Đề thi Toán cao cấp – Đại số tuyến tính

Trình bày quy trình giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phép khử Gauss, từ việc lập ma trận mở rộng đến khi tìm được dạng tham số của nghiệm. Trong câu trả lời, cần làm rõ: (a) vai trò của các phép biến đổi sơ cấp trên hàng và vì sao chúng bảo toàn tập nghiệm; (b) cách phân biệt hệ tương thích và không tương thích từ dạng bậc thang; (c) khái niệm biến cơ bản và biến tự do; (d) một bước kiểm tra nghiệm trong hệ ban đầu.

Cho ba véc tơ , trong và . Bằng cách lập phương trình véc tơ rồi đưa về ma trận mở rộng, hãy xác định có thuộc hay không. Nếu có, hãy tìm các hệ số và diễn giải ý nghĩa hình học của trong . Giải thích tại sao bài toán này chính là bài toán giải một hệ phương trình tuyến tính.

Phát biểu định nghĩa cơ sở của một không gian con . Giải thích vì sao cần đồng thời hai điều kiện: (1) và (2) họ véc tơ độc lập tuyến tính. Sau đó phát biểu và minh họa Định lý về cơ sở: nếu đã biết thì chỉ cần kiểm tra một trong hai điều kiện để kết luận một họ véc tơ là một cơ sở. Cho ví dụ minh họa trong với một mặt phẳng qua gốc.

Cho hệ phương trình với là ma trận . (a) Phát biểu và chứng minh Định lý 2.3.4 về quan hệ giữa nghiệm riêng và nghiệm thuần nhất. (b) Phân tích cấu trúc tập nghiệm : khi nào là một không gian con, khi nào nó là một phẳng không qua gốc, và khi nào nó rỗng. (c) Nếu có vị trí chốt, hãy tính chiều của phẳng nghiệm (khi hệ tương thích). Giải thích ý nghĩa của "không gian chỉ phương" và cho một ví dụ cụ thể.

Cho ma trận cỡ có hạng . (a) Liệt kê bốn không gian con gắn với và nêu rõ mỗi không gian là không gian con của hay . (b) Phát biểu định lý về quan hệ giữa hạng và bốn không gian con, cho công thức tính số chiều từng không gian. (c) Trình bày cách tìm một cơ sở của , và từ dạng bậc thang rút gọn của . Nêu rõ tại sao các cột chốt phải lấy từ ma trận gốc chứ không phải từ RREF khi tìm cơ sở của .

Phép nhân ma trận có những tính chất nào khác với phép nhân số? Trình bày ba tính chất khác biệt quan trọng: (a) tính không giao hoán (cho một ví dụ cụ thể với ma trận ); (b) tính không khử được (ví dụ với nhưng ); (c) tích bằng không có thừa số khác không (ví dụ với ). Đồng thời nêu các tính chất mà phép nhân ma trận vẫn giữ: kết hợp, phân phối và tương thích với nhân vô hướng.

Phát biểu định nghĩa ma trận khả nghịch và Định lý Ma trận khả nghịch (liệt kê chín mệnh đề tương đương). Áp dụng: cho ma trận cỡ có một cột toàn số 0. Dùng định lý này (không tính định thức) để kết luận có khả nghịch hay không và giải thích cụ thể mệnh đề nào trong định lý đã sử dụng. Cuối cùng, nêu công thức nghịch đảo cho ma trận vuông cấp 2 và điều kiện để ma trận đó khả nghịch.

Phát biểu định nghĩa phép biến đổi tuyến tính . Cho ví dụ một phép biến đổi được xác định bởi , , . (a) Tìm ma trận của . (b) Tính cho . (c) Trình bày cách xác định , và trong ngôn ngữ ma trận. Chỉ rõ tại sao chứ không phải , và cho một ví dụ số cụ thể để chứng minh hai thứ tự cho kết quả khác nhau.

Phát biểu định nghĩa định thức cấp 2 và nêu ba quy tắc về sự thay đổi của định thức khi thực hiện ba loại phép biến đổi trên hàng (đổi chỗ hai hàng, nhân một hàng với , cộng bội của một hàng vào hàng khác). Sau đó, sử dụng các quy tắc này để chứng minh rằng với hai véc tơ , diện tích hình bình hành sinh bởi chúng bằng với . Giải thích tại sao công thức diện tích cần lấy giá trị tuyệt đối của định thức mà không lấy định thức có dấu.

Cho ma trận thực vuông cỡ . (a) Phát biểu định nghĩa giá trị riêng, véc tơ riêng và không gian riêng. Nêu tiêu chuẩn để một số thực là giá trị riêng của . (b) Phân biệt bội đại số và bội hình học của một giá trị riêng. (c) Phát biểu điều kiện cần và đủ để chéo hóa được trên theo hai loại bội này. (d) Áp dụng vào ma trận cụ thể : tìm đa thức đặc trưng, các giá trị riêng, hai loại bội của mỗi giá trị riêng, rồi kết luận có chéo hóa được không. Nếu có, hãy chỉ ra cách lập ma trận và .