ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – MÔN TOÁN

Cho đa thức

a) Tìm tất cả số thực m để phương trình có đúng bốn nghiệm thực phân biệt.

b) Với m thỏa mãn câu a), tính tổng và tích của bốn nghiệm thực đó.

c) Với hai giá trị biên của tập m tìm được ở câu a), xác định số nghiệm thực phân biệt và số bội của từng nghiệm của phương trình

Biết 1013 là số nguyên tố. Từ tập chọn ngẫu nhiên một cặp số có thứ tự với

Tính xác suất của biến cố

Hãy chứng minh tính tương đương của biến cố và điều kiện phân dư, đồng thời đếm chính xác số cặp thuận lợi.

Một món hàng có giá 100 triệu đồng. Người mua trả trước 20 triệu đồng, phần còn lại là 80 triệu đồng được chia thành 12 khoản gốc bằng nhau, trả vào cuối từ�ng tháng. Ở đầu mỗi tháng, khoản trả gồm phần gốc còn nợ và khoản lãi bằng 0,8% số dư nợ đầu tháng đó; phần đã trả không sinh lãi.

a) Nếu trả đủ 12 tháng, hãy tính phần gốc trong mỗi khoản trả, tổng tiền lãi và tổng số tiền đã trả, kể cả khoản trả trước.

b) Sau khi trả xong khoản thứ tư vào cuối tháng thứ tư, người mua trả ngay toàn bộ phần gốc còn lại và không phát sinh lãi từ tháng thứ năm trở đi. Tính tổng tiền lãi thực tế và tổng số tiền đã trả.

c) So với phương án trả đủ 12 tháng, người mua tiết kiệm được bao nhiêu tiền lãi? Tỉ lệ tiết kiệm so với tổng lãi của phương án trả đủ 12 tháng là bao nhiêu phần trăm?

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Đường tròn đường kính DE cắt đường thẳng BC tại X và Y, trong đó X gần B hơn Y.

a) Tính BC và DE; chứng minh

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC và M là trung điểm của BC. Chứng minh H và M chính là X và Y.

c) Tính

Cho ba số thực thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Xác định tất cả trường hợp dấu bằng xảy ra và trình bày rõ các bước áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski.

Cho . Giải phương trình

Cho số nguyên tố .

a) Chứng minh với mọi số nguyên , ta có

b) Tính phần dư của

khi chia cho .

c) Chứng minh rằng trong 52 số nguyên bất kỳ, luôn tồn tại hai số có hiệu chia hết cho .

Riêng nhóm lao động A hoàn thành một khối lượng công việc trong 12 ngày, riêng nhóm B hoàn thành khối lượng công việc đó trong 18 ngày; năng suất của mỗi nhóm không đổi.

a) Tính số ngày cần thiết nếu A và B cùng làm.

b) Hai nhóm làm theo lịch: A làm liên tục 2 ngày, B làm liên tục 3 ngày, sau đó lặp lại từ nhóm A; khi công việc hoàn thành thì dừng. Tính tổng thời gian hoàn thành công việc.

Cho hình thang cân có , , và hai đường chéo vuông góc, tức là . Gọi lần lượt là trung điểm của và .

a) Chứng minh thẳng hàng và tính .

b) Tính chiều cao, cạnh bên, chu vi và diện tích của hình thang.

Trong một nhóm có bốn người A, B, C, D. Mỗi người thuộc một trong hai loại: luôn nói thật hoặc luôn nói sai. Các phát biểu của họ là:

• A: Trong nhóm có đúng hai người nói thật.
• B: C là người nói sai.
• C: A và B thuộc cùng loại.
• D: Trong nhóm có đúng một người nói sai.

Biết nội dung mỗi phát biểu phải tương ứng với loại của người nói. Tìm số người nói thật và số cách phân loại thỏa điều kiện.