Bài tập Xác suất Thống kê – Chương 1, 2

Năm người đang ngồi tại một bàn trong nhà hàng. Hai người trong số họ gọi cà phê và ba người còn lại gọi trà. Người phục vụ quên ai đã gọi món gì và đặt đồ uống một cách ngẫu nhiên cho năm người. Hãy xác định một không gian mẫu thích hợp và tính xác suất để mỗi người nhận đúng đồ uống của mình.

Hộp I chứa 3 bi đỏ và 2 bi xanh trong khi Hộp II chứa 2 bi đỏ và 8 bi xanh. Một đồng xu cân đối được tung. Nếu đồng xu ngửa, một viên bi được chọn từ Hộp I; nếu đồng xu sấp, một viên bi được chọn từ Hộp II.

Tìm xác suất để chọn được một viên bi đỏ.

Tìm xác suất để Hộp I được chọn với điều kiện biết rằng một viên bi đỏ đã được chọn.

Một thư ký kém cỏi đặt n lá thư khác nhau vào n phong bì có địa chỉ khác nhau một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để có ít nhất một lá thư đến đúng địa chỉ.

Có hai chuồng thỏ. Chuồng 1 có 5 thỏ đen, 10 thỏ trắng; chuồng 2 có 3 thỏ trắng, 7 thỏ đen. Từ chuồng 2 ta bắt ngẫu nhiên một con cho vào chuồng 1, rồi sau đó lại bắt ngẫu nhiên một con thỏ ở chuồng 1 ra, thì được thỏ trắng. Tính xác suất để con thỏ trắng này là của chuồng 1.

Có hai hộp đựng đĩa mềm. Hộp 1 chứa 3 đĩa màu đỏ và 1 đĩa màu đen. Hộp 2 chứa 2 đĩa màu đỏ và 2 đĩa màu đen. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 đĩa cho vào hộp thứ 3. Từ hộp thứ 3 lại rút ngẫu nhiên 2 đĩa. Tính xác suất được 2 đĩa màu đỏ trong lần rút sau cùng.

Trong 18 xạ thủ có 5 người có khả năng bắn trúng bia với xác suất 0,8; 7 người có khả năng bắn trúng bia với xác suất 0,7; 4 người có khả năng bắn trúng bia với xác suất 0,6 và 2 người có khả năng bắn trúng bia với xác suất là 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và anh ta đã bắn không trúng đích. Hỏi anh ta có khả năng thuộc nhóm nào nhiều nhất?

Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả còn mới. Lần đầu người ta lấy ra ba quả để thi đấu rồi xếp lại vào trong hộp, lần sau người ta lấy ra tiếp ba quả nữa để thi đấu. Tìm xác suất 3 quả lấy ra lần thứ hai đều mới.

A và B chơi một trò chơi trong đó họ luân phiên tung một cặp xúc xắc. Người đầu tiên đạt tổng 7 sẽ thắng trò chơi. Tìm xác suất để người tung trước sẽ thắng trò chơi.

Một thanh sắt độ dài 10m được cắt thành 3 khúc một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để 3 khúc đó tạo được một tam giác?

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm khối lượng xác suất sau:

Tìm và .

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm khối lượng xác suất sau:

Tìm và , .

Một con xúc xắc sáu mặt có bốn mặt xanh và hai mặt đỏ và được cân bằng sao cho mỗi mặt có khả năng xuất hiện như nhau. Con xúc xắc sẽ được tung nhiều lần. Giả sử chúng ta ghi 4 điểm nếu con xúc xắc được tung và ra mặt xanh, và 1 điểm nếu ra mặt đỏ. Xác định biến ngẫu nhiên X là số điểm này. Viết phân phối xác suất của X và tính kỳ vọng và phương sai của X.

Cho X có phân phối xác suất:

Biết rằng E(X) = 4,5.

a) Tìm giá trị của p và q.
b) Tìm .

Một biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối tích lũy (cdf):

a) Xác định các hằng số a và b.
b) Tìm hàm mật độ xác suất (pdf) của X và E(X).

Một người nào đó cho rằng anh ta có thể uống rượu và lái xe: thông thường anh ta tin rằng mình có khả năng gặp tai nạn không đáng kể, trong khi anh ta tin rằng nếu uống hai pint bia, khả năng gặp tai nạn trên đường về nhà chỉ là một phần năm trăm. Giả sử anh ta lái xe về nhà từ cùng một quán rượu mỗi đêm, sau khi uống hai pint bia, xác suất anh ta gặp ít nhất một tai nạn trong một năm là bao nhiêu? Có giả định nào bạn đưa ra khi trả lời câu hỏi này không?

Ba em bé được kiểm tra sức khỏe hàng tuần tại một phòng khám, sau đó được trả ngẫu nhiên về với mẹ của chúng. Xác suất để có ít nhất một em bé về đúng mẹ của mình là bao nhiêu?

Trong một lớp học trung học, 35% học sinh học tiếng Tây Ban Nha như một ngoại ngữ, 15% học tiếng Pháp như một ngoại ngữ, và 40% học ít nhất một trong các ngôn ngữ này. Xác suất để một học sinh được chọn ngẫu nhiên học tiếng Pháp với điều kiện học sinh đó học tiếng Tây Ban Nha là bao nhiêu?

Hồ sơ bệnh viện cho thấy trong số bệnh nhân mắc một căn bệnh nào đó, 75% chết vì bệnh này. Xác suất để trong 6 bệnh nhân được chọn ngẫu nhiên, 4 người sẽ hồi phục là bao nhiêu?

Một nhân viên bán bảo hiểm nhân thọ bán trung bình 3 hợp đồng bảo hiểm nhân thọ mỗi tuần. Sử dụng định luật Poisson để tính xác suất trong một tuần nhất định anh ta sẽ bán được một số hợp đồng.

Cho X có hàm mật độ xác suất (pdf)
với

a) Tìm c. Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên Cauchy.
b) Tìm E(X) và Var(X).

Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất

a) Tìm k.
b) Tìm E(X).