Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Giang năm 2025

Nguyên hàm của hàm số là

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng . Quay hình phẳng đó quanh trục . Thể tích khối tròn xoay khi quay hình quanh bằng

Trong 10 điểm kiểm tra giữa kì môn Toán của 30 học sinh lớp 11C5 được ghi lại ở bảng bên dưới. Trung vị của mẫu số liệu thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Trong không gian với hệ trục toạ độ cho ba điểm , , . Đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng có phương trình là:

Tìm hệ số để hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là

Trong không gian , vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?

Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với đáy . Phát biểu nào sau đây sai?

Nghiệm của phương trình là

Cho cấp số cộng có và công sai . Số hạng của cấp số cộng là

Cho hình hộp . Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho hàm số có đồ thị như Hình 1. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Cho hàm số .

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 240 m, tốc độ của ô tô là 28,8 km/h. Bốn giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ với , trong đó là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 16 giây và duy trì sự tăng tốc trong 30 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Một kho hàng có 85% sản phẩm loại I và 15% sản phẩm loại II, trong đó có 1% sản phẩm loại I bị hỏng, 4% sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm.

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính km. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian có gốc tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm sau một thời gian vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm .

Cho hình chóp tam giác có đôi một vuông góc. Biết rằng . Khoảng cách giữa và là bao nhiêu?

Cho tứ diện , một con bọ đang đậu ở đỉnh của tứ diện. Mỗi lần nghe một tiếng trống thì nó nhảy sang một đỉnh bất kì của tứ diện mà kề với đỉnh nó đang đậu. Hỏi sau 4 tiếng trống nó có bao nhiêu cách trở về đỉnh ?

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kỹ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm . Giả sử là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng và . Để theo dõi quả bóng đến vị trí , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm có cao độ bằng . Biết rằng vectơ có tọa độ là . Khi đó bằng bao nhiêu?

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là (đồng) và phần còn lại (đồng). Biết và tứ giác là hình chữ nhật có . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị triệu đồng) bằng

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá đồng mà cứ tăng giá thêm đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là . Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Có hai chiếc hộp, hộp I có bi đỏ và bi trắng, hộp II có bi đỏ và bi trắng, các bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất một bi đỏ từ hộp I, biết rằng trong bốn bi lấy ra số bi đỏ bằng số bi trắng.