    Nhận biết

    Đo chiều cao cây: biết khoảng cách ngang d tới chân cây và góc nâng α. Tỉ số dùng để tính phần cao trên tầm mắt là:

  2. 2
    Thông hiểu Đứng cách chân cột 10 m, nhìn lên đỉnh với góc 45° (bỏ qua chiều cao mắt). Cột cao m.
  3. 3
    Thông hiểu Đứng cách chân toà nhà 15 m, mắt cao 1,5 m, góc nâng 40° (lấy tan 40° ≈ 0,84). Toà nhà cao khoảng m.
  4. 4
    Thông hiểu

    Tính được phần cột trên tầm mắt cao 12 m, người đo cao 1,7 m. Chiều cao cột là:

  5. 5
    Vận dụng Cột cao 12 m, người đo mắt cao 1,6 m, nhìn lên đỉnh với góc 45°. Người đó đứng cách chân cột m.
🪜

Thang, dây: bài có cạnh huyền

  1. 1
    Nhận biết

    Thang dựa vào tường tạo thành tam giác vuông. Chiều dài thang là:

  2. 2
    Thông hiểu Thang dài 4 m tạo với mặt đất góc 30°. Đầu thang cao m.
  3. 3
    Thông hiểu Thang dài 5 m, chân thang cách tường 3 m. Đầu thang chạm tường ở độ cao m.
  4. 4
    Vận dụng

    Thang dài 6 m, chân thang cách tường 3 m. Thang tạo với mặt đất góc:

🎯 Chủ điểm này ra thi vào 10 thế nào?

  • •Bài đo chiều cao hoặc khoảng cách (cây, toà nhà, thang, dốc) hay có trong câu hình học thực tế, thường 0,5–1 điểm.
  • •Đề thường cố tình cho sẵn chiều cao mắt để thử bước cộng thêm: vẽ hình có mắt người đo trước khi tính.
  • •Hay gặp ở câu hình tổng hợp: tính cạnh hoặc góc trong tam giác vuông rồi dùng kết quả cho bước chứng minh sau.
Có đề cô giao? Tải lên để làm thử
Chủ điểm tiếp theo
7. Đường tròn: cung, dây, độ dài cung, hình quạt, hình vành khuyên